asservissement continu

Pr. BEN BRAIM
Table des matières
III. Analyse temporelle des systèmes LCI
1.
Analyse temporelle
2.
Calcul de la réponse temporelle d’un système
3.
Réponse temporelle d’un système de premier ordre
4.
Réponse temporelle d’un système de second ordre
5.
Les performances temporelles d’un système dynamique
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2
III. Analyse temporelle des systèmes LCI
1. Analyse temporelle
a. Signal Impulsionnel (Impulsion de Dirac)
Définition: soit f(t) une fonction continue en 0. Alors l’impulsion de Dirac est la distribution δ(t) telle que:
+∞
න
𝒇 𝒕 𝜹 𝒕 𝒅𝒕 = 𝒇(𝟎)
𝒈(𝒕)
−∞
Transformée de Laplace:
∆ 𝒑 =𝑳𝜹 𝒕
=𝟏
Approximation de l’impulsion de Dirac
𝟏
𝒂
𝜹 𝒕 = 𝐥𝐢𝐦 𝒈(𝒕)
𝒂→𝟎
𝜹 𝒕 =
∞ si 𝐭 = 𝟎
𝒂
𝟎 si 𝐭 ≠ 𝟎
𝒕
Réalisation physique: 𝑎 est suffisamment petite
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3
b. Signal Echelon
Définition: fonction échelon également appelée fonction de Heaviside (le nom de l’inventeur) est la
fonction 𝒖(𝒕) définie par:
𝒖 𝒕 =
𝟎 si 𝐭 < 𝟎
𝑬 si 𝐭 ≥ 𝟎
𝒖(𝒕)
𝑼 𝒑 =𝑳𝒖 𝒕
Transformée de Laplace
𝑬
=
𝒑
Réalisation physique: la fermeture de l’interrupteur K à 𝒕 = 𝟎
𝑬
K
𝒕
Source de
tension
continue
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e(t)
R
4
c. Signal rampe
Définition: signal (fonction) rampe est la fonction 𝒓(𝒕) définie par:
𝒓(𝒕)
𝒓 𝒕 =
𝟎 si 𝐭 < 𝟎
𝒂. 𝒕 si 𝐭 ≥ 𝟎
𝒂
𝟏
𝒕
Transformée de Laplace:
𝑹 𝒑 =𝑳𝒓 𝒕
𝒂
= 𝟐
𝒑
Réalisation physique: intégration du signal échelon
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5
2. Calcul de la réponse temporelle d’un système
Soit un SLCI de fonction de transfert H(p):
U(p)
H(p)
Y(p)
A. Méthode directe
Résolution de l’équation différentielle entrée-sortie:
𝒏
෍ 𝒂𝒊 𝒚
 Conditions initiales:
𝒎
𝒊
𝒕 = ෍ 𝒃𝒊 𝒖 𝒊 (𝒕)
𝒊=𝟎
𝑿 𝟎 ={𝒚
𝒊=𝟏
𝒏−𝟏
𝟎 ,…,𝒚
𝟏
𝟎 ,𝒚 𝟎 }
Mathématique
Solution de l’équation différentielle = Solution homogène + Solution particulière
Physiquement
Sortie = Régime libre (sans entrée, seul CI) + Régime forcé (avec entrée)
Le résolution se complique au-delà de 𝒏 > 𝟐 !!!!!
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6
B. Application de la transformée de Laplace
On utilise la transformée de Laplace et donc la fonction de transfert (FT) du système, si les
conditions initiales (CI) sont nulles est:
𝒀 𝒑 = 𝑯 𝒑 𝑼(𝒑)
 Transformée Laplace inverse:
𝒚(𝒕) = 𝑳−𝟏 [𝑯 𝒑 𝑼(𝒑)]
D’après le théorème de convolution, la réponse du système peut s’écrire sous la forme:
𝒕
𝒚 𝒕 = 𝐡 𝐭 ∗ 𝐮 𝐭 = න 𝒉 𝝉 𝒖 𝒕 − 𝝉 𝒅𝝉
𝟎
Produit de convolution
En pratique, on utilise la décomposition en éléments simples.
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7
C.
