CI1 : Analyse globale et performances d’un système DECOMPOSITION EN ELEMENTS SIMPLES COURS Edition 4 - 03/11/2019 DECOMPOSITION EN ELEMENTS SIMPLES (Rappels mathématiques) CHAÎNE D’INFORMATION ALIMENTER TRAITER DISTRIBUER COMMUNIQUER CONVERTIR TRANSMETTRE ACTION ACQUERIR CHAÎNE D’ENERGIE Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 1/8 CI1 : Analyse globale et performances d’un système DECOMPOSITION EN ELEMENTS SIMPLES COURS Sommaire Edition 4 - 03/11/2019 Sommaire A.Généralités! _______________________________________________________________3 A.1.Problématique 3 A.2.Décomposition en éléments simples 3 B.Exemples!_________________________________________________________________4 B.1.Cas de polynômes du 1er degré 4 B.2.Cas de polynômes du second degré 5 3.Exemple 1 4.Exemple 2 E.Exercices!_________________________________________________________________7 Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 2/8 CI1 : Analyse globale et performances d’un système DECOMPOSITION EN ELEMENTS SIMPLES COURS Edition 4 - 03/11/2019 A. Généralités A.1. Problématique La modélisation des systèmes asservis fait très majoritairement appel aux fonctions de transfert, issues des modèles de connaissance transcrites dans le domaine symbolique de Laplace. Ces fonctions de transfert s’écrivent sous la forme de fraction de polynômes : H(p) = m S(p) K 1+ α1p +…+ αmp = k E(p) p 1+ β1p +…+ β2pn Cette fonction de transfert est dite de classe k et d’ordre (n+k). k représente le nombre d’intégrateurs du système. Trouver la réponse du système décrit par cette fonction de transfert s’avère délicat en la laissant sous cette forme. En effet, les transformées de Laplace inverse sont fournies pour des fonctions du premier et second ordre. Or toute fraction rationnelle peut se décomposer en somme de fractions rationnelles de degré 1 ou 2. L’étude d’une fonction de transfert, aussi complexe soit-elle, se fera donc en décomposant cette dernière en somme de fractions simples du second degré : c’est la décomposition en éléments simples. Le résultat final s’obtiendra alors en appliquant le théorème de superposition. A.2. Décomposition en éléments simples La fonction de transfert H(p) = H ( p) peut s’écrire : K N(pm ) pk D(pn ) D( p n ) peut toujours se décomposer en produit de i polynômes du 1er degré (si les racines Le dénominateur sont réelles) et de j polynômes du second degré (si les racines sont complexes) : )( ) ( ) D(pn ) = 1+ τ1p … 1+ τ ip 1+ a1p + b1p2 … 1+ a jp + b jp2 avec ( La fonction ) ( n=i+2j H ( p) s’écrira alors sous la forme simplifiée suivante : H(p) = A1 + A2 1+ τ1p 1+ τ 2p Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes +…+ Ai + B1 + C1p 1+ τ ip 1+ a1p + b1p 2 +…+ B j + C jp 1+ a jp + b jp2 [email protected] 3/8 CI1 : Analyse globale et performances d’un système DECOMPOSITION EN ELEMENTS SIMPLES COURS Edition 4 - 03/11/2019 B. Exemples Déterminer les coefficients d’une décomposition en éléments simples peut s’avérer fastidieux. Une méthode satisfaisante consiste à éliminer par des multiplications judicieuses tous les coefficients sauf un. B.1. Cas de polynômes du 1er degré Prenons l’exemple de la fonction de transfert suivante : 3+p N(p) H(p) = 4 = 2 p − 5p + 4 D(p) Le dénominateur est une équation bicarrée, dont les racines sont ( )( )( )( D(p) = −1+ p 1+ p −2 + p 2 + p ±1 et ±2 . Il s’écrit donc : ) La décomposition en éléments simples a donc pour expression initiale : A A A A 3+p H(p) = = 1 + 2 + 3 + 4 p − 1 p + 1 p − 2 p +2 −1+ p 1+ p −2 + p 2 + p ( )( )( )( ) [E1] Détermination de A1 1 . 1− p Le terme A1 correspond au coefficient de la fraction ( ) Multiplions alors [E1] par −1+ p : A3 A2 A4 3+p = A1 + 1− p + 1− p + 1− p p + 1 p − 2 p +2 1+ p −2 + p 2 + p ( )( )( ( ) ) ( ) ( ) [E2] Il suffit maintenant de calculer [E2] pour p=1 pour avoir directement la valeur de A1 : 3+1 = A1 1+ 1 −2 + 1 2 + 1 ( )( )( ) Soit au final A1 = − 2 3 Détermination de A2 Le terme A 2 correspond au coefficient de la fraction 1 . 