Notes de Cours de Transfert Thermique Ayadi Mahfoudh &Houda Oukabi Chapitre III TRANSFERT THERMIQUE PAR CONVECTION 1. Généralités et notions de base Dans tous les problèmes que nous avons traités jusqu'à présent, nous avons supposé que le coefficient d'échange thermique intervenant dans la loi de Newton était connu a priori. Or, dans la plupart des applications de la thermique, la détermination du coefficient d'échange est précisément la partie la plus délicate. En effet, dans les transferts de chaleur par convection, la conduction thermique déjà présente dans les solides s'ajoute l'advection, transfert d'énergie induit par l'écoulement, ce qui introduit un niveau de complexité supplémentaire. De façon générale, le but de ce chapitre est donc la détermination du coefficient d'échange thermique. On notera h le coefficient d’échange local en un point de la surface d’échange. Notons que h n'est pas nécessairement uniforme, il est susceptible de varier dans l'espace. 1.1Convection Le transfert de chaleur par convection est associé à un déplacement de matière (fluide), les particules chaudes en mouvement peuvent migrées vers des zones moins chaudes. Ainsi le type d'écoulement est important dans la description du problème. Lorsque le mouvement du fluide se produit naturellement sous l’effet de la variation de la densité et des forces de gravité, la convection serait qualifiée de libre ou naturelle. Si le mouvement du fluide est provoqué par une cause extérieure (ventilateur, pompe…) la convection serait dite forcée 1.2 Régime d’écoulement Les particules fluide en mouvement peuvent décrire des trajectoires régulières, autrement les lignes de courant restent parallèles, l’écoulement est dit laminaire. L’écoulement est dit turbulent lorsqu’il n’y pas de direction privilégiée. Les particules fluides se déplacent dans toutes les directions. 1.3 Problème de la convection Chaque situation fait intervenir de nombreux paramètres descriptifs. Le problème majeur pour calculer le flux de chaleur transféré par convection est la détermination du coefficient d’échange h. Considérons l’exemple d’un fluide en circulation forcée dans une canalisation (figure3.1) pour lequel on se propose de déterminer le coefficient de convection h caractérisant le transfert de chaleur fluide-paroi. V Figure 3.1 : Paramètres de convection pour un écoulement forcé 1 Université de Carthage Ecole Nationale d’Ingénieurs de Bizerte AU : 20/21 Notes de Cours de Transfert Thermique Ayadi Mahfoudh &Houda Oukabi Les paramètres descriptifs du transfert par convection forcée de cette application sont illustrés dans le tableau 3.1. Huit grandeurs peuvent intervenir dans le calcul du flux avec 4 dimensions fondamentales représentant respectivement la longueur L, la masse M, le temps T et la température θ. Remarques 1. Lorsque les grandeurs mécaniques et grandeurs thermiques ne permettent pas sera la mesure de l'échange d'énergie, on ajoutera la quantité de chaleur Q qui sera considérée comme une 5ième dimension. 2. Q est homogène à un travail qui s'exprime en fonction des dimensions fondamentales M, L et T par Q = M.L. T -2 n'est pas une vraie dimension fondamentale. Tableau 3.1: Paramètres descriptifs Grandeur symbole Unité SI Diamètre du tube Vitesse du fluide Masse volumique du fluide Viscosité dynamique du fluide Conductivité thermique du fluide Chaleur massique du fluide Coefficient d’échange convectif Ecart de température Densité de flux D V ρ η λ Cp h Tf-Tp φ m m.s-1 Kg.m-3 Kg.m-1s-1 W.m-1.K-1 J.Kg-1K-1 W.m-2K-1 K W Equations aux dimensions L LT-1 ML-3 ML-1T-1 MLT-3θ-1 L2T-2θ-1 MT-3θ-1 θ ML2T-3 2. Analyse dimensionnelle 2.1 Principe de la méthode Le tableau 4.1 montre qu’on peut exprimer les grandeurs physiques en fonction d'un nombre limité de dimensions fondamentales. La méthode d’analyse dimensionnelle repose sur le principe de l’homogénéité des termes d’une équation connue sous le nom de théorème de Vaschy-Buckingam ou théorème des groupements π. Une loi physique exprime une variable physique G1 en fonction d'un certain nombre d'autres variables physiques indépendantes G2, G3,….., Gn cela pourra se traduire par une relation du type :G1=f(G2,G3,…,Gn). Cela montre que la loi physique peut être présentée par une relation de la forme : F(G1,G2,…,Gn)=0. Le nombre de variables intervenants dans cette relation est souvent élevé, ce qui est le cas pour un problème de transfert par convection, une simplification du problème serait exigée celle-ci pourra s’effectuer de la manière suivante : On écrit pour chaque variable Gi, l'équation aux dimensions en fonction des dimensions fondamentales. On dispose alors de n équations qui ont nécessité p dimensions fondamentales pour caractériser toutes les grandeurs physiques. On prélève p de ces n variables que l'on considère comme variables de base (chaque variable est définie par une équation de base). Cela permet d’obtenir ce qu’on appelle équations de base. Bien que le choix des équations prélevées soit arbitraire, il faut toutefois que chaque dimension fondamentale apparaisse au moins une fois sur l'ensemble des p équations. 2 Université de Carthage Ecole Nationale d’Ingénieurs de Bizerte AU : 20/21 Notes de Cours de Transfert Thermique Ayadi Mahfoudh &Houda Oukabi Les (n-p) variables restantes seront présentées alors sous forme de (n-p) rapports sans dimensions appelés groupements qui sont des "grandeurs réduites". Cela permet de transformer la loi physique pour qu’elle soit présentée sous la forme d’une relation du type: n F (G1 , G2 , G3 ,....Gn ) D1n1 .D2n2 ....D pq g ( 1 , 2 ,..., n p ) 0 Le terme g(π1,π2,…,πn-p) qui devra être nulle constitue ce qu’on appelle une équation réduite de la loi physique: g(π1,π2,…,πn-p)=0 les relations définissant D1, ….., Dp formes les équations de base Un groupement i est défini par une équation sans dimension. Il est obtenu par le rapport entre une grandeur physique n'appartenant pas à l’ensemble des équations de base et le produit des équations de base, chacune d'elle étant portée à une puissance qu’on devra déterminer: Gi i avec (i=p+1,p+2,…, p+(n-p)) a1 G1 .G2 a2 ..... G p a p Pour chaque dimension fondamentale M, L, T et θ figurant au dénominateur, on fait la somme des exposants que l'on identifie avec l'exposant de la même dimension figurant dans l'équation dimension de la grandeur physique du numérateur. On obtient ainsi un système linéaire de p équations dont la résolution permet de déterminer les p exposants des équations de base du dénominateur. Il suffit alors d'écrire le rapport en fonction des grandeurs physiques attachées aux équations dimensions de départ. Théorème de Vaschy-Buckingam Toute fonction F de n variables indépendantes Gi mesurées par p unités fondamentales (avec n>p) s’exprime nécessairement sous la forme: n F (G1 , G2 , G3 ,....Gn ) D1n1 .D2n2 ....D pq g ( 1 , 2 ,..., n p ) 0 les variables D1, D2, …,Dp étant choisies dimensionnellement indépendantes. Les fonctions πi sont des groupements adimensionnels des variables D1, D2, …,Dp. 2.2 Détermination des groupements adimensionnels 2.2.1 Démarche d’analyse On se propose de traiter les échanges par convection entre un fluide en circulation forcée dans une canalisation cylindrique pour lequel on se propose de déterminer le coefficient de convection h relatif au transfert de chaleur fluide-paroi qui correspond à une convection forcée. Il faut déterminer en premier lieu tous les paramètres dont dépend la densité de flux de chaleur φ qui est liée à h par la relation φ= h(Tp-Tf). Ces paramètres sont respectivement les caractéristiques du fluide (tableau 3.2), la vitesse d’écoulement V, le diamètre de la conduite D la différence de température (Tp-Tf) 3 Université de Carthage Ecole Nationale d’Ingénieurs de Bizerte AU : 20/21 Notes de Cours de Transfert Thermique Ayadi Mahfoudh &Houda Oukabi Tableau 3.2 : Caractéristiques du fluide Equation aux Grandeur symbole dimensions Masse volumique du fluide ρ ML-3 Viscosité dynamique du fluide η ML-1T-1 Conductivité thermique du fluide λ MLT-3θ-1 Chaleur massique du fluide cp L2T-2θ-1 La loi recherchée serait représentée par une relation du type : F(ρ ,η, λ, cp, V, D, h, Tp-Tf )=0 Il faut choisir ensuite 4 (p=4) variables de base de façon à ce que les 4 dimensions fondamentales figurent au moins une fois dans l'ensemble des variables. Prenons par exemple ρ , λ, η et D comme variables de base, il reste les variables V, cp, h et Tp-Tf On écrit alors les 4 rapports sans dimension correspondants à ces variables sous la forme : c T T V h 1 a1 b1 c1 d1 , 2 a2 b2 p c2 d 2 , 3 a3 b3 c3 d 3 et 4 a4 pb4 c4 f d 4 D D D D 2.2.2 Calcul des exposants Pour calculer les exposants des puissances on doit remplacer dans chaque rapport πi les grandeurs physiques par leurs équations dimensions ce qui donne par exemple pour π1 : 1 V a b c Dd 1 1 1 1 ML MLT 3 a1 LT 1 1 3 ML T L b1 1 1 c1 d1 LT 1 M a1 b1 c1 L 3a1 b1 c1 d1T 3b1 c1 b1 Pour chaque dimension fondamentale, on identifie les exposants de puissance entre numérateur et dénominateur relatifs à une même dimension ce qui conduit au système : a1+b1+c1=0 -3a1+b1-c1+d1=1 -3b1-c1=-1 -b1=0 La résolution des équations donne les valeurs des différents exposants soit: a1=-1, b1=0, c1=1 et d1=-1 V V VD Re Cela donne : 1 a1 b1 c1 d1 1 0 1 1 D D La même démarche d’identification serait appliquée aux trois groupements restants, en remarquant que les 4 groupements ne diffèrent que par leurs numérateurs respectifs. Le tableau 3.3 récapitule les résultats des calculs développés. 4 Université de Carthage Ecole Nationale d’Ingénieurs de Bizerte AU : 20/21 Notes de Cours de Transfert Thermique Ayadi Mahfoudh &Houda Oukabi Tableau 3.3 : Identification des groupements adimensionnels Groupement 1 2 3 4 Dimension numérateur V -1 LT a b c D d 1 1 1 1 Cp a b c D d 2 2 2 2 h a b c D d 3 3 3 -3 -1 3 Tp T f a b c D d 4 4 4 L2T-2θ-1 4 MT θ θ Système d’équations a1+b1+c1=0 -3a1+b1c1+d1=1 -3b1-c1=-1 -b1=0 a2+b2+c2=0 -3a2+b2c2+d2=2 -3b2-c2=-2 -b2=-1 a3+b3+c3=1 -3a3+b3c3+d3=0 -3b3-c3=-3 -b3=-1 a4+b4+c4=0 -3a4+b4c4+d4=0 -3b4-c4=0 -b4=1 Solutions a1=-1 b1=0 c1=1 d1=-1 a2=0 b2=1 c2=-1 d2=0 a3=0 b3=1 c3=0 d3=-1 a4=-2 b4=-1 c4=3 d4=-2 Nombre sans dimension Re VD Pr C p Nu Nb Dénomination du groupement Nombre de Reynolds Nombre de Prandtl hD Nombre de Nusselt 2 D 2 (T p T f ) 3 Nb Re2 Ec .Pr Le groupement 4 peut être exprimé en fonction de Pr et Re : C R2 4 p e2 T Pr V Cela conduit à identifier un autre nombre sans dimensions connu sous le nom de nombre d’Eckert: V2 Ec C p T 2.3 Intérêt de l’analyse dimensionnelle La méthode de l’analyse dimensionnelle fournit les grandeurs réduites exploitables pour déterminer les lois de transfert. Ces lois sont de la forme : g(Nu, Re, Pr, Ec)=0 Les variables réduites sont exploitables pour la représentation, la comparaison et la recherche des résultats expérimentaux : - la représentation des résultats expérimentaux est simplifiée, on pourra avoir une courbe reliant 2 variables ou un abaque reliant 3 variables au lieu d’une relation liant (3+p) paramètres - la comparaison des résultats expérimentaux est aussi rapide et aisée, quelque soit le chercheur même si le système d’unité utilisé est différent puisque les grandeurs réduites sont sans dimension. - La recherche des résultats expérimentaux est facilitée et ordonnée: s’il suffit de tracer une courbe entre deux variables réduites, c’est qu’il suffit d’effectuer une seule série d’expériences. 5 Université de Carthage Ecole Nationale d’Ingénieurs de Bizerte AU : 20/21 Notes de Cours de Transfert Thermique Ayadi Mahfoudh &Houda Oukabi Il faut remarquer que la méthode de l’analyse dimensionnelle qui fournit des grandeurs réduites ne donne pas la forme de la relation qui les lie, la recherche de cette relation fait l’objet du dépouillement des résultats expérimentaux. 