Dipôle RC ( bac scientifiques svt pc sm )

Dipôle RC
1-Le condensateur.
1-1-Définition :
Un condensateur est constitué de deux armatures A et B
+ conductrices séparées par un isolant.
+ A +
B
Nous admettrons qu'à chaque instant, les
+ armatures A et B portent des charges
qA qB
électriques opposées, de mêmes valeurs
Symbole du
absolues : qA = - qB .
condensateur
1-2-Charge électrique et intensité.
Par définition , l’intensité i du courant est le débit de charge
transportées, c’est à dire à la charge électrique transportée
par unité de temps : Donc
+ A
B
dqA (C) coulomb
(A) i(t) =
dt
qA q B
(s)
Algébrisation de l’intensité du courant :
dqA
☞ i(t) > 0 ⇒ dt > 0 ⇒ qA ↗ ⇒ le condensateur se charge
dqA
☞ i(t) < 0 ⇒ dt < 0 ⇒ qA ↘ ⇒ décharge du condensateur
1-3-La relation entre la tension uAB et la charge qA
I0
On réalise le montage ci-contre . On
A
.
A
I0
ferme l’interrupteur K. Et on mesure la
UAB V
tension uAB au bornes du condensateur
en fonction du temps. On obtient Une
.
B
K
fonction linéaire , donc : UAB = k.t ❶
générateur de courant
Et puisque I0=constante, donc
continu (I = cte)
0
dq
qA =I0 .t ❷
I0 = i = A
dt
❷
qA
I
qA =C.UAB
= 0 =C d'où
UAB k
❶
(V)
(C)
(F)
C représente la capacité du condensateur , son unité dans
S.I est le farad (F) .
uAB la tension au bornes du condensateur en (V) .
qA la charge du condensateur en (C) .
Les sous multiples du farad: 1mF =10-3 F
1nF =10-9 F
2-Association des condensateur
2-1-Association en parallèle
1μF =10 -6 F
1pF =10-12 F
.
A i
q Céq
.B
q1 C1
.
A i
UAB
UAB
.
B
q2 C2
Céq.UAB = C1.UAB + C2.UAB
Selon la loi des nœuds: q = q1+q2
D'où Céq = C1 + C2
n
On peut généraliser ce résultat pour un nombre
C éq =  Ci
n de condensateur branché en parallèle
i=1
Utilité de cette association :
Amplifier la capacité. On peut , sous une faible tension , obtenir
une très grande charge électrique que un condensateur seul ne
peut pas la fournir .
2-2-Association en série
UAB
q Céq
A i
B
i q1 C1 q2 C2
D
A
B
UAB
La branche AB est traversée par la même intensité du
courant i, c’est à dire q1 = q2 = q
On applique la loi d’additivité des tensions entre A et B :
.
.
.
.
.
q q1 q2
=
+
C C1 C2
1 1 1
= +
C C1 C2
n
1
1
On peut généraliser ce résultat pour un
=
nombre n de condensateur branché en série : C
i=1 C i
éq
Utilité de cette association :
On peut obtenir un capacité de faible valeur en appliquant une
haute tension que chaque condensateur ne peut pas la
supporter.
3-Réponse d’un dipôle RC à un échelon de tension:
Échelon de tension est un signal électrique u(t) . On distingue
deux types :
Échelon montant de tension Échelon descendant de tension
t < 0 ona : u(t)= E
t < 0 ona : u(t)= 0


t > 0 ona : u(t)= 0
t > 0 ona : u(t) = E
UAB = UAD + UDB

E
E u(t)
t
u(t)
t
0
0
3-1-Réponse à un échelon montant de tension (charge du
condensateur)
a-Équation différentielle vérifiée par la tension uC .
On considère le montage électrique
K
i>0
.
.
suivant :
uR R
A l’instant t0 = 0, on ferme
E
u
l’interrupteur K. La tension aux
A.
uC
bornes du dipôle RC
C
.
passe de 0 à E
B
y
D’après l’additivité des tensions on peut écrire : u=uC +uR =E
dC.uC
duC
dq
et d’après la loi d’Ohm on a: uR =R.i =R.
=R.
=RC.
dt
dt
dt
du
E =uC +RC C Équation différentielle
dt vérifiée par la tension uC

Remarque : Puisque
uC =
q
C
Donc
RC.
dq
+q= C.E
dt
b-Solution de l’équation différentielle :
On montre, que la solution de cette équation différentielle est :
uC(t) = Ae−mt +B , telle que A , B et m des constantes à
déterminer.
En portant cette solution dans l’équation différentielle,
On détermine la constante m et la constante B .
duC
E
=u
+RC
 C
E=(A.e-mt +B)+RC(-Ame-m.t )
dt
-mt
E = A.e
d’où 1-RCm=0
.1 -RCm  +B
1
et
m=
RC
B =E
t
donc la solution peut s’écrire
uC (t)= A.e RC +E
sous la forme suivante :
En considérant les conditions initiales à l’instant t = 0 on a
uC(0) = 0 on détermine A car uC(t) est une fonction continue à
chaque instant t . u (0)= A.e-0 +E =0
C