La réponse impulsionnelle
Définition: on appelle réponse impulsionnelle, la réponse y(t) obtenue par l’application d’une
impulsion de Dirac δ(t) à l’entrée du système:
y 𝒕 = 𝒉(𝒕)
𝟏 δ(𝒕)
𝒂
𝒂
Δ(p)
H(p)
𝒕
Y(p)
𝒕
𝒕
𝒚 𝒕 = 𝐡 𝐭 ∗ 𝛅 𝐭 = න 𝒉 𝝉 𝜹 𝒕 − 𝝉 𝒅𝝉 = 𝒉(𝒕)
𝟎
aussi
𝒚 𝒕 = 𝑳−𝟏 𝑯 𝒑 ∆ 𝒑
= 𝑳−𝟏 𝑯 𝒑
= 𝒉(𝒕)
Remarque:
 La réponse impulsionnelle d’un système est équivalente à sa fonction de transfert
𝒚 𝒕 =𝐡 𝐭
 Faible intérêt pratique.
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D. La réponse indicielle
Définition: on appelle réponse indicielle, la réponse y(t) obtenue par l’application d’un signal
échelon u(t) à l’entrée du système:
y 𝒕 = 𝒉 𝒕 ∗ 𝒖(𝒕)
𝒖(𝒕)
𝑬
U(p)
Y(p)
H(p)
𝒕
𝒕
𝒕
𝒕
𝒚 𝒕 = 𝐡 𝐭 ∗ 𝒖 𝐭 = න 𝒉 𝝉 𝒖 𝒕 − 𝝉 𝒅𝝉 = න 𝒉 𝝉 𝒅𝝉
𝟎
aussi
𝒚 𝒕 =𝑳
−𝟏
𝟎
𝑯 𝒑 𝑼 𝒑
−𝟏
=𝑳
𝑯 𝒑
𝒑
Remarque:
Intérêt pratique: caractérisation (identification: fonction de transfert) du système.
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E.
Exemple: circuit RLC
𝒗𝒆 𝒕 = 𝒗𝑹 𝒕 + 𝒗𝑳 𝒕 + 𝒗𝑺 𝒕 et 𝒊 𝒕 = 𝑪
𝒅
𝒗
𝒅𝒕 𝑺
R
𝒕
Equation différentielle entrée-sortie:
ve(t)
𝒅𝟐
𝒅
𝒗𝒆 𝒕 = 𝑹𝑪 𝒗𝑺 𝒕 + 𝑳𝑪 𝟐 𝒗𝑺 𝒕 + 𝒗𝑺 𝒕
𝒅𝒕
𝒅𝒕
𝒅𝟐
𝒅
𝒗𝒆 𝒕 = 𝑳𝑪 𝟐 𝒗𝑺 𝒕 + 𝑹𝑪 𝒗𝑺 𝒕 + 𝒗𝑺 𝒕
TL
𝒅𝒕
𝒅𝒕
𝑽𝒔 𝒑 =
𝟏
𝑽
(𝑳𝑪𝒑𝟐 + 𝑹𝑪𝒑 + 𝟏) 𝒆
FT
H 𝒑 =
𝑽𝒔 𝒑
𝑽𝒆 𝒑
𝑵(𝒑)
𝑫(𝒑)
On fixe une entrée (exemple: ve(t)=5V, donc Ve(p)=5/p)
𝑽𝒔 𝒑 =
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i(t)
C
vs(t)
𝑽𝒆 𝒑 = 𝑳𝑪𝒑𝟐 𝑽𝑺 𝒑 + 𝑹𝑪𝒑𝑽𝑺 𝒑 + 𝑽𝑺 𝒑
H 𝒑 =
Pour: R=20Ω, C=0,1F, L=10H, alors:
L
=
=
𝑵(𝒑)
𝑫(𝒑)
=
𝟏
𝑳𝑪𝒑𝟐 +𝑹𝑪𝒑+𝟏
𝟏
𝒑𝟐 +𝟐𝒑+𝟏
𝟓
𝒑(𝒑𝟐 + 𝟐𝒑 + 𝟏)
10
𝟓
𝟓
𝑨𝟏
𝑨𝟐
𝑨𝟑
𝑽𝒔 𝒑 =
=
=
+
+
𝟐
𝟐
𝟐
𝒑(𝒑 + 𝟐𝒑 + 𝟏) 𝒑(𝒑 + 𝟏)
𝒑 (𝒑 + 𝟏)
𝒑+𝟏
Utilisation
de la table
de Laplace
0 est un pôle simple
