1
GEL-15216 Électrotechnique
CORRIGÉ DES EXERCICES DU CHAPITRE 2
2.1
Circuit monophasé équivalent:
A IA
Zli
A’
+
+
VAN
VA’N’
-
-
N
N’
Zli = (0.2+j0.8) Ω
Z
Z = (15.8+j11.2) Ω
Le courant de ligne A est:
V AN
120 ∠0°
I A = ---------------- = ------------------------------------------------------------------------ = 6 ∠– 36.9° A
Z li + Z
( 0.2 + j0.8 ) + ( 15.8 + j11.2 )
Le courant de ligne B est:
I B = 6 ∠– 156.9° A
Le courant de ligne C est:
I C = 6 ∠83.1° A
V A′N′ = ZI A = ( 15.8 + j11.2 ) ( 6 ∠– 36.9° ) = 116.20 ∠– 1.5° V
La tension ligne-neutre VB’N’ à la charge: V B′N′ = 116.20 ∠– 121.5° V
La tension ligne-neutre VA’N’ à la charge:
La tension ligne-neutre VC’N’ à la charge: V C′N′ = 116.20 ∠118.5° V
π
2.2
La tension ligne-ligne VA’B’ à la charge:
– j --
6
V A′B′ = V A′N′ 3e = 201.27 ∠28.5° V
La tension ligne-ligne VB’C’ à la charge:
V B′C′ = 201.27 ∠– 91.5 ° V
La tension ligne-ligne VC’A’ à la charge:
V C′A′ = 201.27 ∠148.5° V
On convertit la charge ∆ en une charge Y:
(0.5+j1.5) Ω
A
B
C
Zli
(0.5+j1.5) Ω
Zli
(0.5+j1.5) Ω
Zli
50 Ω
A’
50 Ω
B’
C’
50 Ω
(24+j18) Ω
(24+j18) Ω
(24+j18) Ω
Car les deux charges Y sont équilibrées, les deux points neutre sont au même potentiel et on peut considérer que les impédances dans chaque phase sont en parallèle.
2
GEL-15216 Électrotechnique
Le circuit monophasé équivalent:
(0.5+j1.5) Ω
IA
50 Ω
A’
Zli
A
(18.1+j7.76) Ω
(24+j18) Ω
+
+
|VA’N| = 1200 V
VAN
-
-
N
La tension ligne-neutre est prise comme référence de phase:
V A′N = 1200 ∠0°
V A′N
1200 ∠0°
I A = ------------------------------------------- = ---------------------------------- = 60.93 ∠– 23.2° A
50 ( 24 + j18 )
( 50 ) || ( 24 + j18 )
---------------------------------50 + 24 + j18
La tension ligne-neutre à la source est:
V AN = V A′N + Z li I A = 1200 ∠0° + ( 0.5 + j1.5 ) ( 60.93 ∠– 23.2° ) = 1266 ∠3.3° V
Le courant de ligne IA est:
La valeur efficace du courant de phase dans la charge Y est:
V A′N
1200
I Y = --------------- = ------------- = 24 A
50
50
V A′B′
1200 × 3
La valeur efficace du courant de triangle dans la charge ∆ est: I ∆ = ------------------------ = ----------------------------- = 23.1 A
72 + j54
2
2
72 + 54
2.3
A
B
IA
Zli
IB
Zli
A’
IAB
+
VA’B’
Z
- B’
IBC
ICA
Z
IC
La séquence de phase est
inverse (ACB)
Z
C’
Zli
C
Z = (60 + j45) Ω
Zli = (0.8 + j0.6) Ω
La tension ligne-ligne à la charge est prise comme référence de phase: VA’B’ = 831.4 /0° V
Le courant de triangle IAB est:
V A′B′
831.4 ∠0°
I AB = -------------- = -------------------------- = 11.08 ∠– 36.9° A
Z
60 + j45
Le courant de triangle IBC est:
I BC = I AB e
Le courant de triangle ICA est:
Le courant de ligne IA est:
I CA = I AB e
= 11.08 ∠– 156.9 ° A
I A = I AB – I CA = 11.08 ∠– 36.9° – 11.08 ∠– 156.9 ° = 19.2 ∠– 6.9 ° A
Le courant de ligne IB est:
IB = IA e
j2π ⁄ 3
= 11.08 ∠83.1 ° A
– j2π ⁄ 3
Le courant de ligne IC est:
IC = IA e
La tension ligne-ligne VAB à la source:
j2π ⁄ 3
–j2 π ⁄ 3
= 19.2 ∠ 113.1° A
= 19.2 ∠– 126.9 ° A
V AB = V A′B′ + Z li I A – Z li I B = 864.7 ∠ 0° V
La tension ligne-ligne VBC à la source:
V BC = V AB e
La tension ligne-ligne VCA à la source:
V CA = V AB e
j2π ⁄ 3
–j2 π ⁄ 3
= 864.7 ∠ 120° V
= 864.7 ∠– 120 ° V
3
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2.6
a)
IA
A
IAB
P1
13.8 kV
Z
IB
B
P2
Z
ICA
IC
C
Z = (240-j70) Ω
