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Cours Théorie du signal: Généralités sur les signaux
Chapter · February 2016
DOI: 10.13140/RG.2.1.4495.7206
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Djilali Benyoucef
Hassiba Benbouali University of Chlef
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Théorie du signal
Chapitre 1 : Généralités sur les signaux
Dr. Djilali Benyoucef
1. Définition et classifications
La théorie du signal est une discipline indispensable de nos jours. Il a pour objet
l'élaboration ou l'interprétation des signaux porteurs d'informations. Son but est
donc de réussir à extraire un maximum d'information utile sur un signal perturbé par
du bruit (Un bruit correspond à tout phénomène perturbateur gênant la transmission
ou l'interprétation d'un signal) en s'appuyant sur les ressources de l'électronique et
de l'informatique. La notion de signal est très vaste. En physique, nous appelons
signal toute grandeur mesurable qui dépend d’autres quantités telles que l’espace, le
temps, la température, l’éclairement, etc. Autrement dit, Un signal est la
représentation physique de l'information, qu'il convoie de sa source à son
destinataire. La description mathématique des signaux est l'objectif de la théorie du
signal. Elle offre les moyens d'analyser, de concevoir et de caractériser des systèmes
de traitement de l'information. Généralement, un signal peut être modélisé par une
fonction d’une ou plusieurs variables. Cette représentation ne se résume pas toujours
en une expression mathématique compacte.
2. Signaux continus ou discrets
Une première classification des signaux repose sur les représentations du temps et
de l’amplitude. Temps et amplitude peuvent varier de manière continue ou décrire
des ensembles dénombrables de points, où nous pouvons distinguer quatre types de
signaux :
signaux analogiques : temps et amplitudes continus ;
signaux échantillonnés : temps discret et amplitude continue ;
signaux quantifiés : temps continu et amplitude discrète ;
signaux numériques : temps et amplitudes discrets.
La figure suivante illustre ces quatre types pour un même signal analogique initial
(fig.1.a) où le temps et amplitudes continus. Sur la figure 1.b le signal n'est défini
1
Théorie du signal
Chapitre 1 : Généralités sur les signaux
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qu’à des instants régulièrement espacés (signal échantillonné ; temps discret et
amplitude continue). Sur la figure 1.c le signal est quantifié en amplitude (les valeurs
de quantification sont représentées par les pointillés horizontaux), mais continu en
temps. La dernière représentation est le signal numérique où le signal est à la fois est
à la fois échantillonné et quantifié.
En première approximation les signaux analogiques correspondent au monde réel
alors que l’informatique ne sait traiter que des signaux numériques.
Figure 1 : Représentation des signaux continus et discrets
3. Signaux périodiques
Un signal s(t) est dit périodique s’il reprend la même valeur à des intervalles de
temps égaux : ∋ ℝ   ℝ ∴ ( ) = ( + ).
2
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L’intervalle de temps minimal nécessaire pour retrouver la même valeur du signal
est appelé période T. La fréquence f (f=1/T )est l’inverse de la période.
4. Signaux déterministes ou aléatoires
Un signal déterministe ne présente aucune incertitude, son évolution en fonction du
temps est parfaitement connue. Un tel signal ne peut que très rarement représenter
un signal réel. Les signaux réels présentent en effet très souvent des éléments
d’incertitude qui empêchent leur prédiction parfaite. Ce sont des signaux aléatoires.
4.1. Causalité
Considérons un signal dérivant d’un phénomène physique. La conséquence ne
pouvant précéder la cause, si ce phénomène physique débute à t = 0 (choix de
l’origine des temps) le signal doit être nul pour t < 0. Un signal est causal s’il est nul
pour t < 0. S’il est nul pour t >0 le signal est dit anti-causal.
4.2. Parité
Un signal s(t) est pair si s(t) = s(-t) ou impair si s(t) = -s(-t).
Tout signal réel s(t) est la somme d'un signal pair sp(t) et d'un signal impair si(t).
