Université Mohammed V de Rabat Ecole Mohammadia d’Ingénieurs Département : Génie Mécanique Table d’équilibrage à bille Encadré par : Réalisé par : Mr, LEFROUNI Khalid Année universitaire : 2020/2021 2 Sommaire Introduction.......................................................................................................................................... 4 Partie I : Modélisation du système ................................................................................................. 5 I) Composants de la table d'équilibrage à bille (TEB) .................................................................... 5 I.1) RC Servomoteurs ....................................................................................................................... 5 I.2) Capteur et Contrôleur de touche tactile résistive 2D ............................................................... 8 I.3) NI myRIO ................................................................................................................................... 8 I.4) Boite de Distribution de Puissance ........................................................................................... 9 I.5) Mécaniques de la Table d'Equilibrage à bille .......................................................................... 10 II) Modélisation du système ....................................................................................................... 10 II.1) Équation de mouvement non linéaire ................................................................................... 12 II.2) Modélisation du système d'Equilibrage à bille :..................................................................... 16 II.3) Modélisation de l'actionneur : ............................................................................................... 18 II.4) Régulation en cascade de la Table d'Equilibrage à bille : ....................................................... 18 Partie II : Analyse du système .............................................................................................................. 21 I) Analyse en boucle ouverte ........................................................................................................ 21 I.1) Positionnement suivant l’axe x ............................................................................................... 21 I.2) Positionnement suivant l’axe y ............................................................................................... 23 II) Conclusion ................................................................................................................................. 24 Partie III : Etude de régulateur ............................................................................................................. 25 I) L’analyse du système en boucle fermé positionnement suivant l’axe x ................................... 25 I.1) Avec un régulateur proportionnel P........................................................................................ 25 I.2) Avec un régulateur proportionnel dérivé PD : ........................................................................ 26 I.3) Avec un régulateur proportionnel intégral PI : ....................................................................... 34 I.4) Avec un régulateur proportionnel intégral dérivé PID ............................................................ 38 I.5) Comparaison des résultats de l’analyse du système en boucle fermé positionnement suivant l’axe x ............................................................................................................................................. 45 II) L’analyse du système en boucle fermé positionnement suivant l’axe Y ................................... 47 II.1) Avec un régulateur proportionnel P....................................................................................... 47 II.2) Avec un régulateur proportionnel dérivé PD ......................................................................... 48 II.3) Avec un régulateur proportionnel intégral PI ........................................................................ 55 II.4) Avec un régulateur proportionnel intégral dérivé PID : ......................................................... 59 I.5) Comparaison des résultats de l’analyse du système en boucle fermé positionnement suivant l’axe y ............................................................................................................................................. 