ALG GEN

Cours de Math´ ematiques
Alg` ebre G´ en´ erale
Sommaire
Alg`ebre G´en´erale
Sommaire
I Groupes ................................... 2
I.1 D´efinition, exemples et premi`eres propri´et´es ............... 2
I.2 Sous-Groupes. Morphismes de groupes .................. 3
I.3 Action d’un groupe sur un ensemble ................... 5
I.4 Les groupes Z/nZ............................. 6
II Anneaux et corps commutatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
II.1 D´efinition, exemples et premi`eres propri´et´es ............... 8
II.2 Cas d’un anneau euclidien ......................... 10
III ´ El´ements alg´ebriques d’une alg`ebre sur un corps commutatif . . . 15
III.1 Polynˆome minimal d’un ´el´ement d’une alg`ebre de dimension finie . . . 15
III.2 Extension alg´ebrique d’un corps commutatif ............... 16
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Alg` ebre G´ en´ erale
Partie I : Groupes
I Groupes
I.1 D´efinition, exemples et premi`eres propri´et´es
Un groupe est un couple (G, ×) o`u Gest un ensemble et ×est une loi de composition interne
sur G(c’est `a dire une application de G×Gvers G) associative, admettant un ´el´ement neutre
e∈G, pour laquelle tout ´el´ement a∈Gadmet un sym´etrique a0∈G:a×a0=a0×a=e. Le
groupe (G, ×) est d´eclar´e commutatif (ou ab´elien) lorsque sa loi ×est commutative.
☞Un ´el´ement neutre et un sym´etrique pour la loi ×d’un ´el´ement de Gsont uniques lorsque
(G, ×) est un groupe.
Dans un groupe (G, ×) tout ´el´ement a∈Gest r´egulier c’est `a dire que
∀(x , y)∈G2,a×x=a×y=⇒x=y
x×a=y×a=⇒x=y
Il revient au mˆeme de dire que les homoth´eties de G`a gauche et `a droite de rapport a,
ah:x a×xet ha:x x×a, sont injectives. En fait, ahet hasont des bijections
de Gsur lui-mˆeme et (ha)−1=ha−1, (ah)−1=a−1h. Le groupe (G, ×) est commutatif si
et seulement si toute homoth´etie `a gauche est une homoth´etie `a droite.
☞Lorsqu’il n’y a aucune ambiguit´e sur la loi du groupe (G, ×) on ne la note pas : on dit
simplement que Gest un groupe et on ´ecrit ab pour le compos´e de apar bau lieu de
a×b. Dans ce cas le sym´etrique d’un ´el´ement a∈Gpour la loi de groupe de Gprend
le nom d’inverse de aet se note a−1. Alors ∀(a , b)∈G2,(ab)−1= (b)−1(a)−1(attention
`a l’ordre des facteurs). L’´el´ement neutre du groupe Gest not´e 1Get par r´ecurrence sur
l’entier naturel non d´efinit pour tout a∈G:an= 1Gsi n= 0 et an=aan−1si n>1 .
Lorsque nest un entier relatif n´egatif on pose an= (a−1)|n|. La famille (an)n∈Zest dite
progression de raison a. On a les propri´et´es suivantes
∀(m,n)∈Z2,∀a∈G,am+n=aman,(an)m=amn(1)
☞Si (G, +) est un groupe on dit souvent que sa loi est additive et les homoth´eties du groupe
(G, +) sont plutˆot qualifi´ees de translation (`a gauche ou `a droite si le groupe n’est pas
commutatif). L’´el´ement neutre de Gest not´e OG, le sym´etrique d’un ´el´ement ade Gest
not´e −aet la progression de raison aest not´ee (na)n∈Z.
☞Voici quelques exemples de groupes
➣Z,Q,R,Csont des groupes additifs commutatifs mais R+n’est pas un groupe pour
l’addition. Q∗,R∗,Q∗
+,R∗ +sont des groupes pour la multiplication ainsi que le cercle
unit´e de C.
➣Tout espace vectoriel est un groupe additif commutatif.
➣Les translations d’un espace vectoriel ou d’un espace affine constituent un groupe
commutatif pour la loi de composition.
➣Les rotations d’un espace euclidien de dimension nconstituent un groupe pour la
loi de composition. Ce groupe est commutatif si et seulement si n62 .
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Partie I : Groupes
➣L’union de l’ensemble des homoth´eties et des translations d’un espace affine non
vide, non r´eduit `a un point est un groupe pour la loi de composition. Ce groupe
n’est pas commutatif.
➣L’ensemble S(E) des bijections de Esur lui-mˆeme est un groupe pour la loi de
composition. Ce groupe est commutatif si et seulement si Card(E)62 . Un ´el´ement
de S(E) est appel´e permutation de E. Pour n∈N∗, le groupe des permutations de
[[ 1 , n ]] s’appelle groupe sym´etrique d’indice net se note Sn: Card(Sn) = n! .
➣L’ensemble des isom´etries d’un espace affine euclidien Elaissant globalement inva-
riant un sous-ensemble Ede Eest un groupe pour la loi de composition.
