1S1

République du Sénégal
Un Peuple-Un But-Une Foi
****
Ministère de l’Éducation Nationale
INSPECTION D’ACADEMIE DE THIES
422, Avenue de Caen – BP : 187-Tél : [phone]
E-Mail : [e-mail] Site : http://iathies.com!!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!/2!!!
1!
COMPOSITION DE MATHEMATIQUES DU 1ER SEMESTRE
NIVEAU : 1S1
DUREE : 4 HEURES
!"#$%&%#''()*' + ,-./01
!
Soit!
2
une!fonction!numérique!sur!l’intervalle
3 4
![-5!;5]!dont!le!tableau!de!variation!est!le!
suivant!:!
!
!
!
1) Dans!un!repère,!dessiner!une!courbe!
52
!cohérente!avec!le!tableau!de!variation.!!!!!!(1pt)!
2) Sur!l’intervalle!I,!on!définit!les!fonctions!
67 8'9:';'<=>'6 4 ?27 8 4 @27 ; 4 2 A B
.!
a/!Donner!les!variations!de!chacune!de!ces!trois!fonctions!et!tracer!les!courbes!!!!!!!!!!!!!
représentatives!dans!le!repère!!précèdent.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(2pt)!
!!!!!!!!!!b/!Indiquer!comment!on!peut!obtenir!les!courbes!représentatives!des!fonctions!u!et!v!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
définies!par!:!
C
,
D
1
4
E
2,D1
E
'9:'F
,
D
1
4 2,
E
D
E
1
.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(1pt)!!
3) Quel!est!le!plus!grand!ensemble!D!(éventuellement!une!réunion!d’intervalle)!sur!lequel!
on!peut!définir!la!fonction!
G 4 H
I'
?!Sur!cet!ensemble!donner!les!variations!de!la!fonction!
G
!et!représenter!les!fonctions!
2'9:'G
!dans!un!nouveau!repère.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(1pt)!
!
!"#$%&%#''()J' + ,K./01
!
!
Soit!
2'9:'6'
deux!fonctions!definies!sur!
L
!verifiant!:!
2
,
@D
1
A ?2
,
D
1
4 6
,
D
1
''
où!
6'
est!une!fonction!
paire.!
1)!Montrer!que!
2
,
D
1est!paire,!en!déduire!que!!
2,D1
=
H
M6,D1
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(1pt)!
2)!Sachant!que!pour!
D N OPQ ARO7 2
,
D
1
4 BD A S
,
D
1
A T
!
!!!!a/!Calculer!
2,@T1
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(0,5!pt)!
!!!!b/!Déterminer!l’expression!de!
2
,
D
1
'<UC>'D NV @ RQ PO
.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(0,5!pt)!
3)!a/!Étudier!le!sens!de!variation!de!f!sur!
OPQ ARO
.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(0,5pt)!
!!!!!b!/Déduire!le!sens!de!variation!de!f!sur!
V @ RQ POW
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(0,5pt)!
x!
-X!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!-3!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!0!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!+X!
2,D1!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!3!!!!!!!!!!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!2!
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!
1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!-2!

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Un Peuple-Un But-Une Foi
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!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!/2!!!
2!
!
!"#$%&%#''()K' + ,-./01
!
Le!plan!est!orienté!dans!le!sens!direct.!
Soit!
YZ[
!un!triangle!tel!que!\
YZ
]
]
]
]
]
^
7Y[
]
]
]
]
]
^
_
`a
M'
O
?b
V
''9:''
\
ZY
]
]
]
]
]
^
7Z[
]
]
]
]
]
^
_
` @ a
c'
O
?b
V
'
,!et!designe!par!
d
!son!
cercle!circonscrit.!
1) Montrer!que!\
[Y
]
]
]
]
]
^
7[Z
]
]
]
]
]
^
_
`ea
Hf '
O
?b
V
'W
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(1pt)!
2) Déterminer!et!construire!l’ensemble!:!
g 4 hi N j':9k'lC9'
\
i[
]
]
]
]
]
]
^
7iZ
]
]
]
]
]
]
^
_
`ea
Hf '
O
?b
V
'm'
.!!!!!(1pt)!
3) !a/!Construire!le!point!
S'n9'g'
!tel!que!le!triangle!
Z[S
!soit!isocèle!de!sommet!principal!
[W
!
(0,5pt)!
!b/!Montrer!que!\
ZS
]
]
]
]
]
^
7Z[
]
]
]
]
]
^
_
`ea
Hf '
O
?b
V!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(1pt)!
!!c/!En!déduire!que!les!droites!,
ZS
1
9:',Y[1
!sont!parallèles.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(0,5pt)!
4) La!droite!,
ZS
1
'>9oUC<9'd'9p'qW
!!
Montrer!que!le!quadrilatère!
Y[Sq
!est!un!parallélogramme.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(1pt)!
!"#$%&%#''()r' + ,s./01
!
Soit!
YZ[t
!un!carre!tel!que!
YZ 4 TW
!On!désigne!par!
S
!le!symétrique!de!
[
!par!rapport!à!
ZW
!
u
!est!un!
point!de!O
[t
V
79:'v'
le!point!de!
OZSV
!tel!que!
tu 4Zv 4 =7 P w = w TW
!
1) a/!Exprimer!en!fonction!de!a!les!produits!scalaires!
Yt
]
]
]
]
]
^
WYv
]
]
]
]
]
^
'9:'tu
]
]
]
]
^
WYv
]
]
]
]
]
^
'
.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(0,5pt)!
b/!En!déduire!que!,
Yu
1
9:',Yv1
!sont!perpendiculaires.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(0,5pt)!
2) !a/!Calculer,!en!fonction!de!
=7
!les!distances!
vt'9:'vuW
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(1pt)!
!b/!Soit!
3
!le!milieu!de!
OuvV
.!Montrer!que!:!
tvfAtuf4 ?t3fAxyz
f
!.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(1pt)!
c/!!En!déduire!que!:!
t3 4,H{|1
}
f
f
!.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(0,5pt)!
3) On!considère!l’ensemble!
~
des!ponts!du!plan!tels!que!
iu
]
]
]
]
]
^
Wiv
]
]
]
]
]
]
]
^
4 ='W
!
Montrer!que!
~
!est!le!cercle!de!centre!
3
!passant!par!
tW
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(1pt)!
4) a/!Vérifier!que!
u
!est!le!barycentre!des!points!ponderes!,
[7 =
1
'9:'',t7 T @ =1
.!!!!!!!!!!!!!(0,5pt)!
b/!Pour!tout!point!M!du!plan,!on!pose!:!
2
,
i
1
4 =i[fA
,
T @ =
1
itf'9:'6
,
i
1
4 2
,
i
1
@i[f79:
!on!désigne!par
•
!le!milieu!de!
Ot[V
.!
Montrer!que!:
2
,
i
1
4iufA =
,
T @ =
1
79:'lC9'6
,
i
1
4 ?
,
T @ =
1
t[
]
]
]
]
]
^
W•€
]
]
]
]
]
]
^
'
,!où!H!est!le!!
projeté!orthogonal!de
i'•C>'
,
t[
1
W
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(1pt)!
5) On!considère!les!ensembles!:!
d 4
h
i N j':9k'lC9'2
,
i
1
4 =
m
'9:'
!
'''''''''‚ 4 hi N j':9k'lC9'6
,
i
1
4 T @ =m
!
a/!Déterminer!l’ensemble!
dW
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(0,5pt)!
b/Montrer!que!
‚
!est!une!droite.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(0,5pt)!
!
!