Théorème de Bolzano-Weierstrass

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(In)nNIn= [an, bn]
In+1 In|bnan|
TnNIn
In
f(x)=0 f
[a, b]
[a, b]
f(a)f(b)0 [a, a+b
2] [a+b
2, b]
1
2{x0}
f(x0)=0
y=f(x)f
[a, b]y=c c
f(a)f(b)
fQ[0,2] Qf(x) = x2
f(0) = 0 f(2) = 4
Q
10n
2
ε
ARα
α A α
A A
A= [0,1[ 0 1 A[0,1]
0A1/A
A={1
n, n N}0A0/A
A
[a, b]a<b [a, a+b
2] [a+b
2, b]
A
{x0}
x0A x0
A
α A R
A α
(un)nNε > 0n0
]αε, α +ε[
α
α A α α
A
α A n N]α1
n, α+1
n[
A α unε > 0
n00<1
n0< ε n n0
un]α1
n, α +1
n[]α1
n0
, α +1
n0
[]αε, α +ε[
(un)nNA α
n un6=α
AR
A
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