67 Conclusion ............................................................................................................................................. 69 Références............................................................................................................................................. 70 3 Introduction Aujourd’hui, l’automatisation permet de remplacer l’homme, aussi bien dans les tâches opérationnelles qu’informationnelles, car les systèmes automatisés permettent d’améliorer : la sécurité, la qualité, le confort et la productivité. L’automatique est une science qui traite de la modélisation, de l’analyse, de l’identification et de la commande des systèmes dynamiques en respectant un cahier des charges (rapidité, précision, stabilité…). C’est aussi celle de traiter l’information et prendre des décisions. L’automatique a comme but le contrôle automatique de procédés industriels ou différents appareils afin de réduire la fréquence et la difficulté des tâches humaines. Le système d'équilibrage à bille sur plaque est l'un des plus courants et des plus simples systèmes de contrôle car il peut être utilisé pour appliquer les concepts de contrôle étudiés dans le cours de modélisation du système tel que le temps de stabilisation, le dépassement, la montée erreur de temps et d'état stable. C’est une version améliorée du système de balle et de poutre. Dans ce système, la balle est équilibrée dans une position spécifique de la plaque. La plaque est manipulée dans deux directions (x et y) pour avoir un mouvement qui combine de deux rotations suivant deux axes perpendiculaires. Lorsque la balle est perturbée, l'écran tactile résiste et le contrôleur donne le signal au servomoteur pour mettre la balle dans la position espérée (x=0, y=0). Lors de l’étude ce système on doit respecter le cahier de charge suivant : Temps de réponse (à 5%) inférieur à 2 secondes Dépassement inférieur à 5% On va faire une étude sur ce système. On va commencer par définir le système, et on va le modéliser. En deuxième lieu, on va analyser à l’aide du Logiciel Matlab les caractéristiques du système. Matlab va nous aider à faire plusieurs essais sur le régulateur en changeant la structure du correcteur afin d’obtenir une solution qui va répondre aux exigences du cahier de charge. En dernier lieu, on va comparer entre les résultats obtenus et choisir la plus adapté. 4 Partie I : Modélisation du système I) Composants de la table d'équilibrage à bille (TEB) Les pièces principales de la Table d'Equilibrage à bille sont exposées ci-dessous : I.1) RC Servomoteurs A) Exposé général Les servos RC sont des dispositifs électromécaniques qui convertissent les signaux électriques en mouvement rotatif. Ils fournissent des solutions simples et pratiques dans la plupart des applications de contrôle et de robotique. 5 Les servomoteurs RC se composent de plusieurs pièces qui comprennent : Contrôleur : Le circuit responsable de la lecture des signaux de contrôle (les signaux PWM davantage d'informations sur le signal PWM sont disponibles dans le chapitre 2) et contrôle le moteur en conséquence. Les circuits du contrôleur déterminent le type de servos ; ils peuvent être soit numériques soit analogiques. Les servos analogiques traitent le signal PWM jusqu'à une fréquence de 50 Hz. Les servos numériques traitent ces signaux PWM avec plus de précision. Ils peuvent décoder des signaux jusqu'à 330 Hz. Cette différence de décodage peut fournir davantage de couple aux moteurs. En complément, les servos numériques peuvent être programmés pour changer de direction, de largeur de zone morte, etc. Généralement ; Les servos numériques ont beaucoup plus d'avantages que les servos analogiques en termes de coût et de consommation d'énergie. Potentiomètre : La réaction d mise en position de l'arbre principal est assuré par le potentiomètre. Il est attaché à l'arbre de transmission de telle façon que la rotation de l'arbre d'entraînement entraîne des résistances différentes sur le potentiomètre. Par la lecture de valeurs de résistance, le contrôleur sait l'angle exact de l'arbre d'entraînement. Moteur : Les moteurs des servos sont d'habitude des moteurs à courant continu à grande vitesse qui sont commandés par des ponts-H installés à l'intérieur de leurs propres circuits de commande. Boite de vitesse : Le kit d'engrenages se situe entre l'arbre de transmission et le moteur. Il régule le régime du moteur, ce qui réduit la vitesse de mouvement et augmente le couple. Arbre de transmission : L'arbre de transmission est la sortie du système entier. C'est le composant véritable qui tourne selon l'angle souhaité. Connecteurs : Les connecteurs ont généralement trois broches qui portent "+", "-" et le "signal" au contrôleur. Les connecteurs peuvent avoir des codes de couleur différents en fonction du fabricant 6 B) Théorie d'Opération Le servo est actuellement un système de commande à système circulaire qui nécessite un signal d'entrée continu. L'opération du servo peut être expliquée avec quelques étapes de base : 1. Le contrôleur décode le signal d'entrée PWM et le convertit en une tension correspondant à un angle. 