2.4 Signification de quelques groupements adimensionnels Re: est le nombre de Reynolds, il caractérise le régime d’écoulement dans la canalisation Nu : est le nombre de Nusselt, on peut le mettre sous la forme d’un rapport : D / Nu 1/ h Cette écriture montre que ce nombre est le rapport de la résistance thermique de conduction par la résistance thermique de convection. Il est d’autant plus élevé que la convection est prédominante sur la conduction. Il caractérise par suite le type de transfert Pr: Ce nombre est calculable pour un fluide donné indépendamment des conditions expérimentales (il ne dépend pas de la température) et caractérise l’influence de la nature du fluide sur le transfert de chaleur par convection. Ec : ce nombre caractérise le rapport de l’énergie mécanique et de l’énergie thermique phénomène de conversion que l'on rencontre dans les tuyères à nombre de Mach élevé Remarques 1. Certain nombre sans dimensions sont obtenus par des groupements d’autres nombres. Tel est le cas du nombre de Peclet Pc qui est le produit du nombre de Reynolds par le nombre de Prandtl : VD C p VC p D Pc Re .Pr . 2. Les corrélations expérimentales développées par les chercheurs ont permis d’introduire de nombreux groupements adimensionnels, le tableau 3.4 récapitule quelques nombres intervenant en transfert par convection. Tableau 3.4 : Nombres adimensionnels intervenant en convection Reynolds Prandtl Nusselt Peclet Margoulis VD C Pr Re Nu hD Rayleigh Eckert VCD h Ma VC Pc Grashof Richardson gT 2 L3 2 C gT 2 L3 Ra p Gr Ec Ri V2 c p T gTL V2 g est l’accélération de la pesanteur et β le coefficient de dilatation défini par : 1 v 1 v T P T P 6 Université de Carthage Ecole Nationale d’Ingénieurs de Bizerte AU : 20/21 Notes de Cours de Transfert Thermique Ayadi Mahfoudh &Houda Oukabi 3. Convection sans changement de phase 3.1Convection naturelle, convection forcée Les transferts de chaleur qui s’effectuent simultanément avec des transferts de masse sont dits transferts de chaleur par convection. Ce mode d’échange de chaleur existe au sein des milieux fluides dans lesquels il est généralement prépondérant. Selon la nature du mécanisme qui provoque le mouvement du fluide, on distingue : La convection libre ou naturelle : le fluide est mis en mouvement sous le seul effet des différences de masse volumique résultant des différences de températures sur les frontières et d’un champ de forces extérieures (la pesanteur). La convection forcée: le mouvement du fluide est induit par une cause indépendante des différences de température (pompe, ventilateur,...). 3.2 Régime d’écoulement Compte tenu du lien entre le transfert de masse et le transfert de chaleur, il est nécessaire de prendre en compte le régime d’écoulement. En régime laminaire, l’écoulement s’effectue par couches pratiquement indépendantes. Entre deux filets fluides adjacents les échanges de chaleur s’effectuent donc : o Par conduction uniquement si l’on considère une direction normale aux filets fluides (lignes de courant). o Par convection et conduction (négligeable) si l’on considère une direction non normale aux filets fluides. En régime turbulent, l’écoulement, comme l’illustre la figure 3.2, n’est pas unidirectionnel. L’échange de chaleur dans la zone turbulente s’effectue par convection et conduction dans toutes les directions. On vérifie que la conduction moléculaire est généralement négligeable par rapport à la convection et à la « diffusion turbulente » (mélange du fluide dû à l’agitation turbulente) en dehors de la souscouche laminaire. V=0 Zone de turbulence Vmax Sous couche laminaire Figure 3.2 : Schématisation d’un écoulement turbulent 3.3 Couches limites dynamique et thermique Quel que soit le régime d’écoulement, il demeure une couche limite dynamique dans laquelle l’écoulement est laminaire et dont l’épaisseur est d’autant plus réduite que le nombre de Reynolds est grand. L’épaisseur de cette couche limite varie en fonction de nombreux paramètres : nature du fluide, température, rugosité de la paroi, ... L’analogie de Reynolds montre que le gradient thermique est particulièrement important au voisinage de la paroi, dans une couche limite thermique qui se développe de manière analogue à la couche limite dynamique. Quel que soit le régime d’écoulement du fluide, on 7 Université de Carthage Ecole Nationale d’Ingénieurs de Bizerte AU : 20/21 Notes de Cours de Transfert Thermique Ayadi Mahfoudh &Houda Oukabi considère que la résistance thermique est entièrement située dans cette couche limite thermique qui joue le rôle d’isolant. Ceci correspond au modèle de Prandtl représenté sur la figure 3.3 à titre d’exemple pour l’écoulement turbulent d’un fluide dans une conduite. Profil des vitesses V=0 Tf Profil des températures Tp Figure 33 : Représentation du modèle de Prandtl pour un écoulement turbulent 3.4 Expression du flux Quel que soit le type de convection (libre ou forcée) et quelque soit le régime d’écoulement du fluide (laminaire ou turbulent), le flux de chaleur est donné par la relation dite loi de Newton : hST Le problème majeur à résoudre avant le calcul du flux de chaleur consiste à déterminer le coefficient de transfert de chaleur par convection h qui dépend d’un nombre important de paramètres : caractéristiques du fluide, de l’écoulement, de la température, de la forme de la surface d’échange,... On trouvera, dans le tableau 3.5, l’ordre de grandeur du coefficient de transfert de chaleur par convection pour différentes configurations. Tableau 3.5 : Ordre de grandeur du coefficient de transfert de chaleur par convection Configuration h (W.m-2K-1) Convection naturelle 2-10 Dans un gaz 100-1000 Dans un liquide Convection forcée Avec un gaz Avec un liquide 10-200 100-5000 Ebullition de l’eau Dans un récipient En écoulement dans un tube 2500-35000 5000-100000 Condensation de l’eau sous 1 atm Sur une surface verticale A l’extérieur de tubes horizontaux 1000-11000 10000-25000 4. Méthodologie de résolution des problèmes de convection Pour résoudre un problème de convection, il est essentiel de reconnaitre la nature du phénomène selon qu’il ait de la convection forcée ou de la convection naturelle 8 Université de Carthage Ecole Nationale d’Ingénieurs de Bizerte AU : 20/21 Notes de Cours de Transfert Thermique Ayadi Mahfoudh &Houda Oukabi 4.1 Convection Forcée En l’absence de solution exacte, où une solution analytique ne peut pas être établie, on utilise des