Hydraulique

Hydraulique
I
Écoulement en charge
Les écoulements en charge sont des écoulements confinés à l’intérieur d’un contenant, en général une
conduite. La pression à l’intérieur de ces écoulements peut être de beaucoup plus élevée que la pression
atmosphérique ou encore s’abaisser à des valeurs aussi faible que la pression de vapeur saturante.
! On considérera systématiquement que les diverses variables hydrauliques ne varieront pas dans le temps
4
(Régime permanent).
I.1
Pertes de charges linéaires
Représentent les frottements des particules fluides entre elles et avec les parois solides. Il existe plusieurs
formules pour calculer les pertes de charge linéaires, qui donnent presque le même résultat.
Formule de Darcy-Weisbach
D: Le Diamètre de la section d’écoulement [m].
L: La Longueur de la conduite [m].
V : La Vitesse d’écoulement [m/s] .
λ: Coefficient de frottement [sans unité].
∆HL = λ.
L.V 2
D.2.g
Pour calculer λ On peut utiliser les formules :
• Écoulement laminaire Re ≤ 2000:
λ=
64
Re
• Écoulement turbulent Re ≥ 2000 (Formule de Colebrook):
Ou utiliser le diagramme de Moody.
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2.51
√
λ = −2. log
+
3.71.D Re . λ
Formule de Hazen-Williams
D: Le Diamètre de la section d’écoulement [m].
L: La Longueur de la conduite [m].
Q: Le Débit.
C: Coefficient de charge de Hazen-Williams.
I.2
∆HL = 1.218.1010 .
L.Q1.85
C 1.85 .D4.9
Pertes de charge singulières
Les pertes de charges ayant lieu dans les endroits singuliers des conduites comme les rétrécissements, les
élargissements, les coudes, les noeuds ...
Dans la plupart des cas elles sont considérés négligeables, si non:
∆HS = ξ.
V2
2.g
ξ: caractérisation de la perte de charge déterminée expérimentalement et dépend essentiellement de la
géométrie.
I Quelque soit la méthode utilisée les pertes de charge s’écrivent comme suit : α.Qn pour la formule
de Darcy-Weisbach [n=2] et pour la formule de Hazen-Williams [n=1.85], dans le cas ou n = 2 on peut
résumer les pertes de charges linéaires et singulières dans une seule formule α.Q2 :
∆H = ∆HL + ∆HS = λ.
V2
L.S 2 2
S2
L.V 2
+ ξ.
= λ.
.Q + ξ. .Q2 = α.Q2
D.2.g
2.g
D.2.g
2.g
Les coefficient α sont supposés connues en tous problème d’hydraulique.
I Dans les problèmes où l’écoulement ne change pas de direction les pertes, les débits et les pertes
de charges sont considérés positives, mais dans les réseau complexes on considère le débit une variable
algébrique et les pertes de charges ont le même signe que le débit on écrit:
∆H = α.|Q|n−1 .Q
de cette façon lorsque le débit est négatif on peut calculer les pertes de charge sans le risque de trouver
un nombre complexe.
II
Lignes de charge et ligne piézométrique
La ligne d’énergie est utilisée pour connaı̂tre la répartition des énergies (potentielle, de pression et
cinétique), ainsi que les pertes et les gains d’énergie le long d’un circuit hydraulique.
L’énergie hydraulique (totale) mesurée en mètres, en une section d’une conduite s’exprime sous le forme:
H=
P
V2
P∗
V2
+ Z + α.
=
+ α.
ρ.g
2.g
ρ.g
2.g
• α = 2 en régime laminaire.