2. Le contrôleur lit les valeurs de tension du potentiomètre et détermine la position de l'arbre 3. Le contrôleur calcule l'erreur à partir de la différence entre l'entrée et la tension du potentiomètre. 4. Le contrôleur convertit l'erreur dans la sortie du pont-H. 7 I.2) Capteur et Contrôleur de touche tactile résistive 2D La rétroaction de mise en position de la balle sur la table est acquise par l'intermédiaire de l'écran tactile de 4 fils de 17 pouces. Essentiellement, un écran tactile se compose de deux feuilles qui ont un gradient de tension produit sur eux par des résistances. Ces feuilles sont séparées par un entrefer. Lorsque deux feuilles sont pressées ensemble, la tension divisée sur chaque feuille est lue par le contrôleur à écran tactile qui traduit ces tensions en coordonnées d'écran. L'écran tactile situé sur la table d'équilibrage à bille est capable de fournir des données de position jusqu'à 100 Hz à travers un contrôleur numérique qui permet d'acquérir un retour beaucoup plus doucement. I.3) NI myRIO MyRIO est un appareil incorporé portable qui permet aux utilisateurs de concevoir et de contrôler des systèmes robotiques ou mécatroniques. MyRIO a de nombreux ports et capteurs à bord, y compris ; entrées analogiques (AI), sorties analogiques (AO), entrées et sorties numériques (DIO), sorties audio et de puissance, un 8 accéléromètre et des LED. En complément, myRIO a un port USB de pleine grandeur qui peut être utilisé comme hôte et module sans fil 802.11.bgn. MyRIO se distingue des autres contrôleurs intégrés par son puce FPGA (Field Programmable Gate Array) intégré. Le FPGA permet des opérations d'I/O rapides (jusqu'à 25 nanosecondes). FPGA fonctionne en collaboration avec un processeur d'application à 2 noyaux de 667 MHz avec le système d'exploitation LabVIEW Real-time en fonctionnement sur celui-ci. I.4) Boite de Distribution de Puissance Deux servomoteurs RC et des connexions myRIO se situent sur la boîte de distribution de puissance montrée sur la Figure 1. Elle a aussi des régulateurs en mode de led RVB (rougevert-bleu) et de commutateur. 9 I.5) Mécaniques de la Table d'Equilibrage à bille Le plan de table se déplace librement le long de deux axes avec des joints rotatifs. Chaque servo est connecté à ce plan et fournit leurs actions par l'intermédiaire de roulement à tige filetée. II) Modélisation du système Le modèle physique de la Table d'Equilibrage à bille est montré sur la figure 4.1. Le modèle décrit le système cinématique de la Table d'Equilibrage à bille. Selon le modèle physique, les actionneurs du système (moteur x et moteur y) sont attachés rigidement à la plaque de base du système. Les actionneurs sont reliés à la table par des liaisons avec des joints de bille des deux côtés. Le tableau est relié à la plaque de base du système sur un joint rotatif à deux degrés de liberté. Le modèle physique montre aussi les paramètres de liaison de la table qui sont nécessaires pour le modèle mathématique du système. Ces paramètres sont expliqués ci-dessous aussi : 10 Table 4.1: Paramètres de la Table d'Equilibrage à bille Symboles Définition Valeur Unité Longueur du faisceau dans 0.134 [m] 𝑳𝒙 la direction de x Longueur du faisceau dans 0.168 [m] 𝑳𝒚 la direction de y Longueur du bras du 0.0245 [m] 𝒓𝑴 moteur Rayon de la balle 0.02 [m] 𝒓𝒃 Masse de la balle 0.26 [kg] 𝒎𝒃 Inertie de rotation de la 0.0000416 [kg*m2] 𝑱𝒃 balle Accélération due à la 9.81 [m/s2] 𝒈 gravité Angle de la plaque autour (Variable) [degrés] 𝜶 de l'axe x Angle de la plaque autour (Variable) [degrés] 𝜷 de l'axe y Angle de moteur pour l'axe (Variable) [degrés] 𝒙 x Angle de moteur pour l'axe (Variable) [degrés] 𝒚 y Avant d'obtenir le modèle du système, il faudra considérer les hypothèses suivantes : Le modèle du système admet que le contact balle-plaque n'est perdu sous aucune circonstance. Une autre hypothèse importante est que la balle roule sur la table sans glisser. Pour simplifier le modèle, toutes les forces de frottement et les couples qui en découlent sont négligés. 