Nombres réels et complexes

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2
f:QQ
x, y Q, f(x+y) = f(x) + f(y)
f C C
f(0)
xQ, f(x) = f(x)
nN,xQ, f(nx) = nf(x)
nZ
a=f(1) xQ, f(x) = ax
2
3+41
81r5
31/3
+2
341
81r5
31/3
errQ
a, b N
Pn(x) = 1
n!xn(bx a)n
x= 0
x=a/b
r=a/b n N
In=Zr
0
Pn(t)etdt
In0
er=p/q p, q NqInZ
2 + 3
3
f:RR
(x, y)R2,f(x+y) = f(x) + f(y);
(x, y)R2,f(xy) = f(x)f(y);
xR,f(x)6= 0
f(0) f(1) f(1)
f(x)xZxQ
x0, f(x)0f
f= IdR
nNx1, . . . , xnR
n
X
k=1
xk=
n
X
k=1
x2
k=n
k∈ {1, . . . , n}xk= 1
x, y [0 ; 1]
x2+y2xy 1
u, v 0,1 + uv 1 + u1 + v
(α, β)(R
+)2MR
x, y > 0, xαyβM(x+y)
(x1, . . . , xn) (y1, . . . , yn)
1
n
n
X
k=1
xk! 1
n
n
X
k=1
yk!1
n
n
X
k=1
xkyk
x, y [0 ; 1],minxy, (1 x)(1 y)1
4
x, y R,bxc+bx+yc+byc≤b2xc+b2yc
xR,nN,
n1
X
k=0x+k
n=bnxc
abR
Card([a;b]Z) = bbc+b1ac
nN
(an, bn)N2
(2 + 3)n=an+bn3 3b2
n=a2
n1
(2 + 3)n
θRnN
Cn=
n
X
k=0 n
kcos(kθ)Sn=
n
X
k=0 n
ksin(kθ)
BC
zB1z+z2B1 + z+z2B
B
a, b, z
b
aza
zb2
R
+
M z I i
M0iz
M0
z7→ 1
1z
M z
z+z=|z|
a, b, c
t, u, v
tt =a2, uu =b2vv =c2
z=q2 + 2 + iq22
zCz0C
|z+z0|=|z|+|z0| ⇐⇒ ∃λR+, z0=λ.z
z, z0C,|z|+|z0|≤|z+z0|+|zz0|
aC|a|<1
z
za
1az 1
z1, z2C,|z1+z2|2+|z1z2|2= 2 |z1|2+ 2 |z2|2
z1, z2C|z1| ≤ 1|z2| ≤ 1ε= 1
1
|z1+εz2| ≤ 2
f:CC
f(z) = z+|z|
2
f
|z+ 1|=|z|+ 1 zC
nNUnn
X
zUn|z1|
n3ω1, . . . , ωnn ωn= 1
pZ
Sp=
n
X
i=1
ωp
i
T=
n1
X
i=1
1
1ωi
ω n
S=
n1
X
k=0
(k+ 1)ωk
(1 ω)S S
j(j+ 1) j
j2+1
j+1
j1
nN
(z+ 1)n= (z1)n
ω= ei2π
7
A=ω+ω2+ω4B=ω3+ω5+ω6
nNn2ω= exp(2iπ/n)
zC, z 6= 1
n1
Y
k=1
(zωk) =
n1
X
`=0
z`
z= 1
n1
Y
k=1
sin kπ
n=n
2n1
sinπ
5=s55
8
aRx3+ 2x2+ 2ax a2= 0 x= 1
C
z22iz1 + 2i = 0
z4(5 14i)z22(12 + 5i) = 0
512i
z3(1 + 2i)z2+ 3(1 + i)z10(1 + i) = 0
C
x+y= 1 + i
xy = 2 i
ZCez=Z z C
eiθ1
eiθ+1 θ]π;π[
ei+ ei0θ, θ0R
2Q
2 = p/q p, q Np q
2q2=p2
p p2p= 2k
kNq2= 2k2
q p q
f(x+y) = f(x) + f(y)f C
C=C+C C = 0
x=y= 0 f(x+y) = f(x) + f(y)f(0) = 0
y=x f(x+y) = f(x) + f(y) 0 = f(x) + f(x)
f(x) = f(x)
nN,xQ, f(nx) = nf(x)
nZ, n =p p N
f(nx) = f(px) = f(px) = pf(x) = nf(x)
x=p/q p ZqN
f(x) = f(p×1
q) = pf(1
q)
a=f(1) = f(q×1
q) = qf(1
q)
f(1
q) = a
q
f(x) = ap
q=ax
x
1/3
x3
x
2
3+41
243151/32
341
243151/3
1
81486 + 123151/3486 123151/3
(ab)(a+b) = a2b2
2
3+41
243151/32
341
243151/3
=7
27
x
x3=4
3+7
9x
(3x4)(3x2+ 4x+ 3) = 0
3x2+ 4x+ 3 >0
x= 4/3
1 / 14 100%

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