• α = 1 en régime turbulent.
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Le Coefficient α traduit le profil de vitesses. et appelé coefficient d’énergie cinétique ou coefficient de
distorsion du champ de vitesse. H est parfois appelé hauteur de charge.
! La formule de l’énergie hydraulique est différente de l’équation de Bernoulli, c’est une sorte de valeur
4
moyenne appliquée à une surface, par contre l’équation de Bernoulli est applicable pour une ligne de
courant seulement.
! La vitesse qu’on utilise c’est toujours la vitesse du débit.
4
ZZ
Q
or par définition Q =
v.ds = V.S
V =
S
P
+Z .
• Ligne piézométrique: on trace
ρ.g
V2
P
+ Z + α.
• Ligne de charge: on trace
ρ.g
2.g
V2
de l’énergie cinétique est négligeables (faible vitesse) devant l’énergie
2.g
P
potentielle Z et l’énergie de pression
, donc on s’intéresse principalement à la ligne piézométrique.
ρ.g
En hydraulique le terme α.
III
III.1
Montage des conduites
Montage en série
Données (Z1 , Z2 ) , inconnues (Q)
(Z1 , V1 )
(Z2 , V2 )
Appliquons l’équation de l’énergie entre la surface libre du réservoir R1 et la surface libre du réservoir R2
en tenant compte de toutes les pertes linéaires et singulières.
H1 = H2 + ∆H12
P1
V12
P2
V22
+ Z1 +
=
+ Z2 +
+ ∆H12
ρ.g
2.g
ρ.g
2.g
P1 = P2 = Patm
V1 = V2 = 0
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∆H12 = Z1 − Z2
d’autre part on peut exprimer les pertes de chage on utilisant formule de Hazen-Williams ou formule de
Darcy-Weisbach:
(
∆H12 = ∆HL + ∆HS = αHazen .Q1.85 + αS .Q2
Hazen-Williams
2
2
∆H12 = ∆HL + ∆HS = αDarcy .Q + αS .Q
Darcy-Weisbach
Q=
III.2
z1 − z2
z1 − z2
=
αDarcy .Q + αS .Q
αHazen .Q0.85 + αS .Q
Montage en parallèle
Données (Qe = Qs ) , inconnues (Q1 , Q2 , Q3 )
Q1
I
He
•
Qe
I
•
Q2
I
•
Qs
I
Hs
•
Q3
I
Conservation de masse Q1 + Q2 + Q3 = Qe = Qs
Pertes de charges ∆H1 = ∆H2 = ∆H3 = He − Hs
Méthode directe
Pe
Ps
. Lorsque He =
+ Ze et Hs =
+ Zs sont connues la résolution et simple :
ρ.g
ρ.g
He − Hs = ∆Hi = αi .Qni
⇒
Qi
. Losrque He et Hs sont inconnues, le problème impose seulement un débit totale Q = Qe = Q = s, cette
méthode directe n’est plus valable on utilise la méthode itérative.
Méthode itérative
1 - On estime une valeur de Q1 que l’on note Q01 .
par exemple dans ce cas on peut prendre Q01 = Qe /3 .
2 - On calcul ∆H10 = α1 .Q1.85
= ∆H20 = ∆H30 , puis on calcul les valeurs Q02 et Q03
1
(
∆H20 = α2 .Q02 1.85
∆H30 = α3 .Q03 1.85
on note Q0e = Q01 + Q02 + Q03
.Si Qe = Q0e Fin :
⇒ Les débit sont Q01 , Q02 et Q03
.Si non:
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Qe
Qe
on pose: Q001 = 0 .Q01 , Q002 = 0 .Q02 ,
Qe
Qe
00
00
00
on calcul ∆H1 , ∆H2 et ∆H3
Q003
Qe
= 0 .Q03
Qe
on a forcement : Q001 + Q002 + Q003 = Qe
.Si ∆H100 = ∆H200 = ∆H300
⇒ Les débit sont Q001 , Q002 et Q003
.Si non:
on pose
Q000
1 =
Qe 00
.Q ,
Q00e 1
Q000
2 =
Qe 00
.Q , ,
Q00e 2
Q000
3 =
Qe 00
.Q
Q00e 3
.... ainsi de suite (généralement la méthode converge aprés 2/3 itération)
III.3
Branchement de conduite
Données (Z1 , Z2 , Z3 ) , inconnues (Q1 , Q2 , Q3 )
Z1
Q1
I
I
Z3
Q2
I
I
•
Q3
1 - Estimer HI
2 - Calculer (H1 , H2 , H3 )



