Cours Electrocinetique

Généralités sur le courant électrique
Chapitre 1 :
1) Définitions
Soient deux conducteurs isolés A et B en équilibre électrostatique et soient VA et VB leurs
potentiels tels que VA > VB. Si on relie A et B par un fil conducteur, les charges se mettent en
mouvement (sous l’influence du champ électrostatique qui règne dans le fil) jusqu’à
l’établissement d’un nouvel état d’équilibre dans lequel les deux conducteurs sont au même
potentiel V.
VA

E
A
VB
V
B
A
Déplacement de charges
 
E 0
V
B
Equilibre
Le déplacement de ces charges s’appelle courant électrique. Il est accompagné par un
dégagement de chaleur dans le fil qui est dû à l’interaction des charges avec les atomes fixes
du conducteur lors du déplacement.

Le sens du courant est, par convention, celui dans lequel s’écoule l’électricité
positive.
Dans les métaux, ce sont les électrons qui se déplacent. Le sens du courant est donc
le sens inverse des électrons.

L’intensité du courant est la quantité d’électricité transportée par unité de temps :
i

dq
dt
L’unité de courant est l’Ampère (A).
2) Régime permanent
Le courant électrique décrit au paragraphe précédent est transitoire parce que le déplacement
de charges s’arrête lorsque les deux conducteurs sont au même potentiel.
Pour obtenir un régime permanent, il suffit de maintenir les deux conducteurs A et B à une
différence de potentiel constante, en utilisant un générateur. Dans ce cas, toutes les grandeurs
A. ETTOUHAMI, Laboratoire Conception et Systèmes, Faculté des Sciences, Rabat.
1
électriques locales sont indépendantes du temps. Le courant électrique est appelé dans ce cas
courant continu. Il en résulte :
 pas d’accumulation de charges en un point,
 les charges électriques circulent en circuit fermé.

E
VA
VB
A
B
3) Types de courants

Courant de conduction : déplacement de charges dans un matériau conducteur
(électrons dans les métaux et ions positifs et négatifs dans les électrolytes).
 Courant de particules : déplacement d’un faisceau d’électrons dans le vide
(oscilloscope cathodique….).
 Courant de convection : déplacement d’un matériau chargé que ça soit conducteur ou
isolant.
4) Densité de courant
4.1)
Définition
Soit un conducteur parcouru par un courant i, où les charges sont supposées avoir la même

vitesse v .
Les charges qui traversent un élément de surface dS

v dt
(autour d’un point M) pendant un instant dt sont celles
qui étaient contenues dans le cylindre oblique de base dS


et de longueur v dt (de volume dS v dt).
M
dS
Si N est le nombre de charges libres par unité de volume, la quantité de charges qui traversent
dS pendant dt est :
où :
d 2q  NqdSvdt  jdSdt



j  Nqv   v v
(  v étant la densité volumique de charges mobiles).
L’intensité du courant qui traverse l’élément de surface dS est :
d 2q
di 
 jdS
dt
A. ETTOUHAMI, Laboratoire Conception et Systèmes, Faculté des Sciences, Rabat.
2

Le vecteur j représente la densité de courant au point M. Son unité est A/m2.
L’intensité du courant qui traverse une section S du conducteur est :
i   j dS
S
C’est le flux du vecteur densité de courant à travers une section S.

Pour un conducteur filiforme, j est uniforme et parallèle à dS
i
NB :

S j dS  S jdS  j SdS  jS

Le fait de supposer que les charges se déplacent à la même vitesse v n’est qu’un modèle
électrique. En réalité, les charges se heurtent lors de leurs déplacements entre elles, et
avec les atomes du conducteur, ce qui induit un mouvement désordonné avec des

vitesses différentes dans différentes directions. La vitesse v supposée uniforme n’est
qu’une vitesse moyenne des charges qui permet de simplifier le calcul.
Le vecteur densité de courant permet de définir :
 Ligne de courant : C’est une courbe tangente en chacun de ses points au vecteur
densité de courant. C’est la trajectoire d’une charge mobile.
 Tube de courant : C’est l’ensemble de lignes de courants s’appuyant sur une courbe
fermée.
4.2) Conservation de charges en régime permanent

Soit un conducteur parcouru par un courant i et soit j le vecteur densité de courant au point

