Loi uniforme continue Uniforme Densité de probabilité Fonction de répartition Paramètres Support Densité de probabilité Fonction de répartition Espérance Médiane Mode Variance toute valeur dans Asymétrie Kurtosis normalisé Entropie Fonction génératrice des moments Fonction caractéristique modifier (https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Loi_uniforme_continue&action=edit&section=0) En théorie des probabilités et en statistiques, les lois uniformes continues forment une famille de lois de probabilité à densité caractérisées par la propriété suivante : tous les intervalles de même longueur inclus dans le support de la loi ont la même probabilité. Cela se traduit par le fait que la densité de probabilités de ces lois est constante sur leur support. La loi uniforme continue est une généralisation de la fonction rectangle à cause de la forme de sa fonction densité de probabilité. Elle est paramétrée par les plus petites et plus grandes valeurs a et b que la variable aléatoire uniforme peut prendre. Cette loi continue est souvent notée U(a, b). Caractérisation Densité La densité de probabilité de la loi uniforme continue est une fonction porte sur l'intervalle [a, b] : Fonction de répartition La fonction de répartition est donnée par Fonctions génératrices Fonction génératrice des moments La fonction génératrice des moments est qui permet de calculer tous les moments non centrés, mk : Ainsi, pour une variable aléatoire suivant cette loi, l'espérance est alors m1 = (a + b)/2 et la variance est m2 − m12 = (b − a)2/12. Fonction génératrice des cumulants Pour n ≥ 2, le n-ième cumulant de la loi uniforme sur l'intervalle [0, 1] est bn/n, où bn est le n-ième nombre de Bernoulli. Propriétés Statistiques d'ordre Soit X1, ..., Xn un échantillon i.i.d. issu de la loi U(0, 1). Soit X(k) la k-ième statistique d'ordre de l'échantillon. Alors, la distribution de X(k) est une loi bêta de paramètres k et n − k + 1. L'espérance est Ce fait est utile lorsqu'on construit une droite de Henry. Les variances sont L'aspect uniforme La probabilité qu'une variable uniforme tombe dans un intervalle donné est indépendante de la position de cet intervalle, mais dépend seulement de sa longueur, à condition que cet intervalle soit inclus dans le support de la loi. Ainsi, si X ≈ U(a, b) et que [x, x+d] est un sous-intervalle de [a,b], avec d > 0 fixé, alors qui est indépendant de x. Ce fait motive la dénomination de cette loi. Loi uniforme standard Le cas particulier a = 0 et b = 1 donne naissance à la loi uniforme standard, aussi notée U(0, 1). Il faut noter le fait suivant : si u1 est distribué selon une loi uniforme standard, alors c'est aussi le cas pour u2 = 1 – u1. Loi uniforme sur l'ensemble A À toute partie A de borélienne, dont la mesure de Lebesgue λ(A) est finie et strictement positive, on associe une loi de probabilité, appelée loi uniforme sur A, de densité de probabilité ƒ définie, pour par : où χA est la fonction indicatrice de l'ensemble A. La densité ƒ est donc nulle à l'extérieur de A mais égale à la constante 1⁄λ(A) sur A. Le cas particulier traité principalement dans cette page est le cas où d = 1 et où A est un intervalle [a, b] de Transport et invariance Condition suffisante — La loi de la variable aléatoire Y =T(X), image, par une transformation T, d'une variable X uniforme sur une partie A de est encore la loi uniforme sur T(A) si T est, à un ensemble négligeable près, injectif et différentiable, et si, presque partout sur A, la valeur absolue du jacobien de T est constante. Exemples de transformations respectant l'uniformité : Si T est affine et bijectif, Y suit la loi uniforme sur T(A). En particulier, si T est une isométrie de Par exemple, une isométrie de laissant A invariant, Y a même loi que X. laisse invariante la loi uniforme sur la boule unité centrée en l'origine, à condition de laisser l'origine invariante. Autre exemple d'isométrie : si U est uniforme sur [0, 1], 1 – U l'est aussi. Si est la partie fractionnaire de x, et ne sont pas injectifs ou différentiables sur tout [0, 1] mais satisfont les hypothèses énoncées plus haut, avec T([0, 1[) = [0, 1[. En conséquence, et ont même loi que U. En sortant un peu du cadre de cette page, et en notant M(x) le point du cercle trigonométrique ayant pour affixe on peut alors voir M(U) comme un point tiré au hasard uniformément sur le cercle trigonométrique. Les points et sont alors obtenus par rotation d'angle 2πa (resp. par symétrie par rapport à la droite d'angle directeur πa) qui sont des isométries laissant le cercle unité invariant. Il n'est donc