Projet de Physique P6-3 STPI/P6-3/2008 – 035 Nom des étudiants Fabien ELIE Simon GLINEC Yves PARES Zhe YUAN Enseignant(s)-responsable(s) du projet François GUILLOTIN Etude et réalisation d’asservissements échantillonnés par ordinateur 2 Date de remise du rapport : 19/06/08 Référence du projet : STPI/P6-3/2008 – 035 Intitulé du projet : Etude et réalisation d’asservissements échantillonnés par ordinateur Type de projet : expérimental Objectifs du projet : Le but de notre projet consiste en la réalisation d’asservissements grâce à une commande numérique. Pour cela, il nous faut dans un premier temps comprendre la notion d’asservissements, puis réaliser les montages (décrits et expliqués plus loin) avec le matériel dont nous disposons. (Voir annexe). Il nous faudra ensuite faire les calculs nécessaires à la programmation de la partie numérique de l’asservissement. Enfin, nous utiliserons l’ordinateur afin de réaliser la commande numérique. INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE ROUEN Département Sciences et Techniques Pour l’Ingénieur BP 8 – place Emile Blondel - 76131 Mont-Saint-Aignan - tél : 33 2 35 52 83 00 - fax : 33 2 35 52 83 69 TABLE DES MATIERES 1. Introduction………………………………………………………………………………… ...........5 2. Méthodologie / Organisation du travail ...............................................................................6 3. Travail réalisé et résultats...................................................................................................7 3.1. Qu’est-ce qu’un asservissement ...................................................................................7 3.2. Etalonnage du tachymètre…………………………………………………………………..10 3.3. Fonction de transfert………………………………………………………………………….11 3.4. Boucle d’Asservissement Analogique……………………………………………………...13 3.5. Boucle d’Asservissement Numérique………………………………………………………16 4. Conclusions et perspectives .............................................................................................18 5. Bibliographie ....................................................................................................................19 6. Annexes (non obligatoire).................................................................................................20 6.1. Tableau étalonnage ....................................................................................................20 6.2. Asservissement analogique ........................................................................................20 6.3. Régulateur Proportionnel gain = 1 … .........................................................................21 6.4. Régulateur Proportionnel gain = 3…………………………………………………………..21 6.5. Régulateur Proportionnel gain = 5…………………………………………………………..22 6.6. Régulateur Proportionnel gain = 8…………………………………………………………..22 5 1. INTRODUCTION Pour notre projet de P6-3, nous devons étudier un système que nous connaissons sans le savoir car il est présent partout. En effet, les asservissements sont très présents dans la réalité. Le principe de base d'un asservissement est de mesurer l'écart entre la valeur réelle de la grandeur physique à asservir et la valeur de consigne que l'on désire atteindre. Ensuite on essaie de réduire cet écart. Finalement, beaucoup de grandeurs peuvent être asservies. On peut réaliser des asservissements de position, des asservissements de vitesse, d’accélération, de températures etc. Cependant, comment ces fonctions sont réalisées ? Comment faire pour réaliser un asservissement ? Tout d’abord, nous expliquerons en détail de façon théorique comment doit fonctionner une boucle d’asservissement. Nous expliquerons ensuite notre démarche concernant l’étalonnage et la récupération de la fonction de transfert du système. Finalement, nous verrons qu’il existe plusieurs façons de réaliser un asservissement. Nous allons donc présenter ces différentes façons de faire, puis nous nous focaliserons sur la commande numérique d’une boucle d’asservissements que nous expliquerons en détail. 