Introduction aux anneaux de Fontaine - IMJ-PRG

INTRODUCTION AUX ANNEAUX DE FONTAINE,
NOTES DU COURS DE M2
par
Pierre Colmez
Table des matières
1. L’extension cyclotomique d’une extension finie de Qpet son complété. . . . . . . 1
1.1. L’extension cyclotomique d’une extension non ramifiée de Qp........... 1
1.2. Le complété de l’extension cyclotomique de F........................... 3
1.3. Il n’y a pas de 2iπ dans Cp!............................................. 5
1.4. L’extension cyclotomique d’une extension finie de Qp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5. Remarques sur les représentations galoisiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2. Quelques anneaux de Fontaine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1. L’anneau e E+............................................................ 10
2.2. Les éléments εet π...................................................... 11
2.3. L’anneau B+
dR des « nombres complexes p-adiques»..................... 12
2.4. Le corps des normes de l’extension cyclotomique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5. La clôture séparable du corps des normes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6. L’anneau Aet les (ϕ, Γ)-modules........................................ 19
1. L’extension cyclotomique d’une extension finie de Qpet son complété
1.1. L’extension cyclotomique d’une extension non ramifiée de Qp
Soit Fun corps de caractéristique 6=p, soit Fune clôture algébrique de F, et soit GF=
Aut(F /F ). Si ζpn∈Fest une racine primitive pn-ième de l’unité, et si σ∈GF, alors σ(ζpn)est
une racine primitive pn-ième de l’unité. Il existe donc χn(σ)∈(Z/pnZ)∗, uniquement déterminé,
tel que σ(ζpn) = ζχn(σ)
pn. De plus, si ζ∈µpn, il existe a∈Z/pnZunique, tel que ζ=ζa
pn, et on a
σ(ζ) = σ(ζa
pn) = σ(ζpn)a=ζaχn(σ)
pn=ζχn(σ).
Les calculs précédents montre que l’on a χn(στ ) = χn(σ)χn(τ), si σ, τ ∈GF, et, en prenant a=p,
que χn−1(σ)est l’image de χn(σ)par l’application naturelle de (Z/pnZ)∗dans (Z/pn−1Z)∗. Il
existe donc un caractère χ: GF→Z∗
p, uniquement déterminé par la condition σ(ζ) = ζχ(σ)quel
que soit ζ∈µp∞, groupe des racines de l’unité d’ordre une puissance de p. Ce caractère est le
caractère cyclotomique.

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Soit Fune extension non ramifiée de Qp. Choisissons pour chaque nune racine pn-ième
primitive de l’unité ε(n), de telle sorte que (ε(n+1))p=ε(n). Si n>1, soit Fn=F(ε(n)), et soit
F∞=∪nFn.
Proposition 1.1. — (i) Si n>1,Fnest une extension totalement ramifiée de degré (p−1)pn−1
de F, et πn=ε(n)−1en est une uniformisante.
(ii) Si n>1,Fnest une extension galoisienne de F, et χinduit un isomorphisme de Gal(Fn/F )
sur (Z/pnZ)∗.
(iii) F∞est une extension galoisienne de F, et χinduit un isomorphisme de ΓF= Gal(F∞/F )
sur Z∗
p.
Démonstration. — Soit Pnle polynôme cyclotomique d’indice pndonné par la formule Pn(X) =
Xpn−1
Xpn−1−1. Le polynôme Qn(X) = Pn(X+ 1) est un polynôme d’Eisenstein (son terme constant
est pet sa réduction modulo pest Xpn−pn−1) donc est irréductible sur F. On en déduit le (i).
Le corps Fnest le corps de décomposition du polynôme Xpn−1; il est donc galoisien sur F.
De plus, Gal(Fn/F )et (Z/pnZ)∗ont même cardinal, et χnest injectif de manière évidente ; on
en déduit le (ii), et le (iii) en passant à la limite projective.
Si n>1, notons G(n)le groupe (Z/pnZ)∗, et soit G(∞) = Z∗
p. Si k∈N, soit G(∞)kle
sous-groupe de G(∞)défini par G(∞)0=G(∞), et G(∞)k= 1 + pkZp, si k>1. Si n>1,
on définit le sous-groupe G(n)kde G(n)comme l’image de G(∞)k. On a donc, en particulier,
G(n)k={1}, si k>n. On identifie G(n)et Gal(Fn/F ), ainsi que G(∞)et ΓF, via le caractère
cyclotomique χ.
