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Cours de calcul stocastique

–Calcul Stochastique–
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Calcul Stochastique
Yassine EL QALLI
[email protected]
Institut National de Statistique et d’Économie Appliquée
Avril 2022
Filière Actuariat-Finance
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
1
Pré-requis
2
Processus Stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
3
Intégrales Stochastiques
Intégrale de Steiltjes
Intégrale d’Itô
4
Calcul d’Itô
Processus d’Itô
Lemme d’Itô
Théorème de Girsanov
5
Équations différentielles stochastiques
Solution des EDS
EDS linéaires
Connexion avec les EDP et représentation de Feynman-Kac
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Références
Karatzas, I. and Shreve, S.E. Brownian Motion and
Stochastic Calculus. Springer-Verlag, Berlin,1991.
Commentaire : Excellent ouvrage. Contient à peu près tout ce dont
vous pourrez avoir besoin.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Références
Øksendal, B. Stochastic Differential Equations. Springer-Verlag,
Berlin, sixth edition, 1998.
Commentaire : Très bon livre abordant de nombreux problèmes liés
au calcul stochastique.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Références
Revuz, D and Yor, M. Continuous Martingales and Brownian
Motion. Springer Verlag, Berlin,corrected third edition, 2005.
Commentaire : Excellent ouvrage. Un peu difficile en première
lecture
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Références
Comets, F., Meyre, T. Calcul stochastique et modèles de
diffusions-Cours et exercices corrigés, 2e édition, Dunod,2015.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Pré-requis
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Dans cette introduction sont rassemblées quelques définitions relevantes de la
théorie des probabilités. Les propriétés qui en dérivent sont aussi indispensables
pour la compréhension du cours.
L’espace de probabilité sur lequel on travaille est noté Ω. L’espace Ω est un
espace abstrait dont les éléments sont notés ω. Un sous-ensemble de Ω est un
événement.
Définition
Une tribu (σ-algebra en Anglais) sur Ω est une famille de parties de Ω,
contenant l’ensemble vide, stable par passage au complémentaire, union
dénombrable et intersection dénombrable.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Dans cette introduction sont rassemblées quelques définitions relevantes de la
théorie des probabilités. Les propriétés qui en dérivent sont aussi indispensables
pour la compréhension du cours.
L’espace de probabilité sur lequel on travaille est noté Ω. L’espace Ω est un
espace abstrait dont les éléments sont notés ω. Un sous-ensemble de Ω est un
événement.
Définition
Une tribu (σ-algebra en Anglais) sur Ω est une famille de parties de Ω,
contenant l’ensemble vide, stable par passage au complémentaire, union
dénombrable et intersection dénombrable.
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Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Définition (Mesurabilité)
Soit (Ω, F) et (E, E) deux espaces mesurables. Une application f de Ω dans E
est dite (F, E) mesurable si f −1 (A) ∈ F , ∀A ∈ E, où
f −1 (A) = {ω ∈ Ω|f (ω) ∈ A}.
Lorsqu’il n’y a pas d’ambiguı̈té sur les tribus employées, on dit simplement que
f est mesurable.
Une fonction f de R dans R est borélienne si elle est (BR , BR ) mesurable, où
BR est la plus petite tribu contenant tous les intervalles ouverts (ou fermés, ou
ouverts à droite fermés à gauche...)
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Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Définition (Tribu engendrée)
La tribu engendrée par une famille d’ensembles A est la plus petite tribu
contenant cette famille, on la note σ(A). Elle est l’intersection de toutes les
tribus contenant A.
Si F1 et F2 sont deux tribus, on note F1 ∨ F2 la tribu engendrée par F1 ∪ F2 .
C’est la plus petite tribu contenant les deux tribus F1 et F2 .
Définition
La tribu engendrée par une variable aléatoire X définie sur (Ω, F) est
l’ensemble des parties de Ω qui s’écrivent X −1 (A) où A ∈ BR . On note cette
tribu σ(X).
La tribu σ(X) est contenue dans F. C’est la plus petite tribu sur Ω rendant X
mesurable.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Définition (Tribu engendrée)
La tribu engendrée par une famille de variables aléatoires {Xt , t ∈ [0, T ]} est la
plus petite tribu contenant les ensembles {Xt−1 (A)} pour tout t ∈ [0, T ] et
A ∈ BR . On la note σ(Xt , t ≤ T ).
Définition (Probabilités équivalentes)
Deux probabilités P et Q définies sur le même espace (Ω, F) sont dites
équivalentes si elles ont les mêmes ensembles négligeables, c’est à dire si
P(A) = 0 ⇔ Q(A) = 0.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Définition (Tribu engendrée)
La tribu engendrée par une famille de variables aléatoires {Xt , t ∈ [0, T ]} est la
plus petite tribu contenant les ensembles {Xt−1 (A)} pour tout t ∈ [0, T ] et
A ∈ BR . On la note σ(Xt , t ≤ T ).
Définition (Probabilités équivalentes)
Deux probabilités P et Q définies sur le même espace (Ω, F) sont dites
équivalentes si elles ont les mêmes ensembles négligeables, c’est à dire si
P(A) = 0 ⇔ Q(A) = 0.
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Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Propriétés
Si P et Q sont équivalentes, il existe une variable aléatoire Y , strictement
positive, F-mesurable, d’espérance 1 sous P appelée densité
R de
Radon-Nikodym telle que dQ = Y dP ou encore Q(A) = A Y dP .
Réciproquement, si Y est une v.a. strictement positive, F-mesurable,
d’espérance 1 sous P , la relation EQ (Z) = EP (ZY ) définit une probabilité Q
équivalente à P
Exercice
Soit X est une v.a. de loi N (m, σ 2 ) sous P et soit
Y = exp{h(X − m) − 12 h2 σ 2 }. Soit dQ = Y dP . Montrer que sous Q, X est
une v.a. de loi N (m + hσ 2 , σ 2 ).
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Définition (Convergence Presque sûre)
Une suite de variables aléatoires Xn converge p.s. vers X si pour presque tout
ω,
Xn (ω) → X(ω) quand n → ∞.
Définition (Convergence dans L2 )
p
E(X 2 ).
1
On dit que X ∈ L2 (Ω) si ∥X∥2 < ∞ où ∥X∥2 =
2
Soit Xn ∈ L2 (Ω) et X ∈ L2 (Ω). La suite de variables aléatoires (Xn )n
converge en moyenne quadratique (dans L2 (Ω)) vers X si
(∥Xn − X∥2 )2 = E(Xn − X)2 → 0 quand n → ∞.
L2
On note Xn −→X.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Définition (Convergence en probabilité)
Une suite de variables aléatoires Xn converge en probabilité vers X si
P
∀ϵ > 0 P(∥Xn − X∥ ≥ ϵ) → 0 quand n → ∞. On note Xn −→X.
La convergence p.s. =⇒ la convergence en proba.
La convergence en proba =⇒ qu’une sous-suite converge p.s.
La convergence quadratique =⇒ la convergence en proba.
Définition (Convergence en loi)
Une suite de variables aléatoires Xn converge en loi vers X si
E(Φ(Xn )) → E(Φ(X)) quand n → ∞ pour toute fonction Φ continue bornée.
L
On note Xn −→X.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Theorem (Théorème Central limite)
Si (Xi , i ≥ 1) est une suite de v.a. équidistribuées, indépendantes, de variance
finie σ 2 , alors
Σn
L
i=1 Xi − nE(X1 )
√
−→ N (0, 1)
σ n
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Soit X une v.a.r. (intégrable) définie sur (Ω, F, P) et G une sous-tribu de F.
Définition (Espérance conditionnelle)
L’espérance conditionnelle E(X|G) de X par rapport à G est l’unique variable
aléatoire
G-mesurable
R
R
telle que A E(X|G)dP = A XdP, ∀A ∈ G.
C’est aussi l’unique (à une égalité p.s. près) variable G-mesurable telle que
E[E(X|G)Y ] = E(XY ) pour toute variable Y , G-mesurable bornée.
On définit l’espérance conditionnelle d’une variable X (intégrable) par rapport
à Y comme étant l’espérance conditionnelle de X par rapport à la tribu σ(Y ).
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Propriétés
Si X est G-mesurable, E(X|G) = X.
Si Y est G-mesurable, E(XY |G) = Y E(X|G).
Si X est indépendante de G, E(X|G) = E(X).
Si G et H sont deux tribus telles que H ⊂ G alors
E(X|H) = E(E(X|H)|G) = E(E(X|G)|H). On note souvent
E(E(X|H)|G) = E(X|H|G).
Si (X, Y ) sont indépendantes, et ϕ une fonction borélienne bornée,
E(ϕ(X, Y )|Y ) = [E(ϕ(X, y))]y=Y .
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Cette dernière égalité signifie que, pour calculer E(ϕ(X, Y )|Y ) lorsque les
variables X et Y sont indépendantes, on explicite la fonction ψ telle que
ψ(y) = E(ϕ(X, y)), puis on remplace
y par Y pour obtenir la v.a. ψ(Y ).
R
Rb
b
On utilisera aussi la formule E a Xs ds|G = a E (Xs |G) ds dès que l’un des
deux membres existe.
Définition (Variance conditionnelle)
On définit la variance conditionnelle par Var(X|G) = E(X 2 |G) − E(X|G)2 .
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Propriétés (Formule de Bayes)
Soit P une probabilité et Q une probabilité équivalente à P définie par
dQ = LdP . On peut exprimer l’espérance conditionnelle d’une variable X sous
Q en fonction de l’espérance conditionnelle sous P :
EQ (X|G) =
–Calcul Stochastique–
EP (LX|G)
EP (L|G)
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
Processus Stochastiques
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
Définition
On appelle processus stochastique à temps continu et à valeur dans un espace
E muni d’une tribu E, une famille (Xt )t≥0 de variables aléatoires sur un espace
de probabilité (Ω, F, P) à valeurs dans (E, E).
Remarque
Dans la pratique, l’indice t représente le temps.
Un processus peut être vu comme une fonction aléatoire: pour un ω ∈ Ω
fixé, on associe la fonction t 7→ Xt (ω), appelée “trajectoire du processus”.
Un processus peut être vu comme une application de R+ × Ω vers E:
(t, ω) 7→ Xt (ω).
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
Définition
On appelle processus stochastique à temps continu et à valeur dans un espace
E muni d’une tribu E, une famille (Xt )t≥0 de variables aléatoires sur un espace
de probabilité (Ω, F, P) à valeurs dans (E, E).
Remarque
Dans la pratique, l’indice t représente le temps.
Un processus peut être vu comme une fonction aléatoire: pour un ω ∈ Ω
fixé, on associe la fonction t 7→ Xt (ω), appelée “trajectoire du processus”.