pas étonnant que ces points suivent encore la loi uniforme sur le cercle unité. Cela traduit une propriété très particulière de la loi uniforme : elle est la mesure de Haar de Conséquence — Si la suite est une suite de variables aléatoires indépendantes et uniformes sur [0, 1] et si alors la suite est une suite de variables aléatoires indépendantes et uniformes sur [0, 1]. Démonstration La loi conditionnelle de sachant que est la loi de qui se trouve être la loi uniforme sur [0, 1], comme on vient de le voir quelques lignes plus haut. Donc la loi conditionnelle de sachant que pas de ne dépend absolument Cela a deux conséquences : suit la loi uniforme sur [0, 1] ; est indépendante de la tribu engendrée par la tribu engendrée par et, a fortiori, de puisque Cela suffit pour conclure. Il peut sembler surprenant que les variables et par exemple, soient indépendantes, alors qu'elles dépendent toutes deux de manière cruciale des variables et C'est une conséquence particulière de la propriété d'invariance de la loi uniforme : par exemple, étant la mesure de Haar de elle est idempotente pour la convolution. Distributions associées Le théorème suivant[1] stipule que toutes les distributions sont liées à la loi uniforme : Théorème de la réciproque — Pour une variable aléatoire de fonction de répartition F, on note G sa réciproque généralisée, définie, pour Si par : désigne une variable aléatoire réelle uniforme sur [0, 1], alors a pour fonction de répartition Bref, pour obtenir des tirages (indépendants) selon la loi caractérisée par F, il suffit d'inverser cette fonction et de l'appliquer à des tirages (indépendants) uniformes. Voici quelques exemples de cette loi : Y = –ln(U)/λ est distribué selon la loi exponentielle de paramètre λ ; Y = 1 – U1/n est distribué selon la loi bêta de paramètres 1 et n. Ceci implique donc que la loi uniforme standard est un cas spécial de la loi bêta, de paramètres 1 et 1. On trouvera un tableau plus complet ici. Par ailleurs, l'art d'engendrer des variables aléatoires de lois arbitraires, par exemple à l'aide de variables uniformes, est développé dans Non-Uniform Random Variate Generation, de Luc Devroye, édité chez Springer, disponible sur le web[2]. Applications En statistiques, lorsqu'une valeur p (p-value) est utilisée dans une procédure de test statistique pour une hypothèse nulle simple, et que la distribution du test est continue, alors la valeur p est uniformément distribuée selon la loi uniforme sur [0, 1] si l'hypothèse nulle est vérifiée. Obtenir des réalisations de la loi uniforme Article détaillé : Générateur de nombres pseudo-aléatoires. La plupart des langages de programmation fournissent un générateur de pseudo-nombres aléatoires, dont la distribution est effectivement la loi uniforme standard. Si u est U(0, 1), alors v = a + (b − a)u suit la loi U(a, b). Obtenir des réalisations d'une loi continue quelconque Article détaillé : Méthode de la transformée inverse. D'après le théorème cité plus haut, la loi uniforme permet en théorie d'obtenir des tirages de toute loi continue à densité. Il suffit pour cela d'inverser la Fonction de répartition de cette loi, et de l'appliquer à des tirages de la loi uniforme standard. Malheureusement, dans bien des cas pratiques, on ne dispose pas d'une expression analytique pour la fonction de répartition; on peut alors utiliser une inversion numérique (coûteuse en calculs) ou des méthodes concurrentes, comme la Méthode de rejet. Le plus important exemple d'échec de la méthode de la transformée inverse est la Loi normale. Toutefois, la Méthode de Box-Muller fournit une méthode pratique pour transformer un échantillon uniforme en un échantillon normal, et ce de manière exacte[3]. Permutations aléatoires uniformes et loi uniforme Des mathématiciens comme Luc Devroye ou Richard P. Stanley ont popularisé l'utilisation de la loi uniforme sur [0, 1] pour l'étude des permutations aléatoires (tailles des cycles, nombres eulériens, analyse d'algorithmes de tri comme le tri rapide, par exemple). Construction d'une permutation aléatoire uniforme à l'aide d'un échantillon de loi uniforme Soit une suite de variables aléatoires i.i.d. uniformes sur [0, 1], définies sur un espace probabilisé (par exemple, définies sur muni de sa tribu des boréliens et de sa mesure de Lebesgue, par équivalente, par Ainsi, Pour tout entier k compris entre 1 et n, posons s'interprète comme le rang de l'ordre croissant. ou, de manière dans l'échantillon, une fois celui-ci rangé dans Proposition — L'application est une permutation aléatoire uniforme. Démonstration Pour