FSAAGADIR MECANIQUE SOLIDE COURS Rachid MESRAR SMP/SMA https://sites.google.com/site/saborpcmath/ COURS DE SOUTIEN SMPC SMAI ENSAM ENSA FST Résumé des cours, corrigé des exercices et des examens, pour les étudiants niveau universitaire تصحيح المتحانات+ تمارين شاملة+ ملخص شامل للدروس PHYSIQUE : CHIMIE : MATH : INFORMATIQUE : Veuillez nous contacter : 06-38-14-88-74 par whatsapp :06-02-49-49-25 MECANIQUE DU SOLIDE INDEFORMABLE SM3-SMI3 Rachid MESRAR Professeur de l’enseignement supérieur Bureau 37 Département de physique Faculté des sciences Agadir email: [email protected] MECANIQUE DU SOLIDE INDEFORMABLE MECANICIENS CELEBRES I.Newton (1643-1727) Anglais C.Huygens (1629-1695) A.Einstein (1879-1955) Néerlandais Allemand 1 PROGRAMME CHAPITRE 1: LES TORSEURS CHAPITRE 2: CINEMATIQUE DU SOLIDE CHAPITRE 3: GEOMETRIE DES MASSES CHAPITRE 4: CINETIQUE CHAPITRE 5: DYNAMIQUE 2 A PROPOS DE CE COURS 1er support : cours polycopié A acheter (Chez Al maarifa) 2è support : cours diapositives Amphi Cours dispensé durant le semestre 3 Panoplie d’atouts pédagogiques mis à votre disposition 1- Mémogrammes 2- Applications pédagogiques 3- Dossiers didactiques 4- Anciens examens (Fin d’année) Site internet: https://sites.google.com/a/uiz.ac.ma/rachid-mesrar/ 4 CHAPITRE 1: LES TORSEURS « Le torseur est à la mécanique du solide ce que le vecteur est à la mécanique du point » 5 4 CHAPITRE 1: LES TORSEURS Objectifs pédagogiques Maîtriser l’atout torseur qui permet la modélisation de la mécanique du solide. Connaître les différentes propriétés du torseur. Savoir déterminer l’axe central d’un torseur analytiquement et géométriquement. 6 CHAPITRE 1: LES TORSEURS Notions abordées Champ de vecteurs (uniforme, centrale, antisymétrique, équiprojectif) Théorème de DELASSUS Torseur (définition, éléments de réduction,…etc.) Loi de transport des moments Opérations sur les torseurs (égalité, somme, produit, …etc.) 7 CHAPITRE 1: LES TORSEURS Notions abordées - Suite Invariants d’un torseur (invariant scalaire, invariant vectoriel) Axe central (équation vectorielle, représentation géométrique) Glisseur Couple Torseur nul 8 CHAPITRE 1: LES TORSEURS PLAN DU COURS 1- CHAMP VECTEURS 2- TORSEURS 3- OPERATIONS SUR LES TORSEURS 4- INVARIANTS D’UN TORSEUR 5- AXE CENTRAL 6- TORSEURS PARTICULIERS 9 1- CHAMP DE VECTEURS 10 1-1- DEFINITION r Un champ de vecteurs H (P) est une application de l’espace affine dans l’espace vectoriel euclidien: r H :Ea P Ev r H (P) 1-2- CHAMP UNIFORME r Un champ de vecteurs H (P ) est dit uniforme sur un domaine (D) si sa valeur est indépendante du point P appartenant à (D): r r H ( P) = H (Q), ∀P,Q∈( D) 11 1-3-CHAMP CENTRAL Un champ de vecteurs est dit central si il existe un point O tel que, quelque soit P, on a: r H (P) = λOP, λ ∈ IR 1-4- CHAMP ANTISYMETRIQUE Un champ r de vecteurs est antisymétrique, si il existe un vecteur R tel que, quelque soit P,Q, on a: r r r H(P) = H(Q) + R ∧QP Relation de Varignon Pierre Varignon (1654-1722) 12 1-5- CHAMP EQUIPROJECTIF Un champ de vecteurs est équiprojectif, si quelque soit P,Q, on a: r r H ( P).PQ = H (Q ).PQ 1-6- THEOREME DE DELASSUS Tout champ de vecteurs antisymétrique est équiprojectif et réciproquement. 13 Démonstration r r r H (Q ) = H ( P ) + R ∧ PQ r r r PQ.H (Q ) = PQ.H ( P ) + PQ.( R ∧ PQ ) 14 4244 3 Or 0 r r r PQ.( R ∧ PQ) = R.( PQ ∧ PQ) = 0 Ce qui donne r r PQ.H (Q ) = PQ.H ( P ) C.Q.F.D. 14 2- LES TORSEURS 15 [ 2-1- DEFINITION ] r r On appelle torseur et on note [T ] = R, H ( P) tout r champ de vecteurs pour lequel il existe un vecteur R tel que ∀ (P, Q) on a : r r r H ( P ) = H (Q ) + R ∧ QP Loi de transport des moments r R est appelée la résultante du torseur r H(P) est appelé le moment résultant du torseur en P . S’il y a une relation à retenir c’est bien la relation de Varignon car elle représente l’élément central de ce chapitre sur les torseurs 16 2-2- ELEMENTS DE REDUCTION Notation vectorielle : r R [T ] = r H (P ) P Notation analytique : X [T ] = Y Z P L M N ( xr , yr , zr ) Les coordonnées (X, Y, Z, L, M, N) sont appelées coordonnées scalaires ou coordonnées pluckériennes du torseur. 17 3- OPERATIONS SUR LES TORSEURS 18 Soient les deux torseurs suivants: r r et R1 [T1 ]= r H ( P) P 1 R2 [T2 ]= r H 2 ( P) P 3-1- EGALITE r r R1 = R2 2 torseurs [T1 ] et [T2 ] sont égaux ⇔ r r H1 ( P ) = H 2 ( P ) 3-2- SOMME r r r R = R1 + R2 [T ] = [T1 ] + [T2 ]= r r r H ( P) = H1 ( P) + H 2 ( P) P 19 3-3-PRODUIT OU COMOMENT Le comoment de deux torseurs est le scalaire défini par : r r r r R1 R2 r r [T1 ].[T2 ] = r . r = R1.H 2 ( P ) + R2 .H 1 ( P ) H1 ( P) H 2 ( P) Proposition Le comoment de deux torseurs est indépendant du choix du point P. 20 Démonstration En un point B, on a : r r r r R1. H 2 ( B ) + R2 .H1 ( B ) = r r r r r r R1.( H 2 ( A) + R2 ∧ AB ) + R2 .( H1 ( A) + R1 ∧ AB ) r r r r r r r r = R1.H 2 ( A) + R2 .H1 ( A) + R1.( R2 ∧ AB ) + R2 .