Hydraulique

Hydraulique
I´ Ecoulement en charge
Les ´ecoulements en charge sont des ´ecoulements confin´es `a l’int´erieur d’un contenant, en g´en´eral une
conduite. La pression `a l’int´erieur de ces ´ecoulements peut ˆetre de beaucoup plus ´elev´ee que la pression
atmosph´erique ou encore s’abaisser `a des valeurs aussi faible que la pression de vapeur saturante.
!
4On consid´erera syst´ematiquement que les diverses variables hydrauliques ne varieront pas dans le temps
(R´egime permanent).
I.1 Pertes de charges lin´eaires
Repr´esentent les frottements des particules fluides entre elles et avec les parois solides. Il existe plusieurs
formules pour calculer les pertes de charge lin´eaires, qui donnent presque le mˆeme r´esultat.
Formule de Darcy-Weisbach
D: Le Diam`etre de la section d’´ecoulement [m].
L: La Longueur de la conduite [m].
V: La Vitesse d’´ecoulement [m/s] .
λ: Coefficient de frottement [sans unit´e].
∆HL=λ. L.V 2
D.2.g
Pour calculer λOn peut utiliser les formules :
•´ Ecoulement laminaire Re≤2000: λ=64
Re
•´ Ecoulement turbulent Re≥2000 (Formule de Colebrook): λ=−2.log 
3.71.D +2.51
Re.√λ
Ou utiliser le diagramme de Moody.
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Formule de Hazen-Williams
D: Le Diam`etre de la section d’´ecoulement [m].
L: La Longueur de la conduite [m].
Q: Le D´ebit.
C: Coefficient de charge de Hazen-Williams.
∆HL= 1.218.1010.L.Q1.85
C1.85.D4.9
I.2 Pertes de charge singuli`eres
Les pertes de charges ayant lieu dans les endroits singuliers des conduites comme les r´etr´ecissements, les
´elargissements, les coudes, les noeuds ...
Dans la plupart des cas elles sont consid´er´es n´egligeables, si non:
∆HS=ξ. V2
2.g
ξ: caract´erisation de la perte de charge d´etermin´ee exp´erimentalement et d´epend essentiellement de la
g´eom´etrie.
IQuelque soit la m´ethode utilis´ee les pertes de charge s’´ecrivent comme suit : α.Qnpour la formule
de Darcy-Weisbach [n=2] et pour la formule de Hazen-Williams [n=1.85], dans le cas ou n= 2 on peut
r´esumer les pertes de charges lin´eaires et singuli`eres dans une seule formule α.Q2:
∆H= ∆HL+ ∆HS=λ. L.V 2
D.2.g +ξ. V2 2.g =λ. L.S2 D.2.g .Q2+ξ. S2 2.g .Q2=α.Q2
Les coefficient αsont suppos´es connues en tous probl`eme d’hydraulique.
IDans les probl`emes o`u l’´ecoulement ne change pas de direction les pertes, les d´ebits et les pertes
de charges sont consid´er´es positives, mais dans les r´eseau complexes on consid`ere le d´ebit une variable
alg´ebrique et les pertes de charges ont le mˆeme signe que le d´ebit on ´ecrit:
∆H=α.|Q|n−1.Q
de cette fa¸con lorsque le d´ebit est n´egatif on peut calculer les pertes de charge sans le risque de trouver
un nombre complexe.
II Lignes de charge et ligne pi´ezom´etrique
La ligne d’´energie est utilis´ee pour connaˆıtre la r´epartition des ´energies (potentielle, de pression et
cin´etique), ainsi que les pertes et les gains d’´energie le long d’un circuit hydraulique.
L’´energie hydraulique (totale) mesur´ee en m`etres, en une section d’une conduite s’exprime sous le forme:
H=P
ρ.g +Z+α. V2 2.g =P∗ ρ.g +α. V2 2.g
•α= 2 en r´egime laminaire.
•α= 1 en r´egime turbulent.
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Le Coefficient αtraduit le profil de vitesses. et appel´e coefficient d’´energie cin´etique ou coefficient de
distorsion du champ de vitesse. Hest parfois appel´e hauteur de charge.
!
4La formule de l’´energie hydraulique est diff´erente de l’´equation de Bernoulli, c’est une sorte de valeur
moyenne appliqu´ee `a une surface, par contre l’´equation de Bernoulli est applicable pour une ligne de
courant seulement.
!
4La vitesse qu’on utilise c’est toujours la vitesse du d´ebit.
V=Q
Sor par d´efinition Q=ZZ v.ds =V.S
•Ligne pi´ezom´etrique: on trace P
ρ.g +Z.