1
[ ( ) + (− )]
2
1
( ) = [ ( ) − (− )]
2
( )=
3
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Figure 2 : Représentation d'un signal pair (a) et un signal impair (b), sommes (c)
4.3. Transformations temporelles élémentaires
Les signaux peuvent subir de nombreuses transformations. Nous citons ici deux
transformations élémentaires qui agissent sur la variable temporelle. Nous pouvons
faire subir aux signaux des translations temporelles. Le signal s(t) retardé de τ s’écrit :
[ ( )] = ( − )
Figure 3 : Signal retardé par τ =2
L’échelle temporelle peut être dilatée ou contractée. Si le signal s(t) subit une
dilatation temporelle nous avons :
[ ( )] = (
)
4
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Figure 4 : Signal dilaté par α =0.5
5. Puissance et énergie
Toute transmission d'énergie est liée à un transfert d'énergie, de cette raison la
puissance et l'énergie jouent un rôle fondamental dans tous les processus réels.
Considérons une résistance R traversée par un courant i(t) et soumise à une
tension u(t). La puissance dissipée dans la résistance est donnée par la relation
suivante :
( ) = ( ). ( ) =
( )
i(t)
R
u(t)
Figure 5 : Résistance électrique en convention récepteur
La généralisation de ce résultat nous permet d'écrire la puissance et l'énergie de
n'importe quel signal.
5.1. Puissance instantanée d’un signal
Considérons un signal x(t), qui peut être complexe. On définit la puissance
instantanée de ce signal comme le module au carré du signal :
( )=| ( )|
5
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5.2. Puissance d’interaction
De manière générale, on définit la puissance d’interaction de deux signaux x(t) et
y(t) par :
( )= ( )
∗(
)
5.3. Puissance moyenne
Si x(t) est périodique, on définit la puissance moyenne sur une durée T par :
( )=
1
| ( )|
Si x(t) est non périodique, la puissance moyenne est obtenue à l'aide de l'intégral
suivant :
( ) = lim
1
→∞
| ( )|
6. Énergie d’un signal
L’énergie d’un signal est définie comme l’intégrale de la puissance sur une durée
finie ou infinie :
∞
| ( )|
=
∞
Les signaux à énergie finie possèdent une puissance moyenne nulle et une énergie
finie et les signaux à puissance moyenne finie possèdent une énergie infinie.
7. Signaux particuliers
Afin de simplifier les opérations ainsi que les formules, certains signaux
fréquemment rencontrés en théorie du signal disposent une modalisation propre.
7.1.Échelon unité
Le signal échelon unité, notée u(t), ou encore fonction de Heaviside, est défini par :
6
Théorie du signal
( )=
( )=
Chapitre 1 : Généralités sur les signaux
0
1
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<0
>0
Figure 6 : Fonction Échelon unité
7.2. Rampe
La rampe unitaire, notée r(t), est définie par :
( )=∫ ( )
= . ( )=
0
<0
>0
Figure 7 : Fonction Rampe
7.3. Fonction signe
La fonction signe est une fonction impaire définie comme suit :
( ) = − (− ) + ( ) =
−1
+1
<0
>0
7
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Chapitre 1 : Généralités sur les signaux
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Figure 8 : Fonction Signe
7.4. Fonction Porte ou Rectangulaire :
La fonction porte de largeur T, notée (t/T) ou rect(t/T), est définie par :
( / ) =
+
2
−
−
2
1
| |<
0
| |>
=
2
2
NB: Si T=1, la fonction est dite porte unité
Figure 9 : Fonction Rectangulaire
7.5. Fonction Triangulaire
La fonction triangle de largeur T, notée (t/T), est définie par :
( / ) =
1
