Telechargé par rabiaa.gadal-etu

les filtres

publicité
CI2 : Acquisition et conditionnement des informations
FILTRAGE DU SIGNAL
COURS
Edition 1 - 20/03/2018
FILTRAGE DU SIGNAL
CHAÎNE D’INFORMATION
ALIMENTER
TRAITER
DISTRIBUER
COMMUNIQUER
CONVERTIR
TRANSMETTRE
ACTION
ACQUERIR
CHAÎNE D’ENERGIE
Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes
[email protected]
1/23
CI2 : Acquisition et conditionnement des informations
FILTRAGE DU SIGNAL
COURS
Problématique
Edition 1 - 20/03/2018
PROBLEMATIQUE
« Les signaux électrique véhiculent des signaux de
fréquences très diverses. Afin d’exploiter la bonne
information parmi toutes ces fréquences, il est nécessaire de
privilégier certaines fréquences et de rejeter les autres.
Le filtrage, élément de la chaîne de conditionnement du
signal, remplit cette fonction.»
B - MODELISER
B1 : Identifier et caractériser les grandeurs physiques Identifier la nature de l’information et la nature du signal
agissant sur un système
Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes
[email protected]
2/23
CI2 : Acquisition et conditionnement des informations
FILTRAGE DU SIGNAL
COURS
Sommaire
Edition 1 - 20/03/2018
Sommaire
A.Généralités! _______________________________________________________________4
A.1.Problématique et classification du filtrage
4
A.2.Types de filtres
4
A.3.Notion de bande passante / bande atténuée
5
A.4.Notion de gabarit de filtre
5
B.Filtres analogiques passifs!__________________________________________________6
B.1.Filtre passe-bas du 1er ordre
6
B.1.1. Fonction de transfert
B.1.2. Effets sur un signal électrique
B.2.Filtre passe-haut du 1er ordre
8
B.2.1. Fonction de transfert
B.2.2. Effets sur un signal électrique
B.3.Filtre passe-bas du 2d ordre
10
B.3.1. Premier circuit : Double circuit RC
B.3.2. Second circuit : Circuit RLC
B.3.3. Forme générale
B.4.Filtre passe-haut du 2d ordre
13
B.5.Filtre passe-bande
13
B.5.1. Fonction de transfert
B.5.2. Conséquences sur le signal
B.5.3. Diagrammes de Bode et gabarit du filtre
B.5.4. Recherche de la bande passante
B.5.5. Influence du facteur de qualité
B.6.Filtre réjecteur de bande (coupe-bande)
17
B.6.1. Fonction de transfert
B.6.2. Diagramme de Bode et gabarit du filtre
B.7.Détermination rapide de la nature du filtre
19
C.Filtres analogiques actifs!___________________________________________________21
C.1.Filtre passe-bas
21
C.2.Filtre passe-haut
22
C.3.Filtre passe-bande
23
Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes
[email protected]
3/23
CI2 : Acquisition et conditionnement des informations
FILTRAGE DU SIGNAL
COURS
Généralités
Edition 1 - 20/03/2018
A. Généralités
A.1. Problématique et classification du filtrage
A l’issue de l’acquisition d’une grandeur physique par un capteur, la chaîne de conditionnement a pour
fonction de mettre en forme le signal délivré afin de le rendre exploitable par le bloc de traitement des données.
Le signal issu du capteur n’est jamais purement constitué du seul signal utile, mais d’une superposition de
plusieurs signaux de fréquences très différentes
La chaîne de conditionnement doit permettre de ne transmettre que les informations utiles, en conservant la
bande de fréquences véhiculant l’information utile, et en rejetant les autres fréquences : c’est le rôle du filtre.
Tous les systèmes électroniques comportent au moins un filtre. Les applications de ces filtres sont très
variées :
• Acquisition et traitement des données
• Communications
• Alimentations électriques
On distingue les filtres analogiques et les filtres numériques, ces derniers n’étant pas étudiés en CPGE ATS.
Parmi les filtres analogiques, nous étudierons les filtres passifs (composés de composants R, L et C) et les
filtres actifs (composés des composants R, L, C et ALI).
Les outils utilisés dans l’étude des filtres sont les fonctions de transfert complexes, avec leurs diagrammes de
Bode associés.
