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Electronique Analogique

Électronique analogique
louis tomczyk
31 janvier 2021
Table des matières
Avant Propos
1
partie 1. Lois et composants de base de l’électronique
Chapitre 1.
3
Lois générales de l’électrocinétique
5
1. Grandeurs élémentaires
5
1.1. Courant
5
1.2. Tension
6
1.3. Conventions
7
2. Composants élémentaires
8
2.1. Résistance
8
2.2. Condensateur
9
2.3. Bobine
10
3. Lois Usuelles
11
3.1. Lois de Kircchhoﬀ
11
3.2. Loi des nœuds
11
3.3. Loi des mailles
11
3.4. Loi d’Ohm
12
3.5. Impédances
13
3.5.1. Impédances Complexes
13
3.5.2. Manipulation d’Impédances
14
3.6. Théorème de Millman
16
3.7. Pont diviseurs
17
4. Énergies et puissances
18
4.1. Puissance : généralité
18
4.2. Puissance et énergies : composants
18
4.2.1. Puissance : eﬀet Joule
18
4.2.2. Énergie : Condensateur
18
4.2.3. Énergie : Bobine
19
Chapitre 2.
Filtrage Passif
21
1. Utilité du ﬁltrage
21
2. Préliminaires Mathématiques
23
3
4
Table des matières
2.1. Équations diﬀérentielles linéaires du premier ordre à coeﬃcients constants
23
2.2. Équations diﬀérentielles linéaires du second ordre à coeﬃcients constants
25
2.3. Passage en complexes
27
2.3.1. Écriture
27
2.3.2. Application à une EDL 1
27
2.3.3. Application à une EDL 2
28
2.4. Échelles logarithmiques
28
2.5. Diagrammes de Bode
30
3. Filtres du premier ordre
32
3.1. Passe bas
32
3.1.1. Fonction de transfert
32
3.1.2. Diagrammes de Bode
32
3.1.3. Étude asymptotique
33
3.1.4. Coupure
34
3.2. Passe haut
35
3.2.1. Diagrammes de Bode
35
3.2.2. Étude asymptotique
36
3.2.3. Coupure
37
3.3. Régime Sinusoïdal Forcé ( RSF )
37
3.4. Abus de notation
38
3.5. Formulaire
38
4. Filtres du second ordre
39
4.1. Passe bas
39
4.1.1. Fonction de transfert
39
4.1.2. Coupure
40
4.2. Passe haut
42
4.3. Passe bande
43
4.3.1. Coupure
44
4.4. Coupe Bande
45
4.5. Formulaires
47
5. Filtres ordres supérieurs
48
5.1. Représentation quadripolaire
48
5.1.1. Matrices de quadripôles
48
5.1.2. Quadripôles Usuels
50
5.1.3. Quadripôles Usuels : Calcul des matrices
52
5.2. Exemples de ﬁltres
55
Chapitre 3.
Ampliﬁcateur Linéaire Intégré ( ALI )
57
Table des matières
5
1. Description du composant
57
1.1. Introduction
57
1.2. Caractéristiques générales
58
1.2.1. ALI idéal
58
1.2.2. ALI réel
58
2. Montages élémentaires
61
2.1. Suiveur
61
2.2. Ampliﬁcateur Inverseur
62
2.3. Ampliﬁcateur non Inverseur
62
2.4. Convertisseur courant/tension
63
2.5. Comparateur simple
63
2.6. Trigger de Schmidt ( Comparateur à hystérésis )
63
3. Opérations mathématiques
67
3.1. Sommateur Inverseur
67
3.2. Soustracteur
67
3.3. Racine carrée
68
3.4. Diviseur
68
3.5. Exponentielle
68
3.6. Logarithme
69
3.7. Intégrateur de Miller
69
3.8. Dérivateur inverseur
70
3.9. Déphaseur
70
4. Simulateurs
72
4.1. Résistance négative
72
4.2. Simulateur de bobine
73
4.3. Simulateur de condensateur
75
Chapitre 4.
Filtrage actif
77
1. Premier ordre
77
1.1. Passe bas
77
1.2. Passe haut
78
2. Cellulle de Rauch
78
2.1. Fonction de transfert générale
78
2.2. Passe bas
79
2.3. Passe haut
80
2.4. Passe bande
80
3. Cellulle de Sallen Kay
81
3.1. Fonction de transfert générale
81
6
Table des matières
3.2. Passe bas
82
3.3. Passe haut
83
3.4. Passe bande
83
4. Autres techniques
85
4.1. Passe bande à commande numérique
85
5. Conception de ﬁltres
88
5.1. Cahier des charges
88
5.2. Structure des fonctions de transferts
90
5.2.1. Notations
90
5.2.2. Rappels sur les polynômes
92
5.2.3. Généralités sur les fonctions de transfert
93
5.2.4. Causalité
94
5.2.5.
95
Stabilité
5.3. Types de ﬁltres
98
5.4. Filtres de Bessel-Thomson-Kiyasu ( BTK )
100
5.5. Filtres de Butterworth
103
5.6. Filtres de Chebichev
106
5.7. Filtres de Legendre
109
5.8. Filtres non polynomiaux
110
Chapitre 5.
Introduction à la microélectronique
113
1. Introduction aux SemiConducteurs ( SC )
113
1.1. Généralités
113
1.1.1. Énergie de GAP
113
1.1.2. Composition
114
1.1.3. Dopage
115
1.1.4. Porteurs de charges et loi d’action de masse
115
1.1.5. Niveau de Fermi
117
1.2. Courants
117
1.2.1. Mobilité et coeﬃcient d’Einstein
118
1.2.2. Courants
118
1.2.3. Densité volumique de charges
118
1.3. Jonction PN
119
1.3.1. Tension de seuil
119
1.3.2. Polarisation
120
1.3.3. Loi de Shockley
120
2. Transistor
123
2.1. Fonctionnement général
123
Table des matières
7
2.2. Polarisation
125
2.2.1. Polarisation par la base à deux alimentations, montage ampliﬁcateur de courant
126
2.2.2. Polarisation par la base à une alimentations
127
2.2.3. Polarisation par la base par pont de résistances
127
2.3. Régime dynamique : modèle petit signaux
129
2.3.1. Notations
129
2.3.2. Conductances
129
2.3.3. Modèles hybrides
130
2.4. Exemples de montages à transistor
132
2.4.1. Structure d’un ALI élémentaire
132
2.4.2. Étage ampliﬁcateur
133
partie 2. Montages électroniques élémentaires
Chapitre 6.
Oscillateurs...
139
141
1. Introduction
141
1.1. Généralités
141
1.2. Condition d’oscillation
142
2. classiques
144
2.1.
144
... à résistance négative
2.2. ... de Wien
145
2.3. ... de Colpitts
146
2.4. Oscillateur de relaxation : générateur de branches d’exponentielles
148
2.5. Oscillateur de relaxation : générateur de triangle
150
3. à commande et portes logiques
151
3.1. Astable à timer NE555
151
3.2. Voltage Controlled Oscillator, VCO
155
3.2.1. Commande en tension
155
3.2.2. Inverseur
157
3.2.3. Intégrateur inverseur
157
3.2.4. Comparateur à hystérésis
158
3.2.5. Fonctionnement
158
Chapitre 7.
Divers
163
1. Pont de Wheastone
163
2. Redressement...
166
2.1. ...Mono-alternance
166
2.2. ...Double alternance
166
3. Histoires de crêtes
168
8
Table des matières
3.1. Détecteur de crêtes
168
3.2. Écréteur
169
4. Ampliﬁcateur à gain programmable
171
5. Multiplexage
173
5.1. Multiplexeur
173
5.2. Démultiplexeur
174
6. Convertisseur Numérique/Analogique réseau R-2R
175
6.1. Fonctionnement
175
6.2. Réglage de la pleine échelle
179
partie 3. Implémentation MATLAB
181
Chapitre 8.
Filtrage
183
1. Étude fréquentielle
183
2. Synthèse de ﬁltres de ...
187
2.1. ...Butterworth
187
2.1.1. Fonctions utiles
187
2.1.2. Pôles de la fonction de transfert
187
2.2. ...Chebychev
189
2.3. ...Bessel-Thomson-Kiyasu
189
2.4. ...Legendre
190
Chapitre 9.
Bibliographie
191
Lois usuelles
191
Ampliﬁcateur Linéaire Intégré
191
Divers
191
Filtrage passif
191
Filtrage actif
191
Introduction à la microélectronique
191
Oscillateurs
191
Implémentation MATLAB
192
Avant Propos
Ce document présente les bases de l’électronique analogique. Il présente les lois élémentaires et introduit des composants
comme l’Ampliﬁcateur Linéaire Opérationnel ( ALI ), les diodes et transistors.
Seront présentés des montages élémentaires ayant diﬀérents objectifs : ﬁltrage, multiplexage, oscillateurs etc. Mais aussi des
codes MATLAB/OCTAVE disponibles pour la synthèses de ﬁltres mais aussi pour tracer des diagrammes couramment utilisés
en électronique. Pour les lecteurs(rices) non aguéri(e)s ce document permet aussi une introduction à pleins de domaines de
la physique comme : les asservissements, la physique des semiconducteurs, l’électromagnétisme, l’électronique de puissance,
l’électronique numérique etc. J’en proﬁte ici pour indiquer que ce document est fait par un étudiant pour les étudiants et
les débutants ayant un minimum de connaissances mathématiques comme la dérivation et l’intégration sur segments. C’est
pourquoi beaucoup de sections sont inspirés de sujets de concours ou de devoirs que j’ai eu à faire durant mon cursus. De
plus, seront volontairement omis des théorèmes et lois que l’on trouve classiquement dans la très grande majorité de cours,
je pense par exemples aux théorèmes de Thevenin et Norton. Ceci car je n’en ai jamais eu besoin et n’ont, pour moi, pas
d’intérêt pratique.
J’espère que ce document pourra aussi servir d’auto-formation pour celles et ceux qui souhaitent soit rattraper leur niveau
d’antan ou juste pour les curieux.
Cependant, en aucun cas ce document n’a la prétention d’être d’une part dénué de fautes de frappes ( ou autres plus graves )
et je vous remercierai de m’en faire part ( en cliquant ici ) , ni de faire une présentation qualitative et exhaustive de toutes
les technologies, théorèmes et lois de l’électrocinétique. Ce document est plus centré sur le calcul qu’autre chose. D’ailleurs
j’en proﬁte pour annoncer que souvent les calculs peuvent être menés de plein de façons diﬀérentes et qu’au fur et à mesure
que vous progresserez dans le document et plus je ferai appel aux résultats obtenus, souvent dans des cas plus généraux,
précédents. Puis, les physiciens ont l’habitude de noter le nombre complexe i \i 2 = −1 : j. Mais dans ce document nous
garderons la notation i . Dans la très grande majorité des cas la distinction se fera d’elle même entre le courant du nombre
complexe. Dans le peu de cas où la distinction sera à faire le courant s’écrira I(t) ou I(t) pour la notation complexe.
Puis, jamais assez je vous dirigerai vers la bibliographie qui m’a beaucoup aidé.
Première partie
Lois et composants de base de l’électronique
Chapitre 1
Lois générales de l’électrocinétique
1. Grandeurs élémentaires
1.1. Courant. La charge électrique élémentaire q vaut :
q
≈ −1.6o2 C
Les caractéristiques de la charge électrique sont les suivantes :
• la charge électrique est extensive, i.e. si la charge totale d’un ensemble de charges et la somme de toutes les charges
individuelles
• la charge se conserve dans le temps
• toute charge électrique que l’on rencontre dans la nature est un multiple entier de cette charge élémentaire
• du point de vue macroscopique il y a continuité de la charge
• elle est invariante par changement de référentiel
• l’électron possède, conventionnellement, une charge négative
⃗ duquel découle la
Les charges électriques sont portées par les électrons et se déplacent sous l’action d’un champ électrique E
force de Coulomb F⃗e :
F⃗e
(1)
⃗
= q·E
Le courant électrique I, dont l’unité est l’Ampère A, est lié au déplacement de ces charges sur un temps ∆t :
q = I · ∆t
(2)
Qui dit déplacement dit vitesse. En notant N le nombre de charges et υ
⃗ la vitesse des électrons. On peut donc déﬁnir un
vecteur lié au déplacement des électrons appelé densité volumique de courants ⃗j lié à la vitesse υ
⃗ :
⃗j = N · q · υ
⃗
(3)
Mais dans le cas général on déﬁnit des densités de charges :
densité linéique
λ en C · m−1
σ en C · m−2
densité surfacique
5
densité volumique
ρ en C · m−3
6
1. LOIS GÉNÉRALES DE L’ÉLECTROCINÉTIQUE
et l’on s’en sert pour déﬁnir les densité de courants ...
linéique
⃗j = λ · υ
⃗
surfacique
⃗j = σ · υ
⃗
volumique
⃗j = ρ · υ
⃗
Ces charges se déplacent à travers une section de surface S. Le courant total est donc la somme de toutes les charges
traversant cette surface durant un temps dt, ce qui se traduit par une intégrale.
ZZ
(4)
I
⃗j · d⃗2 S
=
S
1.2. Tension. La tension, dont l’unité est le Volt V, est une diﬀérence de potentiel électrique, de même unité. Celui-ci
est source d’un champ électrostatique selon la relation :
(5)
⃗ = −gr⃗ad (V )
E
Ainsi ici on voit que le champ électrique est lié à une variation de potentiel dans l’espace. Or le potentiel électrique trouve sa
source dans l’existence des charges électriques. Dans le cas d’une charge ponctuelle située en r⃗o dans le vide, le potentiel en
un point ⃗r s’écrit :
(6)
V (⃗r) =
q
4 · π · εo · |⃗r − r⃗o |
On a donc une relation directe entre un champ électrostatique, d’unité le V /m, et la charge électrique. Ainsi, grossièrement,
plus la quantité de charges électrique est importante et plus le potentiel augmente.
1. GRANDEURS ÉLÉMENTAIRES
7
1.3. Conventions. En électronique des conventions sont utilisées pour étudier les circuits. Il existe des conventions portant
sur le courant et la tension.
• première convention : le déplacement des charges électriques et le sens conventionnel du courant sont opposés, voir ﬁgure
1.
Figure 1. Sens réel et conventionnel du courant
• deuxième convention : le signe de la tension au bornes d’un composant dépend de conventions présentes sur les ﬁgure 2 et
3.
Figure 2. Convention récepteur
Figure 3. Convention générateur
8
1. LOIS GÉNÉRALES DE L’ÉLECTROCINÉTIQUE
2. Composants élémentaires
2.1. Résistance. La résistance est le composant le plus élémentaire qu’il soit. Un peu comme un frein qui empêche une
roue de tourner où la roue sont les électrons circulant dans un ﬁl électrique, la résistance est un composant qui freine la
progression des électron. Même les ﬁls électriques possèdent une résistance interne. On considère une ﬁl de longueur L, de
section S et de résistivité σR ( d’unité Ω · m ), la résistance R ( d’unité le Ohm Ω ), vaut :
R = σR · L/S
(7)
On commence par écrire le courant traversant un ﬁl électrique parfaitement circulaire de section S :
ZZ
⃗j · d⃗2 S
I=
S
En admettant la loi d’Ohm locale de la sous sous-section 3.4 :
ZZ
⃗ · d⃗2 S
γC · E
I=
S
⃗ = E · u⃗ constant est uniforme sur toute la section de vecteur unitaire d⃗2 S = d 2 S⃗
Puis en supposant que le champ E
u
on a :
ZZ
I = γC · E ·
d 2 S = γC · E · S
S
Puis en écrivant la tension au bornes d’un ﬁl de longueur L on a la relation entre la tension et la longueur L délimitée
entre par deux points A et B.On utilise la relation de la sous section 1.2.
Z
UAB
Z
A
B
dV = VA − VB =
=
B
⃗ · dr
⃗ =E·L
E
A
Puis la loi d’Ohm macroscopique de la sous-section 3.4 donne le résultat en utilisant γC = 1/σR :
U =R·I
⇐⇒
L = R · γC · S
2. COMPOSANTS ÉLÉMENTAIRES
9
Dans l’étude des circuits électroniques cette résistance n’est jamais prise en compte car négligeable devant les résistances
habituelles. Prenons, par exemple une résistance R = 1 Ω, supposée parfaitement circulaire de longueur L = 1 cm, de section
′
S ≈ 1o −6 m2 ⇐⇒ r ay on ≈ 1 mm et totalement en cuivre ayant une résistivité σR
que l’on cherche à comparer avec la
résistivité σR ≈ 2 · 1o −8 Ω · m des ﬁls de cuivre.
′
R = 1 = σR
·
L
1o 4
′
≈ σR
·
S
1
⇐⇒
′
σR
≈ 1o −4
=⇒
′
σR
/σR ≈ 1o 4
La résistance R est la grandeur macroscopique, à l’échelle microscopique c’est σR la résistivité inversement proportionelle à
la conductivité γC . Le schéma électrique de la résistance est :
Figure 4. Schéma de résistance
2.2. Condensateur. Le condensateur est un composant qui retient les charges électriques. De façon sommaire un condensateur est composé de deux électrodes métalliques séparées par un isolant. Lorsqu’une tension est appliquée aux bornes d’un
condensateur les charges électriques sont portées jusqu’aux électrodes mais ne peuvent pas traverser l’isolant ( sauf si la
tension dépasse une tension de claquage, phénomène visualisable avec la machine de Whimshurt ici )
Le schéma électrique est sur la ﬁgure 5. L’espace vide entre les deux électrodes représente l’isolant.
Figure 5. Schéma d’un condensateur
Ce qui caractérise un condensateur c’est sa capacité C qui est liée aux charges q qui le traverse et la tension U qui lui est
appliquée :
Capacité
(8)
q =C·U
⇐⇒
i =C·
dU
dt
Dans les cours d’électromagnétisme on trouve une relation liant la capacité à la surface des électrodes S, la distance entre
les deux électrodes e et la permittivité diélectrique du matériau isolant ε :
(9)
C =ε·
S
e
Cette relation se justiﬁe à l’aide de quelques hypothèses mais l’idée est là, la capacité augmente lorsque :
• la surface des électrodes augmente
• la distance entre les électrodes diminue
La capacité d’un condensateur se mesure en Farads F et assure la continuité de la tension
10
1. LOIS GÉNÉRALES DE L’ÉLECTROCINÉTIQUE
2.3. Bobine. Les bobines sont des composants formés uniquement de ﬁls électriques enroulés sur eux mêmes. Le schéma
électrique d’une bobine est sur la ﬁgure 6.
Figure 6. Schéma d’une bobine
Ce qui caractérise une bobine c’est son inductance L qui est liée au nombre de spires N, à la section S formée par les spires
, µ la perméabilité magnétique et l la longueur de la bobine :
Capacité
(10)
i =L·
dU
dt
De même les cours d’électromagnétisme on peut trouver une relation liant l’inductance aux paramètres cités :
(11)
L=µ·
N2 · S
l
On observe que l’inductance, comme la capacité d’un condensateur, évolue linéairement avec la section, inversement proportionnel à une longueur caractéristique et évolue quadratiquement avec le nombre de spires. La bobine, contrairement au
condensateur, assure la continuité du courant.
3. LOIS USUELLES
11
3. Lois Usuelles
3.1. Lois de Kircchhoﬀ. Les lois de Kircchhoﬀ sont les lois de bases qui permettent d’étudier les circuits électroniques.
Elles sont au nombre de deux :
• loi des nœuds
• loi des mailles
3.2. Loi des nœuds. La loi des nœuds porte sur les courants. Elle donne la relation entre diﬀérents courants rejoignant
un nœud ( point A sur la ﬁgure 7 ) électrique.
Figure 7. Loi des nœuds
Celle ci s’écrit :
Loi des Nœuds
ΣN
k=1 νk · ik
(12)
=o
Où N est le nombre de ﬁls et νk = +1 lorsque le courant se dirige vers le nœud et ν = −1 lorsque le courant s’éloigne du
nœud. Ce qui revient à dire que la somme des courants entrant est égale à la somme des courants sortants. Dans le cas de
la ﬁgure 7 on a :
i1 − i2 + i3 − i4 + i5 = o
⇐⇒
i1 + i3 + i5 = i2 + i4
3.3. Loi des mailles. Contrairement à la loi des nœuds, la loi des mailles porte sur les tensions. Un exemple de maille en
électronique est représentée sur la ﬁgure 8.
Figure 8. Loi des mailles
La loi est similaire que la loi des noeuds et :
12
1. LOIS GÉNÉRALES DE L’ÉLECTROCINÉTIQUE
Loi des Mailles
ΣN
k=1 νk · Uk
(13)
=o
Où N est le nombre de dipôles et νk = ±1. Le signe ± dépends de la convention prise par la personne qui étudie le circuit.
Peu importe la convention, il faut que ce soit la même qui soit choisie pour toute l’étude. Dans l’exemple de la ﬁgure 8 cela
peut donner :
Uo − U1 − U2 + U3 = o
ou
−Uo + U1 + U2 − U3 = o
La démonstration est valable ici, page 7 et utilise la conservation de la charge dans une maille fermée.
3.4. Loi d’Ohm. La loi d’Ohm s’écrit de deux manières :
• loi d’Ohm macroscopique : dite loi d’Ohm
• loi d’Ohm microscopique : dite loi d’Ohm locale
Elles s’écrivent :
Lois d’Ohm
(14)
loi d ′ Ohm
(15)
loi d ′ Ohm locale
U =Z·I
⃗j = γC · E
⃗
Où :
• Z : l’impédance du composant à travers lequel passe un courant, en Ohm, Ω
• ⃗j : la densité volumique de courant
• γC : la conductivité en S/m ( Siemens par mètres )
• E : le champ électrique à l’origine du mouvement des charges
La loi d’Ohm macroscopique permet de voir que si l’impédance est nulle alors la tension est nulle. Or la tension aux bornes
d’un composant est nulle si ce composant est un ﬁl. À l’inverse, si l’impédance est inﬁnie alors la tension est inﬁnie. Et la
tension est inﬁnie uniquement aux bornes d’un interrupteur ouvert. On a une expression simple de la conductivité γC :
(16)
où :
• N : le nombre de porteurs de charges
• m : la masse des porteurs
• q : la charge électrique
• h : coeﬃcient d’interaction électron/milieu
γC
=
N · m · q2
h
3. LOIS USUELLES
13
À l’échelle microscopique on considère un milieu conducteur et un électron de masse m de vitesse υ
⃗ et soumis à une
force de frottements qui rend compte des interactions de l’électron avec les autres atomes et de la force de Coulomb.
Le principe fondamental de la dynamique appliqué à cet électron donne :
dυ
⃗
dt
dυ
⃗
= m·
dt
= m·
ΣF⃗
⃗
−h · υ
⃗ +q·E
On obtient donc une équation diﬀérentielle du premier ordre et la solution υ∞ , en régime permanent, est :
h
dυ
⃗
⃗
+
·υ
⃗ =q·E
dt
m
=⇒
régime permanent
υ⃗∞ =
m·q ⃗
·E
h
Maintenant on peut calculer le vecteur densité de courants en supposant que les électrons qui se déplacent n’interagissent pas entre eux ce qui donne un courant total comme juste étant la somme des courants individuels :
(17)
2
⃗j = N · q · υ⃗∞ = N · m · q · E
⃗
h
3.5. Impédances.
3.5.1. Impédances Complexes. La loi d’Ohm précédemment annoncée donne le lien entre la tension aux bornes d’un
composant et le courant le traversant. En utilisant la notation complexe, introduite à la sous-section 2.3, on peut reprendre
la sous-section portant sur les composants électroniques. Pour les condensateurs on note l’impédance ZC , pour les bobines
on note ZL et ω la pulsation.
Impédances des composants élémentaires
(18)
ZC =
1
i ·C·ω
ZL = i · L · ω
On peut donc observer les comportements composants avec la fréquence.
• Lorsque la fréquence est nulle ou tend vers o alors le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert et la bobine
comme un ﬁl.
• Lorsque la fréquence tend vers ∞ alors le condensateur se comporte comme un ﬁl et la bobine comme un interrupteur
ouvert
On appelle admitance l’inverse de l’impédance :
Impédance et inductance
(19)
Z = 1/Y
14
1. LOIS GÉNÉRALES DE L’ÉLECTROCINÉTIQUE
3.5.2. Manipulation d’Impédances. Par moment il est possible de simpliﬁer les études en raisonnant sur les impédances.
Il faut avant déﬁnir ”impédances en série” et ”impédances en parallèles”.
Série VS Parallèle
• Deux impédances d’un circuit électronique sont en série si c’est le même courant qui traverse les deux impédances,
c’est la ﬁgure 9.
• Deux impédances d’un circuit électronique sont en dérivation si ce n’est pas le même courant qui traverse les deux
impédances, c’est la ﬁgure 10.
Figure 9. Impédances en série
Figure 10. Impédances en parallèle
3. LOIS USUELLES
Une fois ceci déﬁni on a les lois suivantes donnant les impédances équivalentes :
Impédances équivalentes
Lorsque des impédances Z1 et Z2 sont en séries, l’impédance équivalente Zeq est la somme des impédances isolées :
(20)
Zeq = Z1 + Z2
Lorsque les impédances Z1 et Z2 sont en parallèle, l’admittance équivalente Yeq = 1/Zeq est la somme des admittances
isolées :
(21)
Yeq = Y1 + Y2
En eﬀet on a dans le cas des impédances en série. La tension V est la somme des deux tensions V1 et V2 :
V
V1 + V2 = i · Z1 + i · Z2
=
= (Z1 + Z2 ) ·i
| {z }
Zeq
Dans le cas des admittances en parallèle on utilise la loi des nœuds qui donne :
i
= i1 + i2
V
V
+
Z1
Z2
1
1
=
+
·V
Z1
Z2
{z
}
|
=
V
Zeq
Yeq
D’où le résultat.
15
16
1. LOIS GÉNÉRALES DE L’ÉLECTROCINÉTIQUE
3.6. Théorème de Millman. Le théorème de Millman ( ou encore loi des nœuds en termes de potentiels ) est, avec les lois
de Kircchhoﬀ, l’une des lois les plus utiles dans l’étude des circuits électroniques. Ce théorème permet d’obtenir l’expression
du potentiel à un nœud d’un circuit.
Figure 11. Théorème de Millman
Théorème de Millman
VA =
′
ΣN
k=1 νk · Uk · Yk + νk · ik
N
Σk=1 Yk
La démonstration va se faire sur la ﬁgure 11. On utilise la loi des nœuds :
i1 − i2 + i3 − i4 + i5 = o
(22)
VA − U1
VA − U 2
VA − U4
−
+ i3 −
+ i5 = o
Z1
Z2
Z4
⇐⇒
−
⇐⇒
−(Y1 + Y2 + Y4 ) · VA = −Y1 · U1 − Y2 · U2 − Y4 · U4 − i3 − i5
⇐⇒
VA =
Y1 · U1 + Y2 · U2 + Y4 · U4 + i3 + i5
Y1 + Y2 + Y4
Ce qui donne bien le résultat attendu. Les exemples sont innombrables dans ce document et notamment dans les
exemples de circuits à ALI.
3. LOIS USUELLES
17
3.7. Pont diviseurs. Les ponts diviseurs sont au nombre de deux :
• pont diviseur de tensions
• pont diviseur de courants
Pour le pont diviseur de tensions il faut s’appuyer sur la ﬁgure 12 et pour le pont diviseur de courants sur la ﬁgure 13.
Figure 12. Pont diviseur de tension
Figure 13. Pont diviseur de courant
Ponts diviseurs de Tensions - Courants
V2 =
Z2
·V
Z1 + Z2
ik =
Yk
N
Σk=1 Yk
·i
Pour le pont diviseur de tensions il faut utiliser le théorème de Millman au point A :
VA =
Y1 · V1 + o
= V2
Y1 + Y2
⇐⇒
V2 =
Z2
·V
Z1 + Z2
Pour le pont diviseur de courants il faut utiliser les impédances équivalentes. En eﬀet on a d’une part :
V = Zeq · i =
1
ΣN
k=1 Yk
·i
Et d’autre part on a aux bornes de l’impédance Zk :
V = Zk · ik
Ainsi en égalisant les deux relations précédentes on a bien la formule annoncée.
18
1. LOIS GÉNÉRALES DE L’ÉLECTROCINÉTIQUE
4. Énergies et puissances
4.1. Puissance : généralité. La puissance électrique d’un composant ayant une tension U à ses bornes et parcouru par
un courant I est déﬁnie de deux façons :
• lorsque les grandeurs sont réellees : U et I
• lorsque les grandeurs sont complexes : U et I
Puissance
(23)
grandeurs réelles
(24)
grandeurs complexes
unité
: P =U ·I
: P =
1
· < (U · I ∗ )
2
: W att = Joule/Seconde
Où z ∗ est le complexe conjugué de z.
4.2. Puissance et énergies : composants.
4.2.1. Puissance : eﬀet Joule. Les résistances dissipent l’énergie électrique et ce sous forme de forme de chaleur, c’est
l’eﬀet Joule. Celle ci s’écrit :
Puissance dissipée par eﬀet Joule
PJoule = R · I 2
(25)
Pour ceci on utilise la déﬁnition de la puissance et la loi d’Ohm :
P
=
U ·I =R·I·I
4.2.2. Énergie : Condensateur. L’énergie stockée dans un condensateur s’écrit :
Puissance contenue dans un condensateur
(26)
Econdensateur =
1
· C · U2
2
On procède comme pour la résistance :
P
=
Puis par intégration on obtient le résultat.
U ·I =U ·C·
1 d
dU
= ·
C · U2
dt
2 dt
4. ÉNERGIES ET PUISSANCES
4.2.3. Énergie : Bobine. L’énergie stockée dans une bobine s’écrit :
Puissance contenue dans une bobine
(27)
Ebobine =
1
· L · I2
2
Idem pour la bobine :
P
= U ·I =L·
Puis par intégration on obtient le résultat.
dI
1 d
·I = ·
L · I2
dt
2 dt
19
Chapitre 2
Filtrage Passif
1. Utilité du ﬁltrage
N’importe quel signal, son, lumière, image, vague dans l’eau etc. est décrit par des fonctions. À ces fonctions sont associées
des fréquences. De manière générale le ﬁltrage permet de sélectionner, d’isoler des fréquences, présentes dans ces fonctions,
jugées intéressantes pour pouvoir soit les étudier ou les manipuler.
Le ﬁltrage peut avoir diﬀérentes utilisations et s’utilise :
• partout où l’on veut étudier un signal acquis à l’aide de capteurs
• partout où l’on veut créer un signal, par exemple, créé à l’aide d’oscillateurs
Typiquement on utilise le ﬁltrage passe bas pour enlever le bruit ( qui sont des hautes fréquences ) présent avec des signaux
utiles. Un cas que l’on pourrait imaginer l’enregistrement d’une voix dans une rue bruyante. Pour enlever le bruit aﬁn de ne
garder que la voix de la personne, plutôt basses fréquences ( quelques kHz ), on fait passer le signal dans un ﬁltre passe bas.
La ﬁgure 1 montre deux signaux :
• en rouge : le signal original,
• en bleu : le signal ﬁltré
Figure 1. Exemple de ﬁltrage d’une sinusoïde
En rouge on reconnaissait déjà une sinusoïde, mais en bleu la sinusoïde est déjà ”plus belle”. Cette ﬁgure permet de se rendre
compte ici de deux conséquences intrinsèques au ﬁltrage :
• un déphasage,
• une modiﬁcation de l’amplitude
Le ﬁltrage passe bande peut être utilisé pour une technique appelée hétérodynage qui permet de sélectionner une gamme de
fréquences, à l’aide d’un ﬁltre, et sur laquelle est transportée un signal utile : le son d’une radio. Sans ce ﬁltre nous entendons
toutes les radios émettant sur toutes fréquences, mais aussi les autres fréquences associées aux réseaux téléphoniques, internet
etc. Le résultat, sans hétérodynage, est un grésillement inintelligible.
21
22
2. FILTRAGE PASSIF
Le ﬁltrage passe haut peut-être utilisé en analyse d’images pour la détection de contours. Ici un exemple inspiré d’un stage
en industrie. En optique on utilise des ﬁbres optiques, guides de lumière composés de deux ﬁls de verres ( appelées gaines )
emboîtés l’un dans l’autre, pour transporter des informations, via la lumière. Les gaines internes peuvent être parfaitement
circulaires ou non ce qui peut présenter des avantages. Lors du contrôle qualité, en ﬁn de chaîne de production, les industries
récupèrent des photos des sections transversales des ﬁbres ( 2 ) et souhaitent en récupérer les contours ( 3 ) pour contrôler
les diﬀérents diamètres, excentricités etc.
Figure 2. Coupe transversale de ﬁbre optique
Figure 3. Détection des contours
2. PRÉLIMINAIRES MATHÉMATIQUES
23
2. Préliminaires Mathématiques
En aucun cas cette section n’est un cours de Mathématiques. Je remercierai donc les matheux d’être indulgents. L’idée n’est
pas de fournir des preuves mais juste quelques résultats et trucs et astuces de physicien.
2.1. Équations diﬀérentielles linéaires du premier ordre à coeﬃcients constants. De manière générale une équation différentielle est une équation qui fait intervenir une fonction et ses dérivées successives. Les Équations Diﬀérentielles Linéaires
( EDL ) du premier ordre s’écrivent de manière générale comme ce qui suit :
EDL du premier ordre à coeﬃcients constants
Soient :
• t : une variable réelle
• f : une fonction dérivable au moins une fois
• g : une fonction au moins continue
• τ : une constante réelle ou complexe
(28)
f ′ (t) +
1
· f (t) = g(t)
τ
L’équation 28 sans le second membre g(t) est appelée équation homogène. Lorsque l’équation diﬀérentielle à laquelle on a à
faire n’est pas homogène alors la solution de l’équation est la somme :
• d’une solution homogène indexée par h, fh
• et d’une solution particulière indexée par p, fp
Principe de superposition
Soit l’EDL d’ordre 1 suivante :
f ′ (t) +
1
· f (t) = g(t)
τ
La solution s’écrit :
(29)
f (t) = fh (t) + fp (t)
Lorsque l’EDL est sans second membre, il n’est pas nécessaire d’indexer par h la solution. La solution homogène s’écrit
toujours de la même façon.
24
2. FILTRAGE PASSIF
Solution homogène
Soit l’EDL d’ordre 1 suivante :
f ′ (t) +
1
· f (t) = o
τ
La solution s’écrit :
(30)
f (t) = [f (t = o) − f (t = +∞)] · e −t/τ + f (t = +∞)
ATTENTION ! Les matheux fermez les yeux..Quant à la solution particulière, dans le cas où c’est une fonction constante β
( réelle ou complexe ), il suﬃt de prendre f ′ (t) = o pour avoir la solution.
Solution particulière : cas d’une constante
Soient :
• β : une constante réelle ou complexe
• l’EDL d’ordre 1 suivante :
f ′ (t) +
1
· f (t) = β
τ
La solution particulière s’écrit :
(31)
fp (t) = β · τ
Nous verrons dans la suite les solutions particulières dans des cas diﬀérents, mais pour le cas général merci de se référer à
un vrai cours de mathématiques. Mais ici cela se comprends bien si l’on prend l’EDL et son sens physique. Si la variable t
représente le temps, alors la grandeur f ′ (t) fait référence à une fonction qui varie dans le temps. Ainsi lorsque l’on prends
f ′ (t) = o on se place dans le cas où la fonction f ne sera plus fonction du temps. On se trouve donc dans le régime
stationnaire ( ou permanent ). À contrario la résolution de l’équation homogène donne l’évolution de la fonction f durant le
régime transitoire.
2. PRÉLIMINAIRES MATHÉMATIQUES
25
2.2. Équations diﬀérentielles linéaires du second ordre à coeﬃcients constants. La forme d’une EDL d’ordre deux à
coeﬃcients constants peut, en utilisant des notations courantes en physique, s’écrire :
EDL du second ordre à coeﬃcients constants
Soient :
• t : une variable réelle
• f : une fonction dérivable au moins une fois
• g : une fonction au moins continue
• ωo , Q : des constantes réelles
(32)
ωo ′
· f (t) + ωo2 · f (t) = g(t)
Q
f ′′ (t) +
Le principe de superposition est toujours valable et la solution particulière dans le cas d’un second membre constant est
identique. Il convient de poser une équation caractéristique dont la variable n’est plus une fonction f mais un réel ou complexe
r.
Équation caractéristique associée à une EDL d’ordre 2 à coeﬃcients constants
Soit l’EDL suivante :
ωo ′
· f (t) + ωo2 · f (t) = g(t)
Q
f ′′ (t) +
L’équation caractéristique associée s’écrit :
r2 +
(33)
ωo
· r + ωo2 = o
Q
La forme de la solution homogène dépend de la factorisation sur R ou C de l’équation 33. On peut écrire le discriminant ∆
de cette même équation :
∆=
ωo
Q
2
· (1 + 2Q) · (1 − 2Q)
On distingue donc immédiatement les cas suivants : Q > 1/2, Q = 1/2, Q < 1/2.
Les racines associées sont :
p
ωo · −1 ± 1 − 4 · Q2
2·Q
Q < 1/2
:
r± =
Q = 1/2
:
ro = −ωo
Q > 1/2
:
r± =
p
ωo · −1 ± i · 4 · Q2 − 1
2·Q
26
2. FILTRAGE PASSIF
Solutions homogènes d’une EDL2 à coeﬃcients constants
Soient :
• A,B deux constantes réelles ou complexes
• l’EDL suivante :
f ′′ (t) +
ωo ′
· f (t) + ωo2 · f (t) = g(t)
Q
Les solutions s’écrivent :
(34)
Q < 1/2
:
fh (t) = A · e r− ·t + B · e r+ ·t
(35)
Q = 1/2
:
fh (t) = (A + B · t) e −ωo ·t
(36)
Q > 1/2
:
fh (t) = A · e ℜ(r± )·t · [A · cos(=(r± ) · t) + B · si n(=(r± ) · t)]
Où <(z) et =(z) désignent respectivement la partie réelle et imaginaire du nombre complexe z.
Lorsque Q < 1/2 la solution est dite apériodique, courbe rouge.
Lorsque Q = 1/2 la solution est dite harmonique, courbe verte.
Sinon elle est dite pseudo-périodique, courbe bleue.
Les diﬀérents régimes sont représentés sur la ﬁgure ??.
Q < 1/2
Q = 1/2
Q > 1/2
1
ampli tude
0.5
0
−0.5
−1
−2
0
2
4
6
8
10
temps
12
14
16
18
20
22
2. PRÉLIMINAIRES MATHÉMATIQUES
27
2.3. Passage en complexes.
2.3.1. Écriture. L’objet de cette section est très utilisée en physique. Lorsque le second membre g des EDL est une
fonction périodique, on sait que la solution particulière, liée au régime permanent, sera également périodique. En eﬀet la
solution particulière est du ”même type” que le second membre. Or ce qui déﬁnit un signal périodique c’est sa pulsation ω et
sa phase à l’origine φ. On est donc amené à écrire :
fp (t)
=
< fo · e −i·(ω·t+φ) = < fo · e −i·ω·t
Cependant au lieu d’en prendre la partie réelle pour faire les calculs, on les fait uniquement avec le complexe en entier e i·(ω·t+φ)
puisque pour obtenir la partie réelle il suﬃt d’ajouter le complexe conjugué, ce qui ne change fondamentalement pas les calculs.
En résumé, c’est par simple feignantise de calculs.
Passage en complexes
La notation complexe est la suivante :
(37)
fp (t)
=
fo · e i·ω·t
fo = fo · e i·φ
2.3.2. Application à une EDL 1. Reprenons l’équation 28 avec g(t) = Go · cos(ωo · t). Mais cette fois-ci au lieu d’écrire
f (t) écrivons f (t).
Dérivée d’ordre un
La dérivée première en notation complexe est la suivante :
(38)
df
(t) = i · ω · f (t)
dt
Si on peut dériver on peut aussi intégrer et :
Intégrale
L’intégration en notation complexe se fait par :
Z
(39)
f (t)dt =
1
· f (t)
i ·ω
28
2. FILTRAGE PASSIF
Et en réinjectant dans l’équation 28 on a, en prenant l’écriture complexe de la fonction g :
1
+ i · ω · fp (t) = Go · e i·ωo ·t
τ
⇐⇒
⇐⇒
1
+ i · ω · fo = Go · e i·(ωo −ω)·t
τ
fp (t) =
Go
· e i·(ωo −ω)·t
1
+i ·ω
τ
La solution ﬁnale est donc :