( R1 ∧ AB ) Et enfin : r r r r r r r r R1.H 2 ( B ) + R2 .H1 ( B ) = R1. H 2 ( A) + R2 . H1 ( A) Car r r r r r r r r r R1.( R2 ∧ AB ) + R2 .( R1 ∧ AB ) = AB.( R1 ∧ R2 ) − AB.( R1 ∧ R2 ) = 0 C.Q.F.D. 21 3-4- MULTIPLICATION PAR UN SCALAIRE r r R = λ R1 [T ] = λ [T1 ]= r r H ( P ) = λH 1 ( P ) P 22 4- INVARIANTS D’UN TORSEUR 23 4-1- INVARIANT SCALAIRE OU AUTOMOMENT r r I s = R.H ( P) L’invariant scalaire est une grandeur indépendante du choix du point P. En effet : r r r r r R.H (Q ) = R.( H ( P ) + R ∧ PQ ) r r r r r r = R.H ( P ) + R.( R ∧ PQ ) = R.H ( P ) 142r 43 =0 C.Q.F.D. 24 4-2- INVARIANT VECTORIEL L’invariant vectoriel correspond au vecteur projection orthogonal du moment sur la résultante. r r Si R ≠ 0 S V 2 r I r I = r R R En effet : r r R Si on pose u = r R Or r r I S = R.H ( P ) D’où: r r r r r r R IV = ( H ( P ).u ).u = ( H ( P ). r ). R r IS r IV = r 2 R R r R r R 25 r r Si R = 0 r r IV = H (P ) En effet : r La résultante R étant nulle, on a pour tout autre point Q ∈ Ea : r r H ( P ) = H (Q ) On dit que r le champ antisymétrique associé au torseur H est uniforme. 26 5- AXE CENTRAL D’UN TORSEUR 27 5-1- DEFINITION L’axe central d’un torseur, de résultante non nulle, est l’ensemble des points P de l’espace où le moment est colinéaire à la résultante : r r H ( P ) = λR 5-2- PAS D’UN TORSEUR r r H ( P ).R I λ = r 2 = rS2 R R 5-3- MOMENT CENTRAL r r IS r r H ( P ) = λ R = r 2 R = IV R 28 5-4- EQUATION VECTORIELLE DE L’AXE CENTRAL r r r R ∧ H (O) OP = +α R r2 { r 14R 2r 43 // R ⊥R OP = OP0 + P0 P P est un point de l’axe central et O est un point quelconque de l’espace affine. 29 Démonstration r r r r H ( P) = H (O) + R ∧ OP = λR ⇒ ⇒ ⇒ r r r r r r r R ∧ H ( P ) = R ∧ H (O ) + R ∧ ( R ∧ OP ) = 0 r r r r r2 r R ∧ H (O ) + R( R.OP ) − OP( R ) = 0 r2 r r r r OP ( R ) = R ∧ H (O ) + R ( R.OP ) r r r r ( R.OP) R ∧ H (O ) ( R.OP ) r r2 =α r2 OP = + r 2 R Si on pose R R R r r r R ∧ H (O ) il vient : OP = + αR r2 C.Q.F.D. 30 R ⇒ 5-5- REPRESENTATION GRAPHIQUE L’axe central est la droite (∆) qui passe par P0 et qui a pour Vecteur r directeur r R u= r : R r (∆) = ( P0 , u ) (∆ ) P Avec r r R ∧ H (O ) r2 OP 0 = R r R r H (O ) r αR P0 O 31 6- TORSEURS PARTICULIERS 32 6-1- TORSEUR GLISSEUR r r R≠0 [T ] est un glisseur ⇔ r r H ( P) = 0 P CONDITION NECESSAIRE ET SUFFISANTE (CNS) r r R≠0 [T ] est un glisseur ⇔ r r I s = R.H ( P ) = 0 A utiliser pour démontrer qu’un torseur est un glisseur 33 6-2- TORSEUR COUPLE r r R=0 [T ] est un couple ⇔ r H ( P) ≠ 0 P PROPRIETES IMMEDIATES Un couple n’admet pas d’axe central et son invariant scalaire est nul. Le champ antisymétrique associé à un couple [C] est uniforme : r H ( P ) = Cte 34 6-3- TORSEUR NUL Un torseur est nul si sa résultante et son moment résultant sont nuls en tout point : 0 [T ] = 0 P ou [T ] = [0] ∀P 35 Références bibliographiques 1- P.AGATI, G.DELVILLE, Y.BREMONT , Mécanique du solide, applications industrielles. Dunod, Paris, 1996. 2- J.C.BONE, Mécanique générale, cours et applications. Dunod, Paris, 1984. 3- M.COMBARNOUS. Mécanique des solides et des systèmes de solides. Cours et exercices corrigés. Dunod,2004. 4- A.ES SBAI, Problèmes corrigés de physique avec rappel de cours MP2 PC2. CASABLANCA SOCHEPRESS, 1992. 5- M.MANTION, Problèmes de mécanique, rappels de cours, équations différentielles. Armand Colin, 1984. 6- M.MANTION, Exercices et problèmes de mécanique. Armand Colin, 1977. 7- G.ZEGGWAGH, Mécanique du solide indéformable. Gaëtan Morin éditeur, 1996 36 FIN DU CHAPITRE 1 MERCI DE VOTRE ATTENTION Rachid MESRAR Professeur de l’enseignement supérieur Bureau 37 Département de physique Faculté des sciences Agadir email: [email protected] MECANIQUE DU SOLIDE INDEFORMABLE SM3-SMI3 Rachid MESRAR Professeur de l’enseignement supérieur Département de physique Faculté des sciences Agadir Contact : [email protected] CHAPITRE 2 : CINEMATIQUE DU SOLIDE « La cinématique est la science de description du mouvement indépendamment des causes de celui-ci » 1 CHAPITRE 2 : CINEMATIQUE DU SOLIDE Objectifs pédagogiques Décrire et caractériser les mouvements d’un solide Déterminer la vitesse, l’accélération soit par dérivation direct, soit par composition des mouvements Déterminer le champ des vitesses (torseur cinématique) Déterminer le champ des accélérations (formule de Rivals) Paramétrer la position d’un solide (angles d’Euler) Déterminer le mouvement relatif de deux solides en contact (vitesse de glissement) 2 CHAPITRE 2 : CINEMATIQUE DU SOLIDE Notions abordées Paramétrage d’un solide - Angles d’Euler Paramètres de position Nombre de degrés de liberté Dérivation composée - Formule de Bour Solide indéformable Equiprojectivité du champ des vitesses d’un solide Torseur cinématique Formule fondamentale de la cinématique du solide (FFCS) ou relation de Varignon 3 CHAPITRE 2 : CINEMATIQUE DU SOLIDE Notions abordées - suite Champ des accélérations d’un solide - Formule de