Primitives exos corriges

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PRIMITIVES
EXERCICES CORRIGES
Exercice n°1.
Dérivée et primitives
1) Calculez la dérivée de la fonction f définie par 3
() 3 9 1
f
xxx
=
−+.
2) Déduisez-en deux primitives de la fonction g définie par 2
() 9 9gx x
=
−
3) Déterminer le sens de variation de f sur \
Exercice n°2 à 11 – Primitives sans fonction logarithme
Déterminer une primitive de f sur un intervalle contenu dans son ensemble de définition
Exercice n°2. Usage des tableaux de primitives usuelles
1) () 2 1
f
xx=+ 2) fx 3)
43
() 10 6 1x x=+−
(
)
(
)
() 1 3x xfx
=
−+ 4) 2
2
1
()
f
xx
x
=
−
5) 5
4
() 3 fx
x
−
= 6) 1 ()fx x
x
=+ 7) () sin 2cos
f
xx x
=
−
Exercice n°3. Primitive et constante
Soit f la fonction définie sur
]
[
0; +∞ par 2
2
() 3 1fx x
x
=−+.
Déterminer la primitive F de f sur
]
[
0; +∞ qui s'annule pour x=1.
Exercice n°4.
Trouver la primitive F de f sur I vérifiant la condition donnée
1) 2
() 1 3
f
xxx=−+ −x I= F(1)=0 \
2) 2
11
()fx x x
x
=+ − I=
]
[
0; +∞ F(1)=1
Exercices n°5 à n°8 : Déterminer une primitive des fonctions données
Exercice n°5. Forme
n
uu
′
1)
()
4
() 33 1fx x=+ 2)
()
3
() 164 1fx x=− 3)
(
)
6
() 2 7fx x=+ 4)
()
(
)
5
2
() 6 2 3 2 3fx x x x=− −+
5)
4
2
11
() 1fx
x
x
=+
6) () sin cos
f
xx=x
Exercice n°6. Forme 2
u
u
′
1)
()
2
4
()
14
fx
x
=+ 2)
()
2
6
()
21
fx
x
=+ 3)
()
2
1
()
43
fx
x
=+ 4)
()
2
1
()
2
fx
x
−
=−
5)
()
2
2
()
43
fx
x
=− 6)
()
2
2
21
()
1
x
fx
xx
+
=++ 7)
()
2
2
410
()
56
x
fx
xx
−
=−+ 8) 2
cos
() sin
x
fx
x
=
9) 2
sin
() cos
x
fx
x
=
Exercice n°7.
Soit la fonction f définie par f(x) = 3
34
(1)
x
x
+
+.
1) Déterminer les réels a et b tels que, pour tout 1x
≠
−, f(x) = 23
(1) (1)
ab
xx
+
++
.
2) En déduire une primitive F de f sur
]
[
1;−+∞.

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Exercice n°8. Forme u
u
′
1) 3
() 32 fx x =+ 2) 1 () 25 fx
x
=− 3) 1
() 23x =fx
−
4) 2
21
()
1
x
fx
xx
+
=++ 5) 2
()
1
x
fx
x
=− 6) cos
() 2sin
x
fx
x
=+
Exercice n°9.
Soit g la fonction définie sur
]
[
0; +∞ par ()gx x x=.
1) Calculez la dérivée de g sur
]
[
0;
+
∞
2) soit f la fonction définie sur
]
[
0;
+
∞ par ()
f
xx=.
Déduisez de la première question une primitive de f sur
]
[
0;
+
∞
Exercice n°10.
La courbe (C) donnée ci-dessous est la représentation graphique dans un
repère orthonormal d’une fonction f définie et dérivable sur . \
1) Pour chacune des affirmations ci-dessous indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier votre réponse :
a. Toute primitive de f s’annule pour 0,5.
b. Toute primitive de f est décroissante sur [0 ; 0,5].
2. Parmi les courbes (C1) et (C2) données ci-dessous, l’une est la représentation graphique d’une primitive de f sur .
Indiquer laquelle en précisant les raisons de votre choix.
\
Courbe 1 Courbe 2

