Régulation et Asservissement: Notions de schémas blocs Principe Modélisation Stabilité Précision Rapidité Correcteurs Entrée Tension Ue Entrée Ouverture de vanne Ve Entrée Température Te MCC : M Sortie s=MxUe Vitesse Pompe: P Sortie Capteur de température: C Sortie Débit Qs=PxVe Tension Vs=CxTe Régulation et Asservissement: Notions de schémas blocs Principe Modélisation Stabilité Précision Rapidité Correcteurs Comparateur ou sommateur Xc =XC-Xr Xr Xc =XC+Xr Xr Régulation et Asservissement: Notions de schémas blocs Principe Modélisation Stabilité Précision Rapidité Correcteurs Xe K2 K1 =XC-Xr Xc Xr Kp XS=K1.K2.Xe XS=KP.= KP (XC-Xr) Principe Régulation et Asservissement: Modélisation Stabilité Notions de schémas blocs Précision Rapidité Correcteurs Xc Kp Xc XS XS Kp Xr Kp Xr Y2 Y2 XS Xc Y1 Xc XS Y1 Principe Régulation et Asservissement: Modélisation Stabilité Notions de schémas blocs Rapidité F(p) Chaîne directe H(p) Xc(p) (p) C(p) Xs(p) G(p) Précision XC Xr H X S X K X r S Correcteurs (1) (2) (3) (1) & (2) X C X r H X S Chaîne de retour Xr(p) K(p) &(3) X C X S K H X S XC H X S X S K H X C H X S 1 KH XS H F ( p) X C 1 KH Transmittance en boucle fermée X s ( p) H ( p) F ( p) X e ( p) 1 K ( p) H ( p) Régulation et Asservissement: Nécessité de réguler Principe Modélisation Stabilité Précision Rapidité Correcteurs Régulation et Asservissement: Boucle ouverte Principe Modélisation Stabilité Précision Rapidité Correcteurs Organes de commande d’un four Régulation et Asservissement: Boucle fermée Principe Modélisation Stabilité Précision Rapidité Correcteurs Organes de commande d’un four Régulation et Asservissement: Eléments constitutifs Principe Modélisation Stabilité Précision Rapidité Correcteurs — un capteur ; — une consigne (fixe ou variable dans le temps) ; — un comparateur délivrant un signal d’écart ; — une loi de commande qui calcule le signal à envoyer sur l’actionneur ; — un actionneur ; — le système physique à commander et soumis à des perturbations. PID Principe Modélisation Les critères d’un asservissement Stabilité Précision Rapidité • améliorer la rapidité de fonctionnement du système • augmenter la précision • diminuer l’influence des perturbations • rendre contrôlable un système qui ne l’est pas en boucle ouverte • diminuer les effets non linéaires des processus Stabilité BON MAUVAIS Précision Correcteurs Rapidité Les correcteurs type Grandeur caractéristique ( accessible sur un régulateur) Avantage Inconvénient proportionnel K ou BP% C ( p) X e ( p) 100 Kp ( p) BP% Xe : commande le processus : signal d’erreur - diminuer l’erreur (augmenter la précision.) - vaincre les systèmes à grande inertie - augmenter la rapidité tant que le système n’est pas trop oscillatoire. - il ya un risque d’augmenter l’instabilité Principe Modélisation Intégral Ti Ti est d’autant plus grand que l’action intégrale est faible X ( p) 1 C ( p) e ( p ) Ti p dérivé Td Si l’action dérivée augmente (Td grand), la réponse s’accélère ! C ( p) Stabilité Précision Rapidité Correcteurs X e ( p) Td p ( p) - élimine l’erreur statique - augmente la rapidité Effet stabilisant. Anticipatrice (compense les inerties dues aux temps morts). augmente l’instabilité Elle a un effet stabilisateur mais une variation excessive peut entraîner une instabilité Afin d’améliorer la régulation les correcteurs sont de trois types Principe Modélisation Création d’une régulation Stabilité Précision Rapidité Correcteurs Quelle grandeur on veut maitriser? Quelle mesure est faite sur le système? Sur quel actionneur agit-on? S’assurer