1S1

République du Sénégal
Un Peuple-Un But-Une Foi
****
Ministère de l’Éducation Nationale
INSPECTION D’ACADEMIE DE THIES
422, Avenue de Caen – BP : 187-Tél : 33 951 10 88
E-Mail : [email protected]
Site : http://iathies.com
COMPOSITION DE MATHEMATIQUES DU 1ER SEMESTRE
NIVEAU : 1S1
DUREE : 4 HEURES
𝑬𝒙𝒆𝒓𝒄𝒊𝒄𝒆 𝒏𝒐 𝟏 ∶ (𝟓𝒑𝒕𝒔)
Soit 𝑓une fonction numérique sur l’intervalle𝐼 = [-5 ;5] dont le tableau de variation est le
suivant :
x
-5
-3
3
0
1
+5
2
𝑓(𝑥)
0
1
-2
1) Dans un repère, dessiner une courbe ∁𝑓 cohérente avec le tableau de variation. (1pt)
2) Sur l’intervalle I, on définit les fonctions 𝑔, ℎ 𝑒𝑡 𝑘 𝑝𝑎𝑟 𝑔 = 2𝑓, ℎ = −𝑓, 𝑘 = 𝑓 + 3.
a/ Donner les variations de chacune de ces trois fonctions et tracer les courbes
représentatives dans le repère précèdent.
(2pt)
b/ Indiquer comment on peut obtenir les courbes représentatives des fonctions u et v
définies par : 𝑢(𝑥) = |𝑓(𝑥)| 𝑒𝑡 𝑣 (𝑥) = 𝑓(|𝑥|).
(1pt)
3) Quel est le plus grand ensemble D (éventuellement une réunion d’intervalle) sur lequel
H
on peut définir la fonction 𝑚 = ? Sur cet ensemble donner les variations de la fonction
I
𝑚 et représenter les fonctions 𝑓 𝑒𝑡 𝑚 dans un nouveau repère.
(1pt)
𝑬𝒙𝒆𝒓𝒄𝒊𝒄𝒆 𝒏𝒐 𝟐 ∶ (𝟑𝒑𝒕𝒔)
Soit 𝑓 𝑒𝑡 𝑔 deux fonctions definies sur ℝ verifiant : 𝑓(−𝑥) + 2𝑓 (𝑥) = 𝑔(𝑥) où 𝑔 est une fonction
paire.
H
1) Montrer que 𝑓(𝑥)est paire, en déduire que 𝑓(𝑥)=M 𝑔(𝑥)
2) Sachant que pour 𝑥 ∈ [0; +∞[, 𝑓 (𝑥) = 3𝑥 + 𝐸 (𝑥) + 1
a/ Calculer 𝑓(−1)
b/ Déterminer l’expression de 𝑓 (𝑥) 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 ∈] − ∞; 0[.
3) a/ Étudier le sens de variation de f sur [0; +∞[.
b /Déduire le sens de variation de f sur ] − ∞; 0[.
1/2
(1pt)
(0,5 pt)
(0,5 pt)
(0,5pt)
(0,5pt)
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𝑬𝒙𝒆𝒓𝒄𝒊𝒄𝒆 𝒏𝒐 𝟑 ∶ (𝟓𝒑𝒕𝒔)
Le plan est orienté dans le sens direct.
a
]]]]]⃗, 𝐴𝐶
]]]]]⃗ _ ≡ a [2𝜋] 𝑒𝑡 \𝐵𝐴
]]]]]⃗, ]]]]]⃗
Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle tel que \𝐴𝐵
𝐵𝐶 _ ≡ − c [2𝜋] , et designe par 𝒞 son
M
cercle circonscrit.
ea
]]]]]⃗, ]]]]]⃗
1) Montrer que \𝐶𝐴
𝐶𝐵 _ ≡ Hf [2𝜋] .
(1pt)
ea
]]]]]]⃗ , ]]]]]]⃗
2) Déterminer et construire l’ensemble : Γ = {𝑀 ∈ 𝑃 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 \𝑀𝐶
𝑀𝐵 _ ≡ Hf [2𝜋] } .