[ ( + ) − 2 ( ) + ( − )] =
1−| / | | | <
0 | |>
8
Théorie du signal
Chapitre 1 : Généralités sur les signaux
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Figure 10 : Fonction Triangulaire
7.8. Sinus Cardinal
La fonction sinus cardinal joue un rôle très important en traitement de signal, où
elle intervient comme transformée de Fourier d’une fonction rectangle. Une fonction
rectangle permet de représenter par exemple des opérateurs idéaux de filtrage. Elle
notée sinc(t) et comme suit :
( / )=
(
∞
/ )
( )
/
=1
Figure 11 : Fonction sinus cardinal
7.6. Impulsion de Dirac
L’impulsion de Dirac, notée (t), correspond à une porte dont la largeur T tendrait
vers 0 et dont l'aire est égale à 1. Elle est également la dérivée généralisée de l’échelon
unité :
9
Théorie du signal
( ) = lim
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Chapitre 1 : Généralités sur les signaux
( / ) = lim
→
( / ) = lim
→
→
sinc( / ) =
( )
Figure 12 : Fonction Impulsion de Dirac
Lorsqu’une fonction f(t) présente une discontinuité a t = α, sa dérivée généralisée :
( )
=
( )
+[ (
)− (
)] ( − )
7.6.1 Propriétés de l'impulsion de Dirac
Intégrale
∞
∞
( )
∞
( ) ( )
=1;
∞
= (0) ;
∞
( ) ( −
)
= ( ); ( ) =
( )
∞
Produit
( ) ( ) = (0) ( )
( ) ( −
)= ( ) ( −
)
Identité
( )= ( )∗ ( )
Translation
( )∗ ( −
( −
)= ( −
)∗ ( −
)
)= ( −
−
)
Changement de l'échelle
( − ) =
1
| |
( − )
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Théorie du signal
Chapitre 1 : Généralités sur les signaux
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7.7. Peigne de Dirac
On appelle peigne de Dirac une succession périodique de l'impulsion de Dirac. La
suite appelée aussi fonction d'échantillonnage ou train d'impulsion
∞
 ( )=
( −
)
∞
Figure 13 : Peigne de Dirac
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Théorie du signal
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Chapitre 1 : Généralités sur les signaux
TD n : 01: Généralités sur les signaux
Exercice n : 01
1-Représenter les signaux suivant :
( + 1), ( − 1), 2 ( + 1), ( ) = ( + 3) − 2 ( ) + ( − 3)
2-Écrire ( ) = ∫
( )
, en fonction de l'échelon
3-Tracer y(t), puis calculer l'énergie de ce signal
Exercice n : 02
1- A l'aide des signaux usuels (échelon rampe, impulsion) reconstituer les signaux
suivant
2
x(t)
2
y(t)
1
1
1
2
t
1
2
3
t
2- Calculer l'énergie et la puissance moyenne de chaque signal, puis l'énergie et la
puissance de x(t)+y(t) et x(t).y(t)
3-Tracer x(2t), y(2t) puis x(2t+1), y(2t+1)
4- Trouver et représenter la dérivée de: x(t) et y(t)
Exercice n : 03
Calculer la valeur moyenne et la
puissance moyenne de s(t).
Déduire l'énergie de s(t)
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Théorie du signal
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Chapitre 1 : Généralités sur les signaux
Exercice n : 04
Donner l'expression des signaux suivant en fonction de u(t), (t) et (t)
y(t)
x(t)
1
1
2
t
t
z(t)
τ
h(t)
1
1
T
t
-1
-1
3
t
Exercice n : 05
Tracer le signal s(t) = 2r(t)−2r(t−2)−4u(t−3) puis y(t)=s'(t)
Calculer :
∞
∞
( ) ( − 1) ,
=
( − 1) ( )
=
∞
∞
∞
∞
( ) ( − 1) ,
=
∞
( ) [2( − 1)]
=
∞
Exercice n : 06
Soit s(t) un signal ni pair ni impair où :
0
<0
( )= − +1 0≤ ≤1
0
>1
1- Décomposer ce signal en deux signaux l'un est pair sp(t) et l'autre impair si(t)
2- Tracer les unes en dessous des autres les représentations graphiques de si(t), sp(t) et
s(t)
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