CI2 : Acquisition et conditionnement des informations FILTRAGE DU SIGNAL COURS Edition 1 - 20/03/2018 FILTRAGE DU SIGNAL CHAÎNE D’INFORMATION ALIMENTER TRAITER DISTRIBUER COMMUNIQUER CONVERTIR TRANSMETTRE ACTION ACQUERIR CHAÎNE D’ENERGIE Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 1/23 CI2 : Acquisition et conditionnement des informations FILTRAGE DU SIGNAL COURS Problématique Edition 1 - 20/03/2018 PROBLEMATIQUE « Les signaux électrique véhiculent des signaux de fréquences très diverses. Afin d’exploiter la bonne information parmi toutes ces fréquences, il est nécessaire de privilégier certaines fréquences et de rejeter les autres. Le filtrage, élément de la chaîne de conditionnement du signal, remplit cette fonction.» B - MODELISER B1 : Identifier et caractériser les grandeurs physiques Identifier la nature de l’information et la nature du signal agissant sur un système Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 2/23 CI2 : Acquisition et conditionnement des informations FILTRAGE DU SIGNAL COURS Sommaire Edition 1 - 20/03/2018 Sommaire A.Généralités! _______________________________________________________________4 A.1.Problématique et classification du filtrage 4 A.2.Types de filtres 4 A.3.Notion de bande passante / bande atténuée 5 A.4.Notion de gabarit de filtre 5 B.Filtres analogiques passifs!__________________________________________________6 B.1.Filtre passe-bas du 1er ordre 6 B.1.1. Fonction de transfert B.1.2. Effets sur un signal électrique B.2.Filtre passe-haut du 1er ordre 8 B.2.1. Fonction de transfert B.2.2. Effets sur un signal électrique B.3.Filtre passe-bas du 2d ordre 10 B.3.1. Premier circuit : Double circuit RC B.3.2. Second circuit : Circuit RLC B.3.3. Forme générale B.4.Filtre passe-haut du 2d ordre 13 B.5.Filtre passe-bande 13 B.5.1. Fonction de transfert B.5.2. Conséquences sur le signal B.5.3. Diagrammes de Bode et gabarit du filtre B.5.4. Recherche de la bande passante B.5.5. Influence du facteur de qualité B.6.Filtre réjecteur de bande (coupe-bande) 17 B.6.1. Fonction de transfert B.6.2. Diagramme de Bode et gabarit du filtre B.7.Détermination rapide de la nature du filtre 19 C.Filtres analogiques actifs!___________________________________________________21 C.1.Filtre passe-bas 21 C.2.Filtre passe-haut 22 C.3.Filtre passe-bande 23 Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 3/23 CI2 : Acquisition et conditionnement des informations FILTRAGE DU SIGNAL COURS Généralités Edition 1 - 20/03/2018 A. Généralités A.1. Problématique et classification du filtrage A l’issue de l’acquisition d’une grandeur physique par un capteur, la chaîne de conditionnement a pour fonction de mettre en forme le signal délivré afin de le rendre exploitable par le bloc de traitement des données. Le signal issu du capteur n’est jamais purement constitué du seul signal utile, mais d’une superposition de plusieurs signaux de fréquences très différentes La chaîne de conditionnement doit permettre de ne transmettre que les informations utiles, en conservant la bande de fréquences véhiculant l’information utile, et en rejetant les autres fréquences : c’est le rôle du filtre. Tous les systèmes électroniques comportent au moins un filtre. Les applications de ces filtres sont très variées : • Acquisition et