1+ p Nous multiplions [E1] par (1+p) et calculons le résultat pour p=-1 : A3 A1 A4 3+p = p+1 + A 2 + 1− p + 1− p p−2 p+2 −1+ p −2 + p 2 + p −1+ p ( ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 −1 = A2 −1− 1 −2 − 1 2 − 1 )( )( ) Soit au final A2 = 1 3 Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 4/8 CI1 : Analyse globale et performances d’un système DECOMPOSITION EN ELEMENTS SIMPLES COURS Edition 4 - 03/11/2019 Détermination de A3 et A4 En multipliant [E1] successivement par (p-2) et et (p+2) , et en calculant le résultat pour p=2 et p=-2 on aboutit à: 5 1 A3 = et A 4 = − 12 12 Conclusion La fonction de transfert H(p) = H(p) = − 3+p se décompose donc en : p − 5p2 + 4 4 2 1 5 1 + + − 3 p − 1 3 p + 1 12 p − 2 12 p + 2 ( ) ( ) ( ) ( ) Transformée de Laplace inverse La fonction h(t), transformée inverse de la fonction H(p), est alors extraite par exploitation de la table des transformées de Laplace, en appliquant le théorème de superposition : 2 1 5 1 h(t) = − e t + e−t + e2t − e−2t 3 3 12 12 B.2. Cas de polynômes du second degré La détermination des coefficients dans le cas de dénominateurs du second degré se fait après avoir déterminé les coefficients des dénominateurs du 1er degré, puis en calculant des valeurs particulières. B.2.1. Exemple 1 Prenons le cas de la fonction de transfert suivante : A A B +C p p+2 G(p) = = 1 + 2 + 12 1 2 p(p + 5)(p + 4) p p + 5 p + 4 Détermination de A1 et A2 Les termes A1 et A 2 se déterminent comme expliqué précédemment au C.1.1 : −2 ⎡pG(p)⎤ = 1 = A et ⎡ p + 5 G(p)⎤ ⎣ ⎦p=0 10 1 ⎣ ⎦p=−5 = 2,07.10 = A 2 ( ) Détermination de B1 et C1 Choisissons d’abord comme valeur particulière lim pG(p) , de façon à faire disparaître C1 : p→+∞ lim pG(p) = 0 p→+∞ Or ⎡ B p + C p2 ⎤ p lim pG(p) = lim ⎢A1 + A 2 + 1 2 1 ⎥ = A1 + A 2 + C1 p→+∞ p→+∞ p+5 p + 4 ⎥⎦ ⎢⎣ Donc C1 = −A1 − A 2 = −0,127 Calculons maintenant, par exemple, la valeur de G(p) pour p=1 : A B + C1 3 G(1) = = A1 + 2 + 1 ⇒ B1 = 0,11 30 6 5 Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 5/8 CI1 : Analyse globale et performances d’un système DECOMPOSITION EN ELEMENTS SIMPLES COURS Edition 4 - 03/11/2019 Conclusion La fonction de transfert G(p) = p+2 se décompose donc en p(p + 5)(p2 + 4) 0,1 2,07.10−3 0,11− 0,127p G(p) = + + p p+5 p2 + 4 Transformée de Laplace inverse La fonction g(t), transformée inverse de la fonction G(p), est alors extraite par exploitation de la table des transformées de Laplace, en appliquant le théorème de superposition : 0,11 g(t) = 0,1+ 2,07.10−3 e−5t + sin(2t) − 0,127cos(2t) 2 B.2.2. Exemple 2 Prenons le cas de la fonction de transfert suivante : A B B2 1 H(p) = = 1+ 1 + 2 p p + 2 (p + 2)2 p(p + 2) Détermination de A1 et B2 Les termes A1 et B1 se déterminent comme expliqué précédemment au C.1.1 : 1 ⎡pH(p)⎤ = 1 = A et ⎡ p + 2 2 H(p)⎤ = − = B2 ⎣ ⎦p=0 4 ⎢⎣ ⎥⎦ 1 2 p=−2 ( ) Détermination de B1 Choisissons d’abord comme valeur particulière lim pH(p) , de façon à faire disparaître B2 : p→+∞ lim pH(p) = 0 p→+∞ Or ⎡ ⎤ B 2p ⎥ p ⎢ lim pH(p) = lim ⎢A1 + B1 + = A1 + A 2 p→+∞ p→+∞ p+2 p+2 2 ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ Donc A 2 = −A1 = − ( ) 1 4 Conclusion La fonction de transfert H(p) = 1 se décompose donc en p(p + 2)2 ⎛ 1⎜ 1 1 2 H(p) = ⎜ − − 4 ⎜p p + 2 p + 2 ⎝ ( ) ⎞ ⎟ 2⎟ ⎟ ⎠ Transformée de Laplace inverse La fonction h(t), transformée inverse de la fonction H(p), est alors extraite par exploitation de la table des transformées de Laplace, en appliquant le théorème de superposition : 1 g(t) = 1− e−2t − 2te−2t 4 ( Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes ) [email protected] 6/8 CI1 : Analyse globale et performances d’un système DECOMPOSITION EN ELEMENTS SIMPLES COURS Edition 4 - 03/11/2019 C. Exercices Décomposer en éléments simples les fractions polynomiales suivantes, puis établir l’expression des transformées inverses de Laplace 1. H1(p) = 2. H2 (p) = 3. H3 (p) = 4. H4 (p) = 5. H5 (p) = 6. H6 (p) = 1 (p + a) (p + b) p+a p+b p+a (p + b) 2 1 2 (p + a) (p + b) p+a p+b p+c ( )( ) p+a 2 (p + b) (p + c) Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 7/8 CI1 : Analyse globale et performances d’un système DECOMPOSITION EN ELEMENTS SIMPLES COURS Annexe : Extrait de la table des transformées de Laplace Edition 4 - 03/11/2019 Fonction temporelle (Domaine réel) Transformée de Laplace (Domaine symbolique) u(t) = 1 U(p) = 1 p v(t) = kt U(p) = k p2 U(p) = s(t) = e−at 1 p+a 1 s(t) = te−at U(p) = s(t) = sinωt U(p) = ω p + ω2 s(t) = cosωt U(p) = p p + ω2 s(t) = e−at sinωt U(p) = s(t) = e−at cosωt U(p) = Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] (p + a) 2 2 2 ω (p + a) 2 + ω2 p+a (p + a) 2 + ω2 8/8