•Ligne de charge: on trace P
ρ.g +Z+α. V2 2.g 
En hydraulique le terme α. V2
2.g de l’´energie cin´etique est n´egligeables (faible vitesse) devant l’´energie
potentielle Zet l’´energie de pression P
ρ.g , donc on s’int´eresse principalement `a la ligne pi´ezom´etrique.
III Montage des conduites
III.1 Montage en s´erie
Donn´ees (Z1, Z2) , inconnues (Q)
(Z1, V1)
(Z2, V2)
Appliquons l’´equation de l’´energie entre la surface libre du r´eservoir R1et la surface libre du r´eservoir R2
en tenant compte de toutes les pertes lin´eaires et singuli`eres.
H1=H2+ ∆H12
P1
ρ.g +Z1+V2
1
2.g =P2 ρ.g +Z2+V2
2
2.g + ∆H12
P1=P2=Patm
V1=V2= 0
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∆H12 =Z1−Z2
d’autre part on peut exprimer les pertes de chage on utilisant formule de Hazen-Williams ou formule de
Darcy-Weisbach:
(∆H12 = ∆HL+ ∆HS=αHazen.Q1.85 +αS.Q2Hazen-Williams
∆H12 = ∆HL+ ∆HS=αDarcy .Q2+αS.Q2Darcy-Weisbach
Q=z1−z2
αDarcy .Q +αS.Q =z1−z2 αHazen.Q0.85 +αS.Q
III.2 Montage en parall`ele
Donn´ees (Qe=Qs) , inconnues (Q1, Q2, Q3)
•
He•
Qe
I•
Q2
I•
Qs
IHs
I
Q1
I
Q3
Conservation de masse Q1+Q2+Q3=Qe=Qs
Pertes de charges ∆H1= ∆H2= ∆H3=He−Hs
M´ethode directe
Lorsque He=Pe
ρ.g +Zeet Hs=Ps ρ.g +Zssont connues la r´esolution et simple :
He−Hs= ∆Hi=αi.Qn
i⇒Qi
Losrque Heet Hssont inconnues, le probl`eme impose seulement un d´ebit totale Q=Qe=Q=s, cette
m´ethode directe n’est plus valable on utilise la m´ethode it´erative.
M´ethode it´erative
1 - On estime une valeur de Q1que l’on note Q0
1.
par exemple dans ce cas on peut prendre Q0
1=Qe/3 .
2 - On calcul ∆H0
1=α1.Q1.85 1= ∆H0 2= ∆H0 3, puis on calcul les valeurs Q0 2et Q0 3
(∆H0
2=α2.Q0 2
1.85
∆H0
3=α3.Q0 3
1.85
on note Q0
e=Q0 1+Q0 2+Q0 3
Si Qe=Q0
eFin :
⇒Les d´ebit sont Q0
1, Q0 2et Q0 3
Si non:
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on pose: Q00
1=Qe
Q0
e
.Q0
1, Q00 2=Qe
Q0
e
.Q0
2, Q00 3=Qe
Q0
e
.Q0
3on a forcement : Q00 1+Q00 2+Q00 3=Qe
on calcul ∆H00
1,∆H00 2et ∆H00 3
Si ∆H00
1= ∆H00 2= ∆H00 3
⇒Les d´ebit sont Q00
1, Q00 2et Q00 3
Si non:
on pose
Q000
1=Qe
Q00
e
.Q00
1, Q000 2=Qe
Q00
e
.Q00
2, , Q000 3=Qe
Q00
e
.Q00
3
.... ainsi de suite (g´en´eralement la m´ethode converge apr´es 2/3 it´eration)
III.3 Branchement de conduite
Donn´ees (Z1, Z2, Z3) , inconnues (Q1, Q2, Q3)
Q1
I
Q2
I
•
I
Q3
I
Z1
Z3
Z2
1 - Estimer HI
2 - Calculer (H1, H2, H3)
H1=Patm
ρ.g +Z1
H2=Patm
ρ.g +Z2
H3=Patm
ρ.g +Z3
3 - Calculer les d´ebits 
∆H1I=α1I.Qn
1=H1−HI
∆H2I=α2I.Qn
2=H2−HI
∆H3I=α3I.Qn
3=H3−HI
=⇒
Q1
Q2
Q3
3 - V´erifier l’´equation de continuit´e:
Si Q1=Q2+Q3:
⇒l’estimation de HIest ´exacte, on s’arrˆete.
Si Q1> Q2+Q3
⇒on augmente l’estimation de HI.
Si Q1< Q2+Q3
⇒on diminue l’estimation de HI.
Jusqu’`a avoir Q1=Q2+Q3.
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