3. Rotation Math

Lycée pilote de Tunis
Mr Ben Regaya. A
Rotations planes 1
Troisièmes Maths
+ Eléments de corrections
www.ben-regaya.net
Exercice1
Soit un carré ABCD de sens direct et O son centre. On considère un point I de [AD] et un point J de [AB] tels
que AI=BJ. Les droites (BI) et (DJ) se coupent en H.
1. Démontrer que r

(O, )
2
(I )  J .
2. a) Montrer que les droites (CI) et (DJ) sont perpendiculaires
b) Montrer que H est l’orthocentre du triangle CIJ.
Exercice 2
ABCD est un carré de centre O tel que E est un point du segment [AB], F est un point du segment [BC] et
BF = AE.
Les droites (AF) et (EC) se coupent en M.
1. Montrer que (AF) est perpendiculaire à (ED) et que (DF) est perpendiculaire à (EC).
2. Montrer alors que (DM) est perpendiculaire à (EF).
Exercice 3


Le plan P est orienté dans le sens direct. ABCD est un losange tel que BC , BA 

3
 2  .Soit I le centre de
gravité du triangle ABC et J le symétrique de I par rapport à (AB) .On désigne par R la rotation de centre A et
d’angle

.
3
1. Construire le point L image de I par R.
2. Déterminer R (B), R (C) et R (J).
3. Les droites (AC) et (BJ) se coupent en K et les droites (IC) et (DA) se coupent en K’.
Montrer que AKK’ est équilatéral.
4. Soit H le point vérifiant HC  3 LC , montrer que H est l’image de D par R.
Exercice4
Dans le plan orienté P, on considère un triangle équilatéral direct ABC et deux points D et E définis par :
BD 
1
AB et CE  BD .
2
1. Montrer que AB = DE.
2. Soit R la rotation qui transforme D en A et E en B. Construire le centre I de cette rotation et déterminer
une mesure de son angle.
3. La droite (AC) coupe la droite (DE) en F.
a) Montrer que le triangle EFC est équilatéral.
b) En déduire que EF = BD.
c) Montrer que R (F) = D.
d) En déduire que le point I est le centre du cercle circonscrit au triangle ADF.
Exercice5
Dans le plan orienté, On considère un triangle ABC équilatéral de sens direct.
1. Soit R1 la rotation de centre A et d’angle

3
a) Construire H  R1 (C ) .
b) En déduire que ABCH est un losange.
2. Soit r la rotation d’angle

telle que r(A) = C.
3
a) Montrer que H est le centre de r.
b) Soit I le symétrique de A par rapport à C. Montrer que I = r (B).
3. Soient les points M et M’ tels que M ∊ [AB], M’∈ [IC] et AM = CM’.
a) Montrer que HMM’ est équilatéral
b) Soit    le cercle de centre B et passant par A. Déterminer et construire r    .
4. Soit r ' la rotation d’angle

qui transforme I en B.
2
a) On désigne par E le centre de r’, montrer que H, C et E sont alignés.
b) Construire le point E (justifier).
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Exercice1
1.

 





AI  BJ  0 et AI , BJ  AD, BA  2  donc AI , BJ    AD, AB  2  ou encore
 AI , BJ   2 2  .
L’angle  AI , BJ  étant non nul donc il existe une seule rotation r’ qui
transforme A en B et I en J.
r ' a pour angle

on a aussi r '  A  B donc le centre w de r ' est tel
2


que wA  wB et wA, wB 

2
 2  d’où w  O et par suite r '  r .
Comme r '  I   J alors r  I   J .
2. a) r  I   J et r  C   D donc r transforme la droite  IC  en la
droite  JD  et comme r a pour angle

alors  IC    JD  .
2
b) On a  IC    JD  et H ∊  JD  donc  JD  est une hauteur du triangle  CIJ  .
r  I   J et r  B   C donc  IB    JC  donc  IB  est une deuxième hauteur du triangle  CIJ  .
 IB    JD   H  donc H est l’orthocentre du triangle  CIJ  .
Exercice2

 

1. On a AE  BF  0 et AE , BF  AB, BC  2  signifie
 AE, BF      BA, BC 2  ou encore
 AE, BF   2 2 


L’angle AE , BF étant non nul donc il existe une seule
rotation r qui transforme A en B et E en F.
r a pour angle

on a aussi r  A  B donc le centre w de r
2


est tel que wA  wB et wA, wB 

2
 2  d’où w  O et r  R

 O, 
 2
.Comme ABCD est un carré de centre
O alors r  D   A et r  E   F donc  DE    AF  on a aussi r  E   F et r  C   D donc  DF    EC 
2. Dans le triangle EDF :
 DF    EC  et  DE    AF 
donc  EC  et  AF  sont deux hauteurs du triangle EDF qui se coupent en
M. Donc M est l’orthocentre du triangle EDF.  DM  est la troisième hauteur
donc  DM    EF  .
Exercice3


