Conversion électromécanique : Exercices sur Machines Synchrones

Feuille d’exercices : Conversion électromécanique
2020/2021
1 Machine synchrone simpliste
Un aimant cylindrique allongé peut tourner autour de l’axe ∆passant par son centre
et perpendiculaire à son moment magnétique ~µ. Il se trouve dans un champ magnétique,
uniforme, à chaque instant, de module Bconstant, normal à ∆, tournant autour de cet
axe à la vitesse angulaire constante ω0.
1. L’aimant étant immobile, quelle est la valeur moyenne du couple qui s’exerce sur lui ?
2. L’aimant étant maintenant lancé à la vitesse angulaire ω0, il s’établit un régime
permanent où les vecteurs ~µ et ~ Bfont entre eux un angle α(positif si ~µ est en retard
sur est en retard sur ~ B). Calculer le couple exercé sur l’aimant. Dans quel cas est-il
moteur ?
3. Dans le cas du fonctionnement moteur, le régime est stable si une petite augmenta-
tion du couple résistant entraîne une augmentation du couple moteur : dans quelles
conditions le régime moteur est-il stable ? Calculer les valeurs maximales du couple
et de la puissance.
Le régime stable étant établi, on introduit une variation temporelle du couple ré-
sistant qui se traduit par une augmentation de l’angle α; on abandonne alors le
moteur à lui-même, le couple résistant reprenant sa valeur initiale.
4. Déterminer la nature du mouvement ultérieur de l’aimant et l’expression de la période
des variations de l’angle αque l’on exprimera en fonction de µ, du moment d’inertie
Jde l’aimant et de la valeur initiale α0de α.
2 Couple électromagnétique d’une machine synchrone
Un moteur synchrone est constitué d’un rotor cylindrique en fer doux, d’un entrefer
d’épaisseur econstante, de volume Vet de rayon a, et d’un stator cylindrique en fer doux.
On place dans deux encoches opposées sur le stator, une spire parcourue par un courant
i(t).
On suppose que la perméabilité relative du fer est infinie dans le rotor et le stator et
que le vecteur excitation se met dans l’entrefer sous la forme :
~
H(M) = H(γ)~er
1

Figure 1 – Machine synchrone : une spire du stator
On note lla longueur des cylindres.
1. Déterminer le champ magnétique créé par une spire, en un point M de l’entrefer
(repéré par l’angle γ) en fonction de µ0,i1et e.
2. Expliquer qualitativement comment obtenir un champ magnétique dont la dépen-
dance angulaire est sinusoïdale dans l’entrefer en associant plusieurs spires décalées.
Pour simplifier les schémas par la suite, on ne représentera pas l’ensemble des spires
nécessaires pour créer un tel champ magnétique mais uniquement une spire. On le
met sous la forme : ~ Bs1 =Ksi1cos γ ~er. On pose i1=Ism cos ω t.
3. Sur le stator, on rajoute une deuxième spire dans un plan orthogonal à celui de la
première spire et alimenté par un courant d’intensité i2=Ism cos ω t −π
2. Justifier
l’existence d’un champ glissant statorique lorsque les deux phases sont alimentées en
quadrature.
Figure 2 – Machine synchrone : Une spire du rotor
Sur le rotor, on rajoute de la même façon des spires parcourues par un courant
d’intensité constante Ir.
4. Montrer que le champ magnétique créé par le rotor dans l’entrefer peut se mettre
sous la forme :
~
Br=Brm cos (γ−θ)~er
2

On note Ω = ˙ θla vitesse angulaire du rotor. On pose Brm =Krir
5. Justifier l’existence d’un champ glissant rotorique associé à la rotation du rotor.
6. Montrer que l’énergie magnétique totale s’écrit Em=Em1+Em2+Em3avec :
Em1=V
4µ0
B2
sm Em2=V
4µ0
B2
rm Em2=2V
4µ0
BsmBrm cos (θ−ωt)
On admet que le moment électromagnétique s’exerçant sur le rotor est Γ = ∂Em
∂θ i1,i2,ir.
7. Quelle est la condition de synchronisme entre le champ statorique et le champ roto-
rique afin d’obtenir un couple moyen non nul ?
On suppose cette condition vérifiée dans toute la suite de l’exercice. On pose alors
α=ωt −θle déphasage entre les deux champs glissants.
8. À quelle condition sur αa-t-on un couple moteur ?
9. Discuter qualitativement la stabilité du système en fonction de α.
10. Quelle difficulté a-t-on au démarrage d’un moteur synchrone ? Décrire qualitative-
ment le principe de l’autopilotage.
3 Bilan de puissance d’une machine synchrone
Un moteur synchrone est constitué d’un rotor cylindrique en fer doux, d’un entrefer e
constant (de volume V, de rayon a) et d’un stator cylindrique en fer doux. On dispose sur
le stator des spires parcourues par un courant :
i1=Ism cos ωt et i2=Ism cos ωt −π
2
Le champ magnétique créé par le stator au point M de l’entrefer (figure 3) repéré par
l’angle γest :
~
Bs=Bsm cos (γ−ωt)~eravec Bsm =KsIsm
On dispose sur le rotor des spires parcourues par un courant constant Ir. Le champ
magnétique créé par le rotor au point M est :
~
Br=Brm cos (γ−θ)~eravec Brm =KrIr
On note ˙ θ=dθ
dtla vitesse angulaire du rotor. On suppose que la condition de synchro-
nisme du moteur est vérifiée et on pose α=ωt −θ.
1. Écrire l’énergie magnétique sous la forme :
Em(t) = 1
2L1i2
1+1
2L2i2
2+1
2Lri2
r+M1Iri1+M2Iri2+M0i1i2
3