Rivals Axe instantané de rotation et de glissement (AIRG) Composition des mouvements Composition des vecteurs instantanés de rotation Composition des torseurs cinématiques Mouvement particuliers (translation, rotation,…etc.) Vitesse de glissement Condition de roulement sans glissement (CRSG) 4 CHAPITRE 2 : CINEMATIQUE DU SOLIDE PLAN DU COURS 1- Paramétrage d’un solide 2- Dérivation composée 3- Solide indéformable 4- Mouvement particuliers 5- Composition des mouvements 6- Cinématique de contact 5 1- Paramétrage d’un solide Léonard Euler 6 1-1- PARAMETRES DE POSITION 3 paramètres pour définir La position de (S) O1(x, y, z) + 3 paramètres pour définir l’orientation de (S) Angles d’Euler (ψ , θ ,ϕ ) La position et l’orientation d’un solide dans l’espace, sont définies par six paramètres indépendants appelés paramètres de position. 7 1-2- NOMBRE DE DEGRES DE LIBERTE Le nombre de degrés de liberté d’un solide = Nombre de paramètres de position – Nombre d’équations de liaison. Exemple: sphère roulant sur un plan Paramètres de position 6 : 3 coordonnées du centre d’inertie + 3 angles d’Euler 1 équation de liaison: zG = R (rayon de la sphère) Nombre ddl = 6 – 1 = 5 1-3- ANGLES D’EULER On appelle Angles d’Euler, notées habituellement (ψ ,rθ ,rϕ )r les trois angles qui permettent d’orienter une base ( x , y , z ) liée à un solide (S) par rapport à une base de référence r r r ( x0 , y0 , z0 ). 8 Les 3 angles d’Euler (ψ ,θ , ϕ ) 2 3 2 1 1 3 9 Les 3 rotations r r r r r r Soient R0 (O , x0 , y0 , z0 ) et R (O , x , y , z ) deux repères de même origine O, alors le passage du repère (R0) au repère (R) nécessite la composition de trois rotations planes successives : r r r Rot.(ψ / zr0) r r r Rot.(θ /ur) r r r Rot.(ϕ/ zr) r r r (x0, y0, z0) →(u,v, z0) →(u, w, z) →(x, y, z) 1 2 3 Voir la mise en œuvre 10 1-4- PROCEDURE ET MISE EN OEUVRE Première rotation r r r r r r r Rot (ψ / z 0 ) R0 (O, x0 , y0 , z0 ) → R1 (O, u , v , z0 ) r v ψ r y0 + ψ r z0 r r r u Ω( R1 / R0 ) = ψ&z0 r x0 11 Deuxième rotation r r r r r r r Rot (θ / u ) R1 (O , u , v , z0 ) → R2 (O , u , w, z ) r r z θ z0 + r w θ r u r v r r & Ω( R2 / R1 ) = θu 12 Troisième rotation r r r r r r r Rot (ϕ / z ) R2 (O , u , w, z ) → R(O, x , y , z ) r r y ϕ w r z + ϕ r x r r Ω( R / R2 ) = ϕ&z r u 13 Définitions r r r r r ψ = ( x0 , u ) = ( y0 , v ) mesuré autour de z0 s’appelle l’angle de précession r r r r θ = ( z0 , z ) = (v , w) mesuré autour de u s’appelle l’angle de nutation r r r r mesuré autour de r s’appelle l’angle de rotation propre z ϕ = (u , x ) = ( w, y ) La base La base r r r (u , v , z0 ) s’appelle la première base intermédiaire. r r r (u , w, z ) s’appelle la deuxième base intermédiaire. 14 1-5- VECTEUR INSTANTANE DE ROTATION r r r r r Ω( S / R0 ) = Ω( R / R0 ) = Ω ( R / R2 ) + Ω( R2 / R1 ) + Ω( R1 / R0 ) r r r = ϕ&z + θ&u + ψ&z0 D’où: r r r r Ω( S / R0 ) = ψ& z0 + θ& u + ϕ& z = 1442443 base non orthogonale Vocabulaire r r r ( u ,v , z0 ) θ& θ& − ϕ& sin θ = ψ& + ϕ& cos θ ψ& sin θ ϕ& +ψ& cos θ r r r ( u , w, z ) r r r La deuxième base intermédiaire (u , w, z ) s’appelle aussi la base de Résal. 15 1-6- FIGURES DE CALCUL r z r y r x r y0 r x0 r z MOYEN MNEMOTECHNIQUE r u r v r x0 r y0 r z0 ψ θ r u r w r z0 r z r x r y ϕ r z 16 1-7- TECHNIQUE DU W r u r x0 r y0 r v ψ r z0 θ r x r w r y ϕ r z 17 REGLES DE PROJECTION A-PROJECTION DE GAUCHE A DROITE Sens de Fonction projection attribuée COS SIN - SIN 18 REGLES DE PROJECTION B-PROJECTION DE DROITE A GAUCHE Sens de Fonction projection attribuée COS - SIN SIN 19 Exemple 1 r u 1 r x0 2 r y0 θ r v ψ 3 r x r w r y ϕ r z r z0 Dans cet exemple on a: r r r r x0 = cosψ u − sinψ cosθ w+ sinψ sin θ z 123 14243 14243 (1) ( 2) Exemple 2 20 r u r x0 1 r y0 ( 3) 2 θ r v ψ 3 r x r w r y ϕ r z r z0 Dans cet exemple on a: r r r r y0 = sin ψ u+ cosψ cosθ w− cosψ sin θ z { 142 4 43 4 14243 (1) ( 2) ( 3) 21 2- Dérivation composée Jacques Edmond Emile BOUR (1832-1866) 22 CHANGEMENT DE BASE DE DERIVATION Formule de Bour (L’outil indispensable de la cinématique) r r r r dU dU dt = dt + Ω( R / R0 ) ∧ U R0 R Cas particulier mais très utilisé dans les calculs r Si U est fixe dans (R), on a alors: r r r dU = Ω( R / R0 ) ∧ U dt R 0 23 3- Solide indéformable 24 1- DEFINITION ( S ) est un solide indéformable ⇔ ∀ A, B ∈ ( S ) ; AB = Cte 25 2- EQUIPROJECTIVITE DU CHAMP DES VITESSES D’UN SOLIDE r r AB.V ( A / R0 ) = AB.V ( B / R0 ) 26 Démonstration (S) est un solide indéformable 2 2 ⇔ ∀ A, B ∈ (S ) ; AB = AB = Cte d AO d O0 B d AB 0 2 AB = 0 Ou encore 2 AB dt + dt R R dt R0 0 D’où: =0 0 r r AB.V ( A / R0 ) = AB.V ( B / R0 ) C.Q.F.D. 27 3- ANTISYMETRIE DU CHAMP DES VITESSES D’UN SOLIDE r r r V ( B / R0 ) = V ( A / R0 ) + Ω( S / R0 ) ∧ AB Relation de Varignon Pierre VARIGNON Voir Démonstration 28 Démonstration Si (S) est un solide indéformable et (R) est un repère lié à (S): r d AB d AB = + Ω( R / R0 ) ∧ AB dt R dt R0 1 424 3 142r4 3 r V ( B / R0 ) −V ( A / R0 ) Soit D’où: (Formule de Bour) =0 r r r V ( B / R0 ) − V ( A / R0 ) = Ω( R / R0 ) ∧ AB r r r V ( B / R0 ) = V ( A / R0 ) + Ω( R / R0 ) ∧ AB C.Q.F.D. 29 4- TORSEUR CINEMATIQUE Le champ des vitesses d’un solide est à la fois équiprojectif et antisymétrique c’est donc un torseur qu’on appelle le torseur cinématique. r Ω ( S / R0 ) [ϑ ( S / R0 ) ]= r V ( A ∈ S ) / R0 ) A Résultante Moment résultant 5- AXE INSTANTANE DE ROTATION ET DE GLISSEMENT (AIRG) On appelle axe instantané de rotation et de glissement (souvent abrégé en AIRG ou AIR s’il n’ya pas glissement) l’axe central du torseur cinématique. 