i·(ωo −ω)·t
(40)
e

f (t) = [f (t = o) − f (t = +∞)] · e −t/τ + f (t = +∞) + Go · < 

1
+i ·ω
τ
Ici la partie réelle n’est pas calculée, non pas que c’est impossible, mais nous verrons dans la suite qu’appliqué à nos cas en
électronique, les calculs sont un peu plus simples...
2.3.3. Application à une EDL 2. Reprenons l’équation 32 avec g(t) = Go · cos(ωo · t). En eﬀectuant la même démarche
on a dans ce cas :
Dérivée d’ordre deux
La dérivée seconde en notation complexe est la suivante :
d 2f
(t)
dt 2
(41)
= (i · ω)2 · f (t) = −ω 2 · f (t)
Puis on réinjecte dans cette même équation :
ωo2 − ω 2 − i ·
ωo
Q
· fo
= Go · e i·(ωo −ω)·t
Ce qui donne la solution ﬁnale suivante :

(42)

f (t) = fh (t) + Go · < 

i·(ωo −ω)·t


ω
o
ωo2 − ω 2 − i ·
Q
e
Il est à noter que retourner dans les réels n’est pas toujours nécessaire et garder la solution complexe suﬃt si l’on ne considère
pas le régime transitoire.
2.4. Échelles logarithmiques. Les échelles logarithmiques sont très utiles lorsque l’on souhaite observer l’évolution d’une
grandeur sur une ( très ) grande plage de valeurs. Comme de 1 Hz à 1o 9 Hz par exemple. Chose très courante en physique.
C’est ici que vient l’utilité de l’échelle logarithmique. Reprenons la base. Il existe diﬀérent types de logarithmes : népérien ( ou
naturel ), en base 1o, en base 2 etc.
2. PRÉLIMINAIRES MATHÉMATIQUES
29
Logarithme
Le logarithme en base b ∈ N∗
logb (x ∈ R+∗ ) =
(43)
ln(x)
ln(b)
Et qui, en base 1o, est très pratique car :
log1o (1) = 0
log1o (1oo) = 2
log1o (1o) = 1
log1o (1o n ) = n
101
100.5
101
102
103
104
105
106
107
108
Figure 4. Exemple de graphe en échelle logarithmique
Ainsi lorsque l’on observe ce genre de quadrillage, spéciﬁque aux échelles logarithmiques, avec en abscisses o, 1, 2, · · · c’est
sous entendu 1o o , 1o 1 , 1o 2 , · · · . Chaque intervalle est appelée décade.
De plus on est souvent amené à travailler en décibels, dB qui est déﬁni à partir de la puissance d’une grandeur. Grossièrement
en mathématiques du signal, si l’on considère un signal f , on déﬁnit la puissance instantanée associée à ce signal, Pf , par :
Pf (t) = f (t)2
(44)
On déﬁnit alors la puissance en décibels Pf ,dB associée au signal f par :
Grandeurs en dB
(45)
Pf ,dB
=
1o · log1o f 2 = 2o · log1o (f )
Attention ici les confusions peuvent arriver entre le facteur 1o et le facteur 2o. Pour ne pas se tromper il faut bien savoir
qu’est ce que l’on manipule : la puissance OU le signal ?
30
2. FILTRAGE PASSIF
2.5. Diagrammes de Bode. LES diagrammes de Bode se composent :
• d’un diagramme de GAIN
• d’un diagramme de PHASE
Ces deux diagrammes sont en échelle logarithmique pour l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées est en échelle linéaire ( celle
que l’on utilise naturellement ). Les diagrammes de Bode sont utilisés pour étudier le comportement d’un système en fonction
de la fréquence. Un système est composé :
• d’une entrée, E
• d’environnement : qui impacte l’entrée caractérisé par une fonction de transfert H
• d’une sortie, S : qui est le résultat de l’environnement sur l’entrée
Figure 5. Représentation par blocs d’un système
Ce document tente de faire le moins appel aux notions d’analyse de Fourier. On se contentera de toujours passer en complexes
pour étudier les systèmes. Ainsi on étudie le rapport : sortie/entrée dans le domaine fréquentiel, qui est la fonction de transfert :
Déﬁnitions : gain et phase
La fonction de transfert H s’écrit :
(46)
H(ω) = S(ω)/E(ω)
Le gain G s’écrit :
(47)
G(ω) = |H(ω)|
Le gain en décibels GdB s’écrit :
(48)
GdB (ω) = 2o · log1o [G(ω)]
La phase s’écrit :
(49)
φ(ω) = Ar g [H(ω)] = ar ctan
= [H(ω)]
< [H(ω)]
2. PRÉLIMINAIRES MATHÉMATIQUES
Et les propriétés suivantes qui peuvent s’avérer utiles :
Déﬁnitions : gain et phase
Si la fonction de transfert H s’écrit
(50)
H(ω) = H1 (ω) · H2 (ω)
Alors, en posant G1,dB le gain associé à H1 et G2,dB le gain associé à H2 , le gain total en décibels GdB s’écrit :
(51)
GdB (ω) = G1,dB (ω) + G2,dB (ω)
Idem pour la phase :
(52)
φ(ω) = φ1 (ω) + φ2 (ω)
Des exemples seront traités dans les sections suivantes.
31
32
2. FILTRAGE PASSIF
3. Filtres du premier ordre
3.1. Passe bas.
3.1.1. Fonction de transfert. Le ﬁltre passe bas du premier ordre n’est pas spéciﬁque à l’électronique. La majorité des
systèmes physiques naturels se comportent comme des passes bas du premier ordre. L’étude de ce ﬁltre va être détaillée de
A à Z pour pouvoir aller plus vite dans les calculs pour les prochains ﬁltres.
Figure 6. Passe bas passif du premier ordre
La méthode la plus eﬃcace est de travailler avec les impédances complexes et souvent des ponts diviseurs de tensions et le
théorème de Millman mène en peu de lignes à la fonction de transfert. Ici on a :
s
=
ZC
1
1
·e =
·e
·e =
ZC + R
1 + R · YC
1+i ·τ ·ω
où :
τ =R·C
(53)
La relation 53 est très importante car très courante. Elle permet de voir qu’en termes d’unités on a :
(54)
secondes = Ohm · F ar ads
On a donc la fonction de transfert suivante :
(55)
H(ω) =
1
1+i ·τ ·ω
3.1.2. Diagrammes de Bode. On calcule donc d’abord le gain :
s
G(ω)
Puis le gain en décibels :
=
1
1 + (τ · ω)2
3. FILTRES DU PREMIER ORDRE
s
(56)
GdB (ω) =
2o · log1o
1
1 + (τ · ω)2
!
33
= −1o · log1o 1 + (τ · ω)2
Quant à la phase on a :
(57)
−ar ctan
φ(ω) =
τ · ω
1
On peut donc maintenant tracer les diagrammes de Bode.
GdB
0
Bode : Gain et τ = 1
−20
−40
−60
10−3
10−2
10−1
100
101
φ
0
102
103
Bode : phase et τ = 1
−50
10−3
10−2
10−1
100
ω
101
102
103
3.1.3. Étude asymptotique. Ici est faite l’étude asymptotique, c’est à dire en prenant ω → o ou ω → +∞. Dans le cas
où ω → o on a le gain qui s’écrit :
Gain asymptotique d’un passe bas du premier ordre
(58)
lim GdB (ω) = o
ω→o
lim GdB (ω) = −2o · log1o (τ · ω)
ω→+∞
On observe donc bien un gain nul dans les basses fréquences et un gain décroissant avec une pente de −2o dB/decade. Ce
qui est une première caractéristique des passes bas du premier ordre. Quant à la phase on a :
Phase asymptotique d’un passe bas du premier ordre
lim φ(ω) = −1o · log1o (1) = o
ω→o
lim φ(ω) = −2o · log1o (τ · ω) = −π/2
ω→+∞
34
2. FILTRAGE PASSIF
Ceci pouvait se prévoir sans calculs en observant juste le comportement de l’impédance du condensateur en fonction de la
fréquence. En eﬀet, celle-ci s’écrit ZC = 1/(i · C · ω). On voit bien que lorsque ω → o, i.e. en basses fréquences, l’impédance
devient inﬁnie ainsi :
ω→o
=⇒
ZC → +∞
ZC → +∞
=⇒
U = Zc · i → +∞
U → +∞
⇐⇒
i nter r upteur ouv er t
i nter r upteur ouv er t
=⇒
s 6= o
Ce qui ne donnera pas un gain nul. On peut faire le même raisonnement pour la limite en l’inﬁni, i.e. en hautes fréquences,
l’impédance devient nulle ainsi :
ω → +∞
=⇒
ZC → o
ZC → o
=⇒
U = Zc · i → o
U → +∞
⇐⇒
f il
f il
=⇒
s=o
Ce qui donnera un gain forcément nul...On peut pousser un peu plus loin l’étude avec l’inﬂuence pratique de la pente du gain
sur l’allure du signal. En eﬀet lorsque l’on est en hautes fréquences on a la fonction de transfert qui est équivalente à :
H(ω) =
s(ω)
e(ω)
≈
ω→+∞
1
i · τω
⇐⇒
⇐⇒
(59)
s(ω)
s(t)
≈
1
· e(ω)
i · τω
≈
1
·
τ
ω→+∞
ω→+∞
Z
e(t)dt
On remarque donc que travailler en hautes fréquences avec un ﬁltre passe bas, en plus de déphaser et de diminuer le gain,
on intègre le signal et donc on le déforme. Donc si dans le ﬁltre on envoie un signal purement sinusoïdal l’impact n’est pas
si ”gênant” car intégrer donnera aussi un signal sinusoïdal. Mais le faire avec des signaux plus complexes peut devenir plus
problématique.
3.1.4. Coupure. On déﬁnit la pulsation de coupure ωc la pulsation telle que la gain à la coupure vaut la moitié du gain
maximal, ou encore que le gain en décibels à diminué de 3 dB ( en dehors des phénomènes de résonance )
Pulsation de coupure en dehors des cas de résonance
(60)
Appliqué ici on a :
ωC
\
G(ωC ) = Gmax /2 ⇐⇒ GdB (ωC ) = GdB,max − 3 dB
3. FILTRES DU PREMIER ORDRE
√
G(ωC ) = Gmax / 2
35
1
1
=
1 + (τ · ωC )2
2
⇐⇒
(61)
Ce qui permet l’identiﬁcation directement :
(62)
ωC = 1/τ
3.2. Passe haut.
3.2.1. Diagrammes de Bode. Comme annoncé, ici seront donnés avec un minimum de détails de calculs.
Figure 7. Passe haut passif du premier ordre
La fonction de transfert s’obtient à nouveau avec un pont diviseur de tension et :
(63)
H(ω)
R
=
R + ZC
=
1
1+
1
i ·τ ·ω
Ce qui donne comme gain en décibels :
(64)
GdB (ω) =
−2o · log1o 1 +
1
(τ · ω)2
Pour la phase on obtient :
(65)
φ(ω)
=
ar ctan
1
τ ·ω
=
π
− arctan(τ · ω)
2
On se rend compte que, comme le passe bas, la phase va diminuer mais à partir de +π/2 cette fois-ci. Les diagrammes de
Bode sont :
36
2. FILTRAGE PASSIF
GdB
0
Bode : Gain et τ = 1
−20
−40
−60
10−3
10−2
10−1
100
101
102
103
φ
Bode : phase et τ = 1
50
0
10−3
10−2
10−1
100
ω
101
102
103
Gain asymptotique d’un passe haut du premier ordre
lim GdB (ω) = +2o · log1o (τ · ω)
(66)
ω→o
lim GdB (ω) = o
ω→+∞
3.2.2. Étude asymptotique.
Ici contrairement au passe bas, on obtient un gain croissant avec une pente de +2o dB/decade ce qui est caractéristique
des passes haut du premier ordre. Quant à la phase on a :
Phase asymptotique d’un passe haut du premier ordre
(67)
lim φ(ω) = +π/2
lim φ(ω) = o
ω→o
ω→+∞
Ceci pouvait également se prévoir sans calculs en observant à nouveau le comportement de l’impédance du condensateur en
fonction de la fréquence.
ω→o
=⇒
ZC → +∞
ZC → +∞
=⇒
U = Zc · i → +∞
U → +∞
⇐⇒
i nter r upteur ouv er t
i nter r upteur ouv er t
=⇒
pas de cour ant dans la r esi stance
pas de cour ant dans la r esi stance
=⇒
s=o
Ce qui ne donnera un gain nul. En hautes fréquences on a :
3. FILTRES DU PREMIER ORDRE
37
ω → +∞
=⇒
ZC → o
ZC → o
=⇒
U = Zc · i → o
U → +∞
⇐⇒
f il
f il
=⇒
le cour ant passe
le cour ant passe
=⇒
s 6= o
Puis on a vu que le passe bas intégrait les signaux en hautes fréquences, ici on va montrer que le passe haut dérive les signaux
en basses fréquences. En eﬀet on à la fonction de transfert en basses fréquences qui est équivalente à :
H(ω) =
s(ω)
≈ i · τω
e(ω) ω→o
(68)
⇐⇒
s(ω) ≈ i · τ ω · e(ω)
⇐⇒
s(t) ≈ τ ·
ω→o
ω→o
de
(t)
dt
3.2.3. Coupure. Même cas que pour le passe bas.
3.3. Régime Sinusoïdal Forcé ( RSF ). On entend par régime sinusoïdal forcé un régime dans lequel un système subit
une excitation périodique. Par exemple, faire de la balançoire peut être considéré comme un système subissant un régime
sinusoïdal forcé. Mathématiquement cela revient à avoir une équation diﬀérentielle dans laquelle le second membre t 7→ g(t)
est une fonction périodique comme par exemple g(t) = cos(ω · t).
38
2. FILTRAGE PASSIF
Ainsi comme pour la balançoire, le système va osciller à la fréquence imposée par l’excitation ce que se traduit que :
(69)
ω = ωo
Ainsi dans la relation 40 il ne restera que :