(1pt)
3) a/ Construire le point 𝐸 𝑑𝑒 Γ tel que le triangle 𝐵𝐶𝐸 soit isocèle de sommet principal 𝐶.
(0,5pt)
ea
]]]]]⃗ , ]]]]]⃗
[2𝜋]
b/ Montrer que \𝐵𝐸
𝐵𝐶 _ ≡
(1pt)
Hf
c/ En déduire que les droites (𝐵𝐸 )𝑒𝑡 (𝐴𝐶) sont parallèles.
4) La droite (𝐵𝐸 ) 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑢𝑝𝑒 𝒞 𝑒𝑛 𝐹.
Montrer que le quadrilatère 𝐴𝐶𝐸𝐹 est un parallélogramme.
(0,5pt)
(1pt)
𝑬𝒙𝒆𝒓𝒄𝒊𝒄𝒆 𝒏𝒐 𝟒 ∶ (𝟕𝒑𝒕𝒔)
Soit 𝐴𝐵𝐶𝐷 un carre tel que 𝐴𝐵 = 1. On désigne par 𝐸 le symétrique de 𝐶 par rapport à 𝐵. 𝐽 est un
point de [𝐶𝐷], 𝑒𝑡 𝐾 le point de [𝐵𝐸] tel que 𝐷𝐽 = 𝐵𝐾 = 𝑎, 0 < 𝑎 < 1.
]]]]⃗. ]]]]]⃗
1) a/ Exprimer en fonction de a les produits scalaires ]]]]]⃗
𝐴𝐷. ]]]]]⃗
𝐴𝐾 𝑒𝑡 𝐷𝐽
𝐴𝐾 .
(0,5pt)
(
)
b/ En déduire que 𝐴𝐽 𝑒𝑡 (𝐴𝐾) sont perpendiculaires.
(0,5pt)
2) a/ Calculer, en fonction de 𝑎, les distances 𝐾𝐷 𝑒𝑡 𝐾𝐽.
(1pt)
b/ Soit 𝐼 le milieu de [𝐽𝐾]. Montrer que : 𝐷𝐾 f + 𝐷𝐽 f = 2𝐷𝐼f +
c/ En déduire que : 𝐷𝐼 =
(H{|)√f
f
.
xy z
f
.
(1pt)
(0,5pt)
3) On considère l’ensemble ℋdes ponts du plan tels que ]]]]]⃗
𝑀𝐽 . ]]]]]]]⃗
𝑀𝐾 = 𝑎 .
Montrer que ℋ est le cercle de centre 𝐼 passant par 𝐷.
(1pt)
4) a/ Vérifier que 𝐽 est le barycentre des points ponderes (𝐶, 𝑎) 𝑒𝑡 (𝐷, 1 − 𝑎).
(0,5pt)
b/ Pour tout point M du plan, on pose :
𝑓 (𝑀) = 𝑎𝑀𝐶 f + (1 − 𝑎)𝑀𝐷f 𝑒𝑡 𝑔(𝑀) = 𝑓(𝑀) − 𝑀𝐶 f , 𝑒𝑡 on désigne par𝑂 le milieu de
[𝐷𝐶].
Montrer que :𝑓 (𝑀) = 𝑀𝐽 f + 𝑎(1 − 𝑎), 𝑒𝑡 𝑞𝑢𝑒 𝑔(𝑀) = 2(1 − 𝑎)]]]]]⃗
𝐷𝐶 . ]]]]]]⃗
𝑂𝐻 , où H est le
projeté orthogonal de𝑀 𝑠𝑢𝑟 (𝐷𝐶 ).
(1pt)
5) On considère les ensembles : 𝒞 = {𝑀 ∈ 𝑃 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑀) = 𝑎} 𝑒𝑡
Δ = {𝑀 ∈ 𝑃 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑔(𝑀) = 1 − 𝑎}
a/ Déterminer l’ensemble 𝒞.
(0,5pt)
b/Montrer que Δ est une droite.
(0,5pt)
2/2