30 6- CHAMP DES ACCELERATIONS D’UN SOLIDE Relation de Varignon r r r V ( B / R0 ) = V ( A / R0 ) + Ω( S / R0 ) ∧ AB Dérivation/temps Formule de Rivals r r r dΩ(S / R0 ) γ ( B / R0 ) = γ ( A / R0 ) + ∧ AB + Ω(S / R0 ) ∧ (Ω(S / R0 ) ∧ AB) dt R0 r r Conclusion Le champ des accélérations d’un solide n’est pas antisymétrique et par conséquent il n’ a pas la structure de torseur. 31 4- Mouvements particuliers 32 4-1-MOUVEMENT DE TRANSLATION Un solide (S) est en mouvement de translation par rapport à un repère (R0) si son champ des vitesses est un champ uniforme : r ∀A, B ∈ ( S ) : V ( A) = V ( B ) = V Tous les points de (S) ont le même vecteur vitesse, qu’on appelle vitesse de translation du solide (S) par rapport à (R0). Théorème Le mouvement d’un solide indéformable (S) par r rapport à un repère(R0) est un mouvement de translation de vitesse V si et seulement si son Torseur cinématique est un couple : r 0 [ϑ ( S / R 0 ) ]= r V A∈( S ) 33 4-2-MOUVEMENT DE ROTATION AUTOUR D’UN AXE FIXE Un solide (S) est en mouvement de rotation autour d’un axe fixe si et seulement si : r r ∀A ∈ ( S ∩ ∆ ) : V ( A / R0 ) = 0 Théorème Le mouvement d’un solide (S) par rapport à un repère (R0) est un mouvement de rotation autour d’un axe fixe si et seulement si le torseur cinématique est un glisseur : r [ϑ ( S / R0 ) ]= Ω ( Sr/ R0 ) 0 A∈∆ 34 4-3-MOUVEMENT GENERAL D’UN SOLIDE Le mouvement général de (S) est à chaque instant la composition de deux mouvements : -Un mouvement de rotation instantanée autour de l’AIRG r de vitesse angulaire Ω ( S / R0 ). -Un mouvement de translation instantané le long de r r vitesse V ( A ∈ ∆ ( t )) = λΩ( S / R ). ∆(t ) ∆(t ) de 0 Le mouvement le plus général d’un solide est un mouvement hélicoïdal tangent. 35 33 5-COMPOSITION DES MOUVEMENTS 36 37 Loi de composition Formulation r r Loi de composition des V ( A / R 0 ) = V ( A / R ) + V ( A ∈ R / R 0 ) 1 42 4 3 14 142 4 3 42 44 3 r r r vitesses Vr Va Ve r r r r Loi de composition des r Γ(A/ R0) = Γ(A/ R) +Γ(A∈R/ R0) +2Ω(R/ R0) ∧V(A/ R) 42 4 3 142 1 42 4 3 1 4r 43 4 14442 4443 accélérations r r r Γa Loi de composition des rotations Loi de composition des torseurs cinématiques Γr Γe ΓC r r r Ω ( S / R0 ) = Ω ( S / R ) + Ω ( R / R0 ) [ϑ ( S / R0 )] = [ϑ ( S / R )] + [ϑ ( R / R0 )] Pour les détails de calcul voir cours polycopié 38 6-CINEMATIQUE DE CONTACT 39 6-1- VITESSE DE GLISSEMENT « Les trois points I » 2 1 Point matériel I1 appartenant à (S1) Point géométrique de contact ( I ∈ S1 ) Plan tangent (I) 3 Point matériel I2 appartenant à (S2) ( I ∈ S2 ) 40 DEFINITION On r appelle vitesse de glissement au point I , notée Vg ( I , S1 / S2 ) la vitesse du point I appartenant au solide (S1) par rapport au solide (S2) : r r r r Vg ( I , S1 / S2 ) = V ( I ∈ S1 / S2 ) = V ( I ∈ S1 / R ) − V ( I ∈ S2 / R ) Composition des vitesses Vitesse de glissement Vitesse du point coïncidant 41 6-2- CONDITION DE ROULEMENT SANS GLISSEMENT (CRSG) On dit qu’il y a roulement sans glissement si : r r V g ( I , S1 / S 2 ) = 0 CRSG 42 FIN DU CHAPITRE 2 MERCI DE VOTRE ATTENTION Rachid MESRAR Professeur de l’enseignement supérieur Département de physique Faculté des sciences Agadir Contact : [email protected] MECANIQUE DU SOLIDE INDEFORMABLE SM3-SMI3 Rachid MESRAR Professeur de l’enseignement supérieur Département de physique Faculté des sciences Agadir Contact : [email protected] CHAPITRE 2 : CINEMATIQUE DU SOLIDE « La cinématique est la science de description du mouvement indépendamment des causes de celui-ci » 1 CHAPITRE 2 : CINEMATIQUE DU SOLIDE Objectifs pédagogiques Décrire et caractériser les mouvements d’un solide Déterminer la vitesse, l’accélération soit par dérivation direct, soit par composition des mouvements Déterminer le champ des vitesses (torseur cinématique) Déterminer le champ des accélérations (formule de Rivals) Paramétrer la position d’un solide (angles d’Euler) Déterminer le mouvement relatif de deux solides en contact (vitesse de glissement) 2 CHAPITRE 2 : CINEMATIQUE DU SOLIDE Notions abordées Paramétrage d’un solide - Angles d’Euler Paramètres de position Nombre de degrés de liberté Dérivation composée - Formule de Bour Solide indéformable Equiprojectivité du champ des vitesses d’un solide Torseur cinématique Formule