i·(ωo −ω)
e

<

1
+i ·ω
τ
(70)
=⇒



<
1


1
+ i · ωo
τ
L’une des conséquences de ce type de régime est que l’amplitude du signal sera elle même fonction de la fréquence et de
même pour le déphasage par rapport au signal excitateur. En d’autres termes étudier la fonction de transfert d’un système
pour en tracer les diagrammes de Bode revient à étudier le système en régime sinusoïdal forcé.
3.4. Abus de notation. Cette sous section, quelque peu inhabituelle, est pour préciser que dans ce document un abus de
notations sera très très utilisé. En toutes rigueur lorsque la notation complexe est utilisée nous devrions la distinguer de la
notation réelle. Souvent on peut distinguer en soulignant les grandeurs complexes ( en électronique ) U → U ou mettre avec
des lettres cursives U → U ( en électromagnétisme ) ou autres. Mais l’essentiel est de bien savoir ce qui est traité. Ainsi la
très grande majorité des exemples traités dans le document ne feront pas la distinction. Finalement sera également beaucoup
utilisée la pulsation réduite suivante :
x
=
ω/ωo
Fonctions de transfert des ﬁltres du premier ordre
passe bas
H(x) =
(71)
3.5. Formulaire.
passe haut
Ho
1+i ·x
ωC
H(x) =
Ho
1
i ·x
1/τ = 1/(R · C)
1+
=
4. FILTRES DU SECOND ORDRE
39
4. Filtres du second ordre
Les ﬁltrages passe bas, passe haut et passe bande du deuxième ordre se font avec un seul circuit dont la tension de circuit
n’est pas prise aux bornes du même composant. Le montage générique est sur la ﬁgure 8.
Figure 8. Circuit RLC
4.1. Passe bas.
4.1.1. Fonction de transfert. Pour le passe bas il faut prendre la tension sC aux bornes du condensateur. On a une
impédance équivalente Zeq :
Zeq
=
R+i ·L·ω
Et donc en utilisant un pont diviseur de tension on a :
sC
=
ZC
1
·e =
·e
ZC + Zeq
1 + Zeq · YC
Et donc la fonction de transfert :
(72)
H
=
1
1 + R · C · (i · ω) + L · C · (i · ω)2
En raisonnant par homogénéité on a le produit L · C qui est homogène à l’inverse d’une pulsation au carré. On peut donc
écrire :
(73)
ωo
√
= 1/ L · C
40
2. FILTRAGE PASSIF
Puis le produit R · C est un temps comme vu plus haut. On peut introduire un facteur de qualité Q tel que :
Q
=R·C
ωo
(74)
1
Q=R·C· √
=R·
L·C
⇐⇒
r
C
L
4.1.2. Coupure. Ici on va utiliser la notation réduite x = ω/ωo :
H=
1
1−
x2
−i ·
x
Q
Le gain s’écrit alors :
G
1
=
(1 −
x 2 )2
2
x
+ 2
Q
=
1+
1
1
−
2
· x2 + x4
Q2
Passer par le gain en décibels s’avère plus judicieux pour déterminer la pulsation de coupure. En utilisant la déﬁnition on a :
GdB (ωC ) = GdB,max − 3
⇐⇒
2o · log1o
x2
(1 − x ) + 2
Q
⇐⇒
(1 − x 2 )2 +
x2
= 1o 3/2o = α ≈ 1.413
Q2
2 2
= −3
On obtient donc une équation bicarré. On pose X = x 2 :
1
−
2
· X + X2 = o
Q2
"
#
2
1
−1 +α−1
2 · Q2
1−α+
Le discriminant ∆ s’écrit :
∆=4·
On a donc deux solutions X± :
X±
=
s
2
1
1
+α−1
2− 2 ±2·
−
1
Q
2 · Q2
= 1−
2
s
1
=1−
±
2 · Q2
p
1
· 1 ∓ 1 − 4 · Q2 + 4 · α · Q4
2
2·Q
Or il faut se souvenir que X = x 2 , il faut donc prendre la valeur positive :
1 − 4 · Q2 + 4 · α · Q4
4 · Q4
4. FILTRES DU SECOND ORDRE
1−
p
1
2 + 4 · α · Q4 ≥ o
·
1
∓
1
−
4
·
Q
2 · Q2
⇐⇒
±
p
41
1 − 4 · Q2 + 4 · α · Q4 ≤ 2 · Q2 − 1
(75)
On regarde si le signe + convient :
1−
p
1
· 1 ∓ 1 − 4 · Q2 + 4 · α · Q4 ≥ o
2
2·Q
⇐⇒
1 − 4 · Q 2 + 4 · α · Q4 ≤ 4 · Q4 + 1 − 4 · Q2
⇐⇒
α≤1
Ce qui n’est pas possible dans notre cas pour la pulsation de coupure, c’est donc le signe −. D’où :
r
xC = · 1 −
(76)
p
1
2 + 4 · α · Q4
·
1
−
4
·
Q
1
−
2 · Q2
L’application numérique donne pour des valeurs particulières :
Q=
2·
1
√
2
xC ≈ o.26
1
Q= √
2
2
Q= √
2
xC ≈ o.8o
xC ≈ 1.3
Est tracé sur la ﬁgure 9 l’évolution de la pulsation de coupure réduite en fonction du facteur de qualité.
1.5
xC
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Q
3
3.5
4
4.5
5
Figure 9. Évolution de la pulsation de coupure avec le facteur de qualité
On peut déjà comparer ces diagrammes de Bode de passe bas du deuxième ordre avec celui d’un passe bas du premier ordre.
On observe pour la courbe de gain une pente de −4o dB/decade au lieu de −2o dB/decade.
√
On observe aussi que lorsque le facteur de qualité est supérieur à 1/ 2 on a la courbe rouge et présente, sur la courbe de
gain, ce qu’on appelle une surtension, ou phénomène de résonance. C’est à dire que le gain n’est pas strictement décroissante.
Le maximum de la courbe est obtenue à la pulsation de résonance ωR .
42
2. FILTRAGE PASSIF
√
Q < 1/ 2
√
Q = 1/ 2
√
Q > 1/ 2
GdB
0
−50
−100
−150
10−2
10−1
100
101
√
Q < 1/ 2
√
Q = 1/ 2
√
Q > 1/ 2
0
−50
φ
102
−100
−150
10−2
10−1
100
ω
101
102
On observe, pour la phase, que celle-ci atteint −π. Pour l’obtenir il faut dériver le gain et plus particulièrement le dénominateur
que l’on note ω 7→ D(ω) et chercher quand il s’annule :
D′ (xR ) = o
⇐⇒
⇐⇒
(77)
x
2 · (−2 · x) · (1 − x 2 ) + 2 · 2
Q
r
p
1
xR = 1 −
= 1 − 2 · m2
2 · Q2
On peut ainsi obtenir le gain à la résonance :
s
G(xR )
(78)
=
=
1
(1 − (1 − 2 · m2 ))2 + 4 · m2 · (1 − 2 · m2 )
√
1
2 · Q2
√
=
2 · Q2 − 1
2 · m · 1 − 2 · m2
On devrait, en toute rigueur, vériﬁer que la pulsation que l’on a obtenu donne bien un minimum pour le dénominateur et non
un maximum... On voit donc que pour concevoir un ﬁltre du second ordre, on peut ﬁxer la pulsation propre ωo et le facteur
de qualité. Ce dernier peut être ﬁxé en ﬁxant la pulsation de coupure et le gain à la résonance, que l’on peut chercher à
minimiser autant que possible.
4.2. Passe haut. Pour le passe haut il faut prendre la tension aux bornes de la bobine. Cette fois-ci l’inductance équivalente
vaut :
Zeq =
Le pont diviseur donne ici :
1+i ·R·C·ω
R
4. FILTRES DU SECOND ORDRE
sL
=
ZL
1
·e =
=
ZL + Zeq
1 + Zeq · YL
43
1
·e
1+i ·R·C·ω
1+
L · C · (i · ω)2
(79)
Ce qui donne la fonction de transfert :
(80)
H
=
L · C · (i · ω)2
1 + R · C · (i · ω) + L · C · (i · ω)2
On remarque que le dénominateur est le même que pour le passe bas. L’étude des pulsations de coupure et de résonance est
identique.
4.3. Passe bande. Pour le passe bande il faut prendre la tension aux bornes de la résistance. Cette fois ci l’impédance
équivalente s’écrit :
(81)
Zeq =
1 + L · C · (i · ω)
i ·C·ω
Puis avec un pont diviseur de tensions donne la fonction de transfert :
H
=
1
1
=
L
1
1 + L · C · (i · ω)2
1+i ·
·ω−
1+
R
R·C·ω
R · C · (i · ω)
Sachant que la forme canonique est :
(82)
H=
Ho
ω
ωo
1+i ·Q·
−
ωo
ω
Par identiﬁcation on a donc :
Q
L
=
ωo
R
(83)
ωo2 =
1
L·C
1
R·C
r
1
L
Q= ·
R
C
Q · ωo =
Ho = 1
44
2. FILTRAGE PASSIF
On peut vériﬁer le comportement du ﬁltre en fonction de la fréquence en en prenant les limites du gain :
G=s
(84)
(85)
1
1 2
2
1+Q · x −
x
li m G(ω) = li m G(ω) = o
ω→o
ω→+∞
Si le ﬁltre ne laisse rien passer ni en basses ni en hautes fréquences, il laisse alors passer une bande de fréquence de largeur
∆ω = ωc,h − ωc,b . où ωc,h est la pulsation de coupure haute et ωc,b est la pulsation de coupure basse.
4.3.1. Coupure. On reprend la déﬁnition et :
1 2
1 = Q 2 · xC +
xC
⇐⇒
1
1 = ±Q · xC +
xC
⇐⇒
xC2 −
On a deux cas qui se présentent. Dans le premier cas on a :
1
Q · xC −
= −1
xC
1
· xC − 1 = o
Q
Le discriminant ∆ = 4 + 1/Q2 est strictement positif. En ne gardant que la racine positive :
(86)
xC,b
=
p
1
· 1 + 1 + 4 · Q2
2·Q
Dans le second cas on a :
1
Q · xC −
= +1
xC
⇐⇒
xC2 +
1
· xC − 1 = o
Q
Le discriminant est le même que pour le premier cas et en ne gardant que la racine positive :
(87)
xC,b
=
p
1
·
−1
+
1
+
4
·
Q
2 · Q2
On peut en déduire la bande de fréquences passantes ∆ω :
(88)
∆xC = xC,h − xC,b = 1/Q
Évidement on peut réécrire les formules sans le facteur de qualité Q mais avec m... 1 On remarque, comme les passe bas et
passe haut, que l’amplitude de variations de la phase est de π. On voit aussi que plus le facteur de qualité augmente et plus
la largeur de la bande passante diminue et donne un ﬁltre plus sélectif, comme prévu à la relation juste au dessus.
1. La notation avec m est plus commune car les abaques sont calculées à partir de m...
4. FILTRES DU SECOND ORDRE
45
GdB
0
Q = 0.1
Q = 0.5
Q = 10
−20
−40
−60
10−2
10−1
100
101
100
Q = o.1
Q = o.5
Q = 1o
50
φ
102
0
−50
−100
10−2
10−1
100
ω
4.4. Coupe Bande. Le circuit életronique est sur la ﬁgure 10.
Figure 10. Filtre coupe bande
Ici on a l’impédance équivalente qui s’écrit :
Zeq =
i ·L·ω
1 + L · C · (i · ω)2
Puis un pont diviseur de tension donne immédiatement :
(89)
Ce qui donne :
H=
R
=
R + Zeq
1 + L · C · (i · ω)2
1+
L
· (i · ω) + L · C · (i · ω)2
R
101
102
46
2. FILTRAGE PASSIF
√
ωo = 1/ L · C
(90)
Q=R·
C
L
Pour le gain on a :
G(x) = s
(91)
1 − x2
(1 − x 2 )2 +
x
Q
GdB (x) = 2o · log1o (1 − x 2 ) − 1o · log1o
2
(1 − x 2 )2 +
x
Q
2 !
Puis la phase est la même que pour un passe bande puisque le numérateur de la fonction de transfert est positif ou nul. Pour
le Bode en gain nous avons donc le graphe ??. On remarque à nouveau que plus le facteur de qualité augmente et plus le
ﬁltre est sélectif.
GdB
0
Q = 0.1
Q = 0.5
Q = 10
−20
−40
−60
10−2
10−1
100
x grid
101
102
4. FILTRES DU SECOND ORDRE
47
Fonctions de transfert des ﬁltres du second ordre
passe bas
passe haut
Ho
i ·x
+ (i · x)2
1+
Q
Ho · (i · x)2
i ·x
1+
+ (i · x)2
Q
Ho ·
i ·x
Q
passe bande
i ·x
1+
+ (i · x)2
Q
coupe bande
Ho ·
=
Ho
1
1+i ·Q· x −
x
1 + (i · x)2
i ·x
1+
+ (i · x)2
Q
4.5. Formulaires.
Autres relations
facteur de qualité
lien coeﬃcients
passe bande
fréquences de coupure
passe bande
fréquence surtension
passe bas,haut
Q = 1/(2 · m, z, ζ, ξ · · · )
Q=
ωo
ωc,h − ωc,b
ωc,b,h = ωo · (m ±
ωmax = ωo ·
On peut aussi trouver des formules donnant les dépassements, abaques etc. ici.
√
√
m2 − 1)
1 − 2 · m2
48
2. FILTRAGE PASSIF
5. Filtres ordres supérieurs
Caractéristiques des ﬁltres d’ordre n
On note n ∈ N∗ l’ordre d’un ﬁltre. On a les résultats suivants :
(92)
pente des Gain hautes et/ou basses fréquences
(93)
φhautes et/ou basses fréquences
= ±n · 2o dB/decade
= ±n · π/2
5.1. Représentation quadripolaire.
5.1.1. Matrices de quadripôles. Lorsque les montages électroniques deviennent plus conséquents, il peut être utile d’utiliser la représentation quadripolaire. Cela est notamment utile lors de la mise en cascade de ﬁltres pour eﬀectuer des ﬁltres
d’ordres supérieurs comme nous le verrons dans la sous-section suivante, mais aussi pour l’étude de montages ampliﬁcateurs
à transistors etc. Le schéma général d’un quadripole Q est sur la ﬁgure 11. Le quadripôle est composé d’impédances reliant
les diﬀérentes grandeurs :
I1,2 : courants d’entrée I1 et de sortie I2
V1,2 : tensions d’entrée V1 et de sortie V2
Figure 11. Schéma général d’un quadripôle
Qui dit impédances, dit admittances. On peut donc caractériser un quadripôles par diﬀérentes matrices :
Matrices de quadripôles

Z11
i mpedance : Z = 
Z21

H11
hy br i de : H = 
H21

Z12 

Z22

H12 

H22


Y
Y
12 
 11
admi ttance : Y = 
 = Z −1
Y21 Y22


K
K
11
12


chai ne : K = 

K21 K22
5. FILTRES ORDRES SUPÉRIEURS
49
Variables entrée/sortie
 
 
V
 1
I1 
 =Z· 
V2
I2
 
 
V
1
 
 I1 
 =H· 
I2
V2
 
 
I
 1
V1 
 =Y · 
I2
V2
 


V
V
1
2
 


 =K·

I1
−I2
On peut aussi déﬁnir deux autres matrices, la matrice hybride inverse G = H −1 et la matrice chaine inverse K ′ = K −1 . Mais
en pratique, elles sont moins utilisées. Et on peut aussi exprimer les matrices les unes en fonction des autres dans la table 1.
Z
1
·
det(Y )
Z
Y
1
·
det(Z)
K
1
·
Z21
Z22
−Z12
−Z21
Z11
Z11
1
K
Y
det(Z)
Y22
−Y12
−Y21
Y11
!
!
!
1
·
K21
1
·
K12
1
·
−
Y21
Y22
K11
det(K)
1
K22
!
K22
−det(K)
−1
K11
!
!
1
Z22
det(Y ) 1
Table 1. Relations entre matrices de quadripôle
Les démonstrations sont un peu longues mais pas compliquées. Ici on propose de montrer le lien entre la matrice Z et la
matrice K :
50
2. FILTRAGE PASSIF
Pour la matrice Z on a :
V1
= Z11 · I1
+
Z12 · I2
V2
= Z21 · I1
+
Z22 · I2
Pour la matrice K on a :
V1
= K11 · V2
+
K12 · (−)I2
I1
= K21 · V2
+
K22 · (−)I2
Si l’on reste sur la matrice Z et que l’on eﬀectue une diﬀérence judicieuse on a :
Z21 · V1 − Z11 · V2
=
−det(Z) · I2
V1
=
Z11
det(Z)
· V2 +
· (−)I2
Z21
Z21
Ceci démontre donc la première ligne. Avec ce premier résultat on obtient la seconde ligne :
det(Z)
Z11
· V2 −
· I2
Z21
Z21
=
Z11 · I1 + Z12 · I2
Z11 · I1
=
Z11
det(Z) + Z12 · Z21
· V2 −
· I2
Z21
Z21 · Z11
Ce qui donne le résultat.
Ensuite pour passer de la matrice Y à la matrice K on peut passer de Y à Z en l’inversant puis utiliser le résultat qui vient
d’être démontré et ainsi de suite.
5.1.2. Quadripôles Usuels. La majorité des montages électroniques peuvent être divisés en quadripôles usuels. On en
trouve six, représentés sur les ﬁgures 12 et 13.
Une fois ces matrices et quadripôles déﬁnis on peut chercher l’expression des matrices pour ces quadripôles. Ici on propose
de démontrer l’expression de la matrice impédance pour le montage en T , celle de la matrice admittance pour le montage
en Π et la matrice chaine d’un des montages élémentaires. Néanmoins on peut dire, de façon générale que la détermination
des coeﬃcients se fait toujours de la même manière et doit être rendu possible en manipulation pratique de ces montages.
La méthode consiste à imposer des courants ou tensions nulles aﬁn d’avoir accès aux coeﬃcients.
5. FILTRES ORDRES SUPÉRIEURS
51
Figure 12. Quadripôles élémentaires
Figure 13. Quadripôles en Π ( gauche ), en T ( droite )
Pour la matrice impédance :
Coeﬃcients Matrice Impédance
I1 = 0
=⇒
Z12 = V1 /I2
&
Z22 = V2 /I2
I2 = 0
=⇒
Z11 = V1 /I1
&
Z21 = V2 /I1
V1 = 0
=⇒
Y12 = I1 /V2
&
Z22 = I2 /V2
V2 = 0
=⇒
Z11 = I1 /V1
&
Y21 = I2 /V1
Pour la matrice admittance :
Coeﬃcients Matrice Admittance
Pour la matrice chaîne :
52
2. FILTRAGE PASSIF
Coeﬃcients Matrice Chaîne
I1 = 0
=⇒
K11 = V1 /V2
I2 = 0
=⇒
K21 = I1 /V2
V2 = 0
=⇒
K12 = −V1 /I2
&
K22 = −I1 /I2
5.1.3. Quadripôles Usuels : Calcul des matrices. Dans les ﬁgures 14,15,16 les grandeurs D1,2,3 sont des impédances et
sont d’unité le Ω. La lettre D, comme Dipôle est pour éviter la confusion avec les coeﬃcients de la matrice impédance. On
considère le montage de la ﬁgure 14
5. FILTRES ORDRES SUPÉRIEURS
53
Figure 14. Montage en Π
Ici on cherche la matrice admittance. On applique la méthode. Ainsi lorsque V2 est nul aucun courant ne traverse le dipôle
D3 donc tous les courants ( I1 et I2 ) traversent le dipôle D1 . De plus la tension V1 est aussi celle aux bornes de D2 ce qui
permet d’écrire :
V1
=
=⇒
D1 · (I1 + I2 ) = −D2 · I2
I2 = −
D1
· I1
D1 + D2
Ainsi on a :
V1 =
D1 · D2
· I1
D1 + D2
=⇒
Y11 =
D1 + D2
D1 · D2
Et on a aussi, depuis le début le coeﬃcient Y12 :
Y21 = −1/D2
Maintenant lorsque l’on prend V1 = 0 le principe est identique. On exprime de deux manières diﬀérentes la tension V2 :
V2 = D3 · (I1 + I2 ) = −D2 · I1
=⇒
I1 = −
D3
· I2
D2 + D3
Ainsi on a :
V2 = D2 ·
D3
· I2
D2 + D3
=⇒
Y22 =
D2 + D3
D2 · D3
Et dès le début on a le dernier coeﬃcient :
V2 = −D2 · I1
Et donc la matrice admittance YΠ du montage en Π donne :
=⇒
Y12 = −1/D2
54
2. FILTRAGE PASSIF

(94)
YΠ

D1 + D2
 D ·D

2
=  1
−1/D2
−1/D2 

D2 + D3 
D2 · D3
Figure 15. Montage en T
On considère le montage de la ﬁgure 15. Ici on cherche donc la matrice impédance. On applique donc la méthode et l’on
considère le courant d’entrée I1 nul. On a donc immédiatement le lien entre la tension de sortie V2 et I2 :
V2 = (D2 + D3 ) · I2 + 0 · I1
=⇒
Z22 = D2 + D3
En eﬀet si le courant est nul alors la tension aux bornes du dipôle D1 est nulle. Ce dernier se comporte donc comme un ﬁl.
Or la tension est constante le long d’un ﬁl ce qui impose la tension V1 aux bornes du dipôles D3 . Et de même la relation entre
la tension d’entrée et le courant de sortie :
V1 = D3 · I2 =⇒ Z12 = D3
Et on a aussi le lien entre le courant et la tension de sortie :
V2 = V1 + D2 · I2
=⇒
Z22 = D2 + D3
Cette fois lorsque l’on prend le courant de sortie nul, nous avons :
V1 = (D1 + D3 ) · I1
=⇒
Z11 = D1 + D3
V2 = D3 · I1
=⇒
Z21 = D3
Finalement la matrice impédance ZT du montage en T s’écrit :
(95)

D1 + D3
ZT = 
D3

D3


D2 + D3
Ici on considère le montage de la ﬁgure 16. Pour le premier coeﬃcient c’est un simple pont diviseur de tension et donc :
5. FILTRES ORDRES SUPÉRIEURS
55
Figure 16. Un montage élémentaire
K11 = 1 +
D1
D2
Maintenant on prend le courant de sortie nul. Une simple loi d’Ohm donne :
V2 = D2 · I1
=⇒
K21 = 1/D2
Maintenant si l’on prend la tension de sortie nulle on a aucun courant circulant dans D2 donc les courants I1 et I2 sont tout
simplement opposés donc :
K22 = 1
Finalement on a, en appliquant la loi d’Ohm à nouveau :
V1 = D1 · I1
=⇒
K12 = D1
D’où la matrice chaîne K· du montage étudié :

(96)
K·
1 + D1 /D2
= 
1/D2

D1 

1
5.2. Exemples de ﬁltres. Ici on propose l’étude que d’un seul ﬁltre. Un ﬁltre d’ordre trois constitués de trois cellules R −C
en cascade. On a va donc utiliser la matrice chaîne car son premier coeﬃcient est l’inverse de la fonction de transfert.
56
2. FILTRAGE PASSIF
Pour le premier ﬁltre on a :
D1 = R
D2 = 1/(i · C · ω)
Ainsi on a comme matrice chaîne, en posant τ = R · C et p = i · ω

1 + τ · p
= 
C·p
K

R

1
′
Et donc pour avoir la fonction de transfert il faut élever la matrice au cube et ne retenir que l’inverse du premier terme K11
qui s’écrit :
H=
V2
V1
=
1
1 + 6 · τ · p + 5 · (τ · p)2 + (τ · p)3
Pour faire un ﬁltre passe haut il suﬃt d’inverser les rôles de D1 et D2 et on a pour l’ordre trois à nouveau :
H=
(τ · p)3
1 + 5 · τ · p + 6 · (τ · p)2 + (τ · p)3
À l’aide de logiciels de calculs numérique ou formel on peut donc très aisément dépasser l’ordre trois, pour aller jusque là
où bon nous semble. Nous remarquerons néanmoins, à l’aide de la section portant sur les ﬁltres numériques, que la présence
de termes avec toutes les puissances k allant de 0 jusque l’ordre n souhaité ne donne pas forcément un proﬁl de gain très
pertinent en fonction d’un cahier des charges imposé.
Chapitre 3
Ampliﬁcateur Linéaire Intégré ( ALI )
1. Description du composant
1.1. Introduction. L’Ampliﬁcateur Linéaire Intégré ( ALI ) ou Ampliﬁcateur OPérationnel ( AOP ) est un composant actif.
C’est à dire que contrairement aux composants passifs il a besoin d’être alimenté pour pouvoir fonctionner. La structure interne
est complexe essentiellement composée de transistors et un modèle est étudié dans la section portant sur les applications des
transistors. Un ALI comporte huit broches mais seulement cinq sont utilisées en général :
• deux pour l’alimentation ±VCC
• deux pour les entrées notées V±
• une pour la sortie
Il existe pléthore d’AOP diﬀérents. Ils peuvent varier sur beaucoup de paramètres comme entre autres le type de l’alimentation.
La grande majorité fonctionne avec une alimentation symétrique, c’est à dire avec deux tensions opposées ±VCC . Et d’autres
avec une alimentation asymétrique, c’est à dire une broche à +VCC et l’autre à la masse. L’entrée V− est appelée entrée
inverseuse tandis que l’entrée V+ est l’entrée non inverseuse. La diﬀérence des deux tensions est souvent notée ε
(97)
ε = V+ − V−
Le représentation schématique 1 du composant est sur la ﬁgure 1.
Figure 1. Représentation schématique d’un ALI
1. représentation américaine. Les européens préfèrent les rectangles au lieu des triangles...
57
58
3. AMPLIFICATEUR LINÉAIRE INTÉGRÉ ( ALI )
1.2. Caractéristiques générales. Comme le nom l’indique, un ALI ampliﬁe, quoi ? Des tensions. Il existe deux gains :
• un Gain en Mode Commun, GMC et qui ampliﬁe la moyenne des deux tensions d’entrée : très peu utilisé dans les situations
classiques
• un Gain en Mode Diﬀérentiel, GMD, et qui ampliﬁe la diﬀérence des deux tensions d’entrée : ε : tout le temps considéré
dans les situations classiques car en pratique la diﬀérence de gain en décibel entre GMC et GMD est de 1oo dB. Le GMD
est en général de l’ordre de 1o 5 mais dépend de la fréquence. On y revient ensuite. Ce gain est souvent noté A. Cependant,
l’ALI étant un composant actif et qu’il est alimenté, souvent en ±15 V , il ne faut pas s’attendre en sortie à avoir une tension
