MT33 - (ZFC) Axiomes de Zermelo-Fraenkel & Axiome du choix
1
Axiome d’extensionnalité
Axiome d’extensionnalité
Si deux ensembles ont les mêmes éléments, alors ils sont égaux.
(∀x)(∀y) ((∀z)((z ∈ x) ⇐⇒ (z ∈ y)) =⇒ (x = y))
2
(1)
Axiome de l’ensemble vide
Axiome de l’ensemble vide
Il existe un ensemble qui n’a aucun élément.
(∃x)(∀y)(¬(y ∈ x))
3
(2)
Axiome de la paire
Axiome de la paire
Si x et y sont deux ensembles, alors il existe un ensemble dont les seuls éléments sont x et y.
(∀x)(∀y)(∃z)(∀t) ((t = x) ∨ (t = y)) ⇐⇒ (t ∈ z)
(3)
4
Axiome de la réunion
Axiome de la réunion
Pour tout ensemble x, il existe un ensemble dont les seuls éléments sont les éléments des éléments
de x.
(∀x)(∃y)(∀t) (((∃z)((t ∈ z) ∧ (z ∈ x))) ⇐⇒ (t ∈ y))
(4)
5
Axiome de l’ensemble des parties
Axiome de l’ensemble des parties
Pour tout ensemble x, il existe un ensemble dont les seuls éléments sont les sous-ensembles de
x.
(5)
(∀x)(∃y)(∀t) ((∀z)((z ∈ t) =⇒ (z ∈ x))) ⇐⇒ (t ∈ y)
|
{z
}
t⊆x
6
Axiome de l’infini
Axiome de l’infini
Il existe un ensemble héréditaire.
(∃x) (∅ ∈ x) ∧ ((∀t)((t ∈ x) =⇒ (t ∪ {t} ∈ x)))
7
(6)
Schéma d’axiomes de séparation (ou de compréhension restreinte)
Schéma d’axiomes de séparation (ou de compréhension restreinte)
Soit F (t, u1 , . . . , un ) une formule à n + 1 variables libres. Pour tous ensembles u1 , . . . , un , pour
tout ensemble x, il existe un ensemble y dont les seuls éléments sont les éléments t de x qui
satisfont la propriété F (t, u1 , . . . , un ).
(∀u1 ) . . . (∀un )(∀x)(∃y)(∀t) ((t ∈ y) ⇐⇒ ((t ∈ x) ∧ F (t, u1 , . . . , un )))
8
(7)
Schéma d’axiomes de remplacement (ou de substitution)
Schéma d’axiomes de remplacement (ou de substitution)
Soit R(x, y, u1 , . . . , un ) une formule à n + 2 variables libres qui est fonctionnelle en x et y,
c’est-à-dire telle que :
(∀u1 ) . . . (∀un )(∀x)(∀y)(∀y 0 )((R(x, y, u1 , . . . , un ) = R(x, y 0 , u1 , . . . , un )) =⇒ (y = y 0 ))
(8)
Pour tous ensembles u1 , . . . , un , pour tout ensemble a, il existe un ensemble b dont les seuls
éléments sont les images des éléments de a pour cette relation fonctionnelle.
(∀u1 ) . . . (∀un )(∀a)(∃b)(∀y) (((∃x)((x ∈ a) ∧ R(x, y, u1 , . . . , un )) ⇐⇒ (y ∈ b))
9
(9)
Axiome de fondation
Axiome de fondation
Tout ensemble x non vide a un élément qui n’a aucun élément en commun avec x.
(∀x) ((x 6= ∅) =⇒ ((∃y)((y ∈ x) ∧ (x ∩ y = ∅))))
10
(10)
Axiome du choix
Axiome du choix
Tout ensemble x admet une fonction de choix, c’est-à-dire une fonction qui, dans chaque élément
non vide de x, choisit un élément.
[
(∀x)(∃f : x \ {∅} →
x) ((∀t)(((t ∈ x) ∧ (t 6= ∅)) =⇒ (f (t) ∈ t)))
(11)
