Fascicule electrostatique42-46

Exercice 42 : On considère le regroupement de 3 condensateurs (voir figure ci contre) de capacités C1 = C2
= 2C et C3 = 3C. On maintient entre A et B une tension VAB.
1°) Calculer en fonction de C et VAB les charges q1, q2, q3 portées par
chacun des condensateurs à l’équilibre. Faire l’application numérique
pour C=1µF et VAB = 1000V.
2°) On place entre A et M en parallèle au condensateur de capacité C1
un autre condensateur de capacité C4 = C et initialement chargé sous une
tension U. L’armature de C4 chargée positivement est reliée à M, la
même tension VAB étant maintenue entre A et B. Calculer la nouvelle
charge q’4 du condensateur C4 lorsque l’état d’équilibre électrostatique est atteint.
Solution :
1°)Principe de conservation des charges sur les armatures isolées (// loi aux nœuds)
(1) (état final) : -q1 +q2 +q3 = 0 (état initial).
Equation à la maille extérieure : (2)
AB
2
2
1
1V
C
q
C
q
Equation à la maille (C2, C3) : (3)
0
C
q
C
q
3
3
2
2
Système de 3 équations à 3 inconnues :
VQ
C
1
, soit :
0
V
0
q
q
q
C
1
C
1
0
0
C
1
C
1111
AB
3
2
1
32
21
ce qui conduit à la solution : (substitution, déterminant,…)
Coulomb
7
10
VC
7
10
qV
CCC CCC
q2
AB1AB
321
321
1
Coulomb
7
104
VC
7
4
qV
CCC C
Cq 3
AB2AB
321
1
22
Coulomb
7
106
VC
7
6
qV
CCC C
Cq 3
AB3AB
321
1
33
2°) Conservation des charges dans le système isolé (pointillés) S’ et S :
 finaleinitiale QQ
14324132 qqqq'q 'q'q 'q 
avec q4 =C4Uarmature + reliée à M
Equation à la maille (grande) :
AB
2
2
1
1V
C'q C'q 
Equation à la maille (C1, C4) :
0
C'q C'q
4
4
1
1
Equation à la maille (C2, C3) :
0
C'q C'q
3
3
2
2
c’est un système de 4 équations à 4 inconnues dont la résolution donne :
coulomb10
8
3
VC
8
3
'q
1
C
C
C
C
C
CqVCC
'q 3
AB4
4
3
4
2
4
1
4AB32
4
Etat Initial (S)
Etat Final (S’)

Exercice 43 : On considère le regroupement ci-contre de 4 condensateurs où C1 =3C, C2 = C, C3 = 2C et
C4 = 3C.
1°) calculer en fonction de C la capacité équivalente entre A et B.
2°) On applique une différence de potentiel VAB, calculer les charges et
les tensions de chaque condensateur.
3°) On remplace C2 et C3 par un condensateur unique de capacité x. Pour
quelle valeur de x, la capacité équivalente entre A et B est égale à x ?
Calculer alors les charges et tensions de chaque condensateur
4°) On place entre A et M un condensateur Cy initialement chargé sous
une ddp V0.Calculer les nouvelles charges Q’y, Q’4, et Q’1(Attention, il y a 2 sens de branchement pour Cy)
Solution :
AB
1
1
AB V
20
11
C
Q
V
;
AB1ABMB V
20
9
VVV 
;
1ABeqAB QVCQ 
Autre méthode :
- conservation des charges sur un système isolé (loi aux nœuds) :
0QQQ 421 
(1)
charge initiale = charge finale
- Equation aux mailles :
3,2
2
1
1
4
4
1
1
AB C
Q
C
Q
C
Q
C
Q
V
(2)
maille AMB
3,2
2
4
4C
Q
C
Q
(3) maille MB,C4
Résolution du système (1,2,3).
32
32
44,3,2 CC CC
CC 
AB
2
2
2V
10
3
C
Q
V
C
3
2
CC CC
C
32
32
3,2 
C
20
33
CC CC
CC
CC CC
CC
C
32
32
41
32
32
41
eq 
AB
3
3
3V
20
3
C
Q
V
ABAB44 V
20
27
VCQ 
ABMB3,2
323,2
CV
10
3
VC
(serie) QQQ
(serie) QQQ MBAB2

