Décomposition en éléments simples : Cours et exercices

DECOMPOSITION EN
ELEMENTS SIMPLES
(Rappels mathématiques)
CI1 : Analyse globale et performances d’un système
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DECOMPOSITION EN ELEMENTS SIMPLES
COURS
Edition 4 - 03/11/2019
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!Sommaire
A. _______________________________________________________________Généralités!3
A.1.Problématique!3
A.2.Décomposition en éléments simples!3
B. _________________________________________________________________Exemples!4
B.1.Cas de polynômes du 1er degré!4
B.2.Cas de polynômes du second degré!5
3.Exemple 1
4.Exemple 2
E. _________________________________________________________________Exercices!7
CI1 : Analyse globale et performances d’un système
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Sommaire
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A. Généralités
A.1. Problématique
La modélisation des systèmes asservis fait très majoritairement appel aux fonctions de transfert, issues des
modèles de connaissance transcrites dans le domaine symbolique de Laplace.
Ces fonctions de transfert s’écrivent sous la forme de fraction de polynômes :
!
H(p) =S(p)
E(p) =K
pk
1+α1 p+…+αmpm
1+β1 p+…+β2pn
Cette fonction de transfert est dite de classe k et d’ordre (n+k). k représente le nombre d’intégrateurs du
système.
Trouver la réponse du système décrit par cette fonction de transfert s’avère délicat en la laissant sous cette
forme. En effet, les transformées de Laplace inverse sont fournies pour des fonctions du premier et second ordre.
Or toute fraction rationnelle peut se décomposer en somme de fractions rationnelles de degré 1 ou 2.
L’étude d’une fonction de transfert, aussi complexe soit-elle, se fera donc en décomposant cette dernière en
somme de fractions simples du second degré : c’est la décomposition en éléments simples.
Le résultat final s’obtiendra alors en appliquant le théorème de superposition.
A.2. Décomposition en éléments simples
La fonction de transfert
H(p)
peut s’écrire :
!
H(p) =K
pk
N(pm)
D(pn)
Le dénominateur
D(pn)
peut toujours se décomposer en produit de i polynômes du 1er degré (si les racines
sont réelles) et de j polynômes du second degré (si les racines sont complexes) :
!
D(pn)=1+τ1 p
( )
…1+τip
( )
1+a1 p+b1 p2
( )
…1+ajp+bjp2
( )
avec
n=i+2j
La fonction
H(p)
s’écrira alors sous la forme simplifiée suivante :
!
H(p) =A1
1+τ1 p+A2 1+τ2p+…+Ai 1+τip+B1+C1
p
1+a1 p+b1 p2+…+Bj+Cjp 1+ajp+bjp2
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B. Exemples
Déterminer les coefficients d’une décomposition en éléments simples peut s’avérer fastidieux.
Une méthode satisfaisante consiste à éliminer par des multiplications judicieuses tous les coefficients sauf un.
B.1. Cas de polynômes du 1er degré
Prenons l’exemple de la fonction de transfert suivante :
!
H(p) =3+p
p4−5p2+4=N(p)
D(p)
Le dénominateur est une équation bicarrée, dont les racines sont
±1
et
±2
. Il s’écrit donc :
!
D(p) =−1+p
( )
1+p
( )
−2+p
( )
2+p
( )
La décomposition en éléments simples a donc pour expression initiale :!
!
H(p) =3+p
−1+p
( )
1+p
( )
−2+p
( )
2+p
( )
=A1
p−1+A2 p+1+A3 p−2+A4 p+2
![E1]
Détermination de A1
Le terme
A1
correspond au coefficient de la fraction
1
1−p
.
Multiplions alors [E1] par
−1+p
( )
:
!
3+p
1+p
( )
−2+p
( )
2+p
( )
=A1+1−p
( )
A2
p+1+1−p
( )
A3
p−2+1−p
( )
A4
p+2
![E2]
Il suffit maintenant de calculer [E2] pour p=1 pour avoir directement la valeur de
A1
:
!
3+1
1+1
( )
−2+1
( )
2+1
( )
=A1
Soit au final
!!
A1=−2
3
Détermination de A2
Le terme
A2
correspond au coefficient de la fraction
1
1+p
.
Nous multiplions [E1] par (1+p) et calculons le résultat pour p=-1 :
!
3+p
−1+p
( )
−2+p
( )
2+p
( )
=p+1
( )
A1
−1+p
( )
+A2+1−p
( )
A3
p−2+1−p
( )
A4
p+2
!
!
3−1
−1−1
( )
−2−1
( )
2−1
( )
=A2
Soit au final
!!
A2=1
3
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Détermination de A3 et A4
En multipliant [E1] successivement par (p-2) et et (p+2) , et en calculant le résultat pour p=2 et p=-2 on aboutit
à :
!!
A3=5
12
et
A4=−1
12
Conclusion
La fonction de transfert
H(p) =3+p
p4−5p2+4
se décompose donc en :
!
H(p) =−2
3 p −1
( )
+1
3 p +1
( )
+5
12 p −2
( )
−1
12 p +2
( )
Transformée de Laplace inverse
La fonction h(t), transformée inverse de la fonction H(p), est alors extraite par exploitation de la table des
transformées de Laplace, en appliquant le théorème de superposition :
!
h(t) =−2
3et+1 3e−t+5 12 e2t −1 12 e−2t
B.2. Cas de polynômes du second degré
La détermination des coefficients dans le cas de dénominateurs du second degré se fait après avoir déterminé
les coefficients des dénominateurs du 1er degré, puis en calculant des valeurs particulières.
B.2.1. Exemple 1
Prenons le cas de la fonction de transfert suivante :
!
G(p) =p+2
p(p +5)(p2+4) =A1
p+A2 p+5+B1+C1
p
p2+4
Détermination de A1 et A2
Les termes
A1
et
A2
se déterminent comme expliqué précédemment au C.1.1 :
!
pG(p)
⎡
⎣⎤ ⎦p=0=1
10 =A1
et
p+5
( )
G(p)
⎡
⎣⎤ ⎦p=−5
=2,07.10−2=A2
Détermination de B1 et C1
Choisissons d’abord comme valeur particulière
lim
p→+∞pG(p)
, de façon à faire disparaître
C1
:
!
lim
p→+∞pG(p) =0
Or!
lim
p→+∞pG(p) =lim p→+∞A1+A2
p
p+5+B1
p+C1 p2
p2+4
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥=A1+A2+C1
Donc !
C1=−A1−A2=−0,127
Calculons maintenant, par exemple, la valeur de G(p) pour p=1 :
!
G(1) =3
30 =A1+A2 6+B1+C1 5⇒B1=0,11
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