ZFC fiche

MT33 - (ZFC) Axiomes de Zermelo-Fraenkel & Axiome du choix
1 Axiome d’extensionnalit´e
Axiome d’extensionnalit´e
Si deux ensembles ont les mˆemes ´el´ements, alors ils sont ´egaux.
(∀x)(∀y) ((∀z)((z∈x)⇐⇒ (z∈y)) =⇒(x=y)) (1)
2 Axiome de l’ensemble vide
Axiome de l’ensemble vide
Il existe un ensemble qui n’a aucun ´el´ement.
(∃x)(∀y)(¬(y∈x)) (2)
3 Axiome de la paire
Axiome de la paire
Si xet ysont deux ensembles, alors il existe un ensemble dont les seuls ´el´ements sont xet y.
(∀x)(∀y)(∃z)(∀t)((t=x)∨(t=y)) ⇐⇒ (t∈z)(3)
4 Axiome de la r´eunion
Axiome de la r´eunion
Pour tout ensemble x, il existe un ensemble dont les seuls ´el´ements sont les ´el´ements des ´el´ements
de x.
(∀x)(∃y)(∀t) (((∃z)((t∈z)∧(z∈x))) ⇐⇒ (t∈y)) (4)
5 Axiome de l’ensemble des parties
Axiome de l’ensemble des parties
Pour tout ensemble x, il existe un ensemble dont les seuls ´el´ements sont les sous-ensembles de
x.
(∀x)(∃y)(∀t)((∀z)((z∈t) =⇒(z∈x)))
| {z }
t⊆x
⇐⇒ (t∈y)(5)

6 Axiome de l’infini
Axiome de l’infini
Il existe un ensemble h´er´editaire.
(∃x)(∅ ∈ x)∧((∀t)((t∈x) =⇒(t∪ {t} ∈ x)))(6)
7 Sch´ema d’axiomes de s´eparation (ou de compr´ehension res-
treinte)
Sch´ema d’axiomes de s´eparation (ou de compr´ehension restreinte)
Soit F(t, u1, . . . , un) une formule `a n+ 1 variables libres. Pour tous ensembles u1, . . . , un, pour
tout ensemble x, il existe un ensemble ydont les seuls ´el´ements sont les ´el´ements tde xqui
satisfont la propri´et´e F(t, u1, . . . , un).
(∀u1). . . (∀un)(∀x)(∃y)(∀t) ((t∈y)⇐⇒ ((t∈x)∧F(t, u1, . . . , un))) (7)
8 Sch´ema d’axiomes de remplacement (ou de substitution)
Sch´ema d’axiomes de remplacement (ou de substitution)
Soit R(x, y, u1, . . . , un) une formule `a n+ 2 variables libres qui est fonctionnelle en xet y,
c’est-`a-dire telle que :
(∀u1). . . (∀un)(∀x)(∀y)(∀y0)((R(x, y, u1, . . . , un) = R(x, y0, u1, . . . , un)) =⇒(y=y0)) (8)
Pour tous ensembles u1, . . . , un, pour tout ensemble a, il existe un ensemble bdont les seuls
´el´ements sont les images des ´el´ements de apour cette relation fonctionnelle.
(∀u1). . . (∀un)(∀a)(∃b)(∀y) (((∃x)((x∈a)∧R(x, y, u1, . . . , un)) ⇐⇒ (y∈b)) (9)
9 Axiome de fondation
Axiome de fondation
Tout ensemble xnon vide a un ´el´ement qui n’a aucun ´el´ement en commun avec x.
(∀x) ((x6=∅) =⇒((∃y)((y∈x)∧(x∩y=∅)))) (10)
10 Axiome du choix
Axiome du choix
Tout ensemble xadmet une fonction de choix, c’est-`a-dire une fonction qui, dans chaque ´el´ement
non vide de x,choisit un ´el´ement.
(∀x)(∃f:x\ {∅} → [x) ((∀t)(((t∈x)∧(t6=∅)) =⇒(f(t)∈t))) (11)