Chapitre 3 : Cinématique des fluides.
La cinématique et les études des mouvements des liquides s'en tenir compte des forces qui lui
donne naissance en étudier seulement la relation entre les positions des particules fluides et le temps. Le
mouvement de fluide est décrit par deux méthodes :
- 1) Méthode lagrangienne : (1736 - 1813)
Elle consiste à suivre chaque particule matérielle prise individuellement dans son mouvement au cours du
temps.
Soit un point M de la masse fluide avec les coordonnées en fonction du temps et de la position initiale :
𝑥 = 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 , 𝑡)
𝑀 {𝑦 = 𝜑(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 , 𝑡)
𝑧 = 𝜓(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 , 𝑡)
x, y, z sont les variables de Lagrange
𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 Sont les coordonnées initiale de x, y, z au temps t.
⃗ (𝑢, 𝑣, 𝑤)peut être calculé par :
La vitesse 𝑈
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑂𝑀
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
⃗ = 𝑢𝑖 + 𝑣𝑗 + 𝑤𝑘
⃗
⃗ =
𝑈
=
𝑖+
𝑗+ 𝑘
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
L’accélération 𝑎 calculé par :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑²𝑂𝑀
𝑑²𝑥
𝑑²𝑦
𝑑²𝑧
⃗ = 𝑎𝑥 𝑖 + 𝑎𝑦 𝑗 + 𝑎𝑧 𝑘
⃗
𝑎=
=
𝑖+
𝑗+
𝑘
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Les avantages de la représentation lagrangienne sont :
la trajectoire de chaque particule est connue
la conservation de la masse est satisfaite
Les inconvénients : sont lié au fait que les fluides sont composés d'un très grand nombre de
particules.
La méthode de lagrangienne n'est pas pratique pour des applications réelles.
-
2) Méthode eulérienne : (1707 – 1783) Léonard Euler
Consiste à établir un instant t donner l'ensemble des vitesses associer à chaque point de l’espace occupé
par le fluide.
⃗ (𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑡) ou
La représentation mathématique de la méthode eulérienne s'écrit pour la vitesse : 𝑈
⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
⃗ = 𝑢𝑖 + 𝑣𝑗 + 𝑤𝑘
𝑈
𝑂𝑀 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘
Les composantes de champ de vitesse s’expriment sous la forme :
𝑢 = 𝑢(x, y, z, 𝑡)
⃗ { 𝑣 = 𝑣(x, y, z, 𝑡)
𝑈
𝑤 = 𝑤(x, y, z, 𝑡)
3) vitesse et accélération :
a) vitesse :
⃗ la vitesse en n'importe quel point du liquide, (𝑢, 𝑣, 𝑤) sont les composantes de cette vitesse :
Soit 𝑉
𝑢 = 𝑓1 (x, y, z, 𝑡)
⃗𝑉 { 𝑣 = 𝑓2 (x, y, z, 𝑡)
𝑤 = 𝑓3 (x, y, z, 𝑡)
Donc : 𝑉 = √𝑢2 + 𝑣 2 + 𝑤²
b) accélération :
Soit 𝑎𝑥, 𝑎𝑦, 𝑎𝑧 les composantes de l’accélération 𝑎 :
𝑑𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑢
=
+𝑢
+𝑣
+𝑤
𝑑𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝑑𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝑎
𝑎𝑦 =
=
+𝑢
+𝑣
+𝑤
𝑑𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝑑𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑤
𝑎𝑧 =
=
+𝑢
+𝑣
+𝑤
{
𝑑𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝑎𝑥 =
Dérivée particulaire
Dérivée temporelle
Dérivée convective
4) Ligne de courant et trajectoire :
On appelle ligne de courant la courbe qui, en chacun de ces points et tangente au vecteur vitesse.
On peut décrire l'équation différentielle des lignes de courant :
𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
=
=
𝑢
𝑣
𝑤
On appelle trajectoire le lieu géométrique des
positions successives occupé par une particule.
Trajectoire de la particule
P
Pour un écoulement stationnaire (permanent) il y a coïncidence entre ligne de courant et trajectoire.
Les équations paramétriques différentielles des trajectoires sont définies par :
𝑑𝑥
= 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝑦
= 𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝑧
{𝑑𝑡 = 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
On peut observer différentes types de régimes dans l'écoulement d'un fluide :
● régime permanent (stationnaire) : ne dépend pas de temps
● régime uniforme la vitesse ne dépend pas du point considéré
● régime laminaire : les couches de fluide glissent les unes par rapport aux autres. les vitesses
sont continues.
● régime turbulent : les vitesses sont discontinues les couches de fluide s’interpénètrent de façon
aléatoire.
5) Conservation de la masse :
5-1) Equation de continuité :
L’équation de continuité traduit le principe de conservation de la masse : la Variation de masse pendant
un temps 𝒅𝒕 d'un élément de volume fluide entrant diminuée de celle du fluide sortant.