Z
IBC
2
La puisance complexe dans l’impédance ZAB:
2
V AB
( 13800 )
S AB = ---------------- = ------------------------ = 731290 – j213290
240 + j70
Z∗
6
5
La puissance complexe totale fournie par la source est: S T = 3 × S AB = 2.1939 ×10 – j6.3988 ×10
La puissance active totale:
La puissance réactive totale:
b) La tension VAB est:
La tension VBC est:
La tension VCA est:
PT = 2.1939 MW
Q T = 0.63988 MVAR
VAB = 13800/0° V
VBC = 13800/-120° V
VCA = 13800/120° V
Le courant IAB est:
V AB
13800 ∠0°
I AB = ----------- = --------------------------- = 55.2 ∠16.3° A
Z
240 – j70
Le courant de ligne IA est:
I A = I AB × 3 e
Le courant de ligne IB est:
IB = IA e
– j2π ⁄ 3
–jπ ⁄ 6
= 95.61 ∠– 13.7° A
= 95.61 ∠– 133.7° A
Le premier wattmètre indique:
5
P 1 = Re { V AC I A∗ } = Re { 13800 ∠– 60° × 95.61 ∠13.7 ° } = 9.1222 ×10 W
Le deuxième wattmètre indique:
6
P 2 = Re { V BC I B∗ } = Re { 13800 ∠– 120° × 95.61 ∠ 113.7° } = 1.2817 ×10 W
2.4
Source
triphasée
N
+
A
IA
+
B
IB
+
C
IC
Ligne
Zli
Zli
Zli
7.2 kW
5.4 kVAR
A’
B’
207.85 V
C’
Zli = (1 + j3) Ω
La tension ligne-ligne à la charge:
Charge
∆
(11.52 - j8.64) Ω / phase
V A′B′ = 120 × 3 = 207.85 V
La puissance complexe totale dans la charge ∆:
2
2
V A′B′
( 207.8 )
S ∆ = 3 × ------------------------------------------ = 3 × ---------------------------------- = 7200 – j5400
11.52 + j8.64
( 11.52 – j8.64 )∗
Les deux charges sont connectées en parallèle. La puissance complexe totale est égale à la somme des
puissances complexes des deux charges:
4
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ST = 14400
La charge globale est dans ce cas purement résistive. Elle peut être représentée par 3 résistances con2
( 120 )
nectées en Y. La valeur de chaque résistance est: R = ---------------------- = 3 Ω.
14400
----------------
3
Le circuit monophasé équivalent:
IA
A’
A
Zli
+
+
VA’N’
VAN
3Ω
- N’
-
N
La tension ligne-neutre à la charge est égale à 120 V:VA’N’ = 120/0° V
Le courant de ligne:
V A′N′
I A = -------------- = 40 ∠0° A
3
La tension ligne-neutre à la source: V AN = V A′N′ + Z li I A = ( 120 ∠0 ° ) + ( 1 + j3 )40 ∠0° = 200 ∠36.9° V
La tension ligne-ligne à la source est égale à: V AB =
2.5
a) Le circuit monophasé équivalent:
A IA Zli
A’
+
+
VAN
VA’N’
-
-
N
N’
3 × 200 = 346.4 V
Zli = (0.35+j2.1) Ω
Z
120 kW
fp = 0.90 AR
La tension ligne-neutre à la charge est:
2400
V A′N′ = ------------- = 1385.6 V
3
Le courant de ligne est égal à:
PA
120000
I A = ------------------------------------- = --------------------------------- = 96.225 A
1385.6 × 0.9
V A′N′ × cos φ
Le déphasage entre IA et VA’N’ est:
φ = arc cos ( 0.9 ) = 25.8°
La tension ligne-neutre à la source: V AN = V A′N′ + Z li I A = 1385.6 ∠0° + ( 0.35 + j2.1 ) ( 96.225 ∠– 25.8° )
V AN = 1513.3 ∠6.3° V
V AB = V AN × 3 = 1513.3 × 3 = 2621.1 V
b) Les pertes sur la ligne de transport correspondent à la puissance active dissipée sur les 3 lignes A,B,C:
La tension ligne-ligne à la source:
Pertes = 3 × 0.35 × I A
2
= 9722 W
5
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c) Compensation du facteur de puissance:
I’ A
A’
A
Zli
+
VA’B’
I’B
B
Zli
IA
IC1
2400 V
IB
- B’
360 kW
fp = 0.90 AR
IC2
I’C
C
IC
C’
Zli
IC3
Zli = (0.35+j2.1) Ω
Cx
Cx
Cx
On suppose que la tension ligne-ligne à la charge demeure inchangée (2400 V).