-1 est un pôle multiple
𝟓
𝟓
𝟓
𝟓
𝑽𝒔 𝒑 =
= −
−
𝟐
𝟐
𝒑(𝒑 + 𝟏)
𝒑 (𝒑 + 𝟏)
𝒑+𝟏
𝒗𝒔 𝒕 = 𝟓 − 𝟓𝒕𝒆−𝒕 − 𝟓𝒆−𝒕 = 𝟓 − 𝟓𝒆−𝒕 (𝒕 + 𝟏)
Régime permanent
Régime transitoire
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R=20Ω
𝒗𝒔 𝒕 = 𝟓 − 𝟓𝒆−𝒕 (𝒕 + 𝟏)
Apériodique
R=3Ω
𝒗𝒔 𝒕 =5 − 5 𝒆−0.15t ×
cos(t) + 0.15 sin(t)
Oscillation amortie
R=0Ω
𝒗𝒔 𝒕 = 𝟓 − 𝟓 𝒄𝒐𝒔(𝒕)
Non amortie
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Conclusion
La solution permanente (𝒗𝒔(∞) = 𝟓) ne dépend que de l’entrée et qu’elle est déterminée
aux pôles du signal d’entrée 𝒗𝒆 (𝒕).
La solution transitoire (générale) change en fonction de la résistance c.à.d. qu’elle dépend
de la nature physique du système et qu’elle est déterminée aux pôles du système (de sa
fonction de transfert).
D. Régime transitoire – Régime permanent
𝒏
u(t)
෍
𝒂𝒊 𝒚
𝒊
𝒎
𝒕 =෍
𝒊=𝟎
TL
𝒏
𝒀(𝒑) ෍
𝒂𝒊 𝒑𝒊 = 𝑼(𝒑) ෍
𝒊=𝟎
𝒎
𝒊=𝟎
𝒊=𝟎
𝒂𝒊 𝒑𝒊
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𝒃𝒊 𝒖
𝒊
y(t)
𝒕
𝒀 𝒑 = 𝑯 𝒑 𝑼(𝒑)
13
Le signal de la sortie d’un système peut encore se décomposer sous une autre forme
Réponse
=
Régime transitoire
+
𝒏+𝒓
𝒏
𝒚(𝒕)
𝒚(𝒕)
=
=
Exemple précédent: (cas: R=20)
෍
𝒚𝒊 𝒕
+
Dépend de signal d’entrée
෍
𝒚𝒊 𝒕
𝒊=𝟎
𝒊=𝒏+𝟏
Pôles de H(p)
Pôles de U(p)
𝒚𝒕𝒓 𝒕
+
𝟓
𝒀 𝒑 = 𝑽𝒔 𝒑 =
𝒑(𝒑𝟐 + 𝟐𝒑 + 𝟏)
𝒚𝒑𝒎 𝒕
𝟏
𝑯 𝒑 = 𝟐
(𝒑 + 𝟐𝒑 + 𝟏)
avec
𝟓
𝑼 𝒑 = 𝑽𝒆 𝒑 =
𝒑
𝒚 𝒕 = 𝟓 − 𝟓𝒆−𝒕 (𝒕 + 𝟏)
𝒚𝒑𝒎 𝒕
Régime permanent
𝒚𝒕𝒓 𝒕
Dépend du système
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14
Régime transitoire
𝒂𝒏 𝒑𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏 𝒑𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒂𝟎 𝒑𝟎 = 𝟎
Equation caractéristique:
Chaque racine réelle 𝒑𝒊 de multiplicité 𝒌𝒊 donne une réponse :
𝒌𝒊
𝒚𝒊 𝒕 = ෍ 𝑨𝒋 𝒕𝒋−𝟏 𝒆𝒑𝒊 𝒕
𝒋=𝟏
Chaque paire complexe conjuguée (𝒑𝒊 , 𝒑ഥ𝒊 ) donne une réponse
𝒚𝒊 𝒕 = 𝝀𝒊𝒋 𝒆𝜶𝒊 𝒄𝒐𝒔 𝜷𝒊 𝒕 + 𝝁𝒊𝒋 𝒆𝜶𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝜷𝒊 𝒕
Chaque paire complexe conjuguée (𝒑𝒊 , 𝒑ഥ𝒊 ) de multiplicité 𝒌𝒊 donne une réponse
𝒌𝒊
𝒚𝒊 𝒕 = ෍ 𝝀𝒊𝒋 𝒕𝒋−𝟏 𝒆𝜶𝒊 𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝜷𝒊 𝒕 + 𝝁𝒊𝒋 𝒕𝒋−𝟏 𝒆𝜶𝒊𝒕 𝒔𝒊𝒏 𝜷𝒊 𝒕
𝒋=𝟏
Avec
𝜶𝒊 = 𝑹𝒆(𝒑𝒊 ) ;
𝜷𝒊 = 𝑰𝒎(𝒑𝒊 )
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15
3. Réponse temporelle d’un système de premier ordre
a. Définition: un système du premier ordre est un système décrit par l’équation différentielle suivante:
𝒂𝟏
𝒅
𝒚 𝒕 + 𝒂𝟎 𝒚 𝒕 = 𝒃𝟎 𝒖(𝒕)
𝒅𝒕
(Principe de causalité : 𝒏 ≥ 𝒎)
b. Fonction de transfert:
𝒀(𝒑)
𝒃𝟎
𝑯 𝒑 =
=
𝑼(𝒑) 𝒂𝟏 𝒑 + 𝒂𝟎
c. Forme canonique:
𝑲
𝑯 𝒑 =
𝑻𝒑 + 𝟏
d. Réponse transitoire:
𝒂𝟏
𝑻=
𝒂𝟎
𝒃𝟎
𝑲=
𝒂𝟎
𝒚𝒕𝒓 𝒕 = 𝝀𝒆 −𝒕/𝑻
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La constante de temps
Le gain statique
𝟏
Le pôle de 𝑯(𝒑): 𝒑𝟏 = −
𝑻
16
R
Exemple: Circuit RC
𝒆 𝒕 = 𝑹𝑪
𝑽𝒔(𝒑)
𝟏
𝑯 𝒑 =
=
𝑬(𝒑)
(𝟏 + 𝑻𝒑)
𝒅
𝒗𝒔 𝒕 + 𝒗𝒔(𝒕)
𝒅𝒕
𝑻 = 𝝉 = 𝑹𝑪;
e(t)
vs(t)
C
𝑲=𝟏
e. Réponse indicielle:
𝒖 𝒕 =𝟏
Y 𝒑 =
𝟏
𝑲
𝒑 𝟏+𝑻𝒑
U 𝒑 =
=
𝑲
𝟏
𝑻 𝒑(𝒑+𝟏)
𝑻
𝟏
𝒑
𝟏
𝒑
= 𝐾( −
𝟏
𝟏
𝒑+𝑻
)
𝒚 𝒕 = 𝑲(𝟏 − 𝒆 −𝒕/𝑻 )
∞
𝒚(∞)= 𝑲 𝟏 − 𝒆 − ∞/𝑻 = 𝑲
Régime transitoire
Régime permanent
𝒚(𝑻)= 𝑲 𝟏 − 𝒆 −𝑻/𝑻 = 𝟎. 𝟔𝟑𝑲
𝒚(𝟑𝑻)= 𝑲 𝟏 − 𝒆 −𝟑𝑻/𝑻 = 𝟎. 𝟗𝟓𝑲
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17
 La réponse temporelle attient 63% de sa valeur finale à t=T et se
stabilise après 3T.
 Les propriétés dynamiques sont caractérisées principalement
par la constante de temps T.
f.