Un processus peut être vu comme une application de R+ × Ω vers E:
(t, ω) 7→ Xt (ω).
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
Filtrations et Temps d’arrêt
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
Définition
On appelle filtration une suite croissante de tribus indexées par le temps
(Ft )t≥0 , telles que Ft représente l’information acquise au temps t. Pour un
processus (Xt )t≥0 , la filtration canonique associée à X est donnée par
FtX = σ (Xu ; u ≤ t).
On parle d’hypothèses habituelles si
- les ensembles négligeables sont contenus dans F0 ,
- La filtration est continue à droite au sens où Ft = ∩s>t Fs .
{Gt }t≥0 est dite plus grosse que {Ft }t≥0 si Ft ⊂ Gt , ∀t.
Tout espace de probabilité muni d’une filtration est dit espace filtré. On
note (Ω, F, (Ft )t≥0 , P)
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
Définition
On appelle filtration une suite croissante de tribus indexées par le temps
(Ft )t≥0 , telles que Ft représente l’information acquise au temps t. Pour un
processus (Xt )t≥0 , la filtration canonique associée à X est donnée par
FtX = σ (Xu ; u ≤ t).
On parle d’hypothèses habituelles si
- les ensembles négligeables sont contenus dans F0 ,
- La filtration est continue à droite au sens où Ft = ∩s>t Fs .
{Gt }t≥0 est dite plus grosse que {Ft }t≥0 si Ft ⊂ Gt , ∀t.
Tout espace de probabilité muni d’une filtration est dit espace filtré. On
note (Ω, F, (Ft )t≥0 , P)
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
Définition
On appelle filtration une suite croissante de tribus indexées par le temps
(Ft )t≥0 , telles que Ft représente l’information acquise au temps t. Pour un
processus (Xt )t≥0 , la filtration canonique associée à X est donnée par
FtX = σ (Xu ; u ≤ t).
On parle d’hypothèses habituelles si
- les ensembles négligeables sont contenus dans F0 ,
- La filtration est continue à droite au sens où Ft = ∩s>t Fs .
{Gt }t≥0 est dite plus grosse que {Ft }t≥0 si Ft ⊂ Gt , ∀t.
Tout espace de probabilité muni d’une filtration est dit espace filtré. On
note (Ω, F, (Ft )t≥0 , P)
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
La caractéristique temporelle d’un processus stochastique ⇒ un écoulement du
temps ⇒ passé, présent et futur.
Dans quelle mesure un observateur d’un processus le sait à l’heure actuelle, par
rapport à la façon dont il le savait à un moment donné dans le passé ou saura à
un moment donné dans l’avenir.
Il y a donc une raison très importante pour inclure les σ-algèbres dans l’étude
des processus stochastiques; pour garder une trace de l’information.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
La caractéristique temporelle d’un processus stochastique ⇒ un écoulement du
temps ⇒ passé, présent et futur.
Dans quelle mesure un observateur d’un processus le sait à l’heure actuelle, par
rapport à la façon dont il le savait à un moment donné dans le passé ou saura à
un moment donné dans l’avenir.
Il y a donc une raison très importante pour inclure les σ-algèbres dans l’étude
des processus stochastiques; pour garder une trace de l’information.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
La caractéristique temporelle d’un processus stochastique ⇒ un écoulement du
temps ⇒ passé, présent et futur.
Dans quelle mesure un observateur d’un processus le sait à l’heure actuelle, par
rapport à la façon dont il le savait à un moment donné dans le passé ou saura à
un moment donné dans l’avenir.
Il y a donc une raison très importante pour inclure les σ-algèbres dans l’étude
des processus stochastiques; pour garder une trace de l’information.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
Définition
Soit (Xt )t≥0 un processus défini sur l’espace (Ω, F, (Ft )t≥0 , P) .
Le processus X est dit adapté si, pour tout t ≥ 0, la variable Xt est
Ft -mesurable.
On dit que deux processus X et Y sont indistinguable si Xt = Yt p.s. ∀t
(les trajectoires de X et Y coı̈ncident). On dit que X est une
modification de Y .
loi
Deux processus sont égaux en loi X = Y si pour tout (t1 , t2 , . . . , tn ) et
loi
pour tout n on a (Xt1 , Xt2 , . . . , Xtn ) = (Yt1 , Yt2 , . . . , Ytn ).
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
Définition
On appelle temps d’arrêt par rapport à la filtration (Ft )t≥0 une variable
+
aléatoire τ à valeur dans R = R+ ∪ {+∞} telle que, pour tout t ≥ 0,
l’ensemble {τ ≤ t} ∈ Ft .
Définition
La tribu associé à un temps d’arrêt τ est définie par
Fτ := {A ∈ F ; pour tout t ≥ 0, A ∩ {τ ≤ t} ∈ Ft }
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
Proposition
1
Si τ est un temps d’arrêt, alors τ est Fτ -mesurable.
2
Si τ et ν sont deux temps d’arrêt tels que τ ≤ ν, alors Fτ ⊆ Fν .
3
Si τ et ν sont deux temps d’arrêt, alors τ ∧ ν est un temps d’arrêt. En
particulier si ν = t est un temps déterministe, alors τ ∧ t est aussi temps
d’arrêt.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
Exercice
1
Soit τ un temps d’arrêt. Montrer que Fτ est une tribu.
2
Soit τ un temps d’arrêt et X une v.a. Fτ -mesurable, vérifiant X ≥ τ .
Montrer que X est un temps d’arrêt.
3
Soit τ un temps d’arrêt. Montrer que le processus Xt = 1(0,τ ] (t) est
adapté.
Exercice (Temps d’atteinte)
Soit (Xt )t≥0 un processus adapté continu, à valeurs réelles et a un nombre
réel. Montrer que τa = inf{t ≥ 0, Xt ≥ a} est un temps d’arrêt.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
Figure: Temps d’atteinte du MB avec a = 1.0 et τ1.0 ≈ 5.8
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
Martingales
–Calcul Stochastique–
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Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
Le nom martingale est synonyme de jeu équitable, c’est-à-dire d’un jeu où le
gain que l’on peut espérer faire en tout temps ultérieur est égal à la somme
gagnée au moment présent. Les martingales, ainsi que leurs variantes les
sousmartingales et les surmartingales, jouissent de nombreuses propriétés qui
les rendent très utiles dans l’étude de processus stochastiques plus généraux.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
Définition (Martingales à temps discret)
Soit un processus adapté (Xn , Fn )n∈N tel que Xn est intégrable pour tout n,
i.e., E|Xn | < ∞. On dit que le processus est
(i)
une martingale, si pour tous 0 ≤ m ≤ n,
(ii)
E(Xn |Fm ) = Xm , p.s.
une sur-martingale, si pour tous 0 ≤ m ≤ n,
(iii)
E(Xn |Fm ) ≤ Xm , p.s.
une sous-martingale, si pour tous 0 ≤ m ≤ n,
E(Xn |Fm ) ≥ Xm , p.s.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
Remarque
Il suffit de vérifier la définition précédente pour tous n et m = n − 1. En effet,
si m < n,
E(Xn − Xm |Fm )
=
=
E(Xn − Xn−1 + Xn−1 − Xn−2 + . . . + Xm+1 − Xm |Fm )
n
X
E(Xk − Xk−1 |Fm )
k=m+1
=
n
X
E(E(Xk − Xk−1 |Fk−1 )|Fm )
k=m+1
(resp, ≤ 0, ≥ 0).
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
Exemples
1
Supposons que Xn représente l’évolution aléatoire de la fortune d’un
joueur. Dans ce cas, la propriété de martingale exprime le fait que le jeu
est équitable en moyenne, en ce sens où le joueur ne peut accroı̂tre ou
diminuer son espérance de gain (Xn+1 − Xn ), à l’aide des informations
précédentes E(Xn+1 − Xn |Fn ) = 0.
On remarquera dans ce cas que la fortune moyenne du joueur reste
constante E(Xn ) = E(X0 ) pour tout 0 ≤ n ≤ k
2
Soit Z une variable aléatoire intégrable sur (Ω, F, P, {Fn }n∈N ). Posons
Xn = E(Z|Fn ), n ∈ N. Alors (Xn , Fn )n∈N est une martingale.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
Définition
Soit (Ω, F, {Ft }t≥0 , P) un espace probabilisé filtré. Une martingale par rapport
à la filtration {Ft }t≥0 est un processus stochastique (Mt )t≥0 tel que
1
E(|Mt |) < ∞ pour tout t ≥ 0.
2
M est adapté à la filtration {Ft }t≥0 .
E Mt Fs = Ms pour tout s ≤ t.
3
Si la dernière condition est remplacée par E[Mt Fs ] ≤ Ms , on dit que M est
une surmartingale, et si elle est remplacée par E[Mt Fs ] ≥ Ms , on dit que c’est
une sousmartingale.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
Définition (Définition équivalente)
Une martingale est un processus (Mt )t>0 à valeurs dans R, qui n’a tendance ni
à croı̂tre ni à décroı̂tre, tel que ∀ t ≤ u, E[Mu Ft ] = Mt .
Exemple
Soit X une v.a. à valeurs réelles telle que X ∈ L1 . Posons pour tout t ≥ 0,
Mt = E[X|Ft ]. Alors, le processus (Mt )t≥0 est une martingale.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
Remarque
Si (Xt , t ≤ T ) est une martingale, le processus est complètement déterminé par
sa valeur terminale Xt = E(XT |Ft ). Cette dernière propriété est d’un usage
très fréquent en finance.
Définition
On dit qu’un processus {Zt , t ≥ 0} (à valeurs réelles) est un processus à
accroissements indépendants par rapport la filtration {Ft }t≥0 si Z est adapté
et si, pour tous 0 ≤ s < t, Zt − Zs est indépendant de la tribu Fs .
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
Exemple
Si Z est un processus à accroissements indépendants par rapport la filtration
{Ft }t≥0 , alors si Zt ∈ L1 pour tout t ≥ 0, Xt = Zt − E(Zt ) est une martingale;
Proposition
Soit {Xt , t ≥ 0} une martingale (respectivement une sous-martingale) et soit
f : R → R+ une fonction convexe (resp. une fonction convexe croissante).
Supposons aussi que E[f (Xt )] < ∞ pour tout t ≥ 0. Alors, {f (Xt), t ≥ 0} est
une sous-martingale.
En particulier, Si {Xt , t ≥ 0} est une martingale alors {|Xt |, t ≥ 0} est une
sous-martingale,
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
Exercice
1
Montrer que si M est une martingale et A est un processus croissant
adapté (As ≤ At , ∀s ≤ t) alors M − A est une surmartingale
2
On suppose que Z est un Processus à Accroissements Indépendants (PAI)
par rapport à Ft .