corrélations déduites d’expérimentations. L’application de l’analyse dimensionnelle montre que la relation liant le flux de chaleur transféré par convection aux variables dont il dépend peut être recherchée sous la forme d’une relation entre trois nombres adimensionnels : Nu f ( Re , Pr ) Ces trois nombre sont définis respectivement par: C p VD hD , Re et Pr Nu D est la dimension caractéristique de la géométrie considérée qui sera par exemple le diamètre hydraulique DH 4.SP DH Pm Où SP est la section de passage et Pm le périmètre de la section de passage. Pour un écoulement s’effectuant à l’intérieur d’un tube cylindrique DH est égal au diamètre intérieur du tube. DH est pris égal au diamètre extérieur du tube pour un écoulement extérieur perpendiculaire à ce tube. Le diamètre hydraulique est pris égal à la longueur pour un écoulement à surface libre sur une plaque… Le calcul d’un flux de chaleur transmis par convection forcée s’effectue de la manière suivante : 1. calcul des nombres adimensionnels de Reynolds et de Prandtl suivant la valeur de Re et la configuration du système (plaque, canalisation (section circulaire ou autres)…, verticale, horizontale, inclinée) On choisit une corrélation (loi empirique fournie par les expérimentateurs) 2. calcul du nombre de Nusselt par application de la corrélation retenue 3. calcul de h et du flux avec les relations : Nu et hS (T f T p ) h D Il faut remarquer que les propriétés du fluide (Cp, λ, ρ, η) doivent être calculées à une température moyenne dite température du film : T Tp Tm f 2 4.2 Convection naturelle 4.2.1 Mécanisme de la convection naturelle Considérons un fluide au repos en contact avec une paroi plane à température T (figure 3.4). Si l’on porte la paroi à une température T+T, une particule fluide de volume v proche ou en contact de la paroi s’échauffe par conduction et elle subit une dilatation thermique de telle sorte que son volume passe de v à v+v et sa masse volumique passe de ρ à ρ+ρ (la masse de la particule est conservée). En admettant qu’à la température T la particule est en équilibre sous l’effet de son propre poids et de la poussée d’Archimède l’équation représentant cet équilibre s’écrit : mg z vg z 0 9 Université de Carthage Ecole Nationale d’Ingénieurs de Bizerte AU : 20/21 Notes de Cours de Transfert Thermique Ayadi Mahfoudh &Houda Oukabi Lorsque la particule s’échauffe l’équilibre de la particule sera rompu : elle se trouve donc soumise à une force ascensionnelle obtenue par une accélération . Le théorème de la résultante dynamique appliqué à la particule en mouvement d’ascension s’écrit : . mg z ( )(v v) g z ( )(v v) z Fluide T, ρ Fluide T, ρ Tp= T Paroi Tp= T+T Figure 3.4 : Représentation du mécanisme de convection naturelle La conservation de la masse s’écrit : m=ρv+ρv=0 v Ainsi, on montre : v v v mg z (1 )(v v) g z (1 )(v v) z v v v Le rapport étant petit par rapport à l’unité, cela permet de simplifier l’équation qui v s’écrira : vg v v L’accélération de l’ascension est alors : g g v 1 et en faisant tendre la variation de T P la masse volumique vers l’accélération d’ascension deviendra : v g Tg v Cela montre que le mouvement du fluide est induit par les différences de masse volumique engendrées par le gradient de température donnant naissance aux courants de convection. Dans le cas d’un transfert de chaleur par convection naturelle le long d’une plaque plane, le coefficient de convection dépend des caractéristiques du fluide : λ, ρ, Cp, η, β, g de la paroi caractérisée par la longueur L et de l’écart de température T aux bornes de la couche limite, ce que l’on peut traduire par une relation du type : Φ=f(λ, ρ, Cp, η, β, g , L, T) En introduisant la dilatation thermique : Dans le système M, L, T, θ, cette relation entre 8 grandeurs pourra conduire à une relation entre quatre groupements adimensionnels. On montre qu’on peut réduire ces groupements à trois nombres adimensionnels (définis dans le tableau 3. 6), liés entre eux par une relation du type : Nu=f(Gr,Pr) 10 Université de Carthage Ecole Nationale d’Ingénieurs de Bizerte AU : 20/21 Notes de Cours de Transfert Thermique Ayadi Mahfoudh &Houda Oukabi Tableau3.6 Nombre adimensionnels intervenant en convection naturelle Nombre de Prandtl Nombre de Nusselt Pr C p Nu hD Nombre de Grashof gT 2 L3 Gr 2 4.2.2 Signification physique du nombre de Grashof Lorsque l’unité de masse du fluide, soumise à l’accélération Tg subit une variation d’altitude L, la conservation de l’énergie permet d’écrire : V2 gTL 2 V2 représente la variation d’énergie cinétique et gTL la variation d’énergie potentielle. On 2 voit donc que le nombre de Grashof peut se mettre sous la forme : gT 2 L3 2V 2 L2 1 VL Gr 2 2 2 2 2 Il est donc proportionnel au carré d’un nombre de Reynolds caractérisant l’écoulement. En pratique, en convection naturelle, le courant qui prend naissance reste laminaire jusqu’à ce que le nombre de Grashof atteigne une valeur d’environ 109. 4.2.3 Calcul du flux Le calcul d’un flux de chaleur transmis par convection naturelle s’effectue de la manière suivante : 1. calcul des nombres adimensionnels de Grashof et de Prandtl 2. choisir la corrélation suivant la valeur de Gr et la configuration du système, 3. calcul du nombre de Nusselt par application de la corrélation retenue, 4. calcul de h et du flux avec les relations : Nu et hS (T p T f ) h D Il faut remarquer que les propriétés du fluide (Cp, λ, ρ, η) doivent être calculées à une température moyenne comme en convection forcée. 5. Convection avec changement d’état Il est bien connu que l'eau se condenser sur une vitre froide ou bouillir au fond d'une casserole. La formation des panaches de « vapeur » à la sortie des cheminées entre aussi dans le changement de phase. Pour l'eau par exemple, l'enthalpie de changement d'état liquide-gaz est supérieure à plus de 5 fois la chaleur nécessaire pour élever la température de la même quantité d'eau de 0 à 100°C. On s'attend donc à ce que le transfert de chaleur par convection soit fortement amplifié en cas d'ébullition (paroi chaude) ou de condensation (paroi froide). 