I.2 Sous-Groupes. Morphismes de groupes
Une partie Hd’un groupe G, qui est stable par la loi de G, et qui est un groupe pour la loi
induite sur Hpar celle de G, s’appelle sous-groupe de G.
Th´eor`eme Caract´ erisation des sous-groupes
Soit Hune partie d’un groupe G. Les assertions suivantes sont ´equivalentes :
(i) Hest un sous-groupe de G
(ii) 1G∈Het ∀(x , y)∈H2,xy−1∈H
Lorsque Gest un groupe additif l’assertion (ii) est `a remplacer par OG∈Het ∀(x , y)∈H2,
x−y∈H.
☞L’intersection d’une famille quelconque de sous-groupes d’un groupe Gest un sous-groupe
de G. En particulier pour toute partie Ad’un groupe G, l’intersection Hde la famille
des sous-groupes de Gcontenant la partie Aest un sous-groupe de G:Hest le plus petit
des sous-groupes de Gcontenant A. On dit que Hest le sous-groupe de Gengendr´e par
A.
☞Lesousgrouped’ungroupeGengendr´eparlapartievideest{1G}. On d´eduit de la
formule(1)quelesous-groupedeGengendr´eparunsingleton{a}⊂G(onditengendr´e
par a) est {an|n∈Z}
☞Lorsque le sous-groupe engendr´e par une partie de Gest Glui-mˆeme on dit que la partie
est g´en´eratrice de G. Un groupe est dit monog`ene s’il peut ˆetre engendr´e par un singleton.
Par exemple (Z,+) est un groupe monog`ene engendr´e par 1 , et pour tout entier naturel
non nul nle groupe multiplicatif Un={z∈C|zn= 1}des racines ni`eme de l’unit´e est
un groupe monog`ene engendr´e par e2iπ
n.
☞Pour tout n∈Zl’ensemble nZ={nk |k∈Z}des multiples de nest le sous-groupe du
groupe additif Zengendr´e par n. Si Hest un sous-groupe non r´eduit `a {0}de (Z,+), la
partie non vide H∗
+des ´el´ements strictement positifs de Hadmet un plus petit ´el´ement n.
Alors nZ⊂Hpuisque Hest un sous-groupe de Zauquel nappartient. Inversement, pour
tout ´el´ement hde H, la division euclidienne de hpar nfournit un quotient q∈Zet un
reste r∈[[ 0 , n −1 ]] tels que h−nq =r∈H. Or un ´el´ement de H+est nul ou sup´erieur
ou ´egal `a n. Comme r∈H+et r < n , on a r= 0 et h=nq . Ainsi H⊂nZ⊂H:Hest
un groupe monog`ene engendr´e par n. On a ainsi montr´e le th´eor`eme suivant `a la base de
l’arithm´etique de Z:
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Partie I : Groupes
Th´eor`eme Sous-groupes de Z
Tout sous-groupe non r´eduit `a {0}du groupe additif Zest monog`ene, engendr´e par son
plus petit ´el´ement strictement positif. L’ensemble des sous-groupes de Zest {nZ|n∈Z}.
Une application f:G7−→ G0o`u Get G0sont des groupes est dite morphisme de groupes lorsque
∀(x , y)∈G2, f (xy) = f(x)f(y) . Si de plus fest bijective on dit que fest un isomorphisme
de Gsur G0. Un endomorphisme du groupe Gest un morphisme de groupes de Gvers G. Un
automorphisme de Gest un isomorphisme de Gsur G.
On v´erifie facilement les r´esultats suivants :
Proposition
➣Le compos´e de deux morphismes (resp. isomorphismes) de groupes est un morphisme
(resp. isomorphisme) de groupes.
➣L’image directe d’un sous-groupe Hde Gpar un morphisme de groupes f:G7−→ G0
est un sous-groupe de G0. En particulier l’image de f, Im f=fhGi={f(x)|x∈G}
est un sous-groupe de G0.
L’image r´eciproque d’un sous-groupe H0de Gpar fest un sous-groupe de G. En
particulier le noyau de f, Ker f=f−1h{1G0}i ={x∈G|f(x) = 1G0}est un
sous-groupe de G0.
➣L’image d’une partie g´en´eratrice de Gpar un morphisme de groupes fde source Gest
une partie g´en´eratrice du groupe Im f. En particulier l’image d’un groupe monog`ene
Gpar un morphisme de groupes est un groupe monog`ene engendr´e par l’image de
tout g´en´erateur de G.
➣Un morphisme de groupes est injectif si et seulement si son noyau est r´eduit au
singleton neutre.
Voici quelques exemples de morphismes ou isomorphismes de groupes :
☞f:G7−→ G0´etant un isomorphisme du groupe Gsur le groupe G0, l’application f−1est
un isomorphisme de G0sur G. On dit alors que les groupes Get G0sont isomorphes.