3°) C2 et C3 remplacés par X :
XCC XCC
XC
41
41
eq 
,
0C9XC3X 22 
d’où
C15
2
3
X
,
1ABAB QVXQ 
;
AB
1
1
1V15
2
1
C
Q
V
AB
1
1
1ABMB V53
2
1
C
Q
VVV 
;
ABMB44 VC53
2
3
VCQ 
MBXVXQ 
Autre méthode : remplacer dans (1) Q2 par QX , dans (2) et (3) remplacer C2,3 par X et résoudre.
4°) Recherchons Qy’, Q1’, QX’ et Q4’
Loi à la maille :
4
4
y
y
AB C'Q
C
'Q
V
(1),
1
1
y
yC'Q
C
'Q 
(2),
4
4
X
XC'Q
C'Q 
(3)
Conservation des charges :
4X1y4X1y QQQQ'Q'Q'Q'Q 
avec
yyy VCQ 
, Q1, QX , Q4 calculés à la question 3°)
On obtient
.... 'Q y
l’étudiant pourra résoudre ce système d’équations en
tenant compte du signe de Qy et conclure
Exercice 44 : 1°) Un condensateur plan AB d’épaisseur d, de surface s est chargé sous une ddp V. Calculer la
charge Q, la force F qui s’exerce sur chaque armature et l’énergie du condensateur.
2°) Les armatures sont écartées d’une distance d’. Cette opération peut s’effectuer à Q ou à V constant. Calculer
dans chaque cas la nouvelle tension ou charge.
Calculer l’énergie du condensateur dans ce nouvel état ; faire le bilan énergétique.
Solution :
1°)
 Charge
CVQ
avec
dS
Co ε
: condensateur plan
 La force sur chaque armature : se trouvant chacun dans un champ
o
E
2
Principe de Coulomb :
EQ F 
, avec E : champ créé par un plan infini avec
S
Q
,
VCQ 
et
dS
Co ε
2o
QF
o
o
ooo Sd
VS
SVC S
Q
S
Q
Q  2
222
22
2
2222
soit
2
2
2dVS
Fo
 Energie du système :
22
2
2
1
2
1
2
1V
dS
VC
C
Q
uo
, ainsi :
2
2
1
V
d
S
uo

2°) Ecartement des armatures :
 A
cteQ
conservation des charges
Q
et
:' Q
ε
C ;
'
ε
C'
)( et )(' ' '
00 d
S
d
SinitialVCQfinalVCQ
V
d
d
d
V
d '
V'
''V
Energie de l’état final:
2
2
2
o
2V
d'd
'dS 2
1
'V'C2/1'u 
u
d
d
d
d
CVV
d
CV
dd
S
uo
''
222
2
1'd
2
1 'd
2
1
; ainsi :
u
d
d'
u' 
 A
:cteV 
V''CQ' 
(final) et
VC Q
(initial) : V=V’
C
C'
Q
Q'
d’où
Q
d'
'Q  d
Energie de l’état final :
u
d'
d
C
Q
d'
d
2
1
dSε
Q
d'
d
2
1
Sε
Q
d'
d
2
1
d
Sε
Q
d'
d
2
1
C'
Q'
2
1
'u 2
0
2
0
22
0
2
2
2
on a :
u
d'
d
u' 
Bilan énergétique :
cteQ
:
]1[2/1]1[2/1 '
22
' d
d
VCV
d
d
Cu
cteV 
]1[2/1 '
2 d
d
C
Q
u
Faire les remarques sur
)( ' dfu
et faire attention au signe du [ ].
- à
cteV 
0u
, le condensateur fourni de l’énergie à l’extérieur (effet joule)
- à
cteQ
0u
, il reçoit de l’énergie.
Exercice 45 : Calculer la capacité d’un condensateur plan formé de
deux plaques rectangulaires de dimensions d et l distantes de a,
lorsque celles ci forment un petit angle  ; leur distance minimale
restant égale à a (voir figure ci-contre).
Solution :
On dégage un condensateur élémentaire dC, à
l’abscisse x, d’épaisseur
tgxa 
, de surface
ldxds 
. Ce condensateur élémentaire est plan
e
s
tgxa
ldx
dC  00
Le condensateur équivalent sera la somme des
condensateurs élémentaires en parallèle :

 d
tgxa dx
ldCC0
0
tgxa d
tg
l
ln 0
0
D’où :
tg
a
d
tg
l
C1ln
0
Remarque : Si  est très petit, tg ~  d’où
0
000 1ln C
a
s
a
dl
C
a
d
l
C
Exercice 46 : Calculer la capacité d’un condensateur cylindrique, constitué par 2 cylindres coaxiaux de
rayons R1 et R2 (R1<R2). L’espace entre les deux cylindres est e.
Solution :
-Théorème de Gauss :
0
2
Q
hxESdE
hx
Q
E
0
21
- Circulation du vecteur
E
de l’armature interne à la surface interne de
l’armature externe :
 i
x
V
VgradE
dx
dV
hx
Q
0
21
par intégration :
2
1dV
1
2
0
12 ln
2
V R
R
h
Q
V
1
2
0
1
2
0
21
ln
2
ln
2
V
R
R
h
C
R
R
h
Q
V
- Si R2=R1+e, alors :
111
21lnln R
e
R
e
R
R
d’où
1
0
2
R
eh
C
latérale surface 21hRs 
planur condensate
0
e
s
C
Condensateur plan