11 Université de Carthage Ecole Nationale d’Ingénieurs de Bizerte AU : 20/21 Notes de Cours de Transfert Thermique Ayadi Mahfoudh &Houda Oukabi Cependant, dans le cas de l'ébullition, il faut aussi remarquer que l'ébullition remplace une partie du liquide proche de la paroi par un gaz de moindre conductivité thermique. Le résultat, en termes de densité de flux de chaleur, dépend donc des conditions d’échange. Le paramètre caractéristique du système est l'écart entre la température de surface (température de la paroi) Tp et la température d’ébullition (de saturation) Ts du liquide à la pression considérée. 5. 1 Condensation 5.1.1 Description des phénomènes Les échanges de chaleur entre une vapeur se condensant sur une paroi et la paroi proprement dite sont liés aux types de condensation qui dépendent essentiellement des interactions liquide-paroi : Si le liquide ne mouille pas la surface, il se forme alors en certains points des gouttelettes de liquide qui ruissellent le long de la paroi. Ce type de condensation ne peut s’observer que si la paroi a une surface lisse et propre. Dans le cas d’une condensation en gouttes, le liquide, sur la paroi qui ne forme pas un film continu; offre une résistance thermique négligeable. Cependant, le type de condensation que l’on rencontre généralement dans la pratique est la condensation en film : la paroi est isolée de la vapeur par un film continu de liquide qui joue le rôle d’isolant thermique entre la paroi et la vapeur et fait chuter la valeur du coefficient de transfert de chaleur par convection h par rapport à la condensation en gouttes. 5.1.2 Coefficient d’échange pour la condensation en film La théorie de Nusselt relie analytiquement le coefficient de transfert h aux divers paramètres physiques intervenant dans la condensation en film d’un fluide sur une paroi. On traitera le cas d’une paroi verticale (figure 3.5) et on se propose de déterminer le coefficient h en considérant les simplifications apportées par les hypothèses suivantes : Ecoulement laminaire du film. Température de paroi constante. Gradient de température constant dans le film. Grand rayon de courbure du film de condensat. y Tp Ts dx y a Film de condensat x Figure 3.5: Schématisation de la condensation sur une paroi verticale On notera Ts la température de saturation (rosée) de la vapeur et Tp (Tp<Ts) la température maintenue constante de la paroi verticale. Les forces s’exerçant sur le système constitué du liquide d’épaisseur dx situé entre y et a et de longueur unité suivant Oz (surface grise) sont: 12 Université de Carthage Ecole Nationale d’Ingénieurs de Bizerte AU : 20/21 Notes de Cours de Transfert Thermique Ayadi Mahfoudh &Houda Oukabi La force de pesanteur : ρ1g(a-y)dx x La force due à la vapeur d’eau déplacée : - ρvg(a-y)dx x dV La force de frottement visqueux : 1 dx x (hypothèse du fluide newtonien) dy Le théorème de la résultante appliqué à la particule fluide en mouvement de translation, supposé s’effectuer à vitesse constante, donne l’équation : dV 1 dx v g (a y)dx 1 g (a y)dx 0 dy Cela conduit successivement aux relations : dV 1 dV ( 1 v ) g (a y) 1 g (a y) 1 v g (a y) et dy 1 dy L’intégration de la dernière relation entre 0 et y avec la condition limite : V=0 à y=0 donne : 1 y2 V ( y) ( 1 v ) g (ay ) 1 2 Le débit massique de liquide condensé à une hauteur x (par unité de longueur suivant Oz) est donné par : a a y2 qm 1V ( y)dy 1 ( 1 v ) g (ay )dy 1 2 0 0 Tout calcul fait, on montre : qm 1 ( 1 v ) ga 3 31 Le flux de chaleur élémentaire cédé par le condensat à la paroi sur la hauteur dx s’écrit : T dx dx(Ts Tp ) / a d x gradT .( y)dx y y 0 Entre les hauteurs x et x+dx, l’épaisseur du film de liquide passe de a à a+da du fait de la condensation sur la hauteur dx. La quantité de vapeur condensée entre x et x+dx s’écrit : dqm d 1 ( 1 v ) ga 3 1 ( 1 v ) ga 2 da 31 1 Le flux de chaleur cédé par le condensat à la paroi doit être égal à la chaleur latente de condensation libérée par la quantité de vapeur calculée ci-dessus soit: d x 1 ( 1 v ) ga 2 Hda dx(Ts T p ) / a 1 Cette dernière relation pourra se mettre sous la forme : 1 (Ts Tp ) a 3 da dx 1 ( 1 v ) gH L’intégration de cette équation avec la condition limite a= 0 en x = 0 conduit à : 1/ 4 41 (Ts Tp ) x a 1 ( 1 v ) gH Le coefficient de transfert de chaleur local (en x) par convection vérifie : dx(Ts Tp ) hx dx(Ts Tp ) a 13 Université de Carthage Ecole Nationale d’Ingénieurs de Bizerte AU : 20/21 Notes de Cours de Transfert Thermique Ainsi on déduit : a Ayadi Mahfoudh &Houda Oukabi hx et on montre : 1/ 4 1 ( 1 v ) g13 H hx 4 (T T ) x 1 s p En négligeant la masse volumique de la vapeur devant celle du condensat, le coefficient de transfert moyen s’obtient en intégrant le coefficient local sur la hauteur L de la surface de condensation : 1/ 4 1L 2 2 12 g13 H hv hx dx L0 3 L1T Avec H : chaleur latente de condensation (J kg-1) T : différence entre la température de rosée de la vapeur et la température de la paroi (°C) L : hauteur de la paroi (m) La condition de validité est limitée au régime d’écoulement laminaire (Re inférieur à 2000) le nombre de Reynolds Re est défini de la façon suivante : On considère le débit massique de condensat Qm et la section de passage S. dans le cas d’un tube vertical de diamètre extérieur 4Qm De , le nombre de Reynold s’obtient par la relation : Re De Remarques 1. Les grandeurs physiques relatives au liquide sont évaluées à la température du film définie par la formule de Drew : 3T Tv Tf p 4 2. Une valeur moyenne de h pour un tube horizontal peut être calculée par : 1/ 4 12 g13 H hv 0.725 De1T La condition de validité étant la même que celle du tube vertical 5.2Ebullition 5.2.1Description des phénomènes Lors du refroidissement d’une vapeur à pression constante, la condensation est initiée sur des «germes» de très petits diamètres (poussières en suspension dans l’atmosphère par exemple) à une température Tg inférieure à la température de saturation Ts(P) (la température de saturation dépend de la pression). Le développement de la condensation va ensuite avoir pour effet d’augmenter la taille des gouttelettes et diminuer l’écart entre Tg et Ts(P). De manière analogue, lorsque l’on chauffe un liquide, on suppose que sur les parois chaudes sur lesquelles se produit l’ébullition se trouve des discontinuités (petites cavités contenant de l’air) qui servent de “germes” favorisant la naissance de bulles de petit diamètre à une température Tb supérieure à la température de saturation Ts(P) dépendant de la pression. Le développement de l’ébullition va ensuite avoir pour effet d’augmenter la taille des bulles et diminuer l’écart entre Tp et Ts(P). 