11 Figure 4.2: Diagramme corporel libre II.1) Équation de mouvement non linéaire La première étape de la modélisation est la dérivation de l'équation du mouvement. L'équation du mouvement décrit la relation entre le mouvement de la balle (x, y) et les deux angles de la table (α, β). Dans les sections suivantes, l'équation du mouvement sera dérivée avec deux méthodes différentes. A) Méthode Lagrangienne La méthode lagrangienne dérive l'équation du mouvement à travers la relation de l'énergie cinétique et potentielle du système. La méthode lagrangienne est une méthode utile pour les systèmes complexes qui ont généralement plus d'un de degrés de liberté. L'équation Lagrangienne est la suivante : L (Lagrangien) est la différence entre l'énergie cinétique et potentielle du système 12 Pour dériver l'équation du mouvement, l'énergie cinétique et potentielle du système doivent être obtenue. L'énergie cinétique totale d'une balle qui roule (sans glissement) peut être décrite comme suit : 𝐸𝑘𝑖𝑛, est l'énergie cinétique de translation et 𝐸𝑘𝑖𝑛,𝑅 est l'énergie cinétique de rotation du système. Ainsi L'énergie potentielle de la balle pour des angles de plaque donnés peut être décrite comme suit : Par conséquent, Lagrangienne est égale à : Les termes dérivés partiels de l'équation 4.1 pour la direction de x sont les suivants : et 13 Ainsi l'équation différentielle du mouvement pour la direction de x devient : En résolvant l'équation pour 𝑥̈ 𝑏, la forme requise de l'équation est dérivée : En appliquant la même méthode à la direction de y, l'équation du mouvement pour la direction de y peut être dérivée comme suit : B) Loi de Mouvement de Newton Pour appliquer la loi du mouvement de Newton, le système devrait être découplé en deux modes de mouvement (mouvement dans les directions de x et y). Considérant le mouvement dans la direction de x, la somme des forces agissant sur la balle est donnée cidessous selon la loi du mouvement de Newton : En admettant qu'il n'y a pas de frottement et d'amortissement visqueux dans le système, les forces agissant sur la balle peuvent être décrites comme suit : 14 Figure 4.3: Diagramme corporel libre Ici 𝐹𝑥,𝑡 est la force de translation agissant sur la balle à cause de la gravité et du plan incliné, comme indiqué sur la figure 4.3. 𝐹𝑥,𝑟 est la force qui agit sur la balle à cause de la rotation de la balle. Le couple généré par la rotation de la balle est comme suit : Ainsi En résolvant l'équation pour 𝑥̈ 𝑏, la forme requise de l'équation est dérivée comme suit : En appliquant la même méthode à la direction de y, l'équation du mouvement pour la direction de y peut être dérivée comme suit : 15 Comme on peut observer facilement dans l'équation (4.1) et (4.18), si les mêmes hypothèses sont faites avant la dérivation, les équations dérivées du mouvement pour les deux méthodes sont identiques. II.2) Modélisation du système d'Equilibrage à bille : Le but de la modélisation est de dériver la relation physique entre les sorties et les entrées d'un système. Dans notre cas, les sorties du système sont les coordonnées de la balle dans les directions de x et y (𝑥̇𝑏, 𝑦𝑏). Les entrées du système sont les angles de moteur (θ𝑥̇, θ𝑦) comme on peut le voir sur la figure 4.4. Figure 4.4: Relation entre les angles de moteurs et les angles de plaque La figure 4.4 montre également que : Ainsi, la relation suivante entre l'angle de plaque et l'angle de moteur peut être obtenue comme suit : Aussi pour la direction de y : 16 Nous pouvons écrire le côté droit des équations 4.22 et 4.23 à la place des termes sin (α) et sin (β) dans les équations 4.19 et 4.20. Par conséquent, nous avons les équations suivantes différentielles du système qui décrivent la relation entre les sorties et les entrées du système : A) Linéarisation autour du point d'opération : Pour obtenir la fonction de transfert du système, les équations différentielles doivent être linéarisées concernant le point de fonctionnement (x = 0, y = 0). Pour les petits angles : Ainsi les équations 4.24 and 4.25 peuvent être réécrites comme suit : En utilisant la valeur des paramètres de système listés dans le tableau 4.1, KBBT,X et KBBT,Y peuvent être calculés facilement et respectivement comme 1,281 et 1,02. Remarque : Dans la modélisation qu’on a reçu il y’a une faute de calcul de KBBT,X (1 devient 1,281) et de KBBT,Y (1,255 devient 1,02) B) Obtention de la fonction de transfert de l'usine Comme on le voit dans les équations 4.27 et 4.28, les variables du système sont découplées de sorte que nous puissions étudier séparément chaque mode de mouvement. L'équation différentielle de l'équipement dans la direction de x est comme suit : 17 En prenant la transformée de Laplace nous obtenons comme ci-dessous : La fonction de transfert dans la direction de y peut être dérivée aussi de l'équation 4.28 : II.3) Modélisation de l'actionneur L'actionneur de la Table d'Equilibrage à bille est un servomoteur. La fonction de transfert du servomoteur peut être rapprochée comme une fonction de premier ordre sous la forme suivante : 𝐾𝑀 est le gain et τ est la constante de temps de l'actionneur. 