Rotations Planes : Exercices et Corrections - Lycée

Exercice1
Soit un carré ABCD de sens direct et O son centre. On considère un point I de [AD] et un point J de [AB] tels
que AI=BJ. Les droites (BI) et (DJ) se coupent en H.
1. Démontrer que
JIr O)(
)
2
,(
.
2. a) Montrer que les droites (CI) et (DJ) sont perpendiculaires
b) Montrer que H est l’orthocentre du triangle CIJ.
Exercice 2
ABCD est un carré de centre O tel que E est un point du segment [AB], F est un point du segment [BC] et
BF = AE.
Les droites (AF) et (EC) se coupent en M.
1. Montrer que (AF) est perpendiculaire à (ED) et que (DF) est perpendiculaire à (EC).
2. Montrer alors que (DM) est perpendiculaire à (EF).
Exercice 3
Le plan P est orienté dans le sens direct. ABCD est un losange tel que
,2
3
BC BA
.Soit I le centre de
gravité du triangle ABC et J le symétrique de I par rapport à (AB) .On désigne par R la rotation de centre A et
d’angle
3
.
1. Construire le point L image de I par R.
2. Déterminer R (B), R (C) et R (J).
3. Les droites (AC) et (BJ) se coupent en K et les droites (IC) et (DA) se coupent en K’.
Montrer que AKK’ est équilatéral.
4. Soit H le point vérifiant
3HC LC
, montrer que H est l’image de D par R.
Exercice4
Dans le plan orienté P, on considère un triangle équilatéral direct ABC et deux points D et E définis par :
Lycée pilote de Tunis
Rotations planes 1
Troisièmes Maths
Mr Ben Regaya. A
+ Eléments de corrections
www.ben-regaya.net

1
2
BD AB
et
CE BD
.
1. Montrer que AB = DE.
2. Soit R la rotation qui transforme D en A et E en B. Construire le centre I de cette rotation et déterminer
une mesure de son angle.
3. La droite (AC) coupe la droite (DE) en F.
a) Montrer que le triangle EFC est équilatéral.
b) En déduire que EF = BD.
c) Montrer que R (F) = D.
d) En déduire que le point I est le centre du cercle circonscrit au triangle ADF.
Exercice5
Dans le plan orienté, On considère un triangle ABC équilatéral de sens direct.
1. Soit
1
R
la rotation de centre A et d’angle
3
a) Construire
1()H R C
.
b) En déduire que ABCH est un losange.
2. Soit r la rotation d’angle
3
telle que r(A) = C.
a) Montrer que H est le centre de r.
b) Soit I le symétrique de A par rapport à C. Montrer que I = r (B).
3. Soient les points M et M’ tels que M ∊ [AB], M’∈ [IC] et AM = CM’.
a) Montrer que HMM’ est équilatéral
b) Soit le cercle de centre B et passant par A. Déterminer et construire r .
4. Soit
'r
la rotation d’angle
2
qui transforme I en B.
a) On désigne par E le centre de r’, montrer que H, C et E sont alignés.
b) Construire le point E (justifier).

