ExerciceNo11corrige

EPF-LAUSANNE
Laboratoire de machines électriques (LME)
Mécaniciens 3ème semestre
EXERCICE No 11
Aux bornes de chaque circuit, on impose une tension sinusoïdale :
u = 4 ⋅ 2 ⋅ sin(ω ⋅ t ) [V]
Pour chacun des circuits, on demande de:
- calculer l'impédance Z (littéralement et numériquement) sous la forme A + j B ou
sous la forme Z ejϕ;
- dessiner le diagramme complexe des courants et des tensions.
Application numérique pour:
R
L
C
f
=
4
= 25,5
= 640
= 50
Ω
mH
µF
Hz
Pour chaque diagramme, préciser les échelles utilisées.
C
R
L
R
C
L
1
2
C
R
L
R
L
C
4
3
R
C
C
R
L
5
6
C
L
R
7
L
EPF-LAUSANNE
Laboratoire de machines électriques (LME)
2
Mécaniciens 3ème semestre
CORRIGE DE L'EXERCICE No 11
1.
C
R
L
L'impédance équivalente est donnée par :
Z 1 = R + j ⋅ ( Lω −
1
j ( LCω 2 − 1)
)=R+
= 4 + j ⋅ 3.03[Ω]
Cω
Cω
o
Z 1 = 5.02e j 37.21 [Ω]
Circuit 1
La valeur efficace complexe du courant :
o
o
U
4 ⋅ e j0
I=
=
= 0.796 ⋅ e − j 37.21 = 0.634 − j 0.48 ⋅ [ A]
j 37.21o
Z 1 5.02 ⋅ e
Les valeurs efficaces complexes des tensions aux bornes de différents éléments valent :
UC =
o
1
⋅ I = −2.39 − j 3.15 = 3.96 ⋅ e − j127.21 [V ]
jωC
o
U R = R ⋅ I = 2.53 − j1.92 = 3.18 ⋅ e − j 37.21 [V ]
o
U L = jLω ⋅ I = 3.85 + j 5.08 = 6.38 ⋅ e j 52.79 [V ]
Le diagramme complexe des courants et tensions est donné par la figure suivante :
EPF-LAUSANNE
3
Laboratoire de machines électriques (LME)
2.
ω 2 ⋅ L2 ⋅ R
L ⋅ R2 ⋅ ω
1
+
j
⋅
(
−
) = 3.2 − j ⋅ 3.37[Ω] = 4.65 ⋅ e − j ⋅46.5 [Ω]
2
2
2
2
2
2
R +ω ⋅L
R + ω ⋅ L Cω
o
Z2 =
Circuit 2
La valeur efficace complexe du courant :
o
o
U
4 ⋅ e j0
I=
=
= 0.859 ⋅ e j 46.5 = 0.59 + j 0.62 ⋅ [ A]
− j ⋅ 46.5 o
Z 2 4.65 ⋅ e
Les valeurs efficaces complexes des tensions aux bornes de différents éléments valent :
UC =
o
1
⋅ I = 3.1 − j 2.94 = 4.27 ⋅ e − j 43.49 [V ]
j ωC
o
U R = U − U C = 0.89 + j 2.94 = 3.07 ⋅ e j 73.04 [V ]
o
U L = U R = 0.89 + j 2.94 = 3.07 ⋅ e j 73.04 [V ]
Les valeurs efficaces complexes des courants de différents éléments valent :
IR =
o
UR
= 0.22 + j 0.73 = 0.76 ⋅ e j 73.04 [ A]
R
o
UL
= 0.367 − j 0.11 = 0.38 ⋅ e − j16.96 [ A]
jLω
Le diagramme complexe des courants et tensions est donné par la figure suivante :
IL =
EPF-LAUSANNE
Laboratoire de machines électriques (LME)
4
3.
Z3 = R − j ⋅
Lω
= 4 − j ⋅ 13.11[Ω]
L ⋅ C ⋅ω2 −1
Circuit 3
La valeur efficace complexe du courant :
o
U
= 0.291 ⋅ e j 73.04 = 0.085 + j 0.279 ⋅ [ A]
Z3
Les valeurs efficaces complexes des tensions aux bornes de différents éléments valent :
I=
o
U R = R ⋅ I = 0.34 + j1.116 = 1.16 ⋅ e j 73.04 [V ]
o
U C = U − U R = 3.65 − j1.116 = 3.826 ⋅ e − j16.96 [V ]
o
U L = U C = 3.65 − j1.116 = 3.826 ⋅ e − j16.96 [V ]
Les valeurs efficaces complexes des courants de différents éléments valent :
o
I C = jCω ⋅ U C = 0.224 + j 0.735 = 0.76 ⋅ e j 73.04 [ A]
o
UL
= −0.139 − j 0.456 = 0.47 ⋅ e − j106.96 [ A]
jLω
Le diagramme complexe des courants et tensions est donné par la figure suivante :
IL =
EPF-LAUSANNE
Laboratoire de machines électriques (LME)
5
4.