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Exercice n°11 à 16 – Primitives utilisant les fonctions logarithmes et exponentielles
Exercice n°11.
Déterminez une primitive de la fonction f proposée sur l'intervalle I donné :
1) 21
() 5fx x x
x
=−+ sur I=
]
[
0;
+
∞ 2)
21
()
x
x
x
fx
+
+
= sur I=
]
[
0;
+
∞
3) 2
75 1
()fx
x
x
x
=+ + I=
]
[
0; +∞ 4) 3
() 34x =fx
−
sur I= 4;
3
+
∞
5) 1
() 1 fx
x
=+ sur I=
]
[
1;−+∞ 6) 1
() 1 fx
x
=
+
sur I=
]
[
;1
−
∞−
7) 2
2
() 4
x
fx x =− sur
]
[
2; +∞ 8) 1
() 35x =fx
−
sur
[
[
2;
+
∞
9) 2
1
() 22
x
fx xx
+
=++
sur 10) \2 () 1
x
fx x =
−
sur
]
[
1; 1−
Exercice n°12.
On considère la fonction définie sur I=
[[
par 4; +∞
2
23
() 2
xx
fx x
4
−
−
=−
1) Trouver trois réels a,b, et c tels que () 2
c
fx ax b x =++
−
2) En déduire une primitive de f sur
[[
4; +∞
Exercice n°13.
Déterminez une primitive de la fonction f proposée sur l'intervalle I donné :
1) cos
() sin
x
fx
x
= sur I= 0; 2
π
 2)
ln
()
x
fx
x
= sur I=
[
[
1;
+
∞
3) 1
() ln fx
x
x
= sur
]
[
1; +∞ 4) () tan
f
xx
=
sur ;
2
π
π
Exercice n°14.
Déterminez une primitive sur de la fonction f donnée : \
1) 1
() 4
x
f
xe= 2) () x
f
xe
−
= 3) 23 () x
f
xe
+
= 4) 2
() x
f
xxe= 5) () 1
x
x
e
fx e =
+
Exercice n°15.
Soit f la fonction définie sur par \
()
() 2 x
f
xxe=+
Déterminez les nombres a et b tels que la fonction F, définie sur , par \
(
)
() x Fx ax be=+ soit une primitive de f.
Exercice n°16.
Soit f la fonction définie sur par \3
() 1
x
fx e− =+
1) Vérifiez que pour tout x de , on a \3
() 1
x
x
e
fx e =
+
2) Déduisez en la primitive F de f qui s'annule pour x=0

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PRIMITIVES - CORRECTION
Exercice n°1
1) f est dérivable sur et pour tout , \x∈\22
() 3 3 9 1 9 9fx x x
′=× −×=
−
.
2) Si on note g la fonction définie par , alors grâce à la question 1), on dispose d’une primitive de g en la
personne de la fonction f . Un autre primitive de g serait la fonction h définie sur par , où k est une
constante réelle quelconque. Ainsi est une autre primitive de g
2
() 9 9gx x=−
3
() 3 9 1fxxx=−+
\() ()hx f x k=+
3
50 3 9 51xx+=−+
3) Puisque
()
()
(
)
22
() 9 9 9 1 9 1 1gx x x x x=−= −=− +, on peut établir le signe de , donc le sens de variation de
f : Pour
()gx
]
[
]
[
;1 1;∈−∞− ∪ +∞ () 0gx >x, et pour
]
[
1; 1x∈− , () 0gx
<
, donc f est strictement croissante sur
]
[
;1
−
∞− ,
strictement décroissante sur
]
[
1; 1−, et strictement croissante sur
]
[
1;
+
∞.
Exercice n°2
1) La fonction f définie par () 2 1
f
xx
=
+ est continue sur en tant que fonction affine, donc il existe une primitive
définie sur par
\
\
()
2
21
2
xx=× +×=2
Fx x x+
2) La fonction f définie par 43
() 10 6 1fx x x
=
+−
()
est continue sur en tant que fonction polynôme, donc il existe une
primitive définie sur par
\
\
54 4
5
1 2 2
x
x x x
3
10 6
54
xx
Fx
=
×+×−×= −+
3) La fonction f définie par
()()
22
() 1 3 3 3 2 3
f
xx x xxx xx=− +=+−−=+−
()
est continue sur en tant que
fonction polynôme, donc il existe une primitive définie sur \ par
\
32 3
2
23
32 3
xx x
Fx x x x
3
=
+× −×= + −
4) La fonction f définie par 2
2
1
()
f
x
xx
=
− est continue sur
]
[
0;
+
∞ en tant que somme de fonctions qui le sont, donc il
existe une primitive définie sur
]
[
0;
+
∞ par
()
3
1
3
x
Fx x
=
−−
5) La fonction f définie par 5
5
44
() 33
f
x
x
−
−
==−
x est continue sur
]
[
0;
+
∞ en tant que somme de fonctions qui le sont,
donc il existe une primitive définie sur
]
[
0; +∞ par
()
51
351
51 4
4
44
3 4 33
xxx
Fx 1
x
−+
=−
−+
−+ −
=− × × = =
−
6) La fonction f définie par 1
()fx x
x
=+ est continue sur
]
[
0;
+
∞ en tant que somme de fonctions qui le sont, donc il
existe une primitive définie sur
]
[
0;
+
∞ par
()
2
2
2
x
Fx=+x
7) La fonction f définie par () sin 2cos
f
xx x
=
−
() cFx=−
est continue sur en tant que somme de fonctions qui le sont, donc il
existe une primitive définie sur \ par
\
os 2sinx x−
Exercice n°3
f est continue sur
]
[
0; +∞ en tant que somme de fonctions qui le sont, donc admet des primitives sur
]
[
0; +∞ définies par
2
() 2
x
Fx x k=− ∈
\
32
,
k
x
−+ .
On cherche k pour que 32
(1) 0 1 0
21
Fk=⇔−−+=⇔=
3
2
k
La primitive F de f sur
]
[
0; +∞ qui s'annule pour x=1 est donc
2
32
() 22
x
Fx x x
3
=
−− +