A.2. Types de filtres
L’objectif du filtrage est de conserver une bande de fréquence particulière. Il peut s’agit :
• des fréquences inférieures à un seuil : filtre passe-bas
• des fréquences supérieures à un seuil : filtre passe-haut
• des fréquences comprises entre deux seuils : filtre passe-bande
• de toutes les fréquences à l’exception d’une bande : filtre réjecteur de bande
Notes
Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes
[email protected]
4/23
CI2 : Acquisition et conditionnement des informations
FILTRAGE DU SIGNAL
COURS
Généralités
Edition 1 - 20/03/2018
A.3. Notion de bande passante / bande atténuée
L’étude du comportement harmonique d’un filtre fait apparaître un gain maximal
GdBMAX
Nous appellerons bande passante d’un filtre l’ensemble des fréquences telles que le gain du filtre pour ces
fréquences est supérieure ou égal à GdBMAX − 3
GdBMAX
GdBMAX − 3dB
Bande passante
Les fréquences rejetées sont regroupées dans la bande atténuée
A.4. Notion de gabarit de filtre
fc
Gc
Ga
fa
Un filtre idéal devrait rendre infini le gain dans la bande
passante, et nul dans la bande atténuée. Un tel filtre n’est
toutefois pas réalisable en pratique. Il faut donc définir un
gain GMAX et GMIN tels que :
• les gains du filtre dans la bande passante doivent
vérifier G > Gc
• les gains du filtre dans la bande atténuée doivent
vérifier G < Ga
On définit ainsi des zones impératives et des zones
interdites dans lesquelles doivent obligatoirement se trouver
la réponse fréquentielle du filtre.
On appelle gabarit d’un filtre la représentation schématique de ces zones. Le gabarit ci-dessus est un
exemple de gabarit de filtre passe-bas.
Notes
Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes
[email protected]
5/23
CI2 : Acquisition et conditionnement des informations
FILTRAGE DU SIGNAL
COURS
Filtres analogiques passifs
Edition 1 - 20/03/2018
B. Filtres analogiques passifs
B.1. Filtre passe-bas du 1er ordre
B.1.1. Fonction de transfert
On applique sur le circuit ci-contre le principe du pont diviseur de tension :
Vs =
ZC
ZC + Z R
Ve avec ZC =
1
et Z R = R
jCω
Ve
La fonction de transfert s’écrit donc :
Vs
Ve
=
1
1+ jRCω
Vs
ou encore
Ve
=
R
C
Vs
1
⎛ω ⎞
1+ j ⎜ ⎟
⎝ ω0 ⎠
Il s’agit d’une fonction du 1er ordre, dont :
* le gain vaut
GdB = 20 log
1
1+ (RCω )
2
= −10 log (1+ (RCω )2 )
* la pulsation de cassure, qui est également la pulsation de coupure, est ω 0
= 1 / RC
Pulsation de coupure
-3 dB
Gabarit
Gabarit
Pente -20 dB/decade
La fréquence de coupure de ce filtre est donc
fc = 2 π / ω 0
Notes
Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes
[email protected]
6/23
CI2 : Acquisition et conditionnement des informations
FILTRAGE DU SIGNAL
COURS
Filtres analogiques passifs
Edition 1 - 20/03/2018
B.1.2. Effets sur un signal électrique
Le filtre passe-bas est particulièrement efficace pour éliminer les bruits d’une mesure
Considérons le signal ci-dessous :
Il est constitué de la superposition de 4 signaux sinusoïdaux
différents, tel que le montre le spectre de Fourier ci-contre :
Un filtre passe-bas de pulsation propre 20 rad/s délivrera le signal
filtré suivant :
Notes
Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes
[email protected]
7/23
CI2 : Acquisition et conditionnement des informations
FILTRAGE DU SIGNAL
COURS
Filtres analogiques passifs
Edition 1 - 20/03/2018
B.2. Filtre passe-haut du 1er ordre
B.2.1. Fonction de transfert
On considère à présent le circuit ci-contre, sur lequel on appliquera une
nouvelle fois le principe du pont diviseur de tension :
Vs =
ZR
ZC + Z R
Ve
Ve
C
R
Vs
La fonction de transfert s’écrit alors :
Vs
jRCω
=
Ve 1+ jRCω
ω
Vs
ω0
ou encore
=
Ve 1+ j ω
ω0
j
Il s’agit encore d’une fonction du 1er ordre, dont :
* le gain vaut
GdB = 20 log
ω / ω0
1+ (ω / ω 0 )2
* la pulsation de cassure est ω 0
= 1 / RC
Pulsation de coupure
-3 dB
Gabarit
Gabarit
Pente +20 dB/decade
Notes
Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes
[email protected]
8/23
CI2 : Acquisition et conditionnement des informations
FILTRAGE DU SIGNAL
COURS
Filtres analogiques passifs
Edition 1 - 20/03/2018
B.2.2. Effets sur un signal électrique
Le filtre passe-haut permet de ne conserver que les
fréquences élevées d’un signal. Pour le signal brut
précédent, l’application d’un filtre passe-haut de
pulsation de coupure 200 rad/s délivre le signal filtré
ci-contre.
