résume du cours .Bac ECO PROF : KHLIFI Nuage De Points : Soit (xi , yi )1≤i≤n les valeurs numériques prises respectivement par les variables 𝑋 et 𝑌. Dans le plan étant rapporté à un repère orthogonal. On appelle Nuage de Points associé à la série considérée l’ensemble des points Mi (xi , yi )1≤i≤n . Et on appelle Point Moyen du nuage le point de ̅, ̅ coordonnées ̅ X et noté : G(X Y) Exemple :Le tableau suivant donne le pois en Kg et la taille en cm d’un groupe de 10 enfants. 𝑥𝑖 𝑦𝑖 25 27 23 30 27 23 25 30 32 28 90 92 85 99 93 88 92 98 99 90 1-Placer dans un repère orthogonal les points Mi (xi , yi )1≤i≤10 . 2-a/Calculer x̅ :La moyenne arithmétique de la série statistique à variable xi et y̅ :La moyenne arithmétique de la série statistique à variable yi . ̅, ̅ b/Placer le point G(X Y) dans le repère orthogonal Paramètres d’une série statistiques : Soit 𝑋 une série statistique sur un échantillon de taille n. Si ̅ X , V(X) et σX désignent respectivement la moyenne, la variance et l’écart- type de la série alors : 𝑝 1 ̅ = ∑ 𝑛𝑖 𝑥𝑖 𝐗 𝑛 𝑖=1 𝑝 1 2) − 𝑋 ̅̅̅̅̅̅ ̅ = ∑ 𝑛𝑖 𝑥𝑖 2 − 𝑋 ̅2 𝐕(𝐗) = (𝑋 𝑛 2 𝑒𝑡 𝛔𝐗 = √𝑉(𝑋) 𝑖=1 Ou les valeurs 𝑥1 , 𝑥2 , … 𝑥𝑝 désignent les valeurs prises par X si elle est discrète ,ou les centres des classes si la variable X est continue .L’entier 𝑛𝑖 désigne l’effectif de la valeur 𝑥𝑖 . Définition : Soit (xi , yi )1≤i≤n une série statistique double. On appelle covariance de 𝑥 et 𝑦 nombre noté cov(x, y)et défini par : 𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑖=1 1 1 𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) = ∑(𝑥𝑖 − x̅)(𝑦𝑖 − y̅) = ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − x̅y̅ = 𝑐𝑜𝑣(𝑦, 𝑥) , 𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑥) = 𝑉(𝑥) 𝑛 𝑛 Interprétation : * La covariance est positive si X et Y ont tendance de varier dans le même sens * La covariance est négative si X et Y ont tendance de varier dans des sens contraires propriétés :Soit (xi , yi )1≤i≤n une série statistique double. Pour tous réels 𝛼 et 𝛽. 𝑷𝟏 : 𝑐𝑜𝑣(𝑥 + 𝛼, 𝑦 + 𝛽) = 𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) 𝑷𝟐 : 𝑐𝑜𝑣(𝛼𝑥, 𝛽𝑦) = 𝛼𝛽𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) Ajustement d’une série statistique Méthode de Mayer : Activité Le tableau suivant donne le pois en Kg et la taille en cm d’un groupe de 10 enfants. 𝑥𝑖 𝑦𝑖 25 90 27 92 23 85 30 99 27 93 23 88 25 92 1) Déterminer le point moyen 𝐺1 de la première série 2) Déterminer le point moyen 𝐺2 de la deuxième série 3) Déterminer l’équation de la droite (𝐺1 𝐺2 ) 30 98 32 99 28 90 REMARQUE : La décision d’ajuster un nuage par une droite se prend jusqu'à présent à la seule vue du nuage de points, selon que sa forme est allongée ou non Méthode des moindres carrés : Exemple : Dans le tableau ci-contre X :(en degré C°) Y :(en litres) -2 40 0 30 4 20 8 15 10 10 𝑋 désigne la température moyenne extérieur en 24 heures et 𝑌 désigne la consommation de pétrole de chauffage pour les mêmes 24 heures et pour une famille donnée. 1) Déterminer le point moyen G de la série (𝑋, 𝑌) 2) Représenter, dans un repère orthogonal le nuage de points 𝑀𝑖 (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ) ; L’ajustement affine est-il possible ? 3) Donner une équation de la droite de régression de Y en X 4) Quelle prévision (en litres) sur sa consommation de pétrole peut faire la famille considérée, si une vague de froid persiste pendant 48 heures avec une température moyenne de (-4) C° ? Coefficient de corrélation linéaire : Définition : Soit (X , Y) une série statistique double. On appelle coefficient de corrélation linéaire le réel noté 𝑟(𝑋 , 𝑌) défini par : r(X, Y) = 1) 2) 3) 4) cov(X,Y) σX .σY Interprétation: On a : −1 ≤ 𝑟(𝑋, 𝑌) ≤ 1 Si |𝑟(𝑋, 𝑌)| = 1 alors il y a une dépendance totale, l’une est une fonction affine de l’autre. Si |𝑟(𝑋, 𝑌)| ∈ [0; 0,70]alors la corrélation entre x et y est faible. L’ajustement affine est non justifiée -Si |𝑟(𝑋, 𝑌)| ∈]0,70; 0,95] alors la corrélation entre X et Y est forte. -Si |𝑟(𝑋, 𝑌)| ∈]0,95; 1] alors la corrélation entre x et y est très forte. L’ajustement affine est justifiée