M. En régime permanent i et j sont indépendants du temps.
La quantité de charges qui traversent une surface fermée S pendant un instant dt est égale à la
variation, pendant dt, de la charge contenue, dans le volume délimitant S. En régime
A. ETTOUHAMI, Laboratoire Conception et Systèmes, Faculté des Sciences, Rabat.
3
permanent, cette dernière est nulle puisque le système reste identique à lui-même au cours du
temps. On a donc :
S fermée j dS  0
Dans un régime permanent, le flux du vecteur densité de courant est conservatif.
Cette relation peut s’écrire d’après le théorème de Green-Ostrogradzki :
S fermée j dS  v div( j )dv  0
⇨

div ( j )  0
Propriétés
Il résulte de ce qui précède qu’en régime permanent :

I2

Le flux de j à travers les différentes sections
dS
d’un tube de courant est constant.
S1
j1 dS1 
S2
j 2 dS 2
J
I1
⇨
J2
J1
S2
S1
I1=I2
En régime permanent, l’intensité du courant électrique a la même valeur à travers
toutes les sections d’un tube de courant.
La surface d’un fil conducteur limite un tube de courant. Il circule donc, dans le fil, un
courant dont l’intensité est indépendante de la section.
 L’intensité du courant dans le conducteur principal est égale à la somme des intensités
des courants dans les conducteurs dérivés.
A. ETTOUHAMI, Laboratoire Conception et Systèmes, Faculté des Sciences, Rabat.
4
En effet :
I1
I
S
J
In
S
n
j dS    jk dSk
k 0
I
S
n
 Ik
k 0
A. ETTOUHAMI, Laboratoire Conception et Systèmes, Faculté des Sciences, Rabat.
5
Loi d’Ohm - Loi de Joule
Chapitre 2 :
1) Loi d’Ohm
Soit un conducteur parcouru par un courant électrique. Les charges se déplaçant sous l’effet

d’un champ électrostatique E sont soumises à :


La force électrostatique :
La force de frottement :

f
fe  qE


f  kv

E
x
fe
q
Cette force est due à l’interaction des charges mobiles entre elles, et avec les atomes et
molécules fixes du conducteur.
En appliquant le principe fondamental de la dynamique :



dv
qE  kv  m
dt

 kdv
k

   dt
m
qE  kv
k
 t


m
qE  kv  Ce

A l’instant t=0 où le champ E est appliqué, les charges étaient au repos (v=0) :
t=0 ;

 
v  0 => C  qE

k
 t
 qE
(1  e m )
=> v 
k
En régime permanent ( t 

qE
k

v
m
), la vitesse atteint
k
une vitesse limite :
v  vl 
avec  
t
q
E  E
k
q
 cte dépendant de la nature du matériau conducteur, elle est appelée : mobilité
k
des charges.
A. ETTOUHAMI, Laboratoire Conception et Systèmes, Faculté des Sciences, Rabat.
6
La densité de courant :
où  
 Nq 2 


j   v v  NqE 
E
k


C’est la loi d’Ohm locale.
j  E
Nq 2
est appelée conductivité du matériau.
k
Son inverse  
1

est appelée résistivité du matériau.
2) Variation de la résistivité
La résistivité dépend de la nature du conducteur et d’autres facteurs dont le plus important est
la température.
 Pour les corps bons conducteurs (métaux et alliages), la résistivité augmente avec la
température :
   0 (1  T )
où  0 est la résistivité à 0°C et  un coefficient spécifique au conducteur appelé
coefficient de température.
 Pour les métaux usuels,  est de l’ordre de 1/250. Ainsi une lampe à incandescence où
le filament est porté à 2500°C, aura une résistivité environ 11 fois plus grande qu’à
froid.
 Pour les alliages  est généralement faible, il est de l’ordre de 10-4.
 Inversement, quand la température s’abaisse,
ρ
la résistivité diminue. Elle décroît régulièrement
jusqu’à une température critique, puis tombe
brusquement à une valeur si faible qu’elle cesse
d’être mesurable. On dit que le métal est devenu
supraconducteur (   0 ).
(0,0)
T(K)
 Pour les électrolytes et certains conducteurs (carbone, silicium, bore), la résistivité
diminue quand la température augmente.
A. ETTOUHAMI, Laboratoire Conception et Systèmes, Faculté des Sciences, Rabat.
7
3) Résistance d’un conducteur
A
I

j

E
Soit AB une portion d’un conducteur homogène
cylindrique de longueur l, de section S et de
résistivité  . En appliquant une différence
de potentiel VA-VB entre A et B, un courant I
VA
S
B
x
VB

parcourt la portion AB sous l’effet du champ électrique E .
Cherchons la relation entre VA-VB et I.
Les lignes de courant sont parallèles à l’axe du cylindre.
I   j dS   jdS
S
S
Puisque le conducteur est homogène, la densité de courant j est constante sur toute la section
S.
I j
S dS  jS
I  ES  
 dV 