𝐾𝑀 est calculé comme 100 et τ est calculé comme 0,01. Après les calculs, la fonction de transfert du moteur est obtenue comme suit : II.4) Régulation en cascade de la Table d'Equilibrage à bille La table d'équilibrage à bille a une structure en cascade qui comprend une boucle intérieure et une boucle extérieure, comme indiqué sur la figure 4.5. 18 Figure 4.5: Schéma fonctionnel de la Table d'Equilibrage à bille La boucle interne est un système à boucle fermée avec feedback d'unité et contrôle la position du servomoteur. Le servomoteur de la table d'équilibrage à balle contrôle automatiquement sa position grâce à son propre contrôleur situé sous l'écran tactile. La boucle interne atteint l'état stable en un instant. Par conséquent, la fonction de transfert de la boucle interne peut être obtenue comme fonction de transfert du premier ordre. Lorsque la boucle interne est réduite, le nouveau schéma fonctionnel est comme ci-dessous : Figure 4.6: Schéma fonctionnel du système après la réduction Les fonctions de transfert de l'Equipement et de l'Actionneur ont été obtenues dans la section précédente. Lorsque les paramètres sont remplacés, le schéma pour les directions de x et y est indiqué ci-dessous aussi : Figure 4.7: Schéma fonctionnel de la boucle externe en direction de x 19 Figure 4.8: Schéma fonctionnel de la boucle extérieure en direction de y La boucle extérieure consiste en une installation, d'un actionneur et de leur contrôleur. 20 Partie II : Analyse du système I) Analyse en boucle ouverte I.1) Positionnement suivant l’axe x A) Réponse indicielle A l’aide de Matlab on peut avoir la réponse indicielle du positionnement suivant l’axe x de la boucle ouverte. Mais en premier on doit définir la fonction de transfert Script Matlab : 21 Réponse indicielle : D’après la figure ci-dessus on constate que le système est instable en boucle ouverte car la réponse diverge, ce qui implique le roulement de la balle tout au bout de la table. B) Analyse des pôles et zéros Script Matlab : Grâce à l’exécution de Matlab, on constate que la fonction de transfert de la boucle ouverte ne dispose pas de racine et qu’on a un pôle nul donc le système est instable. 22 I.2) Positionnement suivant l’axe y A) Réponse indicielle Après avoir définir la fonction de transfert de la boucle ouverte du positionnement suivant l’axe y, on trace sa réponse indicielle. Script Matlab : Réponse indicielle : D’après le graphe ci-dessus on constate la même chose : le système est instable en boucle ouverte, ce qui implique le roulement de la balle tout au bout de la table. Alors un contrôle de la position de la balle est nécessaire. 23 B) Analyse des pôles et zéros Script Matlab : Grâce à l’exécution de Matlab, on constate que la fonction de transfert de la boucle ouverte ne dispose pas de racine et qu’on a un pôle nul donc le système est instable. II) Conclusion Pour remédier à cette situation on a besoin de fermer la boucle et d’ajouter un bloc régulateur qui assure le bon positionnement de la balle selon x et y. 24 Partie III : Etude de régulateur Les paramètres de la fonction de transfert du régulateur sont réglables et adaptables au procédé à contrôler. Le régulateur a pour rôle d’étudier ainsi analyser les comportements dynamique et statique du procédé conformément au cahier des charges défini. I) L’analyse du système en boucle fermé positionnement suivant l’axe x Figure 4.7: Schéma fonctionnel de la boucle externe en direction de x I.1) Avec un régulateur proportionnel P On va étudier la réponse du système lorsqu'un contrôleur proportionnel est utilisé après avoir déterminer la fonction de transfert du système. Par exemple on prend F=Kp=0,02 Script Matlab : 25 Réponse indicielle : Selon le graphe le système est instable avec l’ajout d’un gain proportionnel. Cette instabilité persiste même si on change la valeur de Kp avec des valeurs plus grandes