Exercice 42 : On considère le regroupement de 3 condensateurs (voir figure ci contre) de capacités C 1 = C2 = 2C et C3 = 3C. On maintient entre A et B une tension VAB. 1°) Calculer en fonction de C et VAB les charges q1, q2, q3 portées par chacun des condensateurs à l’équilibre. Faire l’application numérique pour C=1µF et VAB = 1000V. 2°) On place entre A et M en parallèle au condensateur de capacité C1 un autre condensateur de capacité C4 = C et initialement chargé sous une tension U. L’armature de C4 chargée positivement est reliée à M, la même tension VAB étant maintenue entre A et B. Calculer la nouvelle charge q’4 du condensateur C4 lorsque l’état d’équilibre électrostatique est atteint. Solution : 1°)Principe de conservation des charges sur les armatures isolées (// loi aux nœuds) (1) (état final) : -q1 +q2 +q3 = 0 (état initial). q q Equation à la maille extérieure : (2) 1 2 VAB C1 C 2 q q Equation à la maille (C2, C3) : (3) 2 3 0 C2 C3 Système de 3 équations à 3 inconnues : 1 1 1 q1 0 1 1 1 0 q 2 VAB Q V , soit : C C2 C 1 1 1 q3 0 0 Etat Initial (S) C2 C 3 ce qui conduit à la solution : (substitution, déterminant,…) C C 2 C3 10 10 2 q1 1 VAB q1 C VAB Coulomb C1 C 2 C3 7 7 q 2 C2 C1 4 4 10 3 VAB q 2 C VAB Coulomb C1 C 2 C3 7 7 C1 6 6 10 3 VAB q 3 C VAB Coulomb C1 C 2 C3 7 7 2°) Conservation des charges dans le système isolé (pointillés) S’ et S : Qinitiale Qfinale q 3 C3 q 2 ' q 3 'q1 ' q 4 ' q 2 q 3 q 4 q1 avec q4 =C4Uarmature + reliée à M Equation à la maille (grande) : q1 ' q 2 ' VAB C1 C 2 Equation à la maille (C1, C4) : q' q ' 1 4 0 C1 C 4 Equation à la maille (C2, C3) : q2 ' q3 ' 0 C2 C3 c’est un système de 4 équations à 4 inconnues dont la résolution donne : C C3 VAB q 4 q' 3 C V 3 10 3 coulomb q' 4 2 4 AB C1 C 2 C 3 8 8 1 C4 C4 C4 Etat Final (S’) Exercice 43 : On considère le regroupement ci-contre de 4 condensateurs où C1 =3C, C2 = C, C3 = 2C et C4 = 3C. 1°) calculer en fonction de C la capacité équivalente entre A et B. 2°) On applique une différence de potentiel VAB, calculer les charges et les tensions de chaque condensateur. 3°) On remplace C2 et C3 par un condensateur unique de capacité x. Pour quelle valeur de x, la capacité équivalente entre A et B est égale à x ? Calculer alors les charges et tensions de chaque condensateur 4°) On place entre A et M un condensateur Cy initialement chargé sous une ddp V0.Calculer les nouvelles charges Q’y, Q’4, et Q’1(Attention, il y a 2 sens de branchement pour Cy) Solution : V2 Q2 3 VAB C 2 10 V3 C 2,3 C2 C3 2 C C2 C3 3 Q3 3 VAB C3 20 Q 4 C 4 VAB 27 VAB 20 Q 2,3 Q 2 Q 3 (serie) C 2,3 VMB C 2,3, 4 C 4 C2 C3 C 2 C3 3 CVAB 10 Q2 QAB Q MB (serie) C2C3 C1 C 4 C 2 C 3 33 C eq C C 2 C 3 20 C1 C 4 C 2 C 3 Q1 11 9 VAB ; Q AB Ceq VAB Q1 VAB ; VMB VAB V1 20 C1 20 Autre méthode : conservation des charges sur un système isolé (loi aux Q1 Q2 Q4 0 (1) charge initiale = charge finale Q Q Q Q - Equation aux mailles : VAB 1 4 1 2 (2) C1 C 4 C1 C 2,3 maille AMB Q4 Q 2 (3) maille MB,C4 C 4 C 2,3 Résolution du système (1,2,3). VAB nœuds) : C1 C 4 X 3 , X 2 3C X 9C2 0 d’où X 2 C1 C 4 X Q 1 5 1 VAB QAB X VAB Q1 ; V1 1 C1 2 Q 1 VMB VAB V1 1 3 5 VAB ; C1 2 3 Q 4 C 4 VMB 3 5 C VAB 2 3°) C2 et C3 remplacés par X : Ceq X 5 1 C, Q X X VMB Autre méthode : remplacer dans (1) Q2 par QX , dans (2) et (3) remplacer C2,3 par X et résoudre. 