qui dépasse les tensions d’alimentations, c’est la saturation de l’ALI, qui est très utilisée dans les oscillateurs notament.
On distingue deux types de modèles :
• idéal
• réel
1.2.1. ALI idéal.
L’idéalité repose sur les hypothèses suivantes :
i deal
⇐⇒
i+ = i− = o ⇐⇒ Rentr ee = +∞
⇐⇒
A = Ao = +∞
⇐⇒
Rsor tie = o
où :
• i± sont les courants parcourant les broches inverseuse et non inverseuse, dits courants de polarisation
• Ao est le gain statique
• Rentr ee , Rsor tie sont respectivement les résistances équivalentes en entrée et sortie de l’ALI
Pour préciser qu’un ALI est idéal on peut ajouter un lemniscate de Bernoulli ( ∞ ) sur le schéma.
1.2.2. ALI réel.
Les hypothèses précédentes ne sont pas satisfaites.
• Nous parlions du gain GMD qui dépend de la fréquence. Cette dépendance est du type passe-bas car le gain dynamique A
s’écrit tel que :
(98)
A(ω) =
Ao
1+i ·
ω
ωo
• On déﬁnit aussi une fréquence de transition fT = 1 MHz qui est relié au gain statique et à la fréquence de coupure fC via
le facteur de mérite M telle que :
(99)
M = Ao · fC
• Il existe également une limitation appelée : vitesse de balayage, slew rate σ ( en anglais ) qui, concrètement, triangularise
les signaux. C’est à dire que si ε est un signal créneau alors en sortie on aura un signal qui ressemble à des trapèzes. En eﬀet
1. DESCRIPTION DU COMPOSANT
59
les passages entre états hauts et états bas ne peuvent pas être instantanés et nécessitent un certain temps.
Le graphique de la ﬁgure 3 représente le phénomène. Prenons un signal de référence : en bleu correspondant à un sinus
d’amplitude 1 V et un slew rate en noir. Si on veut augmenter la fréquence en gardant la même amplitude on a la courbe
rouge : 1 V et 3o Hz. Elle coupe la droite du slew rate donc ce signal ne peut pas passer dans l’ALI. Par contre le même
signal avec une amplitude plus faible passe : la courbe en cyan : o.5 V et 3o Hz peut passer dans l’ALI.
Ainsi :
(100)
ω↑
⇐⇒
ampli tude ↓
Mathématiquement cela revient à dire qu’il faut que la pente à l’origine du signal t 7→ s(t) ne dépasse pas le slew rate et
donc :
(101)
ds
(t = o) < σ
dt
Dans le cas d’un signal purement sinusoïdal d’amplitude So on a :
(102)
ω · So < σ
60
3. AMPLIFICATEUR LINÉAIRE INTÉGRÉ ( ALI )
U
1
signal original
signal triangularisé
0
−1
0
0.5
1
1.5
2
t
2.5
3
3.5
4
Figure 2. Triangularisation d’un signal à cause du slew-rate
1 V 1o Hz
1 V 3o Hz
o.5 V 3o Hz
σ
U
1
0
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
t
Figure 3. Impact du slew rate sur la fréquence et l’amplitude des signaux
6
6.5
2. MONTAGES ÉLÉMENTAIRES
61
2. Montages élémentaires
Ici nous étudions des montages élémentaires et, sauf exception, tous les ALI sont supposés idéaux.
2.1. Suiveur. Il s’agit de l’un des montages les plus simples à ALI. On en proﬁte donc pour détailler la méthode d’étude
d’un ALI et qui sera systématique. Le montage est sur la ﬁgure 4. Les étapes sont les suivantes :
• prédire le mode de fonctionnement de l’ALI : linéaire / non linéaire
• si linéaire :
• calculer V+ et V− à l’aide du théorème de Millman
• égaliser les deux potentiels V+ = V−
• sinon :
• calculer V+ et V− à l’aide du théorème de Millman
• calculer ε = V+ − V−
• ε > o =⇒ s = +Vsat
• ε < o =⇒ s = −Vsat
Un ALI fonctionne en régime linéaire si la sortie est branchée sur la broche entrée inverseuse (−), on parle alors de rétroaction
négative. Si la rétroaction est uniquement sur la broche non inverseuse (+) alors le fonctionnement est non linéaire. Enﬁn s’il
y a rétroaction sur les deux, il faut souvent considérer le cas linéaire et non linéaire.
Figure 4. Suiveur
Ici il y a rétroaction sur la borne inverseuse uniquement donc le régime est linéaire. On a donc V+ = V− . Puis V+ = s et
V− = e, ce qui donne donc :
(103)
s=e
A priori ce montage est donc inutile a première vue. Cependant si l’on se rappelle que pour un ALI idéal ( cas très largement
considéré en pratique ) les courants de polarisation i± sont nuls, on a l’équivalent d’un montage qui possède une résistance
d’entrée inﬁnie. Le courant en sortie est nul également. Ainsi si l’on souhaite relier deux parties de montage dont l’une est
très sensible aux variations de courants, on met un suiveur entre les deux parties du montage pour pas que la première partie
perturbe la seconde. C’est de l’adaptation d’impédance.
62
3. AMPLIFICATEUR LINÉAIRE INTÉGRÉ ( ALI )
Figure 5. AmpInv
2.2. Ampliﬁcateur Inverseur. Tout d’abord remarquons que l’ALI fonctionne en régime linéaire car il y a rétro-action sur
la borne non-inverseuse.On a donc déjà V− = V+ .Puis en appliquant le théorème de Millman au point A nous avons :
VA =
e/R1 + s/R2
= V−
···
Puisque le potentiel de la borne non inverseuse est à la masse nous avons :
e/R1 + s/R2
=o
···
(104)
⇐⇒
s=−
R2
·e
R1
Remarquons que si nous prenons les mêmes résistances R1 et R2 alors ce montage devient juste un inverseur logique.
Figure 7. Convertisseur courant / tension
Figure 6. Ampliﬁcateur inverseur
2.3. Ampliﬁcateur non Inverseur. Ici on a :
(105)
VA =
s/R2
= V− = e
1/R1 + 1/R2
⇐⇒
s=
1+
R2
R1
·e
Cependant, comme indiqué dans la section 1.2 on ne peut pas ampliﬁer autant que l’on veut à cause de la saturation haute
de l’ALI. Si l’on souhaite réellement ampliﬁer un faible signal il faut mettre en cascade plusieurs ALI.
2. MONTAGES ÉLÉMENTAIRES
63
2.4. Convertisseur courant/tension. On a :
(106)
VA =
i + s/R
= V+ = o
···
=⇒
s = −R · i
2.5. Comparateur simple. Comme le nom l’indique, la structure est encore plus simple qu’un suiveur. L’absence de
rétroaction donne un régime de fonctionnement non linéaire et :
Figure 8. Comparateur simple
(107)
ε < o =⇒ s = −Vsat
ε > o =⇒ s = +Vsat
2.6. Trigger de Schmidt ( Comparateur à hystérésis ). Comme le comparateur simple, l’objectif du montage ci dessous
est de faire passer d’un état bas à un état haut un système en fonction du passage de seuil ou non. Contrairement au
comparateur simple, ce comparateur possède deux seuils. L’objectif ici est de tracer la caractéristique sortie/entrée s = f (e).
Figure 9. Trigger de Schmidt ( ou comparateur à hystérésis )
Tout d’abord remarquons que l’ALI fonctionne en régime saturé car il y a rétro-action sur la borne inverseuse.On doit donc
travailler avec la tension ε = V+ − V− . Calculons ensuite le potentiel en A à l’aide du théorème de Millman :
VA =
e1 /R1 + s/R2
= V+
1/R1 + 1/R2
On a donc :
ε=
e/R1 + s/R2
− e2
1/R1 + 1/R2
64
3. AMPLIFICATEUR LINÉAIRE INTÉGRÉ ( ALI )
En général il n’y a qu’une seule des deux entrées non nulle. Une par une, prenons d’abord e2 = o et notons e1 = e. La tension
de sortie vaut la tension de saturation haute de l’ALI si ε > o et tension de saturation basse de l’ALI sinon.
• On suppose que l’ALI sature en position haute, on a donc s = +Vsat et :
(108)
ε>o
⇐⇒
e/R1 + Vsat /R2
R1
> o ⇐⇒ e > −
· Vsat = −Vseuil
1/R1 + 1/R2
R2
• On suppose maintenant que l’ALI sature en position basse, on a donc s = −Vsat et :
(109)
ε>o
⇐⇒
e/R1 − Vsat /R2
R1
< o ⇐⇒ e <
· Vsat = +Vseuil
1/R1 + 1/R2
R2
Nous remarquons deux tensions opposées. Il reste à tracer la caractéristique qui a la forme de la ﬁgure 10. Et déﬁnir le sens
de parcours. Pour cela on doit garder en mémoire que :
(110)
ε=
e/R1 + s/R2
···
Figure 10. Allure de la caractéristique d’un comparateur à hystérésis
• on suppose que l’on se place au point A, on a s = +Vsat et e > +Vseuil . Si la tension e continue d’augmenter, la diﬀérence
ε restera positive et ne risque pas de s’annuler.
Par contre si la tension e diminue, elle va passer par la tension de seuil haute +Vseuil mais le signe de la diﬀérence de tension
va rester positif. Donc la sortie est toujours en saturation haute.
Si la tension e continue de diminuer alors elle va atteindre le seuil négatif −Vseuil et la diﬀérence de tension sera nulle puis
négative. La sortie passe en saturation basse.
• on suppose que l’on se place au point B, on a s = +Vsat et e < −Vseuil . On voit immédiatement qu’un tel cas n’est pas
possible car on aurait ε < o et donc la sortie en saturation haute. Par l’absurde on vient de montrer que le point B n’est pas
accessible.
• on suppose maintenant que l’on se place au point C, on a s = −Vsat et e < −Vseuil . Si la tension e diminue la diﬀérence ε
restera négative. Pas de changement d’état pour la sortie.
2. MONTAGES ÉLÉMENTAIRES
65
Par contre si la tension e augmente elle va passer par la tension de seuil haute −Vseuil mais le signe de la diﬀérence de tension
va rester négatif. Donc la sortie est toujours en saturation basse.
Si la tension e continue d’augmenter alors elle va atteindre le seuil positif +Vseuil et la diﬀérence de tension sera nulle puis
positive. La sortie passe en saturation haute.
• on suppose ﬁnalement que l’on se place au point D, on a s = −Vsat et e > +Vseuil . On voit immédiatement qu’un tel cas
n’est pas possible car on aurait ε > o et donc la sortie en saturation haute. Par l’absurde on vient de montrer que le point B
n’est pas accessible.
On a donc la caractéristique suivante de la ﬁgure 11.
Figure 11. Hystérésis pour entrée non inverseuse nulle
Prenons maintenant e1 = o. On a donc :
(111)
ε
=
R1
s/R2
−e =
·s −e
1/R1 + 1/R2
R1 + R2
En se permettant d’aller plus rapidement maintenant, en posant e2 = e, les tensions de seuil sont :
(112)
±Vseuil
= ±
R1
· Vsat
R1 + R2
• on suppose que l’on se place au point A, on a s = +Vsat et e > +Vseuil . Si la tension e augmente alors la diﬀérence ε va
diminuer jusqu’à s’annuler et donc faire basculer la sortie. Ce qui n’est pas possible car les changements ne peuvent se faire
qu’aux seuils. Par l’absurde on vient de montrer que le point A est inaccessible.
• on suppose que l’on se place au point B, on a s = +Vsat et e < −Vseuil . Si e diminue alors la diﬀérence ε va augmenter et
la sortie restera en position haute.
Si e augmente alors ε va diminuer jusqu’à devenir nulle lorsque e = +Vseuil . La sortie bascule à l’état bas.
• on suppose maintenant que l’on se place au point C, on a s = −Vsat et e < −Vseuil . Si la tension e diminue la diﬀérence
augmentera et ε aussi jusqu’à devenir positive. Mais à nouveau ce cas n’est pas possible car les changements d’états ne se
vont qu’aux tensions ±Vseuil . Le point C n’est donc pas accessible par le système.
• on suppose ﬁnalement que l’on se place au point D, on a s = −Vsat et e > +Vseuil . Si e augmente alors ε continuera à
diminuer et laissera le système à l’état bas contrairement à si e diminue jusqu’à la tension −Vseuil .
66
3. AMPLIFICATEUR LINÉAIRE INTÉGRÉ ( ALI )
On a donc l’hystérésis suivante de la ﬁgure 12.
Figure 13. exemple de diagramme de l’œil
Figure 12. Hystérésis pour entrée inverseuse nulle
L’intérêt d’un tel comparateur est lorsque l’on souhaite s’aﬀranchir du bruit. En eﬀet si l’on se place dans des conditions où
le niveau de bruit peut être si important qu’il peut faire passer un système à un état haut ( ou bas ) alors qu’il était en état
bas ( ou haut ) et ce de façon intempestive. Un exemple concret est en communications numériques lorsque l’on doit décoder
des ”1” et des ”o”, ceci se fait avec ce qu’on appelle des diagrammes de l’oeil présenté sur la ﬁgure 13.
Sur ce digramme on observe, entre autres, des ”bandes” jaunes orangées.Ces ”bandes” sont d’autant plus épaisses que le bruit
dans le signal est important. De ces signaux on déduit le niveau ”o” ou ”1” là où l’écart entre deux bandes est le plus important
( on dit quand ”l’oeil est le plus ouvert” ). On comprends donc bien ici que plus le bruit est important et plus ”l’oeil se fermera”
et rendra compliquée la prise de décision. Un comparateur simple ne convient pas. Un comparateur à hystérésis pourrait.
Je ne sais pas si c’est cette technique qui est utilisée en réalité car il y a beaucoup de paramètres sur lesquels on peut intervenir
pour ouvrir l’oeil ( choix des formats de modulation, choix des canaux de transmission etc. ). L’objectif n’était que de donner
une idée d’application concrète, autre que pour un oscillateur.
3. OPÉRATIONS MATHÉMATIQUES
67
3. Opérations mathématiques
3.1. Sommateur Inverseur. L’objectif ici est de sommer plusieurs tensions. Le montage est sur la ﬁgure 14.
Figure 14. Sommateur
Figure 15. Soustracteur
Le théorème de Millman donne :
(113)
s
e1
eN
+
+ ···
R R1
RN
VA =
=o
···
⇐⇒
s = −R · ΣN
k=1 Gk · ek
où ∀k ∈ J1, NK, Gk = 1/Rk
3.2. Soustracteur. Le montage est sur la ﬁgure 15. Comme pour le sommateur on a, en gardant les mêmes notations :
s
+ ΣN
k=1 Yk · Ek
R
VA =
1/R + ΣN
k=1 Yk
s
+ ΣN
k=1 yk · ek
r
VB =
1/r + ΣN
k=1 yk
Avec Yk = 1/Rk et yk = 1/rk . Puis en égalisant les deux on obtient :
(114)
s
=
1
·
Y +y
ΣN
ΣN yk · ek
k=1 Yk · Ek
− k=1
N
Σk=1 Yk
ΣN
k=1 yk
68
3. AMPLIFICATEUR LINÉAIRE INTÉGRÉ ( ALI )
3.3. Racine carrée. On peut aussi prendre la racine carrée d’un signal en entrée à l’aide du montage de la ﬁgure 16. En
eﬀet on a :
V+ = k · s 2 = V− = e
(115)
⇐⇒
s =+
Figure 16. Racine carrée
p
e/k
Figure 17. Diviseur
3.4. Diviseur. La division d’un signal en entrée par un second signal u peut se faire à l’aide du montage de la ﬁgure 17.
On a :
k ·u·s
e
+
R
r
V+ =
1/r + 1/R
(116)
⇐⇒
s=−
R
e
·
r k ·u
3.5. Exponentielle. Ici on utilise des transistors, mais peut se faire également avec des diodes, pour utiliser la loi de
Shockley. À ce niveau du document les transistors n’ont pas été introduits et vous pouvez y faire un tour à la section 5.2 sans
que vous ayez besoin d’avoir suivi le début du chapitre sur les semi-conducteurs. On rappelle quand même ici le schéma d’un
transistor BJT PNP sur la ﬁgure 18.
Figure 18. Courants et tensions dans un
transistor PNP
Figure 19. exponentiel
Rapidement ( et grossièrement ) ici on peut dire que le transistor donne un courant du collecteur iC non nul si la tension
appliquée entre le points B et E est supérieure à une tension de saturation notée VBE,sat . Dans ce cas le courant iC peut
s’écrire :
VBE
k
iC ≈ Io · e B · T
−
3. OPÉRATIONS MATHÉMATIQUES
69
où kB ≈ 1.4 · 1o −23 Joules/Kelv i n et T la température de l’environnement dans lequel est placé le transistor. Le montage
est sur la ﬁgure 19. Ainsi lorsque le courant du collecteur est non nul on peut écrire à l’aide du théorème de Millman.
VA =
s/R + iC
=o
1/R
⇐⇒
s = −R · iC
Puis en utilisant la loi de Shockley :
e
k
s ≈ −R · Io · e B · T
−
(117)
Ne pas oublier que le courant Io est de l’ordre du nano ampère. Il ne faut donc pas s’attendre à des ampères parcourant le
transistor...
3.6. Logarithme. Pour le logarithme on utilise à nouveau un transistor, mais NPN cette fois. Le principe de fonctionnement
ne change pas.
Figure 21. logarithme
Figure 20. Courants et tensions dans un
transistor NPN
Ainsi lorsque le transistor est passant on a :
VA =
e/R − iC
···
⇐⇒
e = R · iC
et avec la loi de Shockley on obtient :
(118)
s
k
e ≈ R · Io · e B · T
−
⇐⇒ s ≈ −ln
e
R · Io
· kB · T
À l’aide de ce montage on peut créer un multiplieur analogique conposé de deux circuits log en parallèle suivis d’un additionneur
et d’un circuit exponentiel.
3.7. Intégrateur de Miller. Intégrer un signal se fait assez facilement à l’aide d’un ALI, avec le montage de la ﬁgure 22.
L’ALI fonctionne en régime linéaire. Comme toujours appliquons le théorème de Millman :
70
3. AMPLIFICATEUR LINÉAIRE INTÉGRÉ ( ALI )
Figure 22. Intégrateur inverseur
Figure 23. Dérivateur inverseur
VA =
s/ZC + e/R
···
Immédiatement on a :
(119)
ZC
s=−
·e
R
⇐⇒
1
s(t) = −
R·C
Z
e(t)dt
3.8. Dérivateur inverseur. Le montage est très similaire à l’intégrateur. On a donc :
(120)
VA =
s/R + e/ZC
1/R + 1/ZC
⇐⇒
s(t) = −R · C ·
de
(t)
dt
Figure 24. Déphaseur
3.9. Déphaseur. On applique le théorème de Millman aux points A et B on a :
VA =
e/R1 + s/R2
1/R1 + 1/R2
VB =
e/R3
1/R3 + YC
3. OPÉRATIONS MATHÉMATIQUES
71
Puis en utilisant du régime linéaire on a :
R1
·s =
R1 + R2
R2
1
−
R1 + R2
1 + R3 · Y C
· e ⇐⇒ s =
R2 · R3 · YC − R1 1
·
·e
1 + R3 · Y C
R1
La fonction de transfert s’écrit :
R2 · R3
·C·ω
R1
1 + i · R3 · C · ω
−1 + i ·
(121)
H=
Maintenant on peut écrire le gain :
(122)
GdB
=
1o · log1o
1+
R2 · R3
·C·ω
R1
2 !
h
i
− 1o · log1o 1 + (R3 · C · ω)2
Et pour la phase on a :
(123)
R2 · R3
φ = ar ctan −
· C · ω − ar ctan (R3 · C · ω)
R1
On remarque donc que si l’on choisit R1 = R2 alors le gain est nul quelque soit la fréquence, mais la phase, elle, n’est pas
constante. Ainsi pour obtenir un déphaseur pur il suﬃt de prendre R1 = R2 et la phase devient alors :
(124)
φ = −2 · ar ctan (R3 · C · ω)
72
3. AMPLIFICATEUR LINÉAIRE INTÉGRÉ ( ALI )
4. Simulateurs
Les ALI servent aussi à faire comme si un composant était là alors qu’il ne l’est pas, donc à le simuler. Comme des condensateurs
et bobines. L’intérêt est de pouvoir avoir des impédances variables !
4.1. Résistance négative. Cette résistance négative RN peut-être utilisée pour fabriquer un oscillateur ( voir 4.1 ). Le
montage est sur la ﬁgure 25.
régime linéaire
régime saturé
e(V )
10
0
−10
−15 −10
−5
0
i (A)
5
10
15
Figure 25. Résistance négative
Figure 26. Caractéristique e = f (i )
Il y a rétroaction sur les bornes, on peut donc supposer le régime linéaire et :
VA =
s/R2
1/R1 + 1/R2
V− =
s/R3 + i
1/R3
Et donc en égalisant on arrive à :
s
=
R1 · R3
−R3 · i −
·i
R
| {z 2 }
RN
.
ce qui permet d’en déduire :
e = RN · i
(125)
Puisqu’il y a également une rétroaction sur la borne non inverseuse le régime saturé est à envisager. L’objectif est de tracer
la caractéristique e = f (i ). On a en régime linéaire le cas déjà étudié :
(126)
s ∈ [−Vsat , +Vsat ]
On peut donner les valeurs extrêmes du courant sont :
⇐⇒
e = RN · i
4. SIMULATEURS
−Vsat < s
RN · i + Vsat
>
R3
e + Vsat
>
R3
i
i
73
< +Vsat
RN · i − Vsat
R3
e − Vsat
>
R3
>
Ce qui donne comme valeurs maximales de tensions d’entrée maximaux :
RN ·
e + Vsat
<
R3
RN
· Vsat <
R3
R3 − RN
·e
R3
RN
· Vsat <
R −R
| 3 {zN
}
(127)
e − Vsat
R3
< RN ·
e
<−
RN
· Vsat
R3
RN
· Vsat
<−
R −R
| 3 {zN
}
e
emin
emax
Et maintenant on peut en déduire les courants minimal et maximal :
Vsat
> i
R −R
| 3 {z N}
(128)
>
−Vsat
R −R
| 3 {z N}
imax
imin
Remarquons que les inégalités précédentes sont vraies si on a la condition 129. Autrement il faut inverser le sens des inégalités.
R3 > R N
En régime non linéaire, c’est à dire au delà des bornes déﬁnies juste au dessus, on a s = ±Vsat et donc :
(129)
e − s = R3 · i
(130)
⇐⇒
e = Vsat + R3 · i
⇐⇒
e = −Vsat + R3 · i
si s = +Vsat
si s = −Vsat
On obtient alors la caractéristique en prenant des valeurs arbitraires :
R1 = 1 Ω
R2 = 2 Ω
R3 = 3 Ω
=⇒ emin,max = ±15 V
Vsat = 15 V
imin,max = ±1o A
4.2. Simulateur de bobine. Contrairement aux études précédentes avec ALI, on va ici réutiliser la loi des nœuds et :
i
=
e
e−s
i1 + i2 =
+
=
R1
R2
1
1
+
R1
R2
·e−
1
·s
R2
74
3. AMPLIFICATEUR LINÉAIRE INTÉGRÉ ( ALI )
Figure 27. Simulateur de bobine
Puis à la borne non inverseuse :
s
e
+
ZC
R1
V− =
···
⇐⇒
s=−
ZC
·e
R1
Et donc :
i
=
1
1
+
R1
R2
·e+
1 ZC
·
·e =
R2 R1
1
ZC
1
+
+
R1
R2
R1 · R2
·e
Finalement le montage est équivalent à deux résistances en parallèle avec une inductance équivalente Leq telle que :
(131)
Leq = R1 · R2 · C
D’ailleurs on peut être amené à se demander pourquoi on ne voit jamais de bobine dans les montages à ALI. La raison est
que comme vu dans la section 1.2, ceux-ci se comportent comme des passe bas. Or une bobine se comporte comme un
interrupteur ouvert en basses fréquences.
4. SIMULATEURS
75
Figure 28. Simulateur de condensateur
4.3. Simulateur de condensateur. Le montage est sur la ﬁgure 28. À nouveau on utilise la loi des nœuds. On a :
i
e−s
o −e
= i1 + i2 =
+
=
(1 − α) · R
ZC
1
1
−
(1 − α) · R ZC
·e−
Comme pour le simulateur d’inductance, on écrit le potentiel à la borne inverseuse :
V− − s
= α · R · i1
Mais puisque l’ALI fonctionne en régime linéaire et V− = o. On a donc :
s
= −α · R · i1 = −α · R ·
e
ZC
Puis en réinjectant on a :