Réponse Impulsionnelle:
𝑲 −𝒕/𝑻
𝒚 𝒕 = 𝒆
;
𝑻
U 𝒑 =𝟏
𝒕≥𝟎
g. Réponse à une rampe unitaire:
U 𝒑 = 𝑹(𝒑) =
𝟏
𝒑𝟐
𝒚 𝒕 =𝑲 𝒕−𝑻+
𝒕
−𝑻
𝑻𝒆
𝒕≥𝟎
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4. Réponse temporelle d’un système de second ordre
a. Définition: un système du second ordre est un système décrit par l’équation différentielle suivante:
𝒅𝟐
𝒅
𝒂𝟐 𝟐 𝒚 𝒕 + 𝒂𝟏 𝒚 𝒕 + 𝒂𝟎 𝒚 𝒕 = 𝒃𝟎 𝒖(𝒕)
𝒅𝒕
𝒅𝒕
b. Fonction de transfert:
𝑯 𝒑 =
c. Forme canonique:
𝑯 𝒑 =
𝑲𝝎𝟐𝒏
𝒑𝟐 + 𝟐𝝃𝝎𝒏 𝒑 + 𝝎𝟐𝒏
𝒀(𝒑)
𝒃𝟎
=
𝑼(𝒑) 𝒂𝟏 𝒑𝟐 + 𝒂𝟏 𝒑 + 𝒂𝟎
𝝎𝒏 =
𝑲=
𝝃=
𝒃𝟎
𝒂𝟎
𝒂𝟏
𝒂𝟎
La constante de temps
Le gain statique
𝒂𝟏
𝟐 𝒂𝟎 𝒂𝟐
d. Exemple: Circuit RLC (voir la partie 2.E. page 10)
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19
e. Réponse Indicielle:
𝒚 𝒕 = 𝑳−𝟏 𝑯 𝒑 𝑼 𝒑
𝑲𝝎𝟐𝒏
𝑯 𝒑 = 𝟐
𝒑 + 𝟐𝝃𝝎𝒏 𝒑 + 𝝎𝟐𝒏
= 𝑳−𝟏
𝑯 𝒑
𝒑
Rappelons que
𝟏
𝑲𝝎𝟐𝒏
𝒀 𝒑 =
𝒑 (𝒑𝟐 + 𝟐𝝃𝝎𝒏 𝒑 + 𝝎𝟐𝒏 )
𝑼(𝒑) = 𝟏/𝒑
𝒑𝟏
3 pôles
𝒑𝟐
𝒑𝟑 = 𝟎
Afin de déterminer la nature des pôles associés à ce système du second ordre, on étudie son équation
caractéristique:
 Polynôme caractéristique
𝒑𝟐 + 𝟐𝝃𝝎𝒏 𝒑 + 𝝎𝟐𝒏 = 𝟎
 Discriminant
𝚫′ = 𝝃𝟐 − 𝟏 𝝎𝟐𝒏
La forme de la réponse indicielle y(t) dépend des racines du polynôme caractéristique et donc de la
valeur de 𝝃. Il existe donc 3 cas à étudier
Pr. BEN BRAIM
20
 1er Cas 𝝃 = 𝟏: (𝚫′ = 𝟎)
𝒑𝟏 = 𝒑𝟐 = −𝝎𝒏
(Pôle double: réel et négatif)
Si l’on pose 𝝎𝒏 = 𝟏/𝐓, la fonction de transfert s’écrit alors:
Et
𝒀 𝒑 =
𝑯(𝒑)
𝟏
𝝎𝒏
=𝑲
−
𝒑
𝑷
𝒑 + 𝝎𝒏
−
𝟐
𝑲𝝎𝟐𝒏
𝑲
𝑯 𝒑 =
=
𝟐
(𝒑 + 𝝎𝒏 )
(𝑻𝒑 + 𝟏)𝟐
𝟏
𝒑 + 𝝎𝒏
La réponse indicielle du système est donnée par :
𝒚 𝒕 = 𝑲 𝟏 − (𝟏 + 𝝎𝒏 𝒕)𝒆 −𝝎𝒏 𝒕
Ou
𝒚 𝒕 =𝑲
𝒕 −𝒕/𝑻
𝟏 − (𝟏 + )𝒆
𝑻
Le système a un pôle réelle double. On dit qu’il est amortissement critique
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21
 2er Cas 𝝃 > 𝟏: (𝚫′ > 𝟎)
𝒑𝟏,𝟐 = −𝝃 ± 𝝃𝟐 − 𝟏 𝝎𝒏
(2 pôles réels distincts)
En posant 𝒑𝟏,𝟐 = −1/𝑻𝟏,𝟐 , avec 𝑻𝟏 et 𝑻𝟐 sont appelés constantes du temps
La fonction de transfert s’écrit alors,
𝑲𝝎𝟐𝒏
𝑲
𝑯 𝒑 =
=
(𝒑 − 𝒑𝟏 )(𝒑 − 𝒑𝟐 ) (𝑻𝟏 𝒑 + 𝟏)(𝑻𝟐 𝒑 + 𝟏)
La FT peut être décomposée en 2 éléments du 1er ordre:
𝑯(𝒑)
𝟏
𝟏
𝑻𝟐𝟏
𝑻𝟐𝟐
𝒀 𝒑 =
=𝑲
+
−
𝒑
𝑷 𝑻𝟐 − 𝑻𝟏 𝑻𝟏 𝒑 + 𝟏 𝑻𝟐 𝒑 + 𝟏
La réponse indicielle du système est donnée par :
𝒚 𝒕 =𝑲
𝟏
𝟏+
𝑻𝟏 𝒆−𝒕/𝑻𝟏 − 𝑻𝟐 𝒆−𝒕/𝑻𝟐
𝑻𝟐 − 𝑻𝟏
Le système a deux pôles réelles. On dit qu’il est hyper-amorti ou apériodique.