fondamentale de la cinématique du solide (FFCS) ou relation de Varignon 3 CHAPITRE 2 : CINEMATIQUE DU SOLIDE Notions abordées - suite Champ des accélérations d’un solide - Formule de Rivals Axe instantané de rotation et de glissement (AIRG) Composition des mouvements Composition des vecteurs instantanés de rotation Composition des torseurs cinématiques Mouvement particuliers (translation, rotation,…etc.) Vitesse de glissement Condition de roulement sans glissement (CRSG) 4 CHAPITRE 2 : CINEMATIQUE DU SOLIDE PLAN DU COURS 1- Paramétrage d’un solide 2- Dérivation composée 3- Solide indéformable 4- Mouvement particuliers 5- Composition des mouvements 6- Cinématique de contact 5 1- Paramétrage d’un solide Léonard Euler 6 1-1- PARAMETRES DE POSITION 3 paramètres pour définir La position de (S) O1(x, y, z) + 3 paramètres pour définir l’orientation de (S) Angles d’Euler (ψ , θ ,ϕ ) La position et l’orientation d’un solide dans l’espace, sont définies par six paramètres indépendants appelés paramètres de position. 7 1-2- NOMBRE DE DEGRES DE LIBERTE Le nombre de degrés de liberté d’un solide = Nombre de paramètres de position – Nombre d’équations de liaison. Exemple: sphère roulant sur un plan Paramètres de position 6 : 3 coordonnées du centre d’inertie + 3 angles d’Euler 1 équation de liaison: zG = R (rayon de la sphère) Nombre ddl = 6 – 1 = 5 1-3- ANGLES D’EULER On appelle Angles d’Euler, notées habituellement (ψ ,rθ ,rϕ )r les trois angles qui permettent d’orienter une base ( x , y , z ) liée à un solide (S) par rapport à une base de référence r r r ( x0 , y0 , z0 ). 8 Les 3 angles d’Euler (ψ ,θ , ϕ ) 2 3 2 1 1 3 9 Les 3 rotations r r r r r r Soient R0 (O , x0 , y0 , z0 ) et R (O , x , y , z ) deux repères de même origine O, alors le passage du repère (R0) au repère (R) nécessite la composition de trois rotations planes successives : r r r Rot.(ψ / zr0) r r r Rot.(θ /ur) r r r Rot.(ϕ/ zr) r r r (x0, y0, z0) →(u,v, z0) →(u, w, z) →(x, y, z) 1 2 3 Voir la mise en œuvre 10 1-4- PROCEDURE ET MISE EN OEUVRE Première rotation r r r r r r r Rot (ψ / z 0 ) R0 (O, x0 , y0 , z0 ) → R1 (O, u , v , z0 ) r v ψ r y0 + ψ r z0 r r r u Ω( R1 / R0 ) = ψ&z0 r x0 11 Deuxième rotation r r r r r r r Rot (θ / u ) R1 (O , u , v , z0 ) → R2 (O , u , w, z ) r r z θ z0 + r w θ r u r v r r & Ω( R2 / R1 ) = θu 12 Troisième rotation r r r r r r r Rot (ϕ / z ) R2 (O , u , w, z ) → R(O, x , y , z ) r r y ϕ w r z + ϕ r x r r Ω( R / R2 ) = ϕ&z r u 13 Définitions r r r r r ψ = ( x0 , u ) = ( y0 , v ) mesuré autour de z0 s’appelle l’angle de précession r r r r θ = ( z0 , z ) = (v , w) mesuré autour de u s’appelle l’angle de nutation r r r r mesuré autour de r s’appelle l’angle de rotation propre z ϕ = (u , x ) = ( w, y ) La base La base r r r (u , v , z0 ) s’appelle la première base intermédiaire. r r r (u , w, z ) s’appelle la deuxième base intermédiaire. 14 1-5- VECTEUR INSTANTANE DE ROTATION r r r r r Ω( S / R0 ) = Ω( R / R0 ) = Ω ( R / R2 ) + Ω( R2 / R1 ) + Ω( R1 / R0 ) r r r = ϕ&z + θ&u + ψ&z0 D’où: r r r r Ω( S / R0 ) = ψ& z0 + θ& u + ϕ& z = 1442443 base non orthogonale Vocabulaire r r r ( u ,v , z0 ) θ& θ& − ϕ& sin θ = ψ& + ϕ& cos θ ψ& sin θ ϕ& +ψ& cos θ r r r ( u , w, z ) r r r La deuxième base intermédiaire (u , w, z ) s’appelle aussi la base de Résal. 15 1-6- FIGURES DE CALCUL r z r y r x r y0 r x0 r z MOYEN MNEMOTECHNIQUE r u r v r x0 r y0 r z0 ψ θ r u r w r z0 r z r x r y ϕ r z 16 1-7- TECHNIQUE DU W r u r x0 r y0 r v ψ r z0 θ r x r w r y ϕ r z 17 REGLES DE PROJECTION A-PROJECTION DE GAUCHE A DROITE Sens de Fonction projection attribuée COS SIN - SIN 18 REGLES DE PROJECTION B-PROJECTION DE DROITE A GAUCHE Sens de Fonction projection attribuée COS - SIN SIN 19 Exemple 1 r u 1 r x0 2 r y0 θ r v ψ 3 r x r w r y ϕ r z r z0 Dans cet exemple on a: r r r r x0 = cosψ u − sinψ cosθ w+ sinψ sin θ z 123 14243 14243 (1) ( 2) Exemple 2 20 r u r x0 1 r y0 ( 3) 2 θ r v ψ 3 r x r w r y ϕ r z r z0 Dans cet exemple on a: r r r r y0 = sin ψ u+ cosψ cosθ w− cosψ sin θ z { 142 4 43 4 14243 (1) ( 2) ( 3) 21 2- Dérivation composée Jacques Edmond Emile BOUR (1832-1866) 22 CHANGEMENT DE BASE DE DERIVATION Formule de Bour (L’outil indispensable de la cinématique) r r r r dU dU dt = dt + Ω( R / R0 ) ∧ U R0 R Cas particulier mais très utilisé dans les calculs r Si U est fixe dans (R), on a alors: r r r dU = Ω( R / R0 ) ∧ U dt R 0 23 3- Solide indéformable 24 1- DEFINITION ( S ) est un solide indéformable ⇔ ∀ A, B ∈ ( S ) ; AB = Cte 25 2- EQUIPROJECTIVITE DU CHAMP DES VITESSES D’UN SOLIDE r r AB.V ( A / R0 ) = AB.V ( B / R0 ) 26 Démonstration (S) est un solide indéformable 2 2 ⇔ ∀ A, B ∈ (S ) ; AB = AB = Cte d AO d O0 B d AB 0 2 AB = 0 Ou encore 2 AB dt + dt R R dt R0 0 D’où: =0 0 r r AB.V ( A / R0 ) = AB.V ( B / R0 ) C.Q.F.D. 27 3- ANTISYMETRIE DU CHAMP DES VITESSES D’UN SOLIDE r r r V ( B / R0 ) = V ( A / R0 ) + Ω( S / R0 ) ∧ AB Relation de