La probabilité qu'une variable uniforme tombe dans un intervalle donné est indépendante de la
position de cet intervalle, mais dépend seulement de sa longueur, à condition que cet intervalle soit
inclus dans le support de la loi. Ainsi, si X ≈ U(a, b) et que [x, x+d] est un sous-intervalle de [a,b], avec d
> 0 fixé, alors
qui est indépendant de x. Ce fait motive la dénomination de cette loi.
Le cas particulier a = 0 et b = 1 donne naissance à la loi uniforme standard, aussi notée U(0, 1). Il faut
noter le fait suivant: si u1 est distribué selon une loi uniforme standard, alors c'est aussi le cas pour
u2 = 1 – u1.
À toute partie A de borélienne, dont la mesure de Lebesgue λ(A) est finie et strictement positive,
on associe une loi de probabilité, appelée loi uniforme sur A, de densité de probabilité ƒ définie, pour
par:
où χA est la fonction indicatrice de l'ensemble A. La densité ƒ est donc nulle à l'extérieur de A mais
égale à la constante 1⁄λ(A) sur A.
Le cas particulier traité principalement dans cette page est le cas où d = 1 et où A est un intervalle [a,
b] de
Transport et invariance
Condition suffisante — La loi de la variable aléatoire Y =T(X), image, par une
transformation T, d'une variable X uniforme sur une partie A de est encore la loi
uniforme sur T(A) si T est, à un ensemble négligeable près, injectif et différentiable, et
si, presque partout sur A, la valeur absolue du jacobien de T est constante.
Loi uniforme standard
Loi uniforme sur l'ensemble A