4°) Recherchons Qy’, Q1’, QX’ et Q4’ Q' Q' y Q' Q' Q' X Q' Loi à la maille : VAB y 4 (1), 1 (2), 4 Cy C4 Cy C1 CX C4 (3) Conservation des charges : Q' y Q'1 Q' X Q' 4 Q y Q1 QX Q4 avec Q y C y Vy , Q1, QX , Q4 calculés à la question 3°) On obtient Q' y .... l’étudiant pourra résoudre ce système d’équations en tenant compte du signe de Qy et conclure Exercice 44 : 1°) Un condensateur plan AB d’épaisseur d, de surface s est chargé sous une ddp V. Calculer la charge Q, la force F qui s’exerce sur chaque armature et l’énergie du condensateur. 2°) Les armatures sont écartées d’une distance d’. Cette opération peut s’effectuer à Q ou à V constant. Calculer dans chaque cas la nouvelle tension ou charge. Calculer l’énergie du condensateur dans ce nouvel état ; faire le bilan énergétique. Solution : 1°) Charge Q CV avec C εo S : condensateur plan d La force sur chaque armature : se trouvant chacun dans un champ E 2o ε S Principe de Coulomb : F Q E , avec E : champ créé par un plan infini avec Q , Q C V et C o d S 2 2 2 2 2 2 2 S V S V Q Q F Q Q C V o soit F o 2 2d 2S o 2S o 2S o 2d 2 S o 2o 2 S S Energie du système : u 1 Q 1 C V 2 1 o V 2 , ainsi : u 1 o V 2 2 d 2 C 2 2 d 2°) Ecartement des armatures : A Q cte conservation des charges Q et Q ': Q ' C 'V ' (final ) et Q C V (initial ) ε0 S ε S C 0 C' d' ; d V' V V' d' V d' d d 2 Energie de l’état final: u' 1 / 2C' V' 1 o S d' 2 2 V2 2 d' d ' ' S u 1 o d' V 2 1 C d' V 2 1 CV 2 d d u ; ainsi : u' d' u d 2 d d 2 d 2 d d A V cte : Q' C'V' (final) et Q C V (initial) : V=V’ Q' C' d’où Q' d Q Q C d' 2 1 Q' 1 d Q 1 d 2 Q2 1 d Q2 1 d Q2 d Energie de l’état final : u' u 2 C' 2 d' ε 0 S 2 d' ε 0 S 2 d' ε 0 S d 2 d' C d' d on a : u' d u d' 2 2 Bilan énergétique : ' ' Q cte : u 1/ 2C [d 1]V 2 1/ 2C V 2 [d 1] d d Q2 d V cte u 1/ 2 [ 1] C d' Faire les remarques sur u f(d ') et faire attention au signe du [ ]. - à V cte u 0 , le condensateur fourni de l’énergie à l’extérieur (effet joule) - à Q cte u 0 , il reçoit de l’énergie. Exercice 45 : Calculer la capacité d’un condensateur plan formé de deux plaques rectangulaires de dimensions d et l distantes de a, lorsque celles ci forment un petit angle ; leur distance minimale restant égale à a (voir figure ci-contre). Solution : On dégage un condensateur élémentaire dC, à l’abscisse x, d’épaisseur a x tg , de surface ds dx l . Ce condensateur élémentaire est plan dx l 0 s dC 0 a x tg e Le condensateur équivalent sera la somme des condensateurs élémentaires en parallèle : l dx 0 ln a xtg 0 a x tg tg d C dC 0 l D’où : C 0d 0 l d ln1 tg tg a Remarque : Si est très petit, tg ~ d’où C 0 l d l d 0 s ln1 C 0 C0 a a a Condensateur plan Exercice 46 : Calculer la capacité d’un condensateur cylindrique, constitué par 2 cylindres coaxiaux de rayons R1 et R2 (R1<R2). L’espace entre les deux cylindres est e. Solution : -Théorème de Gauss : E d S E 2 x h Q E 1 Q 2 0 x h 0 - Circulation du vecteur E de l’armature interne à la surface interne de l’armature externe : E grad V V i x R 1 Q dV Q 2 ln 2 par intégration : 1 dV V2 V1 20 x h dx 2 0 h R1 R 2 0 h ln 2 C R 2 0 h R1 ln 2 R 1 R 2 0 h Si R2=R1+e, alors : ln 2 ln1 e e d’où C e R R R 1 1 1 R1 s s 2R1 h surface latérale C 0 condensateur plan e V1 V2 Q