
____________________________________________________________________________________________________ DYNAMIQUE DES ROTORS EN TORSION
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© Techniques de l’Ingénieur, traité Génie mécanique BM 5 123 − 3
Il existe des logiciels standards permettant la résolution de tels
problèmes (cf. [Doc. BM 5 125]). Généralement, la mise en données
de ces logiciels est très conviviale. Les données manipulées se résu-
ment à la définition de la connectivité des ressorts de torsion puis de
l’inertie des disques et enfin de la rigidité des ressorts de torsion.
Usuellement, seules les premières pulsations propres – les plus
petites – et leurs vecteurs propres associés sont nécessaires en vue
de l’adaptation des lignes d’arbres.
La résolution numérique de ce système aux valeurs propres met
en œuvre en général la méthode d’itération sur sous espace [9] qui,
d’ailleurs, est utilisée de manière très standard dans les logiciels de
calcul par éléments finis. Cette méthode permet de traiter des systè-
mes de taille très élevée et elle est dédiée au calcul des premières
pulsations propres du système.
1.3 Exemple d’adaptation d’une ligne
d’arbres
1.3.1 Méthodologie de l’analyse
Comme nous l’avons montré, le modèle représentant l’installa-
tion étudiée permet le calcul des premières pulsations propres et
des déformées modales associées. Ces résultats permettent une
première prévision du comportement vibratoire de la ligne d’arbres
dans la mesure où, par ailleurs, un bilan des pulsations des excita-
tions extérieures a été réalisé. Pour toutes les vitesses de fonction-
nement, il s’agit de confronter d’une part, les valeurs des pulsations
propres trouvées et, d’autre part, les valeurs des pulsations des har-
moniques non négligeables des couples excitateurs. En cas d’éga-
lité avec une tolérance de plus ou moins 10 %, on est en présence
d’une vitesse dangereuse qui est égale à la vitesse assurant, pour
l’harmonique de l’excitation extérieure identifiée, l’égalité des pul-
sations à la tolérance près.
Quand elle fonctionne au voisinage d’une vitesse dangereuse,
l’installation est le siège d’un phénomène de résonance qui est, très
souvent, destructeur.
L’adaptation de la ligne d’arbres par rapport à ce niveau d’analyse,
consiste à modifier la répartition initiale des raideurs et (ou) des
inerties de sorte à déplacer hors de la plage de fonctionnement tout
ou une partie des vitesses dangereuses. Dans certains cas, d’autres
solutions sont nécessaires, elles sont décrites en [BM 5 124].
1.3.2 Choix de l’installation étudiée
On considère l’installation de production d’air comprimé
dont le modèle a été défini en [BM 5 122, § 8.1]. Le groupe compres-
seur (figure 4) tourne à un régime constant (425 tr/min). Au cours
d’une journée, on peut estimer à 1 h le temps de marche à vide du
compresseur au régime nominal. Après quelques centaines d’heu-
res de fonctionnement, les dents des engrenages présentent une
usure anormale sur chaque flanc. Comme nous allons le montrer,
cela est caractéristique, bien souvent, d’amplitudes vibratoires donc
de couples oscillatoires trop importants au régime de fonctionne-
ment sans charge. Une telle disposition ne permettant pas un fonc-
tionnement correct, il y a lieu d’en modifier certains éléments pour
obtenir un service acceptable.
1.3.3 Résultats de l’étude en vibrations libres
Les tableaux 1 et 2 récapitulent les données nécessaires
(cf. [BM 5 122, § 8.1]).
(0)
Remarques
Dans la mesure où l’ordre de multiplicité de la pulsation pro-
pre est égal à
m
, il existe
m
vecteurs propres associés.
La justification mathématique de ces résultats [9], [10] est
déduite des propriétés des matrices [
K
] et [
M
] qui sont symétri-
ques, semi-définies et positives.
Remarque : dans quasiment tous les cas, une ligne d’arbres
possède une (ou des) vitesse(s) de rotation moyenne(s) non
nulle(s). La première pulsation propre trouvée est donc nulle,
elle correspond au mouvement de rotation de corps solide pour
chacun des rotors composant la ligne d’arbres. Figure 4 – Groupe compresseur
Tableau 1 – Valeurs numériques des moments d’inertie
des disques du modèle du groupe compresseur (figure 4)
Disque
noMoment d’inertie
(N · m · s2)
1 8,25
2 8,25
3 549,5
4 2,75
5 20,07
6 3,52
7 3,52
8 116
Première
manivelle
Seconde
manivelle
Compresseur C
Paramètres
de position
Réducteur
RMoteur
électrique M
VA
PV AGV
I1I2
K
1
K
2
K
3
K
4
K
5
K
6
K
7
I3I4I5I6I7I8
N
S0
α10 α20 α30 α40 α50 α60 α70 α80
(1)
(1)
(1) (1) (1)
(1) (1) (1)
(1) (1)
a
schéma
b
modèle torsionnel ramené à la vitesse
de rotation du compresseur
Roue
N
E0
N
S0