S
S dV
 dx
Idx
Intégrons cette équation entre A et B :
V A  VB 
I
S
B
Adx 
l
S
I  RI
VA-VB =RI
C’est la loi d’Ohm.
 VA-VB est proportionnel à I. Le coefficient de proportionnalité R s’appelle résistance du
conducteur :
R
l
S
 L’unité de la résistance est l’Ohm (), celle de la résistivité est l’Ohm-mètre (.m).
A. ETTOUHAMI, Laboratoire Conception et Systèmes, Faculté des Sciences, Rabat.
8
 Si le conducteur n’est pas cylindrique, on découpe le conducteur en une série de
conducteurs élémentaires cylindriques ayant chacun une longueur dl et une section S.
La résistance totale s’obtient :
dl
I
R
B dl
A
S
S
où dl est parallèle aux lignes de courant et S est la section normale aux lignes de
courant.
4) Groupement de résistances
4.1) Association de résistances en série
Lorsque plusieurs conducteurs de résistances R1, R2,……, Rn sont reliés en série, ils sont
parcourus par le même courant I.
R1
A
I
R2
A2
A1
Rn
An-1
R
B
B
A
I
V A  VB  (V A  V A1 )  (V A1  V A2 )  ...............  (V An1  VB )
= R1I + R2I + ………+ RnI
= (R1 + R2 +……+ Rn)I
La résistance équivalente au groupement de résistances en série est :
R
n
 Ri
i 1
4.2) Association de résistances en parallèle
Soient n conducteurs de résistances R1, R2,……, Rn, branchés en parallèle.
A. ETTOUHAMI, Laboratoire Conception et Systèmes, Faculté des Sciences, Rabat.
9
I1
R1
I2
R2
I
R
A
B
In
B
A
I
Rn
VA-VB = R1I1 = R2I2 =………= RnIn
Le courant I qui parcourt le groupement de résistances est :
I = I1 + I2 +………………+ In
 (V A  VB )(
 (V A  VB )
1
1
1

 ............... 
)
R1 R2
Rn
1
R
La résistance équivalente R du groupement de résistances en parallèle est donnée par :
1

R
n
 Ri
1
i 1
5) Loi de Joule
Soit un conducteur parcouru par un courant I sous l’effet d’une différence de potentiel VA-VB
entre ces bornes :
Le travail des forces électriques entre A et B est :
B

B

B
   F dl   qE dl  q   dV  q(V A  VB )
A
A
A
où q est la charge transportée de A vers B pendant le temps t.
A. ETTOUHAMI, Laboratoire Conception et Systèmes, Faculté des Sciences, Rabat.
10
q=It
  (V A  VB ) It
Si le conducteur est purement résistif (est une résistance), le travail des forces électriques est
égal au travail résistant des forces de frottement (interaction des charges mobiles avec la
matière fixe du conducteur). Il y’a donc transformation intégrale de l’énergie électrique en
chaleur par le mécanisme des frottements.
Q =  = (VA-VB)It = RI2t
Q est la quantité de chaleur en Joules, dégagée par un conducteur de résistance R, parcouru
par un courant I pendant le temps t.
En calories :
Q
RI 2 t
4,18
C’est la loi de Joule.
A. ETTOUHAMI, Laboratoire Conception et Systèmes, Faculté des Sciences, Rabat.
11
Générateurs et récepteurs
Chapitre 3 :
1) Générateurs
Un générateur permet de maintenir une différence de potentiel constante, entre les bornes
d’un circuit parcouru par un courant I.
Les charges positives dans le générateur se déplacent du potentiel le moins élevé vers le
potentiel le plus élevé. Ceci implique :
A
B
I
 l’existence de charges mobiles qui assurent le
transport de l’électricité à travers ce générateur.
I
 l’existence d’une force motrice qui permet
d’élever le potentiel des charges à l’intérieur du générateur.
1.1) Générateur à vide
Soient A et B les deux bornes du générateur tel que VA>VB.
fm
Lorsque le générateur ne débite pas de courant
Em
(circuit ouvert ), les charges qu’il renferme sont
toutes au repos. Les forces qui s’appliquent
sur une charge mobile q à l’intérieur du générateur sont :