L’ensemble des basse et moyenne fréquences ont été
rejetées.
Ce filtre est utile lorsqu’il s’agit par exemple de corriger
les dérives lentes d’un capteur, pour ne fournir que le
signal utile.
Il permet également de supprimer la compostante
continue des signaux, comme le montre la figure cidessous, dans laquelle la composante continue du signal
d’entrée a été supprimée. Le déphasage de +90° est
également visible.
Notes
Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes
[email protected]
9/23
CI2 : Acquisition et conditionnement des informations
FILTRAGE DU SIGNAL
COURS
Filtres analogiques passifs
Edition 1 - 20/03/2018
B.3. Filtre passe-bas du 2d ordre
B.3.1. Premier circuit : Double circuit RC
Soit le circuit suivant :
R1
R2
Ve
ω 01
VC1
C1
C2
Vs
Il est constitué de 2 filtres passe-bas du 1er ordre, dont les pulsations de coupure sont respectivement
= 1 / R1C1 et ω 02 = 1 / R2C2
Le comportement de ce filtre peut s’étudier en étudiant chacun des filtres successivement.
VC1
Ve
Vs
VC1
=
=
1
ω
1+ j
ω 01
1
1+ j
ω
ω 02
avec
ω 01 = 1 / R1C1
avec
ω 02 = 1 / R2C2
On en déduit alors la fonction de transfert globale :
Vs
Ve
=
1
1
=
⎛
⎛ 1
ω ⎞⎛
ω ⎞
1 ⎞
ω2
⎜⎜1+ j
⎟⎟⎜⎜1+ j
⎟⎟ 1+ jω ⎜⎜
⎟⎟ −
+
ω 01 ⎠⎝
ω 02 ⎠
⎝
⎝ ω 01 ω 02 ⎠ ω 01ω 02
Il s’agit d’une fonction du second ordre, dont les pulsations de cassure sont
ω 01 et ω 02
Notes
Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes
[email protected]
10/23
CI2 : Acquisition et conditionnement des informations
FILTRAGE DU SIGNAL
COURS
Filtres analogiques passifs
Edition 1 - 20/03/2018
Le diagramme de Bode de ce filtre est également déduit des diagrammes de chacun des filtres du 1er ordre :
Le filtrage est plus efficace avec un filtre
du second ordre. Les réponses ci-dessous
montrent l’application d’un filtre du 1er ordre et
d’un filtre du second ordre dont les pulsations
de coupure sont identiques.