Proposition 1.2. — (i) Si n>1, alors Gal(Fn/F )u=G(n)0si u60, et Gal(Fn/F )u=G(n)k,
si pk−1−1< u 6pk−1, et si k>1.
(ii) Si n>1, alors Gal(Fn/F )v=G(n)0si v60, et Gal(Fn/F )v=G(n)k, si k−1< v 6k
et si k>1.
(iii) Si n>1, alors c(Fn/F ) = n.
(iv) Γv
F=G(∞)0si v60, et Γv F=G(∞)k, si k−1< v 6ket si k>1.
Démonstration. — L’extension Fn/F est totalement ramifiée et πn=ε(n)−1en est une unifor-
misante (et donc un générateur de OFncomme algèbre sur Zp). Par définition, si σ∈Gal(Fn/F ),
on a donc iFn(σ) = vFn(σ(πn)−πn) = vFn(σ(1 + πn)−(1 + πn)).Supposons σ6= 1. On peut
alors écrire χ(σ)sous la forme 1 + pka, avec a∈Z∗
p, et 06k6n−1. Comme (1 + πn)est une
racine de l’unité d’ordre une puissance de p, on a σ(1 + πn)−(1 + πn) = (1+ πn)((1+ πn)apk−1),
et comme (1 + πn)apkest une racine primitive pn−k-ième de l’unité, on obtient
vFn(σ(1 + πn)−(1 + πn)) = vp((1 + πn)apk−1)
vp(πn)=1/(p−1)pn−k−1 1/(p−1)pn−1=pk.
On en déduit que σ∈Gal(Fn/F )usi et seulement si pk>u+ 1, ce qui démontre le (i).
On a [G(n)0:G(n)u] = (p−1)pk−1si pk−1−1< u 6pk−1et 16k6n. On en déduit que, sur
[0,+∞[, la fonction ϕFn/F est affine sur chacun des segments [pk−1−1, pk−1], et sur [pn−1,+∞[.
comme la dérivée de ϕFn/F sur [pk−1−1, pk−1] est 1
(p−1)pk−1, on a ϕFn/F (k) = ϕFn/F (k−1) + 1,
si 16k6n. La fonction ψFn/F est donc affine de dérivée (p−1)pksur chacun des segments
[k, k + 1], si k6n−1, et affine de dérivée (p−1)pn−1sur [n, +∞[. En particulier, les sauts de

INTRODUCTION AUX ANNEAUX DE FONTAINE, NOTES DU COURS DE M2 3
la filtration par les Gal(Fn/F )vsont aux entiers 6n. On en déduit le (ii). Les (iii) et (iv), quant
à eux, sont des conséquences immédiates du (ii).
Remarque 1.3. — Le conducteur de Fnsur Fest un entier, comme prédit par le théorème de
Hasse-Arf
Exercice 1. — (i) Montrer que le polynôme minimal de π1sur Fest (1+X)p−1
X. En déduire que
vp(dF1/F ) = 1 −1
p−1.
(ii) Montrer que, si n>2, le polynôme minimal de πnsur Fn−1est (1 + X)p−(1 + πn−1). En
déduire que vp(dFn/Fn−1) = 1.
(iii) Montrer que vp(dFn/F ) = n−1
p−1.
(iv) En déduire que l’on a F(v)
n=Fksi k6v < k + 1, et 06k6n.
(v) Retrouver le (ii) de la prop. 1.2.
1.2. Le complété de l’extension cyclotomique de F. — Soit b F∞le complété de F∞
pour vp; c’est aussi l’adhérence de F∞dans Cp. L’action de ΓFsur F∞s’étend par continuité à
b
F∞, et l’objet de ce noest d’étudier cette action.
Remarque 1.4. — Si k>vp(2p), et si vp(u−1) = k, l’application x7→ log x
log uinduit un isomor-
phisme de groupes de 1 + pkZpsur Zp, l’isomorphisme inverse étant y7→ uy= exp(ylog u). Cela
montre que le groupe (multiplicatif) 1 + pkZpest procyclique (i.e. est topologiquement engendré
par un élément). Si p>3, on a Z∗
p=µp−1×(1 + pZp), et comme µp−1est cyclique d’ordre
premier à p, le groupe Z∗
pest lui aussi procyclique. Par contre, Z∗
2={±1} × (1 + 4Z2)n’est pas
procyclique.
