CI4 : Performances des chaînes de transmission CINEMATIQUE DU SOLIDE TD Edition 2 - 12/10/2018 RELATION CINEMATIQUE D’UN SYSTEME BIELLE-MANIVELLE CHAÎNE D’INFORMATION ALIMENTER TRAITER DISTRIBUER COMMUNIQUER CONVERTIR TRANSMETTRE ACTION ACQUERIR CHAÎNE D’ENERGIE Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 1/10 CI4 : Performances des chaînes de transmission CINEMATIQUE DU SOLIDE TD Problématique Edition 2 - 12/10/2018 PROBLEMATIQUE « Un système bielle-manivelle est un mécanisme de transformation de mouvement que l’on rencontre dans de nombreuses applications. Nous chercherons à déterminer la vitesse de translation du piston en fonction de la vitesse de rotation du vilebrequin » B - MODELISER B1 : Identifier et caractériser les grandeurs physiques Proposer des hypothèses simplificatrices en vue de la modélisation agissant sur un système B2 Proposer un modèle de connaissance et de Paramétrer les mouvements d’un solide indéformable comportement C - RESOUDRE C1 : Choisir une démarche de résolution Proposer une démarche permettant de déterminer une loi de mouvement Déterminer la trajectoire d’un point d’un solide par rapport à un autre C2 : Procéder à la mise en œuvre d'une démarche Déterminer le vecteur vitesse d’un point d’un solide par rapport à un autre de résolution analytique Déterminer le vecteur accélération d’un point d’un solide par rapport à un autre Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 2/10 CI4 : Performances des chaînes de transmission CINEMATIQUE DU SOLIDE TD Sommaire Edition 2 - 12/10/2018 Sommaire A.Mise en situation!___________________________________________________________4 A.1.Extraits du cahier des charges 4 A.2.Paramétrage 4 B.Résolution du problème! ____________________________________________________5 B.1.Suite du paramétrage et mouvements 5 B.2.Fermeture cinématique 5 B.3.Résolution numérique 6 Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 3/10 CI4 : Performances des chaînes de transmission CINEMATIQUE DU SOLIDE TD Mise en situation Edition 2 - 12/10/2018 A. Mise en situation A.1. Extraits du cahier des charges Nous nous intéressons dans ce TD à un compresseur, dont le dessin d’ensemble est fourni en dernière page. Le vilebrequin de compresseur est mis en rotation par un moteur à courant continu dont la vitesse de rotation est égale à Nm = 300 tr / mn Le cahier des charges spécifie : Exigence 1 : la pression délivrée doit au moins être égale à P = 106 Pa (10 bar) Exigence 2 : la puissance instantanée utile ne doit pas être supérieure à 600 W. Il vous est demandé, par une étude cinématique et numérique, de vérifier que les exigences du cahier des charges sont respectées A.2. Paramétrage !!!" !" ! OA = ay 1 avec a = 25 mm !!!" !" ! AB = −bx 2 avec b = 55 mm !!!" !!" OB = −λx 0 Par ailleurs, on donne les expressions suivantes, qui fournissent la pression et la puissance en fonction de λ : 1,4 ⎛ 55.10−3 ⎞ ⎟⎟ P0 avec P(λ) pression en Pa, et P0=1,013.105 Pa pression atmosphérique P(λ) = ⎜⎜ −3 90.10 − λ ⎝ ⎠ W(λ) = πD2 P(λ) ⋅ λ! 4 Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes avec W(λ) puissance en W, D diamètre du piston, P(λ) pression en Pa [email protected] 4/10 CI4 : Performances des chaînes de transmission CINEMATIQUE DU SOLIDE TD Résolution du problème Edition 2 - 12/10/2018 B. Résolution du problème B.1. Suite du paramétrage et mouvements Objectif : on cherche dans cette partie à modéliser chacun des mouvements dans le mécanismes par leurs torseurs cinématiques Question 1 Proposer les figures de changement de base. Ecrire les relations de changement de base correspondantes. Question 2 Exprimer les vecteurs rotation !!!!" !!!!" !!!!" Ω1/0 , Ω2/3 et Ω 3/0 . En déduire par composition des mouvements les vecteurs rotation !!!!" !!!" Ω2/0 et Ω2/1 . Question 3 Quel est le mouvement du vilebrequin 1 par rapport au bâti 0 ? En déduire l’expression du torseur