comme plus petites. Résultat : le régulateur proportionnel ne règle pas l’instabilité du système. I.2) Avec un régulateur proportionnel dérivé PD : A) Proportionnel dérivé PD en parallèle : A l’aide de Matlab on exécute avec Kp=Kd=0.02 : 26 Script Matlab : Réponse indicielle : Le système est stable, donc on peut voir si on peut vérifier s’il répond au cahier de charge. Pour faciliter la tâche on exécute les instructions suivantes : 27 Script Matlab : Réponse indicielle : Donc ce système ne répond pas aux exigences du cahier de charge. Pour qu’il le soit, on doit changer les valeurs de Kp et Kd. Après plusieurs tentatives, il s’avère que les valeurs de Kp et Kd qui répondent au cahier de charge sont : Kp=0,02 et Kd=0.06 28 Script Matlab : Réponse indicielle : 29 Résultat : le régulateur proportionnel dérivé PD en parallèle avec les coefficients Kp=0,02 et Kd=0.06 est une solution respectant le cahier de charge. Donc F peut s’écrire sous la forme suivante : 𝑭(𝒔) = 𝟎, 𝟎𝟐 + 𝟎, 𝟎𝟔 𝒔 B) Proportionnel dérivé PD mixte On exécute avec Kp=0,02 et Kd=0.06 : Script Matlab : Réponse indicielle : Ce système est instable, même si on change les valeurs de Kp ou Kd. 30 Résultat : le régulateur proportionnel dérivé PD mixte nous donne un système instable. C) Proportionnel dérivé PD en série : Pour ce régulateur, on va utiliser la formule suivante : 𝐹(𝑠) = 𝐾𝑝 ∗ (1 + 𝑠 ∗ 𝐾𝑑) On prend pour valeur Kp=0,02 et Kd=0,02 Script Matlab : 31 Réponse indicielle : Le système est instable avec ces valeurs, on essaye de les changer, on prend Kp=0,02 et Kd=2 Script Matlab : 32 Réponse indicielle : Le système est stable, mais ne vérifie pas les conditions du cahier de charge, on ressaye avec d’autre valeurs : Kp=0,02 et Kd=3 Script Matlab : 33 Réponse indicielle : Cette fois le système vérifie le cahier de charge. Résultat : le régulateur proportionnel dérivé PD en série avec les coefficients Kp=0,02 et Kd=3 est une solution respectant le cahier de charge. Donc F peut s’écrire sous la forme suivante : 𝑭(𝒔) = 𝟎. 𝟎𝟐 ∗ (𝟏 + 𝒔 ∗ 𝟑) I.3) Avec un régulateur proportionnel intégral PI : A) Proportionnel intégral PI en parallèle : A l’aide de Matlab on exécute avec Kp=Ki=0.02 : 34 Script Matlab : Réponse indicielle : Le système est instable, et reste instable même si on teste différentes valeurs de Kp et Ki. Résultat : le régulateur proportionnel intégral PI en parallèle nous donne un système instable. 35 B) Proportionnel intégral PI mixte On exécute avec Kp=0,02 et Ki=0,02 : Script Matlab : Réponse indicielle : Le système est instable, et reste instable même on change les valeurs de Kp et Ki. Résultat : le régulateur proportionnel intégral PI mixte nous donne un système instable. 36 C)Proportionnel intégral PI en série Pour ce régulateur, on va utiliser la formule suivante : 𝐹(𝑠) = 𝐾𝑝 ∗ (1 + ( 𝐾𝑖 )) 𝑠 On prend pour valeur Kp=0,02 et Ki=0.5 Script Matlab : 37 Réponse indicielle : Le système est instable, et reste instable même on change les valeurs de Kp et Ki. Résultat : le régulateur proportionnel intégral PI en série nous donne un système instable. I.4) Avec un régulateur proportionnel intégral dérivé PID A) Proportionnel intégral dérivé PID en parallèle On exécute avec Kp=Ki=Kd=0.02 : 38 Script Matlab : Réponse indicielle : Le système est stable et il reste que vérifier les conditions du cahier de charge, pour cela on change les valeurs de Kp, Ki, Kd. On prend Kp=Ki=0,02 et Kd=0,08. 39 Script Matlab : Réponse indicielle : Pour ces valeurs le système est stable et répond au cahier de charge. Résultat : le régulateur proportionnel intégral dérivé PID en parallèle, avec les coefficients Kp=Ki=0,02 et Kd=0,08 est une solution respectant le cahier de charge. Donc F peut s’écrire sous la forme suivante : 40 𝑭(𝒔) = 𝟎. 𝟎𝟐 + 𝟎, 𝟎𝟐 + 𝟎, 𝟎𝟖 ∗ 𝒔 𝒔 B) Proportionnel intégral dérivé PID mixte On exécute avec Kp=0,02 et Ki=0,02 et Kd=0,08 : Script Matlab : Réponse indicielle : Le système n’est pas stable, pour cela on change les valeurs de Kp, Ki, Kd. On prend Kp=Ki=0,02 et Kd=10. 41 Script Matlab : Réponse indicielle : Avec ces valeurs on a pu obtenir un système qui répond largement au cahier de charge, en plus l’erreur statique est nulle, et il est remarquablement rapide son temps de réponse t5%=0.0906s. 42 Résultat : le régulateur proportionnel intégral dérivé PID mixte, avec les coefficients Kp=Ki=0,02 et Kd=10 est une solution respectant le cahier de charge et avec une erreur statique nulle et un t5%=0.0906s. Donc F peut s’écrire sous la forme suivante : 𝑭(𝒔) = 𝟎. 