Physique et Mathématiques : Exploration des liens

Physique et Mathématiques
Marc ATTEIA
2 juillet 2015

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Préface
1. Physique et Mathématiques.
Entre Physique et Mathématiques est inscrit dans les cursus scolaires et universitaires un
clivage marqué qui est justifié par le fait que Physique et Mathématiques opèrent dans des
domaines de recherche distincts et font appel à des dispositions intellectuelles différentes.
Le physicien s’intéresse aux lois qui gouvernent la matière inerte. Pour “découvrir” ces lois,
il utilise des appareillages expérimentaux qu’il a conçus et construits. Comme il use de la sym-
bolique mathématique dans ses calculs, il ne considère, le plus souvent, les mathématiques que
comme une “boıite à outils” performante.
De son côté, le mathématicien développe ses recherche dans un univers abstrait, ans rela-
tion a priori avec l’univers concret du physicien. ainsi, certains mathématiciens enveloppent-ils
leur discipline d’une aura de “pureté” et la placent au-dessus de toutes les autres disciplnes
scientifiques.
Le clivage entre Physique et Mathématiques est accentué par le fait que les intuitions du
physcien ne sont validées que par le recours à l’expérience tandis que celles du mathématicien
ne le sont que par des preuves théoriques rigoureuses. Pourtant, comme l’attestent les travaux
de plusieurs chercheurs éminents en Physique et Mathématiques, ces deux disciplines ont entre
elles un lien étroit. Einstein, dans son livre La théore de la Relativité générale et généralisée, la
Relativité et le problème de l’espace, (Gauthiers-Villars, 1954) écrivait : “Comment se fait-il que
la mathématique, qui est un produit de la pensée humaine et indépendante de toute expérience,
s’adapte de si admirable manière aux objets de la réalité ? La raison humaine serait-elle donc
capable, sans avoir recours à l’expérience, de découvrir par son activité seule, les propriétés des
objets réels ?”
Dans la Préface à son livre intitulé À la découverte des lois de l’Univers (Odile Jacob, 2004),
Roger Penrose écrit : “[...] Dans beaucoup de progrès récents, l’un des éléments essentiels en est
l’esthétisme mathématique, sa beauté, sa pertinence et son raffinement. De toute évidence, ces
influences mathématiques peuvent se révéler d’une importance capitale, comme ce fut le cas pour
la majorité des exploits extraordinaires de la Physique du XXesiècle, l’équation de Dirac pour
l’électron, la mécanique quantique et la relativité générale d’Einstein. Mais dans tous les cas, ce

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sont des considérations physiques - émanant en définitives de nos observations - qui définirent
les principaux critères pour l’acceptation de ces théories.”
C’est ainsi que j’ai rédigé mon livre avec les deux objectifs que j’explicite ci-dessous.
2.Premier objectif.
Mettre en évidence les liens entre Physique et Mathématiques dans l’enseignement universi-
taire a été mon premier objectif. Pour cela,
(i) Dans la première partie de mon livre, je présente un panorama de la Physique générale
- classique, relativiste, qantique (Cf. le sommaireci-dessus) - telle qu’on l’enseigne aujour-
d’hui. (On pourra discerner, dans cet exposé, en filigrane, la volonté du physicien d’unifier
les principaux champs de la Physique à partir de quelques concepts peu nombreux).
(ii) Dans la seconde partie de mon livre, je développe le discours mathématique qui, je l’es-
père, devrait permettre au physicien de fonder son étude sur un socle ferme, de déterminer
avec précision et rigueur les domaines de validité des formalisme qu’il utilise.
Je voudrai convaincre aussi mon lecteur que l’abstraction mathématique, en relation avec
la Physique, ne relève pas d’une pathologie propre au mathématicien mais que, plus la Phy-
sique s’enfonce dans les profondeurs de la matière, plus, nécessairement les mathématiques
qui la fondent sont abnstraites.
(iii) J’insiste plus particulièremennt, sur le rôle majeur joué en Physique par les notions
(concepts) d’espaces fonctionnels, de dualité, d’espace de Hilbert, de noyau d’espace de
Hilbert.
3.Second objectif.
Mon second objectif est de mettre en exerge la notion de modélisation mathématique, qui joue
un rôle si important aujourd’hui, dans notre société technoscientiste. Galilée, dans un passage
(bien connu) de l’Essayeur, écrivait, en 1623 : “ La philosophie est écrite dans cet immense livre
qui se tient toujours devant nos yeux, je veux dire l’Univers, mais on ne peut le comprendre
si l’on ne s’applique d’abord à en comprendre la langue et à en connaître les caractères avec
lesquels il est écrit. Il est écrit avec la langue mathématique et ses caractères sont des triangles,
des cercles et autres figures géométriques sans le moyen desquels il est humainement impossible
d’en comprendre un mot. Sans eux, c’est une errance vaine dans un labyrinthe inconnu.
Aujourd’hui, la modélisation mathématique du réel qui a débuté par la Physique est l’outil es-
sentiel de l’innovation technique. Mais je voudrai, cependant, avant de terminer, faire remarquer
que :
(i) La modélisation mathématique des activités humaines, utilisées par les praticiens des
sciences humaines est loin d’être aussi fiable que celle qui est mise en œuvre en Physique,
car les activités humaines, au contraire de la Physique, dépendent d’un très grand nombre
de paramètres essentiels.
(ii) Un même phénomène physique, suivant le niveau d’exploitation du Réel où l’on se situe,
peut être modélisé par différents modèles mathémathiques efficients. Il en résulte que le
discours mathématique ne recèle aucune Vérité transcendante en soi, qui sacraliserai le
discours de la Physique.

TABLE DES MATIÈRES
1 Notions fondamentales. 1
1.1 Généalogie de l’espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 L’espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.1 La notion de temps en Physique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 Le réglage des horloges. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.3 L’évolution de la notion de temps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.4 Modèle mathématique du temps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Vitesse et accélération. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 La notion physique de vitesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.2 Définition mathématique de la vitesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.3 Définition mathématique de l’accélération. ................. 6
1.4 Force, masse et énergie mécanique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.1 Notions de force et de masse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.2 L’énergie mécanique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.3 Energie potentielle et énergie cinétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.4 Mécanique rationnelle et Géométrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 La notion de champ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 L’énergie calorifique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6.1 Les premiers pas de la thermodynamique. .................. 9
1.6.2 La thermodynamique statistique. L’introduction du hasard en Physique. . 9
1.7 L’atome. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7.1 Le plus petit ”grain” de matière insécable .................. 9
1.7.2 L’atome, une boîte ”noire”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7.3 Bombarder pour voir. La balistique quantique. ............... 10
1.8 La représentation du monde subatomique par la Physique quantique. . . . . . . . 10
1.8.1 Physique classique et physique quantique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8.2 Physique et Mathématiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.8.3 Déterminisme et Hasard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.9 Vers la Cosmologie quantique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.10 La Physique, les Mathématiques et nous. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
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