cinématique { ν1/0 } au point de réduction le plus judicieux Question 4 Même question avec le mouvement de la bielle 2 par rapport au vilebrequin 1 Question 5 Même question avec le mouvement du piston 3 par rapport à la bielle 2 Question 6 Même question avec le mouvement du piston 3 par rapport au bâti 0 B.2. Fermeture cinématique Objectif : on cherche dans cette partie à établir la loi entrée-sortie cinématique du mécanisme Question 7 Par composition des mouvements, trouver la relation de fermeture cinématique du mécanisme Question 8. Choisir un point de réduction, et transporter tous les torseurs en ce point. Question 9 Exploiter la fermeture cinématique afin de déterminer une relation entre la vitesse de translation du piston λ! , la vitesse de rotation du vilebrequin α! et l’angle de la bielle β . Question 10 Donner l’expression de β en fonction de α grâce à la loi des sinus dans le triangle OAB. En déduire l’expression de β en fonction de a, b et α. Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 5/10 CI4 : Performances des chaînes de transmission CINEMATIQUE DU SOLIDE TD Résolution du problème Edition 2 - 12/10/2018 B.3. Résolution numérique Objectif : on cherche dans cette partie à représenter les lois entrée-sortie (géométrique et cinématique) à l’aide d’une simulation numérique Un script Scilab ébauché est fourni (à télécharger sur le site de la prépa). Cette ébauche est reprise en annexe 2 de ce TD. Chaque base est représentée dans ce script par un vecteur ligne à 3 composantes, représentant les composantes de chaque vecteur unitaire dans la base fixe B0. Ainsi, la base fixe est définie par : x1=[1,0,0] y1=[0,1,0] z1=[0,0,1] L’algorigramme de la résolution est donné ci-dessous : On trouvera en annexe 3 une liste de fonctions Scilab utiles dans ce TD. Question 11 A partir des formules de changement de base déterminées à la question 1, compléter dans le script Scilab des fonctions qui définissent les vecteurs des bases B1 et B2 en fonction des angles α (variable alpha) et β (variable beta). ! ! ! La fonction définissant le vecteur x1 = cosα ⋅ x 0 + sinα ⋅ y 0 est déjà fournie à titre d’exemple. Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 6/10 CI4 : Performances des chaînes de transmission CINEMATIQUE DU SOLIDE TD Résolution du problème Edition 2 - 12/10/2018 Question 12 !!!" !!!" !!!" Les vecteurs OA , AB et BO sont des vecteurs qui dépendant des variables de position α, β et λ. !!!" La fonction permettant de définir le vecteur OA (α) est fournie dans le script ébauché. !!!" !!!" En s’aidant de cet exemple, élaborer les fonctions définissant le vecteur AB(β) et BO(λ) Question 13 ! Ecrire une fonction norme(X) qui renvoie la norme d’un vecteur d’un vecteur X, avec X = X ⋅ X T Question 14 Ecrire une fonction calcul_beta(alpha) qui renvoie la valeur de β en fonction de l’angle α. Question 15 Compléter la routine de calcul de λ(α) par dichotomie. Question 16 Ecrire les instructions permettant de calculer : • la vitesse (variable vitesse) en fonction de N, λ et β ; • la pression (variable pression) en fonction de P0 et λ ; • la puissance (variable puissance) en fonction de la pression P et de la vitesse λ! Question 17 ! Exécuter la routine. Les courbes λ(α) et λ(α) s’affichent, ainsi que les courbes de pression et de puissance. Conclure sur le respect des exigences du cahier des charges Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 7/10 CI4 : Performances des chaînes de transmission CINEMATIQUE DU SOLIDE TD Annexe 1 : Dessin d’ensemble du compresseur (Echelle 1:2) Edition 2 - 12/10/2018 Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 8/10 CI4 : Performances des chaînes de transmission CINEMATIQUE DU SOLIDE TD Annexe 2 : Script Scilab Edition 2 - 12/10/2018 clear;clc; //Définition de la base fixe B0 x0=[1,0,0] y0=[0,1,0] z0=[0,0,1] //Définition des constantes