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Comment réussir votre examen MSStc1 (partie Statique)
Alexandre DANESCU / février 2013
Statique : (TD1, TD2, TD3) - un problème aux limites
Pour résoudre un problème d’élasticité 1il faut :
1. Identifier le domaine D(le solide déformable)
2. Identifier les conditions aux limites ; trois types des conditions aux limites sont possibles :
(a) sur une partie ∂Dtla contrainte σn =Tdest imposée (si la partie est libre alors Td=0,
si l’extérieur exerce une pression p0alors Td=p0n;d’autres situations sont possibles...)
(b) sur une partie ∂Dule déplacement u=udest imposé (si c’est un encastrement ud=0,
etc.)
(c) sur une partie ∂Dmdeux parties complémentaires de σn et usont imposée. Par exemple,
c’est la cas d’une frontière plane (lubrifiée) entre un bloc solide posé sur un support très
rigide (comme dans le problème du TD3). Dans ce cas u3= 0 (pas de déplacement
vertical) et (σn)1= (σn)2= 0 (ce qui conduit à σ13 =σ23 = 0 et qui signifie pas de
cisaillement à l’interface solide/support).
Pour que le problème soit bien posé, il faut que 2∂D =∂Dt∪∂Du∪∂Dm(trois conditions
scalaires en tout point). Il est possible que une partie (ou deux) parmi les trois ci-dessus soient
vides. C’est la physique du problème (description de l’énoncé) qui détermine les conditions
aux limites. Si a ce stade de l’exercice vous n’avez pas tous les conditions aux limites, dans
certains cas vous pouvez continuer... observez par la suite les conditions compatibles avec la
solution et completer le problème aux limites.
3. Très souvent, c’est la symétrie du problème qui détermine la classe dans laquelle se trouve la
solution. Voici les situations les plus classiques :
•Pour un problème posé sur une sphère, avec des conditions aux limites qui possèdent la
symétrie sphérique, on cherche une solution u= (ur(r),0,0).
•Pour un problème posé dans un domaine cylindrique avec des conditions aux limites qui
respectent la symétrie de révolution (autour de l’axe du cylindre) on cherche une solu-
tion u= (ur(r),0, uz(z)) (avec (r, θ)coordonnées polaires dans le plan normal à l’axe du
cylindre et zl’axe du cylindre).
•Pour un problème posé dans un domaine parallélépipède et des conditions aux limites ap-
propriées, la solution est un champ déplacement affine (donc les tenseurs des déformations
et des contraintes sont constants).
1. La plupart des problèmes ne possèdent pas une solution analytique. On discute dans ce document des
stratégies pour trouver des solutions analytiques pour les problèmes rencontrés en TD et/ou à l’examen écrit. Ce
document n’est pas exhaustif ; des modifications sont nécessaires pour inclure des situations plus complexes. En
particulier on suppose ici que les forces volumiques sont nulles.
2. à un ensemble de mesure nulle près ; pour introduire les forces ponctuelles dans la théorie, il y a besoin d’un
formalisme plus détaillé, basé sur les distributions.
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4. Ensuite, en utilisant la définition, on calcule le tenseur de déformations. En coordonnées
sphériques (avec φ=longitude et π/2−θ=latitude) :
εrr =∂ur
∂r , εθθ =εφφ =ur r.
En coordonnées cylindriques
εrr =∂ur
∂r , εθθ =ur r, εzz =∂uz ∂z .
•En utilisant la loi de Hooke on calcule le tenseur des contraintes :
σij =λ(εkk)
|{z}
tr(ε)
+2µεij .
5. Les équations d’équilibre conduisent, le plus souvent, à une (ou plusieurs) équation(s) diffé-
rentielle(s) ordinaires pour la(les) fonction(s) inconnue(s).
•Pour un problème avec symétrie sphérique, dans les hypothèses évoquées plus haut, l’équa-
tion d’équilibre est (d’après un formulaire qui donne la divergence en coordonnées curvi-
lignes)
∂σrr
∂r +1 r(2σrr −σθθ −σφφ) = 0.
Si l’on remplace les contraintes par les déformations, qui à leur tour dépendent du dépla-
cement on trouve les équations de Lamé. Si vos calculs sont correctes on trouve
∂2ur
∂r2+2 r
∂ur
∂r −2 r2ur= 0
et la solution générale pour le déplacement radial est ur(r) = Ar +B/r2.
•Pour un problème avec la symétrie de révolution, les deux equations sont :
∂σrr
∂r +1 r(σrr −σθθ) = 0,∂σzz ∂z = 0.