Si Z ∈ L1 , alors Z̃t = Zt − E(Zt ) , t ≥ 0, est une martingale.
Si Z ∈ L2 , alors Xt = Z̃t − E(Z̃t ) , t ≥ 0, est une martingale.
si pour θ ∈ R, E[eθZt ] < ∞ pour tout t ≥ 0, alors
eθZt
Xt = E[e
θZt ] est une martingale
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
Theorem (Théorème d’arrêt de Doob)
Si M est une Ft -martingale continue et si S et T sont deux temps d’arrêt tels
que S ≤ T ≤ K, où K est une constante finie, alors MT est intégrable et
E(MT |FS ) = MS .
Ce résultat s’étend à tous les temps d’arrêt si la martingale est uniformément
intégrable (supt E | Xt | 1(|Xt |>α) → 0 quand α → ∞).
Corollaire
Si T est un temps d’arrêt et M une Ft -martingale, le processus Z défini par
Zt = Mt∧T est une Ft -martingale. En particulier, E(Mt∧T ) = E(M0 ).
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
Mouvement Brownien
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
En 1828, Robert Brown a observé que de petites particules de pollen en
suspension dans l’eau sont perpétuellement en mouvement irréguliers.
Historiquement, le mouvement Brownien se voulait une tentative pour modéliser
ce phénomène.
Delsaux (1877) explique les changements incessants de direction de trajectoire
par les chocs entre les particules de pollen et les molécules d’eau.
Bachelier (1900) met en évidence le caractère ”Markovien” du mouvement
Brownien, en vue d’étudier les cours de la Bourse.
Einstein (1905) détermine la densité de transition du mouvement Brownien par
l’intermédiaire de l’équation de la chaleur et relie ainsi le mouvement Brownien
et les équations aux dérivées partielles de type parabolique.
Smoluchowski (1905) décrit le mouvement Brownien comme une limite de
promenades aléatoires.
Norbert Wiener (1923) réalise la première étude mathématique rigoureuse et
donne une démonstration de l’existence du Brownien. Et c’est pourquoi ce
processus est aussi connu sous le nom de processus de Wiener.
Samuelson “corrige” Bachelier en 1965 en prenant l’exponentielle du mouvement
brownien comme modèle standard pour caractériser le rendement des cours; et
la formule de Black-Scholes en 1973 révolutionne le domaine de la finance.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
En 1828, Robert Brown a observé que de petites particules de pollen en
suspension dans l’eau sont perpétuellement en mouvement irréguliers.
Historiquement, le mouvement Brownien se voulait une tentative pour modéliser
ce phénomène.
Delsaux (1877) explique les changements incessants de direction de trajectoire
par les chocs entre les particules de pollen et les molécules d’eau.
Bachelier (1900) met en évidence le caractère ”Markovien” du mouvement
Brownien, en vue d’étudier les cours de la Bourse.
Einstein (1905) détermine la densité de transition du mouvement Brownien par
l’intermédiaire de l’équation de la chaleur et relie ainsi le mouvement Brownien
et les équations aux dérivées partielles de type parabolique.
Smoluchowski (1905) décrit le mouvement Brownien comme une limite de
promenades aléatoires.
Norbert Wiener (1923) réalise la première étude mathématique rigoureuse et
donne une démonstration de l’existence du Brownien. Et c’est pourquoi ce
processus est aussi connu sous le nom de processus de Wiener.
Samuelson “corrige” Bachelier en 1965 en prenant l’exponentielle du mouvement
brownien comme modèle standard pour caractériser le rendement des cours; et
la formule de Black-Scholes en 1973 révolutionne le domaine de la finance.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
En 1828, Robert Brown a observé que de petites particules de pollen en
suspension dans l’eau sont perpétuellement en mouvement irréguliers.
Historiquement, le mouvement Brownien se voulait une tentative pour modéliser
ce phénomène.
Delsaux (1877) explique les changements incessants de direction de trajectoire
par les chocs entre les particules de pollen et les molécules d’eau.
Bachelier (1900) met en évidence le caractère ”Markovien” du mouvement
Brownien, en vue d’étudier les cours de la Bourse.
Einstein (1905) détermine la densité de transition du mouvement Brownien par
l’intermédiaire de l’équation de la chaleur et relie ainsi le mouvement Brownien
et les équations aux dérivées partielles de type parabolique.
Smoluchowski (1905) décrit le mouvement Brownien comme une limite de
promenades aléatoires.
Norbert Wiener (1923) réalise la première étude mathématique rigoureuse et
donne une démonstration de l’existence du Brownien. Et c’est pourquoi ce
processus est aussi connu sous le nom de processus de Wiener.
Samuelson “corrige” Bachelier en 1965 en prenant l’exponentielle du mouvement
brownien comme modèle standard pour caractériser le rendement des cours; et
la formule de Black-Scholes en 1973 révolutionne le domaine de la finance.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
En 1828, Robert Brown a observé que de petites particules de pollen en
suspension dans l’eau sont perpétuellement en mouvement irréguliers.
Historiquement, le mouvement Brownien se voulait une tentative pour modéliser
ce phénomène.
Delsaux (1877) explique les changements incessants de direction de trajectoire
par les chocs entre les particules de pollen et les molécules d’eau.
Bachelier (1900) met en évidence le caractère ”Markovien” du mouvement
Brownien, en vue d’étudier les cours de la Bourse.
Einstein (1905) détermine la densité de transition du mouvement Brownien par
l’intermédiaire de l’équation de la chaleur et relie ainsi le mouvement Brownien
et les équations aux dérivées partielles de type parabolique.
Smoluchowski (1905) décrit le mouvement Brownien comme une limite de
promenades aléatoires.
Norbert Wiener (1923) réalise la première étude mathématique rigoureuse et
donne une démonstration de l’existence du Brownien. Et c’est pourquoi ce
processus est aussi connu sous le nom de processus de Wiener.
Samuelson “corrige” Bachelier en 1965 en prenant l’exponentielle du mouvement
brownien comme modèle standard pour caractériser le rendement des cours; et
la formule de Black-Scholes en 1973 révolutionne le domaine de la finance.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
En 1828, Robert Brown a observé que de petites particules de pollen en
suspension dans l’eau sont perpétuellement en mouvement irréguliers.
Historiquement, le mouvement Brownien se voulait une tentative pour modéliser
ce phénomène.
Delsaux (1877) explique les changements incessants de direction de trajectoire
par les chocs entre les particules de pollen et les molécules d’eau.
Bachelier (1900) met en évidence le caractère ”Markovien” du mouvement
Brownien, en vue d’étudier les cours de la Bourse.
Einstein (1905) détermine la densité de transition du mouvement Brownien par
l’intermédiaire de l’équation de la chaleur et relie ainsi le mouvement Brownien
et les équations aux dérivées partielles de type parabolique.
Smoluchowski (1905) décrit le mouvement Brownien comme une limite de
promenades aléatoires.
Norbert Wiener (1923) réalise la première étude mathématique rigoureuse et
donne une démonstration de l’existence du Brownien. Et c’est pourquoi ce
processus est aussi connu sous le nom de processus de Wiener.
Samuelson “corrige” Bachelier en 1965 en prenant l’exponentielle du mouvement
brownien comme modèle standard pour caractériser le rendement des cours; et
la formule de Black-Scholes en 1973 révolutionne le domaine de la finance.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
En 1828, Robert Brown a observé que de petites particules de pollen en
suspension dans l’eau sont perpétuellement en mouvement irréguliers.
Historiquement, le mouvement Brownien se voulait une tentative pour modéliser
ce phénomène.
Delsaux (1877) explique les changements incessants de direction de trajectoire
par les chocs entre les particules de pollen et les molécules d’eau.
Bachelier (1900) met en évidence le caractère ”Markovien” du mouvement
Brownien, en vue d’étudier les cours de la Bourse.
Einstein (1905) détermine la densité de transition du mouvement Brownien par
l’intermédiaire de l’équation de la chaleur et relie ainsi le mouvement Brownien
et les équations aux dérivées partielles de type parabolique.
Smoluchowski (1905) décrit le mouvement Brownien comme une limite de
promenades aléatoires.
Norbert Wiener (1923) réalise la première étude mathématique rigoureuse et
donne une démonstration de l’existence du Brownien. Et c’est pourquoi ce
processus est aussi connu sous le nom de processus de Wiener.
Samuelson “corrige” Bachelier en 1965 en prenant l’exponentielle du mouvement
brownien comme modèle standard pour caractériser le rendement des cours; et
la formule de Black-Scholes en 1973 révolutionne le domaine de la finance.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
En 1828, Robert Brown a observé que de petites particules de pollen en
suspension dans l’eau sont perpétuellement en mouvement irréguliers.
Historiquement, le mouvement Brownien se voulait une tentative pour modéliser
ce phénomène.
Delsaux (1877) explique les changements incessants de direction de trajectoire
par les chocs entre les particules de pollen et les molécules d’eau.
Bachelier (1900) met en évidence le caractère ”Markovien” du mouvement
Brownien, en vue d’étudier les cours de la Bourse.
Einstein (1905) détermine la densité de transition du mouvement Brownien par
l’intermédiaire de l’équation de la chaleur et relie ainsi le mouvement Brownien
et les équations aux dérivées partielles de type parabolique.
Smoluchowski (1905) décrit le mouvement Brownien comme une limite de
promenades aléatoires.
Norbert Wiener (1923) réalise la première étude mathématique rigoureuse et
donne une démonstration de l’existence du Brownien. Et c’est pourquoi ce
processus est aussi connu sous le nom de processus de Wiener.
Samuelson “corrige” Bachelier en 1965 en prenant l’exponentielle du mouvement
brownien comme modèle standard pour caractériser le rendement des cours; et
la formule de Black-Scholes en 1973 révolutionne le domaine de la finance.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
On se donne un espace (Ω, F, P ) et un processus (Bt )t≥0 sur cet espace.
Définition
Le processus (Bt )t≥0 est un mouvement Brownien (standard) si :
1
B0 = 0 (le mouvement Brownien est issu de l’origine).
2
Les trajectoires t 7→ Bt sont presque sûrement continues.
3
∀s, t ≥ 0 tels que s < t,la variable réelle Bt − Bs est de loi Gaussienne
centrée de variance (t − s), c.à.d. Bt − Bs ∼ N (0, (t − s)).
4
Le processus (Bt )t≥0 est à accroissements indépendants :
∀s < t, Bt − Bs est indépendant de FsB = σ(Bu ; u ≤ s).
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
Propriétés
Soit B un mouvement Brownien.