Notes
Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes
[email protected]
11/23
CI2 : Acquisition et conditionnement des informations
FILTRAGE DU SIGNAL
COURS
Filtres analogiques passifs
Edition 1 - 20/03/2018
B.3.2. Second circuit : Circuit RLC
Considérons à présent le circuit RLC suivant :
R
L
Ve
C
Vs
En appliquant le pont diviseur de tension, on obtient :
Vs
Ve
=
1
jCω
1
+ R + jLω
jCω
=
1
1+ jRCω − LCω 2
Cette fonction de transfert peut se mettre sous la forme suivante :
Vs
Ve
=
1
2
R C ω ⎛ω ⎞
1+ 2
j −⎜ ⎟
2 L ω0 ⎝ ω0 ⎠
Le comportement de ce second circuit est similaire au premier circuit
B.3.3. Forme générale
Les fonctions de transfert des filtres passe-bas du second ordre auront toujours la forme suivante :
Vs
Ve
=
K
2
2m ( jω ) ⎛ ω ⎞
1+
+⎜ j ⎟
ω0
⎝ ω0 ⎠
ω 0 est la pulsation propre du filtre
m est son facteur d’amortissement
K est son gain statique
Notes
Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes
[email protected]
12/23
CI2 : Acquisition et conditionnement des informations
FILTRAGE DU SIGNAL
COURS
Filtres analogiques passifs
Edition 1 - 20/03/2018
B.4. Filtre passe-haut du 2d ordre
Soit le circuit suivant :
R
C
Ve
L
Vs
Sa fonction de transfert est :
2
Vs
LC ( jω )
jLω
=
=
Ve jLω + 1 + R 1+ jRCω + LC ( jω )2
jCω
Les fonctions de transfert des filtres passe-haut du second ordre auront toujours la forme suivante :
2
⎛ ω⎞
K⎜j ⎟
Vs
⎝ ω0 ⎠
=
2
Ve
2m ( jω ) ⎛ ω ⎞
1+
+⎜ j ⎟
ω0
⎝ ω0 ⎠
B.5. Filtre passe-bande
B.5.1. Fonction de transfert
R1
Associer en série un filtre passif passe-bas et un filtre
passe-haut revient à construire un filtre passe-bande :
Ve
C2
C1
VC1
R2
Vs
(Notons qu’il existe d’autres structures de filtres passe-bande)
Notes
Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes
[email protected]
13/23
CI2 : Acquisition et conditionnement des informations
FILTRAGE DU SIGNAL
COURS
Filtres analogiques passifs
Edition 1 - 20/03/2018
La fonction de transfert d’un filtre passe-bande est souvent exprimée comme suit :
Vs
Ve
=
K
⎛ω ω ⎞
1+ jQ ⎜ − 0 ⎟
⎝ ω0 ω ⎠
où
Q=
1
est appelé facteur de qualité
2m
Mais on peut également trouver la forme plus classique en SII :
ω
ω0
=
2
Ve
2mω ⎛ ω ⎞
1+ j
+⎜ j ⎟
ω0 ⎝ ω0 ⎠
Vs
jK
B.5.2. Conséquences sur le signal
Ce filtre conserve les composantes des fréquences centrées sur une certaine valeur, avec une bande passante
plus ou moins étendue.
Par exemple, un filtre passe-bande centré sur la
−1
pulsation ω 0 = 20 rad.s
appliqué au signal du B.2.2
délivre le signal ci-contre.
Il conserve uniquement la composante de la pulsation
concernée, en excluant les autres bandes de fréquence.
Notes
Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes
[email protected]
14/23
CI2 : Acquisition et conditionnement des informations
FILTRAGE DU SIGNAL
COURS
Filtres analogiques passifs
Edition 1 - 20/03/2018
B.5.3. Diagrammes de Bode et gabarit du filtre
GdBMAX
GdBMAX − 3dB
Bande passante
Gabarit
Gabarit
Gabarit
ω cB
ω cH
B.5.4. Recherche de la bande passante
La bande passante est définie par la bande de fréquence pour laquelle le gain est supérieur ou égal à
GdBMAX − 3dB
La méthode de détermination de la bande passante d’un filtre passe-bande est :
1. Recherche de la pulsation propre
2. Résolution de
G(ω ) =
ω 0 telle que G(ω 0 ) est maximal : GMAX
GMAX
2
Notes
Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes
[email protected]
15/23
CI2 : Acquisition et conditionnement des informations
FILTRAGE DU SIGNAL
COURS
Filtres analogiques passifs
Edition 1 - 20/03/2018
B.5.5. Influence du facteur de qualité
Le facteur de qualité traduit la sélectivité du filtre autour de la fréquence de coupure. Plus le facteur de qualité
est élevé, plus le filtre est sélectif, ainsi que le montre les diagrammes de Bode de gain ci-dessous :
Q=20
Q=10
Q=5
Q=2
Q=1
Notes
Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes
[email protected]
16/23
CI2 : Acquisition et conditionnement des informations
FILTRAGE DU SIGNAL
COURS
Filtres analogiques passifs
Edition 1 - 20/03/2018
B.6. Filtre réjecteur de bande (coupe-bande)
B.6.1. Fonction de transfert
R1
Le circuit ci-contre représente un exemple de filtre réjecteur
de bande.