Varignon Pierre VARIGNON Voir Démonstration 28 Démonstration Si (S) est un solide indéformable et (R) est un repère lié à (S): r d AB d AB = + Ω( R / R0 ) ∧ AB dt R dt R0 1 424 3 142r4 3 r V ( B / R0 ) −V ( A / R0 ) Soit D’où: (Formule de Bour) =0 r r r V ( B / R0 ) − V ( A / R0 ) = Ω( R / R0 ) ∧ AB r r r V ( B / R0 ) = V ( A / R0 ) + Ω( R / R0 ) ∧ AB C.Q.F.D. 29 4- TORSEUR CINEMATIQUE Le champ des vitesses d’un solide est à la fois équiprojectif et antisymétrique c’est donc un torseur qu’on appelle le torseur cinématique. r Ω ( S / R0 ) [ϑ ( S / R0 ) ]= r V ( A ∈ S ) / R0 ) A Résultante Moment résultant 5- AXE INSTANTANE DE ROTATION ET DE GLISSEMENT (AIRG) On appelle axe instantané de rotation et de glissement (souvent abrégé en AIRG ou AIR s’il n’ya pas glissement) l’axe central du torseur cinématique. 30 6- CHAMP DES ACCELERATIONS D’UN SOLIDE Relation de Varignon r r r V ( B / R0 ) = V ( A / R0 ) + Ω( S / R0 ) ∧ AB Dérivation/temps Formule de Rivals r r r dΩ(S / R0 ) γ ( B / R0 ) = γ ( A / R0 ) + ∧ AB + Ω(S / R0 ) ∧ (Ω(S / R0 ) ∧ AB) dt R0 r r Conclusion Le champ des accélérations d’un solide n’est pas antisymétrique et par conséquent il n’ a pas la structure de torseur. 31 4- Mouvements particuliers 32 4-1-MOUVEMENT DE TRANSLATION Un solide (S) est en mouvement de translation par rapport à un repère (R0) si son champ des vitesses est un champ uniforme : r ∀A, B ∈ ( S ) : V ( A) = V ( B ) = V Tous les points de (S) ont le même vecteur vitesse, qu’on appelle vitesse de translation du solide (S) par rapport à (R0). Théorème Le mouvement d’un solide indéformable (S) par r rapport à un repère(R0) est un mouvement de translation de vitesse V si et seulement si son Torseur cinématique est un couple : r 0 [ϑ ( S / R 0 ) ]= r V A∈( S ) 33 4-2-MOUVEMENT DE ROTATION AUTOUR D’UN AXE FIXE Un solide (S) est en mouvement de rotation autour d’un axe fixe si et seulement si : r r ∀A ∈ ( S ∩ ∆ ) : V ( A / R0 ) = 0 Théorème Le mouvement d’un solide (S) par rapport à un repère (R0) est un mouvement de rotation autour d’un axe fixe si et seulement si le torseur cinématique est un glisseur : r [ϑ ( S / R0 ) ]= Ω ( Sr/ R0 ) 0 A∈∆ 34 4-3-MOUVEMENT GENERAL D’UN SOLIDE Le mouvement général de (S) est à chaque instant la composition de deux mouvements : -Un mouvement de rotation instantanée autour de l’AIRG r de vitesse angulaire Ω ( S / R0 ). -Un mouvement de translation instantané le long de r r vitesse V ( A ∈ ∆ ( t )) = λΩ( S / R ). ∆(t ) ∆(t ) de 0 Le mouvement le plus général d’un solide est un mouvement hélicoïdal tangent. 35 33 5-COMPOSITION DES MOUVEMENTS 36 37 Loi de composition Formulation r r Loi de composition des V ( A / R 0 ) = V ( A / R ) + V ( A ∈ R / R 0 ) 1 42 4 3 14 142 4 3 42 44 3 r r r vitesses Vr Va Ve r r r r Loi de composition des r Γ(A/ R0) = Γ(A/ R) +Γ(A∈R/ R0) +2Ω(R/ R0) ∧V(A/ R) 42 4 3 142 1 42 4 3 1 4r 43 4 14442 4443 accélérations r r r Γa Loi de composition des rotations Loi de composition des torseurs cinématiques Γr Γe ΓC r r r Ω ( S / R0 ) = Ω ( S / R ) + Ω ( R / R0 ) [ϑ ( S / R0 )] = [ϑ ( S / R )] + [ϑ ( R / R0 )] Pour les détails de calcul voir cours polycopié 38 6-CINEMATIQUE DE CONTACT 39 6-1- VITESSE DE GLISSEMENT « Les trois points I » 2 1 Point matériel I1 appartenant à (S1) Point géométrique de contact ( I ∈ S1 ) Plan tangent (I) 3 Point matériel I2 appartenant à (S2) ( I ∈ S2 ) 40 DEFINITION On r appelle vitesse de glissement au point I , notée Vg ( I , S1 / S2 ) la vitesse du point I appartenant au solide (S1) par rapport au solide (S2) : r r r r Vg ( I , S1 / S2 ) = V ( I ∈ S1 / S2 ) = V ( I ∈ S1 / R ) − V ( I ∈ S2 / R ) Composition des vitesses Vitesse de glissement Vitesse du point coïncidant 41 6-2- CONDITION DE ROULEMENT SANS GLISSEMENT (CRSG) On dit qu’il y a roulement sans glissement si : r r V g ( I , S1 / S 2 ) = 0 CRSG 42 FIN DU CHAPITRE 2 MERCI DE VOTRE ATTENTION Rachid MESRAR Professeur de l’enseignement supérieur Département de physique Faculté des sciences Agadir Contact : [email protected] MECANIQUE DU SOLIDE INDEFORMABLE SM3-SMI3 Rachid MESRAR Professeur de l’enseignement supérieur Département de physique Faculté des sciences Agadir Contact : [email protected] CHAPITRE 3 : GEOMETRIE DES MASSES « L’inertie est une propriété intrinsèque, absolue de la matière » 1 CHAPITRE 3 : GEOMETRIE DES MASSES Objectifs pédagogiques Déterminer le centre d’inertie d’un solide par le calcul intégral Déterminer le moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe Définir l’opérateur d’inertie d’un solide Déterminer la matrice d’inertie d’un solide en utilisant la symétrie matérielle (planaire, de révolution, sphérique) Savoir appliquer le théorème de Koenig 2 CHAPITRE 3 : GEOMETRIE DES MASSES Notions abordées Centre d’inertie d’un système continu Centre d’inertie d’un système composé Propriété de symétrie Moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe Opérateur d’inertie Matrice d’inertie Base principale d’inertie 3 CHAPITRE 3 : GEOMETRIE DES MASSES Notions abordées - Suite Symétrie matérielle Symétrie planaire Symétrie de révolution Symétrie sphérique Théorème de Huygens Théorème de Huygens généralisé Théorème de Koenig Matrice d’inertie d’un système matériel composé 4 CHAPITRE 3 : GEOMETRIE DES MASSES PLAN DU COURS 1- CENTRE D’INERTIE 2- MOMENT D’INERTIE PAR RAPPORT A UN AXE 3- OPERATEUR D’INERTIE – MATRICE D’INERTIE 4- MATRICE D’INERTIE D’UN SYSTEME COMPOSE 5 1- CENTRE D’INERTIE Paul GULDIN (1577-1643) 6 G Volume élémentaire Hypothèse: les solides étudiés sont homogènes 7 « Les 3 densités » Densité surfacique 2 - Solide à densité linéique - Solide à densité surfacique - Solide à densité volumique Densité volumique 3 m ρ= V Densité linéique 1 m σ= S m λ= L 8 1-1-DEFINITION On appelle centre d’inertie (ou centre de masse) d’un solide le point unique noté G tel que : ∫ GPdm( P) = 0 P∈( S ) C’est le barycentre des particules qui composent le solide Définition mathématique C’est le point par rapport auquel la masse est uniformément répartie Définition physique 9 1-2-POSITION DU CENTRE D’INERTIE 1 OG = m ∫ OPdm P∈( S ) En effet: Pondération de la position par la masse GP = GO + OP ∫ OPdm = ∫ OGdm P∈( S ) P∈( S ) ∫ OPdm = OG ∫ dm P∈( S ) P∈( S ) C.Q.F.D. 10 1-3-COORDONNEES DU CENTRE D’INERTIE 1 1 ; xG = xdm y = ydm G ∫ ∫ m P∈( S ) m P∈( S ) ; zG = 1 zdm ∫ m P∈( S ) 1-4- SYSTEME COMPOSE 1 n OG = ∑ mi OGi m i =1 1-5- PROPRIETE DE SYMETRIE Si un solide homogène possède un élément (point, axe, plan) de symétrie, alors G appartient à cet élément. 11 2- MOMENT D’INERTIE PAR RAPPORT A UN AXE Francis Georges BINET (1800-1873) 12 r u α r u = β γ ( R0 ) x OP = y z ( R ) 0 13 2-1-DEFINITION I ( S / ∆) = ∫ 2 PH dm P∈( S ) 2-2-CALCUL II suffit de remarque que le triangle (OPH) est rectangle en H: r PH = OP . sin( u , OP ) r r r r u ∧ OP = u . OP . sin(u, OP) = OP . sin(u, OP) Or D’où: r PH = u ∧ OP 14 α x β z − γy r u ∧ OP = β ∧ y = γx − αz γ z αy − βx 2 = ( β z − γy ) 2 + (γx − αz ) 2 + (αy − β x ) 2 PH = α 2 ( y 2 + z 2 ) + β 2 ( x 2 + z 2 ) + γ 2 ( x 2 + y 2 ) − 2 βγ yz − 2αγxz − 2αβ xy ∫ [PH ] dm 2 I (S / ∆) = P ∈( S ) =α 2 ∫(y 2 + z 2 ) dm + β P ∈( S ) − 2 βγ ∫ yzdm P ∈( S ) 2 ∫ (x 2 + z 2 )dm + γ 2 P ∈( S ) − 2 αγ ∫ xzdm P ∈( S ) ∫ (x 2 + y 2 ) dm P∈( S ) − 2 αβ ∫ xydm P ∈( S ) 15 On définit les six constantes d’inertie suivantes: Moments d’inertie r 2 2 ( y + z ) dm = moment d ' inertie de ( S ) / l ' axe ( O , x 0) ∫ A= P∈( S ) r 2 2 ( x + z ) dm = moment d ' inertie de ( S ) / l ' axe ( O , y 0) ∫ B= P∈( S ) C= r 2 2 ( x + y ) dm = moment d ' inertie de ( S ) / l ' axe ( O , z 0) ∫ P∈( S ) Produits d’inertie D= r r yzdm = produit d ' inertie de ( S ) / plan ( O , y 0 , z0 ) ∫ P∈( S ) E= r r xzdm = produit d ' inertie de ( S ) / plan ( O , x 0 , z0 ) ∫ P∈( S ) F= r r xydm = produit d ' inertie de ( S ) / plan ( O , x 0 , y0 ) ∫ P∈( S ) 16 Signification physique Les moments d’inertie caractérisent la répartition de la masse du solide autour de l’axe de rotation. Les produits d’inertie caractérisent l’absence de symétrie matérielle du solide. Ils indiquent que le solide n’admet pas de plans de symétrie. Finalement, on obtient: I ( S / ∆ ) = α 2 A + β 2 B + γ 2C − 2 βγD − 2αγE − 2αβF Forme quadratique 17 3-MATRICE D’INERTIE Louis POINSOT (1777-1859) 18 3-1- OPERATEUR D’INERTIE Définition r C’est l’opérateur linéaire qui à tout vecteur u fait correspondre le vecteur : r r JO (S, u ) = r ∫ OP ∧ (u ∧OP )dm P∈( S ) Propriété L’opérateur d’inertie est une application linéaire symétrique. 19 3-2- MATRICE D’INERTIE L’opérateur d’inertie étant linéaire symétrique, il est donc représentable par une matrice symétrique*. [ [ [ ] r r 2 2 OP ∧ (u ∧ OP) = α ( y + z ) − βxy − γxz x0 + r 2 2 − αxy + β ( x + z ) − γyz y0 + 2 2 r − αxz − βyz + γ ( x + y ) z0 ] ] Soit sous forme matricielle (*) TA =A 20 r x0 r y0 ( y2 + z2 )dm P∈∫(S ) r ( OP ∧ ( u ∧ OP )) dm = − ∫ xydm ∫ P∈( S ) P∈( S ) − ∫ xzdm P∈( S ) r z0 α − ∫ xydm − ∫ xzdm P∈( S ) P∈( S ) β 2 2 ( x + z ) dm − yzdm ∫ ∫ P∈( S ) P∈( S ) 2 2 γ ( x y ) dm − ∫ yzdm + ∫ P∈( S ) P∈( S ) Soit ( y 2 + z 2 )dm P∈∫( S ) r M O( S ) .u = − ∫ xydm P∈( S ) − ∫ xzdm P∈( S ) α − ∫ xydm − ∫ xzdm P∈( S ) P∈( S ) β 2 2 ( x + z ) dm − yzdm ∫ ∫ P∈( S ) P∈( S ) 2 2 − ∫ yzdm ( x + y )dm γ ∫ P∈( S ) P∈( S ) 21 D’où la matrice d’inertie : M O( S ) ( y 2 + z 2 )dm P∈∫( S ) = − ∫ xydm P∈( S ) − ∫ xzdm P∈( S ) − ∫ xydm − ∫ xzdm P∈( S ) P∈( S ) 2 2 ( x z ) dm yzdm + − ∫ ∫ P∈( S ) P∈( S ) ( x 2 + y 2 )dm − ∫ yzdm ∫ P∈( S ) P∈( S ) La matrice d’inertie est symétrique et caractérise la répartition de la masse du solide par rapport aux axes du repère (R0). 