Figure 3 – Bilan de puissance d’une machine synchrone
Interpréter chacun des termes de cette somme.
On pose M0=V
2µ0KsKr.
2. En déduire l’expression des inductances propres et mutuelles en fonction de V,µ0,
Ks,Kr,M0et θ.
On appelle u1,u2et ur, les tensions extérieures appliquées aux phases du stator et du
rotor en convention récepteur. Les résistances des enroulements du stator et du rotor
sont notées Rset Rr. On pose Φ1=L1i1+M0i2+M1iret Φ2=L2i2+M0i1+M2ir.
3. Que représentent Φ1et Φ2?
4. Définir les forces électromotrices et contre électromotrices des phases du stator et du
rotor.
5. Écrire les équations électriques vérifiées par les phases du stator et par le rotor en
faisant intervenir les fcem, les résistances des enroulements et les inductances propres.
6. Pourquoi appelle-t-on le rotor l’inducteur et les phases du stator l’induit ?
7. Montrer que la puissance électrique absorbée par la fcem est égale à la puissance
mécanique fournie. Comment s’écrit le bilan de puissance ?
4 Alternateur connecté à un réseau de distribution
Un alternateur est une machine synchrone utilisée en générateur. Chaque phase de l’in-
duit est connecté au réseau de distribution afin de fournir une certaine puissance électrique.
On peut modéliser le comportement électrique d’une phase par le schéma équivalent de la
figure 4 où eest la force électromotrice induite par la rotation de l’inducteur.
L’alternateur étant interconnecté à un réseau de distribution de grande dimension et
comportant d’autres éléments de production, la tension u(t)est fixée et servira de référence
4

◦
e
R
L
i
◦
u
Figure 4 – Schéma équivalent à une phase de l’alternateur
de phase :
u(t) = Ueff√2 cos(ωt)
L’intensité du courant électrique circulant dans la phase, indéterminée à ce stade, est notée :
i(t) = Ieff√2 cos(ωt −ϕ)
où ϕest le déphasage de u(t)par rapport à i(t). La f.e.m. induite peut être réglée par le
courant continu d’excitation, d’intensité Ie, circulant dans l’inducteur. Elle est notée :
e(t) = Eeff√2 cos(ωt +δ)avec Eeff =KIe
où Kest constante liée à la géométrie de la machine. δs’appelle l’angle décalage interne.
1. Exprimer la puissance moyenne Pproduite par une phase de l’alternateur en fonction
de Ueff,Ieff et ϕ. À quelle condition cette puissance est-elle positive ?
2. À puissance fixée, pourquoi vaut-il mieux chercher à augmenter le facteur de puis-
sance cos ϕdans un système de transport de l’énergie électrique ?
3. D’une façon générale, on note X=Xeff√2 exp(jα)l’amplitude complexe associée à
la fonction sinusoïdale x(t) = Xeff√2 cos(ωt +α). Exprimer, en notation complexe,
la loi des mailles associée à une phase de l’induit.
4. Dans la suite on négligera la chute de tension à travers la résistance R. Sur un
diagramme de Fresnel, représenter les images de U,I,Eet jLωI dans le cas ϕ∈[0,π
2].
5. En négligeant les pertes, la puissance Pproduite par une phase de l’alternateur est
égale à la puissance mécanique fournie par la turbine entraînant le rotor, divisée par
le nombre de phases. À Pfixé, déterminer les lieux possibles de l’image de Edans
le plan de Fresnel pour différentes valeurs de Ie.
6. À Pfixé, pour une valeur initiale de Ieconduisant à ϕ∈[0,π
2], dans quels sens faut-il
modifier l’excitation Iepour relever le facteur de puissance ?
7. À Pfixée, déterminer l’intensité du courant d’excitation Ieet l’angle de décalage
interne δpour obtenir le facteur de puissance optimal ?
5