C1
Appliquons le théorème de Millmann en A :
VA = VR2 =
( jC1ω )Ve + ( jC2ω )Vs ( jR2C1ω )Ve + ( jR2C2ω )Vs
=
1
1+ jR2 (C1 + C2 ) ω
jC1ω + jC2ω +
Ve
C2
A
R2
VR2
B
Vs
R2
(1)
Appliquons maintenant le théorème de Millmann en B :
1
Ve
( jR1C2ω )VR2 +Ve
R1
=
(2)
1
1+
jR
C
ω
1
2
jC2ω +
R1
( jC2ω )VR
2
VB = Vs =
+
Dans le cas particulier où
(1+ jRCω )VR
2
C1 = C2 = C , R1 = 2R et R2 = R / 2 , on tire de l’équation (1) :
⎛ R
⎞
⎛ R
⎞
= ⎜ j Cω ⎟Ve + ⎜ j Cω ⎟Vs
⎝ 2
⎠
⎝ 2
⎠
R
Cω
VR2 = 2
Ve +Vs
1+ jRCω
j
(
)
Expression que l’on exploite alors dans (2) :
R
Cω
Ve +Vs +Ve
(1+ j2RCω )Vs = ( j2RCω )VR2 +Vs = ( j2RCω ) 2
1+ jRCω
j
(1+ j2RCω ) (1+ jRCω )Vs = ( jRCω )
2
(
)
(V +V ) + (1+ jRCω )V
e
s
e
⎡(1+ 2 jRCω ) (1+ jRCω ) − ( jRCω )2 ⎤V = ⎡( jRCω )2 + (1+ jRCω )⎤V
⎣
⎦ s ⎣
⎦ e
Notes
Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes
[email protected]
17/23
CI2 : Acquisition et conditionnement des informations
FILTRAGE DU SIGNAL
COURS
Filtres analogiques passifs
Edition 1 - 20/03/2018
Soit finalement la fonction de transfert du filtre :
Vs
Ve
=
1+ jRCω + ( jRCω )
2
1+ 3 jRCω + ( jRCω )
2
B.6.2. Diagramme de Bode et gabarit du filtre
GdBMAX
Gabarit
GdBMAX − 3dB
Bande passante
Bande passante
Gabarit
Gabarit
Notes
Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes
[email protected]
18/23
CI2 : Acquisition et conditionnement des informations
FILTRAGE DU SIGNAL
COURS
Filtres analogiques passifs
Edition 1 - 20/03/2018
B.7. Détermination rapide de la nature du filtre
Avant de mener une étude détaillée d’un filtre, et ainsi connaître sa fonction, il est possible dans la majorité des
cas d’identifier sa nature par une étude de son modèle équivalent à basse et haute fréquence.
Il faut pour cela exploiter les équivalences suivantes :
• une bobine est assimilable à basse fréquence à un interrupteur fermé, et à haute fréquence à un
interrupteur ouvert
• un condensateur est assimilable à basse fréquence à un interrupteur ouvert, et à haute fréquence à un
interrupteur fermé
Composant
Equivalence BF
Equivalence HF
Avec cette équivalence, l’étude du comportement à basse et haute fréquence d’un permet d’identifier sa
fonction :
Composant
Equivalence BF
Equivalence HF
Type de filtre
Vs ≈ Ve
HF : Vs = 0
BF :
FILTRE PASSE-BAS
Vs = 0
HF : Vs = Ve
BF :
FILTRE PASSE-HAUT
Notes
Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes
[email protected]
19/23
CI2 : Acquisition et conditionnement des informations
Composant
FILTRAGE DU SIGNAL
COURS
Filtres analogiques passifs
Edition 1 - 20/03/2018
Equivalence BF
Equivalence HF
Type de filtre
Vs ≈ Ve
HF : Vs = 0
BF :
FILTRE PASSE-BAS
Vs = 0
HF : Vs ≈ Ve
BF :
FILTRE PASSE-HAUT
Vs = 0
HF : Vs = 0
BF :
FILTRE PASSE-BANDE
Vs ≈ Ve
HF : Vs = Ve
BF :
FILTRE COUPE-BANDE
Notes
Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes
ats.jule[email protected]
20/23
CI2 : Acquisition et conditionnement des informations
FILTRAGE DU SIGNAL
COURS
Filtres analogiques actifs
Edition 1 - 20/03/2018
C. Filtres analogiques actifs
Les filtres analogiques peuvent exploiter les propriétés des Amplificateurs Linéaires Intégrés (ALI). Ils
permettent de ne plus avoir recours aux bobines, composants encombrants et onéreux.