i



1
1


= 
+
·e
 (1 − α) · R (1 − α) · ZC 
|
{z
}
1/Zeq
Finalement on a la capacité équivalente Ceq suivante :
(132)
Ceq = C/(1 − α)
1
·s
(1 − α) · R
Chapitre 4
Filtrage actif
1. Premier ordre
1.1. Passe bas. Le montage est sur la ﬁgure 1
Figure 1. Passe bas actif d’ordre un
Avant d’appliquer le théorème de Millman on peut écrire l’impédance équivalente Zeq présente sur la rétro-action :
(133)
1
1
=
+i ·C·ω
Zeq
R2
⇐⇒
Zeq =
R
1+i ·τ ·ω
Où τ = R · C. Puis en A on a :
VA =
s/Zeq + e/R1
=o
···
⇐⇒
s=−
Zeq
R1
On a donc la fonction de transfert suivante :
(134)
H(ω) =
R2 /R1
1+i ·τ ·ω
Quant à l’étude de la fonction de transfert, elle a été faite à la section 3. Le seul changement c’est l’ordonnée à l’origine dans
la courbe de gain et on aura :
(135)
GdB (ω → o) = 2o · log1o (R2 /R1 )
77
78
4. FILTRAGE ACTIF
On peut voir ici l’avantage d’un ﬁltre avec ALI c’est d’obtenir un gain qui puisse dépasser o dB. Ainsi le proverbe ”on ne fait
pas d’omelette sans casser d’œufs” prend tout son sens ici. Pour obtenir du gain, il est nécessaire de dépenser de l’énergie pour
alimenter un ALI. On peut, ﬁnalement, se rendre compte que le gain en basses fréquences sera supérieur à l’unité, comme le
montre la relation 135, contrairement aux ﬁltres passifs.
1.2. Passe haut. Il existe deux architectures possibles. L’une d’elles est sur la ﬁgure 2
Figure 2. Passe haut d’ordre 1
Le théorème de Millman donne :
e
VA
=
1
R1 +
i ·C·ω
···
+
s
R2
Puis en utilisant la linéarité on a la fonction de transfert :
(136)
H
= −
R2
1
R1 +
i ·C·ω
=−
R2 /R1
1
1+
R1 · C · i · ω
2. Cellulle de Rauch
Dans les deux sections ( incluant celle-ci ) à venir vont être présentées deux cellules de ﬁltrage du second ordre classiques. La
méthode d’étude sera identique pour les deux. On étudie le cas général avec des impédances quelconques Z1 , · · · , Z5 pour
ensuite l’appliquer aux diﬀérents types de ﬁltrages réalisables : passe bas, passe haut et passe bande. Ainsi quand Z1 ≡ R ou
Z1 ≡ C signiﬁera qu’à la place de l’impédance Z1 sera une résistance R ou un condensateur de capacité C. Les calculs, dans
les deux sous-sections, seront plus ou moins détaillés mais les grandes étapes seront présentes. La structure générale est sur
la ﬁgure 3
2.1. Fonction de transfert générale. Pour la fonction de transfert on utilise à proﬁt le théorème de Millman. Aux points
A et B :
VA =
Puis en utilisant la linéarité :
Y1 · e + Y2 · s + Y3 · VB
Σ4k=1 Yk
VB =
Y3 · VA + Y5 · s
Y3 + Y5
2. CELLULLE DE RAUCH
79
Figure 3. Filtre de Rauch
⇐⇒
V+ = V−
s=−
Y3
· VA
Y5
Et donc :
VA
=−
Y5
Y1
Y2
·s = 4
·e+ 4
·s
Y3
Σk=1 Yk
Σk=1 Yk
D’où :
(137)
H
= −
Y5 ·
Y1 · Y3
4
Σk=1 Yk +
Y2 · Y3
2.2. Passe bas. Maintenant que l’expression générale a été écrite on peut l’appliquer au cas du passe bas. Pour avoir un
passe bas il faut :
Y1 ≡ R1
Y2 ≡ R2
Y3 ≡ R3
Y4 ≡ C4
Y5 ≡ C5
La fonction de transfert s’écrit :
H
(138)
= −
1
R1 · R3
1
1
1
1
+
+
+ i · C4 · ω · i · C5 · ω +
R1
R2
R3
R2 · R3
= −
R2
R1 + [(R1 + R2 ) · R3 + R1 · R2 ] · C5 · (i · ω) + R1 · R2 · R3 · C4 · C5 · (i · ω)2
= −
R2 /R1
R2
1 + R2 + 1 +
· R3 · R5 · (i · ω) + R2 · R3 · C4 · C5 · (i · ω)2
R1
80
4. FILTRAGE ACTIF
On en déduit immédiatement le gain en basses fréquences et la pulsation centrale :
(139)
ωo = √
Ho = R2 /R1
1
R2 · R5 · C 4 · C 5
Et donc le facteur de qualité :
(140)
Q
=
R1 √
· R2 · R5 · C 4 · C 5
R5
R1 · R2 + R1 · R3 + R2 · R3
2.3. Passe haut. Pour faire un passe haut :
Y1 ≡ C1
Y2 ≡ C2
Y3 ≡ C3
Y4 ≡ R4
Y5 ≡ R5
Celui-ci est relativement facile :
H
=
C1 · C3 · (i · ω)2
R4 · R5 · C1 · C3 · (i · ω)2
=
1
1
1 + R4 · (C1 + C2 + C3 ) · (i · ω) + R4 · R5 · C4 · C5 · (i · ω)2
· (C1 + C2 + C3 ) · (i · ω) +
+ C2 · C3 · (i · ω)2
R5
R4
On a immédiatement la pulsation centrale :
(141)
ωo
=
√
1
R4 · R5 · C 2 · C 3
Puis le gain en basses fréquences :
Ho
= R4 · R5 · C1 · C3
ωo
(142)
r
⇐⇒
Ho =
R4 · R5 · C 3
· C1
C2
Finalement le facteur de qualité :
1
Q=
·
C1 + C2 + C3
(143)
r
R5
· C2 · C3
R4
2.4. Passe bande. Pour le passe bande il faut :
Y1 ≡ R1
La fonction de transfert s’écrit :
Y2 ≡ C2
Y3 ≡ C3
Y4 ≡ R4
Y5 ≡ R5
3. CELLULLE DE SALLEN KAY
H
(144)
=
=
1
·
R5
81
i · C3 · ω
R1
1
1
+
+ i · (C2 + C3 ) · ω + C2 · C3 · (i · ω)2
R1
R4
R4 · R5
· C3 · (i · ω)
R1 + R4
R1 · R4
R1 · R4 · R5
1+
· (C2 + C3 ) · (i · ω) +
· C2 · C3 · (i · ω)2
R1 + R4
R1 + R4
Pour le gain en basses fréquences :
(145)
Ho
=
R4 · R5 · C3
R5 · C3
R1 + R4
=
R1 · R4 · (C2 + C3 )
R1 · (C2 + C3 )
R1 + R4
Finalement le facteur de qualité :
(146)
Q
=
R1 + R4
·
R1 · R4 · (C2 + C3 )
r
R1 · R4 · R5 · C2 · C3
=
R1 + R4
s
(R1 + R4 ) · R5 · C2 · C3
R1 · R4 · (C2 + C3 )
3. Cellulle de Sallen Kay
3.1. Fonction de transfert générale. Le ﬁltre est sur la ﬁgure 4.
Figure 4. Filtre de Sallen Key
Comme pour le ﬁltre de Rauch on écrit d’abord la fonction de transfert dans le cas général pour l’adapter aux diﬀérents types
de ﬁltres. On utilise donc le théorème de Millman à la borne non inverseuse :
V− =
r
·s
r| +
{zR}
α
82
4. FILTRAGE ACTIF
Puis à la borne inverseuse et en utilisant les inductances au lieu des impédances :
VA =
Y3
· VB
Y3 + Y5
VB =
e · Y1 + s · Y2 + VA · Y3
Σ4k=1 Yk
On remplace dans l’expression de VA :
VA =
Y1 · Y3
Y2 · Y3 + α · Y32
·e+
·s
4
(Y3 + Y5 ) · Σk=1 Yk
(Y3 + Y5 ) · Σ4k=1 Yk
Puis en supposant le régime linéaire :
VA = V−
⇐⇒
Y1 · Y3
·e =
(Y3 + Y5 ) · Σ4k=1 Yk
α−
Y2 · Y3 + α · Y32
(Y3 + Y5 ) · Σ4k=1 Yk
·s
Et donc la fonction de transfert :
(147)
H
=
Y1 · Y3
4
(Y3 + Y5 ) · Σk=1 Yk − Y32 · α − Y2 · Y3
3.2. Passe bas. Pour avoir un passe bas il faut :
Y1 ≡ R1
Y2 ≡ C2
Y3 ≡ R3
Y4 = o
Y 5 ≡ C5
La fonction de transfert s’écrit :
H
=
=
(148)
=
1
R1 · R3 1
1
1
1
1
1
C2
i · C2 · ω
·
+
− 2+
+
· C5 +
· (i · ω) + C2 · C5 · (i · ω)2 · α −
R3
R1
R3
R1
R3
R3
R3
R3
1
{1 + [(R1 + R3 ) · C5 + R1 · C2 ] · (i · ω) + R1 · R3 · C2 · C5 · (i · ω)2 } · α − R1 · C2 · (i · ω)
1/α
α−1
1 + (R1 + R3 ) · C5 +
· R1 · C2 · (i · ω) + R1 · R3 · C2 · C5 · (i · ω)2
α
On a immédiatement pour la pulsation centrale :
(149)
Et donc le facteur de qualité :
ωo = √
1
R1 · R3 · C 2 · C 5
3. CELLULLE DE SALLEN KAY
1
=
Q
(150)
α−1
(R1 + R3 ) · C5 +
· R1 · C 2
α
83
1
R1 · R2 · C2 · C5
Q=
1
1
α−1
+
+
R3 · C 2
R1 · C 2
α · R2 · C5
√
· ωo
⇐⇒
3.3. Passe haut. Pour le passe haut :
Y1 ≡ C1
Y2 ≡ R2
Y3 ≡ C3
Y4 = o
Y 5 ≡ R5
La fonction de transfert s’écrit alors :
H
(151)
C · C · (i · ω)2
1 3
C1 + C3
C3
i · C3 · ω
+
· (i · ω) + C1 · C3 · (i · ω)2 · α −
R5
R2
R2
=
=
1
· R2 · R5 · C1 · C3 · (i · ω)2
α
α−1
1 + (C1 + C3 ) · R2 +
· R5 · C3 · (i · ω) + R2 · R5 · C1 · C3 · (i · ω)2
α
1
+
R2 · R5
La pulsation centrale et le gain en basses fréquences :
ωo = √
(152)
1
R2 · R5 · C1 · C3
Ho = 1/α
Et le facteur de qualité :
1
R
·
R
2 5 · C1 · C3
1
1
1
α−1
+
·
+
C2
C3
R5
α · R2 · C 2
√
(153)
Q
=
3.4. Passe bande. Il faut :
Y1 ≡ R1
(154)
Y2 ≡ R2
Y3 ≡ C3
Y4 = C4
Y5 ≡ R5
La fonction de transfert s’écrit :
H
(155)
=
i · C3 · ω
R1 1
1
1
1
1
C4
i · C3 · ω
2
+
+
+
+
· C3 +
· (i · ω) + (C3 · C4 ) · (i · ω) · α −
R5 · R1
R5 · R2
R1
R2
R5
R5
R2
84
H
4. FILTRAGE ACTIF
=
i · C3 · ω
R1
R1 + R2 + {[(R1 + R2 ) · R5 + R1 + R2 ] · C3 + R1 · R2 · C4 } · (i · ω) + R1 · R2 · R5 · C3 · C4 · (i · ω)2
i · C3 · ω
·α−
R1 · R2 · R5
R2
=
i · R2 · R5 · C 3 · ω
α · (R1 + R2 ) + [(α − 1) · R1 · R5 · C3 + (R1 + R5 ) · R2 · C3 + R1 · R2 · C4 ] · (i · ω) + α · R1 · R2 · R5 · C3 · C4 · (i · ω)2
Puis en divisant par α · (R1 + R2 ) on a :
H
=
i · R2 · R5 · C3 · ω
α · (R1 + R2 )
R1 · R2 · R5 · C3 · C4
[(α − 1) · R1 · R5 + (R1 + R5 ) · R2 ] · C3 + R1 · R2 · C4
· (i · ω) +
· (i · ω)2
1+
α · (R1 + R2 )
R1 + R2
La mise sous forme canonique permet de déterminer le gain en basses fréquences, la pulsation centrale et le facteur de qualité :
Ho
R2 · R5 · C3
=
Q · ωo
α · (R1 + R2 )
1
[(α − 1) · R1 · R5 + (R1 + R5 ) · R2 ] · C3 + R1 · R2 · C4
=
Q · ωo
α · (R1 + R2 )
(156)
On obtient immédiatement la pulsation centrale :
1
R1 · R2 · R5 · C3 · C4
=
2
ωo
R1 + R2
r
⇐⇒
ωo =
R1 + R2
R1 · R2 · R5 · C 3 · C 4
On peut ensuite déterminer la facteur de qualité :
Q
=
1
α · (R1 + R2 )
·
ωo [(α − 1) · R1 · R5 + (R1 + R5 ) · R2 ] · C3 + R1 · R2 · C4
r
R1 + R2
R1 · R2 · R5 · C 3 · C 4
= α· 1
α−1
1
1
1
+
+
·
+
R1
R2
R5
C4
R5 · C 3
(157)
Et ﬁnalement le gain :
Ho
(158)
=
R2 · R5 · C 3
α · (R1 + R2 )
·
α · (R1 + R2 ) [(α − 1) · R1 · R5 + (R1 + R5 ) · R2 ] · C3 + R1 · R2 · C4
=
1+
1
α−1
C4
1
+
+
· R1
R2
R3 · C 3
R5
4. AUTRES TECHNIQUES
85
4. Autres techniques
4.1. Passe bande à commande numérique. Ici on propose un ﬁltre passe bande, ﬁgure 1, dont la fréquence centrale
dépend d’une commande numérique.
Remarquons que le montage se compose de trois parties :
• un ﬁltre passe bas actif du premier ordre à ALI
• un convertisseur Numérique / Analogique
• un intégrateur de Miller
En reprenant la sous section 3.7 on a :
w =−
(159)
ZC2
· (−k · s)
R4
k=
R′
·B
8·R
Puis on utilise le théorème de Millman au point A et :
s
w
e
+
+
Zeq
R1
R2
VA =
···
VA = o
⇐⇒
s = −Zeq ·
w
e
+
R1
R2
⇐⇒ s = −
Zeq k · ZC2
Zeq
·
·s −
·e
R1
R4
R2
On en déduit la fonction de transfert :
Zeq
R2
Zeq · ZC2
1+k ·
R1 · R4
−
(160)
H
=
Où, pour rappel, en utilisant la section 1.1 on a :
1
1
=
+ i · C1 · ω
Zeq
R3
(161)
On commence le calcul :
H
R1 · R4 · Zeq
=−
= −
R1 · R2 · R4 + k · R2 · Zeq · ZC2
R1 · R4
k · R2 · ZC2
R1 · R4
1+
k · ZC2 · Zeq
86
4. FILTRAGE ACTIF
Puis en divisant par le numérateur :
H
= −
= −
1
1
=−
R2 · ZC2
R2 · ZC2
R1 · R4
R2
R2
k·
+k ·
·
k·
· ZC2 +
R1 · R4
R1 · R4 k · ZC2 · Zeq
R1 · R4
Zeq
1
k · R2
R2
+ i · R2 · C1 · ω − i ·
R3
R1 · R4 · C2 · ω
=−
R3
R2
1 + i · R3 · C3 · ω −
k
1
·
R1 · R4 C2 · ω
On reconnaît ici la structure d’un passe bande d’équation comme vu dans la section 4.3. Par unicité on peut donc écrire les
égalités suivantes :
Q
= R3 · C1
ωo
Q · ωo =
k · R3
R1 · R4 · C2
Puis en eﬀectuant le produit et la division on obtient :
1
R1 · R4 · C1 · C2
=
ωo2
k
Q2 =
k · R32 C1
·
R1 · R4 C2
Et ﬁnalement en explicitant la valeur de k :
r
(162)
ωo (B) =
8 · R · R1 · C1
R′ · B
s
Q(B) =
R32
C1
R′
·
·
·B
R1 · R4 8 · R C2
On remarque donc que la fréquence centrale est inversement proportionnelle à l’inverse de la commande B. Cependant on
observe que plus la fréquence centrale est basse et moins le ﬁltre devient sélectif. C’est un inconvénient de ce ﬁltre à commande
numérique.
4. AUTRES TECHNIQUES
Table 1. Passe bande à commande numérique
87
88
4. FILTRAGE ACTIF
5. Conception de ﬁltres
Cette section va s’avérer être la plus mathématique de ce document.
Des notions sur les polynômes seront utilisés mais tous les résultats ne seront pas forcément démontrés.
5.1. Cahier des charges. Jusqu’ici nous ne nous sommes ﬁxés aucune contraintes. Nous avons étudié des montages déjà
conçus. À partir d’ici nous allons voir comment, à partir des contraintes posées par un utilisateur, dimensionner un ﬁltre. Les
critères qui peuvent être ﬁxés sont les suivants :
• quel gabarit ?
• passe bas
• passe haut
• passe bande
• coupe bande
• fréquence(s) de coupure(s)
• gains minimaux et maximaux dans les bandes passante et coupée
• quel comportement dans le gabarit ?
• du gain
• de la phase
Les diﬀérents types de gabarits sont sur les ﬁgures 5,6 et 7. Sachant que pour le coupe bande le gabarit est exactement le
complémentaire du passe bande.
Sur les gabarits dessinés sont présents des points constituant en réalité la première partie du cahier des charges. La deuxième
partie consiste à vouloir :
• un gain constant ( on parle de réponse plate) ou non pour toutes les fréquences dans la bande passante
• une phase linéaire ( ou non ) qui ( ne ) déformera ( pas ) le signal.
5. CONCEPTION DE FILTRES
89
G
(ωp , Gmin )
(ωa , Gmax )
ω
Figure 5. Gabarit passe bas
G
(ωa , Gmin )
(ωp , Gmax )
ω
Figure 6. Gabarit passe haut
G
(ωp− , Gmin )
(ωa− , Gmax )
ωo
ωp+
ωa+
Figure 7. Gabarit passe bande
ω
90
4. FILTRAGE ACTIF
5.2. Structure des fonctions de transferts.
5.2.1. Notations. L’idée générale dans la conception des ﬁltres et de toujours se ramener à un gabarit de passe-bas ﬁctif
pour pouvoir ensuite déterminer les paramètres dans un cadre normalisé.
Ceci se fait à l’aide de deux étapes :
permet de traiter indiﬀéremment les fonctions de transfert comme
normalisation
des fractions de polynômes
permet de passer du gabarit réel que l’on souhaite au gabarit passe
transposition
bas équivalent dans lequel tous les calculs seront eﬀectués
Cependant il ne faudra pas oublier de revenir dans l’espace de départ pour retrouver le gabarit réel. Ceci se fera donc dans
l’ordre inverse :
dé-transposition
permet de retrouver le gabarit du cahier des charges
dé-normalisation permet d’obtenir la fonction de transfert ﬁnale du ﬁltre
Pour la normalisation on a :
Normalisation : notations avant transposition
notati on de Laplace
:
p =i ·ω
nor mali sati on
:
s = i · ω/ωp = i · x
:
s = ω/ωo = i · x
passe − bas & passe − haut
passe − bande & coupe − bande
Pour on transpose le ﬁltre en un ﬁltre passe bas. Ceci se fait en posant un changement de variable s̃ et en posant B = 1/Q
on a :
Hpasse
haut (s̃)
=
Hpasse
bande (s̃)
=
Hcoupe
bande (s̃)
=
1
1
1+
s
=
1
1
1 + s̃
1
1+Q· s +
s
=
1 + s2
=
1 + B · s + s2
1
1
=
1
1
1 + s̃
1+ · s +
B
s
1
B
1+
s + 1/s
=
1
1 + s̃
5. CONCEPTION DE FILTRES
91
Ce qui donne donc les nouvelles notations :
Transposition
passe haut : s̃ = 1/s
1
1
passe bande : s̃ =
· s+
B
s
Notations après transposition
s̃ = i · x̃ = ωp,o · p̃
coupe bande : s̃ =
B
s+
1
s
92
4. FILTRAGE ACTIF
5.2.2. Rappels sur les polynômes. Ici de rapides rappels mathématiques sont donnés, sans aucunes démonstration.
notation
: ensemble des polynômes de degré au plus n ∈ N̄ : Kn [X]
déﬁnition
: polynôme : P ∈ Kn [X] ⇐⇒ ∃(ao , · · · an−1 ) ∈ Kn−1
déﬁnition
: fonction polynomiale associée à P : ∀x ∈ K
déﬁnition
: racine : r ∈ K racine de P ⇐⇒ (X − r ) divise P
déﬁnition
: multiplicité α d’une racine : α ∈ N̄
K = R ou C
P = ao + · · · an−1 · X n−1
f (x) = ao + · · · an−1 · x n−1
(X − r )α divise P
propriété : racine de polynôme :
r racine de P =⇒ f (x = r ) = 0
⇐⇒ f (x) = (x − r ) · (b0 + · · · bm · x m )
m =n−1
propriété : multiplicité de racine :
r racine de P de multiplicité α =⇒ f (x = r ) =
⇐⇒ f (x) = (x − r )α · (b0 + · · · bm · x m )
déﬁnition
d α−1 f
df
(r ) = · · · =
(r ) = 0
dx
dx α−1
m =n−α
: polynôme scindé : P scindé ⇐⇒ ∃(ro , · · · , rq ) ∈ Kq de multiplicités (αo , · · · , αq )
P = an−1 · Πqk=1 (X − rq )αq
THÉORÈME
: Alembert-Gauss : tout polynôme non constant est scindé sur C
5. CONCEPTION DE FILTRES
93
5.2.3. Généralités sur les fonctions de transfert. Comme nous avons pu le voir dans les expressions des fonctions de
transfert des ﬁltres précédents, les coeﬃcients des polynômes en i · ω sont tous réels car sont fonctions de grandeurs
physiques : résistances, bobines etc. De plus le polynôme du dénominateur n’est jamais constant, ce qui va nous permettre
d’utiliser le théorème de d’Alembert Gauss.
De manière générale, la fonction de transfert d’un ﬁltre s’écrit :
Fonction de transfert
(m, n) ∈ N̄
2
m<n
rk : r aci ne de p 7→ N(p)
pk : r aci ne de p 7→ D(p)
βk : multiplicité de rk
(163)
H(p) =
Σm bk · p k
N(p)
= k=1
D(p)
Σnk=1 ak · p k
K = bm /an
αk : multiplicité de pk
=
K·
βk
Πm
k=1 (p − rk )
m
Πk=1 (p − pk )αk
Les pk∈J1;nK sont appelés pôles de la fonction de transfert. Puis, la transposition a permis d’étudier un ﬁltre ﬁctif de variable
s̃. On peut montrer que la forme générale du gain du ﬁltre ﬁctif s’écrit :
Gain du ﬁltre ﬁctif
˜
G(x̃) =
(164)
K ′2 ·
2 βk
2
Πm
k=1 (x̃ + r˜k )
Πnk=1 (x̃ 2 + p˜k 2 )α˜k
94
4. FILTRAGE ACTIF
En eﬀet, on part de la fonction de transfert du ﬁltre ﬁctif. Tout d’abord, puisque tous les polynômes sont a coeﬃcients
réels on a :
H ∗ (s̃) = H(−s̃)
car :
∗
H (s̃)
k ∗
˜∗
Σm
N ∗ (s̃)
k=1 bk · (i · ω)
= n
D∗ (s̃)
Σk=1 a˜k ∗ · [(i · ω)k ]∗
=
k
˜·
Σm
k=1 bk (−i · ω)
= H(−s̃)
∗
n
Σk=1 a˜k · (−i · ω)k
=
Et ceci va nous permettre de réécrire le gain du ﬁltre. En eﬀet pour rappel le gain s’écrit :
G(s̃) = |H(s̃)| =
p
H(s̃) · H ∗ (s̃) =
p
H(s̃) · H(−s̃)
Or les polynômes étant scindés on a :
˜
G(s̃)2
˜
= K̃ 2 ·
βk
Πm
Πm (−s̃ − r˜k )βk
k=1 (s̃ − r˜k )
· nk=1
n
α
˜
k
Πk=1 (s̃ − p˜k )
Πk=1 (−s̃ − p˜k )α˜k
= K ′2 ·
2 βk
2
Πm
k=1 (−s̃ − r˜k )
Πnk=1 (−s̃ 2 − p˜k 2 )α˜k
= K ′2 ·
2 βk
2
Πm
k=1 (x̃ + r˜k )
Πnk=1 (x̃ 2 + p˜k 2 )α˜k
˜
˜
G(x̃)2
5.2.4. Causalité.
La causalité d’un ﬁltre va nous indiquer si matériellement ( à l’aide de vrais composants électroniques ) on peut eﬀectuer ou
non le ﬁltre souhaité.
Déﬁnition : Fonction Causale
Soit Df le domaine de déﬁnition d’une fonction f .
(165)
f causale ⇐⇒ Df = R+
Un retour sur le passage en complexe s’impose ici. En réalité le passage en complexe est une transformée de Fourier notée
F. Il s’agit, grossièrement et dans le cas de l’électronique, d’une opération permettant de lier les grandeurs : temps t et
fréquence ν = ω/(2 · π) via une relation mathématique, non abordée ici. Bien évidement l’opération inverse existe, appelée
Transformée de Fourier Inverse et est notée F −1 .
5. CONCEPTION DE FILTRES
ω < ωp
ω ≥ ωp
1
0
GdB
F
domaine temporel
−
→
t
−
→
t
F
95
domaine fréquenciel
ω
F −1
←−− ω
Il était annoncé dans la sous-section 2.5 que la fonction de transfert relie l’entrée et la sortie par un simple produit par une
fonction ω → H(ω) :
S(ω)
H(ω) · E(ω)
=
Mais puisque ici la variable est ω, cela indique que l’on est dans le domaine fréquenciel. Donc toute l’étude des ﬁltres eﬀectuée
jusqu’ici nous informe sur comment vont être impactées les composantes spectrales ( chaque fréquence ) d’un signal, mais
on ne sait toujours pas à quoi ressemble son allure dans le temps, ce qui importe peu en réalité.
Néanmoins ce qui nous importe c’est la nature causale ou non du ﬁltre et donc de sa fonction de transfert.
On a donc, via la transformée de Fourier inverse, une expression temporelle de la fonction de transfert :
Fonction de transfert : domaine temporel
(166)
(167)
F
domaine temporel
−
→
t 7→ h(t)
−
→
t 7→ h(t)
F
domaine fréquenciel
ω 7→ H(ω)
F −1
←−− ω 7→ H(ω)
Dans le cas du ﬁltrage, le cas idéal serait d’avoir un passe bas du type :
Ceci se traduirait mathématiquement par une fonction porte de largeur ωp :
H(ω) = 1[0,ωp [ (ω)
= 1
si
ω ∈ [o, ωp [
=
si
ω ≥ ωp
0
Cet exemple est représenté graphiquement sur le graphe 8. Ce qui prouve bien que ce n’est pas parce qu’un ﬁltre est causal
dans le domaine des fréquences qu’il est causal dans le domaine temporel. Un interprétation de la causalité est que, si la
fonction de transfert n’est pas causale, alors il existe une sortie t 7→ s(t) avant même que le temps ai commencé à s’écouler,
ce qui est naturellement impossible.
5.2.5. Stabilité.
96
4. FILTRAGE ACTIF
1
h,H
H(ω) = 1[0,5[ (ω)
h(t) = F −1 (H)(t) ≡
0.5
sin(t)
t
0
−6
−4
−2
0
2
t ,ω
4
6
8
10
12
Figure 8. Passe bas idéal et réponse temporelle
désignation
domaine temporel
domaine fréquentiel
t 7→ f (t) = L−1 (F )(t)
p 7→ F (p) = L(f )(p)
Il existe diﬀérents qualiﬁcatifs associés au mot stabilité. Dans notre cas il s’agit de stabilité au sens B.I.B.O. pour Bounded
Input Bounded Output. Un système est dit B.I.B.O. stable s’il est stable au sens B.I.B.O. C’est à dire que si l’on envoie dans
le système un signal borné ( i.e. ne pouvant pas valoir ±∞ ), alors la sortie sera bornée également.
L’étude de la stabilité porte donc sur l’étude des pôles de la fonction de transfert. En eﬀet on a vu que le numérateur et le
dénominateur sont scindés sur C. Par conséquent ce ne sont pas les racines qui risquent de faire diverger ponctuellement la
fonction de transfert mais bien les pôles.
Finalement on teste la stabilité d’un système avec l’envoi d’une impulsion, modélisée mathématiquement par une distribution
de Dirac notée δto 1 qui, brièvement et ( très ) grossièrement, peut être considérée comme une fonction nulle partout sauf en
to où elle vaut +∞.
A été évoqué une opération appelée transformée de Fourier. Cependant celle-ci ne permet pas de rendre compte de la totalité
des phénomènes. Une généralisation de cette transformée a été introduite sous le nom de Transformée de Laplace, notée
L et qui possède également une transformée inverse L−1 . Comme pour la transformée de Fourier, elle permet de passer du
domaine temporel au domaine fréquentiel. Une propriété intéressante est sa linéarité, c’est à dire :
L (Σnk=1 λk · fk ) = Σnk=1 λk · L(fk )
.
Ce qui est à savoir pour la démonstration du résultat important de ce paragraphe est dans le tableau ci-contre, donnant
l’expression de quelques transformées de Laplace usuelles.
Soient (a, k) ∈ R × N.
1. trop notée par les physiciens δ(to )
5. CONCEPTION DE FILTRES
97
On a les transformées suivantes :
f
F
δo
1
k!
tk
exp(−a · t)
t k · exp(−a · t)
p k+1
1
p+a
k!
(p + a)k+1
On a le résultat suivant 2 :
Condition de stabilité
h est B.I.B.O. − stable ⇐⇒ ∀k ∈ J1; nK
(168)
<(pk ) < 0
Où <(pk ) est la partie réelle de pk .
En eﬀet on a lorsque l’on rentre une impulsion dans un système.
S(p)
=
H(p) · E(p) = K ·
N(p)
·1
Σnk=1 (p − pk )αk
(α1 )
(αn )
Puis en utilisant la décomposition en éléments simples on a l’existence de (A(1)
, · · · , A(1)
) ∈ Rn
n , · · · , An
1 , · · · , A1
tels que :
"
S(p)
=
K·
1
Σα
k=1
A(k)
An(k)
αn
1
+
·
·
·
+
Σ
k=1
(p − p1 )k
(p − pn )k
#
Puis par transformée inverse on a, en utilisant la linéarité :
s(t)
=
K·
h
i
(k)
(k)
αn
k−1
p1 ·t
k−1
pn ·t
1
Σα
A
+
·
·
·
+
Σ
A
·
t
·
e
·
t
·
e
1
1
k=1
k=1
Et :
∀k ∈ J1; nK
exp(pk · t) = exp[<(pk )] · exp[i · =(pk )]
exp(pk · t)
→
H
+ ∞ ⇐⇒ <(pk ) < 0
H
2. Pour les curieux, les polynômes ayant la partie réelle de toutes leurs racines négative sont appelés polynômes de Hurwitz. Ces polynômes sont centraux
dans l’étude de la stabilité des systèmes. Le théorème de Routh-Hurwitz, dont une démonstration est ici, donne une méthode systématique pour savoir si un
système sera, ou non, B.I.B.O.-stable.
98
4. FILTRAGE ACTIF
En pratique si l’un des pôles est trop proche de l’axe des imaginaires alors le système est susceptible de faire passer la partie
réelle d’un pôle chez les positifs et donc déstabiliser le système. Des notions de marges sont alors à prendre en compte. 3
5.3. Types de ﬁltres. Ici, avant de détailler leur étude, sont présentés les diﬀérents types de ﬁltres exposés dans ce
document et leurs avantages / inconvénients.
Tout d’abord notons la présence de deux grandes familles :
• les ﬁltres polynomiaux : Bessel-Thomson, Butterworth, Chebichev Direct, Legendre
• les ﬁltres non polynomiaux : Chebichev Inverse, Cauer
La diﬀérence fondamentale est l’écriture du dénominateur de la fonction de transfert. On est amené à déﬁnir deux fonctions :
Fonctions d’Approximation ω 7→ A(ω) et caractéristique ω 7→ K(ω)
(169)
∀ω ∈ R+
A(ω)
p
= 1/G(ω) = 1 + |K(ω)|2 =
s
1+
F (p)
P (p)
2
où K est la fonction caractéristique.
La nature polynomiale ( ou non ) du ﬁltre repose sur la nature de la fonction caractéristique :
Nature de ﬁltre et fonction caractéristique
(170)
(171)
K
∈ Cn [X]
⇐⇒ ﬁltre polynomial
∈
/ Cn [X]
⇐⇒ ﬁltre non polynomial
Avant de détailler les études on peut lister les avantages et inconvénients des diﬀérents types de ﬁltres dans la table ??. Enﬁn
les ﬁltres seront présentés par type ( polynomial ou non ) puis par ordre alphabétique, ordre peu courant dans les écrits sur les
ﬁltres. Ainsi est présenté en premier les ﬁltres de Bessel-Thomson-Kiyasu au lieu de Butterworth comme traditionnellement.
3. Pour plus de précisions, voir ici.
5. CONCEPTION DE FILTRES
Qui
Avantages
99
Inconvénients
Filtres Polynomiaux
Bessel Thomson
• Phase linéaire • distorsion minimale
• Coupure pas très raide • complexité la plus
grande
Butterworth
• Gain plat dans la bande passante •
comportement strictement monotone
• Pente après la coupure relativement faible
Chebichev
Direct
• Coupure plus raide que le Bessel
• Ondulations du gain dans la bande passante
• Ondulations proportionnelles à l’ordre •
Phase non linéaire
Legendre
• Gain plat dans la bande passante • Coupure
plus raide que le Bessel
• Coupure moins raide que le Chebichev
Filtres Non Polynomiaux
Cauer
• Coupure la plus raide possible •
• Ondulations du gain dans les bandes
passante et atténuée • phase non linéaire
Chebichev
Inverse
• Gain plat dans la bande passante • Coupure
raide
• Ondulations du gain dans la bande atténuée
100
4. FILTRAGE ACTIF
5.4. Filtres de Bessel-Thomson-Kiyasu ( BTK ). Les ﬁltres BTK 4 sont des ﬁltres dont l’intérêt, comme indiqué dans
la table précédente, ne réside pas dans l’atténuation mais dans la conservation de la forme des signaux. Ceci n’est possible
que si le déphasage est parfaitement linéaire avec la fréquence. La fonction de transfert idéale serait donc celle donnée par la
relation 172.
Comme toujours en sciences, l’idéalité n’est pas réalisable matériellement, on essaie donc d’approcher cette fonction de
transfert à l’aide de polynômes appelés polynômes de Bessel notés Bn
(172)
H(s̃) = exp(−s̃)
Fonction de transfert d’un ﬁltre de Bessel - Thomson - Kiyasu d’ordre n
(173)
H(s̃) =
Bn (0)
Bn (s̃)
\
Bn (s̃) = Σnk=0
n
(2 · n − k)! k
·
· s̃
n! · 2n−k
k
On va le vériﬁer pour l’ordre deux car les calculs sont relativement lourds.
4. Le nom de Kiyasu est ajouté intentionnellement dans ce document car c’est à l’origine lui qui a travaillé sur ces ﬁltres. Un peu d’honnêteté intellectuelle
s’impose
5. CONCEPTION DE FILTRES
101
On a donc la fonction de transfert qui s’écrit :
H(s̃) = e −s̃ =
1
ch(s̃) + sh(s̃)
e s̃ + e −s̃
e s̃ − e −s̃
et sh(s̃) =
. Une méthode pour obtenir les polynômes a de Bessel est peu habituelle. En
2
2
eﬀet nous allons chercher un développement polynomial des fonctions cosinus hyperbolique ch et sinus hyperbolique
où ch(s̃) =
sh. Pour ceci on va chercher à Développer en Série de Laurent ( DSL ) la fonction cotangente hyperbolique notée
cth déﬁnie par :
cth(s̃) = ch(s̃)/sh(s̃)
Une méthode classique et d’utiliser le Développement en Série Entière ( DSE ) de la dérivée pour ensuite utiliser le
théorème d’intégration termes à termes :
cth′ (s̃) = −1/sh2 (s̃)
Or le DSE de sh s’obtient à partir du DSE de l’exponentielle :
∀s̃ ∈ R
exp(s̃) = 1 + s̃ +
s̃ 3
s̃ 3
s̃ 4
+
+
+ ◦(s̃ 5 )
2!
3!
4!
Nous devons pousser l’ordre du DSE de l’exponentielle à l’ordre cinq car la mise au carré du DSE de cth′ n’ira qu’à
l’ordre trois à cause des ◦(.)...
s̃ 3
+ ◦ s̃ 5
3!
s̃ 4
sh(s̃)2 = s̃ 2 +
+ ◦(s̃ 5 )
3!
∀s̃ ∈ R
sh(s̃) = s̃ +
∀s̃ ∈ R
On a donc la dérivée qui s’écrit :
cth′ (s̃) =
−1
−1
1
= 2·
4
2
s̃
s̃
s̃
s̃ 2 +
+ ◦(s̃ 4 )
1+
+ ◦(s̃ 3 )
3!
3
Que l’on va chercher à décomposer en éléments simples :
∃(α, β, γ) ∈ C3
\
cth′ (s̃) =
α
β
+ 2+
s̃
s̃
γ
2
1+
s̃
+ ◦(s̃ 3 )
3
On obtient rapidement, en utilisant la méthode des limites, les valeurs des coeﬃcients β, γ :
lim s̃ 2 · cth′ (s̃) = β = −1
s̃→0
102
4. FILTRAGE ACTIF
Une autre méthode consiste à utiliser le résultat suivant :
(174)
cth(s̃) =
1
1
+
3
1
s̃
+
5
1
s̃
+
7
s̃
+ ···
s̃
Qui en réalité s’obtient en écrivant le DSE des fonctions ch et sh puis d’en faire les divisions euclidiennes successives pour
2·n+1
en obtenir le développement en fraction continue. Pour l’ordre n souhaité on arrête le développement à la fraction
s̃
pour ﬁnalement tout remettre sous le même dénominateur. Ci-contre les huit premiers polynômes de Bessel.
B0 (X) =
1
B1 (X) =
1+X
B2 (X) =
3 + 3 · X + X2
B3 (X) =
15 + 15 · X + 6 · X 2 + X 3
B4 (X) =
105 + 105 · X + 45 · X 2 + 10 · X 3 + X 4
B5 (X) =
945 + 945 · X + 420 · X 2 + 105 · X 3 + 15 · X 4 + X 5
B6 (X) =
10, 395 + 10, 395 · x + 4, 725 · X 2 + 1, 260 · X 3 + 210 · X 4 + 21 · X 5 + X 6
B7 (X) =
135, 135 + 135, 135 · X + 62, 370 · X 2 + 17.325 · X 3 + 3, 150 · X 4 + 378 · X 5 + 28 · X 5 + X 7
On peut démontrer la stabilité des ﬁltres BTK d’ordre n à l’aide du critère de Routh-Hurwitz. On peut néanmoins le vériﬁer
avec les ﬁltres d’ordres n = 1 et n = 2. En eﬀet pour le ﬁltre d’ordre n = 1 :
B1 (s̃) = 0 ⇐⇒ s̃ = −1
(175)
La partie réelle étant strictement négative, le ﬁltre est bien stable. De même pour second ordre :
B1 (s̃) =
√ √ −3 − i 3
−3 − i 3
s̃ −
· s̃ +
2
2
Dont les parties sont réelles sont manifestement négatives.
5. CONCEPTION DE FILTRES
103
ℑ(s̃)
pôles de H
1
ℜ(s̃)
−1
1
−1
Figure 9. Pôles ﬁltre de Bessel-Thomson-Kiyasu
0
GdB
−10
ordre n = 1
ordre n = 2
−20
ordre n = 3
−30
−40
10−1
100
101
100
s̃
101
φ
0
−9o
−100
ordre n = 1
ordre n = 2
ordre n = 3
−18o
−200
10−1
5.5. Filtres de Butterworth. Les ﬁltres de Butterworth sont tels que dans la bande passante le gain doit être constant et
le proﬁl du gain doit être strictement monotone. Pour se faire le gain des ﬁltres doit prendre la forme donnée par la relation
176. Un coeﬃcient appelé facteur de forme, ε, permet de ﬁxer l’atténuation maximale à la fréquence de coupure.
Fonction de transfert et pôles d’un ﬁltre de Butterworth
∀n ∈ N
(176)
(177)
PBTT


|H(s̃)|2 =
i ·π
·(2·k+1)
1
2
·n
,
=
pk = √
·
e
n

ε
±
1
1 + ε2 · |s̃|2·n
k∈
ε ∈]0, 1]
0, · · · ,
4·n−1
2


=(pk ) < 0

104
4. FILTRAGE ACTIF
Pour les pôles on résout :
∀n ∈ N∗
1 + (ε · p̃ n )2 = 0
⇐⇒
(ε · p̃ n + i ) · (ε · p̃ n − i ) = 0
n
ε · p̃±,k
= e ±i·(π/2+2·k·π)
k ∈ Z a priori
√
i ·π
−n
⇐⇒ p̃k =
ε · exp ±
· (2 · k + 1)
k ∈ Z a priori
2·n
√
A priori car on remarque que les solutions sont placées sur un cercle C de rayon RC = 1/ n ε. Ainsi on doit donner le
⇐⇒
domaine de variations de k pour éviter de parcourir plusieurs fois C. k doit être tel que :
0 ≤ (2 · k + 1) ·
π
2·n
0≤
2·k +1
0≤
k
<2·π
<4·n
4·n−1
≤
2
Ainsi pour les premiers ordres on a :
n=1
=⇒
k ∈ {0, 1}
n=2
=⇒
k ∈ {0, 1, 2, 3}
n=3
=⇒
k ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}
..
.
..
.
..
.
Finalement on peut retirer ± des solutions car cela fait compter deux fois les mêmes pôles. Dans l’exemple de l’ordre
n = 2 on a comme pôles :
π
e 4,
π
7·π
−
+
e 4 =e 4 ,
+
3·π
e 4 ,
3·π
5·π
−
+
e 4 =e 4 ,
+
5·π
e 4 ,
+
7·π
e 4
+
···
Il faut noter cependant que les pôles obtenus sont ceux du gain et pas ceux du ﬁltre. Dans la partie implémentation Matlab
sera donné un code qui permet d’extraire de la liste des pôles du gain, la liste des pôles du ﬁltre.
Facteur de forme et atténuation à la coupure
(178)
Gmin = G(|s̃| = 1) = 1o · log1o (1 + ε2 ) ⇐⇒ ε =
p
1o Gmin /1o − 1
5. CONCEPTION DE FILTRES
105
ℑ(s̃)
pôles de H
pôles de H ∗
1
ℜ(s̃)
−1
1
−1
Figure 10. Pôles ﬁltre de Butterworth pour n = 2 et ε = 1
Ordre minimal d’un ﬁltre de Butterworth
(179)
log1o 1o −GdB,min /1o − 1 − 2 · log1o (ε)
N>
2 · log1o (s̃a )
En eﬀet il faut, lorsque s̃ > s̃a , que le gain soit inférieur au gain max GdB,max . Mais puisque le gain en décibels est
strictement décroissant on a : GdB,a < GdB,max et donc :
GdB,a < GdB,max
⇐⇒
2o · log1o
⇐⇒
|s̃|2·n
a >
p
!
1
1 + ε2 · |s̃|2·n
a
< GdB,max
1o −GdB,max /1o − 1
ε2
On obtient alors le résultat en prenant le logarithme décimal de l’inégalité. Le changement de signe de l’inégalité
provient de la multiplication par −1.
Fréquence de coupure pour une atténuation imposée par l’utilisateur
Si on souhaite que pour la pulsation de coupure on ait une perte de α dB il faut :
(180)
2o · log1o [G(|s̃|a )] = −α
⇐⇒
|s̃|a =
p
1o α/1o − 1
2·n
En eﬀet :
G(s̃a ) = −α
(181)
Puis en prenant la racine on obtient le résultat.
⇐⇒
α
=
log1o 1 + |s̃|2·n
a
1o
⇐⇒
α/1o
|s̃|2·n
−1
a = 1o
106
4. FILTRAGE ACTIF
0
GdB
−20
ordre n = 1
ordre n = 2
ordre n = 3
−40
−60
10−1
100
101
100
s̃
101
φ
0
−50
ordre n = 1
ordre n = 2
ordre n = 3
−9o
10−1
Fonction de transfert et pôles d’un ﬁltre de Chebichev
(182)
(183)
5.6. Filtres de Chebichev.
|H(s̃)|2 =
1
1 + ε2 · |Cn |2 (s̃)





PC = p k = σ k + i · ω k




\
Cn (s̃) = Σnk=0 (−1)k · 2n−2·k ·
ch
σk2
ar gsh(1/ε)
n
2 +
sh
(n − k − 1)!
k! · (n − 2 · k)!
ωk2
ar gsh(1/ε)
n
2 = 1