1
∀s < t, Bt − Bs ∼ N (0, t − s) et Cov(Bt , Bs ) = t ∧ s.
2
∀s > 0, le processus {Bt−s − Bs : t ≥ 0} est un mouvement Brownien
indépendant de FtB .
3
Le processus {−Bt : t ≥ 0} est un mouvement Brownien.
4
∀c > 0, le processus {cBt/c2 : t ≥ 0} est un mouvement Brownien.
5
Le processus {Xt := tB1/t : t ≥ 0} avec X0 = 0 est un mouvement
Brownien.
6
La trajectoire du mouvement Brownien n’est différentiable en aucun
point.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
Propriétés
Soit B un mouvement Brownien.
1
∀s < t, Bt − Bs ∼ N (0, t − s) et Cov(Bt , Bs ) = t ∧ s.
2
∀s > 0, le processus {Bt−s − Bs : t ≥ 0} est un mouvement Brownien
indépendant de FtB .
3
Le processus {−Bt : t ≥ 0} est un mouvement Brownien.
4
∀c > 0, le processus {cBt/c2 : t ≥ 0} est un mouvement Brownien.
5
Le processus {Xt := tB1/t : t ≥ 0} avec X0 = 0 est un mouvement
Brownien.
6
La trajectoire du mouvement Brownien n’est différentiable en aucun
point.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
Propriétés
Soit B un mouvement Brownien.
1
∀s < t, Bt − Bs ∼ N (0, t − s) et Cov(Bt , Bs ) = t ∧ s.
2
∀s > 0, le processus {Bt−s − Bs : t ≥ 0} est un mouvement Brownien
indépendant de FtB .
3
Le processus {−Bt : t ≥ 0} est un mouvement Brownien.
4
∀c > 0, le processus {cBt/c2 : t ≥ 0} est un mouvement Brownien.
5
Le processus {Xt := tB1/t : t ≥ 0} avec X0 = 0 est un mouvement
Brownien.
6
La trajectoire du mouvement Brownien n’est différentiable en aucun
point.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
Propriétés
Soit B un mouvement Brownien.
1
∀s < t, Bt − Bs ∼ N (0, t − s) et Cov(Bt , Bs ) = t ∧ s.
2
∀s > 0, le processus {Bt−s − Bs : t ≥ 0} est un mouvement Brownien
indépendant de FtB .
3
Le processus {−Bt : t ≥ 0} est un mouvement Brownien.
4
∀c > 0, le processus {cBt/c2 : t ≥ 0} est un mouvement Brownien.
5
Le processus {Xt := tB1/t : t ≥ 0} avec X0 = 0 est un mouvement
Brownien.
6
La trajectoire du mouvement Brownien n’est différentiable en aucun
point.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
Propriétés
Soit B un mouvement Brownien.
1
∀s < t, Bt − Bs ∼ N (0, t − s) et Cov(Bt , Bs ) = t ∧ s.
2
∀s > 0, le processus {Bt−s − Bs : t ≥ 0} est un mouvement Brownien
indépendant de FtB .
3
Le processus {−Bt : t ≥ 0} est un mouvement Brownien.
4
∀c > 0, le processus {cBt/c2 : t ≥ 0} est un mouvement Brownien.
5
Le processus {Xt := tB1/t : t ≥ 0} avec X0 = 0 est un mouvement
Brownien.
6
La trajectoire du mouvement Brownien n’est différentiable en aucun
point.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
Propriétés
Soit B un mouvement Brownien.
1
∀s < t, Bt − Bs ∼ N (0, t − s) et Cov(Bt , Bs ) = t ∧ s.
2
∀s > 0, le processus {Bt−s − Bs : t ≥ 0} est un mouvement Brownien
indépendant de FtB .
3
Le processus {−Bt : t ≥ 0} est un mouvement Brownien.
4
∀c > 0, le processus {cBt/c2 : t ≥ 0} est un mouvement Brownien.
5
Le processus {Xt := tB1/t : t ≥ 0} avec X0 = 0 est un mouvement
Brownien.
6
La trajectoire du mouvement Brownien n’est différentiable en aucun
point.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
Proposition
Si B est un mouvement Brownien alors le processus B est une martingale
et le processus (Bt2 − t, t ≥ 0) est aussi une martingale. Réciproquement,
si X est un processus continu tel que X et (Xt2 − t, t ≥ 0) sont des
martingales, alors X est un mouvement Brownien.
Soit B 1 et B 2 deux MB indépendants, alors le produit B 1 B 2 est une
martingale.
Si les trajectoires d’un processus B sont des fonctions réelles continues,
gaussienne centrée de covariance E(Bt Bs ) = t ∧ s alors B est un
mouvement brownien.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
Proposition
Si B est un mouvement Brownien alors le processus B est une martingale
et le processus (Bt2 − t, t ≥ 0) est aussi une martingale. Réciproquement,
si X est un processus continu tel que X et (Xt2 − t, t ≥ 0) sont des
martingales, alors X est un mouvement Brownien.
Soit B 1 et B 2 deux MB indépendants, alors le produit B 1 B 2 est une
martingale.
Si les trajectoires d’un processus B sont des fonctions réelles continues,
gaussienne centrée de covariance E(Bt Bs ) = t ∧ s alors B est un
mouvement brownien.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
Figure: Trajectoires de Bt2 − t, Bt2 et t
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
Proposition
Soit B un mouvement Brownien, alors pour tout réel λ , le processus
1
exp(λBt − λ2 t), t ≥ 0
2
est une martingale.
Réciproquement, si X est un processus continu tel que
{exp(λXt − 21 λ2 t), t ≥ 0} est une martingale, pour tout λ réel, alors le
processus X est un mouvement brownien.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
Figure: Trajectoire de exp(λBt − 12 λ2 t) avec λ = 0.2
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
Proposition (Temps d’atteinte)
Soit (Bt , t ≥ 0) un mouvement Brownien et a un nombre réel. Soit
τa = inf{t ≥ 0, Bt = a}. Alors τa est un temps d’arrêt fini p.s.
De plus pour tout λ ≥ 0 on a
E(exp(−λτa )) = exp(−|a|2λ).
Par exemple le temps de défaut d’une compagnie et le temps d’exercice d’une
option américaine sont des temps d’arrêt.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
Figure: Temps d’atteinte du MB avec a = 1.0 et τ1.0 ≈ 5.8
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
Pour simuler la valeur de Bt on exploite les propriétés des incréments et on
décompose Bt comme suit : Pour un pas ∆t on écrit
Bt = B∆t + (B2∆t − B∆t ) + (B3∆t − B2∆t ) + . . . + (Bt − Bt−∆t )
(Algorithme pour simuler les trajectoires du MB)
choisir ∆t
T
t0 = 0 ; n = ent ∆t
pour j = 1 à n
tj = tj−1 + ∆t
générer Zj ∼ N (0, 1)√
Btj = Btj−1 + Zj × ∆t
J ++
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
Sous Matlab On peut générer les trajectoires du Mouvement Brownien via le
code suivant
1
2
3
4
5
6
T =1; % temps
final
N =2550; % nombre de pas de temps
dt=T/N; %le pas de temps
W= zeros (N+1 ,1);% ici
sera
stockée
la trajectoire
W (1) =0; % valeur
initiale
rng(1);%initializes the Mersenne Twister generator using ...
a seed of 1.
7
8
9
10
11
12
for jj =2: N+1
W(jj)=W(jj -1) +
end
close all;
plot (W);
–Calcul Stochastique–
randn (1 ,1)* sqrt (dt);
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Filtrations et Temps d’arrêt
Martingales
Mouvement Brownien
Figure: Une trajectoire du mouvement Brownien
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Intégrale de Steiltjes
Intégrale d’Itô
Intégrales Stochastiques
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Intégrale de Steiltjes
Intégrale d’Itô
Définition
Soit T > 0. Un processus stochastique A : Ω × [0, T ] → R tel que A0 = 0 est
dit à variation finie si P-p.s. pour tout t ∈ [0, T ],
)
( n
X
Ati − Ati−1
< +∞
|A|t := sup
i=1
le sup porte sur toutes les subdivisions 0 = t0 < t1 < ... < tn = t de [0, t]. |A|t
est appelé variation de A sur [0, t] et le processus (|A|t )t est appelé la variation
totale de A. |A| est positif croissant. Si lim |A|t < ∞, alors A est dit à
t→T
variation finie.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Intégrale de Steiltjes
Intégrale d’Itô
Théorème
Il existe une correspondance bijective entre les mesures aléatoires de Radon µ
sur [0, ∞[ et les processus continus à droite et à variation finie. Cette bijection
est définie par
At = µ ([0, t]) .
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Intégrale de Steiltjes
Intégrale d’Itô
Intégrale de Steiltjes
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Intégrale de Steiltjes
Intégrale d’Itô
Soit f et gR deux fonctions réelles continues sur [0, +∞[. Nous voulons donner
t
un sens à 0 f (s)dg(s) comme limite de somme de Riemann: i.e., pour quelle
classe de fonctions f et g peut on avoir
Z t
X
f (s)dg(s) = lim
f (tj ) (g(tj+1 ) − g(tj ))
0
n→∞
πn
où πn := {0 = t0 < t1 < ... < tn = t} une subdivision quelconque de taille
n + 1 de [0, t].
Remarque
L’intégrale de Riemann correspond à g(t) = t.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Intégrale de Steiltjes
Intégrale d’Itô
Nous allons maintenant caractériser les fonctions P
g pour lesquelles nous avons :
pour toute fonction f continue bornée, Sn (f ) = πn f (tj )(g(tj+1 ) − g(tj ))
converge.
Théorème
Soit f une fonction continue et g une fonction à variation bornée. L’intégrale
de Stieltjes de f par rapport à g est donnée par la limite suivante:
X
lim
f (tj ) (g(tj+1 ) − g(tj ))
n→∞
qui existe et elle est notée
–Calcul Stochastique–
Rt
0
πn
f (s)dg(s).
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Intégrale de Steiltjes
Intégrale d’Itô
Nous donnons ci-dessous quelques formules connues dans le cas déterministe et
qui s’étendent aisément aux processus à variation finie.
Proposition (Formule d’intégration par partie)
Soient (Ht )t≥0 et (Gt )t≥0 deux processus continus et à variations finie, alors
pour tout t,
Z t
Z t
Ht Gt = H0 G0 +
Hs dGs +
Gs dHs .
0
–Calcul Stochastique–
0
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Intégrale de Steiltjes
Intégrale d’Itô
Proposition (Formule de changement de variable)
Soient (At )t≥0 un processus continu et à variation finie et F une fonction de
classe C 1 . Alors, le processus (F (At ))t≥0 est à variation finie et
Z
F (At ) = F (A0 ) +
t
F ′ (As )dAs .
