EXERCICES D’ELECTRICITE REGIME VARIABLE ENONCES Exercice 1 : Tension rectangulaire u(t) u(t) est une tension de période T et de rapport cyclique α. Calculer la valeur moyenne <u> et la valeur efficace U de la tension u. E t αT 0 A.N. E = 5V ; α = 0,5. T Avec les valeurs numériques ci-dessus, calculer la valeur efficace U’ de la composante alternative. Vérifier que U2 = <u>2 + U’2. Exercice 2 : Régime sinusoïdal i 2(t) π ) 3 5π i 2 (t) = 2 2sin(ω t − ) 6 Déterminer i 3 (t) par la méthode des vecteurs de Fresnel et par la méthode des nombres complexes. Calculer ϕ i1/i2, ϕ i2/i3 et ϕ i1/i3. i1 (t) = 4 2 sin(ω t − i 1(t) i 3 (t) Exercice 3 : Régime sinusoïdal u 1) Représentation de Fresnel : → C i uC IUT de Nancy-Brabois → → Construire U R , U C et U . En déduire l’expression de Zeq ainsi que l’expression du déphasage ϕ de u par rapport à i. Quelle plage de valeurs peut prendre le déphasage? R uR Fabrice Sincère http://perso.orange.fr/fabrice.sincere/ page 1/8 2) Utilisation des nombres complexes : Déterminer Zeq. En déduire Zeq et ϕ. 3) Applications numériques On donne U = 5 V, f = 10 kHz, R = 1 kΩ et C = 10 nF. Calculer I, ϕ, UR et UC. Comparer U et UR + UC. Commentaires ? Pour quelle fréquence a-t-on UC = UR ? Exercice 4 : Régime sinusoïdal Une bobine réelle est équivalente à une résistance R en série avec une inductance L. On la branche en série avec une résistance r = 8 Ω. u L,R i On donne f = 50 Hz, U = 14 V, UB = 8 V et Ur = 8V. 1) Calculer I. 2) Construction de Fresnel : r → uB → → a) Construire U r , U B et U . Calculer ϕ u/i et ϕ uB/i. ur → → → b) A partir de U B construire U R et U L . En déduire R et L. Rappel : dans un triangle quelconque : c a α a2 = b2 + c2 - 2bc cos α b Exercice 5 : Régime sinusoïdal iR R i iL L u Déterminer Yeq. En déduire Yeq et ϕ u/i. Applications numériques On donne U = 2 V, f = 15 kHz, R = 4,7 kΩ et L = 65 mH. Calculer IR, IL, I, ϕ u/i, ϕ iL/i et ϕ i/iR. Pour quelle fréquence a-t-on ϕ u/i = 45° ? IUT de Nancy-Brabois Fabrice Sincère http://perso.orange.fr/fabrice.sincere/ page 2/8 Exercice 6 : Régime sinusoïdal u i R L C uC Déterminer Zeq. En déduire Zeq et ϕ u/i. Quand u et i sont en phase on dit qu’il y a résonance. Que vaut alors Zeq ? A quelle pulsation ω0 a lieu la résonance ? U Q = C est appelé coefficient de surtension. U 1 Montrer qu’à la résonance Q 0 = RCω0 A.N. R = 440 Ω, C = 1 nF/63 V, L = 100 mH et U = 5 V. Calculer ω0, Q0 et UC0. Commentaire ? Exercice 7 : Régime sinusoïdal u L R C R i Déterminer Zeq. Si LCω² = 1 que vaut le déphasage entre u et i ? IUT de Nancy-Brabois Fabrice Sincère http://perso.orange.fr/fabrice.sincere/ page 3/8 CORRIGES Exercice 1 T αT T 1 1 1 αT < u > = ∫ u ( t )dt = ∫ E dt + ∫ 0 dt = [E t ]t =0 = αE = 2,5 V T0 T 0 αT T αT T 1 1 1 U= u ²( t )dt = E ² dt = [E ² t ]αt =T0 = αE = 3,536 V ∫ ∫ T0 T 0 T u(t) = <u> + u’(t) : u’(t) désigne la composante alternative. 