14 Université de Carthage Ecole Nationale d’Ingénieurs de Bizerte AU : 20/21 Notes de Cours de Transfert Thermique Ayadi Mahfoudh &Houda Oukabi 4.2.1 Régimes d’ébullition Les variations du coefficient de transfert de chaleur h en fonction de l’écart de température TpTs(P) est la température de la paroi chauffée, présentent la même allure pour un grand nombre de liquides, elles sont représentées par le graphe de Nukiyama (figure 3. 6) Φ Tp-Ts(P) Figure 3.6 : Diagramme d’ébullition de Nukiyama Nukiyama a suivi l'ébullition d'un liquide chauffé par un filament. Il a pu observer : Lors du chauffage Dans une première phase, jusqu'au point A, aucune bulle de gaz ne se forme sur le filament : l'énergie est communiquée au liquide qui s'évapore en surface, Entre A et B, la nucléation de bulles a lieu sur le filament : c'est le régime d'ébullition nucléé qui se poursuit jusqu'en B, Entre B et D les bulles occupent de plus en plus de surface sur le filament, la densité de flux stagne jusqu'en D. Selon les conditions, il est même possible que le flux en D soit inférieur au flux en B (φ(D)< φ(B)) au delà de D : le liquide ne parvient plus jusqu'à la surface du filament : on se trouve dans le régime de l'ébullition en film, la chaleur est transmise par conduction/convection en phase gaz et par rayonnement, Lors du refroidissement Depuis un point situé au delà de D : le régime d'ébullition en film se prolonge jusqu'en C (point de Leidenfrost), La transition vers le régime nucléé se fait à plus basse température qu'à la montée, En dessous de A, on retrouve un régime d'évaporation (ébullition non nucléée) 4.2.2 Flux transféré pendant le chauffage Jusqu’au point A Bien que Tp soit supérieure à Ts(P), il n’y a pas encore naissance de bulles. L’échange paroiliquide s’effectue par convection naturelle et obéit à la loi de Newton: h se calculant par les corrélations concernant la convection naturelle. 15 Université de Carthage Ecole Nationale d’Ingénieurs de Bizerte AU : 20/21 Notes de Cours de Transfert Thermique Ayadi Mahfoudh &Houda Oukabi Entre les points A et B L’évacuation de la chaleur s’effectue principalement sous forme de chaleur latente de vaporisation. La densité de flux de chaleur φ, transférée dans cette zone, peut être calculée par la formule de Rosenhow : C1T H Pr1 s C 1H 0 g ( 1 v ) 0.33 avec C1 : Capacité calorifique du liquide T : Ecart de température Tp-Ts(P) H : Chaleur latente de vaporisation Prl : Nombre de Prandtl du liquide à saturation σ0 : Tension superficielle (tableau 3.7 et 3.8) g : Accélération de la pesanteur ρ ρ1 : Masse volumique du liquide ρ ρv : Masse volumique de la vapeur C : Constante déterminée expérimentalement à extraire à partir du tableau 3.9 s=1 pour l’eau et s =1,7 pour les autres liquides Tableau 3.7: Valeur de la tension superficielle de quelques liquides Tableau 3.8: Valeur de la tension superficielle pour l’eau (d’après Holman, 1990) Température de saturation (°C) Tension superficielle N.m-1 Température de saturation (°C) Tension superficielle N.m-1 0 15.6 37.8 60 93.3 100 75.6 x10-3 73.3x10-3 69.8 x10-3 66 x10-3 60.1 x10-3 58.8 x10-3 160 226.7 293.3 360 374.1 46.1 x10-3 32 x10-3 16.2 x10-3 1.46 x10-3 0 Tableau 3.9: Valeurs de la constante C pour diverses configurations fluide/surface chauffante (d’après Holman, 1990) 16 Université de Carthage Ecole Nationale d’Ingénieurs de Bizerte AU : 20/21 Notes de Cours de Transfert Thermique Ayadi Mahfoudh &Houda Oukabi Configuration C au point B La couche de vapeur isole totalement la paroi du liquide et la chaleur ne peut plus se transmettre que par l’intermédiaire de la vapeur de très faible conductivité thermique. L’augmentation brutale de la résistance thermique va provoquer une brusque augmentation de la température de la paroi chauffante jusqu’à un niveau qui va permettre d’évacuer le flux fourni à la paroi à la fois par conduction-convection et par rayonnement. On passe ainsi brusquement du point B au point D dont la température dépasse largement 1000°C, on a fusion de la paroi dans la plupart des cas, c’est pourquoi le point B est appelé « point de burnout ». La détermination du point de burn-out est capitale dans l’étude de l’ébullition pour d’évidentes raisons de sécurité. La corrélation la plus utilisée pour déterminer cette densité de flux de burn-out est la suivante est celle Zuber ( 1958) : 0.25 g ( 1 v ) H 0 1 v 2 24 g 1 v Au-delà du point D La zone d’ébullition pelliculaire dans laquelle le transfert de chaleur de la paroi vers le liquide s’effectue par conduction et par rayonnement à travers la couche continue de vapeur. Les coefficients de transfert de chaleur peuvent se calculer par la corrélation de Bromley (1950) : Coefficient associé à la conduction v 3v v ( 1 v ) g (H 0.4C pv T hc 0.62 D T h v Coefficient associé au rayonnement : p (Tp4 Ts4 ) hr T p Ts Coefficient d’échange global 0.25 1 h 3 h hc c hr h La relation empirique exprimant le coefficient d’échange global nécessite l’utilisation d’une méthode itérative pour calculer h. 4.2.3 Intérêt du transfert de chaleur par ébullition Outre dans les générateurs de vapeur d’eau largement utilisés dans les industries agroalimentaires et textiles, ce type de transfert est utilisé pour l’extraction de très importantes puissances calorifiques à partir de surfaces très réduites : refroidissement de cœurs de réacteurs nucléaires, de moteurs de fusée... du fait des valeurs élevées des coefficients de transfert, de l’ordre de 100 000 W m-2K-1 17 Université de