Le circuit monophasé équivalent:
Zli = (0.35+j2.1) Ω
VA’N’= 1385.6 V
IA A’
A I’A Zli
+
+
IC1
Cx
VAN
VA’N’
-
N
Z
120 kW
fp = 0.90 AR
N’
fp = 0.95 AR
Q =
Puissance réactive de la charge:
2
S –P
2
2
=
2
120000
-------------------- – ( 120000 ) = 58119 VAR
0.9
Le diagramme des puissances:
Q=58.119 kVAR
QC
S
S’
Q’=18.677 kVAR
P=120 kW
2
2
S′ – P =
2
2
120000
-------------------- – ( 120000 ) = 39442 VAR
0.95
Puissance réactive après compensation:
Q′ =
Puisance réactive d’un condensateur:
Q C = Q – Q′ = 58119 – 39442 = 18677 VAR
2
2
V A′N′
( 1385.6 )
Réactance d’un condensateur: X Cx = -------------------- = -------------------------- = 102.8 Ω
QC
18677
La valeur d’un condensateur:
1
1
Cx = ------------------- = ---------------------------------- = 25.8µF
2πfX Cx
120π × 102.8
Le courant efficace dans chaque condensateur:
La nouvelle valeur du courant de ligne:
V A′N′
1385.6
I C1 = ----------------- = ------------------ = 13.48 A
102.8
X Cx
PA
120000
I A ′ = -------------------------------------- = ------------------------------------ = 91.16 A
1385.6 × 0.95
V A′N′ × cos φ′
Les pertes sur la ligne de transport correspondent à la puissance active dissipée sur les 3 lignes A,B,C:
Pertes = 3 × 0.35 × I A ′
2
= 8726 W
6
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2.11
Source
triphasée
208 V / 60 Hz
-
VAN
+
Charge
IA
A
IAB
N
-
VBN
+
Z
IB
B
Z
IBC
-
VCN
+
Z
IC
C
ICA
Z = (15 + j10) Ω
2
2
V AB
208
a) La puissance complexe totale:
S = 3 × ---------------- = 3 × --------------------- = 5990 + j3994
15 – j10
Z∗
Puissance active totale dans la charge: P = 5990 W
Puissance réactive totale dans la charge:Q = 3994 VAR
10
φ = arctg ------ = 33.7°
15
L’angle φ de la charge:
Facteur de puissance de la charge:
fp = cosφ = cos(33.7°) = 0.832
V AB
208 ∠30°
I AB = ----------- = ------------------------ = 11.54 ∠– 3.7 ° A
Courant de triangle
Z
15 + j10
Note: La tension VAN est prise comme référence de phase.
I A = I AB × 3e
Courant de ligne:
–j ( π ⁄ 6 )
= 19.98 ∠– 33.7° A
b)
Source
triphasée
208 V / 60 Hz
-
VAN
+
A
Charge
IA
IAB
N
-
VBN
+
B
Z
IB
Z
IBC
-
VCN
+
C
Z
IC
Z = (15 + j10) Ω
250 µF
250 µF
Réactance d’un condensateur:
ICA
250 µF
1
1
X C = ------------- = -------------------------------------------- = 10.61Ω
–6
2πfC
120π × 250 ×10
2
Puissance réactive totale des trois condensateurs:
2
V AN
( 208 ⁄ 3 )
Q CT = 3 × ----------------- = 3 × ----------------------------- = 4072 VAR
XC
10.61
La puissance complexe de la charge devient:
S′ = S – jQ C = 5990 + j3994 – j4072 = 5990 – j78
Nouvelle valeur du facteur de puissance:
5990
P
fp′ = -------- = ------------------------------------ = 0.9999 (Avant)
S′
2
2
5990 + 78
Nouvelle valeur de l’angle φ de la charge:
φ′ = arc cos ( 0.9999 ) = 0.8°
Nouvelle valeur du courant de ligne IA:
5990
P
I A = ----------------------------------------- = ------------------------------------------------ = 16.63 A
3 × 208 × 0.9999
3 × V AB × fp′
Nouvelle valeur de la phase de IA:
∠I A = 0.8°
7
GEL-15216 Électrotechnique
2.7
a)
Source
triphasée
208 V / 60 Hz
-
-
N
-
VAN
VBN
VCN
Le wattmètre no. 1 indique:
+
Z
Wattmètre
no. 1
P1
IB
+
B
+
C
Z
Z
I A cos θ 1 avec θ1 = déphasage entre VAB et IA
I C cos θ 2 avec θ2 = déphasage entre VCB et IC
VCB
π
θ 2 = φ – --6
θ2
VCN
VAB
IC
π/6
φ
π/6
π
θ 1 = φ + --6
θ1
VAN
φ
IA
IB
VBN
π
θ 1 = φ + --6
D’après le diagramme vectoriel, on a:
On a:
On déduit:
et
π
θ 2 = φ – --6
π
V L I L cos φ + ---
P1
6
3 – tgφ
------ = ----------------------------------------- = ---------------------P2
π
3 + tgφ
V L I L cos φ – ---
6
tgφ =
P 2 – P1
3 × -------------------- =
P2 + P1
4.8 – 2.0