On considère un élément de volume fixe d'un fluide :
𝒅𝑽 = 𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛 ,
Sa masse s'exprime comme :
𝒅𝒎 = 𝝆𝒅𝒗.
La variation de cette masse pendant 𝒅𝒕 s’écrit :
𝝏𝝆𝒅𝒗
𝝏𝝆
𝒅𝒎 =
𝒅𝒕 =
𝒅𝑽𝒅𝒕
𝝏𝒕
𝝏𝒕
Cette variation de la masse doit être égale à la somme des masses de fluide qui entre et sort par les 6
faces de l'élément de fluide𝒅𝑽 .
- suivant l'axe 𝑌:
La masse entrant pendant le temps 𝒅𝒕 est : (𝝆𝒗𝒅𝒙𝒅𝒛𝒅𝒕)𝒚Et la masse sort par(𝝆𝒗𝒅𝒙𝒅𝒛𝒅𝒕)𝒚+𝒅𝒚.
Le bilan sur l'axe 𝑌 donne :
[(𝝆𝒗)𝒚 − (𝝆𝒗)𝒚+𝒅𝒚 ]𝒅𝒙𝒅𝒛𝒅𝒕.
Un développement de premier ordre permet d’écrire :
(𝜌𝑣)𝑦+𝑑𝑦 = (𝜌𝑣)𝑦 +
Il reste alors :
−
𝜕𝜌𝑣
𝜕𝑦
𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧𝑑𝑡
𝜕𝜌𝑣
𝑑𝑦
𝜕𝑦
suivant l'axe 𝑌
Par analogie sur les deux autres axes on trouve :
−
−
𝜕𝜌𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝜌𝑤
𝜕𝑧
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑡
suivant l’axe𝑋.
𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑡
suivant l’axe𝑍.
𝜕𝜌𝑢
− ( 𝜕𝑥 +
Au total on a :
𝜕𝜌𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝜌𝑤
𝜕𝑧
Avec : 𝑢, 𝑣, 𝑤 sont les composantes
de vecteur vitesse.
𝜕𝜌𝑢
) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑡 = − ( 𝜕𝑥 +
𝜕𝜌𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝜌𝑤
𝜕𝑧
) 𝑑𝑉𝑑𝑡
La conservation de la masse du volume 𝑑𝑉 s’écrit :
𝒅𝒎 =
𝝏𝝆
𝝏𝝆𝒖 𝝏𝝆𝒗 𝝏𝝆𝒘
) 𝒅𝑽𝒅𝒕
𝒅𝑽𝒅𝒕 = − (
+
+
𝝏𝒕
𝝏𝒙
𝝏𝒚
𝝏𝒛
Alors l'équation de Continuité qui traduit le principe de la conservation de la masse :
𝝏𝝆
𝝏𝝆𝒖 𝝏𝝆𝒗 𝝏𝝆𝒘
)
= −(
+
+
𝝏𝒕
𝝏𝒙
𝝏𝒚
𝝏𝒛
Ou bien :
𝝏𝝆
𝝏𝝆𝒖 𝝏𝝆𝒗 𝝏𝝆𝒘
)=𝟎
+(
+
+
𝝏𝒕
𝝏𝒙
𝝏𝒚
𝝏𝒛
Avec :
𝜕𝜌𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝜌𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝜌𝑤
𝜕𝑧
⃗⃗⃗⃗
= 𝑑𝑖𝑣(𝜌𝑉)
Remarque :
𝜕
⃗⃗⃗⃗ = 0
Écoulement permanent : 𝜕𝑡 = 0 ⇒ 𝑑𝑖𝑣(𝜌𝑉)
⃗)=0
Un fluide incompressible : 𝜌 = 𝑐𝑡𝑒 ⇒ 𝑑𝑖𝑣(𝑉
5-2) Débit massique, et débit volumique :
Le débit masse à travers une section 𝑺 et la quantité de fluide qui traverse
la section 𝑺 par unité de temps. Noté par 𝒒 ou 𝒎̇
𝐾𝑔
⃗ 𝑛⃗𝑑𝑠 𝑆 note:
Le débit volumique à 𝑚
travers
surface
̇ = ∬la 𝜌𝑉
( 𝑞𝑣),𝑉̇
𝑠
𝑆
𝑚3
⃗ 𝑛⃗𝑑𝑠
𝑉̇ = ∬ 𝑉
( )
𝑛⃗ Est orienté dans le sens de l'écoulement.
𝑠
𝑆
Toutes les lignes de courant s'appuyant sur une même
courbe fermée constituent une surface appelée tube de
courant.
Si l'écoulement est permanent alors :
𝒎̇(𝑺𝟏 ) = 𝒎̇(𝑺𝟐 )
On dit que : le débit est conservé.
