Table Dévelopements limités usuels

U.S.T.H.B
Formule de Taylor et
Faculté des Mathématiques
Coordination du module MATH I
développements limités
1ère année Licence SM-ST
TABLE DES DEVELOPPEMENTS LIMITES
La formule de Mac-Laurin permet de trouver les DL des fonctions usuelles au voisinage de
0
1
1
1
f (x) = f (0) + f (1) (0)x + f (2) (0) x2 + f (3) (0) x3 + · · · + f (n) (0) xn + o(xn ).
2!
3!
n!
Fonction
f (x)
g(x)
avec
lim g(x) 6= 0
x→0
f (x) =
DF (x)
dx
DLn
Développement limité à l'ordre
DLn f (x)
DLn g(x)
de
f
en
x=0
Division selon les puissances croisssantes de
DLn f (x)
x−
1 3
3! x
+
1 5
5! x
1
+ · · · + (−1)n (2n+1)!
x2n+1 + o(x2n+1 )
cosx
1−
1 2
2! x
+
1 4
4! x
1
+ · · · + (−1)n (2n)!
x2n + o(x2n )
x + 13 x3 +
2 5
15 x
+
sin x
cos x
1 2
2! x
17 7
315 x
+ · · · + o(x2n+1 )
ex
1+
1
1! x
chx
1+
1 2
2! x
+
1 4
4! x
+ ··· +
1
2n
(2n)! x
shx
x+
1 3
3! x
+
1 5
5! x
+ ··· +
1
2n+1
(2n+1)! x
thx
x − 13 x3 +
2 5
15 x
−
1
1+x
1 − x + x2 − x3 + · · · + (−1)n xn + o(xn )
1
1−x
1 + x + x2 + x3 + · · · + xn + o(xn )
+
x
à
l'ordre
est obtenu en dérivant terme à terme les monômes de
+ ··· +
1 n
n! x
17 7
315 x
+ o(xn )
+ o(x2n )
+ o(x2n+1 )
+ · · · + o(x2n+1 )
x − 12 x2 + 31 x3 − 14 x4 + · · · + (−1)n−1 n1 xn + o(xn )
veut dire le développement limité à l'ordre
DLn+1
n
sinx
tanx =
ln(1 + x)
f
n.
veut dire le développement limité à l'ordre
n + 1.
1
n
DLn+1 F (x)
TABLE DES DEVELOPPEMENTS LIMITES (suite)
Fonction
(1 + x)α ,
√
f
Développement limité à l'ordre
α∈R
1
,
1−x2
√ 1
,
1−x2
en
α(α−1)···(α−(n−1)) n
x
n!
x=0
+ o(xn )
+
1·3 3
x
23 ·3!
−
1·3·5 4
x
24 ·4!
+ · · · + (−1)n−1 1·3·5·7···(2n−3)
xn + o(xn )
2n ·n!
1 − 21 x −
1
x2
22 ·2!
−
1·3 3
x
23 ·3!
−
1·3·5 4
x
24 ·4!
− ··· −
α = − 12
1 − 12 x +
1.3 1 2
x
22 2!
−
1.3.5 1 3
x
23 3!
+
1.3.5.7 1 4
x
24 4!
+ · · · + (−1)n 1·3·5·7···(2n−1)
xn + o(xn )
2n n!
α = − 12 , x −→ −x
1 + 21 x +
1·3 1 2
x
22 2!
+
1·3·5 1 3
x
23 3!
+
1·3·5·7 1 4
x
24 4!
+ ··· +
α = −1, x −→ x2
1 − x2 + x4 − x6 + · · · + (−1)n x2n + o(x2n+1 )
1
2
α = −1, x −→ −x2
√ 1
,
1+x2
+ ··· +
f
1
x2
22 ·2!
√1 ,
1+x
1
,
1+x2
α(α−1) 2
x
2!
de
1 + 21 x −
1 + x, α =
√
1 − x, α = 12 , x −→ −x
√1 ,
1−x
1 + αx +
n
1·3·5·7···(2n−3) n
x
2n ·n!
+ o(xn )
1·3·5·7···(2n−1) n
x
2n n!
+ o(xn )
1 + x2 + x4 + x6 + · · · + x2n + o(x2n+1 )
α = − 12 , x −→ x2
1 − 12 x2 +
1·3 4
x
22 ·2!
−
1·3·5 6
x
23 ·3!
+
α = − 21 , x −→ −x2
1 + 21 x2 +
1·3 4
x
22 ·2!
+
1·3·5 6
x
23 ·3!
+
1·3·5·7 8
x
24 ·4!
1·3·5·7 8
x
24 ·4!
x2n + o(x2n+1 )
+ · · · + (−1)n 1·3·5·7···(2n−1)
2n ·n!
+ ··· +
1·3·5·7·(2n−1) 2n
x
2n ·n!
+ o(x2n+1 )
arcsin x
1·3·5···(2n−1)
1 3
1·3 5
1·3·5 7
1·3·5·7 9
x + 2·3
x + 2·4·5
x + 2·4·6·7
x + 2·4·6·8·9
x + · · · + 2·4···(2n)·(2n+1)
x2n+1 + o(x2n+2 )
arccos x
π
2
arctanx
1
x − 31 x3 + 15 x5 − 71 x7 + · · · + (−1)n 2n+1
x2n+1 + o(x2n+2 )
argshx
x−
argthx
x + 31 x3 + 15 x5 + 71 x7 + · · · +
− arcsinx =
1 3
2·3 x
+
π
2
−x−
1·3 5
2·4·5 x
−
1 3
2·3 x
1·3·5 7
2·4·6·7 x
2
−
1·3 5
2·4·5 x
− ··· −
1·3·5···(2n−1)
2n+1
2·4···(2n)·(2n+1) x
+ o(x2n+2 )
1·3·5···(2n−1)
x2n+1 + o(x2n+2 )
+ · · · + (−1)n 2·4···(2n)·(2n+1)
1
2n+1
2n+1 x
+ o(x2n+2 )
Dérivée des fonctions trigonométriques réciproques et hyperboliques
Fonction
f
Dérivée
Domaine de dérivabilité
arcsinx
√ 1
1−x2
] − 1, 1[
arccosx
√ −1
1−x2
] − 1, 1[
arctanx
1
1+x2
R
chx
shx
R
shx
chx
R
thx
1 − th2 x =
1
ch2 x
R
argshx
√ 1
1+x2
R
argchx
√ 1
x2 −1
]1, +∞[
argthx
1
1−x2
] − 1, 1[
3