𝟎𝟐 ∗ (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟐 + 𝟏𝟎 ∗ 𝒔) 𝒔 C) Proportionnel intégral dérivé PID en série : Pour ce régulateur, on va utiliser la formule suivante : 𝐹(𝑠) = 𝐾𝑝 ∗ (1 + ( 𝐾𝑖 )) ∗ (1 + 𝑠 ∗ 𝐾𝑑) 𝑠 On prend pour valeur Kp=0,02 et Ki=0,02 et Kd=10 Script Matlab : 43 Réponse indicielle : Avec ces valeurs on a pu obtenir un système qui répond largement au cahier de charge, en plus l’erreur statique est nulle, et il est remarquablement rapide son temps de réponse t5%=0.0904s Résultat : le régulateur proportionnel intégral dérivé PID en série, avec les coefficients Kp=Ki=0,02 et Kd=10 est une solution respectant le cahier de charge et avec une erreur statique nulle et un t5%=0.0904s. Donc F peut s’écrire sous la forme suivante : 𝑭(𝒔) = 𝟎, 𝟎𝟐 ∗ (𝟏 + (𝟎, 𝟎𝟐/𝒔)) ∗ (𝟏 + 𝒔 ∗ 𝟏𝟎) 44 I.5) Comparaison des résultats de l’analyse du système en boucle fermé positionnement suivant l’axe x En parallèle Mixte En série P faux !! PD PI PID La fonction de transfert du régulateur F qui répond au cahier de charge : Temps de réponse à 5% inférieur à 2 secondes, dépassement inférieur à 5%, peut s’écrire donc en différente forme : PD en parallèle : 𝑭(𝒔) = 𝟎, 𝟎𝟐 + 𝟎, 𝟎𝟔 𝒔 PD en série : 𝑭(𝒔) = 𝟎. 𝟎𝟐 ∗ (𝟏 + 𝒔 ∗ 𝟑) PID en parallèle : 𝑭(𝒔) = 𝟎. 𝟎𝟐 + 𝟎, 𝟎𝟐 + 𝟎, 𝟎𝟖 ∗ 𝒔 𝒔 PID mixte : 𝑭(𝒔) = 𝟎. 𝟎𝟐 ∗ (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟐 + 𝟏𝟎 ∗ 𝒔) 𝒔 45 PID en série : 𝑭(𝒔) = 𝟎, 𝟎𝟐 ∗ (𝟏 + (𝟎, 𝟎𝟐/𝒔)) ∗ (𝟏 + 𝒔 ∗ 𝟏𝟎) Remarque : Tous ces régulateurs répondent au cahier de charge mais le régulateur PID en série avec la fonction de transfert : 𝑭(𝒔) = 𝟎, 𝟎𝟐 ∗ (𝟏 + (𝟎, 𝟎𝟐/𝒔)) ∗ (𝟏 + 𝒔 ∗ 𝟏𝟎) est le meilleur car il a en plus un temps de réponse le plus rapide (t5%=0.0904s), et une erreur statique nulle. 46 II) L’analyse du système en boucle fermé positionnement suivant l’axe Y Figure 4.7: Schéma fonctionnel de la boucle externe en direction de y II.1) Avec un régulateur proportionnel P On va étudier la réponse du système lorsqu'un contrôleur proportionnel est utilisé après avoir déterminer la fonction de transfert du système. Par exemple on prend F=Kp=0,02 Script Matlab : 47 Réponse indicielle : Selon le graphe le système est instable avec l’ajout d’un gain proportionnel. Cette instabilité persiste même si on change la valeur de Kp avec des valeurs plus grandes comme plus petites. Résultat : le régulateur proportionnel ne règle pas l’instabilité du système. II.2) Avec un régulateur proportionnel dérivé PD A) Proportionnel dérivé PD en parallèle : A l’aide de Matlab on exécute avec Kp=Kd=0.02 : 48 Script Matlab : Réponse indicielle : Le système est stable, donc on peut voir si on peut vérifier s’il répond au cahier de charge. Pour faciliter la tâche on exécute les instructions suivantes : 49 Script Matlab : Réponse indicielle : Donc ce système ne répond pas aux exigences du cahier de charge. Pour qu’il le soit, on doit changer les valeurs de Kp et Kd. Après plusieurs tentatives, il s’avère que les valeurs de Kp et Kd qui répondent au cahier de charge sont : Kp=0,02 et Kd=0.06. 50 Script Matlab : Réponse indicielle : 51 Résultat : le régulateur proportionnel dérivé PD en parallèle avec les coefficients Kp=0,02 et Kd=0.06 est une solution respectant le cahier de charge. Donc F peut s’écrire sous la forme suivante : 𝑭(𝒔) = 𝟎, 𝟎𝟐 + 𝟎, 𝟎𝟔 𝒔 B) Proportionnel dérivé PD mixte : On exécute avec Kp=0,02 et Kd=0.06 : Script Matlab : Réponse indicielle : Ce système est instable, même si on change les valeurs de Kp ou Kd. 52 Résultat : le régulateur proportionnel dérivé PD mixte nous donne un système instable. C) Proportionnel dérivé PD en série : Pour ce régulateur, on va utiliser la formule suivante : 𝐹(𝑠) = 𝐾𝑝 ∗ (1 + 𝑠 ∗ 𝐾𝑑) On prend pour valeur Kp=0,02 et Kd=0,02 Script Matlab : 53 Réponse indicielle : Le système est instable avec ces valeurs, on essaye de les changer, on prend Kp=0,02 et Kd=3. Script Matlab : 54 Réponse indicielle : Cette fois le système vérifie le cahier de charge. Résultat : le régulateur proportionnel dérivé PD en série avec les coefficients Kp=0,02 et Kd=3 est une solution respectant le cahier de charge. Donc F peut s’écrire sous la forme suivante : 𝑭(𝒔) = 𝟎. 𝟎𝟐 ∗ (𝟏 + 𝒔 ∗ 𝟑) II.3) Avec un régulateur proportionnel intégral PI A) Proportionnel intégral PI en parallèle A l’aide de Matlab on exécute avec Kp=Ki=0.02 : 55 Script Matlab : Réponse indicielle : Le système est instable, et reste instable même si on teste différentes valeurs de Kp et Ki. Résultat : le régulateur proportionnel intégral PI en parallèle nous donne un système instable. 