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Exercice n°4
1) f est continue sur en tant que fonction polynôme donc admet des primitives définies sur par \ \
23
() ,
23
xx
Fx x kk=− + − ∈
\
4
4
x
+. On cherche k pour que (1) 0F
=
111
10
234k
⇔
−+−+= 70
12 k
⇔
+=
7
12
k⇔=− . La primitive F de f sur qui vérifie F(1)=0 est donc \
234
7
2341
xxx
()
Fx x 2
=
−+−−
2) f est continue sur
]
[
0; +∞ en tant que somme de fonctions qui le sont, donc admet des primitives définies sur
]
[
0;
+
∞
par
21
() ,
2
x
Fx kk
x
=− + ∈
\
2x−. On cherche k pour que (1) 1F
=
1121 0
21 k
⇔
−− += 5
2
00k
⇔
−+=
. La primitive F de f sur qui vérifie F(1)=1 est donc
215
2
22
xx
x
()
Fx
=
−− +
5
2
k⇔=
]
[
0; +∞
Exercice n°5
1) . f est définie et continue sur en tant que produit de fonctions qui le sont, et
(
4
() 33 1fx x=+
)
\
()
4
() () ()
f
xuxux
′
=
où ux . Ainsi une primitive sur \ de f est définie par () 3 1x u
′
=+⇒() 3x=
()()
55
1
55
x+() 3
() ux Fx==
2) . f est définie sur en tant que produit de fonctions qui le sont, et pour tout
(
3
() 164 1fx x=−
)
\x
∈
\,
, donc de la forme
(
3
() 4 44 1fx x=× −
)
(
)
3
4 () ()()
f
xuxux
′
=, où ux() 4 1 () 4x u x
′
=
−⇒ = . Ainsi une primitive sur
de f est définie par \
()
()
4
4
4 1x−
()
() 4 4
ux
Fx=× =
3) . f est définie et continue sur \ en tant que puissance d’une fonction qui l’est, et pour tout
(
6
() 2 7fx x=+
)
x
∈
\,
(
1
() 2 2
2
fx x=××
)
6
7+, donc de la forme
(
6
() () ()
)
1
2
f
xuxux
′
=, où () 2 7 () 2ux x u x
′
=
+⇒ =. Ainsi une primitive
sur de f est définie par \
()()
77
() 7
1
() 27 14
ux
Fx + =× =
2
x
4) . f est définie et continue sur en tant que produit de fonctions qui le sont, et de la
forme
()
(
5
2
() 6 2 3 2 3fx x x x=− −+
()
5
() () ()
)
\
f
xuxux
′
=ux
()
, où . Ainsi une primitive sur de f est définie par
2
() 3 2 3 () 2x x u x
′
=−+⇒ −6x=\
()
6
62
323
()
() 66
xx
ux
Fx −+ ==
5)
4
2
11
() 1fx
x
x
=+
. f est définie sur
]
[
]
[
;0 0;−∞ ∪ +∞ et continue sur chacun des intervalles
]
[
;0−∞ et
]
[
0;
+
∞ en
tant que produit et puissance de fonctions qui le sont, et pour tout
]
[
0;x
∈
+∞ ,
4
2
()fx 11 1
x
x
× + =− −
, donc de la
forme
() ()
(
4
()
)
f
xuxux
′
=− × , donc
()
(
)
5
() ux Fx
5
11
1
55
x
+ =− =−
6) () sin cos
f
xx=x. f est définie et continue sur en tant que produit de fonctions qui le sont, et pour tout \x
∈
\,
() cos sin
f
xxx=, donc de la forme () ( ))(
f
xu x
′
=xu, où ux() sin () cosx u x x
′
=
⇒=. Ainsi une primitive sur
de f est définie par
\
()()
22
sin
22
x()
() ux ==Fx