Lemme 1.5. — Si n>1et x∈F∞, alors p−kTrFn+k/Fn(x)de dépend pas de l’entier ktel que
x∈Fn+k.
Démonstration. — Cela suit de ce que TrFn+k+i/Fn(x) = [Fn+k+i:Fn+k]TrFn+k/Fn(x)si x∈Fn+k
et de ce que [FN+k+i:Fn+k] = pi.
Notons Rn:F∞→Fnl’application dont le lemme ci-dessus assure l’existence. Si n>1, soit
Yn={x∈Fn,TrFn/Fn−1(x) = 0}, et soit R∗
n= Rn−Rn−1.
Proposition 1.6. — (i) L’application Rn:F∞→Fnest Fn-linéaire, commute avec l’action
de ΓF, et on a Rn◦Rn+k= Rn.
(ii) Si x∈F∞, alors R∗
n+i(x)∈Yn+i, est nul si i0, et on a
x= Rn(x) +
+∞
X
i=1
R∗
n+i(x).
(iii) Si k∈Z, alors « vp(x)>kvp(πn)»⇔«vp(Rn(x)) >kvp(πn)et vp(R∗
n+i(x)) >kvp(πn),
quel que soit i>1».
Démonstration. — Rncommute à l’action de ΓFcar, si L/K est une extension de corps, et si
σ:L→Lσest un isomorphisme de corps, alors TrLσ/Kσ(σ(x)) = σ(TrL/K (x)). Le reste du (i)
est immédiat.
Le (ii) suit de ce qu’il existe k∈Ntel que x∈Fn+ket alors Rn+i(x) = xsi i>k.

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Dans le (iii), l’implication ⇐est immédiate. Pour démontrer l’implication réciproque, consta-
tons que les πi
n+k, pour 06i6pk−1forment une base de OFn+ksur OFnpuisque l’extension
Fn+k/Fnest totalement ramifiée. On peut donc écrire x∈OFn+kde manière unique sous la forme
x=
pk−1
X
j=0
aj(1 + πn+k)j,avec aj∈OFn.
Maintenant, on a (1 + πn+k)pk−i= 1 + πn+isi i6k, et
p−1TrFn+i/Fn+i−1((1 + πn+i)j) = ((1 + πn+i)jsi p|j,
0si (p, j) = 1.
En écrivant j∈ {0, . . . , pk−1}sous la forme j=pk−ij0, avec (j0, p) = 1, on en déduit les formules
Rn(x) = a0et R∗
n+i(x) = X
(j0,p)=1
apk−ij0(1 + πn+i)j0.
Ceci permet de montrer que, si vp(x)>0, alors vp(Rn(x)) >0et vp(R∗
n+i(x)) >0. Le cas
général s’en déduit en remarquant que « vp(x)>kvp(πn)» équivaut à « x∈πk
nOFn», et en
utilisant la Fn-linéarité de Rn+i, si i∈N.
Si k∈N, on note ΓFk= Gal(F∞/Fk); c’est le sous-groupe de ΓFimage inverse de 1 + pkZp
par χ. En particulier, ΓFkest un groupe procyclique si k>vp(2p).
Lemme 1.7. — Soit j>vp(2p), soit γjun générateur de ΓFj, et soit i>j+ 1. Alors γj−1est
inversible sur Yi. De plus, si k∈N, et vp(x)>kvp(πi−1), alors vp((γj−1)−1x)>kvp(πi−1)−1
p−1.
Démonstration. — Commençons par traiter le cas j=i−1. Si x∈Yi, on peut écrire xsous
la forme x=Pp−1
a=1 xa(1 + πi)a, avec xa∈Fi−1. De plus, si k∈N, et vp(x)>kvp(πi−1), alors
vp(xa)>kvp(πi−1), quel que soit a∈ {1, . . . , p −1}. Par ailleurs, on peut écrire χ(γj) = 1 + pjv,
avec v∈Z∗
p. On a alors γj((1 + πi)a) = (1 + πi)a(1 + π1)av , et comme xaet π1sont fixes par γj,
on voit que xa comme antécédent
(γj−1)−1x=
p−1
X
a=1
xa
(1 + π1)av −1(1 + πi)a.
De plus, comme vp((1 + π1)av −1) = 1
p−1, on obtient la minoration voulue dans le cas j=i−1.
Le cas général s’en déduit en remarquant, que γ0=γpi−j−1
jest un générateur de ΓFi−1, et que
l’on a (γj−1)−1= (γ0−1)−1(1 + γj+· · · +γpi−j−1−1
j).