En contrepartie, les filtres actifs nécessitent une alimentation électrique, contrairement aux filtres passifs.
Dans les études qui vont suivre, l’ALI sera systématiquement supposé parfait.
C.1. Filtre passe-bas
R2
Il existe une boucle de réaction sur l’entrée inverseuse, l’ALI fonctionne donc
en mode linéaire
R1
Le signal est relié à l’entrée inverseuse, le montage est donc un
montage inverseur
C
Appliquons le théorème de Millmann sur E- :
⎛1
⎞
1
Ve + ⎜ + jCω ⎟Vs
R2 Ve + ( R1 + jR1 R2Cω ) Vs
R
⎝ R2
⎠
V− = 1
=
1 1
R1 + R2 + jR1 R2Cω
+ + jCω
R1 R2
V− =
-
Ve
∞
ε
+
Vs
R2 Ve + ( R1 + jR1 R2Cω ) Vs
R1 + R2 + jR1 R2Cω
L’ALI étant supposé parfait, on tire
Alors
V− =V+ = 0
R2 Ve + ( R1 + jR1 R2Cω ) Vs = 0
D’où on tire finalement la fonction de transfert :
Vs
Ve
=−
R2
R /R
=− 2 1
R1 + jR1 R2Cω
1+ jR2Cω
Notes
Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes
[email protected]
21/23
CI2 : Acquisition et conditionnement des informations
FILTRAGE DU SIGNAL
COURS
Filtres analogiques actifs
Edition 1 - 20/03/2018
Il s’agit bien ici d’un filtre passe-bas du 1er ordre, de pulsation de cassure
ω0 =
1
R2C
C.2. Filtre passe-haut
Il existe une boucle de réaction sur l’entrée inverseuse, l’ALI
fonctionne donc en mode linéaire
Le signal est relié à l’entrée inverseuse, le montage est
donc un montage inverseur
Appliquons le théorème de Millmann sur E- :
R1
C
R2
-
Ve
ε
+
Vs
⎛
⎞
⎜
⎟
1
1
⎟Ve
Vs + ⎜
R2
⎜⎜ R + 1 ⎟⎟
1
(1+ jR1Cω )Vs + jR2CωVe
jCω ⎠
⎝
−
V =
=
1
1
1+ j ( R1 + R2 ) Cω
+
1
R2 R +
1
jCω
L’ALI étant supposé parfait, on tire
Alors
∞
V− =V+ = 0
(1+ jR1Cω )Vs + jR2CωVe = 0
D’où on tire finalement la fonction de transfert :
Vs
Ve
=−
jR2Cω
1+ jR1Cω
Il s’agit bien ici d’un filtre passe-haut du 1er ordre, de pulsation de cassure ω 0
=
1
R1C
Notes
Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes
[email protected]
22/23
CI2 : Acquisition et conditionnement des informations
FILTRAGE DU SIGNAL
COURS
Filtres analogiques actifs
Edition 1 - 20/03/2018
C.3. Filtre passe-bande
C
Il existe une boucle de réaction sur l’entrée inverseuse, l’ALI
fonctionne donc en mode linéaire
R
C
R
Le signal est relié à l’entrée inverseuse, le montage est
donc un montage inverseur
Appliquons le théorème de Millmann sur E- :
-
∞
ε
Ve
+
Vs
⎛
⎞
⎜
⎟
⎛1
⎞
1
⎜
⎟Ve + ⎜ + jCω ⎟Vs ⎛
jRCω ⎞
⎝R
⎠
⎜⎜ R + 1 ⎟⎟
⎜
⎟Ve + (1+ jRCω ) Vs jRCωV + 1+ jRCω 2 V
(
) s
jCω ⎠
⎝
⎝ 1+ jRCω ⎠
e
−
V =
=
=
2
1
1
jRCω
jRCω + (1+ jRCω )
+ + jCω
+1+ jRCω
1
R
1+ jRCω
R+
jCω
V− =V+ = 0
L’ALI étant supposé parfait, on tire
Alors
2
jRCωVe + (1+ jRCω ) Vs = 0
D’où on tire finalement la fonction de transfert :
Vs
Ve
=−
jRCω
2
(1+ jRCω )
Il s’agit bien ici d’un filtre passe-bande, de pulsation de cassure ω 0
=
1
RC
Notes
Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes
[email protected]
23/23
Téléchargement