0 < t < 0,5T : u’(t) = u(t) - <u> = 5 - 2,5 = +2,5 V 0,5T < t < T : u’(t) = u(t) - <u> = 0 - 2,5 = -2,5 V T 0 , 5T T 1 1 u '²( t ) dt = 2 , 5 ² dt + ( −2,5)² dt = 2,5 V ∫ ∫ ∫ T0 T 0 0,5T 2 2 2 On vérifie bien que : U = <u> + U’ . U' = Exercice 2 - vecteurs de Fresnel Loi des nœuds : I 3 = I1 − I 2 + 1A axe d'origine des phases O I2 ϕ ϕ i2 =− i1 =− π ϕ 3 i 3 5π I3 6 I1 Graphiquement : I3 ≈ 4,5A ϕ i3 ≈ -33°≈ -0,58 rad d’où i 3 ( t ) ≈ 4,5 2 sin(ω t − 0,58) IUT de Nancy-Brabois Fabrice Sincère http://perso.orange.fr/fabrice.sincere/ page 4/8 - nombres complexes 5π π I 3 = I1 − I 2 = ( 4,− ) − ( 2,− ) = (2 − 2 3 j) - (- 3 - j) 3 6 = 2 + 3 + (1 - 2 3) j = (4,472 ; - 0,584 rad) Finalement: i 3 ( t ) = 4,472 2 sin(ω t − 0,584) ϕ i1/i2 = -π/3-(-5π/6) = +π/2 = +90° : i1 est en quadrature avance sur i2 ϕ i2/i3 = -5π/6-(-0,584) = -2,034 rad = -116° ϕ i1/i3 = ϕ i1/i2 + ϕ i2/i3 = -0,463 rad = -26° Exercice 3 1) U = U C + U R UR + I O ϕ u/i UC U U I Théorème de Pythagore : U² = UR² + UC² I Avec : UR = RI et U C = Cω U² D’où : Z eq ² = = R ² + ( C1ω )² I² Finalement : Z eq = R ² + ( C1ω )² Par définition : Z eq = tan ϕ = − UC 1 =− UR RCω 1 soit : ϕ = − arctan RCω Le déphasage ϕ est compris entre –90° et 0°. j 2) Z eq = R Cω Z eq = R ² + ( C1ω )² − C1ω R 1 d’où : ϕ = − arctan RCω U U 3) Loi d’Ohm : I = = = 2,66 mA Z eq R ² + ( C1ω )² tan ϕ = 1 ϕ = − arctan = - 58° = -1,01 rad RCω UR = RI = 2,66 V IUT de Nancy-Brabois Fabrice Sincère http://perso.orange.fr/fabrice.sincere/ page 5/8 I = 4,23 V Cω On remarque que : U ≠ UR + UC Les valeurs efficaces ne s’additionnent pas (sauf cas particulier). I UR = UC ⇒ RI = soit : RCω = 1 Cω 1 = 15,9 kHz f = 2 πRC UC = Exercice 4 1) Loi d’Ohm : Ur = r I A.N. I = 1 A 2) Construction de Fresnel : a) U = U r + U B UB 2V U + ϕ UB uB/i ϕ u/i O Ur I Dans le triangle délimité par les trois vecteurs : UB² = U² + Ur² -2UUr cos ϕu/i U² + U r ² − U B ² cos ϕ u / i = = 0,875 2 UU r ϕu/i ≈ +29° Pour des raisons de symétrie : ϕuB/i = 2ϕu/i ≈ +58° axe d'origine des phases b) U B = U R + U L IUT de Nancy-Brabois Fabrice Sincère http://perso.orange.fr/fabrice.sincere/ page 6/8 UB 2V UL ϕ uB/i O I UR UR = UB cos ϕuB/i = 4,25 V U R = R = 4,25 Ω I UL = UB sin ϕuB/i = 6,78 V U L = L = 21,6 mH ωI Exercice 5 Yeq = YR + YL = 1 j − R Lω 2 1 1 Yeq = + R Lω 2 − 1 R ϕu/i = -arg Y = − arctan 1Lω = arctan Lω R Applications numériques IR = U/R = 0,43 mA U IL = = 0,33 mA Lω I = YeqU = 0,54 mA ϕ u/i = +37° ϕ iL/i = ϕ iL/u + ϕ u/i = -90 + 37 = -53° ϕ i/iR = ϕ i /u = -37° R tan ϕ u / i = Lω R Si ϕ u/i = 45° alors =1 Lω R soit : f = = 11,5 kHz 2 πL IUT de Nancy-Brabois Fabrice Sincère http://perso.orange.fr/fabrice.sincere/ page 7/8 Exercice 6 1 Z eq = R + j Lω − Cω 2 1 Z eq = R ² + Lω − Cω 1 Lω − Cω ϕu/i = arg Z = arctan R 1 ϕu/i = 0 ⇒ Lω − =0 et : Zeq = R Cω A la résonance, le circuit a un comportement purement résistif. 1 1 Lω0 − = 0 d’où : ω0 = Cω0 LC 1 I U = ZeqI et : U C = donc : Q = Z eq Cω Cω 1 RCω0 5 A.N. ω0 = 10 rad/s ; Q0 = 22,7 ; UC0 = Q0U = 114 V On dépasse la tension maximale admissible par le condensateur (63 V) : il y a destruction du condensateur (« claquage » du diélectrique). A la résonance : Q 0 = Exercice 7 ( R + jLω)( R − Cjω ) R ² + jR ( Lω − C1ω ) + Z eq = ( R + jLω) //( R − ) = = 2 R + j( Lω − C1ω ) 2 R + j( Lω − C1ω ) R ² + CL 1 LCω² = 1 ⇔ Lω − = 0 et : Z eq = Cω 2R Zeq est un réel positif (pas de partie imaginaire) : arg Zeq = 0 ϕ u/i = 0° : u et i sont en phase. j Cω IUT de Nancy-Brabois Fabrice Sincère L C http://perso.orange.fr/fabrice.sincere/ page 8/8