6 2. METHODOLOGIE / ORGANISATION DU TRAVAIL Tout d’abord, il nous a fallu comprendre la notion d’asservissement. Cette notion étant nouvelle pour nous, nous avons utilisé les premières séances pour nous documenter sur le sujet et voir l’utilité de ce système. M. GUILLOTIN nous a aussi donné des informations sous forme de cours. Ensuite, nous avons cherché à comparer ces informations avec le matériel à notre disposition. En effet, nous disposons d’un système expérimental nous permettant de réaliser des montages réels. C’est le « système modulaire PSY 4400 ». Nous disposons aussi d’une notice explicative afin de nous guider dans nos montages. Cependant, cette notice ne correspond pas exactement au matériel fourni. De plus, elle semble correspondre à des méthodes plus anciennes non utilisées de nos jours. Il a donc fallu nous adapter au matériel et déterminer la façon de brancher chaque module. Malgré quelques difficultés de fonctionnement au début, nous avons réalisé le câblage de plusieurs montages présents dans la notice afin de nous familiariser avec le système. Ayant tous compris la notion d’asservissement et réalisé quelques câblages, nous nous sommes séparés en deux groupes. Le premier s’est occupé de la partie analogique de l’asservissement tandis que notre groupe en a réalisé la commande numérique. 7 Ainsi, les deux groupes peuvent s’échanger des informations et avancer ensemble. Par exemple, nous avons du mesurer la fonction de transfert du système afin de commencer la partie commande numérique. Cette information a été fournie à l’autre groupe pour lui permettre d’éviter de recommencer les branchements. Enfin, le fait de réaliser une commande numérique nous permet de changer facilement les paramètres et de réaliser plusieurs commandes différentes afin de comparer les résultats. 3. TRAVAIL REALISE ET RESULTATS 3.1. Qu’est-ce qu’un asservissement ? Si on cherche dans le dictionnaire la définition d’un asservissement, on obtient la définition suivante : « Système automatique dont le fonctionnement tend à annuler l’écart entre une grandeur commandée et une grandeur de commande. » (Le petit Larousse) on trouve aussi : « action de gouverner ». Nous souhaitons donc gouverner (asservir) des grandeurs physiques issues de processus technologiques. Ces grandeurs pourront être électriques (tension, courant, puissance, ...), mécaniques (force, vitesse, position, couple, ...), thermiques (température, gradient, ...), hydrauliques (pression, débit, niveau, ...), optiques (éclairement, exposition, ...), chimiques (concentration, ...). Toute grandeur physique issue d'un processus technologique pourra être asservie. Finalement, un asservissement consiste à réguler un système, c'est-à-dire à s’assurer que la variable de sortie sera quasi-constante, en tenant compte des perturbations et du temps de réponse du système. Prenons l’exemple d'un asservissement de température : on souhaite que la température dans un four pour traitement thermique soit à une certaine température. Cependant, cette température peut varier en fonction du temps ou à cause de paramètres ou perturbations extérieures. (La température extérieure varie au cours de la journée par exemple). Ainsi, l’information est recueillie en sortie et est renvoyée à un comparateur. Ainsi, si la température diffère effectivement de quelques degré par rapport à la commande, on pourra modifier ou plutôt corriger cette température. Il y a deux types d’asservissements : Si la mesure de la grandeur physique est continue (valeur instantanée), nous réaliserons un asservissement continu. Si la mesure de la grandeur physique ne se fait qu'à certains instants, nous réaliserons un asservissement échantillonné. Dans les deux cas la finalité est la même. Mais les techniques et les outils mathématiques sont différents. Un système d’asservissements est composé de plusieurs parties : • Un comparateur : Son rôle est de faire la différence entre la valeur mesurée de la grandeur que l'on veut asservir et la valeur, dite de consigne, que l'on voudrait obtenir. Le rôle de l'asservissement est évidemment de maintenir cette différence la plus proche possible de zéro à tout instant. 8 • Un amplificateur : Il a plusieurs étages, et est généralement de type PID (« Proportionnel Intégral Dérivé ») ou équivalent, chargé d'amplifier judicieusement l'écart mis en évidence par le comparateur afin d'apporter le plus rapidement possible une correction. • Un étage de puissance : Il est directement responsable de l'obtention de la grandeur pilotée. • Un capteur : Il est chargé de mesurer en permanence la valeur de la grandeur asservie. • Un dispositif correcteur : Celui-ci pourra être intégré en n'importe quel point de la chaîne et sert à minimiser les oscillations susceptibles de se produire autour de la valeur de consigne. Le schéma bloc ci-dessous permet aussi de mieux comprendre le système : x(t) Montage electronique de commande Convertisseur de puissance r(t) Charge s(t) Capteur La commande utilise le plus souvent un montage électronique qui sert au fonctionnement du convertisseur de puissance. Le signal d’entrée x(t) du montage permet d’agir sur les durées de conduction des interrupteurs du convertisseur de puissance. Le convertisseur alimente une charge, constituée généralement de circuits passifs ou d’une machine. La grandeur physique de sortie s(t) résulte de l’action du convertisseur sur sa charge. 