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22
 3er Cas 𝝃 < 𝟏: (𝚫′ < 𝟎)
(2 pôles complexes)
𝒑𝟏,𝟐 = −𝝃 ± 𝒋 𝟏 − 𝝃𝟐 𝝎𝒏
En posant 𝝎𝒑 = 𝝎𝒏 𝟏 − 𝝃𝟐 et 𝑻 = 1/(𝝃𝝎𝒏 ) = 𝟏/𝝈, alors, 𝒑𝟏,𝟐 = −𝟏/𝑻 ± 𝒋𝝎𝒑
𝝎𝒑 et 𝑻 sont dites respectivement pulsation propre et constante du temps
𝑲𝝎𝟐𝒏
𝑯 𝒑 =
𝒑 + 𝟏/𝑻 𝟐 + 𝝎𝟐𝒑
La FT s’écrit alors:
Par conséquent:
ഥ
𝑯(𝒑)
𝟏
𝑨
𝑨
𝟐
𝒀 𝒑 =
= 𝑲𝝎𝒏
+
+
𝟏
𝟏
𝒑
𝝎𝟐𝒏 𝒑
𝒑+
− 𝒋𝝎𝒑
𝒑+
+ 𝒋𝝎𝒑
𝑻
𝑻
D’où
𝒀 𝒑 =𝑲
avec
𝑨=
𝟐𝒋𝝎𝒑
𝟏
𝟏
− + 𝒋𝝎𝒑
𝑻
𝟏 𝟏/𝑻 + (𝒑 + 𝟏/𝑻)
−
𝒑
𝒑 + 𝟏/𝑻 𝟐 + 𝝎𝟐𝒑
Pr. BEN BRAIM
23
La réponse indicielle du système est donnée par:
𝒚 𝒕 =𝒌 𝟏−𝒆
=𝒌 𝟏−
avec 𝒄𝒐𝒔 𝝍 = 𝝃, et 𝒔𝒊𝒏 𝝍 =
−𝒕/𝑻
𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒑 𝒕 +
𝒕
−
𝒆 𝑻
𝟏
− 𝝃𝟐
𝝃
𝟏−
𝝃𝟐
𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒑 𝒕
𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒑 𝒕 + 𝝍)
𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝝍 =
𝟏 − 𝝃𝟐
Rappel
𝒔𝒊𝒏 𝒂 + 𝒃 = 𝒔𝒊𝒏 𝒂 𝒄𝒐𝒔 𝒃 + 𝒔𝒊𝒏 𝒃 𝒄𝒐𝒔 𝒂
La réponse transitoire est alors donnée par l’oscillation de pseudo-période 𝟐𝝅/𝝎𝒑 amortie par une
exponentielle de constante de temps T.
Les pôles sont complexes conjugués et l’on dit que le système est sous-amorti ou oscillatoire amorti.