Pour la partie radiale, en utilisant la loi de Hooke on trouve
∂2ur
∂r2+1 r
∂ur
∂r −1 r2ur= 0
dont la solution est ur(r) = Ar +B/r;pour la partie axiale on trouve uz(z) = Cz +D.
6. Une partie des conditions aux limites sont satisfaites identiquement (compte tenu de la forme
de la solution) et les autres déterminent complètement les constantes d’intégration. Pour un
problème avec symétrie sphérique : si la sphère est pleine, alors B= 0 (pour éviter la
singularité en r= 0) et Aest déterminé par la condition à la surface extérieure (soir pression
imposée, soit déplacement imposé). Si il s’agit d’une cavité sphérique dans un milieu infini,
alors A= 0 et Best déterminé par la condition sur le bord de la cavité. Si il s’agit d’une
couronne sphérique, les conditions sur l’intérieur et l’extérieur de la couronne déterminent
les deux constantes d’intégration. Un raisonnement analogue est valable pour un problème
avec symétrie de révolution.
7. En absence des forces volumiques, le maximum de la contrainte de von Mises est atteint en
un point (ou plusieurs) situé(s) sur le bord du domaine (c’est un théorème !). Si cela n’est pas
le cas, il y a probablement une erreur dans vos calculs précédents). La contrainte équivalente
de von Mises est :
σvM
d´ef.
=√3
2(devσ: devσ)1/2
où devσ=σ−1
3(trσ)Iet A:Bd´ef.
=Aij Bij (somme sur tous les valeurs des indices !).
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Statique : TD4 - méthodes variationnelles
Les méthodes vartiationnelles sont basées sur les propriétés des solutions. Les étapes pour
l’utilisation des méthodes variationnelles sont :
1. Identifier le problème aux limites (domaine, frontière du domaine, ∂Du, ∂Dt, ∂Dmainsi que
les données aux limites : les déplacements imposés et/ou les contraintes imposées).
2. Identifier la classe des champs cinématiquement admissibles (CCA) ; par définition les champs
uqui respectent les conditions aux limites imposées aux déplacements.
3. Le principe de l’énergie potentielle minimale affirme alors que : parmi les CCA, la
solution possède l’énergie potentielle minimale. L’énergie potentielle est, par définition (pour
simplifier l’écriture on considère ∂Dm=∅mais, si ce n’est pas le cas, un terme supplémentaire
est nécessaire.) K: CCA →IR
K(u) = 1
2∫D
(σ:ε)dV −∫∂Dt Td·udS.
Ci-dessus pour u∈CCA, on calcule εà l’aide de la définition, et ensuite σà l’aide de la loi
de Hooke. D’après sa définition, l’énergie potentielle est une forme quadratique en u.Dans
la plupart des cas il est impossible de trouver le champ qui réalise le minimum, mais on
peut approcher ce champ, en choisissant une famille paramétrée (d’habitude explicitement
indiquée dans l’énoncé) et en minimisant sur les valeurs du (des) paramètre(s).
4. Un deuxième principe variationnel est le principe de l’énergie complémentaire maxi-
male. Sa formulation est basée sur les champs statiquement admissibles, ou CSA ; ce sont les
champs des contraintes qui sont (a)équilibrées, c’est-à-dire satisfaisant divσ=0et (b)qui
respectent les conditions aux limites sur ∂Dt(comme plus haut, pour simplifier l’écriture on
considère ∂Dm=∅mais, si ce n’est pas le cas, une condition supplémentaire est nécessaire.)
5. Le principe de l’énergie complémentaire maximale affirme que : parmi les CSA, la solution
possède l’énergie complémentaire maximale. L’énergie potentielle est, par définition (pour
simplifie l’écriture on considère ∂Dm=∅mais si ce n’est pas le cas, un terme supplémentaire
est nécessaire.) H: CSA →IR
K(u) = −1
2∫D
(σ:ε)dV +∫∂Du σn ·uddS.
Ci-dessus pour σ∈CSA, on calcule εà l’aide de la loi de Hooke,
ε=1 + ν
Eσ−ν E(trσ)I.
D’après sa définition, l’énergie complémentaire est une forme quadratique (negative définie)
en σ.Dans la plupart des cas il est impossible de trouver le champ qui réalise le maxi-
mum, mais on peut approcher ce champ, en choisissant une famille paramétrée (d’habitude
explicitement indiquée dans l’énoncé) et en maximisant sur les valeurs du(des) paramètre(s).
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