une permutation τ fixée, notons et posons Alors Par ailleurs, de manière évidente, si alors Comme il en découle que Si il existe donc un couple i < j tel que et, par suite, Ainsi σ(., ω) n'est pas une permutation. Finalement, comme B et les ensembles de type forment une partition de il en découle que pour toute permutation τ, et par conséquent Comme les composantes du vecteur aléatoire sont des variables aléatoires indépendantes à densité de densités respectives notées on sait que le vecteur aléatoire U possède lui-même une densité f, définie par De même, une densité de probabilité du vecteur aléatoire τ.U est g, définie par : Dans le cas, comme ici, où les composantes d'un vecteur aléatoire sont i.i.d., on peut choisir les densités de probabilités toutes égales. Ainsi, les densités f et g des vecteurs aléatoires U et τ.U sont égales : les vecteurs aléatoires U et τ.U ont donc même loi. Par conséquent, pour toute permutation τ, Par ailleurs, En effet l'hyperplan est de mesure de Lebesgue nulle, et la loi de probabilité de U est à densité donc absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue, donc Finalement où la dernière égalité utilise le fait que B et les ensembles forment une partition de La proposition ci-dessus reste vérifiée si la distribution de probabilité commune aux variables possède une densité, quelle qu'elle soit, et non pas seulement pour la densité uniforme. On peut même se contenter de variables i.i.d. dont la loi est diffuse (sans atomes) modulo une modification mineure de la démonstration. Cependant la loi uniforme est particulièrement commode pour diverses applications. Nombres de descentes d'une permutation aléatoire, et nombres eulériens Soit le nombre de descentes d'une permutation tirée au hasard uniformément dans Bien sûr, où A(n,k) désigne le nombre de permutations de possédant exactement k descentes. A(n,k) est appelé nombre eulérien. Posons On a alors[4] Théorème (S. Tanny, 1973) — De manière équivalente, ou bien Démonstration On suppose la suite construite à l'aide d'une suite de variables aléatoires indépendantes et uniformes sur [0, 1], via la relation On sait alors, grâce à des considérations d'invariance (voir plus haut), que est une suite de variables aléatoires indépendantes et uniformes sur [0, 1]. On construit alors une permutation aléatoire uniforme σ(., ω) à l'aide de la suite U, comme indiqué à la section ci-dessus : il y a descente au rang i pour σ(., ω) si σ(i, ω) > σ(i + 1, ω) ou, de manière équivalente, si Parallèlement, on dessine, sur le cercle trigonométrique, les points ayant pour affixes un voyage sur le cercle unité, consistant à parcourir les points puis… , puis On entreprend alors puis dans cet ordre, en tournant toujours dans le sens trigonométrique, et en partant du point A d'affixe 1 (de coordonnées cartésiennes (0, 1)). La longueur totale du chemin ainsi parcouru est alors Par ailleurs, il y a descente au rang i pour σ(., ω) si et seulement si l'étape du voyage cidessus allant du point au point traverse A. Donc le nombre de descentes de σ(., ω) est le nombre de traversées du point A, qui est aussi le nombre de tours complets du cercle unité effectués lors du voyage de A à Au vu du calcul donnant la longueur totale du chemin ainsi parcouru, voir ci-dessus, le nombre de tours complets s'écrit aussi : Ainsi le nombre de descentes de σ(., ω) est égal à Le nombre de descentes de σ a donc même loi que Il en découle immédiatement un théorème central limite pour via le théorème de Slutsky. Notes et références 1. Voir l'article détaillé ici. 2. La version pdf (libre et autorisée) de (en) Luc Devroye, Non-Uniform Random Variate Generation, New York, Springer-Verlag, 1986, 1re éd. (lire en ligne (http://cg.scs.carleton.ca/~luc/rnbookinde x.html) [archive]) est disponible, ainsi qu'un récit humoristique des démêlés de Luc Devroye avec son éditeur. 3. Plus exactement, la méthode nécessite deux tirages indépendants U(0, 1) pour fournir deux tirages normaux indépendants. 4. voir (en) S. Tanny, « A probabilistic interpretation of the Eulerian numbers », Duke Math. J., vol. 40, 1973, p. 717-722 ou bien (en) R.P. Stanley, « Eulerian partitions of a unit hypercube », Higher Combinatorics, Dordrecht, M. Aigner, ed., Reidel,1977. Articles connexes Méthode de Box-Muller Droite de Henry Générateur de nombres pseudo-aléatoires Loi uniforme discrète Loi bêta Portail des probabilités et de la statistique Ce document provient de « https://fr.wikipedia.org/w/index.php? title=Loi_uniforme_continue&oldid=162850111 ». Dernière modification il y a 2 ans par 93.16.111.155