H =

 1
H2 =



 H =
3
3 - Calculer les débits
Patm
ρ.g
+ Z1
Patm
ρ.g
+ Z2
Patm
ρ.g
+ Z3


 ∆H1I = α1I .Qn1 = H1 − HI
 Q1
n
∆H2I = α2I .Q2 = H2 − HI =⇒
Q2


n
∆H3I = α3I .Q3 = H3 − HI
Q3
3 - Vérifier l’équation de continuité:
.Si Q1 = Q2 + Q3 :
⇒ l’estimation de HI est éxacte, on s’arrête.
.Si Q1 > Q2 + Q3
⇒ on augmente l’estimation de HI .
.Si Q1 < Q2 + Q3
⇒ on diminue l’estimation de HI .
Jusqu’à avoir Q1 = Q2 + Q3 .
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Z2
III.4
Réseau ramifiés
Un réseau est dit ramifié lorsque les conduites le composant se divisent à partir d’un point donné sans se
joindre.
Q2 •
I
Q1
I
O•
Q4 • A
I
Q5
I •B
Q6
I
•C
•
Q3
I
Q7 •
D
I
Q8
I •E
•
Le calcul des réseaux ramifiés suppose que nous connaissons la charge HO au point de départ du réseau.
Pour déterminer les 8 débits on utilise les équations de conservation de masse (en 3 noeuds) et les formules
de pertes de charge entre le point initial O et les points (A,B,C,D,E):


 Q1 − Q2 − Q3 = 0
3 noeuds Q2 − Q4 − Q5 − Q6 = 0


Q3 − Q7 − Q8 = 0


∆HOA = HO − HA = α1 .|Q1 |n−1 .Q + α2 .|Q2 |n−1 .Q + α4 .|Q4 |n−1 .Q



n−1
n−1
n−1


 ∆HOB = HO − HB = α1 .|Q1 | .Q + α2 .|Q2 | .Q + α5 .|Q5 | .Q
pertes de charge ∆HOC = HO − HC = α1 .|Q1 |n−1 .Q + α2 .|Q2 |n−1 .Q + α6 .|Q6 |n−1 .Q



∆HOD = HO − HD = α1 .|Q1 |n−1 .Q + α3 .|Q3 |n−1 .Q + α7 .|Q7 |n−1 .Q



 ∆H = H − H = α .|Q |n−1 .Q + α .|Q |n−1 .Q + α .|Q |n−1 .Q
OE
O
E
1
1
3
3
8
8
Les cinq dernières équations ne sont pas linéaires, donc le système d’équation est non linéaire, pour le
résoudre il existe plusieurs Méthodes itératives par exemple: la méthode de L.U , la méthode de Jacobi,
la méthode de Gauss − Seidel... ou bien vous utilisez un programme.
III.5
Réseau maillé
Le réseau maillé est constitué d’un certain nombre de mailles et de noeuds et s’apparente à un réseau
électrique maillé.
Q1
I
Q02
•
I
Q01
I •
•
•
Q5
I
I
Q2
I
Q4
I
Q03
•
I
Q3
•
•
Page:6/10
I
Q6
Q04
• I •
Les inconnues dans ce réseau sont les débits dans chacune des conduites et les hauteurs de charge en
chaque noeud.Les équations qu’on va utiliser pour résoudre le problème sont:
• en chaque noeud: équation de conservation de masse.
• en chaque maille: la somme algébrique des pertes de charges est nulle.