f

E
A
B

 La force électrostatique due au champ E créé par la différence da potentiel entre les
bornes A et B :
f  qE
 La force motrice f m produite par le générateur. Elle est proportionnelle à la charge q :
f m  qEm
où Em est un champ appelé champ électromoteur.
 F  fm  f  0
A. ETTOUHAMI, Laboratoire Conception et Systèmes, Faculté des Sciences, Rabat.
12
Em   E
La différence de potentiel entre les bornes du générateur est:
B
A
A
B
VA  VB   Edl   Em dl  e
e : est une caractéristique de générateur. Elle est positive. Elle est appelée force électromotrice
(f. e. m ).
A vide, la différence de potentiel aux bornes du générateur est égale à sa force électromotrice.
VA – VB = e
L’électrode dont le potentiel est le plus élevé est appelée borne positive ; celle dont le
potentiel est le moins élevé est appelée borne négative.
1.2) Générateur en charge
Connecté à un circuit extérieur, le générateur débite un courant qui circule de la borne
positive vers la borne négative dans le circuit et de la borne négative vers la borne positive à
l’intérieur du générateur.
L’expérience montre que le passage du courant s’accompagne, dans le générateur lui-même ,
d’un dégagement de chaleur. Ceci prouve l’existence de forces de frottement dans le
générateur, comme dans le conducteur extérieur. Ces forces sont proportionnelles à la vitesse
des charges : f r  kv

En régime permanent : v  cte
+

fm
I
dv
 F  m dt
0
Em
A

f
fr

E
_
I
B
f  fm  fr  0
qE  qEm  kv  0
⇨
v
q
( E  Em )
k
La densité de courant est :
A. ETTOUHAMI, Laboratoire Conception et Systèmes, Faculté des Sciences, Rabat.
13
j  v v  v
A1
B 
q
( E  Em )   ( E  Em )
k
A
A
B
B
j dl   Edl   Em dl
I
S
Supposons que la densité de courant est uniforme : j 
A Idl
B
 VB  V A  e
S
VB –VA +e = rI
où
r
A dl
B
S
est la résistance interne du générateur.
La différence de potentiel entre les bornes d’un générateur en charge est :
VA – VB
VA – VB = e – rI
e
Io 
Un générateur est schématisé comme suit :
A
B
+ -
ou
A
I
B
+ e
e,r
e
r
r
1.3) Considérations énergétiques
Toute charge dq qui traverse le générateur est soumise à la force motrice dqEm et reçoit une
énergie égale au travail de cette force de B à A.
A
dW   dqEm dl  e.dq
B
L’énergie reçue par la charge totale q qui traverse le générateur pendant une durée t est :
A. ETTOUHAMI, Laboratoire Conception et Systèmes, Faculté des Sciences, Rabat.
14
W = e.q = e I t
e I t = (VA - VB) I t + r I2 t
(VA - VB) I t : énergie disponible aux bornes du générateur, elle est utilisée dans le
circuit extérieur.
r I2 t
énergie perdue par effet Joule à l’intérieur du générateur.
:
Le rendement du générateur est donc :

(V  VB ) It
énergie _ utile
rI
 A
 1  1
énergie _ fournie
eIt
e
1.4) Association de générateurs
a) En série
Soient n générateurs reliés en série de manière à ce que la borne négative d’un générateur soit
reliée à la borne positive du suivant. L’ensemble est parcouru par le même courant I.
e1
e2
r1
en
r2
A
e
rn
B

I
r
A
B
I
(VA - VB) = (e1 + r1I) + (e2 + r2I) +…………….+ ( en + rnI)

n

ei 
i 1
n
 ri I  e  rI
i 1
Le générateur équivalent a pour caractéristiques :
e
n
 ei
i 1
;
r
n
 ri
i 1
L’association de générateurs en série permet d’augmenter la force électromotrice (batteries et
accumulateurs).
NB : Ces formules restent valables même si certains générateurs sont connectés avec une
polarité inversée. Dans ce cas leurs f.e.m sont comptées négativement.
A. ETTOUHAMI, Laboratoire Conception et Systèmes, Faculté des Sciences, Rabat.
15
b) En parallèle
Soient n générateurs reliés en parallèle.
I1
e1
I2
e2
r1
r2
I
I