Proposition 1.8. — Soit n>vp(2p), et soit γnun générateur de ΓFn.
(i) Tout élément xde F∞peut être écrit de manière unique sous la forme x= Rn(x)+(γn−1)y,
avec Rn(y) = 0, et on a
vp(Rn(x)) > vp(x)−vp(πn), vp(y)> vp(x)−vp(πn)−1
p−1.

INTRODUCTION AUX ANNEAUX DE FONTAINE, NOTES DU COURS DE M2 5
(ii) Rns’étend par continuité à b F∞et, si Xn={x∈b F∞,Rn(x) = 0}, on peut écrire tout
élément xde b F∞de manière unique sous la forme x= Rn(x)+(γn−1)y, avec y∈Xn, et on a
vp(Rn(x)) > vp(x)−vp(πn), vp(y)> vp(x)−vp(πn)−1
p−1.
Démonstration. — D’après le lemme précédent et la prop. 1.6, on a
x= Rn(x)+(γn−1)y, avec y=
+∞
X
i=1
(γn−1)−1R∗
n+i(x).
On en déduit le (i).
Par ailleurs, d’après le (i), on a vp(Rn(x)) > vp(x)−vp(πn), ce qui prouve que l’application
Fn-linéaire Rnest uniformément continue, et donc s’étend par continuité à b F∞. Le reste du (ii)
se déduit du (i) par passage à la limite.
Remarque 1.9. — (i) Les applications Rn:b F∞→Fnsont connues sous le nom de Traces de
Tate normalisées.
(ii) D’après la prop. 1.6, elles commutent à l’action de ΓF(ou GF).
(iii) On a Rn(x) = xsi x∈F∞et n0. Donc limn→+∞Rn(x) = xsi x∈b F∞.
Exercice 2. — Si Gest un groupe topologique, et Mest un groupe topologique muni d’une
action continue de G, un cocycle continu sur Gà valeurs dans M, est une application continue
g7→ cgde Gdans Mtelle que l’on ait cgh =g(ch) + cgquels que soient h, g ∈G. Le but de cet
exercice est d’étudier les cocycles continus sur ΓFà valeurs dans b F∞. On suppose pour simplifier
que pest impair, et donc que Z∗
pet ΓFsont procycliques.
(i) Montrer que, si c∈b F∞, alors τ7→ (τ−1)cest un cocycle continu sur ΓFà valeurs dans b F∞.
(ii) Soit γun générateur topologique de ΓF. Montrer que tout élément xde F1peut s’écrire
de manière unique sous la forme x0+ (γ−1)y0, avec x0∈Fet y0∈F1vérifiant TrF1/F (y0) = 0.
En déduire que tout élément de b F∞peut s’écrire sous la forme x0+ (γ−1)y, avec x0∈F.
(iii) Soit τ7→ cτun cocycle continu sur ΓF, à valeurs dans b F∞. Montrer, en décomposant cγ
sous la forme x0+ (γ−1)y, qu’il existe a∈Funiquement déterminé, et c∈b F∞, tels que l’on
ait cτ=alog χ(τ)+(τ−1)cquel que soit τ∈ΓF.
1.3. Il n’y a pas de 2iπ dans Cp!
Un analogue p-adique de 2iπ devrait être défini par la formule 2iπ = limn→+∞pnlog ε(n). Le
problème est que l’on a logpε(n)= 0 quel que soit n∈Net donc la formule précédente donne
2iπ = 0, ce qui n’est pas très raisonnable. Si on regarde ce que donne la formule précédente d’un
point de vue galoisien et que l’on utilise la formule σ(ε(n))=(ε(n))χ(σ), si σ∈GQp, on voit que
le minimum que l’on puisse demander à un analogue p-adique de 2iπ est de vérifier la formule
σ(2iπ) = χ(σ)2iπ quel que soit σ∈GQp. Malheureusement (ou heureusement...), on a le résultat
suivant.
Théorème 1.10. — (i) Il n’y a pas d’élément xde Cptel que l’on ait σ(x) = x+ log χ(σ), quel
que soit σ∈GQp(autrement dit, Cpne contient pas d’analogue p-adique de log 2iπ).
(ii) Si k∈Z−{0}, alors {x∈Cp, σ(x) = χ(σ)kx, quel que soit σ∈GQp}={0}.(autrement
dit, Cpne contient pas d’analogue p-adique de (2iπ)k, quel que soit k∈Z− {0}.)