5. CONCEPTION DE FILTRES
107
En eﬀet :
1 + ε2 · |Cn |2 (s̃) = 0
⇐⇒
(1 + i · ε · Cn (s̃)) · (1 − i · ε · Cn (s̃)) = 0
⇐⇒
Cn (s̃) = ±
⇐⇒
±1
n · ar ccos(s̃) = ar ccos i ·
ε
1
i ·ε
Puis en utilisant le fait que l’on a :
(184)
ar gsh = sh−1
(185)
∀x ∈ R
ar ccos(i · x) =
(186)
∀x ∈ R
cos(i · x) = ch(x)
π
− i · ar gsh(x)
2
si n(i · x) = i · sh(x)
On peut donc reprendre :
ar ccos(s̃)
s̃
1 π
1
±1
·
+ 2 · k · π − i · · ar gsh
k ∈ Z a pr i or i
n
2
n
ε
π
1
±1
= cos
· (2 · k + 1) − i · · ar gsh
k ∈ Z a pr i or i
2·n
n
ε
π
π
1
±1
1
±1
= cos
· (2 · k + 1) · ch
· ar gsh
+ i · si n
· (2 · k + 1) · sh
· ar gsh
2·n
n
ε
2·n
n
ε
=
k ∈ Z a pr i or i
On peut donc poser, comme suggéré par l’encadré :
(187)
σk
(188)
ωk
Et on remarque
comme par hasard
π
1
±1
· (2 · k + 1) · ch
· ar gsh
= cos
2·n
n
ε
π
1
±1
= si n
· (2 · k + 1) · sh
· ar gsh
2·n
n
ε
que l’on a :
σk2
ωk2
+
ch(· · · )2
sh(· · · )2
= cos(· · · )2 ·
2
ch(· · · )2
2 sh(· · · )
+
si
n(·
·
·
)
·
=1
ch(· · · )2
sh(· · · )2
On obtient donc que les pôles {s̃k } sont placés sur une ellipse de demi axes diminuant avec l’ordre du ﬁltre. Quant au
domaine de variation, comme pour le ﬁltre de Butterworth, pour éviter de parcourir plusieurs fois l’ellipse obtenue on
prend k ∈ {o, 1, · · · , n − 1}.
Il est a noté que dans certains écrits l’ellipse est tournée de π/2. Ceci s’explique que sont placés en réalité les pôles pk = s̃k /i
ce qui introduit un déphasage de π/2 et qui se retrouve lors de la démonstration où σk et ωk sont alors échangés. On échange
108
4. FILTRAGE ACTIF
ℑ(s̃)
4
pôles de Hpôles de H ∗
ℜ(s̃)
−4
4
−4
Figure 11. Pôles ﬁltre de Chebichev pour n = 2 et ε = 1
donc le petit demi axe avec le demi grand axe et donne donc une ellipse pivotée. Ci-contre les huit premiers polynômes de
Chebichev.
C0 (X)
=
1
C1 (X)
= X
C2 (X)
=
C3 (X)
= −3 · X + 4 · X 3
C4 (X)
=
C5 (X)
= 5 · X − 2o · X 3 + 16 · X 5
C6 (X)
=
C7 (X)
= −7 · X + 56 · X 3 − 112 · X 5 + 64 · X 7
−1 + 2 · X 2
1 − 8 · X2 + 8 · X4
−1 + 18 · X 2 − 48 · X 4 + 32 · X 6
Ordre d’un ﬁltre de Chebichev
r
ar ccos
(189)
n
G(s̃a ) < GdB,min
>
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
1o GdB,min /1o − 1
ε2
!
ar ccos(s̃a )
−1o · log1o [1 + ε2 · |Cn |2 (s̃a )] < GdB,min
s
1o GdB,min /1o − 1
|Cn |(s̃a ) >
ε2
p
1o GdB,min /1o − 1
cos[n · ar ccos(s̃a )] >
ε
p
G
/1o
1o dB,min
−1
n>
ε · ar ccos(s̃a )
5. CONCEPTION DE FILTRES
109
Fréquence de coupure d’un ﬁltre de Chebichev
1
|s̃a | = cos n · ar ccos
ε
(190)
G(s̃a ) = 1/2
⇐⇒
1 + ε2 · |Cn |2 (s̃a ) = 2
⇐⇒
Cn (s̃a ) = 1/ε
⇐⇒
1
ar ccos(s̃) = · ar ccos
n
1
ε
Puis en prenant le cosinus on a le résultat.
GdB
0
−10
ordre n = 1
ordre n = 2
−20
−30
ordre n = 3
10−1
100
0
φ(
◦
)
50
−50
−100
ordre n = 1
ordre n = 2
ordre n = 3
−9o
10−1
100
s̃
5.7. Filtres de Legendre. Les ﬁltres de Legendre n’utilisent pas directement les polynômes de Legendre, mais une transformation de ceux ci. Ces polynômes sont donnés par la relation 191.
Fonction de transfert d’un ﬁltre de Legendre
(191)
|H(s̃)|2 =
1
1 + ε2 · L2n (s̃)
\
Ci-contre les huit premiers polynômes de Legendre.
Ln (s̃) = Σnk=0 (−1)k ·
n
2 · (n − k)
·
· s̃ k
k
n
110
4. FILTRAGE ACTIF
L0 (X)
=
L1 (X)
= X
L2 (X)
=
L3 (X)
L4 (X)
L5 (X)
L6 (X)
L7 (X)
1
1 3
− + ·X
2 2
3 5
= − + · X2
2 2
3 3o
35
= + −
· X2 +
· X4
8
8
8
7o
63
15
·X−
· X3 +
· X5
= +
8
8
8
5
1o5
315
231
= −
+
· X2 −
· X4 +
· X6
16
16
16
16
35
315
693
429
= −
·X+
· X3 −
· X5 +
· X7
16
16
16
16
On pose une fonction υk telle que :
υk (x) = Σkm=o am · Lm (x)
(192)
am = √
1
2 · (m + 1)
Les polynômes de Legendre modiﬁés Ln sont obtenus à l’aide de la relation 193
Z
Ln =
(193)
2·X−1
−1
[υk (x)]2 dx
L0 (X) =
1
L1 (X) =
X
L2 (X) =
X2
L3 (X) =
X − 3 · X2 + 3 · X3
L4 (X) =
3 · X2 − 8 · X3 + 6 · X4
L5 (X) =
X − 8 · X 2 + 28 · X 3 − 4o · X 4 + 2o · X 5
L6 (X) =
6 · X 2 − 4o · X 3 + 1o5 · X 4 − 12o · X 5 + 5o · X 6
L7 (X) =
X − 15 · X 2 + 1o5 · X 3 − 355 · X 4 + 615 · X 5 − 525 · X 6 + 175 · X 7
5.8. Filtres non polynomiaux. Ces ﬁltres sont appelés ﬁltres elliptiques ou de Cauer et sont plus complexes à réaliser.
Vous trouverez ici un article tiré de la revue scientiﬁque Techniques de l’ingénieur décrivant parfaitement ces types de ﬁltres
et dans lequel vous trouverez des abaques utiles pour déterminer l’ordre de ﬁltres. Néanmoins vous trouverez sur la ﬁgure 12
un graphe ( tiré de l’article cité ) superposant les atténuations de diﬀérents types de ﬁltres pour un même ordre. On observe
que pour un même ordre, les ﬁltres elliptiques présentent une atténuation bien plus importante.
5. CONCEPTION DE FILTRES
111
0
GdB
−10
ordre n = 2
ordre n = 3
−20
ordre n = 4
−30
10−1
100
s̃
φ (◦ )
0
−50
ordre n = 2
ordre n = 3
ordre n = 4
−9o
10−1
100
s̃
Figure 12. Comparaison des atténuations de diﬀérents ﬁltres
Chapitre 5
Introduction à la microélectronique
1. Introduction aux SemiConducteurs ( SC )
L’objectif ici n’est pas de donner de détailler les calculs ou d’être exhaustif, juste de donner les grandes idées et formules
nécessaires à l’établissement de la loi de Shockley.
1.1. Généralités.
1.1.1. Énergie de GAP. Les semiconducteurs sont des matériaux à mi-chemin entre les isolants et les conducteurs. La
diﬀérence fondamentale est du point de vue atomique. L’atome est composé d’un noyau et des électrons qui gravitent autour
en couches, elles sont appelées bandes.
Bandes d’énergie
• EC : l’énergie de bas de bande de Conduction
• EV le haut de la bande de V alence
Les électrons présents dans la bande de conduction, dits électrons de conduction, peuvent être plus facilement arrachés de
l’atome que les électrons présents dans la bande de valence, dits électrons de valence. Les électrons peuvent passer d’une
bande à une autre en leur fournissant de l’énergie. L’énergie nécessaire est appelée l’énergie de gap. on a :
Énergie de Gap
(194)
EGAP = EC − EV
Figure 1. Bandes d’énergie
113
114
5. INTRODUCTION À LA MICROÉLECTRONIQUE
On distingue donc les (semi)conducteurs et isolants en fonction de leur énergie de gap. Avant tout on appelle énergie thermique
la quantité Eth :
Énergie thermique
Eth = kB · T ≈ 25 meV
(195)
T = 3oo K
où kB ≈ 1.4 · 10−23 J/K ≈ 8.6 · 1o −5 eV /K est la constante de Boltzmann et T la température en kelvin K. Ainsi :
EGAP > 2oo · kB · T ≈ 5 eV
EGAP ∈]1oo; 2oo[·kB · T
EGAP < 1oo · kB · T ≈ 2.5 eV
: i solant
: semi conducteur s
: conducteur
1.1.2. Composition. Les matériaux semiconducteurs font partie des cristaux covalents. Il s’agit des cristaux ayant quatre
électrons sur la couche périphérique de l’atome. Il s’agit des éléments de la colonne IV de la table de Mendeleiv :
C : Car bone
Si : si li ci um
Ge : ger mani um
Sn : tai n
P b : plomb
Mais en pratique seuls le silicium et le germanium sont uitlisés en tant que composants de base à semiconducteurs. En eﬀet le
plomb et l’étain ont des densité supérieures et donc le GAP est plus faible. Leurs propriétés sont métalliques. Quant au carbone
c’est un isolant mais en fonction de sa structure cristallographique il peut être conducteur ( les nano-tubes de carbone ).
1. INTRODUCTION AUX SEMICONDUCTEURS ( SC )
115
Mais on peut associer les semiconducteurs entre eux pour fabriquer des semiconducteurs composés et presenter des caractéristiques particulières. La règle est d’avoir quatre électrons de valence. On peut donc avoir des matériaux conducteurs fabriqués
à l’aide de Galium ( Ga ) et Arséniure As : GaAs par exemple.
1.1.3. Dopage. On parle de dopage lorsque l’on introduit des impuretés dans la structure cristaline du matériau semiconducteur. On peut introduire deux types d’impuretés.
Types d’impuretés
• impureté donneuse : donne un électron qui peut se déplacer dans la maille cristaline.
• impureté accepteuse : lorsque l’impureté ionise le cristal et donc un des électrons de conduction d’un atome se
libère.
On peut aussi déﬁnir le type de dopage :
Types de dopage
• dopage N : impuretés de type donneuse, concentration notée ND .
• dopage P : impuretés de type accepteuse, concentration notée NA .
Les ﬁgures suivantes illustrent ceci. On déﬁnit aussi deux types principaux de semiconducteurs :
Figure 2. Dopage N, atome de phosphore dans maille de Silicium
Figure 3. Dopage P, atome de Bore dans
maille de Silicium
Types de semiconducteurs
• semiconducteur intrinsèque : semiconducteur non dopé
• semiconducteur extrinsèque : semiconducteur dopé
Lorsque le semiconducteur est tropdopé ont parle de semiconducteur dégénéré.
1.1.4. Porteurs de charges et loi d’action de masse. Comme on parle d’électron libre, porteur de charge négative, on
parle de trou :
116
5. INTRODUCTION À LA MICROÉLECTRONIQUE
Déﬁnition des porteurs
• électron ( e − ) : la concentration est notée n
• trou ( h+ ) : ensemble des électrons de valence moins un électron, la concentration est notée p
À tout moment la neutralité électrique impose la relation suivante.
Équation de neutralité électrique
(196)
n + NA = p + ND
où :
Concentrations en porteurs pour SC non dégénéré
n =2·
(197)
p =2·
(198)
2 · π · mc · kB
h2
2 · π · mv · kB
h2
3/2
·T
3/2
·T
3/2
3/2
EC − EF
· e kB · T
−
EF − EV
· e kB · T
−
Où :
• mc : est la masse eﬀective 1 des électrons de la bande de conduction
• mv : est la masse eﬀective des trous de la bande de valence
• h : la constante de Planck
• EF : l’énergie du niveau de Fermi 2
Pour les curieux, cette expression est vraie uniquement dans le cadre de l’approximation des gaz dillués, dite approximation
de Boltzman. Une fois ceci obtenu on a la loi d’action de masse :
Loi d’action de masse
(199)
n·p =
ni2
ni = 2 ·
2·π·
√
mc · mv · kB · T
h2
3/2
EGAP
k
·e B ·T
−
Où ni est la concentration en porteurs intrinsèques, c’est à dire les porteurs présents dans le matériau intrinsèque.
1. l’interaction des porteurs avec la maille cristaline leur confère une masse ﬁctive supplémentaire
2. déﬁni juste après
1. INTRODUCTION AUX SEMICONDUCTEURS ( SC )
117
1.1.5. Niveau de Fermi. La distribution de Fermi-Dirac est densité de probabilité qui est fonction de énergie des électrons :
Distribution de Fermi-Dirac
E 7→ F (E) =
(200)
1
E − EF
e kB · T + 1
Cette distribution permet de donner la quantité de d’électrons passés dans la bande de conduction. On peut remarquer que :
(201)
li m F(E) = 1
≡ bande de v alence
li m F(E) = o
≡ bande de conducti on
E→−∞
(202)
E→+∞
∀T ∈ R+
(203)
:
F(EF ) = 1/2
Sur le graphe ci-contre on trace les distributions de Fermi. Auxquelles sont ajoutés deux traits noirs.
• À la gauche de E = 1/2 : bande de valence
√
• À la droite de E = 1/ 2 : bande de conduction
Ces valeurs sont arbitraires. On remarque que plus on temps vers les basses températures et plus la pente est abrupte. La
quasi-totalité des électrons sont dans la bande de valence. Par contre plus on augmente la température et moins la pente est
√
abrupte et la distribution n’est plus nulle passé E = 1/ 2, des électrons sont dans la bande de conduction.
F(E)
1
T = 11 K
T = 348 K
T = 1162 K
0.5
0
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
E
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
Figure 4. Distribution de Fermi
On déﬁnit des niveaux de Fermi en fonction du caractère intrinsèque ou extrinsèque du semiconducteur. La position du niveau
de Fermi va donc informer sur la répartition des concentrations entre la bande de valence et la bande de conduction.
Lorsque le semiconducteur est intrinsèque il y a unicité du niveau de Fermi, il est dit niveau de Fermi intrinsèque et noté EF ,i .
À contrario, lorsque le semiconducteur est dopé, le niveau de Fermi se déplace et est noté EF ,n pour le dopage N et EF ,p
pour le dopage P. Graphiquement on a la ﬁgure 5. Lorsque le semiconducteur n’est pas dégénéré, le niveau de Fermi est dans
le Gap, sinon il est dans les bandes.
1.2. Courants. Le point clé dans les semiconducteurs est les courants qui circulent dans le matériau. Il sont de trois
types :
118
5. INTRODUCTION À LA MICROÉLECTRONIQUE
Figure 5. Niveaux de Fermi et concentrations
• courants de conduction
• courants de diﬀusion
• courants de déplacement, utilisés en RSF mais non décrit ici.
1.2.1. Mobilité et coeﬃcient d’Einstein. Les porteurs de charges se déplacent et avec une certaine vitesse υ proportionnelle au champ électrique qui les excite :
υn,p = µn,p · E
(204)
µ=
q · τc
2 · mn,p
Où τc est le temps séparant deux collisions du porteur de charge qui se déplace et on indexe par n ou p pour indique si
l’on s’intéresse aux électrons ou aux trous. L’ordre de l’indexation importe. On observe que plus la masse des porteurs est
importante et plus la vitesse diminue. Ainsi la mobilité des trous est plus faible que celle des électrons. Ce qui est normal
puisqu’un trou est un ensemble d’électrons. Les coeﬃcients d’Einstein Dn,p sont lié à la mobilité par :
(205)
Dn,p =
kB · T
· µn,p
q
1.2.2. Courants. Le courant de conduction JC,(n,p) est lié à la mobilité par la loi d’Ohm locale, tandis que le courant de
diﬀusion JD,(n,p) est lié au coeﬃcient d’Einstein par la loi de Fick. On introduit aussi une longueur de diﬀusion Ln,p , longueur
sur laquelle se déplacent les porteurs avant de se recombiner entre eux.
Courants
(206)
⃗
J⃗C = γC · E
(207)
⃗
J⃗D = −q · Dn,p · ∇(n,
p)
γC = (n · µn + p · µp ) · q
p
Ln,p = Dn,p · τn,p
1.2.3. Densité volumique de charges. La densité volumique de charges 3, appliquée aux semiconducteurs, s’écrit :
3. certains l’appellent la charge d’espaces
1. INTRODUCTION AUX SEMICONDUCTEURS ( SC )
119
Densité volumique de charges
ρ = q · [ND − NA − (n − p)]
(208)
Cette densité volumique de charges s’obtient par la résolution de l’équation de Poisson :
(209)
∆V +
ρ
=o
ε
V =
EF ,i
⃗ = −∇(V
⃗ )
\E
q
Et la concentration en porteurs en fonction de la position dans le semiconducteur s’obtient avec l’équation de continuité :
(210)
⃗ · J⃗ + ∂ρ = G − R
∇
∂t
Où G est le terme de génération de porteurs et R le terme de recombinaison des porteurs.
1.3. Jonction PN.
1.3.1. Tension de seuil. On a maintenant tous les outils pour pouvoir décrire le fonctionnement des jonctions PN, à la
base des diodes et transistor. Une jonction PN est une juxtaposition d’un semiconducteur dopé N avec un semiconducteur
dopé P. À la juxtaposition les trous et les électrons se sont recombinés et laissent place à des zones chargées positivement et
négativement. La ﬁgure ci contre représente la situation.
Figure 6. Jonction PN
(211)
⃗
∇(n,
p)
=⇒
J⃗D
∆V
=⇒
⃗
E
⃗
E
=⇒
J⃗C
&
∆V
Cependant les courants de conduction et de diﬀusion sont opposés. Cette diﬀérence de potentiels donne lieu à une tension
dite tension de seuil Vo . Cette tension de seuil es liée à une Zone de Charges d’Espace ZCE de largeur W qui est fonction
des dopages :
(212)
Cette tension de seuil peut être positive ou négative.
Vo =
E
·W
2
120
5. INTRODUCTION À LA MICROÉLECTRONIQUE
1.3.2. Polarisation. Polariser consiste d’imposer une tension Va aux bornes d’une jonction PN, et donc une diode. Il existe
deux types de polarisations :
Types de polarisations
Va > o
⇐⇒
polar i sati on di r ecte ⇐⇒ di f f usi ondes major i tai r es
Va < o
⇐⇒
polar i sati on i ndi r ecte ⇐⇒ conducti on des mi nor i tai r es
Puis en rappellant qui sont la majoritaires et minoritaires :
Porteurs majoritaires et minoritaires
• majoritaires ⇐⇒ électrons dans la zone N, trous dans la zone P
• minorotaires ⇐⇒ électrons dans la zone P, trous dans la zone N
En polarisation directe la barrière de potentiels diminue. Il est donc plus facile pour les majoritaires de diﬀuser. Cete diﬀusion
met donc face à face des trous et électrons qui se recombinent dans la Zone De Recombinaison ZDR.
Plus la polarisation est importante et plus les majoritaires diﬀuseront et plus la ZCE diminue car correspond à une zonne
dépeuplée. De plus ce déplacement conséquent peut faire fondre la structure et donc explique l’existence d’un courant limite
de diﬀusion. Le déplacement des porteurs est sur représenté sur la ﬁgure 7.
Figure 7. Diﬀusion des porteurs majoritaires
Figure 8. Recombinaison des porteurs
En polarisation inverse la barrière de potentiels augmente et réduit fortment la diﬀusion des majoritaires. À conrario les
porteurs minoritaires eux se déplacent et donnent un faible courant de conduction. La situation est représentée sur la ﬁgure :
1.3.3. Loi de Shockley. La loi de Shockley peut s’établir en utilisant la loi d’action de masse et la déﬁnition de la tension
de seuil. Dans les deux zones on a des concentrations d’électrons et de trous non nuls tels que :
r egi on N :
pN
|{z}
hor s equilibr e
r egi on P :
pP
|{z}
hor s equilibr e
Et plus précisément :
= pN,0 + δpN
|{z}
|{z}
equilibr e
exces
= pP,0 + δpP
|{z}
|{z}
equilibr e
exces
nN
|{z}
hor s equilibr e
nP
|{z}
hor s equilibr e
= nN,0 + δnN
|{z}
|{z}
equilibr e
exces
= nP,0 + δnP
|{z}
|{z}
equilibr e
exces
1. INTRODUCTION AUX SEMICONDUCTEURS ( SC )
121
Figure 9. Conduction des minoritaires
(213)
r egi on N : nN,0 = ND
pN,0 = ni2 /ND
r egi on P : pP,0 = NA
nP,0 = ni2 /NA
Graphiquement on a la ﬁgure 10, mais les courbes ne sont pas de réelles fonctions. Une fois déﬁni tout ceci on a, en polarisation
directe, l’équation diﬀérentielle donnant l’évolution de la concentration en porteurs en fonction de la position :
Figure 10. Concentration en porteurs dans la jonction
(214)
∆δn, p −
1
· δ(n, p) = G − R
Dn,p · τn,p
L’utilisation ﬁnale de la déﬁnition du courant de diﬀusion donne la loi de Shockley, qui est la solution de l’équation diﬀérentielle
homogène :
122
5. INTRODUCTION À LA MICROÉLECTRONIQUE
Porteurs majoritaires et minoritaires en l’absence de génération/recombinaison

(215)

q · VA


J⃗ = e kB · T − 1 · J⃗s
s
Js = q ·
Dp
· pN,0 +
τp
r
Dn
· nP,0
τn
!
On observe donc que le courant Js est lié aux porteurs minoritaires et est forcément très faible. On obtient donc la caractéristique ( partielle ) du graphique 11. On observe que la tension de seuil ( point rouge ) est la tension à partir de laquelle le
courant traversant le semiconducteur augmente de façon exponentielle. Cependant on peut eﬀectuer une régression linéaire
de la branche de l’exponentielle et donc avoir Va = r · I où r se révèle être la résistance interne de la diode qui est fonction
de la température.
I(A)
10
5
0
0
0.1
0.2 0.3 0.4
Va ( V )
0.5
Figure 11. Caractéristique d’une diode
0.6
2. TRANSISTOR
123
2. Transistor
2.1. Fonctionnement général. Le transistor est un composant électronique formé de deux jonction PN tête-bêche. Il en
existe de plusieurs types mais ici sera introduit uniquement le transistor bipolaire. Les bipolaires sont soit des transistors NPN
ou des transistor PNP. Dans les deux cas la tranche centrale est plus ﬁne que la longueur de diﬀusion. Les zones sont appelées
collecteur, base & émetteur. Le fonctionnement du transistor est décrit uniquement dans le cas où la polarisation du transistor
est directe, dit mode normal. Les schéma des transistors sont sur les ﬁgures 12 et 13. On note :
IC
: cour antdansleCollecteur
IB
: cour antdanslaBase
IE
: cour antdansl ′ metteur
Figure 13. Fonctionnement d’un transistor PNP
Figure 12. Schéma d’un transistor NPN
L’idée générale est de transférer les porteurs de charge d’une extrémité à une autre du transistor.
Les diﬀérentes parties ne sont pas dopées de la même façon. Dans l’ordre croissant en concentration on a : le collecteur, la
base puis l’émetteur.
émetteur
≈ 1o 2o atomes/cm3
base
≈ 1o 17 atomes/cm3
collecteur
≈ 1o 15 atomes/cm3
La polarisation en direct de la jonction Base - Émetteur ( tension VBE = Vo ) donne donc naissance à un courant de diﬀusion
des électrons injectés dans l’émetteur vers la base. Or l’épaisseur de la base étant bien plus faible que la longueur de diﬀusion
des électrons, ceux ci atteignent le Collecteur. Ce qui permet d’obtenir que :
124
5. INTRODUCTION À LA MICROÉLECTRONIQUE
iC = α · iE = β · iE
(216)
Les coeﬃcients α et β sont des coeﬃcients de proportionnalité non détaillés ici. Ce qui permet d’obtenir les relations reliant
α et β :
(217)
α=
β
≈ o.99
1+β
β=
α
≈ 1oo
1−α
β est appelé le gain statique du transistor. Le fonctionnement est le suivant :
• la jonction Base - Émetteur ( BE ) est polarisée en directe ⇐⇒ VBE > o :
diﬀusion des majoritaires ⇐⇒ h+ → Emetteur & e − → Base
• les trous de la base ne sont pas assez nombreux pour se recombiner avec les électrons qui diﬀusent depuis l’émetteur.
ces derniers passent donc la base pour atteindre le collecteur.
Ici sont non pris en compte les phénomènes annexes ( courants de fuite etc. ). Le tout est résumé sur la ﬁgure 14.
2. TRANSISTOR
125
Figure 14. Fonctionnement transistor
La caractéristique du transistor est donné par la ﬁgure 15.
iC
β ≈ 1oo
−VA ≈ −75 V
VCE
iB
VCE,sat ≈ o.1 V
Vo ≈ o.7 V
VBE
Figure 15. Caractéristique d’un transistor BJT ( échelle non respectée )
Lecture de la caractéristique d’un transistor
VBE < Vo
=⇒
bloqué ⇐⇒ iB = iC = o
VBE = Vo
=⇒
VCE ≤ VCE,sat =⇒ régime saturé ⇐⇒ iC < β · iB
VCE > VCE,sat =⇒ régime actif ⇐⇒ iC = β · iB =
VCE
1+
VA
· Io · e Vo /(kB ·T )
Où VA est la tension liée à l’eﬀet Early. Eﬀet donnant une légère variation du courant iC en fonction de la tension VCE .
Ce phénomène peut généralement être négligé car nécessite des fortes tensions ( ∈ [5o, 2oo] V ). Dans ce cas on a iC =
β · iB + iCEO + k · VCE . Lorsqu’il est négligé la caractéristique du transistor présente les droites iC (VCE ) comme des paliers
horizontaux ( courants iC constants ⇐⇒ k = o )
2.2. Polarisation. Polariser un transistor est une opération qui consiste à imposer un point de fonctionnement statique
( point de repos ) au moyen d’alimentations et de résistances. C’est à dire ﬁxer les grandeurs iB , iC , RB et RC . En statique la
126
5. INTRODUCTION À LA MICROÉLECTRONIQUE
température à des inﬂuences sur les conditions de polarisation et sur le gain β. Un environnement thermique ( trop ) instable
peut entraîner un emballement thermique, ( thermal runaway ), c’est à dire que le collecteur s’échauﬀe plus rapidement que
son environnement. Or si la capacité de dissipation thermique n’est pas suﬃsante cela mène à une destruction prématurée
du composant. En statique si la condition 218 est vériﬁée, l’emballement thermique n’a pas lieu. Nous allons voir quelques
montages de polarisation ( liste non exhaustive ) qui permettent de placer le transistor en ampliﬁcateur de courant ou en
régime de commutation ( transistor équivalent à un interrupteur ).
VCE VCC /2
(218)
2.2.1. Polarisation par la base à deux alimentations, montage ampliﬁcateur de courant.
Le premier montage est sur la ﬁgure 16. Puisque l’on souhaite une ampliﬁcation de courant on cherche forcément à avoir :
iC = β · iB
=⇒
VBE = Vo & VCE > VCE,sat
Puis en écrivant la loi des mailles à deux reprises :
(219)
VBE + RB · i= VBB
⇐⇒
(220)
VCC = RC · iC + VCE
⇐⇒
VBB − Vo
iB
VCC − VCE
RC =
β · iB
RB =
Or le coeﬃcient β est fonction de la température, donc les résistances RB , RC sont également fonctions de la température
et ici deux alimentations doivent être gérées. Attention ! On ne peut pas s’attendre à ampliﬁer un courant de quelques
milliampères pour obtenir quelques ampères. Les courants de base sont de l’ordre du nano ou micro ampère.
Polarisation par la base à deux alimentations, montage en commutation
Pour ce faire on doit connaître les caractéristiques de la charge, c’est à dire la tension VCC ,sa résistance RC mais aussi la
tension de saturation du transistor VCE,sat ≈ o.1 V pour pouvoir ﬁxer le courant iC qui peut le traverser :
iC =
VCC − VCE,sat
RC
2. TRANSISTOR
127
Et ﬁnalement il faut assurer que le courant iC soit bien inférieur à β · iB , pour cela on peut prendre un coeﬃcient de sécurité
s pour être sûr d’être en régime saturé tel que :
(221)
iB,min = iC /β
iB,sat = s · iC /β
Et on peut ﬁnalement calculer la résistance RB comme pour le montage en ampliﬁcateur.
Figure 16. Polarisation par la base à deux alimentations
2.2.2. Polarisation par la base à une alimentations.
Ici le montage n’utilise qu’une seule alimentation et est sur la ﬁgure 17. Mais les calculs sont exactement similaires et :
(222)
RB =
VCC − Vo
iB
RC =
VCC − VCE
β · iB
À nouveau ici les résistances sont fonction de la température mais il n’y a plus qu’une alimentation à gérer.
Figure 17. Polarisation par la base à une alimentation
2.2.3. Polarisation par la base par pont de résistances.
Ici le montage proposé est sur la ﬁgure 18. L’objectif est de rendre indépendant le courant de collecteur iC dépendant des
variations du gain β. Nous devons donc utiliser le théorème de Millman au niveau de la base ( point A ) et on obtient :
128
5. INTRODUCTION À LA MICROÉLECTRONIQUE
Figure 18. Polarisation par la base par pont de résistances
VA
=
R2
R1 · R2
· VCC −
· iB
R1 + R2
R1 + R2
=
RE · iE + VBE = (1 + β) · RE · iB + VBE
On en déduit l’expression du courant de base :
(223)
iB
=
R2
· VCC − VBE
R1 + R2
R1 · R2
+ (1 + β) · RE
R1 + R2
On remarque donc que le montage 18 est équivalent à un nouveau montage avec une résistance équivalente Rth et alimentation
équivalente Vth :
(224)
iB =
Vth − VBE
Rth + (1 + β) · RE
Rth =
R1 · R2
R1 + R2
Vth =
R2
· VCC
R1 + R2
Le nouveau montage est donc similaire à la polarisation par la base à deux alimentations : ﬁgure 19.
2. TRANSISTOR
129
Figure 19. Montage équivalent à la polarisation par la base par pont
Le courant de collecteur vaut donc :
(225)
iC =
β
· (Vth − Vo )
Rth + (1 + β) · RE
Or le gain β 1 et si Rth ≈ RE alors on a :
iC ≈
(226)
Vth − Vo
RE
car :
β
Rth + (1 + β) · RE
≈
β
β
≈1
≈
Rth + β · RE
1+β
Donc le courant de collecteur est uniquement ﬁxé par la résistance d’émetteur si les conditions précédentes sont vériﬁées.
2.3. Régime dynamique : modèle petit signaux.
2.3.1. Notations.
Ici on introduit les notations spéciﬁques à cette section. Le modèle petits signaux sous-entend qu’un signal se compose d’une
composante continue et dynamique.
(227)
vBE =
VBE
|{z}
composanteContinue
+
vbe
|{z}
composantedy namique
L’hypothèse de petits signaux est valable lorsque la condition 228 est vériﬁée.
(228)
2.3.2. Conductances.
vbe VT = kB · T ≈ 26 mV
130
5. INTRODUCTION À LA MICROÉLECTRONIQUE
On rappelle l’expression du courant de collecteur :
iC (vBE , vCE )
=
1+
=
vCE
VA
· e vBE/VT · Io
vCE
1+
VT
· e VBE /VT · Io ·e vbe /VT
| {z }
IC
Puis en diﬀérenciant le courant de collecteur et en dérivant ”à la physicienne” on a :
diC
=
∂iC
∂iC
·dvBE +
·dvCE
∂vBE
∂vCE
| {z }
| {z }
gm
go
dvCE
dvBE
+go ·
= gm ·
{z }
{z }
| dt
| dt
diC
dt
vbe
vce
Avec :
vCE
1+
VA
·
Io
· e vBE /VT
VT
≈
(229)
gm
=
(230)
go
=
Io
IC
· e vBE /VT =
· e vbe /VT ≈
VA
VA
iB
=
VA ≫VCE
IC
VT
vbe
IC
1+
·
VT
VA
≈
petits signaux
IC
VA
Le courant de base s’écrit lui :
(231)
iC
IC + ic
ic
gm
go
=
= IB + = IB +
· vbe +
· vce
β
β
β
β
β
Or go ∝ 1/VA . Ainsi même si l’eﬀet Early n’est pas négligé , le facteur go étant divisé par le gain β ≈ 1oo alors ce terme
peut ﬁnalement être négligé devant gm /β. La loi ib (vbe ) est donc linéaire. On note la conductance d’entrée gπ :
gπ = rπ−1 = ib /vbe =
(232)
gm
β
En fonction du modèle utilisé on peut aussi déﬁnir une conductance d’émetteur ge telle que :
(233)
ge = 1/re = ie /vbe = gm /α où
α\iC = α · iE
En continuant le développement :
(234)
2.3.3. Modèles hybrides.
ge =
IC
IE
IB
gm
=
=
= (β + 1) ·
= (β + 1) · gπ
α
α · VT
VT
VT
2. TRANSISTOR
131
Comme vu dans les sections précédentes, on peut associer un modèle quadripolaire aux composants électroniques. De même
ici on peut associer une matrice hybride liant les grandeurs : vbe , vce , ib et ic :
(235)
  