3 × ----------------------- = 0.7132
4.8 + 2.0
L’angle φ de la charge est:
φ = arctg ( 0.7132 ) = 35.5°
Le facteur de puissance de la charge est:
fp = cos φ = cos ( 35.5° ) = 0.814
b) La puissance active totale est:
Le courant de ligne est:
N’
Wattmètre
no. 2
P2
IC
P 1 = V AB
P 2 = V CB
Le wattmètre no. 2 indique:
Charge
IA
A
P = P 1 + P 2 = 6.8 kW
6800
P
I L = ---------------------------------------- = --------------------------------------------- = 23.18 A
3 × 208 × 0.814
3 × V L × cos φ
8
GEL-15216 Électrotechnique
c) Le module de Z est:
VL ⁄ 3
120.09
Z = ------------------ = ------------------ = 5.18 Ω
23.18
IL
L’impédance Z est donc:
Z = 5.18 ∠35.5° Ω
2.8
Source
triphasée
600 V / 60 Hz
(inverse acb)
VAN
-
A
IA
+
B
IB
+
C
IC
VBN
-
N
+
Z
Z
P1
VCN
-
Charge
Wattmètre
Z
Z = (15 + j12) Ω
P 1 = V BC I B cos θ 1
Le wattmètre indique:
L’angle de la charge est:
avec θ1 = déphasage entre VBC et IB
12
φ = arctg ------ = 38.7°
15
VBC
θ1
π
θ 1 = φ – --6
VBN
IB
π/6
φ
VAN
IC
IA
VCN
D’après le diagramme vectoriel, on a:
π
θ 1 = φ – --6
V AB
3 × ------------- =
Z
600
3 × --------------- = 54.1 A
19.21
Le courant de ligne est:
IA =
Le wattmètre indiquera:
P 1 = ( 600 ) ( 54.1 ) cos ( 38.7° – 30° ) = 32087 W
9
GEL-15216 Électrotechnique
2.10
Source
triphasée
N
+
A
IA
+
B
IB
+
C
IC
Ligne
15 kW
fp = 0.85 AR
A’
Zli
2400 V
B’
Zli
φ 1 = 31.8°
C’
Zli
Charge
∆
(540 + j480) Ω / phase
La puissance réactive dans la première charge: Q 1 = P 1 tgφ 1 = 15000 × tg ( 31.8° ) = 9300.4 VAR
2
2
V A′B′
2400
S 2 = 3 × ------------------- = 3 × --------------------------- = 17876 + j15890
540 – j480
Z∗
La puissance complexe dans la charge ∆:
La puissance active totale des deux charges est: P T = P 1 + P 2 = 17876 + 15000 = 32876 W
La puissance réactive totale des deux charges est: Q T = Q 1 + Q 2 = 15890 + 9300.4 = 25190 VAR
PT
PT
fp = cos φ = ------- = ------------------------- = 0.794
Le facteur de puissance global des deux charges:
ST
2
2
PT + QT
PT
32876
I A = ----------------------------------- = ------------------------------------------------ = 9.96 A
3V A′B′ cos φ
3 × 2400 × 0.794
Le courant de ligne IA est:
c) Compensation du facteur de puissance:
Source
triphasée
N
+
A
IA
+
B
IB
C
IC
+
Ligne
15 kW
fp = 0.85 AR
A’
Zli
2400 V
B’
Zli
φ 1 = 31.8°
C’
Zli
Charge
∆
Cx
Cx
Cx
Nouvelle valeur de la puissance apparente:
PT
32876
S′ = ------- = ---------------- = 36529 VA
0.9
fp′
Nouvelle valeur de la puissance réactive:
QT ′ =
2
2
S′ – P T = 15923 VAR
(540 + j480) Ω / phase
10
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Diagramme des puissances:
QT = 25.190 kVAR
QCT = 9.263 kVAR
S
S’
Q’T = 15.923 kVAR
φ’ = 25.8°
PT = 32.876 kW
Puissance réactive totale des condensateurs:
La puissance réactive de chaque condensateur:
Q CT = Q T – Q T ′ = 25190 – 15923 = 9263 VAR
Q CT
9263
Q C = ----------- = ------------- = 3088 VAR
3
3
2
2
V A′N
( 2400 ⁄ 3 )
X C = ------------------ = -------------------------------- = 621.8 Ω
QC
3088
La réactance d’un condensateur:
1
1
C = ----------------- = ---------------------------------- = 4.27µF
2πfX C
120π × 621.8
La valeur d’un condensateur:
PT
32876
I A ′ = ------------------------------------- = ----------------------------------------- = 8.79 A
3V A′B′ cos φ′
3 × 2400 × 0.9
La nouvelle valeur du courant de ligne IA est:
2.13
a) La ligne neutre est connectée
Source
triphasée
208 V / 60 Hz
-
N
-
-
Charge dissymétrique
VAN
+
A
IA
+
B
IB
+
C
IC
VBN
VCN
ZA = 10 Ω
ZA
ZB
ZC
N’
ZB = (15 + j10) Ω
ZC = -j30 Ω
IN
Dans ce cas, on a trois circuits monophasés indépendants. Les courants de ligne sont calculés séparément.