0
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Intégrale de Steiltjes
Intégrale d’Itô
Intégrale d’Itô
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Intégrale de Steiltjes
Intégrale d’Itô
L’intégrale stochastique en pratique
On se place sur un intervalle de temps [0, T ] et on se donne une subdivision
0 = t1 < . . . ≤ tn = T de cet intervalle. On considère que le cours d’un actif
financier à t ∈ {t1 , . . . , tn } est donné par Bt (modèle de Bachelier). On
considère un trader qui met en place la stratégie suivante
Il achète f (ti ) actifs à ti au prix Bti .
Il les revend à ti+1 au prix Bti+1 .
Il réalise ainsi sur la période [ti , ti+1 ] le bénéfice f (ti )(Bti+1 − Bti ).
Sur [0, T ] le bénéfice est donc donné par
n−1
X
f (ti )(Bti+1 − Bti )
i=0
RT
Si le trading s’opère en temps continu, le bénéfice devient 0 f (s)dBs . Ceci se
généralise au cas où le cours de l’actif est donné par un processus d’Itô
(St )t∈[0,T ] et au cas où la fonction f est un processus stochastique.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Intégrale de Steiltjes
Intégrale d’Itô
Le problème est que les trajectoires du MB ne sont pas différentiable, et ne
sont pas à variations bornées. En effet, si f est à variations bornées, toutes les
quantités
n
X
|f (xi ) − f (xi−1 )| ,
x0 < x1 < ... < xn et n ∈ N∗
i=1
sont bornées par la même quantité M .
Pour fixer les idées, travaillons sur [0, 1] et notons V la variation totale du
mouvement Brownien B sur ce segment. Par définition, pour n ∈ N∗ arbitraire,
V ≥
n
X
n
1 X
V ≥ √
|ξi | ;
n i=1
–Calcul Stochastique–
B i − B i−1
n
i=1
n
ξi sont des v.a indépendantes ∼ N (0, 1).
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Intégrale de Steiltjes
Intégrale d’Itô
Comme les |ξi | ont une espérance E strictement positive,
la loi des grands
P
nombres affirme que, pour n suffisamment grand, n
|ξi | est plus grand que
i=1
√
nE/2. On en tire que V est plus grand que E n/2 donc, en faisant tendre n
vers l’infini, V est infini presque-sûrement.
Donc il est impossible de définir l’intégrale stochastique trajectoire par
trajectoire pour tout processus continu. Si H est un processus stochastique
continu,
à ω fixé, on ne peut pas donner un sens à l’expression
Rt
H
(ω)dB
s
s (ω).
0
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Intégrale de Steiltjes
Intégrale d’Itô
Construction de l’intégrale
stochastique de Itô
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Intégrale de Steiltjes
Intégrale d’Itô
On se donne un espace (Ω, F, P) et un mouvement Brownien B sur cet espace.
On désigne par Ft = σ(Bs , s ≤ t) la filtration naturelle du mouvement
Brownien. La construction est due à Itô (1942-1944) dans le cas du MB et a
été généralisée au cas d’une martingale de carré intégrable par Kunita et
Watanabe (1967).
Tout d’abord, décrivons la classe des processus pour laquelle l’intégrale
stochastique sera définie . On note par P(T ) la classe des processus continus
h : [0, T ] × Ω
−→
R
(s, ω)
7−→
h(s, ω)
tels que
1
2
(s, ω) 7→ h(s, ω) est B × Fs -mesurable.
RT
h est Fs -adapté et E 0 |h(s)|2 ds < ∞.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Intégrale de Steiltjes
Intégrale d’Itô
Nous allons construire l’intégrale de Itô d’un élément de P(T ) par rapport à un
mouvement Brownien.
Cas des processus élémentaires:
On dit qu’un processus H est étagé (ou élémentaire) s’il existe une suite de
réels tj : 0 = t0 < t1 < ... < tn = T et une suite de variables aléatoires hj
telles que hj soit Ftj -mesurable, appartienne à L2 (Ω) et que Hs = hj pour
tout s ∈]tj ; tj+1 ], soit
n−1
X
Hs =
hj 1]tj ,tj+1 ] (s).
j=0
On définit alors
T
Z
Hs dBs :=
0
–Calcul Stochastique–
n−1
X
hj Btj+1 − Btj
j=0
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Intégrale de Steiltjes
Intégrale d’Itô
et pour tout t ∈ [0, T ],
t
Z
Hs dBs :=
0
n−1
X
hj Bt∧tj+1 − Bt∧tj .
(1)
j=0
R
T
La variable aléatoire 0 Hs dBs (ω) est donnée par
Pn−1
j=0 hj (ω) Btj+1 (ω) − Btj (ω)
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Intégrale de Steiltjes
Intégrale d’Itô
Lemme
Soient H et G deux processus élémentaires bornés de P(T ). Alors,
1
Z
2
T
t
Z
0
Gs dBs .
0
Hs dBs pour toute constante c ∈ R.
0
Z
T
Z
Hs dBs
E
0
–Calcul Stochastique–
t
t
Z
(cHs )dBs = c
0
4
Z
Hs dBs +
0
t
Z
3
(2)
0
t
Z
(Hs + Gs )dBs =
Hs2 ds.
=E
0
2
T
Z
Hs dBs
E
T
Gs dBs
0
T
Z
Hs Gs ds.
=E
0
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Intégrale de Steiltjes
Intégrale d’Itô
Lemme (suite)
1
Le processus
(Mt )t =
2
R
t
0
Hs dBs
t
est une Ft -martingale à trajectoires continues.
h
i2 R
Rt
t
2
−
H
ds
est une
Le processus (Nt )t =
H
dB
s
s
s
0
0
t
Ft -martingale.
3
Si H est déterministe alors
–Calcul Stochastique–
Rt
0
Hs dBs ∼ N (0,
Rt
0
Hs2 ds)
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Intégrale de Steiltjes
Intégrale d’Itô
Cas général:
L’idée d’Itô pour définir l’intégrale stochastique d’un élément H de P(T ) est de
trouver une suite de processus élémentaires H n approchant H dans L2 , c.à.d.,
Z T
lim E
(Hs − Hsn )2 ds = 0.
n→∞
0
L’isométrie (2) nous permet alors d’affirmer que la limite suivante existe dans
L2 :
Z T
Z T
L2
Hs dBs .
Hsn dBs −→
0
n→∞
0
C’est par définition l’intégrale d’Itô de H par rapport au Mouvement Brownien
B.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Intégrale de Steiltjes
Intégrale d’Itô
Remarque
La formule d’isometrie est aussi vraie pour les éléments de P(T ): i.e.,
2
T
Z
∀ H ∈ P(T ),
Hs dBs
E
0
Z
=E
T
Hs2 ds.
(3)
0
Ainsi, toutes les propriétés du Lemme précédent restent encore vraies.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Intégrale de Steiltjes
Intégrale d’Itô
Remarque
Additivité: Pour 0 ≤ s < u < t ≤ T ,
Z t
Z u
Z
Hv dBv =
Hv dBv +
s
s
–Calcul Stochastique–
Hv dBv
u
Pour un temps d’arrêt τ ≤ T ,
Z τ
Z
Hs dBs =
0
t
T
Hs 1{s≤τ } dBs .
0
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Intégrale de Steiltjes
Intégrale d’Itô
Exemple (Brownien géométrique )
Soit B un mouvement Bownien, b et σ deux constantes. Le processus
Xt = X0 exp{(b − 21 σ 2 )t + σBt } est appelé Brownien géométrique.
Ce processus est aussi appelé processus “log-normal”. En effet, si X0 est
déterministe le processus log
ln(Xt ) = ln(X0 ) + (b −
1 2
σ )t + σBt
2
suit une loi normale.
Proposition
Le processus Xt e−bt est une martingale.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Intégrale de Steiltjes
Intégrale d’Itô
Ce processus est très souvent utilisé pour modéliser le prix d’un actif financier.
Le rendement de l’actif entre deux dates est mesuré par la différence des
logarithmes des cours et est donné par la variable gaussienne
1
ln(Xt ) − ln(Xs ) = b − σ 2 (t − s) + σ(Bt − Bs )
2
il est facile de calculer les moments d’un Brownien géométrique
E(Xt ) = X0 ebt
E(Xt2 ) = X02 e(2b+σ
2
)t
V ar(Xt ) = X02 e2bt (eσ
–Calcul Stochastique–
2
t
− 1)
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Intégrale de Steiltjes
Intégrale d’Itô
Exemple (Vasicěk)
Le modèle de Vasicěk est utilisé pour étudier l’évolution du taux d’intérêt
instantané (short rate). Sa forme explicite est donnée par
Z t
rt = r0 e−at + b(1 − e−at ) + σe−at
eas dBs
0
La forme initiale du modèle de Vasicěk est la forme différentielle suivante
drt = a(b − rt )dt + σdBt
Si r0 est déterministe alors rt est une variable gaussienne de moyenne
2
−2at
)
r0 e−at + b(1 − e−at ) et de variance V ar(rt ) = σ (1−e
2a
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Intégrale de Steiltjes
Intégrale d’Itô
Remarque
Puisque rt est gaussien alors il n’est pas une variable positive.
Pour remédier à ce défaut majeur du modèle de vasicěk Cox-Ingersoll-Ross
proposent le modèle racine carré (square root process)
√
drt = a(b − rt )dt + σ rt dBt
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Processus d’Itô
Lemme d’Itô
Théorème de Girsanov
Calcul d’Itô
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Processus d’Itô
Lemme d’Itô
Théorème de Girsanov
Nous allons maintenant introduire un calcul différentiel sur ces intégrales
stochastiques. On appelle ce calcul “calcul d’Itô” et l’outil essentiel en est la
“formule d’Itô”.
Commençons d’abord pas préciser la définition de la classe de processus pour
laquelle on peut énoncer la formule d’Itô.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Processus d’Itô
Lemme d’Itô
Théorème de Girsanov
Processus d’Itô
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Processus d’Itô
Lemme d’Itô
Théorème de Girsanov
Définition (Processus d’Itô)
On appelle processus d’Itô un processus (Xt )t∈[0,T ] à valeurs dans R tel que
Z t
Z t
P − p.s. ∀ t ≤ T,
Xt = ξ +
Ks ds +
Hs dBs ,
0
0
avec:
ξ est F0 mesurable.
K et H sont deux processus Ft -adaptés.
RT
RT
|Ks |ds < +∞ P-p.s. et E( 0 |Hs |2 ds) < +∞.
0
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Processus d’Itô
Lemme d’Itô
Théorème de Girsanov
On utilise souvent la forme différentielle suivante
dXt = Kt dt + Ht dBt
X0
= ξ
(4)
Le coefficient K est le drift ou la dérive, H est le coefficient de diffusion.