9 Un capteur convertit la grandeur de sortie s(t) en une grandeur électrique r(t) susceptible d’être utilisée pas l’asservissement. Le principe d’asservissements pratiquement universel a cependant un inconvénient (généralement négligeable et négligé, sauf pour les système très rapides ou nécessitant des suivis précis de trajectoire) : les actionneurs étant pilotés en fonction de l'écart entre valeur réelle et consigne, le système ne peut réagir que lorsque cet écart est effectif, c’est-à-dire avec un certain retard. Remarque : On peut, dans certains cas, compenser cet effet en complétant l'asservissement par un feed forward, c’est-à-dire en pilotant les actionneurs pour obtenir directement la valeur cible, ou du moins en donnant l'ordre qui permet de s'en approcher le plus en aveugle, si on sait prévoir le comportement des actionneurs. Par exemple on peut, dans le cas d'un asservissement en position, piloter directement l'accélération si on connaît l'accélération de la consigne. Enfin, il est intéressant de s’intéresser aux performances d’un asservissement. Plusieurs paramètres caractérisent ces performances : • la vitesse à laquelle la valeur finale sera atteinte. C'est le temps de réponse. • la stabilité. Un système est stable si la sortie tend vers une valeur finie. Si elle oscille, l'asservissement est instable. • le dépassement. Souvent exprimé en pourcentage. Même lorsqu'un système est stable, il arrive que la sortie dépasse la consigne avant de se stabiliser. • la précision, c’est-à-dire la capacité de l'asservissement à atteindre la consigne avec précision. Un asservissement agit sur plusieurs caractéristiques de la grandeur asservie comme : • La position : Asservissement de position • La vitesse : Asservissement de vitesse • L'accélération : Asservissement d'accélération Certains systèmes complexes optimisent plusieurs de ces caractéristiques pour obtenir des réponses à la fois rapides et précises. Pour des systèmes non mécaniques, on peut également asservir d'autres types de grandeur : tension, phase... La contrainte principale étant de pouvoir les mesurer et d'agir sur elles par une commande efficace. Notre groupe a réalisé un asservissement par méthode numérique, visant à remplacer la partie régulation (correcteur) par un ordinateur, pour lequel ont été faites en entrée et sortie les conversions analogique/numérique requises. Ceci sera explicité en détail dans la troisième partie. 10 3.2. Etalonnage du tachymètre Notre étude s’est construite autour de l’asservissement de la vitesse de rotation d’un moteur. Nous avons pour cela utilisé un système modulaire, c'est-à-dire un ensemble de modules électriques pouvant être montés de différentes manières afin de réaliser diverses boucles d’asservissement. Avant d’asservir quoi que ce soit, nous devions calculer la fonction de transfert du moteur. Pour ce faire, nous avons étalonné le tachymètre, afin de nous assurer que la vitesse qu’il nous indiquait était valide. La charge du moteur était un disque portant une encoche. Nous avons placé de part et d’autre du disque une diode et un capteur photoélectrique, qui, lorsque le moteur tourne et que donc le disque coupe le rayon, émet un signal électrique de tension U dont la fréquence F nous permet de déduire la vitesse de rotation du moteur. Capteur photoélectrique potentiomètre Nous avons donc fait varier le potentiomètre afin de changer vitesse de rotation du moteur. Ainsi, l’étalonnage était fait en comparant cette vitesse déduite avec la vitesse Vth indiquée par le cadran du tachymètre. Cadran du tachymètre 11 Ces deux mesures on été mise dans un tableau (voir annexe 1 : Tableau étalonnage) afin de tracer la courbe ci-dessous. Si le tachymètre est correctement étalonné, Vth = 60 ⋅ F , on doit donc tracer la courbe Vth = f (F ) et trouver un coefficient directeur de 60. courbe d'étalonnage 4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 0 8.29 15.9 24.37 32.75 41.25 49.90 58.1 65.8 Nous en déduisons que les valeurs de vitesse lues sur le cadran sont bien celles trouvées par l’expérience. Le tachymètre est donc bien étalonné. 