V AN
120 ∠0°
Courant de ligne A:
I A = ----------- = --------------------- = 12 ∠0° A
10
ZA
Courant de ligne B:
V BN
120 ∠– 120 °
I B = ----------- = ------------------------------ = 6.66 ∠– 153.7 ° A
15 + j10
ZB
Courant de ligne C:
V CN
120 ∠120°
I C = ----------- = --------------------------- = 4 ∠– 150 ° A
– j30
ZC
Courant dans la ligne neutre:
I N = I A + I B + I C = 5.58 ∠– 62.6° A
11
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Diagramme vectoriel
VBN
IA
VAN
IB
IN
IC
VCN
Puissance complexe dans la phase A:
Puissance complexe dans la phase B:
Puissance complexe dans la phase C:
Puissance complexe totale:
S A = V AN I A∗ = ( 120 ∠0° ) ( 12 ∠0 ° ) = 1440
S B = V BN I B∗ = ( 120 ∠– 120 ° ) ( 6.66 ∠153.7° ) = 664.6 + j443.1
S C = V CN I C∗ = ( 120 ∠120° ) ( 4 ∠150 ° ) = – j480
S T = S A + S B + S C = 2104.6 – j36.9
PT
2104.6
fp = ---------- = ---------------------------------------------- = 0.9998
ST
2
2
2104.6 + 36.9
Facteur de puissance global:
b) La ligne neutre est déconnectée:
Source
triphasée
208 V / 60 Hz
-
N
-
-
VAN
VBN
VCN
Charge dissymétrique
+
A
IA
+
B
IB
+
C
IC
ZA = 10 Ω
ZA
ZB
N’
ZC = -j30 Ω
ZC
On transforme la charge Y en charge ∆:
Source
triphasée
208 V / 60 Hz
-
Charge dissymétrique
VAN
+
A
IA
IAB
N
-
VBN
+
B
IB
ZAB
IBC
-
VCN
+
C
IC
ZBC
ZB = (15 + j10) Ω
ZCA
ICA
12
GEL-15216 Électrotechnique
Les impédances de triangle:
ZAZB + ZB ZC + ZC ZA
Z AB = -------------------------------------------------------- = 21.67 + j15 = 26.35 ∠34.7 ° Ω
ZC
ZA ZB + ZBZC + ZCZA
Z BC = -------------------------------------------------------- = 45 – j65 = 79.06 ∠– 55.3 ° Ω
ZA
ZA ZB + ZBZC + ZCZA
Z CA = -------------------------------------------------------- = 0.77 – j43.85 = 43.85 ∠– 89 ° Ω
ZB
Les courants de triangle:
V AB
208 ∠30°
I AB = ----------- = ---------------------------------- = 7.89 ∠– 4.7° A
26.35 ∠34.7°
Z AB
V BC
208 ∠– 90°
I BC = ----------- = ------------------------------------- = 2.63 ∠– 34.7° A
79.06 ∠– 55.3 °
Z BC
V CA
208 ∠150°
I CA = ----------- = -------------------------------- = 4.74 ∠– 121° A
43.85 ∠– 89 °
Z CA
Les courants de ligne:
I A = I AB – I CA = ( 7.89 ∠– 4.7° ) – ( 4.74 ∠– 121° ) = 10.85 ∠18.3° A
I B = I BC – I AB = ( 2.63 ∠– 34.7° ) – ( 7.89 ∠–4.7° ) = 5.76 ∠– 171.5° A
I C = I CA – I BC = ( 4.74 ∠– 121° ) – ( 2.63 ∠– 34.7 ° ) = 5.27 ∠– 150.9° A
Puissance complexe dans phase A:
Puissance complexe dans phase B:
Puissance complexe dans phase C:
La puissance complexe totale:
S A = V AN I A∗ = ( 120 ∠0° ) ( 10.85 ∠– 18.3° ) = 1236.3 – j410
S B = V BN I B∗ = ( 120 ∠– 120° ) ( 5.76 ∠171.5° ) = 430.4 + j541.2
S C = V CN I C∗ = ( 120 ∠120° ) ( 5.27 ∠150.9° ) = 9.5 – j632.3
S T = S A + S B + S C = 1676.2 – j501.1
PT
1676.2
fp = ------- = ------------------------------------------------- = 0.958
ST
2
2
1676.2 + 501.1
Le facteur de puissance global:
2.14
VAN
Source
triphasée
208 V / 60 Hz
VBN
+
A
IA
+
B
IB
C
IC
N
VCN
+
Z1 = (10 + j10) Ω
Z1
Z2
N’
Z3 = 30 Ω
Z3
Z4 = 20 Ω
Z4
Z6
Z5
a) On convertit la charge Y en charge ∆:
Z1 Z2 + Z2 Z3 + Z3 Z 1
Z AB1 = ----------------------------------------------------- = 40 + j3.33 Ω
Z3
Z2 = (20 - j10) Ω
Z5 = (20 + j20) Ω
Z6 = (10 - j20) Ω
13
GEL-15216 Électrotechnique
Z1 Z2 + Z2 Z3 + Z3 Z1
Z BC1 = ----------------------------------------------------- = 65 – j55 Ω
Z1
Z1 Z2 + Z2 Z3 + Z3 Z1
Z CA1 = ----------------------------------------------------- = 46 + j28 Ω
Z2
On combine les deux charges ∆ en parallèle en combinant les impédances deux par deux:
Z AB = Z AB1 || Z 4 = 13.35 + j0.37 Ω
Z BC = Z BC1 || Z 5 = 23.31 + j11.95 Ω
Z CA = Z CA1 || Z 6 = 16.25 – j13.75 Ω
On calcule les courants de triangle dans la charge équivalente:
V AB
208 ∠30°
I AB = ----------- = ---------------------------------- = 15.56 ∠28.4° A
13.35 + j0.37
Z AB
V BC
208 ∠– 90 °
I BC = ----------- = -------------------------------------- = 7.93 ∠– 117.1 ° A
23.31 + j11.95
Z BC
V CA
208 ∠150°
I CA = ----------- = ------------------------------------- = 9.76 ∠–169.8 ° A
16.25 – j13.75
Z CA
Les courants de ligne sont:
I A = I AB – I CA = ( 15.56 ∠28.4° ) – ( 9.76 ∠– 169.8 ° ) = 25.02 ∠21.4° A
I B = I BC – I AB = ( 7.93 ∠– 117.1 ° ) – ( 15.56 ∠28.4 ° ) = 22.55 ∠– 140.1° A
I C = I CA – I BC = ( 9.76 ∠– 169.8 ° ) – ( 7.93 ∠– 117.1 ° ) = 8.01 ∠138.4° A
b) La puissance complexe totale dans la charge est calculée en calculant la puissance complexe totale
fournie par la source:
Phase A:
S A = V AN I A∗ = ( 120 ∠0° ) ( 25.02 ∠21.4 ° )∗ = 2795 – j1097
Phase B:
S B = V BN I B∗ = ( 120 ∠– 120° ) ( 22.55 ∠– 140.1° )∗ = 2541 + j930
S C = V CN I C∗ = ( 120 ∠120° ) ( 8.01 ∠138.4° ) ∗ = 913 – j303
La puissance complexe totale dans la charge est:
S = S A + S B + S C = 6249 – j470
Phase C:
Le facteur de puissance de la charge:
P
6249
fp = ---- = --------------------------------------- = 0.997 AV
S
2
2
6249 + 470
c)
Le wattmètre no. 1 indiquera:
P 1 = Re { V AC I A∗ } = 3243 W
Le wattmètre no. 2 indiquera:
P 2 = Re { V BC I B∗ } = 3006 W
14
GEL-15216 Électrotechnique
2.15
a)
Source
triphasée
60 Hz
désquilibrée
-
-
N
VAN = 60/0º
-
VBN = 120/-120º
Charge équilibrée
VAN
VBN
VCN
+
A
IA
+
B
IB
+
C
IC
Z
Z
N’
Z
Z = (10 + j30) Ω
VCN = 120/120º
VCN
VAN
VBN
a) Les composantes symétriques sont données par la relation suivante:
2
V AN
1 a
1 a a
1
1
× V BN = --- ×
2
2
V i = --- ×
3
3
1 a a
1 a
V0
V CN
1 1 1
1 1
Vd
2
60 ∠0°
× 120 ∠– 120°
a
120 ∠120°
1
a
où a = e
2π
j ------3
Vd
100
V i = – 20
– 20
V0
On a:
Le neutre n’est pas connecté. Par conséquent, le courant homopolaire est égal à zéro:
Les circuits monophasés équivalents pour les systèmes direct et inverse sont identiques.
On a:
Vd
100
I d = ------ = --------------------- = 3.16 ∠– 71.6° A
Z
10 + j30
Vi
– 20
I i = ----- = --------------------- = 0.632 ∠108.4 ° A
Z
10 + j30
Les courants de lignes sont donnés par la relation suivante:
IA
1 1 1
Id
1 1 1
3.16 ∠– 71.6°
2
=
=
×
×
IB
Ii
0.632 ∠108.4°
a a 1
a a 1
2
2
0
IC
I0
a a 1
a a 1
2
I0 = 0
15
Chapitre 2 - Circuits triphasés
IA
2.53 ∠– 71.6°
I B = 3.52 ∠ 177.4° A
3.52 ∠39.5°
IC
La puissance complexe totale dans la charge est calculée en calculant la puissance complexe dans chaque phase:
Phase A:
S A = V AN I A∗ = ( 60∠ 0° ) ( 2.53 ∠– 71.6° )∗ = 48 + j144
Phase B:
Phase C:
S B = V BN I B∗ = ( 120 ∠– 120° ) ( 3.52 ∠ 177.4° )∗ = 194.4 + j375.2
S C = V CN I C∗ = ( 120 ∠120° ) ( 3.52 ∠39.5° )∗ = 69.6 + j416.8
La puissance complexe totale dans la charge est:
S = S A + S B + S C = 312 + j936
b)
Source
triphasée
60 Hz
désquilibrée
-
VAN
Charge déséquilibrée
+
A
IA
IAB
N
-
+
B
IB
-
VCN
+
C
IC
Z3
VCN = 120/120º
VCN
VCA
VBC
VCA = 158.8/139.1°
VAN
VBC = 208/-90°
VAB
Z1 = (20 +j10) Ω
Z1
IBC
VAN = 60/0º
VBN = 120/-120º
VBN
VAB = 158.8/40.9°
VBN
Les courants de triangle sont:
V AB
158.8 ∠40.9°
I AB = ----------- = ---------------------------------- = 7.10 ∠14.3° A
20 + j10
Z AB
V BC
208 ∠– 90 °
I BC = ----------- = --------------------------- = 14.7 ∠–45 ° A
10 – j10
Z BC
V CA
158.8 ∠ 139.1°
I CA = ----------- = ------------------------------------- = 10.58 ∠139.1° A
15
Z CA
Les courants de ligne sont:
I A = I AB – I CA = ( 7.10 ∠ 14.3° ) – ( 10.58 ∠139.1° ) = 15.75 ∠– 19.2° A
Z2
ICA
Z2 = 15 Ω
Z3 = (10 - j10) Ω
16
GEL-15216 Électrotechnique
I B = I BC – I AB = ( 14.7 ∠– 45 ° ) – ( 7.10 ∠14.3° ) = 12.65 ∠– 73.9° A