L’écriture dXt = Kt dt + Ht dBt est unique (sous réserve que les processus K
et H vérifient les conditions d’intégrabilité). Ceci signifie que si
dXt = Kt dt + Ht dBt = K̃t dt + H̃t dBt
alors K = K̃ et
R t H = H̃.
La partie ξ + 0 Ks ds est la partie à variation finie.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Processus d’Itô
Lemme d’Itô
Théorème de Girsanov
Remarque
On
R t peut définir un processus d’Itô pour des coefficients de diffusion tels que
Hs ds < ∞ P-p.s. mais on perd la propriété de martingale de l’intégrale
0
stochastique.
Rt
Si H est un élément de P(T ) on a E(Xt ) = E(X0 ) + 0 E(Ks )ds et pour tout
t≥s
Z t
Z s
Z s
E(Xt |Fs ) = X0 +
Ks ds + E
Ku du|Fs +
Hu dBu
0
s
0
Z t
= Xs + E
Ku du|Fs
s
Si K ≡ 0 et H ∈ P(T ), X est une martingale continue.
Réciproquement:
sous certaines conditions, toute martingale continue s’écrit
Rt
ξ + 0 ϕs dBs
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Processus d’Itô
Lemme d’Itô
Théorème de Girsanov
Proposition
Soit Z une martingale continue de carré intégrable. Alors il existe un processus
croissant continu A tel que (Zt2 − At , t ≥ 0) est une martingale.
Le processus A est appelé le “crochet oblique”, ou le crochet de Z. On le note
très souvent At = ⟨Z, Z⟩t ou encore ⟨Z⟩t .
Le crochet du Brownien est t et
Rt
Rt
le crochet de l’intégrale stochastique Mt = 0 Hs dBs est ⟨M ⟩t = 0 Hs2 ds
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Processus d’Itô
Lemme d’Itô
Théorème de Girsanov
Proposition
Le crochet de deux martingales continues M et N est égal à la variation
quadratique de ces deux processus
⟨M, N ⟩t = lim
|∆|→0
n
X
(Mti+1 − Mti )(Nti+1 − Nti )
i=1
pour toute subdivision 0 = t1 < . . . < tn = T dont le pas |∆| tend vers 0.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Processus d’Itô
Lemme d’Itô
Théorème de Girsanov
On considère deux processus de Itô
dXti = Kti dt + Hti dBt ,
i = 1, 2.
Le crochet de X 1 et X 2 est par définition le crochet de leur partie martingale.
Z ·
Z ·
Z t
Hs2 dBs =
Hs1 Hs2 ds.
⟨X 1 , X 2 ⟩t =
Hs1 dBs ,
0
0
t
0
Définition
On dit que deux Browniens B 1 et B 2 sont corrélés si leur crochet est
⟨B 1 , B 2 ⟩t = ρt. On définit le crochet duR processus d’Itô X comme étant le
t
crochet de sa partie martingale ⟨X⟩t = 0 Hs2 ds
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Processus d’Itô
Lemme d’Itô
Théorème de Girsanov
Lemme d’Itô
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Processus d’Itô
Lemme d’Itô
Théorème de Girsanov
Théorème (Formule d’Itô)
Rt
Rt
Soit (Xt )t∈[0,T ] un processus d’Itô Xt = X0 + 0 Ks ds + 0 Hs dBs et F une
fonction deux fois continuement différentiable. Alors, nous avons
Z t
Z
1 t ′′
F (Xt ) = F (X0 ) +
F ′ (Xs )dXs +
F (Xs )d⟨X, X⟩s
2 0
0
où par définition
t
Z
|Hs |2 ds.
⟨X, X⟩t :=
0
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Exemple
Rt
1
2
0
Bs dBs =
1
2
Processus d’Itô
Lemme d’Itô
Théorème de Girsanov
Bt2 − t .
Soit X un processus d’Itô. St = exp(Xt ) est solution de l’équation
1
dSt = St dXt + Ht2 dt .
2
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Processus d’Itô
Lemme d’Itô
Théorème de Girsanov
Le graphique suivant illustre de manière numérique, la nécessité d’un calcul
différentiel spécifique pour leR M.B. En noir est représenté une trajectoire de Bt2 ,
t
en vert une trajectoire de 2 0 Bs dBs calculée comme la somme
Rt
Pn
i=0 Bti (Bti+1 − Bti ) et en rouge une trajectoire de 2 0 Bs dBs + t. On
observe donc la nécessité du terme correctif.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Processus d’Itô
Lemme d’Itô
Théorème de Girsanov
Proposition (Formule d’intégration par partie)
Soient X et Y deux processus d’Itô:
Rt
Rt
Rt
Rt
Xt = X0 + 0 Ks ds + 0 Hs dBs et Yt = Y0 + 0 Ks′ ds + 0 Hs′ dBs .
Alors,
Z
Xt Yt = X0 Y0 +
avec la convention ⟨X, Y ⟩t =
–Calcul Stochastique–
t
Z
0
Rt
Hs Hs′ ds.
0
t
Ys dXs + ⟨X, Y ⟩t
Xs dYs +
0
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Processus d’Itô
Lemme d’Itô
Théorème de Girsanov
Proposition (Formule d’Itô multidimensionnelle)
Soient X 1 , X 2 , ..., X n une famille de n processus d’Itô:
Z t
m Z t
X
Xti = X0i +
Ksi ds +
Hsi,j dBsj
0
j=1
0
où B = (B 1 , B 2 , ..., B m ) est un mouvement Brownien m-dimensionnel (c.à.d
B 1 , B 2 , ....B m sont des mouvements Browniens standards indépendants).
Alors, si F est une fonction deux fois différentiables en x = (x1 , ..., xn ) et une
fois différentiable en t, ces dérivées étant continues en (t, x), la formule d’Itô
prend la forme suivante:
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Processus d’Itô
Lemme d’Itô
Théorème de Girsanov
(suite de la proposition)
F (t, Xt1 , ..., Xtn )
=
F (0, X01 , ..., X0n ) +
Z
0
n Z
X
t
∂F
(s, Xs1 , ..., Xsn )ds
∂t
t
∂F
(s, Xs1 , ..., Xsn )dXsi
+
∂x
i
i=1 0
n Z
1 X t ∂2F
+
(s, Xs1 , ..., Xsn )d⟨X i , X j ⟩s
2 i,j=1 0 ∂xi ∂xj
où ⟨X i , X j ⟩t =
–Calcul Stochastique–
Pm R t
k=1
0
Hsi,k Hsj,k ds.
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Processus d’Itô
Lemme d’Itô
Théorème de Girsanov
Remarque
Si X et Y deux processus d’Itô, on peut formellement définir le crochet ⟨X, Y ⟩
par les règles suivantes:
1
2
3
4
(x, y) 7→ ⟨x, y⟩ est bilinéaire symétrique.
Rt
⟨X, 0 Gs ds⟩ = 0.
R.
R.
⟨ 0 Hs dBs , 0 Hs′ dBs′ ⟩t = 0 si B et B ′ sont indépendants.
R.
R.
Rt
⟨ 0 Hs dBs , 0 Gs dBs ⟩t = 0 Hs Gs ds.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Processus d’Itô
Lemme d’Itô
Théorème de Girsanov
Théorème de Représentation des martingales
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Processus d’Itô
Lemme d’Itô
Théorème de Girsanov
Nous
R t avons vu que lorsque H ∈ P(T ) l’intégrale stochastique
( 0 Hs dBs , t ∈ [0, T ]) est une martingale continue (par rapport à la tribu
Brownienne). L’objectif du théorème suivant et de montrer que toutes les
martingales (par rapport à la tribu Brownienne) continues et de carré intégrable
sont de la forme précédente.
Exemple
Nous savons que les processus (Bt2 − t, t ∈ [0, T ]) et (eθBt −θ
(θ ∈ R) sont des (FtB )-martingales. On a de plus
Z t
Bt2 − t = 2
Bs dBs
2t
2
, t ∈ [0, T ])
0
et
t
θBt −θ 2 2
e
Z
=θ
t
eθBs −θ
2s
2
dBs
0
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Processus d’Itô
Lemme d’Itô
Théorème de Girsanov
Dans le cas où la filtration sur Ω est engendrée par un mouvement Brownien,
toutes les martingales peuvent être représentées comme intégrales
stochastiques par rapport à ce mouvement Brownien.
Théorème (Représentation des martingales)
Supposons que la filtration (Ft )t∈[0,T ] est la filtration canonique d’un
mouvement Brownien B. Alors, pour toute variable aléatoire X ∈ L2 (FT ), il
existe un unique processus Ft -adapté H ∈ L2 (Ω × [0, T ]) tel que
Z T
X = E[X] +
Hs dBs .
0
Comme conséquence, pour toute martingale (Mt )t∈[0,T ] dans L2 , il existe un
unique processus adapté h ∈ L2 (Ω × [0, T ]) tel que, pour tout t ≤ T ,
Z t
Mt = E[Mt ] +
hs dBs .
0
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Processus d’Itô
Lemme d’Itô
Théorème de Girsanov
Théorème de Girsanov
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Processus d’Itô
Lemme d’Itô
Théorème de Girsanov
Dans toute cette partie (Bt , t ∈ [0, T ]) désigne un mouvement brownien
standard défini sur un espace de probabilité filtré (Ω, F, {FtB }t∈[0,T ] , P) où
{FtB }t∈[0,T ] est la filtration canonique de (Bt , t ∈ [0, T ]).
On sait que si une variable aléatoire X suit, sous une probabilité P, une loi
normale N (m, σ 2 ) alors sous la probabilité équivalente Q ayant pour densité
par rapport à P :
−mX
m2
L = exp
+
(∗)
σ2
2σ 2
la variable X suit une loi normale N (0, σ 2 ).
Le but est de proposer une version dynamique de ce résultat dans le cas du
mouvement Brownien. Nous allons examiner dans un premier temps un cas
élémentaire.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Processus d’Itô
Lemme d’Itô
Théorème de Girsanov
Dans toute cette partie (Bt , t ∈ [0, T ]) désigne un mouvement brownien
standard défini sur un espace de probabilité filtré (Ω, F, {FtB }t∈[0,T ] , P) où
{FtB }t∈[0,T ] est la filtration canonique de (Bt , t ∈ [0, T ]).
On sait que si une variable aléatoire X suit, sous une probabilité P, une loi
normale N (m, σ 2 ) alors sous la probabilité équivalente Q ayant pour densité
par rapport à P :
−mX
m2
L = exp
+
(∗)
σ2
2σ 2
la variable X suit une loi normale N (0, σ 2 ).