que le comparateur mesure bien une erreur par rapport à la consigne. Amplifier l’erreur : correcteur KP ou bande proportionnelle Affinage de la stratégie de régulation Stratégie d’optimisation : à tâtons Stratégies d’optimisation : Identification de la boucle puis Strejc, Broida, Ziegler Nichols Stratégie d’optimisation : auto apprentissage de certains régulateurs Principe Carte heuristique Modélisation Stabilité Précision Rapidité Correcteurs Principe Modélisation des systèmes linéaires Modélisation Stabilité Précision Rapidité Correcteurs d ns d n 1 s ds d me d m1e de a n n a n 1 n 1 ... a1 a0 s bm m bm1 m1 ... b1 b0 e dt dt dt dt dt dt a n p n a n 1 p n 1 ... a1 p a0 S ( p) bn p m bm 1b m 1 ... b1 p b0 E ( p) e(t) Processus s(t) E(p) Fonction de transfert H(p) S(p) S ( p) bn p m bm1 p m1 ... b1 p b0 N ( p) H ( p) n n 1 E ( p) an p an1 p ... a1 p a0 D( p) ( p cm )( p cm 1 )...( p c1 )( p c0 ) H ( p) ( p d m )( p d m 1 )...( p d1 )( p d 0 ) Modélisation des systèmes linéaires Principe Modélisation Stabilité Précision Rapidité Correcteurs On étudie la réponse temporelle à un échelon de tension ( méthode indicielle ). La tension de commande varie sinusoïdalement: on détermine la transmittance complexe du système : amplification et déphasage pour une fréquence donnée Cette dernière étude donne lieu à divers type de représentation: Bode Nyquist Black Principe Bode - Nyquist - Black Modélisation Stabilité Précision Rapidité Correcteurs Bode : En ordonnées 20 log (T) et Arg (T) En abscisse la fréquence sur une échelle log(f) Nyquist :courbe paramétrée en f en ordonnée m(T) en abscisses : é(T) Black :courbe paramétrée en f en ordonnée 20 log (T) en abscisses Arg (T) Principe Modélisation des systèmes linéaires Modélisation Stabilité Précision Modèle du premier ordre Rapidité Correcteurs -20 dB/décade kE Influence du Gain Influence de la constante de temps 63 % s E e -90° Pas d’influence de la constante de tempsm=0.7 ds(t ) s (t ) k e(t ) dt Point critique k H p 1 p K=1 K=3 Influence du Gain Principe Modélisation des systèmes linéaires Modélisation Stabilité Précision Modèle du second ordre Rapidité Correcteurs Influence de l’amortissement D1 -40 dB/décade D2 KE -180° T Point critique m=2 2 d y dy 2 2 m 0 0 y g (t ) 2 dt dt H p k 1 1 2mp 0 p2 02 m=0.7 Influence de l’amortissement m=0.1 Modélisation des systèmes linéaires Principe Modèle de Broïda Précision Modélisation Stabilité Rapidité Correcteurs -20 dB/déc s(t) e(t) 5,5 (t2 t1 ) T 2,8 t1 1,8 t2 s 40%s 28%s Chute de la phase e t1 t2 T’ T t KeTp H ( p) 1 p Influence du retard Point critique Modélisation des systèmes linéaires Principe Modèle de Strejc Précision Modélisation Stabilité Rapidité Correcteurs -n20 dB/déc n=2 -40 dB/déc° n=2 n=3 -60 dB/déc° n=3 -n90° n=2 -180° n=3 -270° H ( p) K 1 p n Point critique n=2 n=3 Transmittance d'un système asservi Transmittance en boucle ouverte Principe Modélisation Stabilité Précision Rapidité Correcteurs F(p) Chaîne directe H(p) Xc(p) (p) Xs(p) G(p) C(p) T ( p) K ( p) H ( p) m N ( p ) C 1 b1 p ... bm p T ( p) C D( p ) p 1 a1 p ... an p n Chaîne de retour K(p) Xr(p) Transmittance en boucle fermée F(p) Chaîne directe H(p) Xc(p) (p) C(p) Xs(p) G(p) Chaîne de retour Xr(p) K(p) F ( p) X s ( p) H ( p) X e ( p) 1 K ( p) H ( p) Stabilité d'un système asservi Condition de stabilité : Principe Modélisation Stabilité Précision Rapidité Correcteurs Un système est stable si sa fonction de transfert N ( p) F ( p) D( p ) ne comporte que des pôles (valeurs de p annulant D ( p ) ) à partie réelle strictement négative . En effet, l’originale d’une fraction à pôle dont la partie réelle est négative est une exponentielle décroissante Ai e di t dans le cas d’un pôle réel négatif Aeat cos(t ) dans le cas de pôles complexes conjugués à partie réelle négative Principe Modélisation Critères de stabilité Stabilité Précision Rapidité Correcteurs Sur un système modélisé ainsi H ( p) F ( p) 1 K ( p) H ( p) F(p) Chaîne directe H(p) Xc(p) (p) T ( p) K ( p) H ( p) C(p) Xs(p) G(p) Chaîne de retour Xr(p) K(p) La recherche des pôles de F(p) conduit à étudier 1 K ( p) H ( p) 0 soit 1 T ( p ) 0 Principe Critères de stabilité Modélisation Stabilité Précision Rapidité Correcteurs Critères mathématiques Critère de Routh-Hurwitz Critère du lieu des racines Critère graphiques Critère de Nyquist Critère de Black-Nichols Critère dans le diagramme de Bode Principe Critère de Routh-Hurwitz Modélisation Stabilité Précision Rapidité Correcteurs 0 p n 1 p n1 ... n1 p n 0 1 T ( p) 0 Aucun des i n’est nul Tous les i sont de même signe Après construction du tableau suivant: les coefficients de la première colonne sont de même signes paires impaires Somme de la colonne 0 0 1 2 0 1 1= (12-03)/1 1= (13-21)/ 1 … 2 3 2= (14-05)/1 2= (15-31)/1 … 4 5 … … i … … … … 2i 2i+1 …. … Principe Modélisation Critère du lieu des racines Stabilité Précision Rapidité Correcteurs http://eig.unige.ch/~allenbach/Thummel/index.html m p2 m 0 p1 0 1 m 2 é Principe Modélisation Critère de Nyquist Stabilité Précision Rapidité Toutes les racines de 1 K ( p ) H ( p ) 0 ont une partie réelle strictement négative (système stable) si le diagramme de Nyquist de la B.O. n’entoure pas le point -1 H(p) XS(p) Xr(p) K(p) Critère du Revers Le système est stable en boucle fermée si le diagramme de Nyquist de la transmittance en B.O.: K ( p ) H ( p ) laisse le point –1 sur sa gauche lorsque la pulsation varie de 0+ à l’infini. Correcteurs Xc(p) m(KH()) MG=20log(1/X) -1 c X =0 M u Point critique Critère du revers é(KH()) Principe Critère de Black Nichols Modélisation Stabilité Précision Rapidité Correcteurs Si on laisse le point critique à sa droite quand on décrit la courbe de T(j) dans le sens des croissants: le système est stable. G(dB) - M MG Point critique Critère de Black Principe Critères dans le diagramme de Bode Modélisation Stabilité Précision 0 TdB 20log T ( p) Rapidité 1 K ( p) H ( p) 0 1 T ( p) 0 T ( p) 1 Correcteurs ArgT ( p) Pour la fréquence u pour laquelle TdB (u) =0 si (u )>-: stable (u )<-: instable OU Pour la fréquence C pour laquelle Arg(T)=- si T(C )>1 : instable T(c )<1: stable T(dB) 0 MG (rad) u 0 - log () u c c log () M instable Critère de Bode Principe Modélisation Marges de Gain et de Phase Stabilité Précision Rapidité Correcteurs Marge de phase (sur la boucle ouverte) Déphasage supplémentaire qui ferait passer la courbe de l’autre côté du point critique. Valeur dont il faut augmenter pour KH =1 pour arriver au point M arg( K ( ju ) H ( ju )) 40 à 50 critique En pratique . Marge de gain (sur la boucle ouverte) Nombre de dB dont on peut augmenter le gain sans provoquer l’instabilité. Valeur dont il faut augmenter KH lorsque =-180° pour arriver au point critique En pratique M G 20log( K ( jc ) H ( jc )) 6 15 dB T(dB) G(dB) m(KH()) MG=20log(1/X) -1 c X =0 u c é(KH()) - M M u Point critique log () MG MG u (rad) u 0 c Point critique - M c log () Principe Précision Modélisation Stabilité Précision Rapidité Correcteurs Un système est précis si la sortie suit l'entrée quelles que soient les circonstances. L'écart est la différence entre la valeur