I C = I CA – I BC = ( 10.58 ∠ 139.1° ) – ( 14.7 ∠– 45 ° ) = 25.26 ∠136.7° A
La puissance complexe totale dans la charge est calculée en calculant la puissance complexe dans chaque phase:
Phase A:
S A = V AN I A∗ = ( 60 ∠0° ) ( 15.75 ∠– 19.2° )∗ = 893 + j310
S B = V BN I B∗ = ( 120 ∠– 120° ) ( 12.65 ∠– 73.9° )∗ = 1052 – j1094
S C = V CN I C∗ = ( 120 ∠120° ) ( 25.26 ∠136.7 ° ) ∗ = 2903 – j872
Phase B:
Phase C:
S = S A + S B + S C = 4848 – j1656
La puissance complexe totale dans la charge est:
2.16
Source
triphasée
60 Hz
désquilibrée
-
-
N
VAN = 170/0º
-
VBN = 170/60º
VAN
VBN
VCN
Charge dissymétrique
+
A
IA
+
B
IB
+
C
IC
ZA = -j15 Ω
ZA
ZB
ZC
N’
ZB = (10 -j20) Ω
ZC = (10 +j20) Ω
VCN = 170/120º
VCN
VBC
VBN
VCA
VAB
VAN
a) On décomposer la source en composantes symétriques:
2
V AN
1 a
1 a a
1
1
× V BN = --- ×
2
2
V i = --- ×
3
3
1 a a
1 a
V0
V CN
1 1 1
1 1
Vd
2
120 ∠0°
× 120 ∠ 60°
a
120 ∠120°
1
a
Vd
On a:
40
V i = 80 ∠– 60°
80 ∠60°
V0
b) On calcule les tensions ligne-ligne de la source:
V AB = V AN – V BN = ( 120 ∠0° ) – ( 120 ∠60° ) = 120 ∠– 60° V
V BC = V BN – V CN = ( 120 ∠60° ) – ( 120 ∠120° ) = 120 ∠0° V
V CA = V CN – V AN = ( 120 ∠120° ) – ( 120 ∠0° ) = 208 ∠150° V
On convertit la charge Y en ∆:
ZAZB + ZB ZC + ZC ZA
Z AB = -------------------------------------------------------- = – 1.25 – j31.25 Ω
ZC
où a = e
2π
j ------3
17
Chapitre 2 - Circuits triphasés
ZA ZB + ZBZC + ZCZA
Z BC = -------------------------------------------------------- = 43.33 + j40 Ω
ZA
ZA ZB + ZBZC + ZCZA
Z CA = -------------------------------------------------------- = 38 + j11 Ω
ZB
Les courants de triangle sont:
V AB
120 ∠– 60°
I AB = ----------- = -------------------------------------- = 3.84 ∠32.3° A
– 1.25 – j31.25
Z AB
V BC
120 ∠0°
I BC = ----------- = ----------------------------- = 2.03 ∠– 42.7 ° A
43.33 + j40
Z BC
V CA
208 ∠150°
I CA = ----------- = --------------------------- = 5.25 ∠133.9° A
38 + j11
Z CA
Les courants de ligne sont:
I A = I AB – I CA = ( 3.84 ∠ 32.3° ) – ( 5.25 ∠ 133.9° ) = 7.10 ∠– 14.2° A
I B = I BC – I AB = ( 2.03 ∠– 42.7 ° ) – ( 3.84 ∠32.3° ) = 3.85 ∠– 117° A
I C = I CA – I BC = ( 5.25 ∠133.9° ) – ( 2.03 ∠– 42.7 ° ) = 7.29 ∠134.8° A
b) La puissance complexe totale dans la charge est calculée en calculant la puissance complexe totale
fournie par la source:
Phase A:
S A = V AN I A∗ = ( 120 ∠0° ) ( 7.10 ∠– 14.2° )∗ = 826 + j208.7
S B = V BN I B∗ = ( 120 ∠60° ) ( 3.85 ∠– 117° )∗ = – 461.3 + j24.1
Phase B:
S C = V CN I C∗ = ( 120 ∠120° ) ( 7.29 ∠134.8° )∗ = 845.3 – j223.6
S = S A + S B + S C = 1210 + j9.2
La puissance complexe totale dans la charge est:
Phase C:
2.17
Source
triphasée
60 Hz
désquilibrée
-
N
-
VAN = 254/0º
VBN = 254/-120º
-
VAN
VBN
VCN
Charge déséquilibrée
+
A
IA
+
B
IB
+
C
IC
ZB
ZC
VCN = 254/-60º
VAN
VAB
VCA
VBN
ZA = 30 Ω
ZA
VBC
VCN
On calcule les tensions ligne-ligne de la source:
V AB = V AN – V BN = ( 254 ∠0° ) – ( 254 ∠– 120° ) = 440 ∠30° V
V BC = V BN – V CN = ( 254 ∠– 120° ) – ( 254 ∠– 60° ) = 254 ∠– 180° V
O
ZB = -j20 Ω
ZC = j40 Ω
18
GEL-15216 Électrotechnique
V CA = V CN – V AN = ( 254 ∠– 60° ) – ( 254 ∠0° ) = 254 ∠– 120° V
On convertit la charge Y en ∆:
ZAZB + ZB ZC + ZC ZA
Z AB = -------------------------------------------------------- = 15 – j20 Ω
ZC
ZA ZB + ZBZC + ZCZA
Z BC = -------------------------------------------------------- = 26.67 + j20 Ω
ZA
ZA ZB + ZBZC + ZCZA
Z CA = -------------------------------------------------------- = – 30 + j40 Ω
ZB
Les courants de triangle sont:
V AB
440 ∠30°
I AB = ----------- = ------------------------ = 17.6 ∠83.1° A
15 – j20
Z AB
V BC
254 ∠– 180°
I BC = ----------- = ------------------------------ = 7.62 ∠143.1 ° A