Le but est de proposer une version dynamique de ce résultat dans le cas du
mouvement Brownien. Nous allons examiner dans un premier temps un cas
élémentaire.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Processus d’Itô
Lemme d’Itô
Théorème de Girsanov
Dans toute cette partie (Bt , t ∈ [0, T ]) désigne un mouvement brownien
standard défini sur un espace de probabilité filtré (Ω, F, {FtB }t∈[0,T ] , P) où
{FtB }t∈[0,T ] est la filtration canonique de (Bt , t ∈ [0, T ]).
On sait que si une variable aléatoire X suit, sous une probabilité P, une loi
normale N (m, σ 2 ) alors sous la probabilité équivalente Q ayant pour densité
par rapport à P :
−mX
m2
L = exp
+
(∗)
σ2
2σ 2
la variable X suit une loi normale N (0, σ 2 ).
Le but est de proposer une version dynamique de ce résultat dans le cas du
mouvement Brownien. Nous allons examiner dans un premier temps un cas
élémentaire.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Processus d’Itô
Lemme d’Itô
Théorème de Girsanov
Soit m ∈ R, on considère le processus (B̃t , t ∈ [0, T ]) défini par
B̃t = Bt + mt
On peut montrer très simplement que le processus (B̃t , t ∈ [0, T ]) est un
mouvement brownien sous P si et seulement si m = 0.
Le but est de trouver une probabilité Q sous laquelle (B̃t , t ∈ [0, T ]) est un
mouvement Brownien standard.
Comme B̃t suit N (mt, t), par analogie avec (∗) on pose
m2 t
m2 t
Lt = exp −mB̃t +
= exp −mBt −
2
2
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Processus d’Itô
Lemme d’Itô
Théorème de Girsanov
Soit m ∈ R, on considère le processus (B̃t , t ∈ [0, T ]) défini par
B̃t = Bt + mt
On peut montrer très simplement que le processus (B̃t , t ∈ [0, T ]) est un
mouvement brownien sous P si et seulement si m = 0.
Le but est de trouver une probabilité Q sous laquelle (B̃t , t ∈ [0, T ]) est un
mouvement Brownien standard.
Comme B̃t suit N (mt, t), par analogie avec (∗) on pose
m2 t
m2 t
Lt = exp −mB̃t +
= exp −mBt −
2
2
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Processus d’Itô
Lemme d’Itô
Théorème de Girsanov
On a alors
à t fixé, B̃t suit sous la probabilité Qt de densité Lt par rapport à P une
N (0, t).
Le processus (Lt , t ∈ [0, T ]) est une martingale sous P.
Exercice
Monter que
{Mt }t∈[0,T ] martingale sous Q ⇐⇒ {Lt Mt }t∈[0,T ] martingale sous P
On en déduit la proposition suivante.
Proposition
Soit m ∈ R. Sous la probabilité Q définie par
dQ
= LT
dP
(B̃t , t ∈ [0, T ]) est un mouvement Brownien standard.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Processus d’Itô
Lemme d’Itô
Théorème de Girsanov
Nous voyons que le processus (Lt , t ∈ [0, T ]) joue ici un rôle fondamental. Il
est appelé dans la littérature une martingale exponentielle.
Plus généralement,
RT
si (θt , t ∈ [0, T ]) est un processus adapté tel que 0 θs2 ds < ∞ p.s., on note
Z t
Z
1 t 2
θs dBs −
Lt = exp −
θs ds
2 0
0
et on voit d’après la formule d’Itô que dLt = −Lt θt dBt .
Exercice
(Lt , t ∈ [0, T ]) est une martingale ⇐⇒ E(LT ) = 1.
Proposition (Condition de Novikov)
Le processus (Lt , t ∈ [0, T ]) est une martingale si E(exp{ 12
RT
0
θs2 ds}) < ∞.
On a alors la généralisation suivante de la proposition précédente
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Processus d’Itô
Lemme d’Itô
Théorème de Girsanov
Théorème (Girsanov)
RT
Soit (θt , t ∈ [0, T ]) un processus adapté tel que 0 θs2 ds < ∞ p.s. tel que le
processus (Lt , t ∈ [0, T ]) défini par
Z t
Z
1 t 2
Lt = exp −
θs dBs −
θs ds
2 0
0
soit une martingale sous P. Alors, Sous la probabilité Q définie par
Z T
Z
1 T 2
dQ
= LT = exp −
θs dBs −
θs ds
dP
2 0
0
Rt
le processus (B̃t , t ∈ [0, T ]) vérifiant B̃t = Bt + 0 θs ds est un mouvement
brownien standard.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Processus d’Itô
Lemme d’Itô
Théorème de Girsanov
Théorème (Girsanov pour les processus d’Itô)
Supposons que (Yt )t∈[0,T ] est un processus de Itô à valeur dans Rd de la forme
Yti = Y0i +
t
Z
µi (s)ds +
0
n Z
X
j=1
t
σ i,j (s)dBsj .
0
Supposons qu’il existe deux processus u et ρ tels que
Z T
n
X
1
u2 (s)ds
< ∞.
σ i,j (t)(t)uj (t) = µi (t) − ρi (t) ; E exp
2 0
j=1
On pose pour tout t ∈ [0, T ] ;
Z
Lt = exp −
t
u(s)dBs −
0
1
2
t
Z
u2 (s)ds .
0
Soit Q la mesure définie sur FT par
dQ := LT dP.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Processus d’Itô
Lemme d’Itô
Théorème de Girsanov
(Suite du Théorème)
Alors, Q est une probabilité, définie sur FT , équivalente à P telle que le
processus
Z t
B̃t = Bt +
u(s)ds, 0 ≤ t ≤ T
0
est un mouvement Brownien sous Q. De plus, en terme de B̃, le processus Y
peut s’écrire sous la forme suivante
Z t
n Z t
X
Yti = Y0i +
ρi (s)ds +
σ i,j (s)dB̃sj , 1 ≤ i ≤ d.
0
–Calcul Stochastique–
j=1
0
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Solution des EDS
EDS linéaires
Connexion avec les EDP et représentation de Feynman-Kac
Équations différentielles stochastiques
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Solution des EDS
EDS linéaires
Connexion avec les EDP et représentation de Feynman-Kac
Nous avons maintenant tous les éléments en main pour définir la notion de
solution d’une équation différentielle stochastique (EDS), de la forme
dXt = b(t, Xt )dt + σ(t, Xt )dBt
où b, σ : [0, T ] × R → R sont des fonctions déterministes mesurables. La
fonction b est communément appelée coefficient de dérive (drift), alors que σ
est appelée coefficient de diffusion.
Dans tout ce chapitre, nous supposons que
Soit X0 ∈ R est une constante, et alors {Ft }t∈[0,T ] désigne la filtration
engendrée par le mouvement Brownien.
Soit X0 : Ω → R est une variable aléatoire, de carré intégrable, et
indépendante du mouvement Brownien. Dans ce cas, {Ft }t∈[0,T ]
désignera la filtration engendrée par le mouvement Brownien et par X0 .
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Solution des EDS
EDS linéaires
Connexion avec les EDP et représentation de Feynman-Kac
Exemple (Cas du mouvement brownien géométrique)
On rappelle qu’un mouvement Brownien géométrique de drift b et de volatilité
σ ((b, σ) ∈ R) est le processus continu (St )t∈[0,T ] défini par
1
St = x0 e(b− 2 σ
2
)t+σBt
(5)
On prendra ici x0 > 0 de sorte que ∀t ∈ [0, T ], Xt > 0. En appliquant la
1 2
formule d’Itô avec f (t, x) = x0 e(b− 2 σ )t+σx et Xt = Bt on obtient ∀t ∈ [0, T ]
t
Z
St = f (t, Bt ) = f (0, B0 )+
t
Z
fs′ (s, Bs )ds+
0
fx′ (s, Bs )dBs +
0
1
2
t
Z
fx′′ (s, Bs )ds
0
et donc
St = f (t, Bt ) = x0 + (b −
–Calcul Stochastique–
1 2
σ )
2
Z
t
Z
Ss ds + σ
0
t
Ss dBs +
0
1 2
σ
2
t
Z
Ss ds
0
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Solution des EDS
EDS linéaires
Connexion avec les EDP et représentation de Feynman-Kac
En utilisant la notation différentielle le processus (St ) vérifie l’équation
dSt = St bdt + St σdBt
avec condition initiale S0 = x0 .
Cette équation, très célèbre en finance, est connue sous le nom d’équation de
Black et Scholes.
Remarque
Lorsque b = 0, le processus St est une martingale. Ce type de processus porte
alors le nom de martingale exponentielle.
Proposition
Pour (b, σ) ∈ R2 , il existe un unique processus d’Itô (St ) vérifiant
dSt = bSt dt + σSt dBt (avec S0 = x0 ). Ce processus est donné par (5).
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Solution des EDS
EDS linéaires
Connexion avec les EDP et représentation de Feynman-Kac
Preuve
Soit (Xt ) vérifiant X0 = x0 et dXt = bXt dt + σXt dBt . On pose
Zt =
′ 1 ′2
′
1 2
S0
= e(−b+ 2 σ )t−σBt = e(b − 2 σ )t+σ Bt
St
où σ ′ = −σ et b′ = −b + σ 2 . Ainsi, par analogie avec le calcul effectué
précédemment,
Z t
Z t
Zs ((−b + σ 2 )ds − σdBs ).
Zt = 1 +
Zs (b′ ds + σ ′ dBs ) = 1 +
0
0
D’après le lemme d’Itô on déduit facilement que d(Xt Zt ) = 0. Ainsi,
∀t ∈ [0, T ],
Xt = St P − p.s.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Solution des EDS
EDS linéaires
Connexion avec les EDP et représentation de Feynman-Kac
Solution des EDS
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Solution des EDS
EDS linéaires
Connexion avec les EDP et représentation de Feynman-Kac
Une équation différentielle stochastique est une équation de la forme
Z t
Z t
b(s, Xs )ds +
σ(s, Xs )dBs
Xt = X0 +
0
(6)
0
ou sous forme condensée
dXt = b(t, Xt )dt + σ(t, Xt )dBt
L’inconnue est le processus X. Le problème est, comme pour une équation
différentielle ordinaire, de montrer que sous certaines conditions sur les
coefficients, l’équation différentielle a une unique solution.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Solution des EDS
EDS linéaires
Connexion avec les EDP et représentation de Feynman-Kac
Solution forte
Définition
Un processus stochastique {Xt }t∈[0,T ] est appelé une solution forte de l’EDS
(6) avec condition initiale X0 si
{Xt }t∈[0,T ] est {Ft }-adapté.
on a les conditions de régularité
Z T
Z
P
|b(s, Xs )|ds < ∞ = P
0
T
|σ(s, Xs )|2 ds < ∞ = 1
0
l’égalité (6) est satisfaite pour tout t, P − p.s.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Solution des EDS
EDS linéaires
Connexion avec les EDP et représentation de Feynman-Kac
Théorème
Supposons que les fonctions b et σ satisfont les deux conditions suivantes:
Condition de Lipschitz globale: Il existe une constante K telle que
|b(t, x) − b(t, y)| + |σ(t, x) − σ(t, y)| ≤ K|x − y|
pour tous les x, y ∈ R et t ∈ [0, T ].