traitement des données • Communications • Alimentations électriques On distingue les filtres analogiques et les filtres numériques, ces derniers n’étant pas étudiés en CPGE ATS. Parmi les filtres analogiques, nous étudierons les filtres passifs (composés de composants R, L et C) et les filtres actifs (composés des composants R, L, C et ALI). Les outils utilisés dans l’étude des filtres sont les fonctions de transfert complexes, avec leurs diagrammes de Bode associés. A.2. Types de filtres L’objectif du filtrage est de conserver une bande de fréquence particulière. Il peut s’agit : • des fréquences inférieures à un seuil : filtre passe-bas • des fréquences supérieures à un seuil : filtre passe-haut • des fréquences comprises entre deux seuils : filtre passe-bande • de toutes les fréquences à l’exception d’une bande : filtre réjecteur de bande Notes Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 4/23 CI2 : Acquisition et conditionnement des informations FILTRAGE DU SIGNAL COURS Généralités Edition 1 - 20/03/2018 A.3. Notion de bande passante / bande atténuée L’étude du comportement harmonique d’un filtre fait apparaître un gain maximal GdBMAX Nous appellerons bande passante d’un filtre l’ensemble des fréquences telles que le gain du filtre pour ces fréquences est supérieure ou égal à GdBMAX − 3 GdBMAX GdBMAX − 3dB Bande passante Les fréquences rejetées sont regroupées dans la bande atténuée A.4. Notion de gabarit de filtre fc Gc Ga fa Un filtre idéal devrait rendre infini le gain dans la bande passante, et nul dans la bande atténuée. Un tel filtre n’est toutefois pas réalisable en pratique. Il faut donc définir un gain GMAX et GMIN tels que : • les gains du filtre dans la bande passante doivent vérifier G > Gc • les gains du filtre dans la bande atténuée doivent vérifier G < Ga On définit ainsi des zones impératives et des zones interdites dans lesquelles doivent obligatoirement se trouver la réponse fréquentielle du filtre. On appelle gabarit d’un filtre la représentation schématique de ces zones. Le gabarit ci-dessus est un exemple de gabarit de filtre passe-bas. Notes Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 5/23 CI2 : Acquisition et conditionnement des informations FILTRAGE DU SIGNAL COURS Filtres analogiques passifs Edition 1 - 20/03/2018 B. Filtres analogiques passifs B.1. Filtre passe-bas du 1er ordre B.1.1. Fonction de transfert On applique sur le circuit ci-contre le principe du pont diviseur de tension : Vs = ZC ZC + Z R Ve avec ZC = 1 et Z R = R jCω Ve La fonction de transfert s’écrit donc : Vs Ve = 1 1+ jRCω Vs ou encore Ve = R C Vs 1 ⎛ω ⎞ 1+ j ⎜ ⎟ ⎝ ω0 ⎠ Il s’agit d’une fonction du 1er ordre, dont : * le gain vaut GdB = 20 log 1 1+ (RCω ) 2 = −10 log (1+ (RCω )2 ) * la pulsation de cassure, qui est également la pulsation de coupure, est ω 0 = 1 / RC Pulsation de coupure -3 dB Gabarit Gabarit Pente -20 dB/decade La fréquence de coupure de ce filtre est donc fc = 2 π / ω 0 Notes Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 6/23 CI2 : Acquisition et conditionnement des informations FILTRAGE DU SIGNAL COURS Filtres analogiques passifs Edition 1 - 20/03/2018 B.1.2. Effets sur un signal électrique Le filtre passe-bas est particulièrement efficace pour éliminer les bruits d’une mesure Considérons