Carthage Ecole Nationale d’Ingénieurs de Bizerte AU : 20/21 Notes de Cours de Transfert Thermique Ayadi Mahfoudh &Houda Oukabi Annexes : Quelques corrélations Annexe II Corrélations pour le calcul de h en convection forcée Annexe I Corrélations pour le calcul de h en convection naturelle 18 Université de Carthage Ecole Nationale d’Ingénieurs de Bizerte AU : 20/21 Notes de Cours de Transfert Thermique 19 Université de Carthage Ayadi Mahfoudh &Houda Oukabi Ecole Nationale d’Ingénieurs de Bizerte AU : 20/21 Notes de Cours de Transfert Thermique Ayadi Mahfoudh &Houda Oukabi Exercices et Problèmes corrigés Exercice 1 : Etude d’une enceinte calorimétrique (Examen de contrôle ENIB juin 2016) La figure 3 schématise une enceinte calorifugée contenant initialement une masse M0 d’eau liquide à la température T0 et de chaleur spécifique cp. On se propose d’étudier l’évaporation de l’eau contenue dans l’enceinte (on parle d’évaporation lorsque le processus de passage de l’état liquide à l’état gazeux est lent et ne concerne que la surface du liquide). Ce processus de changement de phase est réalisé grâce à la dépression provoquée par la pompe lors de l’évacuation des gaz formés à la surface supérieure du liquide. La chaleur d’évaporation de l’eau dans l’intervalle de température, considéré dans ce problème, est exprimée par la relation : Lv=a-bT Où a et b sont des constantes et T la température absolue de l’eau à l’état liquide (supposée homogène). Pompe Vapeur dm Paroi isolante Eau Figure 3 : Principe de l’enceinte calorimétrique Données M0=30g, T0=345K, Cp=4185 J.kg-1.K-1, b=2900J.kg-1.K-1, T1=285K, Lf=335kJ.Kg-1 1. Sachant que la quantité de chaleur nécessaire pour évaporer une masse d’eau dm est : dQ= Lvdm et comme le système est thermiquement isolé, cette quantité de chaleur dQ doit être puisée dans la masse m d’eau liquide restante dans l’enceinte. Qu’observe-t-on ? Exprimer en fonction de T et du débit massique de l’eau évaporée, la puissance thermique d’évaporation. 2. En considérant la masse du liquide restant dans l’enceinte, quel type de flux peut on associer à la puissance thermique d’évaporation? (entrant, sortant, généré, stocké,..) 3. Ecrire le bilan énergétique de l’évaporation de l’eau liquide contenue dans l’enceinte. 4. Lorsque la quantité d’eau vaporisée atteint 10% de la masse d’eau initiale, la température enregistrée du liquide est alors T1, déterminer la constante a. 20 Université de Carthage Ecole Nationale d’Ingénieurs de Bizerte AU : 20/21 Notes de Cours de Transfert Thermique Ayadi Mahfoudh &Houda Oukabi 5. Le processus d’évaporation continu jusqu’à ce que l’eau atteigne 0°C. Quelle masse d’eau s’est alors évaporée ? 6. L’eau liquide se met alors à geler. Quelle est la masse de glace obtenue lorsque toute l’eau liquide a disparu ? On négligera la sublimation de la glace et on prendra pour chaleur de fusion de la glace Lf. Eléments de correction 1. Puissance thermique d’évaporation Pendant l’évaporation la température du liquide subit une baisse dQ dm s Lv (a bT )qm dt dt 2. Flux associé à la puissance thermique d’évaporation La puissance d’évaporation est un flux sortant pour le liquide restant dans l’enceinte 3. Bilan énergétique de l’évaporation Pendant le processus d’évaporation le liquide subit un refroidissement, son énergie interne varie, la variation de l’énergie est représentée par un flux stocké : dT st mC p dt dT dm Le bilan énergétique est alors : s st mC p (a bT ) 0 dt dt dm dT Le bilan énergétique se traduit par l’équation différentielle : mC p a bT 4. Constante a L’intégration de l’équation entre l’instant 0 et un instant t1 conduit à : m1 a bT1 m0 a bT0 Cp b m1 est la masse d’eau liquide restante cette relation peut être transformée de la manière suivante : b m1 C p a bT1 a bT0 m0 Le développement des calculs donne k b Cp a bT0 a bT1 ou encore a(k b Cp 1) b(T0 .k b Cp T1 ) La constante a s’obtient par la relation : ab T0 .k b Cp b Cp T1 avec k m0 0.1m0 0.9 et T1=285K m0 k 1 A.N : a=3297.8 kJ.kg-1 5. Masse d’eau évaporée à Tg=0°C La masse du liquide ayant passé à 0°C est obtenue par la relation : 21 Université de Carthage Ecole Nationale d’Ingénieurs de Bizerte AU : 20/21 Notes de Cours de Transfert Thermique Ayadi Mahfoudh &Houda Oukabi Cp a bTg b m0 a bT0 A.N : mg=26.26g La masse d’eau qui s’est évaporée est alors mev=m0-mg mg a bTg On montre : mev m0 1 a bT0 Cp b avec T =273 K g A.N : mev=3.54g 6. Masse de glace La chaleur évacuée pendant la solidification est Qs=Lf.mg. Cette chaleur est épuisée encore par évaporation à Tg=273K La masse du liquide se trouvant à 0°C qui s’est évaporée est alors m2, elle est telle que : (a-bTg).m2=Lf.mg L m On montre : m2 f g a bTg A.N : m2=3.54g La masse de glace restant dans le calorimètre est ainsi : Lf ms mg m2 mg (1 ) a bTg A.N : ms=22.92g Problème 1 : Analyse comparative de deux installations thermiques Examen principal ENIB 2013 Une centrale thermique est exploitée pour desservir en eau chaude à 45°C, un groupe d’immeubles situé à une distance moyenne de 1 km. L’eau au départ de la centrale est à 85 °C et est amenée par une canalisation en acier de 100 mm de diamètre extérieur et 80 mm de diamètre intérieur. Cette canalisation est calorifugée par un isolant cylindrique (figure 1) 1. Calculer la puissance calorifique perdue dans la canalisation, si le débit d’eau est de 200 Kg/mn 2. Dans le cas où la distribution de la température de l’eau le long du tube évolue selon une loi exponentielle du type : T ( x) A exp(Bx) Calculer les constantes A et B. Quelle serait alors la température moyenne (Tmoy) de l’eau ? 3. En admettant pour température extérieure 10°C, déterminer quelle doit être la résistance thermique moyenne de la canalisation à la propagation de la chaleur ? 4. Si le coefficient de convection de la chaleur eau/paroi intérieure est hin= 0.2 kcal.m-2s-1°C-1, 22 Université de Carthage Ecole Nationale d’Ingénieurs de Bizerte AU : 20/21 Notes de Cours de Transfert Thermique Ayadi Mahfoudh &Houda Oukabi déterminer la résistance thermique entre l’eau et la paroi de la canalisation, en déduire la température intérieure moyenne de celle-ci. 5. Calculer la résistance thermique de la canalisation si la conductivité de l’acier est a=40 kcal.h-1.m-1.