Z 4 = j ⋅ Lω +
ω ⋅ R2 ⋅ C
R
R
ω
=
+
j
⋅
(
L
−
) = 2.42 + j ⋅ 6.05[Ω]
1 + j ⋅ R ⋅ C ⋅ ω 1 + R2 ⋅ C 2 ⋅ ω 2
1 + R2 ⋅ C 2 ⋅ ω 2
o
Z 4 = 6.52 ⋅ e j 68.15 [Ω]
Circuit 4
La valeur efficace complexe du courant :
o
U
= 0.613 ⋅ e − j 68.15 = 0.228 − j 0.569 ⋅ [ A]
Z4
Les valeurs efficaces complexes des tensions aux bornes de différents éléments valent :
o
U L = jLω ⋅ I = 4.557 + j1.827 = 4.91 ⋅ e j 21.85 [V ]
I=
o
U C = U − U L = −0.557 − j1.827 = 1.91 ⋅ e − j106.96 [V ]
o
U R = U C = −0.557 − j1.827 = 1.91 ⋅ e − j106.96 [V ]
Les valeurs efficaces complexes des courants de différents éléments valent :
o
U
I R = R = −0.139 − j 0.456 = 0.477 ⋅ e − j106.96 [ A]
R
o
I C = jCω ⋅ U C = 0.367 − j 0.112 = 0.384 ⋅ e − j16.96 [ A]
Le diagramme complexe des courants et tensions est donné par la figure suivante :
EPF-LAUSANNE
Laboratoire de machines électriques (LME)
6
5.
RL / C
Rω 2 L2 − j ⋅ ( R 2 L2ω 3C − R 2 Lω )
= 2 2
= 3.66 − j1.116[Ω]
L / C + j ⋅ ( RωL − R / Cω ) L ω + R 2ω 4 L2C 2 + R 2 − 2 R 2 LCω 2
Circuit 5
Z5 =
La valeur efficace complexe du courant :
I=
o
U
= 1.045 ⋅ e j16.96 = 1 + j 0.305 ⋅ [ A]
Z5
Les valeurs efficaces complexes des tensions aux bornes de différents éléments valent :
U C = U L = U R = U = 4 ⋅ [V ]
Les valeurs efficaces complexes des courants de différents éléments valent :
U
I R = R = 1 ⋅ [ A]
R
o
I C = jCω ⋅ U C = j 0.804 = 0.804 ⋅ e j 90 [ A]
o
UL
= − j 0.499 = 0.499 ⋅ e − j 90 ⋅ [ A]
jLω
Le diagramme complexe des courants et tensions est donné par la figure suivante :
IL =
EPF-LAUSANNE
Laboratoire de machines électriques (LME)
7
6.
j
) ⋅ ( R + jLω )
R − j ⋅ ( R 2ωC + ω 3 L2C − Lω )
= 3.922 − j 7.952 ⋅ [Ω]
= 2 2 2
Z 6 = Cω
4 2 2
2
j
(−
+ R + jLω ) R ω C + ω L C + 1 − 2 LCω
Cω
Circuit 6
(−
La valeur efficace complexe du courant :
o
U
= 0.451 ⋅ e j 63.74 = 0.199 + j 0.404 ⋅ [ A]
Z6
La valeur efficace complexe de la tension aux bornes du condensateur vaut:
I=
U C = U = 4 ⋅ [V ]
Les valeurs efficaces complexes des courants de différents éléments valent :
o
I C = jCω ⋅ U C = j 0.804 = 0.804 ⋅ e j 90 [ A]
o
U
= 0.199 − j 0.399 = 0.446 ⋅ e − j 63.46 ⋅ [ A]
I RL =
R + jLω
Les valeurs efficaces complexes des tensions aux bornes de différents éléments valent :
o
U R = R ⋅ I RL = 0.796 − j1.596 = 1.784 ⋅ e − j 63.46 [V ]
o
U L = jLω ⋅ I RL = 3.204 + j1.596 = 3.579 ⋅ e j 26.54 [V ]
Le diagramme complexe des courants et tensions est donné par la figure suivante :
EPF-LAUSANNE
Laboratoire de machines électriques (LME)
8
7.
1
1 2
1
R ⋅ ( Lω −
)
) + j ⋅ R 2 ( Lω −
)
Cω =
Cω
Cω = 1.463 + j1.926 ⋅ [Ω]
Z7 =
1
1
2L
R + j ⋅ ( Lω −
R 2 + ω 2 L2 + 2 2 −
)
Cω
C
ωC
Circuit 7
jR ⋅ ( Lω −
La valeur efficace complexe du courant :
o
U
= 1.653 ⋅ e − j 52.78 = 1 − j1.316 ⋅ [ A]
Z7
La valeur efficace complexe de la tension aux bornes de la résistance vaut:
I=
U R = U = 4 ⋅ [V ]
Les valeurs efficaces complexes des courants de différents éléments valent :
U
I R = R = 1 ⋅ [ A]
R
o
U
I CL =
= − j1.316 = 1.316 ⋅ e − j 90 ⋅ [ A]
j
R−
Cω
Les valeurs efficaces complexes des tensions aux bornes de différents éléments valent :
U L = jLω ⋅ I CL = 10.549 ⋅ [V ]
1
⋅ I CL = −6.549 ⋅ [V ]
jCω
Le diagramme complexe des courants et tensions est donné par la figure suivante :
UC =