  
vbe   h11 = hie h12 = hr e   ib 
 =
· 
ic
h21 = hf e h22 = hoe
vce
|
{z
}
H
Et :
vbe
=
rπ · ib
ic
=
gm · vb e + go · vce = β · ib + go · vce


r
o
π

H=

β go
(236)
=⇒
Le tout peut être résumé sur les ﬁgures 20 et 21
Figure 20. Modèle en pi
Figure 21. Modèle en T
132
5. INTRODUCTION À LA MICROÉLECTRONIQUE
2.4. Exemples de montages à transistor.
2.4.1. Structure d’un ALI élémentaire. Ici est proposé une structure interne d’un ALI étudié en régime statique. Tous les
transistors sont supposés identiques en régime linéaire, de tension de seuil VBE = o.7 V , et de gain β = 2oo. La diode zener
tant qu’à elle impose une tension zener VZ = 6.1 V . Tous les Le montage est sur la ﬁgure :
Figure 22. Modèle élémentaire d’un ALI
De plus on a :
R1 = R2 = 2.2o kΩ
R3 = 2.7o kΩ
R4 = 1.oo kΩ
R5 = 1o.o kΩ
L’objectif est de connaître tous les courants dans le circuit. On commence par une loi des mailles et :
−Vz + VBE − R3 · iE3 = o
⇐⇒
iE3 =
Vz − VBE
= 2.oo mA
R3
Puis on peut obtenir le courant de base :
iB3 =
iE3
= 9.95 µA
β+1
On observe donc que le courant dans la base 3 est quasi nul. On peut remontrer donc aux courants d’émetteurs des transistors
1 et 2. En eﬀet ce sont des résistances identiques donc :
2. TRANSISTOR
133
iE1 = iE2 = iC3 /2 = β · iB3 /2 = o.995 mA
Ce qui donne accès au courant iC2 :
iC2 =
β
· iE2 = o.99o mA
β+1
Quant au courant circulant dans les résistances R4 , R5 on peut les calculer en considérant la tension VCE du transistor 4
valant VCE ≈ 1 V :
−VCC + R5 · iC4 + VCE + R4 · iE4 = VCC
⇐⇒
iE4 =
2 · VCC − VCE
= 2.65 mA
β
R4 +
· R5
β+1
Où l’on a utilisé que iE4 = β/(β + 1) · iC4 . Ce qui permet d’accéder au courant iB4 :
iB4 = iC4 /β = 13.2 µA
Ce qui donne accès au courant traversant la résistance R2 :
iR2 = iC2 − iB4 = o.99
On observe donc que l’inﬂuence de la base du transistor 4 est quasi nulle ce qui implique que le courant est le même dans la
résistance R1 .
Finalement on se rend compte que l’on obtient bien le résultat annoncé dans la section 3, qu’en régime statique le courant
de sortie est quasi nul sinon nul lorsque l’on considère les courants de l’ordre du µA comme nuls.
2.4.2. Étage ampliﬁcateur. Vient ici l’intérêt du modèle hybride en π. Le montage général est sur la ﬁgure 23.
Figure 23. Structure d’un montage ampliﬁcateur
Comme sur tout montage ampliﬁcateur il faut déterminer les grandeurs suivantes :
134
5. INTRODUCTION À LA MICROÉLECTRONIQUE
(237)
gain à vide
: A Vo =
Vout
Vin
(238)
gain global en tension
: AV = Vout /Vg
(239)
gain global en intensité
: AI = Iout /Iin
(240)
Résistance entrée
: Rin = Vin /Iin
(241)
Résistance sortie
sortie à vide ⇐⇒ iout =o
: Rout = Vout /Iout
On se propose ici d’étudier un montage ampliﬁcateur à émetteur commun, sur la ﬁgure 24 et équivalent au montage de la
ﬁgure 25. Le montage équivalent est le montage étudié en petits signaux et donc on considère les grandeurs continues nulles
et explique es présences des masses à la place des tensions +VCC , −VEE . La présence des condensateurs est pour couper les
basses fréquences et donc les composantes continues.
On peut immédiatement donner l’expression de la résistance d’entrée. En eﬀet le courant d’entrée iin passe dans les résistances
en parallèles RB , rπ .
(242)
Rin =
RB · rπ
RB + rπ
On peut maintenant chercher à écrire le gain en tension à vide AVo en exprimant d’abord la tension de sortie Vout :
vout = −RC · ic
=
régime linéaire
−RC · β · ib
Or on a :
ib = iin − i1
i1 = vin /RB
Ce qui permet d’écrire :
ib
=
1
1
−
Rin
RB
· vin =
1
1
−
RB
Rin
· RC · β · vin
Et donc le gain à vide :
A Vo
RB · rπ
− RB
2
RB · rπ − RB
− RB · rπ
Rin − RB
RB + r π
=
=
=
2
RB · rπ
Rin · RB
RB · rπ
· RB
RB + r π
D’où :
(243)
Avo = −β ·
RC
rπ
2. TRANSISTOR
On a aussi l’expression de la résistance de sortie :
(244)
Rout =
vout
iout
=
vg =o
RC · r o
RC + ro
On peut maintenant donner l’expression du gain en tension AV = vout /vin :
vout
(245)
=
=⇒
RL
· AVo · vin
RL + Rout
RL
· A vo
Av =
RL + Rout
135
136
5. INTRODUCTION À LA MICROÉLECTRONIQUE
Figure 24. Ampliﬁcateur à émetteur commun
Figure 25. Ampliﬁcateur à émetteur commun, montage équivalent
2. TRANSISTOR
Pour ﬁnalement donner le gain global Av ,global :
Av ,global
(246)
=
=⇒
vout
vout vin
Rin
=
·
=
· Av
vg
vin vg
Rin + Rg
Av ,global = −
Rin
RL
RC
·
·β·
Rin + Rg RL + Rout
rπ
Et le gain en courant :
(247)
vout
Rin
iout
R
Ai =
= vinin =
· Av
iin
Rout
Rin
137
Deuxième partie
Montages électroniques élémentaires
Chapitre 6
Oscillateurs...
1. Introduction
1.1. Généralités. Les oscillateurs sont des circuits qui permettent de créer des signaux périodiques de formes déﬁnies :
sinusoïdal, triangulaire, créneau etc. Pour ce faire une structure générale peut être déﬁnie et est présente sur le schéma bloc
1.
Figure 1. Schéma bloc de la structure générale d’un oscillateur
Où H et B désignent des fonctions de transfert. On distingue deux types d’oscillateurs :
• les oscillateurs quasi-sinusoïdaux : H ≡ ampli f i cateur et B ≡ f i ltr e. Ils génèrent des signaux quasi-sinusoïdaux, comme
le nom l’indique
• les oscillateurs de relaxation : H ≡ hy ster esi s et B ≡ i ntegr ateur . Eux génèrent des signaux créneaux.
On peut exprimer la fonction de transfert H du système représenté à l’aide d’une formule proche de la formule de Black :
Formule de Black
Pour un sytème bouclé du type de la la ﬁgure 1, la fonction de transfert globale H s’écrit :
(248)
H=
H
1−H·B
141
142
6. OSCILLATEURS...
En eﬀet on a la sortie du comparateur δBlack :
δBlack = E + B · S
D’autre part :
S
= H · δBlack = H · (E + B · S)
(249)
D’où le résultat en exprimant le rapport S/E.
1.2. Condition d’oscillation. Les oscillateurs quasi-sinusoïdaux créent des oscillations si une condition est assurée : la
condition de Barkhausen :
Condition de Barkhausen
Il y a oscillations si et seulement si :
∀x\H · Bo = 1
(250)
En rappelant la forme canonique de la fonction de transfert d’un passe bande du second ordre ;
B=
Bo
1
1+i ·Q x −
x
On a :
s=
H
·e
1−H·B
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
s−
H · Bo
·s =H·e
Q
i ·x
i · Q · ω Q · ωo
1+
+
· s − H · Bo · s = · · ·
ωo
i ·ω
1+i ·Q·x +
ωo ds
d 2s
+ (1 − H · Bo ) ·
·
+ ωo2 · s = · · ·
dt 2
Q dt
On obtient donc une équation diﬀérentielle d’ordre deux avec second membre. La solution homogène est oscillante
uniquement si on a :
(251)
Ce qui est bien la condition énoncée.
H · Bo = 1
Ar g(H · Bo ) = o
1. INTRODUCTION
143
En pratique ces conditions permettent une oscillation stable et entretenue à ωo . Cependant, les oscillateurs démarrent soit
sur le bruit de l’électronique et du résonateur soit grâce aux ten- sions et courant transitoire de démarrage. C’est la raison
pour laquelle le critère de Barkhausen requiert dans les faits un gain petit signal supérieur à 1.
Ces mécanismes sont au nombre de deux :
• Le contrôle de gain automatique (AGC) qui consiste à utiliser un ampliﬁcateur pour réduire le gain de la boucle
proportionnellement à l’amplitude de l’oscillation [Lin, 2003 ; Gronicz, 2013]. Cette technique est utilisée lorsque la
distorsion harmonique doit être maintenue la plus basse possible. Le contrôle de gain automatique peut avoir des eﬀets
positifs sur le bruit de phase des oscillateurs à base de résonateur mécanique en réduisant notamment le bruit en 1/f 3 .
• Le second mécanisme pouvant être utilisé utilise la saturation naturelle du grand signal d’un ampliﬁcateur réel. Lorsque le
signal de sortie dépasse le niveau de saturation de l’ampliﬁcateur de rétroaction, l’énergie en excès sur le fondamental est
transférée sur les harmoniques d’ordres supérieurs.
Conception de circuit intégré pour les applications gravimétriques basées sur l’utilisation de résonateurs mécaniques arrangés
en réseau, Guillaume GOURLAT, 2o16
144
6. OSCILLATEURS...
2. classiques
Figure 2. Oscillateur à résistance négative
2.1. ... à résistance négative. On a ici un montage qui fait intervenir une résistance négative décrite à la sous section
4.1.On a donc vu que le montage a ALI est équivalent à une résistance RN . On a donc un schéma électrique équivalent :
Figure 3. Oscillateur à résistance négative équivalent
Où l’on prend la tension de sortie aux bornes du condensateur. En utilisant une loi des mailles on a :
e + UL + UR + s = o
⇐⇒
⇐⇒
(252)
⇐⇒
di
+R·i −s =o
RN · i + L
dt
d
RN + R + L ·
·i +s =o
dt
d
d
RN + R + L ·
s +s =o
·C·
dt
dt
2. CLASSIQUES
145
D’où l’équation diﬀérentielle :
(253)
L·C·
d 2s
ds
+ (RN + R) · C ·
+s =o
dt
dt
On obtient donc la condition d’oscillation, il faut que le préfacteur devant la dérivée première de la tension s :
R = −RN
(254)
⇐⇒
R1 · R3 = R · R2
Cependant les ﬂuctuations de la résistance RN dont les causes sont multiples ne rend pas l’égalité 254 n’est pas toujours
satisfaite. Et comme indiqué dans l’introduction de ce chapitre les oscillation commencent sur du bruit qui va être ampliﬁé.
Ce qui être fait lorsque la solution en sortie est du type e t/τ · cos(ω · t). Ceci peut avoir lieu lorsque le discriminant de
l’équation caractéristique est négatif ce qui a lieu lorsque :
r
(255)
(RN + R) · C − 4 · L · C < o
2
2
⇐⇒
RN < 2 ·
L
−R
C
Figure 4. Oscillateur de Wien
2.2. ... de Wien. Cet oscilateur est un oscillateur quasi-sinusoidal car on repère bien le montage ampliﬁcateur suivi d’un
passe bande. On peut poser deux impédances équivalentes Zeq,1 et Zeq,2 telles que :
Zeq,1 = ZC1 + ZR3
Yeq,2 = 1/(Zeq,2 ) = YC2 + YR4
146
6. OSCILLATEURS...
La fonction de transfert B s’obtient pas simple pont diviseur de tension :
B
(256)
=
=
s2
Zeq,2
1
=
=
=
s1
Zeq,1 + Zeq,2
1 + zeq,1 · Yeq,2
1+
1
+ R3
i · C1 · ω
1
1
· i · C2 · ω +
R4
R4 · C1
(R3 + R4 ) · C1 + R4 · C2
R3 · R4 · C1 · C2
1
1
1+i ·
·ω−
·
(R3 + R4 ) · C1 + R4 · C2
(R3 + R4 ) · C1 + R4 · C2 ω
On obtient ainsi le gain en basses fréquences Bo , la pulsation centrale ωo et le facteur de qualité :
(257)
R4 · C1
Bo =
(R3 + R4 ) · C1 + R4 · C2
r
ωo =
1
R3 · R4 · C1 · C2
√
Q=
R3 · R4 · C1 · C2
(R3 + R4 ) · C1 + R4 · C2
Et en appliquant la condition de Barkhausen on obtient immédiatement la condition pour obtenir des oscillations :
(258)
(259)
H · Bo = 1 ⇐⇒
⇐⇒
R4 · C 1
R1
=
(R3 + R4 ) · C1 + R4 · C2
R1 + R2
⇐⇒
R2 = 2 · R1
R3 =R4 =R & C1 =C2 =C
Sur la ﬁgure 5 une simulation numérique de la sortie de l’oscillateur en fonction du gain H noté A dans la ﬁgure. On observe
sur cette ﬁgure que la qualité du signal se dégrade lorsque le gain est trop important.
Figure 5. sortie de l’oscillateur en fonction du gain de l’ampliﬁcateur
Figure 6. Oscillateur de Colpitts
2.3. ... de Colpitts. L’oscillateur de Colpitts peut se trouver sous plusieurs formes.
2. CLASSIQUES
147
On a un ampliﬁcateur non inverseur dans la chaîne directe, dont la fonction de transfert a été donné dans la sous section
2.2 et :
(260)
H =1+
R2
R1
Étudions maintenant la fonction de transfert de la boucle de rétroaction. Au point A on a, en utilisant le théorème de
Millman :
VA =
s1 · YR1 + s2 · YC1
YR + YL + YC1
VB =
YC1
· VA
YC1 + YC2
Ainsi :
YR
· s1
YR + YL + YC1
=
YC1 + YC2
Y11
−
YC1
YR + YL + YC1
· s2
D’où la fonction de transfert B :
B
=
YR · YC1
(YC1 + YC2 ) · (YR + YL + YC1 ) − YC21
=
i · L · C1 · ω
R · (C1 + C2 ) + L · (C1 + C2 ) · (i · ω) + [R · L · C1 · (C1 + C2 ) − R · L · C12 ] · (i · ω)2
Finalement :
C1
C1 + C2
B=
R · C1 · C2
R
1+i ·
·ω−
C1 + C2
L·ω
(261)
On obtient donc les caractéristiques du ﬁltre passe bande :
(262)
C1
Bo =
C1 + C2
r
ωo =
s
C1 + C2
L · C1 · C2
Q=R·
C1 · C2
L · (C1 + C2 )
Puis en utilisant la condition d’oscillations de Barkhausen :
R2
Bo · 1 +
=1
R1
(263)
R1
R1 + R2
⇐⇒
Bo =
⇐⇒
C 1 · R2 = C 2 · R1
148
6. OSCILLATEURS...
2.4. Oscillateur de relaxation : générateur de branches d’exponentielles. L’oscillateur de relaxation ( ou multivibrateur
astable ) de la ﬁgure 7 génère des branches d’exponentielles de longueur ( temporelle ) variable. Il est composé d’un trigger
de Schmidt et d’un condensateur. La tension de sortie est prise aux bornes du condensateur.
Si on se penche sur le trigger, on a donc la tension d’entrée sur la borne inverseuse et donc, en reprenant les notations de la
sous section 2.6 on a e1 = o et e2 = e. On rappelle la caractéristique sur la ﬁgure 11. Les tensions de seuil sont, pour
rappel :
±Vseuil =
R2
· Vsat
R2 + R3
Figure 7. Générateur de branches d’exponentielles
Figure 8. Hystérésis pour entrée non inverseuse nulle
On peut ensuite s’intéresser à la tension aux bornes du condensateur :
VA =
1
·e =s
1 + R1 · C · (i · ω)
(264)
ds
dt
⇐⇒
e =s +τ ·
⇐⇒
s = λ · e −t/τ + e
Où τ = R1 · C. On suppose que le condensteur est chargé à −Vseuil et que l’entrée vaut e(t = o) = +Vsat :
λ = Vsat − Vseuil
=⇒ e(t) = − (Vsat + Vseuil ) · e −t/τ +Vsat
|
{z
}
>o
Le temps s’écoule et la tension e augmente jusqu’à atteindre la tension de seuil +Vseuil . Ceci prend un temps t = t1 :
(265)
s(t = t1 ) = −(Vsat + Vseuil ) · e −t1 /τ + Vsat = Vseuil
⇐⇒
t1 = ln
Vsat + Vseuil
Vsat − Vseuil
·τ
Puis, en décalant les origines telle que t ′ = t − t1 on peut reprendre la même démarche avec cette fois ci : que le
condensateur à t ′ = o est chargé à +Vseuil et que la sortie est à −Vsat :
2. CLASSIQUES
149
′
s(t ′ ) = (Vseuil + Vsat ) · e −t /τ − Vsat
Cette fois ci la tension e diminue jusqu’à réobtenir la tension s(t ′ = t2 ) = −Vseuil :
s(t ′ ) = (Vseuil + Vsat ) · e −t2 /τ − Vsat = −Vseuil
⇐⇒
t2 = t1
On a donc un signal périodique de période T = 2 · t1 = :
T = 2 · ln
(266)
Vsat + Vseuil
Vsat − Vseuil
R2
· τ = 2 · ln 1 + 2 ·
R3
·τ
Pour le tracé prenons des valeurs arbitraires :
R1 = R2 = R3 = 1 Ω
C = o.45 F
Vsat = 15 V
e
s : char ge
s : dechar ge
s (V )
10
0
−10
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
temps ( t )
1.4
1.6
1.8
Figure 9. Évolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps
2
2.2
150
6. OSCILLATEURS...
2.5. Oscillateur de relaxation : générateur de triangle. Le montage de l’oscillateur est sur la ﬁgure 10.
Figure 10. Multivibrateur astable générateur de signal triangle
Le montage est composé d’un trigger de Schmidt qui va générer un signal carré et un intégrateur qui va triangulariser le
signal. Le trigger de Schmidt est le même que pour le multivibrateur précédent, donc la même caractéristique. Quant à
l’intégrateur on réutilise les résultats précédents :
s2 (t) = −
(267)
1
·
R·C
Z
s1 (t)dt
Puis en prenant arbitrairement :
R=1Ω
C=1F
Vsat = 15 V
s1
s2
e(V )
10
0
−10
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
temps ( t )
1.4
1.6
1.8
Figure 11. Évolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps
2
2.2
3. À COMMANDE ET PORTES LOGIQUES
3. à commande et portes logiques
Figure 12. Multivibrateur astable à Timer
3.1. Astable à timer NE555. Cet oscillateur est composé de plusieurs éléments :
• une bascule dite RS
• deux comparateurs qui déﬁnissent deux seuils
• un inverseur logique
• un transistor en régime saturé
Les deux seuils s’obtiennent avec des simples ponts diviseurs de tension et :
(268)
V−,1 =
2
· VCC
3
V+,2 =
1
· VCC
3
151
152
6. OSCILLATEURS...
R S
Qk+1
0
0
Qk
0
1
1
1
0
0
1
1
NaN
T
état
o
bloque
1
passant
3. À COMMANDE ET PORTES LOGIQUES
153
Les valeurs en sortie des comparateurs vont faire varier les entrées R et S de la bascule. Le fonctionnement est le suivant :
V+,1 = VC
>
2
· VCC
3
si non
R
V+,2 =
1
· VCC
3
S
R=1
> V−,1 = VC
1
R=0
si non
S=0
Quant au transistor dont l’état est noté T , son fonctionnement est dans la table ??.
Le tout est résumé sur la ﬁgure 13.
Figure 13. Fonctionnement de l’oscillateur
Il ne reste plus qu’à exprimer la valeur de la tension VC . Ceci peut se faire en utilisant la déﬁnition de la tension et :
VC = VA − R2 · i1
(269)
⇐⇒
R2 · C ·
dVC
+ VC = VA
dt
Puis en utilisant le théorème de Millman au point A on a :
VA = α · VC + (1 − α) · VCC
(270)
Où α =
R1
. Posons τ = R2 · C. On a donc l’équation diﬀérentielle suivante :
R1 + R2
dVC
1−α
1−α
+
· VC =
· VCC
dt
τ
τ
(271)
La génération du signal fonctionne en suivant la ﬁgure résumé.
étape 1 : VC (t = o) = o
(272)
VC = o < 1/3 · VCC =⇒ Q1 = 1 =⇒ VC = VCC · 1 − e −(1−α)/τ ·t
154
6. OSCILLATEURS...
Le condensateur se charge jusque t = t1 :
(273)
VC (t1 ) =
2
· VCC
3
⇐⇒
t1 =
ln(3)
·τ
1−α
étape 2 : VC = 1/3 · VCC
VCC
=⇒ Q2 = 1, donc le condensateur continue de se charger.
3
étape 3 : VC (t = t1 ) = 2/3 · VCC
Le seuil étant passé on a VC ∈]1; 2[·
Ce second seuil étant passé on a donc le condensateur qui se décharge selon l’exponentielle décroissante :
VC (t = t1 ) = 2/3 · VCC =⇒ Q3 = 0 =⇒ VC =
(274)
2
· VCC · e −(1−α)/τ ·t
3
Le condensateur se décharge et au bout d’un certain temps t2 la tension a ses bornes repasse à VCC /3 :
2
VCC
· VCC · e −(1−α)/τ ·t2 =
3
3
(275)
⇐⇒
t2 =
ln(2)
·τ
1−α
étape 4 : VC = 1/3 · VCC
Le seuil bas étant à nouveau atteint, le condensateur se remet à se recharger et au bout d’un temps t3 la tension aux bornes
du condensateur repasse à 2/3 · VCC :
(276)
VCC
2
· 1 − · e (1−α)/τ ·t3
3
=
2
· VCC
3
⇐⇒
t3 =
ln(2)
·τ
1−α
On a donc la période du signal T :
T =2·
(277)
ln(1)
·τ
1−α
Graphiquement on obtient la ﬁgure 14 où l’on a pris arbitrairement :
R1 = 1 Ω
R2 = Ω
C=1F
VCC = +Vsat = 15 V
e(V )
10
charge
decharge
5
0
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
temps ( t )
4
4.5
5
5.5
6
Figure 14. Évolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps
6.5
7
3. À COMMANDE ET PORTES LOGIQUES
155
3.2. Voltage Controlled Oscillator, VCO. Un VCO, Oscillateur Commandé en Tension en français, est un oscillateur
dont la période est fonction d’une tension d’entrée.
Dans le domaine de la transmission de l’information, les démodulateurs utilisent massivement des boucles à verrouillage de
phase (ou PLL) pour restituer la fréquence de la porteuse “non modulée” ou pour eﬀectuer directement la démodulation
quand la porteuse est modulée en fréquence. Comme l’opération de démodulation est eﬀectuée chez l’utilisateur ﬁnal, elle
doit être la moins coûteuse possible et donc intégrer sur le silicium le maximum possible d’éléments de la boucle. Or, un des
éléments constitutifs de la PLL est l’oscillateur commandé en tension (ou VCO).
extrait de l’introduction d’une thèse portant sur une
Étude de VCO pour les circuits à fréquence intermédiaire, analyse et simulation du bruit de phase.
Un type de montage complet est sur la ﬁgure dans la table 1
Nous pouvons remarquer que le montage se compose de trois parties :
• une commande en tension
• un inverseur logique
• un comparateur à intégration composé d’un intégrateur et comparateur à hystérésis
On étudie donc de manière générale la commande en tension puis on regroupe le tout.
3.2.1. Commande en tension.
Figure 15. Commande en tension
Quand U4 est positive on a la tension aux bornes de la diode D1 est positive et la diode est passante contrairement à la
diode D2 où la tension à ses bornes est négative. Cette dernière est donc bloquante.
On a donc un simple pont diviseur de tension tel que :
(278)
U3 =
R2
· U4
R1 + R2
À l’inverse quand U4 est négative on a la diode D1 bloquée et la diode D2 passante et à nouveau un pont diviseur de tension
donne :
(279)
U3 =
R3
· U4
R1 + R3
156
6. OSCILLATEURS...
Si on introduit un paramètre α :
R2 = α · R1
R3 = (1 − α) · R1
Et donc :
(280)
U4 > o
=⇒
(281)
U4 < o
=⇒
α
· U4
1+α
1−α
U3 =
· U4
2−α
U3 =
U4 peut prendre deux valeurs : ±Vsat . On peut donc tracer l’évolution de U3 en fonction du paramètre α pour les deux
valeurs de tensions de U4 :
U3 (α)
5
0
−5
U4 = −15 V−0.1
U4 = +15 V
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
α
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
Figure 16. Évolution de U3 en fonction de α pour des valeurs U4 ﬁxées
Le graphe obtenu se comprends bien. En eﬀet quand α = o alors la résistance de D1 est nulle. Quand U4 = +15 V alors D1
est passante donc tension nulle pour U3 . À contrario quand U4 = −15 V c’est D2 qui est passante et le pont diviseur se fait
avec deux résistances identiques et donne par conséquent U3 = U4 /2. Le raisonnement est identique quand α = 1.
3. À COMMANDE ET PORTES LOGIQUES
157
Mais l’important ici est de tracer la caractéristique U3 = f (U4 ) car permettra de voir l’inﬂuence du paramètre α sur la
commande en tension. Prenons trois valeurs pour α ∈ {1/3, 1/2, 2/3}. On a donc :
U4 = +15 V
U3
= 3.75 V
α = 1/3
= 5V
α = 1/2
= 1o V
U4 = −15 V
U3
=
α = 2/3
1o
= 5
α = 1/3
α = 1/2
= 3.75
α = 2/3
Ce qui donne les pentes suivantes :
α = 1/3 :
pente = −5/24 V /V
α = 1/2 :
pente = o V /V
α = 2/3 :
pente = 5/24 V /V
Graphiquement on a la ﬁgure 17.
U3 (V )
10
8
6
4
α = 1/3
α = 1/2
α = 2/3
−10
0
U4 (V )
10
Figure 17. Caractéristique U3 = f (U4 ) pour diﬀérentes valeurs de α
3.2.2. Inverseur.
Ici on a tout simplement :
(282)
3.2.3. Intégrateur inverseur.
À nouveau on utilise les résultats déjà établis :
U2
=
−U1
158
6. OSCILLATEURS...
(283)
U3
=
1
−
R3 · C
Z
U2 dt
3.2.4. Comparateur à hystérésis.
Ici on a l’hystérésis de la ﬁgure 12 avec les tensions de seuils valant :
±Vseuil
(284)
=
±
Vsat
1+β
3.2.5. Fonctionnement. On suppose qu’à l’instant initial la sortie U4 = +Vsat ⇐⇒ U3 =
U4 = +Vsat
=⇒
D1 passante
D1 passante
=⇒
U1 =
U1 =
α
· Vsat
1+α
=⇒
U2 = −
α
· Vsat
1+α
=⇒
α
· Vsat
1+α
α
U2 = −
· Vsat
1+α
U3 (t) −
−Vsat
Vsat
α
=
·
·t
1+β
R3 · C 1 − α
| {z }
U3 (t=o)
−Vsat
. On a dans ce cas :
1+β
3. À COMMANDE ET PORTES LOGIQUES
159
On a donc :
(285)
U3 (t) =
α · Vsat
Vsat
·t −
(1 − α) · R3 · C
1+β
On observe qu’à fur et à mesure que le temps passe que la tension U3 augmente. Rappelons ici la caractéristique du
comparateur :
Figure 18. Hystérésis pour entrée inverseuse nulle
L’état initial était le point B. On observe que plus le temps passe et plus la tension e |{z}
= U3 augmente. Tant que le seuil
ici
positif n’a pas été atteint la sortie U4 reste inchangée et la tension U3 continue d’augmenter. On cherche donc le temps
∆thaut durant lequel le système est à l’état haut :
(286)
U3 (∆thaut ) = +Vseuil
⇐⇒
∆thaut = 2 ·
1−α
· R3 · C
α · (1 + β)
On peut eﬀectuer le même raisonnement pour déterminer le temps à l’état bas. On suppose qu’à l’instant initial la sortie
+Vsat
U4 = −Vsat ⇐⇒ U3 =
. On a dans ce cas :
1+β
U4 = −Vsat
=⇒
D2 passante
D1 passante
=⇒
U1 = −
U1 = −
1−α
· Vsat
2−α
=⇒
U2 = +
1−α
· Vsat
2−α
=⇒
1−α
· Vsat
2−α
1−α
U2 = +
· Vsat
2−α
U3 (t) −
+Vsat
1−α
Vsat
·
·t
=−
1+β
R3 · C 2 − α
| {z }
U3 (t=o)
On remarque cette fois ci que la tension U3 diminue avec le temps ce qui est rassurant car on se situait au niveau du point
D...
160
6. OSCILLATEURS...
Ce qui permet d’obtenir le temps ∆tbas , durée durant laquelle le système est à l’état bas :
(287)
U3 (∆tbas ) = −Vseuil
⇐⇒
∆tbas = 2 ·
2−α
· R3 · C
(1 − α) · (1 + β)
On peut maintenant en déduire la période T qui n’est que la somme des deux temps calculés à l’instant et :
(288)
T = ∆tbas + ∆thaut =
1 + 2 · α − α2
2
·
· R3 · C
α · (1 − α)
1+β
Si maintenant on souhaite obtenir une tension maximale pour U3 = Umax alors la condition porte sur β telle que :
(289)
Umax =
Vsat
1+β
⇐⇒
β = Vsat /Umax − 1
On peut se demander aussi quelle valeur de α permet d’obtenir ∆thaut = γ · ∆tbas où γ ∈ R+ ce qui donne à résoudre :
(290)
∆thaut = γ · ∆tbas
⇐⇒
α2 +
2
γ
·α−
=o
γ−1
γ−1
Le discriminant ∆ s’écrit :
(291)
∆=
4
·
γ−1
1
+γ
γ−1
Prenons γ = 1/2. Alors :
∆=8
=⇒
α± = 2 ±
√
2
La seule solution c’est donc, si l’on veut un signal qui reste autant de temps à l’état haut que bas, de prendre α ≈ o.59.
3. À COMMANDE ET PORTES LOGIQUES
Table 1. Voltage Controlled Oscillator RC
161
Chapitre 7
Divers
1. Pont de Wheastone
Le pont de Wheastone est un montage assez basique mais très utilisé dans les capteurs. Il peut, par exemple, être utilisé
dans un dispositif de régulation de température d’une diode laser. En eﬀet on a vu dans le chapitre 5 que les
semiconducteurs sont sensibles à la température de leur environnement. Dans certaines applications comme les lasers à SC il
est impératif que les caractéristiques du faisceau laser soient les plus stables possibles. Ainsi il faut mettre au point un
dispositif qui permet de repérer lorsque la valeur du courant traversant la diode ﬂuctue de façon trop importante. Une
méthode assez simple mais robuste permet de le faire et consiste à mettre en place un pont de Wheastone. Il s’agit d’un
ensemble de quatre résistances où l’on peut ponctionner à quatre endroits diﬀérents une valeur de tension. On peut voir ces
points de ponctionement sur la ﬁgure 1 qui sont les points N et P puis aux deux bornes de V r ef
Figure 1. Pont de Wheastone
Aﬁn d’expliquer son utilité nous devons d’abord étudier ce montage. Remarquons le cas simple où la tension Vr ef = o qui
implique l’absence de courant dans cette branche. De fait les courants passant dans les résistances R1 et R2 puis R3 et RT
sont égaux. Ainsi i2 = i1 et i3 = it ce qui impose :
(292)
i2 = i1 = ia
⇐⇒
Ve = (R2 + R1 ) · ia
(293)
i3 = it = ib
⇐⇒
Ve = (R3 + RT ) · ib
De plus
(294)
Vr ef
=
VAN + VBN
o
=
R2 · ia − R3 · ib
163
164
7. DIVERS
Ainsi :
(R2 + R1 ) · ia
= (R3 + RT ) · ib
R3
R2
R3
R3 + R1 ·
R2
(R2 + R1 ) ·
(295)
= R3 + RT
= R3 + RT
D’où l’égalité des résistances croisées dans cette conﬁguration dite ”équilibrée”. A contrario, lorsque le pont n’est pas
équilibré nous avons Vr ef 6= o et on peut utiliser des ponts diviseurs de tension tels que l’on ait :
Vr ef
(296)
=
VBP + VP A
=
RT
R1
· Ve + (−)
· Ve
RT + R3
R1 + R2
La table 1 résume le fonctionnement du pont.
Cas
Résultat
R1 · R3 = R2 · RT
R1
RT
Pont déséquilibré Vr ef =
−
· Ve
RT + R3
R1 + R2
Table 1. Conﬁgurations possibles pour le pont de Wheastone
Pont équilibré
On peut maintenant expliquer le fonctionnement de la régulation. À l’allumage de la diode laser, celle-ci est dans un
environnement où la température est constante. Ainsi la résistance RT prend une valeur ﬁxe. Cependant l’échauﬀement de
la diode, à cause du courant qui la traverse, va faire chauﬀer la thermistance et donc faire diminuer la résistance de celle-ci,
comme on a pu le voir dans la sous section précédente.
Or les autres résistances du pont étant ﬁxes, la variation de valeur de résistance va déséquilibrer le pont et la tension Vr ef ne
sera plus nulle. C’est donc cette tension qui donne le signal et ferait que le pont de Wheastone serait placé dans la boucle de
contre-réaction, si l’on modélisait le système sous cette forme.
Si maintenant l’on ﬁxe les résistances R2 et R3 , on n’aura, à ce stade, que la possibilité de jouer sur la résistance R1 pour
rééquilibrer le pont. Et dans ce cas :
(297)
⇐⇒
Vr ef = o
R1
RT
=
RT + R3
R1 + R2
Puis en utilisant la réponse théorique de la résistance RT en fonction de la température, on trouve facilement que :
(298)
TA
=
B · TN
R1 · R3
B + ln
· TN
R2 · RN
Point de vue expérimental il est essentiel que le pont ne soit pas perturbé par des courants parasites puisque participeront à
l’échauﬀement de la diode et donc la modiﬁcation de sont courant. C’est la raison pour laquelle on doit adapter
1. PONT DE WHEASTONE
165
l’impédance, i.e. mettre des impédances très importantes aux bornes du pont pour stopper tous les courants. Ceci peut se
faire notamment avec un montage à ALI suiveurs à chaque entrée du pont.
166
7. DIVERS
2. Redressement...
Ici les diodes seront supposées idéales et donc de tension de seuil nuls...
2.1. ...Mono-alternance. Le redressement mono-alternance permet de ne garder que la composante positive d’un
signal. Lorsque ce signal est négatif, la sortie est nulle. Le montage est on ne peut plus simple car il s’agit uniquement de
mettre une diode en sortie du signal e que l’on souhaite redresser. En eﬀet lorsque le signal e est négatif alors la diode est
bloquée alors que lorsque e est positif la diode est passante. Le montage est sur la ﬁgure 2.
Figure 2. Redresement Mono-Alternance
t→
7 e(t)
t→
7 s(t)
1
U
0.5
0
−0.5
−1
−0.2 0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
1.2 1.4 1.6 1.8
t
2
2.2 2.4 2.6 2.8
3
3.2 3.4 3.6
Figure 3. Redressement mono alternance
2.2. ...Double alternance. Il peut être nécessaire d’obtenir, à partir d’une tension alternative, une tension continue.
C’est le redressement double alternance de courant. Ceci se fait généralement avec un pont de Graetz, ou plus connus sous
pont de diodes. Le montage est sur la ﬁgure 4 est est sensiblement similaire au pont de Wheastone.
Le fonctionnement est le suivant :
2. REDRESSEMENT...
167
Figure 4. Pont de Graetz
e>o
=⇒
D2 & D4 bloquees, D1 & D3 passantes =⇒ s = e
e<o
=⇒
D2 & D4 passantes, D1 & D3 bloquees =⇒ s = −e
t→
7 e(t)
t→
7 s(t)
1
U
0.5
0
−0.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
t
Figure 5. Redressement double alternance
4.5
5
5.5
6
6.5
168
7. DIVERS
3. Histoires de crêtes
3.1. Détecteur de crêtes. Le montage est sur la ﬁgure 6.
Figure 6. Détecteur de crête
Ici sont présents :
• un ALI en montage suiveur pour adapter l’impédance
• une diode qui joue le rôle d’interrupteur
• une batterie formée par une résistance en parallèle avec un condensateur.
On considère une tension d’entrée e(t) = E · cos(ω · t). Le fonctionnement est le suivant :
• On suppose qu’à t = o le condensateur est déchargé et donc la tension à ses bornes est nulle.
• Dès que t > o, la tension e augmente. Il existe un temps t1 tel que e(t = t1 ) = Uo où Uo est la tension de seuil de la
diode. Tension à partir de laquelle un courant peut circuler dans la diode.
(299)
e(t = t1 ) = Uo
⇐⇒
E · si n(ω · t1 ) = Uo ⇐⇒ t1 = ar csi n (Uo /E)
• Dès que t > t1 le courant peut traverser le condensateur et donc il peut commencer à se charger car la diode est
équivalente à un ﬁl. Une loi des mailles donne immédiatement que s = e et donc :
(300)
∀t ≥ t1
s(t) = E · si n[ω · (t − t1 )]
et il existe un laps de temps dt après lequel s = E :
(301)
s(t1 + dt) = E
⇐⇒
dt =
π
ar csi n(1)
⇐⇒ dt =
ω
2·ω
Après ce laps de temps la tension e va rediminuer mais plus rapidement que s qui décroit selon une exponentielle
décroissante. Car la diﬀérence de tension e − s va redevenir inférieure à la tension de seuil et donc couper le courant, le
condensateur se décharge dans la résistance.
3. HISTOIRES DE CRÊTES
169
s(t) = E · e −(t−t1 −dt)/τ
∀t ≥ t1 + dt
La tension e continue de diminuer puis ré-augmente pour faire repasser e − s supérieur à la tension de seuil. Ceci a pris un
temps dt ′ qu’il n’est pas possible de déterminer de façon exacte. Passé ce temps dt ′ le condensateur se re-charche et re fait
augmenter s jusqu’à E. Un cycle vient de se passer.
t1 + dt
1
t→
7 e(t)
t→
7 s(t)
U
0.5
0
t1
−0.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
t
Figure 7. Exemple de signaux d’entrée et sortie
3.2. Écréteur. Ici, contrairement à la sous-section précédente, on cherche à couper les crêtes au lieu de les garder. Le
montage est très simple car il s’agit de mettre en parallèle la source et une diode. Ici on la considère idéale, donc la tension
de seuil est nulle. En eﬀet lorsque la tension e est positive alors la diode est passante donc la tension s est celle aux bornes
d’un ﬁl, donc nulle. A contrario, elle vaut e. En réalité il faudrait prendre en compte la tension aux bornes de la résistance et
donc connaître le courant qui la parcoure. Le montage est sur la ﬁgure 8.
Figure 8. Écréteur
170
7. DIVERS
t→
7 e(t)
t→
7 s(t)
1
U
0.5
0
−0.5
−1
−0.2 0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
1.2 1.4 1.6 1.8
t
2
2.2 2.4 2.6 2.8
3
3.2 3.4 3.6
Figure 9. Exemple de signal écrêté
En fait on peut voir ce montage comme un redressement mono-alternance négatif. Finalement si l’on veut quand même
avoir une partie de la composante positive il faut que la tension de sortie soit aux bornes d’une résistance de charge que l’on
peut noter RL telle que :
(302)
s=
RL
·e
R + RL
4. AMPLIFICATEUR À GAIN PROGRAMMABLE
4. Ampliﬁcateur à gain programmable
Ici est présenté un ampliﬁcateur dont on peut choisir par une commande numérique le gain. Les technologies actuelles
utilisent plutôt des portes logiques mais le principe est le même. La commande numérique contrôle la position des
interrupteurs Kk∈{1,2,3} . Ici seulement trois interrupteurs sont pris mais seulement pour limiter la taille de la table 2. Le
montage est sur la ﬁgure 10.
Figure 10. Exemple d’ampliﬁcateur à gain programmable
On a :
• Kk∈{1,2,3} = o : interrupteur ouvert
• Kk∈{1,2,3} = 1 : interrupteur fermé
171
172
7. DIVERS
Le théorème de Millman au point A donne :
(303)
e
s
+ 3
R Σk=1 (1 − Kk ) · Rk
Σ3 (1 − Kk ) · Rk
VA =
⇐⇒ s = − k=1
·e
···
R
Cette relation est vraie si les trois interrupteurs ne sont pas fermés en même temps. S’ils le sont tous en même temps alors
la sortie est nulle à cause du régime linéaire de l’ALI. Puis en notant :
Rtot = Σ3k=1 (1 − Kk ) · Rk
On a la table 2.
K1
K2
K3
Rtot
0
0
0
R1 + R2 + R3
0
0
1
R1 + R2
0
1
0
R1 + R3
0
1
1
R1
1
0
0
R2 + R3
1
0
1
R2
1
1
0
R3
1
1
1
NaN
Table 2. Table de vérité de l’ampliﬁcateur
5. MULTIPLEXAGE
173
5. Multiplexage
La transmission de l’information se fait via des canaux de transmission. La nature de ces canaux dépend de beaucoup de
paramètres, comme :
• le type de signal à transmettre,
• le débit souhaité,
• la distance que l’information doit parcourir,
• le format de modulation du signal,
• etc...
Ici l’objectif n’est pas de faire un cours de communications numériques mais de présenter une technique appelée
multiplexage. Le multiplexage permet de transmettre des informations provenant de diﬀérentes sources à des instants
diﬀérés sur un même canal. Concrètement l’un des intérêts est de diminuer le nombre de ﬁls. Dans des cas comme
l’automobile, multiplexer les informations permet de réduire de plusieurs kilogrammes le poids de la voiture.
Ici sont présentés un multiplexeur et un démultiplexeur avec ALI. Même si aujourd’hui le multiplexage se fait avec des
diodes, transistors et portes logiques car moins gourmands en énergie.
Figure 11. Multiplexeur à ALI
Figure 12. Démultiplexeur à ALI
5.1. Multiplexeur. Un exemple de multiplexeur est sur la ﬁgure 11. Avant tout on a :
• Kk∈{1,2,3,4} = o : interrupteur ouvert
• Kk∈{1,2,3,4} = 1 : interrupteur fermé
La tension de sortie s’écrit à l’aide du théorème de Millman au point A :
174
7. DIVERS
(304)
1
s
· Σ4k=1 Kk · ek + ′
R
R
VA =
=o
···
⇐⇒
s=−
R
· Σ4k=1 Kk · ek
R′
Ces interrupteurs sont commandés numériquement.Comme indiqué dans l’introduction de cette section, le multiplexage
permet d’envoyer des informations à des instants diﬀérés. Ainsi un seul interrupteur peut être fermé à la fois.
La table de vérité est donc très simple :
s
K4
K3
K2
K1
0
0
0
1
−
R
· e1
R′
0
0
1
0
−
R
· e2
R′
0
1
0
0
−
R
· e3
R′
R
· e4
R′
Table 3. Table de vérité du multiplexeur
1
0
0
0
−
5.2. Démultiplexeur. Un exemple de démultiplexeur est sur la ﬁgure 12. On peut écrire la valeur de la tension
sk∈{1,2,3,4} :
(305)
∀k ∈ {1, 2, 3, 4}
\
Kk ·
V (Ak ) =
e
sk
+ ′
′
R R = o ⇐⇒ s = − R · K · e
k
k
···
R
6. CONVERTISSEUR NUMÉRIQUE/ANALOGIQUE RÉSEAU R-2R
175
6. Convertisseur Numérique/Analogique réseau R-2R
6.1. Fonctionnement. Est proposé une architecture de convertisseur numérique/analogique sur la ﬁgure contenue dans
la table 4.
Le fonctionnement global est le suivant :
En fonction de la position des interrupteurs Kn∈{o,··· ,N1 } les courants in∈{o,··· ,N1 } s’ajoutent pour donner un courant i qui est
ensuite converti en tension. La tension de sortie est proportionnelle au courant et permet de coder un bit.
L’objectif ici n’est pas de comparer les diﬀérentes architectures de CAN, j’invite donc les curieux à regarder la bibliographie.
Avant de commencer on peut remarquer que quelque soit la position des interrupteurs Kn , le réseau ( ALI non compris ) est
équivalent à une résistance valant 2R. En eﬀet :
• si l’on ne considère que la droite du nœud Ao , c’est évident
• si l’on ne considère que la droite du noeud A1 il est aisé de voir, sur la ﬁgure 13 que l’on a une résistance R en série avec
deux résistances 2R en parallèle. Celles-ci donnent une résistance équivalente R et donc le tout forme une résistance 2R.
• si l’on ne considère que la droite du noeud A2 , en utilisant que la droite du noeud A1 est équivalent à une résistance 2R,
on se ramène au cas de la ﬁgure 13 où Ao est remplacé par A1 .
• et ainsi de suite...
Figure 14. Pont diviseur de courant au
noeud AN−1
Figure 13. Résistance équivalente noeud AO
Puis pour déterminer le courant total nous devons calculer le courant issu de chaque noeud et donc du potentiel associé.
Par exemple prenons le premier noeud AN−1 . Puisqu’à sa droite la résistance équivalente vaut 2R comme montré
précédement, le pont diviseur de courant donne :
iN−1 =
1/(2R)
· iREF
1/(2R) + 1/(2R)
⇐⇒
iN−1 =
1
· iREF
2
Puis au noeud suivant ( AN−2 ) on aura
iN−2
=
1 ′
1
·i
= · (iREF − iN−1 ) =
2 N−1
2
Et ainsi de suite. Ainsi à un noeud k ∈ {o, · · · , N − 1} on aura :
(306)
iN−k
=
k
1
· iREF
2
2
1
· iREF
2
176
7. DIVERS
Table 4. Convertisseur Numérique Analogique à réseau R-2R inversé à N bits
6. CONVERTISSEUR NUMÉRIQUE/ANALOGIQUE RÉSEAU R-2R
Puis en eﬀectuant une loi des mailles lorsque l’interrupteur KN−1 est fermé on a :
Figure 15. Schéma électrique équivalent au noeud AN−1
Le théorème de Millman donne :
V (AN−1 ) =
VREF /R
1/R + 2 · 1/2R
⇐⇒
V (AN−1 ) = VREF /2
On peut donc en déduire la relation entre iREF et VREF :
(307)
VREF /2 = VREF − R · iREF
⇐⇒
iREF =
VREF
2·R
Et donc l’expression reliant iN−k , VREF et R :
(308)
iN−k =
k+1
VREF
1
·
2
R
De même pour le noeud AN−2 où l’on remplace VREF par V (AN−1 ) et :
V (AN−2 ) =
V (AN−1 )/R
1/R + 2 · 1/2R
⇐⇒
V (AN−2 ) = VREF /4
Et ainsi de suite pour avoir la relation générale :
∀k ∈ Jo, NK V (Ak ) = VREF /2N−k
(309)
Et ﬁnalement en sortie du convertisseur on a :
s
(310)
où :
= −R′ · ΣN−1
k=o ik
′
R
KO
= −
·
+ · · · + KN−1 · VREF
2R
2N−1
177
178
7. DIVERS
Kk∈Jo,N−1K = o
⇐⇒
f er me
Kk∈Jo,N−1K = 1
⇐⇒
ouv er t
Pour aller plus loin on peut même écrire la valeur de la tension de sortie en fonction de la valeur décimale B que l’on
souhaite envoyer. Ici le mot binaire KN1 · · · K1 Ko correspond à la valeur décimale B. Prenons le cas simple où l’on ne
considère que trois interrupteurs : Ko , K1 , K2 . On a donc :
=
R′
−
·
2·R
K2
K1
KO
B
s
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1 R′
− ·
8 R
0
1
0
2
2 R′
− ·
8 R
0
1
1
3
3 R′
− ·
8 R
1
0
0
4
4 R′
− ·
8 R
s
VREF
KO
K1
+
+ K2
4
2
Cherchons à remplir la table de vérité 5.
..
.
Table 5.
..
..
..
..
.
.
.
.
Table de vérité du réseau R-2R
6. CONVERTISSEUR NUMÉRIQUE/ANALOGIQUE RÉSEAU R-2R
179
On voit donc qu’avec trois interrupteurs on a la relation suivante :
∀B ∈ J1, 7K
(311)
s(B) = −
R′ VREF
·
·B
R
8
Que l’on peut étendre pour B ∈ J1, N − 1K
6.2. Réglage de la pleine échelle. Ici on veut déterminer la tension que l’on obtiendra en sortie du convertisseur si tous
les interrupteurs sont fermés et donc donnant le courant maximal. L’objectif est donc de déterminer le rapport R′ /R
permettant de satisfaire la condition.
Si on souhaite qu’à la pleine échelle on ait spleine
echelle
= −γ · VREF où γ ∈ R+∗ , alors :