B
A
e
r
A
B
I
en
In
rn
Soit : U = VA - VB
I = I1 + I2 + …………………..+ In
=
U  en
U  e1 U  e2

 .......................... 
r1
r2
rn
n
=U

1

r
i
i 1
n
 rii  r  r
e
U
e
i 1
Le générateur équivalent au groupement en parallèle à une f.e.m e et une résistance interne r
telles que :
1

r
n

1
r
i 1 i
e

r
;
n
 rii
e
i 1
Dans le cas où tous les générateurs sont identiques :
e1 = e2 =.………………….= en = E
r1 = r2 =.………………….= rn = R
on a:
e=E
;
r
R
n
L’association en parallèle de générateurs permet de diminuer la résistance interne et
augmenter en conséquence le courant de court-circuit ( I 0 
e
).
r
A. ETTOUHAMI, Laboratoire Conception et Systèmes, Faculté des Sciences, Rabat.
16
2) Récepteurs
Ils transforment l’énergie électrique en d’autres formes d’énergie : mécanique, chimique, …
2.1) Force contre électromotrice
Le récepteur soumet les charges qui le traversent à des forces résistantes. Il est donc le siège
d’un champ contre électromoteur Ec dirigé en sens inverse du courant.
+
VA>VB
Une Charge q est soumise à :
Force électrostatique f  qE

Force de frottement
f r  kv

force due à Ec
fc  qEc

fc
I

En régime permanent :
fr
A
 _
f


E
Ec
I
B


dv 
F m
0
dt
f  fc  f r  0
qE  qEc  kv  0
⇨
v
q
( E  Ec )
k
La densité de courant est :
j  v v  v
B
1
A 
q
( E  Ec )   ( E  Ec )
k
B
B
A
A
j dl   Edl   Ec dl = (VA - VB ) – e’
avec
e’=
A
B Ec dl
>0
e’ : force contre électromotrice du récepteur.
Supposons que la densité de courant est uniforme : j 

B

j dl  I
A

B
A

dl
= r’I
S
où
I
S
r’ : résistance interne du récepteur
La différence de potentiel entre les bornes du récepteur est :
A. ETTOUHAMI, Laboratoire Conception et Systèmes, Faculté des Sciences, Rabat.
17
VA – VB = e’ + r’I
VA – VB
*
e'
I
2.2) Interprétation énergétique
(VA – VB )It= e’It + r’I2t
Multiplions l’équation(*) par It, on obtient :
(VA – VB )It : énergie électrique reçue par le récepteur pendant la durée t.
e’It
: énergie transformée par le récepteur.
r’I2t
: chaleur dégagée par effet Joule.
Le rendement du récepteur est donc :

e' It
e'

1
(V A  VB ) It (V A  VB )
Un récepteur est schématisé comme suit :
B
A
e,r
3) Loi d’Ohm généralisée
Soit un conducteur AB parcouru par un courant I dans le sens de A vers B. Les différentes
possibilités du conducteur sont :
 résistance :
R
r
I
A
e
B
r
 générateur :
A
VA – VB = RI
VB – VA = e – rI
; VA – VB = rI - e
B
I
A. ETTOUHAMI, Laboratoire Conception et Systèmes, Faculté des Sciences, Rabat.
18
 générateur fonctionnant en tant que récepteur (dit encore récepteur polarisé)
e
r
VA – VB = e + rI
A
B
I
e’,r’
 récepteur
A
B
VA – VB = e’ + r’I
I
Ceci mène à la loi d’Ohm généralisée :
VA – VB = RI - e
Où
I : circule du A vers B.
R : résistance totale entre A et B.
e : force électromotrice ou contre électromotrice. Elle est algébrique, elle prend le
signe de la borne par lequel sort le courant.
NB : pour un récepteur, le courant rentre toujours par la borne
positive et sort de la borne négative ; donc : e’<0
e’,r
+ ’
I
Si entre A et B existent plusieurs conducteurs en série, la loi d’Ohm généralisée s’écrit :
VA – VB = ∑RI - ∑e
4) Loi de Pouillet
C’est la loi d’Ohm généralisée appliquée à un circuit fermé (VA – VA =0).
∑e = ∑RI
A. ETTOUHAMI, Laboratoire Conception et Systèmes, Faculté des Sciences, Rabat.
19
E1
Exemple :
E2
r1
I
r2
R
∑e = ∑RI
E2 – E1 = I(R + r1 + r2)
A.N : E1=6V ; E2=2V
;
⇨
r1 = r2 = 1Ω
I
E 2  E1
R  r1  r2
;R=6Ω
⇨ I = -0,5 A
Donc le courant réel I se déplace dans le sens inverse de celui choisi.
A. ETTOUHAMI, Laboratoire Conception et Systèmes, Faculté des Sciences, Rabat.
20
Chapitre 4 :
Réseaux électriques linéaires
1) Définitions