3.3. Fonction de transfert L’étape suivante est d’obtenir la fonction de transfert du moteur. Pour cela, on suppose que le système est du premier ordre, la fonction de transfert est donc de la forme : H = K 1+τ ⋅ P . Cependant, cette fonction de transfert correspond aussi à l’égalité suivante : H ( P) = Y ( P) où Y est la tension en sortie du tachymètre, et W la tension de commande. W ( P) Les grandeurs sont ici en fonction de P et non de t car on raisonne avec leurs transformées de Laplace. Nous avons donc branché l’oscilloscope en entrée et en sortie afin d’obtenir la courbe de Bode. Le graphique suivant représente G en fonction de F, (échelle en décades), avec G=20*log(H). 12 Cette courbe nous donne les indications suivantes : Tout d’abord, on observe deux pentes. La première présente un coefficient directeur égal à -20dB/décade. C’est la partie mécanique du système (premier ordre). La seconde présente un coefficient directeur de -40dB/décade. C’est la partie électrique du système. La partie électrique est normalement négligée du fait de la charge du moteur. Cependant, notre moteur n’a de charge effectivement suffisante pour assurer son inertie. Ainsi, la partie électrique n’étant pas négligée, elle rend le système instable. Après modélisation, cette courbe nous a permit de trouver K=0,8 et τ = 319ms 13 3.4. Boucle d’Asservissement Analogique Avant de réaliser une boucle d’asservissement numérique, nous avons câblé une boucle d’asservissement analogique afin de comprendre électriquement ce que l'ordinateur reproduira numériquement. Nous nous concentrerons donc sur les régulateurs proportionnel/intégral. Voici la boucle d’asservissement analogique : (voir photo du câblage en annexe 2 : asservissement analogique) C -15V E Soustracteur +15V W PID Correcteur M Charge Y Tachymètre Rp R2 R1 - R2 + e + u Régulateur Proportionnel w 14 Tout d'abord le régulateur proportionnel seul entraîne une erreur importante mais un rétablissement du signal rapide après une perturbation sur le moteur. Rp R1 C - R2 + e + u w Régulateur Intégrateur Ensuite le régulateur intégrateur permet d'annuler l'erreur ( cette erreur est en réalité de l'ordre du dixième de Volt ; elle est dû aux composants qui ne sont pas parfaits. En contrepartie, le rétablissement après une perturbation est beaucoup plus lent qu'avec le régulateur proportionnel. D’après le schéma, nous déduisons la constante de temps du régulateur intégrateur : τ '= R1 ⋅ R2 ⋅ C Rp R1 = 10kΩ On choisit les valeurs suivantes : R2 = 100kΩ C = 1µF R p = 100kΩ On a ainsi τ ' = 1s Voici comment on calcule la fonction de transfert du régulateur intégrateur que nous avons réalisé. Les paramètres déduits de cette fonction de transfert nous serviront à paramétrer le régulateur numérique installé sur l’ordinateur lorsque l’on remplacera la régulation analogique par une régulation numérique. La fonction de transfert du régulateur est de la forme : R ( P ) = W ( P) 1 = E ( P) τ '⋅P D’après la méthode des trapèzes (non explicitée dans ce rapport) : 15 On sait que P peut s’exprimer ainsi : P = 2 1 − z −1 1 − z −1 × = 2 f × avec fe fréquence e Te 1 + z −1 1 + z −1 d’échantillonnage. On peut donc exprimer R en fonction de z : R ( z ) = γ = 2τ ' f e et z un complexe quelconque. W ( z) 1 + z −1 1 + z −1 = = avec E ( z ) 2τ ' f e − 2τ ' f e ⋅ z −1 γ − γ ⋅ z −1 W ( z ) a 0 + a1 ⋅ z −1 = D’où a 0 ⋅ E ( z ) + a1 ⋅ E ( z ) ⋅ z −1 = b0 ⋅ W ( z ) + b1 ⋅ W ( z ) ⋅ z −1 −1 E ( z ) b0 + b1 ⋅ z Par indentification : a 0 = a1 = 1 b0 = −b1 = γ On établit la relation de récurrence suivante : a 0 ⋅ e k + a1 ⋅ e k −1 = b0 ⋅ wk + b1 ⋅ wk −1 wk = a0 a b e k + 1 e k −1 − 1 wk −1 b0 b0 b0 On définit les variables suivantes : α 0 = a0 a −b ;α1 = 1 ; β1 = 1 b0 b0 b0 Dans l’optique d’utiliser ces résultats à l’ordinateur, on pose f e = 2000 Hz (car il s’agit de la fréquence d’échantillonnage de l’ordinateur) On a donc γ = 2τ ' f e = 2 × 1 × 2000 = 4000 α 0 = 1 / 4000; α 1 = 1 / 4000; β 1 = 1 16 3.5. Boucle d’Asservissement Numérique Quelles sont les différences entre le numérique et l'analogique? Pour simplifier les choses, le régulateur analogique nécessite le changement des composants à chaque