1. L image de I par R Signifie AI  AL et AI , AL 

3
 2  signifie AIL est équilatéral direct.
2. On a ABC est équilatéral direct donc R  B   C

 

ACD est équilatéral direct donc R  C   D . J  S AB   I   AI  AJ et AJ , AI  2 AB, AI  2  ce qui
donne
 AJ , AI   3 2  . Donc R  J   I
3. Il suffit de prouver que R  K   K ' .
On a :
R  C   D et R  A  A  R  AC    AD 
R  B   C et R  J   I  R  BJ    IC  .
K est le point d’intersection des droites  AC  et  BJ  donc Son
image par R est le point d’intersection des droites images à savoir
 AD  et  IC  . Ainsi R  K   K ' et le triangle
AKK ' est équilatéral
direct.
4. On vérifie facilement que DB  3 IB .Posons D '  R  D  alors DC '  3 LC . ( Propriété des rotations : si
AB   CD alors A ' B '   C ' D ' ) . D’où D’ = H.
Exercice4
1.
CE  BD et B, C et D non alignés donc ECBD est un parallélogramme et donc ED  BC .
Or ABC est équilatéral donc BC  AB d’où AB  ED .
2.
R  D   A et R  E   B donc le centre I de R est l’intersection des médiatrices de  AD  et  EB  .






L’angle de R est   DE , AB  2     BC , AB  2       BC , BA  2  et donc  
2
et
3
R  R
2  .
I,

3 


 

3. a) ECBD est un parallélogramme donc DE, DB  CB, CE  2  .
CE, CF    AB, AF 2   CE, CF   3 2  .


On a aussi CA, CB 

3



3
3
3
 2  donc  CB, CE    2  d’où  DE, DB    2    EF , EC    2 
car E ∊  FD  et EC  DB .
Dans le triangle EFC on a :
 EF , EC   3 2  et CE, CF   3 2  donc il est équilatéral.
b) EFC est équilatéral donc EF  EC et le quadrilatère BDEC est parallélogramme donc EC  BD et par
suite EF  BD .

 



c) On a EF , BD  BC , AB  2  EF et BC colinéaires de même sens




 EF , BD    BC , BA  2  soit encore EF , BD 
2
 2  .
3
Ainsi
 EF , BD   23 2  
RE  B
RF   D
EF  BD


d) On a R  F   D  IF  ID et IF , ID 

2
 2  .
3

 2  alors I est le centre du cercle circonscrit au triangle équilatéral ADF.
3

Comme AF , AD 
Exercice5
1. a) H  R1 (C ) Signifie AC  AH et
 AC, AH   3 2  signifie ACH est équilatéral direct.
b) ABC et ACH sont deux triangles équilatéraux ayant
un coté commun  AC  donc ABCH est un losange.


2. a) On a HA, HC 

3
 2  et
HA  HC donc H est le
centre de r.
b) On a CB  CI  CH donc C est le centre du
cercle circonscrit au triangle IHB.

 
 
Comme CB, CI  CB, CA  CA, CI
2  et donc
CB, CI   23 2  alors  HB, HI   3 2  .


BIC est isocèle de sommet principal C et BI , BC 


d’où BI , BH 

6

Dans le triangle IHB :

6


3
 2  .

6
 2  donc  BI , BH    BI , BC    BC , BH   2 
 BI , BH   3 2  et  HB, HI   3 2  donc IHB est équilatéral direct et par suite r  B   I .
3. a) On a r  A  C .
M ∊ [AB] et r  AB  CI  donc K  r  M  est l’unique point de CI  tel que AM  CK d’où K  M '
Ainsi r  M   M ' et par suite HMM ' est équilatéral direct.
b) r  B   I donc r    est le cercle de centre I et de même rayon que    .
4. a) E est le centre de r ' et r '  I   B donc EI  EB . De plus CB  CI et HB  HI donc E, C et H sont trois
points de la médiatrice de  IB  donc E, C et H sont alignés.


b) E est un point de  CH  , on a aussi EI , EB 
d’où la construction.

2
 2  donc E est un point du demi-cercle de diamètre  IB 