Réseau : C’est un ensemble de conducteurs (générateurs, récepteurs, résistances)
reliés entre eux par des fils conducteurs de résistance négligeable.

Nœud : C’est un point de réseau où sont connectés plus de deux conducteurs.

Branche : C’est l’ensemble de conducteurs situés entre deux nœuds.

Maille : C’est un ensemble de branches formant une boucle férmée.
Le réseau de l’exemple ci-contre présente :
R1
 2 nœuds A et B.
r1
 3 branches : AR1E1B, ARB et AE2R2B.
 3 mailles : AR1E1BRA, AE2R2BRA
A E2
●
E1
et AE2R2BE1R1A.
r2
R
R2
●
B
Le problème est de déterminer les intensités des courants dans les branches connaissant les
résistances, les forces électromotrices et les forces contre électromotrices du réseau. Si le
réseau contient b branches, on a b inconnus.
Il existe plusieurs méthodes pour résoudre ce problème.
2) Lois de Kirchhoff
2-1) Loi des nœuds
La conservation de l’électricité aux nœuds du réseau se traduit en régime permanent par :
où
ou bien :
I5
I1 – I2 + I5 + I4 – I3 = 0
I2
I4
I1
N
●
I3
Si le réseau contient n noeuds, on aura (n-1) équations indépendantes aux nœuds.
A. ETTOUHAMI, Laboratoire Conception et Systèmes, Faculté des Sciences, Rabat.
21
2-2) Loi des mailles
On parcourt une maille dans un sens déterminé et on applique la loi d’Ohm généralisée :
ou bien :
avec les mêmes conventions de signe, celles de la loi d’Ohm.
R1
Exemple :
r1
E1= (R1+r1)I1 + RI
●
I1
E1
R
I
●
2-3) Utilisation des lois de Kirchhoff
Dans un réseau contenant n nœuds et b branches où chaque branche est parcourue par un
courant choisi au hasard, il faut écrire b équations indépendantes :
 La loi des nœuds donne :
(n-1) équations indépendantes.
 La loi des mailles donne :
b – (n-1) équations indépendantes.
On obtient donc un système d’équations linéaires contenant autant d’équations que
d’inconnues. La résolution de ce système donne les valeurs algébriques des intensités de
courant Ik.
- Si Ik >0 alors Ik circule dans le sens choisi.
- Si Ik <0 alors :

Ik circule dans le sens inverse de celui choisi si la branche correspondante ne
contient pas de récepteur non polarisé.

Si cette branche contient un récepteur non polarisé, il faut inverser le sens du
courant dans cette branche et refaire les calculs :
 Si Ik devient positif, c’est dans ce nouveau sens que Ik traverse le récepteur.
 Si Ik reste négatif, la différence de potentiel entre les bornes du récepteur est
insuffisante, et aucun courant ne traverse cette branche. On supprime alors
cette branche et on refait les calculs.
A. ETTOUHAMI, Laboratoire Conception et Systèmes, Faculté des Sciences, Rabat.
22
R1
Exemple :
E2 = 3,5V ; r2 = 2Ω
1
E1
R1 = 9Ω ; R2 = 18Ω ; R = 10Ω
r2
I1
r1
E1 = 2V ; r1 = 1Ω
E2
A
●
R
I
I2
2
R2
●
B
Ce réseau contient 2 nœuds (A et B) et 3 branches.
Donc on a une équation au nœud et deux équations aux mailles.

I2 = I + I1
nœud A.

E1 = -(r1 + R1)I1 + RI
maille 1.