modification que l'on souhaite apporter au mode de fonctionnement du régulateur. Cependant, le régulateur numérique permet de seulement changer ces paramètres. Le but de notre projet étant d'utiliser l'outil numérique à la place de l'analogique, nous avons déterminé les coefficients nécessaires au paramétrage du filtre numérique (cf 3.3.) Ces cœfficients seront les paramètres à modifier. W Y -15V +15V M Charge Tachymètre Maintenant que ces valeurs ont été identifiées, on peut facilement modifier le gain via un ordinateur et un programme. Reprenons le montage « Régulateur Intégrateur » 17 Lorsqu'on exerce une perturbation sur le moteur, on observe que le rétablissement après cette perturbation reste lent. Cependant, l'erreur est très faible : 30 mV. Intéressons nous ensuite au montage « Régulateur Proportionnel ». Comme nous l'avons mentionné précédemment, l'erreur est importante (de l'ordre du Volt). Mais on observe un rétablissement rapide après perturbation. Afin de voir l'effet du gain statique sur l'erreur statique, et sur le rétablissement après perturbation, nous allons augmenter ce gain progressivement de 1 à 8 (Voir annexes 3 à 6 : Régulateur Proportionnel). En conclusion on s'aperçoit que plus le gain statique augmente, plus l'erreur diminue, et plus le rétablissement est lent, et présente des ondulations, ceci jusqu'à ce que le système devienne instable. La somme de ces 2 régulateurs permet une meilleure qualité d'asservissement (annulation de l'erreur et retour rapide), mais est électroniquement difficile à réaliser. 18 4. CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES Conclusions sur le travail réalisé : Nous avons effectué diverses manipulations permettant de nous initier avec les asservissements. Nous avons en particulier réalisé un asservissement de vitesses sur un moteur. Au cours de ce projet, nous nous sommes souvent heurtés à des problèmes d'ordre matériels, mais aussi de compréhension de nos observations, parfois loin de ce dont on pouvait s'attendre. Il faut souligner le fait que personne n'avait encore travaillé sur ce système modulaire PSY4400, nous laissant un peu dans le flou pour certaines expériences. Néanmoins, nous sommes parvenus à réaliser un asservissement dans un premier temps analogique, puis numérique. Ainsi, nous avons pu faire varier les paramètres afin d'observer des modifications et déduire des conclusions. Cela nous permet finalement de réaliser un asservissement réglé de la meilleur façon possible. Conclusions sur l’apport personnel de cette U.V. : Il est clair que ce sujet nous était peu familier, l'automatisme ne faisant parti des matières enseignées en premier cycle. Pourtant ce projet nous a permis de découvrir les facettes d'une discipline de la physique encore inconnue pour nous, et de nous initier donc aux asservissements. Il est vrai qu'au début, ce projet n'était pas notre premier choix, mais il s'est révélé être instructif, et sûrement profitable pour l'avenir, tant au point de vue théorique (avec les calculs sur les transformées de Laplace par exemple), que manipulatoire. Enfin, ce projet a été un moyen idéal pour développer notre capacité à travailler en groupe et à organiser notre travail. Perspectives pour la poursuite de ce projet : Il serait possible de réaliser des asservissements sur différents systèmes utilisant d’autres grandeurs physiques que la vitesse telles que position, tension, courant, fréquence, pression, température... On pourrait aussi fournir ou rédiger une notice explicative correspondante au système. 5. BIBLIOGRAPHIE Livres : [1] Michel PINARD, “Précis d'électrotechnique”, Bréal, 2007. [2] P.BRENDERS, L.DOUCHET, M.SAUZEIX, “Electrotechnique, conversion de puissance”, Bréal, 2004. [3] J-M BREBEC, « Electromagnétisme », Hachette, 1998 Internet : [4] lien Internet : http://www.iutenligne.net/ressources/automatique/verbeken/CoursAU_MV/chapitre1/chap11. html (valide à la date du 20/06/2008) [5] lien Internet : http://www.eudil.fr/eudil/belk/sc00a.htm 6. ANNEXES (NON OBLIGATOIRE) 6.1. Tableau étalonnage : U (V) F (Hz) Vth (tours/min) 0 0 0 -1.35 8.29 500 -2.6 15.9 1000 -4.0 24.37 1500 -5.4 32.75 2000 -6.78 41.25 2500 -8.15 49.90 3000 -9.48 58.1 3500 -10.75 65.8 4000 6.2. Asservissement analogique : 21 6.3. Régulateur Proportionnel gain = 1 : 6.4. Régulateur Proportionnel gain = 3 : 22 6.5. Régulateur Proportionnel gain = 5 : 6.6. Régulateur Proportionnel gain = 8 :
