Comment réussir votre examen MSStc1 (partie Statique) Alexandre DANESCU / février 2013 Statique : (TD1, TD2, TD3) - un problème aux limites Pour résoudre un problème d’élasticité 1 il faut : 1. Identifier le domaine D (le solide déformable) 2. Identifier les conditions aux limites ; trois types des conditions aux limites sont possibles : (a) sur une partie ∂Dt la contrainte σn = T d est imposée (si la partie est libre alors T d = 0, si l’extérieur exerce une pression p0 alors T d = p0 n; d’autres situations sont possibles...) (b) sur une partie ∂Du le déplacement u = ud est imposé (si c’est un encastrement ud = 0, etc.) (c) sur une partie ∂Dm deux parties complémentaires de σn et u sont imposée. Par exemple, c’est la cas d’une frontière plane (lubrifiée) entre un bloc solide posé sur un support très rigide (comme dans le problème du TD3). Dans ce cas u3 = 0 (pas de déplacement vertical) et (σn)1 = (σn)2 = 0 (ce qui conduit à σ13 = σ23 = 0 et qui signifie pas de cisaillement à l’interface solide/support). Pour que le problème soit bien posé, il faut que 2 ∂D = ∂Dt ∪ ∂Du ∪ ∂Dm (trois conditions scalaires en tout point). Il est possible que une partie (ou deux) parmi les trois ci-dessus soient vides. C’est la physique du problème (description de l’énoncé) qui détermine les conditions aux limites. Si a ce stade de l’exercice vous n’avez pas tous les conditions aux limites, dans certains cas vous pouvez continuer... observez par la suite les conditions compatibles avec la solution et completer le problème aux limites. 3. Très souvent, c’est la symétrie du problème qui détermine la classe dans laquelle se trouve la solution. Voici les situations les plus classiques : • Pour un problème posé sur une sphère, avec des conditions aux limites qui possèdent la symétrie sphérique, on cherche une solution u = (ur (r), 0, 0). • Pour un problème posé dans un domaine cylindrique avec des conditions aux limites qui respectent la symétrie de révolution (autour de l’axe du cylindre) on cherche une solution u = (ur (r), 0, uz (z)) (avec (r, θ) coordonnées polaires dans le plan normal à l’axe du cylindre et z l’axe du cylindre). • Pour un problème posé dans un domaine parallélépipède et des conditions aux limites appropriées, la solution est un champ déplacement affine (donc les tenseurs des déformations et des contraintes sont constants). 1. La plupart des problèmes ne possèdent pas une solution analytique. On discute dans ce document des stratégies pour trouver des solutions analytiques pour les problèmes rencontrés en TD et/ou à l’examen écrit. Ce document n’est pas exhaustif ; des modifications sont nécessaires pour inclure des situations plus complexes. En particulier on suppose ici que les forces volumiques sont nulles. 2. à un ensemble de mesure nulle près ; pour introduire les forces ponctuelles dans la théorie, il y a besoin d’un formalisme plus détaillé, basé sur les distributions. 1 4. Ensuite, en utilisant la définition, on calcule le tenseur de déformations. En coordonnées sphériques (avec φ = longitude et π/2 − θ = latitude) : εrr = ∂ur , ∂r εθθ = εφφ = ur . r En coordonnées cylindriques εrr = ∂ur , ∂r εθθ = ur , r εzz = ∂uz . ∂z • En utilisant la loi de Hooke on calcule le tenseur des contraintes : σij = λ (εkk ) +2µεij . | {z } tr(ε) 5. Les équations d’équilibre conduisent, le plus souvent, à une (ou plusieurs) équation(s) différentielle(s) ordinaires pour la(les) fonction(s) inconnue(s). • Pour un problème avec symétrie sphérique, dans les hypothèses évoquées plus haut, l’équation d’équilibre est (d’après un formulaire qui donne la divergence en coordonnées curvilignes) 1 ∂σrr + (2σrr − σθθ − σφφ ) = 0. ∂r r Si l’on remplace les contraintes par les déformations, qui à leur tour dépendent du déplacement on trouve les équations de Lamé. Si vos calculs sont correctes on trouve ∂ 2 ur 2 ∂ur 2 + − 2 ur = 0 ∂r2 r ∂r r et la solution générale pour le déplacement radial est ur (r) = Ar + B/r2 . • Pour un problème avec la symétrie de révolution, les deux equations sont : ∂σrr 1 + (σrr − σθθ ) = 0, ∂r r ∂σzz = 0. ∂z Pour la partie radiale, en utilisant la loi de Hooke on trouve ∂ 2 ur 1 ∂ur 1 + − 2 ur = 0 2 ∂r r ∂r r dont la solution est ur (r) = Ar + B/r; pour la partie axiale on trouve uz (z) = Cz + D. 6. Une partie des conditions aux limites sont satisfaites identiquement (compte tenu de la forme de la solution) et les autres déterminent complètement les constantes d’intégration. Pour un problème avec symétrie sphérique : si la sphère est pleine, alors B = 0 (pour éviter la singularité en r = 0) et A est déterminé par la condition à la surface extérieure (soir pression imposée, soit déplacement imposé). Si il s’agit d’une cavité sphérique dans un milieu infini, alors A = 0 et B est déterminé par la condition sur le bord de la cavité. Si il s’agit d’une couronne sphérique, les conditions sur l’intérieur et l’extérieur de la couronne déterminent les deux constantes d’intégration. Un raisonnement analogue est valable pour un problème avec symétrie de révolution. 7. En absence des forces volumiques, le maximum de la contrainte de von Mises est atteint en un point (ou plusieurs) situé(s) sur le bord du domaine (c’est un théorème !). Si cela n’est pas le cas, il y a probablement une erreur dans vos calculs précédents). La contrainte équivalente de von Mises est : √ 3 déf. (devσ : devσ)1/2 σvM = 2 déf. où devσ = σ − 13 (trσ)I et A : B = Aij Bij (somme sur tous les valeurs des indices !). 2 Statique : TD4 - méthodes variationnelles Les méthodes vartiationnelles sont basées sur les propriétés des solutions. Les étapes pour l’utilisation des méthodes variationnelles sont : 1. Identifier le problème aux limites (domaine, frontière du domaine, ∂Du , ∂Dt , ∂Dm ainsi que les données aux limites : les déplacements imposés et/ou les contraintes imposées). 2. Identifier la classe des champs cinématiquement admissibles (CCA) ; par définition les champs u qui respectent les conditions aux limites imposées aux déplacements. 3. Le principe de l’énergie potentielle minimale affirme alors que : parmi les CCA, la solution possède l’énergie potentielle minimale. L’énergie potentielle est, par définition (pour simplifier l’écriture on considère ∂Dm = ∅ mais, si ce n’est pas le cas, un terme supplémentaire est nécessaire.) K : CCA → IR ∫ ∫ 1 (σ : ε) dV − T d · udS. K(u) = 2 D ∂Dt Ci-dessus pour u ∈CCA, on calcule ε à l’aide de la définition, et ensuite σ à l’aide de la loi de Hooke. D’après sa définition, l’énergie potentielle est une forme quadratique en u. Dans la plupart des cas il est impossible de trouver le champ qui réalise le minimum, mais on peut approcher ce champ, en choisissant une famille paramétrée (d’habitude explicitement indiquée dans l’énoncé) et en minimisant sur les valeurs du (des) paramètre(s). 4. Un deuxième principe variationnel est le principe de l’énergie complémentaire maximale. Sa formulation est basée sur les champs statiquement admissibles, ou CSA ; ce sont les champs des contraintes qui sont (a) équilibrées, c’est-à-dire satisfaisant divσ = 0 et (b) qui respectent les conditions aux limites sur ∂Dt (comme plus haut, pour simplifier l’écriture on considère ∂Dm = ∅ mais, si ce n’est pas le cas, une condition supplémentaire est nécessaire.) 5. Le principe de l’énergie complémentaire maximale affirme que : parmi les CSA, la solution possède l’énergie complémentaire maximale. L’énergie potentielle est, par définition (pour simplifie l’écriture on considère ∂Dm = ∅ mais si ce n’est pas le cas, un terme supplémentaire est nécessaire.) H : CSA → IR ∫ ∫ 1 K(u) = − (σ : ε) dV + σn · ud dS. 2 D ∂Du Ci-dessus pour σ ∈CSA, on calcule ε à l’aide de la loi de Hooke, ε= 1+ν ν σ − (trσ)I. E E D’après sa définition, l’énergie complémentaire est une forme quadratique (negative définie) en σ. Dans la plupart des cas il est impossible de trouver le champ qui réalise le maximum, mais on peut approcher ce champ, en choisissant une famille paramétrée (d’habitude explicitement indiquée dans l’énoncé) et en maximisant sur les valeurs du(des) paramètre(s). 3