56 B) Proportionnel intégral PI mixte On exécute avec Kp=0,02 et Ki=0,02 : Script Matlab : Réponse indicielle : Le système est instable, et reste instable même on change les valeurs de Kp et Ki. Résultat : le régulateur proportionnel intégral PI mixte nous donne un système instable. 57 C) Proportionnel intégral PI en série : Pour ce régulateur, on va utiliser la formule suivante : 𝐹(𝑠) = 𝐾𝑝 ∗ (1 + ( 𝐾𝑖 )) 𝑠 On prend pour valeur Kp=0,02 et Ki=0.5 Script Matlab : 58 Réponse indicielle : Le système est instable, et reste instable même on change les valeurs de Kp et Ki. Résultat : le régulateur proportionnel intégral PI en série nous donne un système instable. II.4) Avec un régulateur proportionnel intégral dérivé PID : A) Proportionnel intégral dérivé PID en parallèle : On exécute avec Kp=Ki=Kd=0.02 : 59 Script Matlab : Réponse indicielle : Le système est stable et il reste que vérifier les conditions du cahier de charge, pour cela on change les valeurs de Kp, Ki, Kd. On prend Kp=Ki=0,02 et Kd=0,1. 60 Script Matlab : Réponse indicielle : Pour ces valeurs le système est stable et répond au cahier de charge. 61 Résultat : le régulateur proportionnel intégral dérivé PID en parallèle, avec les coefficients Kp=Ki=0,02 et Kd=0,1 est une solution respectant le cahier de charge. Donc F peut s’écrire sous la forme suivante : 𝑭(𝒔) = 𝟎. 𝟎𝟐 + 𝟎, 𝟎𝟐 + 𝟎, 𝟏 ∗ 𝒔 𝒔 B) Proportionnel intégral dérivé PID mixte : On exécute avec Kp=0,02 et Ki=0,02 et Kd=0,1 : Script Matlab : 62 Réponse indicielle : Le système n’est pas stable, pour cela on change les valeurs de Kp, Ki, Kd. On prend Kp=Ki=0,02 et Kd=10. Script Matlab : 63 Réponse indicielle : Avec ces valeurs on a pu obtenir un système qui répond largement au cahier de charge, en plus l’erreur statique est nulle, et il est remarquablement rapide son temps de réponse t5%=0.12s Résultat : le régulateur proportionnel intégral dérivé PID mixte, avec les coefficients Kp=Ki=0,02 et Kd=10 est une solution respectant le cahier de charge et avec une erreur statique nulle et un t5%=0.12s. Donc F peut s’écrire sous la forme suivante : 𝑭(𝒔) = 𝟎. 𝟎𝟐 ∗ (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟐 + 𝟏𝟎 ∗ 𝒔) 𝒔 C) Proportionnel intégral dérivé PID en série : Pour ce régulateur, on va utiliser la formule suivante : 𝐹(𝑠) = 𝐾𝑝 ∗ (1 + ( 𝐾𝑖 )) ∗ (1 + 𝑠 ∗ 𝐾𝑑) 𝑠 On prend pour valeur Kp=0,02 et Ki=0,02 et Kd=10 64 Script Matlab : Réponse indicielle : Avec ces valeurs on a pu obtenir un système qui répond largement au cahier de charge, en plus l’erreur statique est nulle, et il est remarquablement rapide son temps de réponse t5%=0.12s 65 Résultat : le régulateur proportionnel intégral dérivé PID en série, avec les coefficients Kp=Ki=0,02 et Kd=10 est une solution respectant le cahier de charge et avec une erreur statique nulle et un t5%=0.12s. Donc F peut s’écrire sous la forme suivante : 𝑭(𝒔) = 𝟎, 𝟎𝟐 ∗ (𝟏 + (𝟎, 𝟎𝟐/𝒔)) ∗ (𝟏 + 𝒔 ∗ 𝟏𝟎) 66 I.5) Comparaison des résultats de l’analyse du système en boucle fermé positionnement suivant l’axe y En parallèle Mixte En série P PD faux !! PI PID La fonction de transfert du régulateur F qui répond au cahier de charge : Temps de réponse à 5% inférieur à 2 secondes, dépassement inférieur à 5%, peut s’écrire donc en différente forme : PD en parallèle : 𝑭(𝒔) = 𝟎, 𝟎𝟐 + 𝟎, 𝟎𝟔 𝒔 PD en série : 𝑭(𝒔) = 𝟎. 𝟎𝟐 ∗ (𝟏 + 𝒔 ∗ 𝟑) PID en parallèle : 𝑭(𝒔) = 𝟎. 𝟎𝟐 + 𝟎, 𝟎𝟐 + 𝟎, 𝟏 ∗ 𝒔 𝒔 PID mixte : 𝑭(𝒔) = 𝟎. 𝟎𝟐 ∗ (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟐 + 𝟏𝟎 ∗ 𝒔) 𝒔 67 PID en série : 𝑭(𝒔) = 𝟎, 𝟎𝟐 ∗ (𝟏 + (𝟎, 𝟎𝟐/𝒔)) ∗ (𝟏 + 𝒔 ∗ 𝟏𝟎) Remarque : Tous ces régulateurs répondent au cahier de charge mais le régulateur PID en série avec la fonction de transfert : 𝑭(𝒔) = 𝟎, 𝟎𝟐 ∗ (𝟏 + (𝟎, 𝟎𝟐/𝒔)) ∗ (𝟏 + 𝒔 ∗ 𝟏𝟎) et le régulateur proportionnel intégral dérivé PID mixte avec la fonction de transfert : 𝟎, 𝟎𝟐 𝑭(𝒔) = 𝟎. 𝟎𝟐 ∗ (𝟏 + + 𝟏𝟎 ∗ 𝒔) 𝒔 sont les meilleurs car ils ont en plus un temps de réponse le plus rapide (t5%=0.12s), et une erreur statique nulle. 68 Conclusion Ce projet a été réalisé dans le cadre du projet de la matière de l’automatique, il a pour but d’appliquer les différentes notions du cours de l’automatique et la régulation en majeur, ainsi d’assimiler le langage de Matlab. Dans ce contexte, on a pu étudier le système Table d’équilibrage à bille pour atteindre ces buts. 69 Références Cours de l’automatique de Mr, LEFROUNI Khalid https://www.mathworks.com/matlabcentral/answers/364237-how-to-plot-multiplecurves-in-the-same-figure https://forums.commentcamarche.net/forum/affich-1560421-matlab-dessiner-uneligne-horizontale http://www.acsysteme.com/fr/pid-serie-ou-parallele 70