Pr. BEN BRAIM
24
𝐴𝑥𝑒 𝐼𝑚
𝒑𝟏,𝟐 = −𝝃𝝎𝒏 ± 𝒋 𝟏 − 𝝃𝟐 𝝎𝒏 = −𝟏/𝑻 ± 𝒋𝝎𝒑
(𝑻 = 𝟏/𝝈)
𝒑𝟏,𝟐 = −𝝈 ± 𝒋𝝎𝒑
𝝎𝒑 = 𝝎𝒏 𝟏 − 𝝃𝟐
𝒑𝟏
𝝍
𝐴𝑥𝑒 𝑅𝑒
−𝝃 = 𝒄𝒐𝒔 𝝍
−𝝈 = −𝝃𝝎𝒏 = −𝝎𝒏 𝒄𝒐𝒔 𝝍
𝒑𝟐
𝝎𝒏
−𝝎𝒑 = −𝝎𝒏 𝟏 − 𝝃𝟐
Les pôles du système dans le plan complexe
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25
Réponses indicielles d’un système du second ordre pour différentes valeurs du coefficient d’amortissement 𝝃
Pr. BEN BRAIM
26
5. Les performances temporelles d’un système dynamique
Les performances temporelles d’un système sont définies à partir des caractéristiques de sa réponse
indicielle et peuvent être résumée en terme de rapidité et d’amortissement selon le régime de
fonctionnement du système.
La réponse indicielle
Régime apériodique
Régime pseudo-oscillatoire
Pr. BEN BRAIM
27
a. Temps de réponse tr
On appelle temps de réponse à e% noté 𝒕𝒆%
𝒓 , le temps mit par le système pour que sa sortie y(t) entre
dans la bande définie par l’intervalle 𝟏𝟎𝟎 − 𝒆 % 𝒚 ∞ ; 𝟏𝟎𝟎 + 𝒆 % 𝒚 ∞ .
Le temps de réponse le plus utilisé est le temps de réponse à 5%.
 Cas des systèmes de premier ordre
𝒕 𝟓%
𝒓 = 𝟑𝑻, avec 𝑻 est la constante du temps.
 Cas des systèmes de second ordre
Pas de loi simple pour déterminer le temps de réponse pour les système dont l’ordre 𝒏 >= 𝟐. On assimile en
pratique pour un système de second ordre:
• Deux pôles réels, associés à deux constantes de temps (𝑻𝟏 > 𝑻𝟐 )
𝒚 𝒕 = 𝜶 + 𝜷𝒆−𝒕/𝑻𝟏 + 𝜸𝒆−𝒕/𝑻𝟐

𝒕 𝟓%
𝒓 = 𝟑𝑻𝟏
(la constante du temps la plus grande).
• Deux pôles complexes : la réponse indicielle est comprise à l’intérieur d’une enveloppe exponentielle connue
𝒚 𝒕 =𝜶+
𝒕
−𝑻
𝜷𝒆 𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒑 𝒕
+ 𝝍)
𝒕 𝟓%
𝒓 = 𝟑𝑻 = 𝟑/𝝃𝝎𝒏
𝒕 𝟏%
𝒓 = 𝟒. 𝟔𝑻 = 𝟒. 𝟔/𝝃𝝎𝒏
Pr. BEN BRAIM
28
Pour les systèmes de second ordre oscillatoire amorti on défini aussi d’autre spécifications temporelles
 Rapidité: temps de montée (𝒕𝒎 ) et
temps de crête (𝒕𝒑 )
 Amortissement: dépassement maximal
et taux d’amortissement.