a=25e-3; b=55e-3; D=42e-3; // Diamètre du piston N=350; // Vitesse de rotation P0=1.013e5; // Pression atmosphérique i_adia=1.4; // Indice adiabiatique de l'air epsilon=1e-6; //______________________________________________________ // DEFINITION DES BASES //______________________________________________________ // //Fonction de définition des vecteurs de la base mobile B1 function x1=x1(alpha) x1=[cos(alpha),sin(alpha),0] endfunction // // +++++++++++++++++++++++++++++++++++++ // + + // + A COMPLETER + // + + // +++++++++++++++++++++++++++++++++++++ // //______________________________________________________ // DEFINITION DES VECTEURS //______________________________________________________ // //Fonction de définition du vecteur OA function OA=OA(alpha) OA=a*y1(alpha) endfunction // // +++++++++++++++++++++++++++++++++++++ // + + // + A COMPLETER + // + + // +++++++++++++++++++++++++++++++++++++ // //______________________________________________________ // FONCTION NORME //______________________________________________________ // // +++++++++++++++++++++++++++++++++++++ // + + // + A COMPLETER + // + + // +++++++++++++++++++++++++++++++++++++ // //______________________________________________________ // FONCTION beta(alpha) //______________________________________________________ // // +++++++++++++++++++++++++++++++++++++ // + + // + A COMPLETER + // + + // +++++++++++++++++++++++++++++++++++++ Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes // //______________________________________________________ // ROUTINE PRINCIPALE DE CALCUL DE lambda(alpha) //______________________________________________________ // for alpha=1:360 lambda_min=b-a;lambda_max=a+b; lambda=(lambda_min+lambda_max)/2 // // +++++++++++++++++++++++++++++++++++++ // + + // + A COMPLETER + // + + // +++++++++++++++++++++++++++++++++++++ // //Calcul de la vitesse, de la pression et de la puissance // // +++++++++++++++++++++++++++++++++++++ // + + // + A COMPLETER + // + + // +++++++++++++++++++++++++++++++++++++ // //Ecriture des vecteurs VITESSE(alpha)=vitesse LAMBDA(alpha)=lambda PRESSION(alpha)=pression PUISSANCE(alpha)=puissance end [email protected] 9/10 CI4 : Performances des chaînes de transmission CINEMATIQUE DU SOLIDE TD Annexe 3 : Fonctions Scilab utiles Edition 2 - 12/10/2018 Fonction Scilab permet de définir des fonctions qui peuvent être appelées à tout moment dans l’exécution d’un script. L’exemple ci-dessous définit une fonction mafonction qui renvoie un vecteur [x,y] en fonction de deux grandeurs d’entrée a et b. Plus loin dans le script, cette fonction est appelée et renvoie un vecteur pour les valeurs a=3 et b=2. // définition de la fonction function [x, y]=mafonction(a, b) x=a+b y=a-b endfunction [x,y]=mafonction(3,2) Boucles Boucle répétitive «Tant que» Les instructions incluses dans la boucle répétitive sont réalisées tant que la condition associée à la boucle est vraie while (condition) (instructions) end Boucle conditionnelle «Si - Sinon» La boucle conditionnelle «Si» permet de réaliser des instructions si la condition associée à la boucle est vraie La boucle «Sinon» permet de réaliser des instructions si la condition associée à une boucle «Si» précédente est fausse. if (Condition) then (Instructions) else (Instructions) end Boucle itérative «Pour» La boucle itérative «Pour» permet de réaliser un certain nombre de fois défini une suite d’instructions. L’exemple ci-dessous réaliser 5 fois une instruction, en incrémentant la variable i de 1 à 5 : for i = 1:5 (Instructions) end Opérations sur un vecteur X Le vecteur transposé de X est noté X’ sous Scilab. Ainsi, le carré de la norme de ce vecteur pourra être calculée par X*X’ Tracé simple d’une courbe Si X et Y sont deux vecteurs de même dimension, le tracé de la courbe Y=f(X) est obtenu grâce à l’instruction : plot2d(X,Y); Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 10/10