le signal ci-dessous : Il est constitué de la superposition de 4 signaux sinusoïdaux différents, tel que le montre le spectre de Fourier ci-contre : Un filtre passe-bas de pulsation propre 20 rad/s délivrera le signal filtré suivant : Notes Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 7/23 CI2 : Acquisition et conditionnement des informations FILTRAGE DU SIGNAL COURS Filtres analogiques passifs Edition 1 - 20/03/2018 B.2. Filtre passe-haut du 1er ordre B.2.1. Fonction de transfert On considère à présent le circuit ci-contre, sur lequel on appliquera une nouvelle fois le principe du pont diviseur de tension : Vs = ZR ZC + Z R Ve Ve C R Vs La fonction de transfert s’écrit alors : Vs jRCω = Ve 1+ jRCω ω Vs ω0 ou encore = Ve 1+ j ω ω0 j Il s’agit encore d’une fonction du 1er ordre, dont : * le gain vaut GdB = 20 log ω / ω0 1+ (ω / ω 0 )2 * la pulsation de cassure est ω 0 = 1 / RC Pulsation de coupure -3 dB Gabarit Gabarit Pente +20 dB/decade Notes Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 8/23 CI2 : Acquisition et conditionnement des informations FILTRAGE DU SIGNAL COURS Filtres analogiques passifs Edition 1 - 20/03/2018 B.2.2. Effets sur un signal électrique Le filtre passe-haut permet de ne conserver que les fréquences élevées d’un signal. Pour le signal brut précédent, l’application d’un filtre passe-haut de pulsation de coupure 200 rad/s délivre le signal filtré ci-contre. L’ensemble des basse et moyenne fréquences ont été rejetées. Ce filtre est utile lorsqu’il s’agit par exemple de corriger les dérives lentes d’un capteur, pour ne fournir que le signal utile. Il permet également de supprimer la compostante continue des signaux, comme le montre la figure cidessous, dans laquelle la composante continue du signal d’entrée a été supprimée. Le déphasage de +90° est également visible. Notes Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 9/23 CI2 : Acquisition et conditionnement des informations FILTRAGE DU SIGNAL COURS Filtres analogiques passifs Edition 1 - 20/03/2018 B.3. Filtre passe-bas du 2d ordre B.3.1. Premier circuit : Double circuit RC Soit le circuit suivant : R1 R2 Ve ω 01 VC1 C1 C2 Vs Il est constitué de 2 filtres passe-bas du 1er ordre, dont les pulsations de coupure sont respectivement = 1 / R1C1 et ω 02 = 1 / R2C2 Le comportement de ce filtre peut s’étudier en étudiant chacun des filtres successivement. VC1 Ve Vs VC1 = = 1 ω 1+ j ω 01 1 1+ j ω ω 02 avec ω 01 = 1 / R1C1 avec ω 02 = 1 / R2C2 On en déduit alors la fonction de transfert globale : Vs Ve = 1 1 = ⎛ ⎛ 1 ω ⎞⎛ ω ⎞ 1 ⎞ ω2 ⎜⎜1+ j ⎟⎟⎜⎜1+ j ⎟⎟ 1+ jω ⎜⎜ ⎟⎟ − + ω 01 ⎠⎝ ω 02 ⎠ ⎝ ⎝ ω 01 ω 02 ⎠ ω 01ω 02 Il s’agit d’une fonction du second ordre, dont les pulsations de cassure sont ω 01 et ω 02 Notes Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 10/23 CI2 : Acquisition et conditionnement des informations FILTRAGE DU SIGNAL COURS Filtres analogiques passifs Edition 1 - 20/03/2018 Le diagramme de Bode de ce filtre est également déduit des diagrammes de chacun des filtres du 1er ordre : Le filtrage est plus efficace avec un filtre du second ordre. Les réponses ci-dessous montrent l’application d’un filtre du 1er ordre et d’un filtre du second ordre dont les pulsations de coupure sont identiques. Notes Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 