☞Transport de structure : Si f:G7−→ Eest une bijection d’un groupe (G , ·) sur
un ensemble E, la loi de composition interne ?d´efinie sur Epar
∀(x , y)∈E2, x ? y =ff−1(x)·f−1(y)
fait de Eun groupe et fest un isomorphisme du groupe (G , ·) sur le groupe (E , ? ).
☞Soit Gun groupe et aun ´el´ement de G. La formule (1) montre que l’application
ϕa: (Z,+) 7−→ (G, ·) qui `a tout n∈Zassocie ϕa(n) = anest un morphisme de
groupes.
☞Produit de groupes :´ Etant donn´es deux groupes G1et G2la loi de composition
interne d´efinie sur G1×G2par (x , y)(x0, y0)=(xx0, yy0) fait de G1×G2un groupe
appel´e groupe produit de G1par G2. Les groupes G1×G2et G2×G1sont isomorphes
par l’application (x , y) (y , x) . Les applications pi:G1×G27−→ Gi,i= 1,2 , d´efinies
respectivement par (x , y) xet (x , y) ysont des morphismes surjectifs de groupes
que l’on appelle premi`ere et deuxi`eme projection canonique. Si Gest un groupe, G2est
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Alg` ebre G´ en´ erale
Partie I : Groupes
le groupe produit de Gpar lui-mˆeme. Plus g´en´eralement pour tout entier naturel nnon
nul la loi sur Gnd´efinie par (xi)i∈[[ 1 ,n]](yi)i∈[[ 1 , n ]] = (xiyi)i∈[[ 1 ,n]] fait de Gnun groupe et
les projections canoniques pi: (xi)i∈[[ 1 ,n]] xisont des morphismes surjectifs de groupes.
Gnest canoniquement isomorphe `a Gp×Gn−ppour tout p∈[[ 1 , n −1 ]] (n>2 ).
☞Lorsque Gest un groupe les applications σg:G7−→ Gd´efinies pour chaque g∈Gpar
x σg(x) = g−1xg sont des automorphismes du groupe G. L’application σ:G7−→ S(E)
qui `a tout g∈Gassocie σgest un morphisme du groupe (G , ·) vers le groupe (S(E),◦)
des permutations de E. Le noyau de σest le sous-groupe de Gconstitu´e des ´el´ements de
Gcommutant avec tout autre : c’est le centre de G.
☞Si Eest un ensemble de cardinal n∈N∗et σ: [[ 1 , n ]] 7−→ Eune bijection, l’application
f:S(E)7−→ Snd´efinie par f(x) = σ−1◦x◦σest un isomorphisme du groupe des
permutations de Esur le groupe sym´etrique d’indice n.
☞Si (G , ·) est un groupe, son groupe oppos´e est le groupe G0= (G , ? ) o`u la loi ?est
d´efinie par x ? y =y·x. Ces groupes sont isomorphes par l’application f:x x−1.
I.3 Action d’un groupe sur un ensemble
Une action d’un groupe Gsur un ensemble Eest la donn´ee d’une application ϕ:G×E7−→ E
telle que
∀(g,g0,x)∈G×G×E,ϕg,ϕ(g0,x)=ϕ(gg0,x)etϕ(1G,x)=x(2)
On convient de poser ϕ(g, x) = gx de sorte que (2) s’´ecrit simplement :
g(g0x) = (gg0)xet 1Gx=x .
L’´equation gx =yadmet alors l’unique solution x=g−1ypour tout g∈Get y∈E.
L’application σg:x σg(x) = gx est donc une bijection de Esur E. En outre (2) montre
que ∀(g , g0)∈G2,σgg0=σg◦σg0si bien que l’application σ:G7−→ S(E) qui `a gassocie
σ(g) = σgest un morphisme de groupes. R´eciproquement, la donn´ee d’un morphisme de groupes
σ:G7−→ S(E) d´efinit une action ϕdu groupe Gsur Epar la formule ϕ(g, x) = gx =σ(g)(x) .
On dit que Gop`ere (`a gauche) sur Eau moyen de l’action ϕ. Lorsque le groupe oppos´e G0de G
op`ere `a gauche sur Eau moyen d’une action ϕ0on dit que Gop`ere `a droite sur Eet on convient
de poser ϕ0(g, x) = xg de sorte que (2) s’´ecrit simplement : (xg0)g=x(g0g) et x1G=x .
L’orbite d’un ´el´ement xde E, sous l’action ϕdu groupe Gsur l’ensemble E, est l’ensemble
O(x) = {gx |g∈G}.
☞Un sous-groupe Hd’un groupe Gop`ere `a gauche sur l’ensemble des ´el´ements de Gau
moyen de l’action ϕd´efinie par restriction `a H×Gde la loi de G:
∀(h , g)∈H×G , ϕ(h, g) = hg .
Bien sˆur, Hop`ere `a droite sur Gpar l’action ϕ0d´efinie sur H0×Gpar ϕ0(h, g)=gh .
L’orbite `a gauche et l’orbite `a droite d’un ´el´ement xde Gsont Hx ={hx |h∈H}et
xH ={xh |h∈H}.
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