E2 = (r2 + R2)I2 + RI
maille 2.
⇨
I1<0 c.à.d que I1 circule dans le sens inverse de celui choisi avec une intensité de 0,05A.
3) Théorème de superposition
Puisque le système d’équations est linéaire on peut appliquer le théorème de superposition :
L’intensité du courant produit dans chaque branche par l’ensemble des générateurs du réseau
est égale à la somme algébrique des courants produits dans cette branche, par chacun de ces
générateurs, supposé connecté seul, les autres sont remplacés par leurs résistances internes.
9Ω
A
●
3,5V
2Ω
I1
1Ω
Exemple : le réseau
I
10Ω
I2
18Ω
est équivalent à :
2V
V
9Ω
1Ω
I’1
●
B
A
●
I’
10Ω
2V
2Ω
I’2
9Ω
18Ω
+
1Ω
I"1
I"
●
B
A. ETTOUHAMI, Laboratoire Conception et Systèmes, Faculté des Sciences, Rabat.
A
●
3,5V 2Ω
10Ω
I"2
18Ω
●
B
23
I’1=0,12A ; I’2=0,04A
; I’=0,08A
I
1
=0,07A ; I
2
=0,14A ; I =0,07A
Le théorème de superposition donne:
Ce sont les mêmes valeurs trouvées par les lois de Kirchhoff.
4) Méthode des courants fictifs des mailles
Cette méthode permet de réduire le nombre d’inconnues :
 On choisit m = b-(n-1) mailles indépendantes.
 On suppose que chaque maille est parcourue par un courant fictif, appelé courant de
maille.
 On choisit le même sens de parcours des courants de mailles (pour toutes les mailles).
 On établit les m équations aux mailles.
 On en déduit les courants de branches comme suit:
-
Pour les branches appartenant à une seule maille, le courant qui les traverse est le
courant de maille,
-
Pour les branches appartenant à deux mailles, le courant qui les traverse est égal à
la différence des deux courants de mailles (courant de la maille concernée – courant
de la maille adjascente).
9Ω
Exemple :
1Ω
2V
V

=0,005A ;
=-0,1A
A
●
3,5V
2Ω
I1
i1
I
10Ω
i2
I2
18Ω
●
B
Les courants réels sont :
A. ETTOUHAMI, Laboratoire Conception et Systèmes, Faculté des Sciences, Rabat.
24
5) Théorème de Thévenin
5.1) Principe
Le théorème de Thévenin est utilisé lorsqu’on veut calculer l’intensité du courant uniquement
dans une branche donnée du réseau. Aux bornes de cette branche, tout le reste du réseau est
équivalent à un générateur de force électromotrice Eth et de résistance interne Req.
A
A
●
●
Eth
I
Réseau
I
Req
●
●
B
B
5.2) Méthode
-
Calcul du Eth et Req
On supprime la branche concernée (la branche où on veut calculer le courant), le réseau
devient :
A
●
A
●
Réseau
Eth
Req
●
●
B
B
Eth = ( VA- VB )c.o : différence de potentiel entre A et B à circuit ouvert.
Req est la résistance équivalente du circuit ouvert en courcircuitant tous les générateurs et
les récepteurs et les remplaçant par leurs résistances internes.
-
A
Calcul du courant de la branche
On remet la branche supprimée, dans ce cas on a une seule
maille, et on calcule le courant qui circule dans cette
maille par la loi d’Ohm généralisée ou par la loi de Pouillet.
A. ETTOUHAMI, Laboratoire Conception et Systèmes, Faculté des Sciences, Rabat.
●
Eth
I
Req
●
B
25
9Ω
A
●
Exemple :
1Ω
On veut calculer le courant I qui
circule dans la branche A10ΩB.
I
3,5V
10Ω
18Ω
2V
V
●
B
9Ω

On supprime la branche, le circuit devient :

On calcule Eth:
Eth = ( VA- VB )c.o =(9+1)i+2 = 3,5-(2+18)i
1Ω
2Ω
18Ω
2V
V
●
B
9Ω
On courcircuite les générateurs du circuit ouvert,
on obtient :
3,5V
A
●
i
⇨ i=0,05A ⇨ Eth = 2,5V

2Ω
●
2Ω
A
1Ω
18Ω
Req = RAB = (9Ω +1Ω)//(2Ω+18Ω)
=10*20/(10+20)=20/3 Ω
●
B
A
●

On remet la branche de 10Ω et on calcule I.
Eth = (Req +10)I ⇒ I = Eth /(Req +10)
=2,5/(10+20/3) = 0,15A
Eth
Req
I
10Ω
●
B
I = 0,15A
A. ETTOUHAMI, Laboratoire Conception et Systèmes, Faculté des Sciences, Rabat.
26