ANALYSE COMBINATOIRE
Définition
L’analyse combinatoire représente les méthodes qui permettent de dénombrer les différentes
dispositions que l’on peut obtenir (les cas possibles) à partir d’un ensemble fini
Une dispositions est formée de 𝑝éléments choisis parmi les 𝑛éléments de l’ensemble étudié.
Exemple
Soit 𝐸= {𝑎,𝑏,𝑐} : (𝑎,𝑏),(𝑎,𝑐)et (𝑏,c) sont trois dispositions de deux éléments.
o de combien de façons différentes ?
exemples de questions posées
o comment peut-on ?
dans les examens:
o de combien de manière ?
o combien peut-on avoir de possibilités
On distingue quatre types de dispositions :
Les dispositions ordonnées avec répétitions ; Les dispositions non ordonnées avec répétitions ;
Les dispositions ordonnées sans répétitions ; Les dispositions non ordonnées sans répétitions ;
Exemple
Soit 𝐸={𝑎,𝑏,𝑐}. Le nombre de dispositions de 𝑝=2éléments, selon les critères d’ordre et de répétition, est
résumé dans le tableau suivant :
Dispositions
Avec
répétition
Sans
répétition
Ordonnées
(a,b) (a,c ) (b,c)
(b,a ) c,a ) c,b)
(a,a ) (b,b (c,c)
(a,b) (a,c ) (b,c)
(b,a ) c,a ) c,b)
Nombre de
dispositions
Non ordonnées
Nombre de
Dispositions
9
(a,b) (a,c ) (b,c)
(a,a ) (b,b (c,c)
6
6
(a,b) (a,c ) (b,c)
Principe du multiplicateur:
Un magasin propose 3 téléphone et 4 pochettes (coques)
de combien de choix possibles : 3 x 4 = 12 choix possibles
Règle: On considère deux ensemble A et B, On note A x B.
Le produit de A par B càd l'ensemble des couples (x,y) où x dans A et y dans B alors:
Card ( A x B) = Card (A) x Card (B)
3
1. Arrangement avec répétition (Tirage avec remise et avec ordre (P-listes)
Dans un ensemble "n" éléments, on tire avec remise (avec répétition) "p" éléments qui sont ordonnés ,
alors: Card(Ω) = 𝑛𝑝
rappel : 𝑛𝑝 = n et 𝑛0 =1
Exercice 1 : On a des chiffres de 0 à 9. de combien de façon peut-on composer un code PIN de 4 chiffres?
Exemple 2 : Un code se compose de 6 chiffres, combien de codes peut-on former?
Exercice 3 : Un clavier de 15 touches permet de composer le code secret afin d'entrer à une salle, le code
se compose de 2 lettre {A,B,C,D,E} et 4 chiffres, combien de codes peut-on former?
0 1 2 3 4
5 6 7 8 9
A B C D E
Exercice 4: On lance un dé équilibré 2 fois de suite. Quel est le nombre de dispositions possibles?
2. Arrangement sans répétition (Tirage sans remise et avec ordre)
Dans un ensemble "n" éléments, on tire sans remise (sans répétition) "p" éléments qui sont ordonnés ,
𝑛!
𝑝
alors: Card(Ω) = 𝐴𝑛 =
rappel :
n! = n × (n - 1) × (n - 2) × (n - 3) × ............ × 1
𝑛−𝑝!
Exercice 5 : On a 20 athlète dans une course, et on veut attribuer des médailles d'or, d'argent et de
bronze aux gagnants. De combien de façon différentes peut-on attribuer ces médailles?
Exercice 6 : Combien de code de 4 chiffres distincts peut-on former ?
Exercice 7 : Parmi 50 employés, on doit former un comité comprenant un président, un adjoint et un
secrétaire. Combien de comités peut-on former ?
remarque :
si
n=p
𝑝
alors Card(Ω) = 𝐴𝑛 = 𝐴𝑛𝑛 =
𝑛!
𝑛−𝑛!
=
𝑛!
0!
= 𝑛! => Permutation
Exercice 8 : de combien de façon différentes peut-on placer 10 voitures différentes dans un parking de 10
places?
3. Combinaison sans répétition (Tirage sans remise et sans ordre)
Dans un ensemble "n" éléments, on tire sans remise (sans répétition) "p" éléments qui sont non ordonnés
, alors:
Card(Ω) =
𝑝
𝐶𝑛
=
𝑛!
(𝑛−𝑝)!×𝑝!
𝑝
=
𝐴𝑛
𝑝!
Exercice 9 : De combien de façons peut on choisir un comité de quatre membres parmi 10 personnes
Exercice 10 : Un groupe de 3 élèves de Terminale doit aller chercher des livres au CDI. De combien de
manières peut-on former ce groupe ? (il y a 24 élèves dans la classe )
Exercice 11 : Un tournoi sportif compte 8 équipes engagées. Chaque équipe doit rencontrer toutes les
autres une seule fois. Combien doit-on organiser de matchs ?
Exercice 12 : De combien de façons peut-on choisir 3 femmes et 2 hommes parmi 10 femmes et 5 hommes ?
4. Combinaison avec répétition (Tirage avec remise et sans ordre)
Dans un ensemble "n" éléments, on tire avec remise (avec répétition) "p" éléments qui sont non ordonnés
Alors:
𝑝
𝑝
Card(Ω) = 𝐾𝑛 = 𝐶𝑛+𝑝−1 =
(𝑛+𝑝−1)!
(𝑛−1)!×𝑝!
Exercice 13 : Avec les parfums vanille, chocolat, framboise et pistache Combien de glaces de 3 boules peut
on perfectionner?