Q01 − Q1 − Q2 = 0





 Q1 − Q4 − Q5 − Q02 = 0
5 noeuds Q03 + Q2 − Q3 = 0



Q3 + Q4 − Q6 = 0



 Q +Q −Q =0
5
6
04
(
α1 .|Q1 |n−1 .Q1 + α4 .|Q4 |n−1 .Q4 + α3 .|Q3 |n−1 .Q3 + α2 .|Q2 |n−1 .Q2 = 0
2 mailles
α5 .|Q5 |n−1 .Q5 + α6 .|Q6 |n−1 .Q6 + α4 .|Q4 |n−1 .Q4 = 0
Encore cette fois le système est non linéaire, nous utilisant cette fois la méthode de Hardy Cross. C’est une
méthode itérative; on estime un débit initial Q à chaque itération on ajoute une correction ∆Q à toutes
les conduites d’une maille.
1 - Estimer les débits Q0j tels que la l’équation de continuité est satisfaite en chaque noeud du réseau.
on peut commencer par estimer une seule conduite puis on passe à ceux qui
2 - Calculer les corrections ∆Qm pour chaque maille m.
P
P
0
0 n
j ∆Hj
j αj .(Qj )
1
∆Qm = − P
n−1 = −
P ∆Hj0
n. j αj .(Q0j )
n.
0
j
Qj
3 - Ajouter les corrections ∆Q1m à Q0j , si une conduite j appartient à deux mailles on ajoute à Q0j les deux
corrections:
Q1j = Q0j + ∆Qm
4 - Calcul les nouvelles corrections ∆Q2m , si la correction est inférieur à une précision souhaité on s’arrête.
n
αj .(Qkj )
P
∆Qk+1
m
=−
j
n.
P
j
αj .(Qkj )
n−1
... ainsi de suite
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∆Hjk
P ∆Hjk
P
=−
n.
j
j
Qkj
IV
Pompes
Les pompes transforment l’énergie mécanique en énergie hydraulique.
I
Caractéristiques des pompes
I Le débit Q : c’est le débit mesuré à la sortie de la pompe.
I La hauteur d’élévation H [m] : l’énergie hydraulique fournie au liquide par la pompe, elle peut être
mesurée à l’aide de deux manomètres placés dans les deux cotés de la pompe.
I La puissance P [kw] : c’est la puissance fournie équivalente à la hauteur d’élévation:
P = ρ.g.Q.H
I Le rendement η [%] : c’est le rapport de la puissance hydraulique sur la puissance absorbée par la
pompe.
P
η=
Pabsorbée
I La vitesse de rotation [tr/min] : c’est la vitesse de rotation du rotor de la pompe, elle ne doit pas
dépasser les valeurs limites données par le constructeur.
ILe NPSN requis [m] : cette grandeur est utilisée essentiellement pour éviter les phénomènes de
cavitation.
Théorie de similitude appliquée à la pompe
Les grandeurs caractéristiques d’une pompes sont reliées à chaque état de fonctionnement:
{Q, H, P, N } −→ {Q0 , H 0 , P 0 , N 0 }
|
{z
}
|
{z
}
fonctionnement 1
Q
N
= 0
0
Q
N
fonctionnement 2
H
N2
= 0
H0
N
Page:8/10
P
N3
= 0
P0
N
Les courbes de performance de la pompe
H = f (Q)
P = f (Q)
η = f (Q)
H
N P SHrequis = f (Q)
P
η
N P SHrequis
Q
Montage de pompes
• Le montage série de pompes permet d’augmenter la hauteur d’élévation H.
• Le montage parallèle permet d’augmenter le débit.
Point de fonctionnement d’un système de pompage
B
S
ZG
E
•
•
I
•
ZB
•
ZS
ZE
A
ZA
aspiration
refoulement
Par définition la hauteur de la pompe
Hp = HS − HE
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(
HA = HE + ∆Haspiration
HS = HB + ∆Href oulement
H = HB − HA + ∆Haspiration + ∆Href oulement
on suppose que :
(
V2
HB − HA = ZB + Pρ.gB + 2.gB − ZA + Pρ.gA +
∆Haspiration + ∆Href oulement = α.Qn
VA2
2.g
≈ ZB − ZA = ZG
Hp = ZG + α.Qn
⇒ On trace Hp , le point de fonctionnement est l’intersection de Hp et H caractéristique de la pompe, c’est
à dire la machine fonctionne à Q = Qintersection .
On peut trouver le point de fonctionnement par un calcul direct:
ZG + α.Qn = H(Q) =⇒ Q
Cavitation
La cavitation est la naissance et l’oscillation de bulles de gaz d’un liquide soumis à une chute locale de
pression (exemple: à la pression de 0,024 atm la température d’ébullition d’eau est 21◦ C).
à l’entrée du rotor des bulles se forment sous l’effet de la dépression, ces bulles sont transportées par
le courant de fluide dans les régions où la pression est plus importante où elles implosent. les bulles
apparaissent et disparaissent dans un laps de temps (ordre de 10−3 s), si le phénomène persiste la roue sera
détruite en quelques heures.
! L’ébullition est due à une augmentation de la température par contre la cavitation est due à une baisse
4
de pression. Condition de non cavitation:
N P SHrequis ≤ N P SHdisponible
le NPSH requis est donné par le constructeur pour chaque pompe, le NPSH disponible est calculé par la
formule:
Patm
N P SHdisponible =
ρ.g
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