Teorema de Descomposición Periódica b-ádica

Th´eor`eme de D´ecomposition P´eriodique b-Adique
⋆) Adapt´e de Daniel Perrin, Math´ematiques d’´ Ecole : nombres pre-
miers et g´eom´etrie, Cassini, p.86.
´
Enonc´e : Soit b∈N∩[2,+∞[, une base de num´eration.
Soit (x, y)∈N×(N\{0}). On suppose de plus que x∧y= 1 et x<y
(quitte `a r´eduire xmodulo y). On adopte alors la d´ecomposition
suivante :
y=
Y
p|b
ppremier
pvp(y)
| {z }
=n
×
Y
p∤b
ppremier
pvp(y)
| {z }
=m
Alors, le rationnel r=x
yadmet un d´eveloppement d´ecimal b-
adique p´eriodique `a compter de la (N+ 1)-i`eme d´ecimale b-adique
(Nest appel´e pr´ep´eriode) et la longueur de la p´eriode vaut Po`u :
N= max
p|b
ppremier(&vp(y)
vp(b)')
P= min (k∈N\ {0}|bk= 1 (mod m))i.e. l’ordre de b dansZ
mZ×,×
De plus, P(resp. N) est la p´eriode (resp. la pr´ep´eriode) minimale
de r.
1

D´emonstration :
I Condition Suffisante :
On conserve les notations de l’´enonc´e, nous allons montrer que Pet
Nsont respectivement p´eriode et pr´ep´eriode de r.
On a r=x
nm avec bP−1 = 0 (mod m) , donc il existe k∈(N\{0})
tel que bP−1 = km et on a : r=xk
n(bP−1). Avec :
n=
Y
p|b
ppremier
pvp(y)
= Y
p|b
ppremier
pNvp(b)
× Y
p|b
ppremier
pvp(y)−Nvp(b)
=
=bN
z }| {
Q
p|b
ppremier
pvp(b)!N
Q
p|b
ppremier
pNvp(b)−vp(y)
| {z }
=k′
On v´erifie alors que k′est bien un entier :
∀p: premier, p|b⇒N≥&vp(y)
vp(b)'⇒N≥vp(y) vp(b)⇒Nvp(b)−vp(y)≥0
Et il vient : r=xkk′
bN(bP−1). En posant K=xkk′, on obtient :
r=K
bN(bP−1)
Soit alors K′le quotient de la division euclidienne de Kpar (bP−1)
et K′′ le reste, de telle sorte que :
r=K′(bP−1) + K′′
bN(bP−1) =K′ bN
|{z}
pr´ep´eriode
+K′′
bN(bP−1)
| {z }
p´eriodique
Avec :
0≤K′′ <(bP−1) < bPet 0 ≤K′< bN
Car la partie enti`ere de ra ´et´e suppos´ee nulle.
2

On introduit alors les d´ecompositions d´ecimales b-adiques :
K′=γ1...γN| ∀i∈[1, N]∩N,0≤γi≤b−1
K′′ =ε1...εP| ∀j∈[1, P ]∩N,0≤εj≤b−1
Et on a :
r=γ1...γN
bN+ε1...εP bN(bP−1) =γ1...γNε1...εP=γ1...γN
+∞
C
k=0 εP k+1...εP k+P
O`u Cd´esigne la concat´enation et o`u les (εi)i≥1sont prolong´es par
P-p´eriodicit´e sur tout N\ {0}.
D’o`u le r´esultat d´esir´e.
II Condition N´ecessaire :
Montrons que P(resp. N) est bien la p´eriode (resp. plus petite
pr´ep´eriode) minimale de r.
Soit alors, P′≥1 (resp. N′≥0) la plus petite p´eriode (resp.
pr´ep´eriode) de r. Nous cherchons `a obtenir les ´egalit´es : N′=Net
P′=P.radmet alors une ´ecriture de la forme :
r=γ1...γN′
+∞
C
k=0 εP′k+1...εP′k+P′
O`u :
(γi)1≤i≤N′∈([0, b −1] ∩N)N′,(εj)j≥1∈([0, b −1] ∩N)(N\{0})
ou encore :
r=
N′
X
i=1
γib−i+
+∞
X
k=0 N′+kP ′+P′
X
i=N′+kP ′+1
εib−i
r=
N′
X
i=1
γib−i+
+∞
X
k=0
P′
X
i=1
εi+N′+kP ′b−(i+N′+kP ′)
r=
N′
X
i=1
γib−i+1
bN′P′
X
i=1
εi+N′b−i+∞
X
k=0 1
bP′kpar P′-p´eriodicit´e des (εi)i≥0
3

r=
N′
P
i=1
γibN′−i
bN′+1 bN′P′
X
i=1
εi+N′b−i1
1−1
bP′
r=
N′
P
i=1
γibN′−i
bN′+1 bN′
1
bP′−1P′
X
i=1
εi+N′bP′−i
et en posant : 
A=
N′
P
i=1
γibN′−i∈N
B=
P′
P
i=1
εi+N′bP′−i∈N
K=A(bP′−1) + B∈N
on obtient :
r=x
y=K bN′(bP′−1) ⇐⇒ yK =xbN′(bP′−1)
Donc, y|bN′(bP′−1) ⇐⇒ nm|bN′(bP′−1). Or m∧b= 1 et par le
lemme de Gauss :
m|(bP′−1) ⇐⇒ bP′= 1 (mod m)
On a donc montr´e que toute p´eriode Tde rdoit v´erifier l’´egalit´e :
bT= 1 (mod m)
Or, P′est une p´eriode de ron a donc P≤P′par d´efinition de P.
De plus, on sait que l’on a P′≤Pcar P′est la plus petite p´eriode
et que Pest une p´eriode (cf. I).
D’o`u :
P′=P
Et nm|bN′(bP−1). De mˆeme, on a n∧(bP−1) = 1. En effet, soit
p: premier, on sait que ndivise bdonc :
p|n⇒p|b
p|(bP−1) =⇒p|bP−1×b+ (−1) ×(bP−1)
| {z }
=1
⇒p=±1
4

Donc, par le lemme de Gauss, ndivise bN′, ce qui s’´equivaut comme
suit :
n|bN′⇐⇒ 
Y
p|b
ppremier
pvp(y)
Y
p|b
ppremier
pN′vp(b)
⇐⇒ ∀p: premier, p|b⇒vp(y)≤N′vp(b)
⇐⇒ ∀p: premier, p|b⇒N′≥vp(y)
vp(b)⇐⇒ ∀p: premier, p|b⇒N′≥&vp(y) vp(b)'
Ce qui par minimalit´e de N′se ram`ene `a :
N′= max
p|b
p premier(&vp(y)
vp(b)')
D’o`u :
N′=N
Donc Pet Nsont bien respectivement plus petite p´eriodes et plus
petite pr´ep´eriodes de r.
III Exemples et Remarques :
`
Am= 1 on a bk= 1 (mod 1) quelque soit k∈N\ {0}et donc
P= 1. Donc si y=bet 0 < x < b fix´e alors : N= 1 et m= 1
(donc P= 1) et on obtient l’´ecriture :
x
b= 0, x0
De mˆeme pour y=b2:N= 2 et P= 1, donc :
x
b2= 0,0x0
Et plus g´en´eralement pour M≥1 :
x
bM= 0,000...000
| {z }
M−1 z´ero(s)
x0
On se place `a nouveau dans le cadre de l’´enonc´e alors :
CardZ
mZ×=φ(m)
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