−
′
R
1
· ΣN−1
k=o k · VREF = −γ · VREF
2·R
2
(312)
⇐⇒

1
R

2N 
·
=γ
1 
2·R
1−
2
⇐⇒
R′
=
R
′
Dans les cas classiques où γ = 1, N = 4 ou N = 8 nous avons :
R′
R
= 64/15 ≈ 4.3
= 1o24/255 ≈ 4
N=4
N=8
1−
4·γ
1
1− N
2
Troisième partie
Implémentation MATLAB
Chapitre 8
Filtrage
1. Étude fréquentielle
Pour ce faire nous allons prendre un exemple :
(313)
H=
1
1+s
Pour les diagrammes de Bode ( ﬁgure 1 ) on crée donc deux listes contenant chacune les coeﬃcients devant monôme. Une
appelée ”num” pour le numérateur de la fonction de transfert et ”den” pour le dénominateur de la fonction de transfert :
Pour le diagramme de Black-Nichols ( ﬁgure 2 ), une fois ceci fait, il suﬃt d’entrer la commande :
nichols(H)
On peut remarquer sur Octave 4.4.1 que le quadrillage sur le diagramme de Black-Nichols n’est pas disponible. Sur Matlab
la commande suivante permet de le faire apparaître.
ngrid
183
184
8. FILTRAGE
Finalement pour le diagramme de Nyquist ( ﬁgure 3 ) la commande suivante suﬃt :
nyquist(H)
On peut aussi déterminer les pôles et zéros d’une fonction de transfert à l’aide des fonctions suivantes :
Et les placer sur le plan complexe ( ﬁgure 4 ) à l’aide de la commande :
pzmap(H) sous Octave
pzplot(H) sous Matlab
Ainsi qu’obtenir les marges de gain et de phase ( ﬁgure 5 ) avec la commande suivante :
margin(H)
Figure 1. Diagrammes de Bode
1. ÉTUDE FRÉQUENTIELLE
Figure 2. Diagrammes de Black-Nichols
Figure 3. Diagrammes de Nyquist
185
186
8. FILTRAGE
Figure 4. Pole-Zero Map
Figure 5. Marges
2. SYNTHÈSE DE FILTRES DE ...
187
2. Synthèse de ﬁltres de ...
2.1. ...Butterworth.
2.1.1. Fonctions utiles. Buttord calcule l’ordre le plus faible du ﬁltre de Butterworth satisfaisant les spéciﬁcations
données par les paramètres wp, wa, Rp, Ra où Rp et Ra sont les atténuations respectives des bandes passantes (« p ») et
atténuées (« a ») ; wn est la pulsation de coupure à −3 dB ; passe-bas wp <wa, passe-haut wp > wa ; pour passe-bande et
coupe- bande, wp et wa contiennent deux valeurs spéciﬁant les limites respectives des bandes passantes et atténuées
[N, ωn ]=buttord(wp,wa,Rp,Ra,’s’)
N : ordre minimal du ﬁltre pour un gabarit donné
ωn : pulsation de coupure à −3 dB
ωp , ωa : voir les gabarits 5, 6, 7
dans le cas des passe/coupe bande, ωp et ωn est une liste de 2 valeurs donnant
les limites de bande
Rp : atténuation bande Passante
Ra : atténuation bande Atténuée
2.1.2. Pôles de la fonction de transfert. Ici on souhaite, à partir des pôles du gain du ﬁltre de Butterworth, obtenir les
pôles de sa fonction de transfert
ordre du ﬁltre = n
s
{
n
3·n
n pair =⇒ k(\=(pk ) ≤ 0) ∈
+ 1,
2
2
P = [p1 , · · · , p2·n ]
P (k) = pk
s
{
n+1 3·n+1
,
n impair =⇒ k(\=(pk ) ≤ 0) ∈
2
2
188
8. FILTRAGE
En eﬀet quelque soit l’ordre il y aura toujours 2 · n pôles répartis équitablement ( en nombre ) dans les demi-plan
complexes < > 0 et < ≤ 0.
On note P la liste qui va contenir tous les pôles, que l’on calcule avec la formule donnée par 177. Si on dresse la liste
des angles des pôles pour les premiers ordres on a :
π
π
n=1
3·
2
2
⋆
n=2
π
4
3·
π
4
5·
π
4
7·
π
4
5·
π
6
7·
π
6
9·
π
6
11 ·
π
6
7·
π
8
9·
π
8
11 ·
π
8
⋆
n=3
π
6
3·
π
6
⋆
n=4
π
8
3·
π
8
5·
π
8
13 ·
π
8
15 ·
π
8
⋆
Dans la table ci contre sont surlignés en bleu les pôles ayant une partie réelle négative. On remarque que les pôles
( de partie réelle négative ) sont répartis, pour chaque ordre, de façon symétrique par rapport au ”milieu” ( repéré par
⋆ ) de liste. Ces pôles sont au nombre de 2 · N. Ici est choisi arbitrairement comme indice de milieu :bn/2c ( mais
dn/2e était également possible ). On remarque :
• lorsque n est pair, que N = n/2
• lorsque n est impair, N = (n + 1)/2
On sait donc qu’à partir de la liste des pôles de H 2 il va falloir un indice de référence qui est bn/2c, et, qu’il va falloir
prendre un nombre d’éléments de la liste de part et d’autre de ce milieu :
n pai r
=⇒
[p1 , · · · , pn−n/2 , · · · , pn , · · · , pn+n/2 , · · · , p2·n ]
n i mpai r
=⇒
[p1 , · · · , pn−(n+1)/2 , · · · , pn , · · · , pn+(n+1)/2 , · · · , p2·n ]
(314)
D’où les relations annoncées.
Cette fonction permet donc d’obtenir l’ordre du ﬁltre nécessaire pour répondre à un cahier des charges. Cependant si l’on
souhaite pour un même ordre une coupure plus raide, on peut utiliser les autres ﬁltres et en calculer les coeﬃcients des
polynômes à l’aide des fonctions des sous-sections suivantes.
2. SYNTHÈSE DE FILTRES DE ...
189
2.2. ...Chebychev. Ci contre un code permettant de donner les coeﬃcients des polynômes de Chebychev en exploitant
directement la formulation explicite. Par exemple appeler Coef chebi chev (4) va donner comme résultat pour le polynôme
1 − 8 · X2 + 8 · X4 :
ans =
1 −8 8
Et appeler Coef chebi chev (5) donne pour le polynôme 5 · X − 2o · X 3 + 16 · X 5 :
ans =
5 − 20 16
function CC=CoeﬀChebichev(n)
if n==0||n==1
CC= 1 ;
else
CC=zeros(1,ﬂoor(n/2)) ;
for k=0 :ﬂoor(n/2)
CC(k+1)=(n/2)*((-1)**k)*(2**(n-2*k))*factorial(n-k-1)/(factorial(n-2*k)*factorial(k)) ;
endfor
CC=ﬂiplr(CC) ;
endif
endfunction
2.3. ...Bessel-Thomson-Kiyasu. Ci contre un code permettant de donner les coeﬃcients des polynômes de
Bessel-Thomson-Kiyasu en exploitant directement la formulation explicite. Par exemple appeler Coef f Bessel(2) va donner
comme résultat pour le polynôme 3 + 3 · X + X 2 :
ans =
3 3 1
Et appeler Coef f Bessel(3) donne pour le polynôme 15 + 15 · X + 6 · X 2 + X 3 :
ans =
15 15 6 1
function CB=CoeﬀBessel(n)
CB=zeros(1,n) ;
for k=0 :n
CB(k+1)=nchoosek(n,k)*factorial(2*n-k)/(factorial(n)*2**(n-k)) ;
endfor
endfunction
190
8. FILTRAGE
2.4. ...Legendre. Ci contre un code permettant de donner les coeﬃcients des polynômes de Legendre en exploitant
directement la formulation explicite. Par exemple appeler Coef f Legendr e(2) va donner comme résultat pour le polynôme
−1/2 + 3/2 · X 2 :
ans =
−o.5oo 1.5oo
Et appeler Coef f Legendr e(3) donne pour le polynôme −3/2 · X + 5/2 · X 3 :
ans =
−1.5oo 2.5oo
function CL=CoeﬀLegendre(n)
if n==0||n==1
CL= 1 ;
else
CL=zeros(1,ﬂoor(n/2)) ;
for k=0 :ﬂoor(n/2)
CL(k+1)=1/(2**n)*(-1)**k*nchoosek(n,k)*nchoosek(2*n-2*k,n) ;
endfor
CL=ﬂiplr(CL) ;
endif
endfunction
Chapitre 9
Bibliographie
Lois usuelles
• Lois de Kircchhoﬀ : Électronique analogique
Ampliﬁcateur Linéaire Intégré
• Diagramme de l’oeil : Développement de photodiodes à avalanche pour la détection faible signal et grande vitesse
• Cours AOP : Une introduction à l’ampliﬁcateur opérationnel
• Cours d’électronique générale : Introduction à l’électronique
• • Électronique générale, H. CHUBERRE
Divers
• CNA R-2R : Conversion Analogique - Numérique
• Multiplexage : Le Multiplexage
Filtrage passif
• Mathématiques : Mathématiques pour l’ingénieur
• Filtrage : TP Filtrage Numérique
• • Électronique générale, H. CHUBERRE
Filtrage actif
• Cours électronique lycée Michelet : Filtres
• Cours AOP : Une introduction à l’ampliﬁcateur opérationnel
• Sallen-Key : Dimopoulos : Analog Electronic
• Électronique générale, H. CHUBERRE
Introduction à la microélectronique
• Transistors : Électronique IUT 1re année, 2eme édition, J. Duveau, M. Pasquinelli, M. Tholomier, Dunod
• Le Transistor bipolaire
• Microélectronique, H. CHUBERRE, ENSSAT, 2018
Oscillateurs
• VCO : PLL et Synthèse de Fréquence
• Oscillateurs électroniques : Oscillateurs Électroniques
• Oscillateurs électroniques : De l’art de faire gigoter les électrons
191
192
9. BIBLIOGRAPHIE
• Oscillateur quasi-sinusoïdal : PSI Montaigne
• Les Oscillateurs Analogiques : PSI Massena
• thèse :
Conception de circuit intégré pour les applications gravimétriques basées sur l’utilisation de résonateurs mécaniques arrangés en réseau
• stabilité BIBO
• Le ﬁltrage analogique : Conception de ﬁltres
• Les cours de Claude Giménès : Conception de ﬁltres
Implémentation MATLAB
• Mathworks
• Synthèse de ﬁltres, H. CHUBERRE, ENSSAT, 2018

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