Exercice1
1.
0AI BJ
et
, , 2AI BJ AD BA
donc
, , 2AI BJ AD AB
ou encore
,2
2
AI BJ
.
L’angle
,AI BJ
étant non nul donc il existe une seule rotation r’ qui
transforme A en B et I en J.
'r
a pour angle
2
on a aussi
'r A B
donc le centre w de
'r
est tel
que
wA wB
et
,2
2
wA wB
d’où
wO
et par suite
'rr
.
Comme
'r I J
alors
r I J
.
2. a)
r I J
et
r C D
donc r transforme la droite
IC
en la
droite
JD
et comme r a pour angle
2
alors
IC
JD
.
b) On a
IC
JD
et H ∊
JD
donc
JD
est une hauteur du triangle
CIJ
.
r I J
et
r B C
donc
IB
JC
donc
IB
est une deuxième hauteur du triangle
CIJ
.
IB
JD
H
donc H est l’orthocentre du triangle
CIJ
.
Exercice2
1. On a
0AE BF
et
, , 2AE BF AB BC
signifie
, , 2AE BF BA BC
ou encore
,2
2
AE BF
L’angle
,AE BF
étant non nul donc il existe une seule
rotation r qui transforme A en B et E en F.
r a pour angle
2
on a aussi
r A B
donc le centre w de r
est tel que
wA wB
et
,2
2
wA wB
d’où
wO
et
,2 O
rR
.Comme ABCD est un carré de centre
O alors
r D A
et
r E F
donc
DE
AF
on a aussi
r E F
et
r C D
donc
DF
EC
2. Dans le triangle EDF :
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DF
EC
et
DE
AF
donc
EC
et
AF
sont deux hauteurs du triangle EDF qui se coupent en
M. Donc M est l’orthocentre du triangle EDF.
DM
est la troisième hauteur
donc
DM
EF
.
Exercice3
1. L image de I par R Signifie
AI AL
et
,2
3
AI AL
signifie AIL est équilatéral direct.
2. On a ABC est équilatéral direct donc
R B C
ACD est équilatéral direct donc
R C D
.
AB
J S I
AI AJ
et
, 2 , 2AJ AI AB AI
ce qui
donne
,2
3
AJ AI
. Donc
R J I
3. Il suffit de prouver que
'R K K
.
On a :
R C D
et
R A A R AC AD  
R B C
et
R J I R BJ IC  
.
K est le point d’intersection des droites
AC
et
BJ
donc Son
image par R est le point d’intersection des droites images à savoir
AD
et
IC
. Ainsi
'R K K
et le triangle
'AKK
est équilatéral
direct.
4. On vérifie facilement que
3DB IB
.Posons
'D R D
alors
'3DC LC
. ( Propriété des rotations : si
AB CD
alors
' ' ' 'A B C D
) . D’où D’ = H.
Exercice4
1.
CE BD
et B, C et D non alignés donc ECBD est un parallélogramme et donc
ED BC
.
Or ABC est équilatéral donc
BC AB
d’où
AB ED
.
2.
R D A
et
R E B
donc le centre I de R est l’intersection des médiatrices de
AD
et
EB
.
L’angle de R est
,2DE AB
,2BC AB
,2BC BA
et donc
2
3
et
2
,3 I
RR
.
3. a) ECBD est un parallélogramme donc
, , 2DE DB CB CE
.
, , 2CE CF AB AF
,2
3
CE CF
.
On a aussi
,2
3
CA CB
donc
,2
3
CB CE
d’où
,2
3
DE DB
,2
3
EF EC

car E ∊
FD
et
EC DB
.
Dans le triangle EFC on a :
,2
3
EF EC
et
,2
3
CE CF
donc il est équilatéral.
b) EFC est équilatéral donc
EF EC
et le quadrilatère BDEC est parallélogramme donc
EC BD
et par
suite
EF BD
.
c) On a
, , 2EF BD BC AB
EF
et
BC
colinéaires de même sens
, , 2EF BD BC BA
soit encore
2
,2
3
EF BD
.
Ainsi
2
,2
3
EF BD
EF BD
R E B
R F D
d) On a
R F D
IF ID
et
2
,2
3
IF ID
.
Comme
,2
3
AF AD
alors I est le centre du cercle circonscrit au triangle équilatéral ADF.
Exercice5
1. a)
1()H R C
Signifie
AC AH
et
,2
3
AC AH
signifie ACH est équilatéral direct.
b) ABC et ACH sont deux triangles équilatéraux ayant
un coté commun
AC
donc ABCH est un losange.
2. a) On a
,2
3
HA HC
et
HA HC
donc H est le
centre de r.
b) On a
CB CI CH
donc C est le centre du
cercle circonscrit au triangle IHB.
Comme
, , , 2CB CI CB CA CA CI
et donc
2
,2
3
CB CI
alors
,2
3
HB HI
.
BIC est isocèle de sommet principal C et
,2
6
BI BC
donc
, , , 2BI BH BI BC BC BH
d’où
,2
6 6 3
BI BH
.
Dans le triangle IHB :