6) Fonction de courant et potentiel des vitesses :
5-1) fonction de courant :
La fonction de courant décrit les lignes de courant dans l’espace, on vient de voir que pour un écoulement
⃗)=0
⃗ = ⃗∇ ∧ 𝐴, ∀ 𝐴 alors 𝑑𝑖𝑣(∇
⃗ ∧ 𝐴) = 0.
incompressible : 𝑑𝑖𝑣(𝑉
si on pose 𝑉
⃗ et appelé potentiel vecteur
𝐴
En coordonnées cartésiennes
𝜕
|𝜕𝑥
𝜕
⃗ = ⃗∇ ∧ ⃗𝐴 =
𝑉
𝜕𝑦
|
𝜕
𝜕𝑧
𝜕𝐴𝑧 𝜕𝐴𝑦
−
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝑢𝑥
|
𝜕𝐴𝑥 𝜕𝐴𝑧
𝐴𝑦 =
= (𝑢𝑦 )
−
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝑢𝑧
|
𝜕𝐴𝑦 𝜕𝐴𝑥
−
𝐴𝑧
( 𝜕𝑥
𝜕𝑦 )
𝐴𝑥
Si on considère un écoulement plan :⇒ 𝑢𝑧 = 0 𝑒𝑡
D’où :
𝑢𝑥 =
𝜕
𝜕𝑧
=0
𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝐴𝑧
𝑢𝑦 = −
on pose : 𝐴𝑧 (𝑥, 𝑦) = 𝜓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥
La fonction 𝜓 est appelée fonctions de courant.
{
𝑢𝑥 = 𝜕𝜓
𝜕𝑦
𝑢𝑦 = − 𝜕𝜓
𝜕𝑥
Champ de vitesse en coordonnées cartésien
Ou bien
1 𝜕𝜓
{
𝑢𝑟 = 𝑟 𝜕𝜃
𝑢𝜃 = − 𝜕𝜓
𝜕𝑟
En coordonnées cylindriques.
propriété :
𝜕𝑢
𝜕𝑣
⃗)= + =0
Comme : 𝑑𝑖𝑣(𝑉
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕²𝜓
et {
𝑢𝑥 = 𝜕𝜓
𝜕𝑦
𝑢𝑦 = − 𝜕𝜓
𝜕𝑥
𝜕²𝜓
= 𝜕𝑦𝜕𝑥
𝜕𝑥𝜕𝑦
On remplaçant en trouve :
Cette relation constitue le théorème de Schwartz et donc : est une différentielle totale exacte.
𝜕𝜓
𝜕𝜓
𝑑𝑥 +
𝑑𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
Les lignes de courant sont telles-que : 𝑑𝜓 = 0 donc : 𝜓 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑑𝜓 =
5-2) potentiel des vitesses :
⃗ = 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗ pour un
On introduit le vecteur rotation (vecteur tourbillon) qui est par définition : ⃗Ω
𝑟𝑜𝑡𝑉
2
écoulement rotationnel.
1 𝜕𝑤
𝜕𝑣
𝑤𝑥 = 2 ( 𝜕𝑦 − 𝜕𝑧 )
⃗Ω
⃗ = 𝑤𝑦 = 1 (𝜕𝑢 − 𝜕𝑤)
2 𝜕𝑧
𝜕𝑥
1 𝜕𝑣
On dit vorticité le double de vecteur tourbillon.
𝜕𝑢
{ 𝑤𝑧 = 2 (𝜕𝑥 − 𝜕𝑦)
⃗⃗ = 1 𝑟𝑜𝑡
⃗ =0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉
Pour un écoulement irrotationnel : Ω
2
⃗ Φ) = ⃗0 , ∀Φ
D’un point de vue mathématique : ⃗∇ ∧ (∇
on peut donc posé ⃗V = ⃗∇Φ
Avec : 𝜙 potentiel des vitesses
Alors {
𝑢=
𝑣=
𝜕𝜙
𝜕𝑥
𝜕𝜙
Si de plus le fluide est incompressible :
𝜕𝑦
⃗)=
𝑑𝑖𝑣(𝑉
𝜕𝑢 𝜕𝑣
𝜕²𝜙 𝜕²𝜙
+
=0 ⇒
+
= 0 ⇒ ∆𝜙 = 0
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑥² 𝜕𝑦²
𝜙 vérifier l'équation de la place. Les équipotentielles s'obtient en prenant : 𝜙 = 𝑐𝑡𝑒 𝑜𝑢 𝑑𝜙 = 0
Remarque :
Pour un écoulement plan incompressible et irrotationnel les fonctions potentiel et courant existent,
Les composantes de la vitesse s’expriment :
𝜕𝜙
𝜕𝜓
𝑢 = 𝜕𝑥 = 𝜕𝑦
{
𝜕𝜙
𝜕𝜓
𝑣 = 𝜕𝑦 = − 𝜕𝑥
Les équations représentent les conditions de Cauchy Riemann
D'orthogonalité.
Ces conditions montrent que les lignes équipotentielles et les lignes de
courant sont toujours perpendiculaires.