Condition de croissance: Il existe une constante L telle que
|b(t, x)| + |σ(t, x)| ≤ L(1 + |x|)
pour tous les x ∈ R et t ∈ [0, T ].
Alors l’EDS (6) admet, pour toute condition initiale X0 de carré intégrable, une
solution forte {Xt }t∈[0,T ] , presque sûrement continue. Cette solution est
unique dans le sens que si {Xt }t∈[0,T ] et {Yt }t∈[0,T ] sont deux solutions
presque sûrement continues, alors
P sup |Xt − Yt | > 0 = 0.
0≤t≤T
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Solution des EDS
EDS linéaires
Connexion avec les EDP et représentation de Feynman-Kac
Considérons l’EDS
dXt = sin(Xt )dt + cos(Xt )dBt
;
X0 = 0.
Ici, b(x) = sin(x) et σ(x) = cos(x) sont lipschitziennes (car b′ et σ ′ sont
bornées), donc il existe une unique solution à l’équation, mais quelle est-elle ?
Il se trouve que même si la formulation de l’équation est assez simple, il
n’existe pas de méthode de résolution analytique !
On voit donc l’intérêt de simuler numériquement la solution d’une telle
équation.
De nombreuses EDS ne peuvent se résoudre explicitement. C’est pourquoi il
est parfois commode de disposer de méthodes numériques d’approximation.
Nous présentons ici brièvement la méthode la plus simple qui est un schéma
d’approximation à l’ordre 1. Notons que les méthodes pour les EDS sont
directement issues de celles utilisées pour les EDO.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Solution des EDS
EDS linéaires
Connexion avec les EDP et représentation de Feynman-Kac
Considérons l’EDS
dXt = sin(Xt )dt + cos(Xt )dBt
;
X0 = 0.
Ici, b(x) = sin(x) et σ(x) = cos(x) sont lipschitziennes (car b′ et σ ′ sont
bornées), donc il existe une unique solution à l’équation, mais quelle est-elle ?
Il se trouve que même si la formulation de l’équation est assez simple, il
n’existe pas de méthode de résolution analytique !
On voit donc l’intérêt de simuler numériquement la solution d’une telle
équation.
De nombreuses EDS ne peuvent se résoudre explicitement. C’est pourquoi il
est parfois commode de disposer de méthodes numériques d’approximation.
Nous présentons ici brièvement la méthode la plus simple qui est un schéma
d’approximation à l’ordre 1. Notons que les méthodes pour les EDS sont
directement issues de celles utilisées pour les EDO.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Solution des EDS
EDS linéaires
Connexion avec les EDP et représentation de Feynman-Kac
Schéma d’Euler aléatoire
On se limite ici au cas homogène en considérant la solution {Xt }t∈[0,T ] de
l’équation
dXt = b(Xt )dt + σ(Xt )dBt ; X0 = x
On considère la subdivision d’ordre N ∈ N∗ de l’intervalle [0, T ] et on pose
iT
∀i ∈ {0, ..., N }, tN
i = N .La méthode d’Euler consiste à considérer le schéma
récursif suivant ∀i ∈ {0, ..., N }
T
N
X N tN
= X N tN
tN
+ σ X N tN
BtN − BtN
(7)
i
i−1 + b X
i−1
i−1
i
i−1
N
avec X N (0) = x, défini aux points de la forme tN
i .
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Solution des EDS
EDS linéaires
Connexion avec les EDP et représentation de Feynman-Kac
Proposition
Dans les conditions du théorème précédent on a
"
#
2
T
N
E sup Xt − Xt
≤K
N
t∈[0,T ]
où K ne dépend que de T .
D’un point de vue algorithmique, la formule (7) est très pratique car elle
nécessite uniquement
de simuler un échantillon (gi ) de la loi N (0, 1) et de
q
T
substituer
g à BtN − BtN
N i
i
–Calcul Stochastique–
i−1
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Solution des EDS
EDS linéaires
Connexion avec les EDP et représentation de Feynman-Kac
EDS linéaires
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Solution des EDS
EDS linéaires
Connexion avec les EDP et représentation de Feynman-Kac
EDS linéaire avec “bruit additif”
Considérons l’EDS linéaire avec “bruit additif” est définie par
dXt = Xt a(t)dt + σ(t)dBt
(8)
où a et σ sont des fonctions déterministes. Dans le cas particulier σ ≡ 0, la
solution peut s’écrire simplement
Z t
Xt = eα(t) X0 ; α(t) =
a(s)ds.
0
Ceci suggère d’appliquer la méthode de la variation de la constante, c’est-à-dire
de chercher une solution de la forme Xt = e−α(t) Yt . La formule d’Itô
appliquée à Yt = u(t, Xt ) = e−α(t) Xt nous donne
dYt = −a(t)e−α(t) Xt dt + e−α(t) dXt = e−α(t) σ(t)dBt
d’où en intégrant et en tenant compte du fait que Y0 = X0 ,
Z t
Yt = X0 +
e−α(s) σ(s)dBs .
0
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Solution des EDS
EDS linéaires
Connexion avec les EDP et représentation de Feynman-Kac
Ceci donne finalement la solution forte de l’équation (8)
Z t
Xt = X0 eα(t) +
eα(t)−α(s) σ(s)dBs
0
On notera que si la condition initiale X0 est déterministe, alors Xt suit une loi
normale, d’espérance E(Xt ) = X0 eα(t) et de variance
Z t
V ar(Xt ) =
e2(α(t)−α(s)) σ(s)2 ds
0
–Calcul Stochastique–
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Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Solution des EDS
EDS linéaires
Connexion avec les EDP et représentation de Feynman-Kac
EDS linéaire avec “bruit multiplicatif”
Considérons l’EDS linéaire avec “bruit multiplicatif” est définie par
dXt = Xt a(t)dt + σ(t)Xt dBt
(9)
où à nouveau a et σ sont des fonctions déterministes. Nous pouvons alors
écrire
dXt
= a(t)dt + σ(t)dBt
Xt
En intégrant le membre de gauche, on devrait trouver log(Xt ), mais ceci est-il
compatible avec le calcul d’Itô? Pour s’en assurer, posons
Yt = u(Xt ) = log(Xt ). Alors la formule d’Itô donne
dYt =
1
1
dXt −
d⟨X⟩t
Xt
2Xt2
En intégrant et en reprenant l’exponentielle, on obtient donc la solution forte
Z t Z t
1
Xt = X0 exp
a(s) − σ(s)2 ds +
σ(s)dBs
2
0
0
–Calcul Stochastique–
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Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Solution des EDS
EDS linéaires
Connexion avec les EDP et représentation de Feynman-Kac
Connexion avec les EDP et
représentation de Feynman-Kac
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Solution des EDS
EDS linéaires
Connexion avec les EDP et représentation de Feynman-Kac
Le but de cette section est de montrer qu’on peut représenter les solutions
d’équations aux dérivées partielles (EDP) classiques à l’aide de processus
aléatoires.
Lien mouvement brownien ←→ équation de la chaleur
Soit {Bt , t ∈ R+ } un mouvement brownien standard. On définit
{Btt0 ,x0 , t ∈ [t0 , ∞)}, le mouvement brownien partant au temps t0 ≥ 0 du
point x0 ∈ R par
Btt0 ,x0 = Bt − Bt0 + x0 ,
t ∈ R+ .
(Résultat d’analyse)
Soient T > 0 et h ∈ C(R) une fonction continue. Il existe alors une “unique”
fonction u ∈ C 1,2 ([0, T ] × R) qui vérifie

 ∂u
1 ∂2u
(t, x) +
(t, x) = 0,
∀(t, x) ∈ [0, T ] × R
(10)
∂t
2 ∂x2
 u(T,
x) = h(x)
∀x ∈ R.
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Solution des EDS
EDS linéaires
Connexion avec les EDP et représentation de Feynman-Kac
Le résultat suivant nous donne donc une représentation probabiliste de la
solution de l’EDP (10)
Proposition
Soit u la solution de l’équation (10). Pour tout (t0 , x0 ) ∈ [0, T ] × R, on a
u(t0 , x0 ) = E h BTt0 ,x0 .
–Calcul Stochastique–
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Pré-requis
Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Solution des EDS
EDS linéaires
Connexion avec les EDP et représentation de Feynman-Kac
Lien EDS ←→ EDP parabolique
(formule de Feynman-Kac)
Soient t0 ∈ R+ , x0 ∈ R, {Bt , t ∈ R+ } un mouvement brownien standard et
f, g : R+ × R → R deux fonctions continues en (t, x) et lipschitziennes en x.
On pose {Xtt0 ,x0 , t ∈ [t0 , ∞)} la solution de l’EDS
dXt = f (t, Xt )dt + g(t, Xt )dBt
;
Xt0 = x0 .
On suppose de plus qu’il existe une constante K > 0 telle que
|g(t, x)| ≥ K
–Calcul Stochastique–
∀(t, x) ∈ R+ × R.
Yassine EL QALLI, Avril, 2022
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Processus Stochastiques
Intégrales Stochastiques
Calcul d’Itô
Équations différentielles stochastiques
Solution des EDS
EDS linéaires
Connexion avec les EDP et représentation de Feynman-Kac
(Résultat d’analyse)
Soient T > 0 et h ∈ C(R) une fonction continue. Étant donné les hypothèses
effectuées ci-dessus sur f et g, il existe alors une “unique” fonction
u ∈ C 1,2 ([0, T ] × R) qui vérifie

∂u
∂u
1
∂2u


(t, x) + f (t, x) (t, x) + g 2 (t, x) 2 (t, x) = 0, ∀(t, x) ∈ [0, T ] × R
∂t
∂x
2
∂x


u(T, x) = h(x)
∀x ∈ R.
(11)
Proposition (Formule de Feynman-Kac)
Soit u la solution de l’équation (11). Pour tout (t0 , x0 ) ∈ [0, T ] × R, on a
u(t0 , x0 ) = E h XTt0 ,x0 .
–Calcul Stochastique–
Yassine EL QALLI, Avril, 2022

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