26.67 + j20
Z BC
V CA
254 ∠– 60°
I CA = ----------- = --------------------------- = 5.1 ∠113.1° A
– 30 + j40
Z CA
Les courants de ligne sont:
I A = I AB – I CA = ( 17.6 ∠ 83.1° ) – ( 5.1 ∠113.1° ) = 13.44 ∠72.3 ° A
I B = I BC – I AB = ( 7.62 ∠ 143.1° ) – ( 17.6 ∠83.1° ) = 15.29 ∠– 122.4° A
I C = I CA – I BC = ( 5.1 ∠113.1° ) – ( 7.62 ∠143.1° ) = 4.1 ∠1.4° A
b) Diagramme vectoriel
IA
IC
VAN
VBN
IB
VCN
19
Chapitre 2 - Circuits triphasés
c) On relie les points neutres de la source et de la charge:
Source
triphasée
60 Hz
désquilibrée
-
N
-
VAN = 254/0º
-
VBN = 254/-120º
Charge déséquilibrée
VAN
+
A
IA
+
B
IB
+
C
IC
VBN
VCN
ZA = 30 Ω
ZA
ZB
ZB = -j20 Ω
O
ZC = j40 Ω
ZC
VCN = 254/-60º
IN
On a dans ce cas trois circuits indépendants:
V AN
254 ∠0°
I A = ----------- = --------------------- = 8.47 A
30
ZA
V BN
254 ∠– 120°
I B = ----------- = ------------------------------ = 12.7 ∠– 30° A
– j20
ZB
V CN
254 ∠– 60°
I C = ----------- = --------------------------- = 6.35 ∠– 150° A
j40
ZC
I N = I A + I B + I C = 16.91 ∠– 34.3° A
Le courant dans la ligne neutre:
2.18
Source
triphasée
600 V / 60 Hz
+
A
IA
+
B
IB
+
C
IC
N
IA1
IA2
50 Ω
IB1
IB2
IC1
50 Ω
Charge
équilibrée
50 Ω
IC2
j75 Ω
VAN = 346.4/0°
35 Ω
VBN = 346.4/-120°
-j50 Ω
VCN = 346.4/120°
On a:
I A = I A1 + I A2
I B = I B1 + I B2
On calcule les courants dans la charge équilibrée:
V AN
346.4 ∠0°
I A1 = ----------- = -------------------------- = 6.93 ∠ 0° A
50
50
Charge
déséquilibrée
I C = I C1 + I C2
I B1 = 6.93 ∠–120 ° A
I C1 = 6.93 ∠120° A
Pour calculer les courants de ligne dans la charge déséquilibrée, on convertit la charge Y en ∆:
( j75 )35 + 35 ( – j50 ) + ( – j50 ) ( j75 )
Z AB = -------------------------------------------------------------------------------------- = – 17.5 + j75 Ω
– j50
( j75 )35 + 35 ( – j50 ) + ( – j50 ) ( j75 )
Z BC = -------------------------------------------------------------------------------------- = – ( 11.67 + j50 ) Ω
j75
20
GEL-15216 Électrotechnique
( j75 )35 + 35 ( – j50 ) + ( – j50 ) ( j75 )
Z CA = -------------------------------------------------------------------------------------- = 107.1 + j25 Ω
35
Les courants de triangle sont:
V AB
346.4 ∠ 0°
I AB = ----------- = ------------------------------ = 7.79 ∠– 73.1° A
– 17.5 + j75
Z AB
V BC
346.4 ∠– 120°
I BC = ----------- = ----------------------------------------- = 11.69 ∠– 13.1° A
– ( 11.67 + j100 )
Z BC
V CA
346.4 ∠ 120°
I CA = ----------- = -------------------------------- = 5.45 ∠ 136.9° A
214.3 – j25
Z CA
Les courants de ligne sont:
I A2 = I AB – I CA = ( 7.95 ∠– 53.3° ) – ( 2.78 ∠156.7° ) = 12.81 ∠– 60.8° A
I B2 = I BC – I AB = ( 5.96 ∠6.7° ) – ( 7.95 ∠– 53.3° ) = 10.31 ∠ 27.8° A
I C2 = I CA – I BC = ( 2.78 ∠156.7° ) – ( 5.96 ∠ 6.7° ) = 16.63 ∠157.4° A
Calcul des courants de ligne totaux
I A = I A1 + I A2 = ( 6.93 ∠0° ) + ( 12.81 ∠– 60.8° ) = 17.28 ∠– 40.3 ° A
I B = I B1 + I B2 = ( 6.93 ∠– 120 ° ) + ( 10.31 ∠ 27.8° ) = 5.78 ∠– 12° A
I C = I C1 + I C2 = ( 6.93 ∠ 120° ) + ( 8.48 ∠ 177.2° ) = 22.53 ∠ 146.7° A
b) Diagramme vectoriel
VCN
IC
VAN
IB
IA
VBN
c) La puissance complexe totale dans la charge est calculée en calculant la puissance complexe totale
fournie par la source:
S A = V AN I A∗ = ( 346.4 ∠0° ) ( 17.28 ∠– 40.3° )∗ = 4561 + j3874
Phase A:
Phase B:
Phase C:
S B = V BN I B∗ = ( 346.4 ∠– 120° ) ( 5.78 ∠– 12° )∗ = – 619.7 – j1904.5
S C = V CN I C∗ = ( 346.4 ∠ 120° ) ( 22.53 ∠146.7° )∗ = 6975 – j3502
La puissance complexe totale dans la charge est:
Le facteur de puissance de la charge:
S = S A + S B + S C = 10917 – j1532.5
P
10917
fp = ---- = --------------------------------------------------- = 0.990 AV
S
2
2
10917 + 1532.5