°C-1 Quelle est la température moyenne de la paroi extérieure du tube d’acier ? 6. En admettant que la résistance thermique entre la paroi extérieure du calorifuge et le milieu ambiant est négligeable, déterminer la résistance thermique du calorifuge. 7. Ce calorifuge est en laine de verre de conductivité thermique : is=0.036 kcal.h-1.m-1.°C-1 Déterminer quelle doit être son épaisseur ? Isolant thermique Tube d’acier Figure 1 : Tube de transport d’énergie calorifique Pour cause des déperditions thermiques constatées, une substitution de l’installation de distribution de l’eau chaude sanitaire, par une installation placée à proximité des immeubles, s’est imposée. Celle-ci devra fournir le même débit (200 Kg/mn) que l’ancienne, elle est composée cependant d’une chaudière et de 4 échangeurs à contre-courant identiques traversés simultanément par les mêmes débits (figure 2). Les échangeurs, fonctionnant dans les mêmes conditions à leurs entrées comme à leurs sorties, sont constitués d’un tube central en acier de diamètre intérieur 25 mm et d’épaisseur 5 mm entouré d’un tube annulaire de diamètre intérieur 50 mm. Dans le tube central circule, en circuit fermé, de l’eau chaude (fluide chaud), elle entre à la température 130°C et quitte l’échangeur à la température 60°C. Dans le tube périphérique, on fait passer un courant d’eau (fluide froid), ses températures d’entrée et de sortie sont respectivement 10 °C et 45°C. En considérant les données présentées dans les tableaux suivants : Acier Conductivité thermique a=40 kcal.h-1.m-1.°C-1 Eau Masse Viscosité Conductivité Nombre de volumique dynamique thermique Prandlt -5 3 η=15.6 10 Pl 0.98 = 980 kg/m = 0.57 kcal/h.m.°C Corrélations Nombre de Nusselt Nombre de Relation entre Nu et 23 Université de Carthage Ecole Nationale d’Ingénieurs de Bizerte Chaleur massique Cp=4180 J.Kg-1°C1 AU : 20/21 Notes de Cours de Transfert Thermique Reynolds N u 0.025 Re 0.8 Pr 0.4 Re VD Ayadi Mahfoudh &Houda Oukabi coefficient d’échange par convection he hD Nu e Diamètre hydraulique D=4.section mouillée/Périmètre mouillée 200 Kg/mn Sortie eau θs=45°C Entrée eau θe=10°C 1 2 3 4 Sortie fluide chaud Ts=60°C Entrée fluide chaud Te=130°C Chaudière 1. 2. 3. 4. 5. 6. Figure 2: schéma de principe de la nouvelle Installation thermique Déterminer la puissance calorifique récupérée par le fluide froid au niveau de l’échangeur (1). Calculer le débit calorifique du fluide froid. Calculer le débit massique q1 puis le débit calorifique du fluide circulant dans le tube central de l’échangeur (1) En négligeant l’effet de la température sur la viscosité dynamique de l’eau, calculer les vitesses d’écoulement V1 dans le tube central et V2 et dans l’espace annulaire. Evaluer les nombres de Reynolds respectifs Re1 et Re2 des deux écoulements. En considérant la même corrélation pour les deux fluides, déterminer les coefficients d’échange par convection h1 (fluide chaud/paroi interne du tube central) et h2 (fluide froid/paroi externe du tube central) Donner la relation exprimant le coefficient global d’échange h rapporté à la surface extérieur du tube central de l’un des échangeurs, en déduire la valeur de ce coefficient. Définir puis calculer la moyenne logarithmique des différences de température de l’échangeur. 24 Université de Carthage Ecole Nationale d’Ingénieurs de Bizerte AU : 20/21 Notes de Cours de Transfert Thermique Ayadi Mahfoudh &Houda Oukabi 7. Déterminer la longueur des tubes permettant de satisfaire la puissance calorifique demandée. Quel est le fluide qui commande le transfert ? Définir puis calculer l’efficacité thermique de la nouvelle installation 8. Que se passera t-il si les 4 échangeurs seront mis en série ? faire un schéma et expliquer ? Eléments de Correction 1. Puissance calorifique perdue qmC p (Te Ts ) A.N : qm=150 kg/mn, Cp=4180 JKg-1C-1 Φ= 557.333KW 2. Constante et température moyenne A x=0 : T (0) Te A A x=L : T ( L) Ts Te exp(BL) Ts cela conduit à : B Tmoy T 1 Log e L Ts A (1 exp( BL)) B.L A.N : A=85°C, B=636.10-6 m-1, Tmoy=62.9°C 3. Résistance thermique moyenne Rth Tmoy Tex , cela donne Rth (Tmoy Tex ) / AN : Rth=9.49.10-5 °CW-1 4. Résistance thermique moyenne eau/paroi interne hinD1 L(Tmoy TPmoy ) 1 et TPmoy Tmoy Rthin hinD1 L AN : Rthin=1.495.10-5 °CW-1 et TPmoy=54.56 °C cela conduit à : Rthin 5. Résistance thermique moyenne eau/paroi interne De Log Di Rtube 2a L TPmoy Tex Rtube on pourra écrire : Tex TPmoy Rtube AN. Rtube=3.196.10-6 °CW-1 et Tex=52.78 °C 6. Résistance thermique du calorifuge Tex Ta Rcalorifuge et A.N : Risolant=7.675 °CW 25 Risolant Tex Ta -1 Université de Carthage Ecole Nationale d’Ingénieurs de Bizerte AU : 20/21 Notes de Cours de Transfert Thermique Ayadi Mahfoudh &Houda Oukabi 7. Epaisseur de l’isolant eisolant De .(exp(2iso LRisolant ) 1) AN eisolant=0.2 cm=2 mm 8. Puissance calorifique récupérée q 2 C p ( s e ) A.N. Φ=50.4180.(45-10)/60=121.196 KW 9. Débit du fluide chaud q1C p (Te Ts ) Le débit massique est alors 2 q1 C p (Te Ts ) AN : q1=25kg/mn 10. Vitesses et nombre de Reynolds V1 4.q1 /(D12 ) , Re 2 V2 4.q 2 / ( D32 D22 ) , Re1 V1 D , V2 ( D3 D2 ) , AN: V1=0.866 ms-1, V2=0.849 ms-1, Re1=136029, Re2=80017 11. Coefficients de convection N u 0.025 Re 0.8 Pr 0.4 Nu he D AN: Nu1=0.025Re1 0.8 Pr 0.4=317.2, Nu2=0.025Re2 0.8 Pr 0.4=317=207.48, h1=λ.Nu1/D1=8397.43 Wm-2°C-1, h2= λ.Nu2/(D3-D2)=9154.53 Wm-2°C-1 12. Coefficient global d’échange h 1 D2 1 D2 Log ( D2 / D1 ) h1 D1 h2 2 A.N: h=3623.73 Wm-2°C-1 13. MLDT Tm Ts Te Log (Ts / Te ) A.N : Tm 26 (60 45) (130 10) Log ((60 45) /(130 10)) Université de Carthage Tm 50.49C Ecole Nationale d’Ingénieurs de Bizerte AU : 20/21 Notes de Cours de Transfert Thermique Ayadi Mahfoudh &Houda Oukabi 14. Longueur de l’échangeur hD2 LTm L / hD2 Tm On est dans le cas Qc<qc , c’est le fluide chaud qui commande le transfert : T Ts e Te e A.N : L= 6.06 m , ε=0.588 27 Université de Carthage Ecole Nationale d’Ingénieurs de Bizerte AU : 20/21