11/23 CI2 : Acquisition et conditionnement des informations FILTRAGE DU SIGNAL COURS Filtres analogiques passifs Edition 1 - 20/03/2018 B.3.2. Second circuit : Circuit RLC Considérons à présent le circuit RLC suivant : R L Ve C Vs En appliquant le pont diviseur de tension, on obtient : Vs Ve = 1 jCω 1 + R + jLω jCω = 1 1+ jRCω − LCω 2 Cette fonction de transfert peut se mettre sous la forme suivante : Vs Ve = 1 2 R C ω ⎛ω ⎞ 1+ 2 j −⎜ ⎟ 2 L ω0 ⎝ ω0 ⎠ Le comportement de ce second circuit est similaire au premier circuit B.3.3. Forme générale Les fonctions de transfert des filtres passe-bas du second ordre auront toujours la forme suivante : Vs Ve = K 2 2m ( jω ) ⎛ ω ⎞ 1+ +⎜ j ⎟ ω0 ⎝ ω0 ⎠ ω 0 est la pulsation propre du filtre m est son facteur d’amortissement K est son gain statique Notes Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 12/23 CI2 : Acquisition et conditionnement des informations FILTRAGE DU SIGNAL COURS Filtres analogiques passifs Edition 1 - 20/03/2018 B.4. Filtre passe-haut du 2d ordre Soit le circuit suivant : R C Ve L Vs Sa fonction de transfert est : 2 Vs LC ( jω ) jLω = = Ve jLω + 1 + R 1+ jRCω + LC ( jω )2 jCω Les fonctions de transfert des filtres passe-haut du second ordre auront toujours la forme suivante : 2 ⎛ ω⎞ K⎜j ⎟ Vs ⎝ ω0 ⎠ = 2 Ve 2m ( jω ) ⎛ ω ⎞ 1+ +⎜ j ⎟ ω0 ⎝ ω0 ⎠ B.5. Filtre passe-bande B.5.1. Fonction de transfert R1 Associer en série un filtre passif passe-bas et un filtre passe-haut revient à construire un filtre passe-bande : Ve C2 C1 VC1 R2 Vs (Notons qu’il existe d’autres structures de filtres passe-bande) Notes Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 13/23 CI2 : Acquisition et conditionnement des informations FILTRAGE DU SIGNAL COURS Filtres analogiques passifs Edition 1 - 20/03/2018 La fonction de transfert d’un filtre passe-bande est souvent exprimée comme suit : Vs Ve = K ⎛ω ω ⎞ 1+ jQ ⎜ − 0 ⎟ ⎝ ω0 ω ⎠ où Q= 1 est appelé facteur de qualité 2m Mais on peut également trouver la forme plus classique en SII : ω ω0 = 2 Ve 2mω ⎛ ω ⎞ 1+ j +⎜ j ⎟ ω0 ⎝ ω0 ⎠ Vs jK B.5.2. Conséquences sur le signal Ce filtre conserve les composantes des fréquences centrées sur une certaine valeur, avec une bande passante plus ou moins étendue. Par exemple, un filtre passe-bande centré sur la −1 pulsation ω 0 = 20 rad.s appliqué au signal du B.2.2 délivre le signal ci-contre. Il conserve uniquement la composante de la pulsation concernée, en excluant les autres bandes de fréquence. Notes Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 14/23 CI2 : Acquisition et conditionnement des informations FILTRAGE DU SIGNAL COURS Filtres analogiques passifs Edition 1 - 20/03/2018 B.5.3. Diagrammes de Bode et gabarit du filtre GdBMAX GdBMAX − 3dB Bande passante Gabarit Gabarit Gabarit ω cB ω cH B.5.4. Recherche de la bande passante La bande passante est définie par la bande de fréquence pour laquelle le gain est supérieur ou égal à GdBMAX − 3dB La méthode de détermination de la bande passante d’un filtre passe-bande est : 1. Recherche de la pulsation propre 2. Résolution de G(ω ) = ω 0 telle que G(ω 0 ) est maximal : GMAX GMAX 2 Notes Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 15/23 CI2 : Acquisition et conditionnement des informations FILTRAGE DU SIGNAL COURS Filtres analogiques