Donc la solution s’écrit : uC (t) =E 1 - e-t/

A = -E
avec τ = RC qu’on l’appelle la constante du temps du dipôle RC
c-Dimension de la constante de temps τ
[R]=[U].[I]-1
[τ]=[RC]=[R].[C] or
R=U/I ⇒
[C]=[I].[t]/[U]
C=q/u ⇒ [C]=[Q]/[U] ⇒
[τ]=[RC]=[U].[I]-1.[I].[t].[U]-1 ⇒ [τ]=[t]
τ=RC a la dimension d'une durée, est appelé constante de
temps du dipôle RC et s'exprime en seconde
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la courbe qui
représente uC = f(t)
La tangente
l’asymptote
régime
transitoire
régime
stationnaire
uC(t) (V)
E6
5
0,63.E 4
3
2
1
0 2 τ 6 8 10 12 14 16 18
d-Détermination de la constante du temps τ
t(s)
Première méthode :
On utilise la solution de l’équation différentielle :
uC(t=τ) = E(1−e−1) = 0,63E
τ est l’abscisse qui correspond à l’ordonnée 0,63E
Deuxième méthode :
La tangente à la courbe à t=0, coupe l’asymptote u=E
au point d’abscisse τ .
e-Expression de l’intensité du courant de charge i(t)


CE -t/τ
duC
dq
-t/τ
1
=
.e
= C.E. 0+ .e
i=
= C.
τ
RC
dt
dt
E -t/τ
i(t)= .e
R
E
R
i(t)
t(s)
0
3-2-Réponse à un échelon descendant de tension
Après la charge du condensateur, on
❶ K ❷
. .
bascule l’interrupteur à la position ❷ que
.
l’on considère comme origine des dates
i>0
uR
t=0, le condensateur se décharge dans
R
E
.
la résistance .
A
y
uC
C
a-Équation différentielle vérifiée par
.
B
la tension uC .
D’après la loi d’additivité des tensions, on a: u=uC +uR
et d’après la loi d’ohm : uR =R.i =R. dq =R. dC.uC =RC duC
dt
dt
dt
du
D'où 0 =uC +RC C 
dt
b-Solution de l’équation différentielle  :
u
La solution de l’équation différentielle est de la forme : :
uC(t) = Ae−mt +B , telle que A , B et m des constantes à
déterminer
En portant cette solution dans l’équation différentielle,
On détermine la constante m et la constante B .
duC
-mt
-m.t
0
=u
+RC

0
=(A.e
+B)+
RC
(-Ame
)
C
dt
-mt
0 = A.e
d’où 1-RCm=0
m=
.1 -RCm  +B
1
et
RC
B=0
t
donc la solution peut s’écrire
uC (t)= A.e RC
sous la forme suivante :
En considérant les conditions initiales à l’instant t = 0 on a
uC(0) = E on détermine A car uC(t) est une fonction continue à
chaque instant t . u (0)= A.e-0= E
C
Donc la solution s’écrit : uC (t)=E.e-t/
A =E
avec τ = RC est la constante du temps du dipôle RC
c-Détermination de la constante du temps τ
la courbe qui
représente uC = f(t)
E6
5
4
3
0,37.E
2
1
La tangente
régime
transitoire
régime
stationnaire
uC(t) (V)
0 2 τ 6 8 10 12 14 16 18
t(s)
Première méthode :
On utilise la solution de l’équation différentielle :
Pour t = τ, uC(t=τ) = E.e−1 ≈ 0,37.E
Deuxième méthode :
la tangente à la courbe à t = 0, coupe l’axe des abscisses
(asymptote u = 0) à t = τ .
d-l’influence de τ .
uC(t) (V)
uC(t) (V)
τ1<τ2
❷
❶
t(s)
❶
❷
t(s)
τ est grand , la charge ou la décharge se fait lentement et
inversement
e-Expression de l’intensité du courant de décharge .
E -t/τ
duC
dq
1 .e-t/τ = - CE .e-t/τ
avec
=
-C.E.
i(t)= - .e
= C.
i=
τ
τ =RC
RC
dt
dt
R
t(s)
0
i(t)
-E
R
4-l’énergie électrique emmagasinée dans le condensateur .
4-1-Étude expérimentale
❷
❶
On réalise le montage suivant :
i
K
On charge le condensateur en plaçant le
R
commutateur en position ❶ .On bascule
le commutateur en position ❷ , le moteur E
uC M
C
tourne et le condensateur se décharge .
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Au cours de la charge , un condensateur emmagasine de
l’énergie , qu’il restitue lors de la décharge .
4-2-L’énergie électrique emmagasinée dans le
condensateur
La puissance électrique fournie au condensateur : P =uC .i
duC
q
telle que i= C.
donc
i
dt
duC d  1
uC
P =uC .C. =  .C.u2C 
dt dt  2

1
dE e
et on sait que la puissance électriqueP =
d’où P = .C.u2C
2
dt
L’énergie électrique stockée par un condensateur est :
2
q
1
1
Ee = .C.u2C = . .
2
2 C
Ee s’exprime en joule (J) avec C en farad (F), uC en volt (V)
et q en coulomb (C) .
Applications :
Le condensateur est utilisé dans des générateurs de tension,
flash d’appareil photo, ordinateurs, etc…