On suppose que le système est spécifié par la
paire (𝝎𝒏 , 𝝃). Sa réponse temporelle a l’allure cicontre:
b. Temps de montée 𝒕𝒎
On appelle temps de montée noté 𝒕𝒎 , l’instant où
la sortie atteint pour la première fois sa valeur
final 𝒚(∞)
𝒚 𝒕𝒎 = 𝑲 = 𝑲 𝟏 −
D’où
𝒕
− 𝒎
𝒆 𝑻
𝟏−
𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒑 𝒕𝒎 + 𝝍 = 𝟎
𝝃𝟐
𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒑 𝒕𝒎 + 𝝍
Soit
Pr. BEN BRAIM
𝝅 − 𝝍 𝝅 − 𝒄𝒐𝒔−𝟏 (𝝃)
𝒕𝒎 =
=
𝝎𝒑
𝝎𝒏 𝟏 − 𝝃𝟐
29
c. Temps de montée 𝒕𝒑
On appelle temps de crête noté 𝒕𝒑 , l’instant où la sortie atteint son premier maximum (1er dépassement)
 Les extremums de y(t) correspondent aux zéros de sa dérivée:
𝒅𝒚 𝒕
𝝃𝝎𝒏 𝒆−𝝃𝝎𝒏 𝒕
𝒆−𝝃𝝎𝒏 𝒕
=𝑲
𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒑 𝒕 + 𝝍 − 𝝎𝒑
𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒑 𝒕 + 𝝍
𝟐
𝟐
𝒅𝒕
𝟏−𝝃
𝟏−𝝃
𝝎𝒏 𝒆−𝝃𝝎𝒏 𝒕
=𝐊
𝝃𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒑 𝒕 + 𝝍 − 𝟏 − 𝝃𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒑 𝒕 + 𝝍
𝟏 − 𝝃𝟐
𝝎𝒏 𝒆−𝝃𝝎𝒏 𝒕
=𝐊
𝒄𝒐𝒔 𝝍 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒑 𝒕 + 𝝍 − 𝒔𝒊𝒏 𝝍 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒑 𝒕 + 𝝍
𝟐
𝟏−𝝃
𝝎𝒏 𝒆−𝝃𝝎𝒏 𝒕
=𝐊
𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒑 𝒕)
𝟐
𝟏−𝝃
𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒑 𝒕 + 𝝍 = 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒑 𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝝍 + 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒑 𝒕 𝒔𝒊𝒏 𝝍
avec
𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒑 𝒕 + 𝝍 = 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒑 𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝝍 − 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒑 𝒕 𝒔𝒊𝒏(𝝍)
Pr. BEN BRAIM
30
 La dérivée de la réponse indicielle en 0 s’écrit:
𝒅𝒚 𝒕
𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒑 𝒕) = 𝟎
=𝟎
𝒅𝒕
Le temps de crête est défini pour 𝒊 = 𝟏, d’où:
𝒊×𝝅
𝒕𝒊 =
𝝎𝒑
avec
𝒊 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, ⋯
𝒕>𝟎
𝝅
𝝅
𝒕𝒑 =
=
𝝎𝒑 𝝎𝒏 𝟏 − 𝝃𝟐
d. Dépassement
On appelle dépassement maximal noté 𝐃𝟏 , l’amplitude de premier dépassement sur la valeur finale
de la sortie.
𝒚 𝒕𝒑 − 𝒚(∞)
𝒆−𝝃𝝎𝒏𝒕𝒑
𝝃𝝅
𝑫𝟏 =
=−
𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒑 𝒕𝒑 + 𝝍 = 𝒆𝒙𝒑 −
𝟐
𝒚(∞)
𝟏−𝝃
𝟏 − 𝝃𝟐
𝑫𝟏 =
𝟓%
pour
𝝃 = 𝟎. 𝟕
𝟏𝟔%
pour
𝝃 = 𝟎. 𝟓
𝟑𝟓%
pour
𝝃 = 𝟎. 𝟑
et
𝑫𝒊 = − −𝑫𝟏
𝒊
Remarque: Les dépassements ne dépendent
que du facteur d’amortissement 𝝃
Pr. BEN BRAIM
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e. Remarques
 Pour un système de second ordre, on considère que le compromis optimal entre
l’amortissement et la rapidité est obtenu pour
𝟐
𝝃=
≈ 𝟎. 𝟕
𝟐
Le dépassement maximal est de 5% de la valeur finale:
𝑫𝟏 % = 𝟓%
𝒕𝟓%
𝒓 = 𝒕𝒑
 A partir du relevé de la réponse indicielle (dépassement maximal et temps de crête), on peut
retrouver par identification l’équation d’un système du deuxième ordre:
𝝃=
𝟏
𝝅𝟐
𝟏+ 𝟐
𝒍𝒏 (𝑫𝟏 )
et
𝝎𝒏 =
𝝅
𝒕𝒑 𝟏 −𝝃𝟐
 La pente à l’origine de la réponse indicielle du système de deuxième ordre est nulle quel que soit
le coefficient d’amortissement 𝝃.
 Dans le cas d’un système du second ordre comportant un zéro (une racine de N(p)). La pente à
l’origine est non nulle et son signe dépend du signe du zéro.
Fin de cours
Pr. BEN BRAIM
32