passifs Edition 1 - 20/03/2018 B.5.5. Influence du facteur de qualité Le facteur de qualité traduit la sélectivité du filtre autour de la fréquence de coupure. Plus le facteur de qualité est élevé, plus le filtre est sélectif, ainsi que le montre les diagrammes de Bode de gain ci-dessous : Q=20 Q=10 Q=5 Q=2 Q=1 Notes Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 16/23 CI2 : Acquisition et conditionnement des informations FILTRAGE DU SIGNAL COURS Filtres analogiques passifs Edition 1 - 20/03/2018 B.6. Filtre réjecteur de bande (coupe-bande) B.6.1. Fonction de transfert R1 Le circuit ci-contre représente un exemple de filtre réjecteur de bande. C1 Appliquons le théorème de Millmann en A : VA = VR2 = ( jC1ω )Ve + ( jC2ω )Vs ( jR2C1ω )Ve + ( jR2C2ω )Vs = 1 1+ jR2 (C1 + C2 ) ω jC1ω + jC2ω + Ve C2 A R2 VR2 B Vs R2 (1) Appliquons maintenant le théorème de Millmann en B : 1 Ve ( jR1C2ω )VR2 +Ve R1 = (2) 1 1+ jR C ω 1 2 jC2ω + R1 ( jC2ω )VR 2 VB = Vs = + Dans le cas particulier où (1+ jRCω )VR 2 C1 = C2 = C , R1 = 2R et R2 = R / 2 , on tire de l’équation (1) : ⎛ R ⎞ ⎛ R ⎞ = ⎜ j Cω ⎟Ve + ⎜ j Cω ⎟Vs ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ R Cω VR2 = 2 Ve +Vs 1+ jRCω j ( ) Expression que l’on exploite alors dans (2) : R Cω Ve +Vs +Ve (1+ j2RCω )Vs = ( j2RCω )VR2 +Vs = ( j2RCω ) 2 1+ jRCω j (1+ j2RCω ) (1+ jRCω )Vs = ( jRCω ) 2 ( ) (V +V ) + (1+ jRCω )V e s e ⎡(1+ 2 jRCω ) (1+ jRCω ) − ( jRCω )2 ⎤V = ⎡( jRCω )2 + (1+ jRCω )⎤V ⎣ ⎦ s ⎣ ⎦ e Notes Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 17/23 CI2 : Acquisition et conditionnement des informations FILTRAGE DU SIGNAL COURS Filtres analogiques passifs Edition 1 - 20/03/2018 Soit finalement la fonction de transfert du filtre : Vs Ve = 1+ jRCω + ( jRCω ) 2 1+ 3 jRCω + ( jRCω ) 2 B.6.2. Diagramme de Bode et gabarit du filtre GdBMAX Gabarit GdBMAX − 3dB Bande passante Bande passante Gabarit Gabarit Notes Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 18/23 CI2 : Acquisition et conditionnement des informations FILTRAGE DU SIGNAL COURS Filtres analogiques passifs Edition 1 - 20/03/2018 B.7. Détermination rapide de la nature du filtre Avant de mener une étude détaillée d’un filtre, et ainsi connaître sa fonction, il est possible dans la majorité des cas d’identifier sa nature par une étude de son modèle équivalent à basse et haute fréquence. Il faut pour cela exploiter les équivalences suivantes : • une bobine est assimilable à basse fréquence à un interrupteur fermé, et à haute fréquence à un interrupteur ouvert • un condensateur est assimilable à basse fréquence à un interrupteur ouvert, et à haute fréquence à un interrupteur fermé Composant Equivalence BF Equivalence HF Avec cette équivalence, l’étude du comportement à basse et haute fréquence d’un permet d’identifier sa fonction : Composant Equivalence BF Equivalence HF Type de filtre Vs ≈ Ve HF : Vs = 0 BF : FILTRE PASSE-BAS Vs = 0 HF : Vs = Ve BF : FILTRE PASSE-HAUT Notes Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 19/23 CI2 : Acquisition et conditionnement des informations Composant FILTRAGE DU SIGNAL COURS Filtres analogiques passifs Edition 1 - 20/03/2018 Equivalence BF Equivalence HF Type de filtre Vs ≈ Ve HF : Vs = 0 BF : FILTRE PASSE-BAS Vs = 0 HF : Vs ≈ Ve BF : FILTRE PASSE-HAUT Vs = 0 HF : Vs = 0 BF : FILTRE PASSE-BANDE Vs ≈ Ve HF : Vs = Ve BF : FILTRE COUPE-BANDE Notes Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 20/23 CI2 : Acquisition et conditionnement des informations FILTRAGE DU SIGNAL COURS Filtres analogiques actifs Edition 1 - 20/03/2018 C. Filtres analogiques actifs Les filtres analogiques peuvent exploiter les propriétés des Amplificateurs Linéaires Intégrés (ALI). Ils permettent de ne plus avoir recours aux bobines, composants encombrants et onéreux. En contrepartie, les filtres actifs nécessitent une alimentation électrique, contrairement aux filtres passifs. Dans les études qui vont suivre, l’ALI sera systématiquement supposé parfait. C.1. Filtre passe-bas R2 Il existe une boucle de réaction sur l’entrée inverseuse, l’ALI fonctionne donc en mode linéaire R1 Le signal est relié à l’entrée inverseuse, le montage est donc un montage inverseur C Appliquons le théorème de Millmann sur E- : ⎛1 ⎞ 1 Ve + ⎜ + jCω ⎟Vs R2 Ve + ( R1 + jR1 R2Cω ) Vs R ⎝ R2 ⎠ V− = 1 = 1 1 R1 + R2 + jR1 R2Cω + + jCω R1 R2 V− = - Ve ∞ ε + Vs R2 Ve + ( R1 + jR1 R2Cω ) Vs R1 + R2 + jR1 R2Cω L’ALI étant supposé parfait, on tire Alors V− =V+ = 0 R2 Ve + ( R1 + jR1 R2Cω ) Vs = 0 D’où on tire finalement la fonction de transfert : Vs Ve =− R2 R /R =− 2 1 R1 + jR1 R2Cω 1+ jR2Cω Notes Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 21/23 CI2 : Acquisition et conditionnement des informations FILTRAGE DU SIGNAL COURS Filtres analogiques actifs Edition 1 - 20/03/2018 Il s’agit bien ici d’un filtre passe-bas du 1er ordre, de pulsation de cassure ω0 = 1 R2C C.2. Filtre passe-haut Il existe une boucle de réaction sur l’entrée inverseuse, l’ALI fonctionne donc en mode linéaire Le signal est relié à l’entrée inverseuse, le montage est donc un montage inverseur Appliquons le théorème de Millmann sur E- : R1 C R2 - Ve ε + Vs ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 1 1 ⎟Ve Vs + ⎜ R2 ⎜⎜ R + 1 ⎟⎟ 1 (1+ jR1Cω )Vs + jR2CωVe jCω ⎠ ⎝ − V = = 1 1 1+ j ( R1 + R2 ) Cω + 1 R2 R + 1 jCω L’ALI étant supposé parfait, on tire Alors ∞ V− =V+ = 0 (1+ jR1Cω )Vs + jR2CωVe = 0 D’où on tire finalement la fonction de transfert : Vs Ve =− jR2Cω 1+ jR1Cω Il s’agit bien ici d’un filtre passe-haut du 1er ordre, de pulsation de cassure ω 0 = 1 R1C Notes Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 22/23 CI2 : Acquisition et conditionnement des informations FILTRAGE DU SIGNAL COURS Filtres analogiques actifs Edition 1 - 20/03/2018 C.3. Filtre passe-bande C Il existe une boucle de réaction sur l’entrée inverseuse, l’ALI fonctionne donc en mode linéaire R C R Le signal est relié à l’entrée inverseuse, le montage est donc un montage inverseur Appliquons le théorème de Millmann sur E- : - ∞ ε Ve + Vs ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛1 ⎞ 1 ⎜ ⎟Ve + ⎜ + jCω ⎟Vs ⎛ jRCω ⎞ ⎝R ⎠ ⎜⎜ R + 1 ⎟⎟ ⎜ ⎟Ve + (1+ jRCω ) Vs jRCωV + 1+ jRCω 2 V ( ) s jCω ⎠ ⎝ ⎝ 1+ jRCω ⎠ e − V = = = 2 1 1 jRCω jRCω + (1+ jRCω ) + + jCω +1+ jRCω 1 R 1+ jRCω R+ jCω V− =V+ = 0 L’ALI étant supposé parfait, on tire Alors 2 jRCωVe + (1+ jRCω ) Vs = 0 D’où on tire finalement la fonction de transfert : Vs Ve =− jRCω 2 (1+ jRCω ) Il s’agit bien ici d’un filtre passe-bande, de pulsation de cassure ω 0 = 1 RC Notes Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 23/23