souhaitée et la valeur obtenue L’erreur est définie par lim (t ) t soit en se servant du théorème de la valeur finale Xc(p) lim (t ) lim p ( p) lim t p 0 p 0 (p) H(p) pX c ( p) 1 K ( p) H ( p) Xr(p) K(p) XS(p) Principe Précision Xc(p) p 0 N.B.: p 0 K ( p) H ( p) C Modélisation XS(p) H(p) Stabilité Précision lim (t ) lim p ( p) lim t (p) Rapidité pX c ( p) Xr(p) 1 K ( p) H ( p) K(p) FTBO de classe 0 =0 N ( p) C D( p) p 0 p Correcteurs FTBO de classe 1 =1 E p p lim 0 p 0 C 1 p FTBO de classe 2 =2 E Or la FTBO est caractérisée par sa classe p E p lim 1 qui C 1 C est la puissance définie d’intégration x (t ) Eh(t ) E E X ( p )dessous 1 C ci p Erreur de position Entrée échelon : p 0 c 0 c 0 Erreur statique m N ( p) C 1 b1 p ... bm p K ( p) H ( p) C D( p) p 1 a1 p ... an p n consigne Erreur statique réponse t Erreur de traînage Entrée rampe : xc (t ) Eth(t ) E X c ( p) 2 p E E p2 lim p 0 1 C p 1 C p + E E E p2 lim p 0 C pC C 1 p E E p2 lim p 0 C C 0 1 2 p p p p p 0 E C Erreur de trainage Erreur de trainage consigne réponse t Principe Critère de Rapidité d’un système : Modélisation Stabilité Précision Rapidité Correcteurs Obtention du meilleur temps de réponse tr5% (voir exercice chauffage) Obtention du meilleur temps de réponse critères (AIE: minimisation de l’intégrale de l’erreur) Xe Correcteurs Principe Xe Modélisation Stabilité Précision Rapidité BP% Correcteurs Correcteur proportionnel 100% erreur Correcteur : C(p) t1 commande Xe X e ( p) 100 C ( p) Kp ( p) BP% erreur t1 100% t Principe Correcteurs Modélisation Stabilité Précision Rapidité Correcteurs Correcteur intégral Xe 1 Ti t (t )dt t 1 1 ( t ) dt Ti 0 Ti 0 (t )dt Xe0 erreur Correcteur : C(p) commande Xe X e ( p) 1 C ( p) ( p ) Ti p Il joue sur la précision en éliminant l’erreur en régime permanent (élimine l’erreur statique ) Plus l’action intégrale est élevée (Ti petit), plus la réponse s’accélère et plus la stabilité se dégrade Correcteurs Correcteur dérivé erreur Correcteur : C(p) commande Xe Principe d (t ) X e Td dt X e ( p) C ( p) Td p ( p) X e ( p) Td p C ( p) ( p) 1 p L’action Dérivée améliore la stabilité et « donne un coup de pied » au système. Modélisation Stabilité Précision Rapidité Correcteurs Principe Modélisation Stabilité Précision Rapidité Correcteurs Principe Correcteurs Modélisation Stabilité Précision Rapidité Correcteurs Régulateur Diverses structures Parallèle Kp consigne X ( p) 1 C ( p) e K p Td p ( p) Ti p erreur Xc commande 1 Ti p Xr Xe Td p mesure Régulateur Série C ( p) X e ( p) 1 K p 1 1 Td p ( p) T p i consigne commande erreur Xc Kp Xr 1 Ti p 1 mesure Xe Td p 1 Ti p 1 Td p Régulateur Mixte C ( p) X e ( p) 1 K p 1 Td p ( p) Ti p consigne erreur Xc Xr mesure Kp 1 Ti p Td p commande Xe Principe Correcteurs Modélisation Stabilité Rapport T/ 0,05 Entre 0,05 et 0,1 Entre 0,1 et 0,2 Entre 0,2 et 0,5 0,5 Choix Correcteur proposé TOR P PI PID Limite des PID Chaines maillées… Précision Rapidité Correcteurs En Boucle Ouverte (Broïda il est cependant rare que l’on puisse faire des essais en BO) Structure Ti BP% P PI parallèle PI série/mixte PID série PID mixte PID parallèle 125 K T 125 K T Td s(t) e(t) K 125 K T 120 K T T 0,8 120 K T 0, 4 T 120 K T 0, 4 T T 2,8 t1 1,8 t2 T 0, 75 e T 2,5 T t1 t2 T’ 0,35 K T En Boucle Fermée (Ziegler & Nichols ou méthode de l’ultime pompage). Mode d’action K P KCr Ti Maxi Td 0 PI série K cr 2, 2 T 1, 2 0 PI Parallèle K cr 2, 2 2T K cr 0 PID série K cr 3,3 T 4 T 4 s 40%s 28%s 0, 42 T 0, 4 T K 5,5 (t2 t1 ) PID parallèle K cr 1, 7 0,85 T K cr K cr T 13,3 PID mixte K cr 1, 7 T 2 T 8 t