22 Ou encore Moments d’inertie M (S ) O A = − F − E −F B −E − D − D C ( xr , yr , zr ) 0 0 0 Exprimée au point O Exprimée dans la base de (R0) Forme de Binet 23 Remarque importante Si le repère (R0) est fixe par rapport au solide supposé indéformable, alors les quantités A, B, C, D, E et F restent constantes au cours du temps et caractérisent l’inertie du solide dans ce repère. La matrice d’inertie est donc calculée une fois pour toute. C’est une caractéristique d’inertie du solide, au même titre que la masse ou le centre d’inertie. 24 A ou D MOYEN MNEMOTECHNIQUE Permutation circulaire x x Retenir uniquement A = I Ox = ∫(y 2 + z )dm 2 y x xz P∈( S ) et D = I yz = ∫ yzdm P∈ B, C, E et F sont déterminées par permutation circulaire. 25 3-3- EXPRESSION DU MOMENT D’INERTE EN FONCTION DE LA MATRICE D’INERTIE On vient de voir (§ 2) I ( S / ∆ ) = α 2 A + β 2 B + γ 2C − 2 βγD − 2αγE − 2αβF Soit sous forme matricielle: − E α − D β − D C γ −F B A I ( S / ∆ ) = (α , β , γ ) − F − E D’où la relation : I ( S / ∆) = I (S ) ∆ [ ] r (S) r = [u ]. M O .[u ] T Forme matricielle 26 3-4- BASE PRINCIPALE D’INERTIE Il existe toujours en tout point, au moins une base orthonormée directe dans laquelle la matrice d'inertie est diagonale (produits d'inertie nuls). Cette base est appelée base principale d'inertie. M (S ) O Ap = 0 0 0 Bp 0 0 0 C p Axes principaux d’inertie r r r ( x p , y p ,z p ) Ap, Bp et Cp sont appelés moments principaux d’inertie 3-5- SYMETRIE MATERIELLE On dit qu’il y a symétrie matérielle quand il y a à la fois symétrie géométrique et symétrie de répartition de la masse pour le système matériel considéré. 27 Symétrie planaire Symétrie matérielle Propriété Forme de la matrice d’inertie 2 plans de symétrie D=E=F=0 A 0 0 (S) MO = 0 B 0 0 0 C R (tous les produits d’inertie sont nuls) 1 plan de symétrie Cas du plan xOy D=E=0 F ≠0 A − F 0 (S) MO = − F B 0 0 0 C R Exemple: cube, parallélépipède 28 Symétrie planaire - suite Symétrie matérielle Propriété Forme de la matrice d’inertie 1 plan de symétrie : Cas du plan xOz D=F=0 A 0 − E (S) MO = 0 B 0 − E 0 C R 1 plan de symétrie : Cas du plan yOz E=F=0 E ≠0 D≠ 0 0 A 0 (S) MO = 0 B − D 0 −D C R 29 Symétrie de révolution Si un système (S) est invariant dans toute translation le long d’un axe et dans toute rotation autour de ce même axe, il possède alors la symétrie de révolution. On parle aussi d’axe r de symétrie de révolution (ici (O , z0 ) .) 30 Symétrie de révolution - suite Symétrie matérielle r (O,z0 ) est un axe de révolution Propriété A= B = Forme de la matrice d’inertie C A 0 0 + ∫ z2dm (S) M = 0 A 0 2 P∈( S ) O (relation très utilisée dans les calculs) 0 0 C r (−,−,z0 ) Exemple: cylindre, cône, disque La symétrie de révolution est aussi appelée symétrie cylindrique. 31 Symétrie sphérique Un système (S) présente la symétrie sphérique s’il est invariant autour d’un point O0 . Les trois r dans rtoute rotation r axes(O0 , x0 ), (O0 , y0 ) et (O0 , z0 ) sont des axes de symétrie de révolution. 32 Symétrie sphérique - suite Symétrie matérielle (S) admet la symétrie sphérique Propriété D=E=F=0 et A = B = C Forme de la matrice d’inertie A 0 0 (S) MO = 0 A 0 0 0 A r r r (x0,y0,z0) Exemple: sphère, boule 33 Symétrie matérielle Propriété Forme de la matrice d’inertie 2 plans de symétrie orthogonaux Les produits d’inertie sont tous nuls : D=E=F=0 M O( S ) r (O, z ) est un axe Les produits d’inertie de révolution (S) admet la symétrie Sphérique C + 2 ∫z 2 0 B 0 0 0 C ( xr , yr , zr ) A 0 0 (S) MO = 0 A 0 0 0 C r (−,−,z ) sont tous nuls, et A=B= A =0 0 dm P ∈( S ) Les produits d’inertie sont tous nuls: MO(S ) D=E=F=0 et A=B=C A 0 0 = 0 A 0 0 0 A r r r ( x , y , z ) Ce qu’il faut absolument savoir 34 3-6- THEOREME DE HUYGENS Hypothèse (∆ ) (∆G ) ( ∆ ) //( ∆ G ) XG (S) d I ( S ) = I ( S ) + md ∆ ∆ G 2 (∆, ∆ G ) (1629-1695) Le théorème de Huygens est aussi appelé théorème des axes parallèles. 35 3-7-THEOREME DE HUYGENS GENERALISE THEOREME DE KOENIG (1712-1757) (RG) // (R0) Repère barycentrique xG OG = yG z (R ) G 0 Il permet de déterminer la matrice centrale d’inertie d’un solide connaissant sa matrice en un point donné et réciproquement. 36 Théorème de Koenig M O( S ) yG2 + zG2 (S) = M G + m − xG yG −x z G G Forme matricielle − xG yG xG2 + zG2 − yG zG Théorème de Huygens généralisé A = AG + m( yG2 + zG2 ) 2 2 B = BG + m( xG + zG ) C = C + m( x 2 + y 2 ) G G G − xG zG − yG zG xG2 + yG2 Forme analytique D = DG + m. yG zG E = EG + m. xG zG F = F + m. x y G G G 37 4- MATRICE D’INERTIE D’UN SYSTEME COMPOSE 38 Soient Σ = n UΣ i =1 sous-systèmes i un système matériel composé de n Σi , P un point de l’espace et (B) une base donnée, alors : n r r J (Σ, P ) = ∑ J (Σi , P ) i =1 n M B (Σ, P ) = ∑ M B (Σi , P ) i =1 39 FIN DU CHAPITRE 3 MERCI DE VOTRE ATTENTION Rachid MESRAR Professeur de l’enseignement supérieur Département de physique Faculté des sciences Agadir email: [email protected] MECANIQUE DU SOLIDE INDEFORMABLE SM3-SMI3-ERDD3 Rachid MESRAR Professeur de l’enseignement supérieur Département de physique Faculté des sciences Agadir email: [email protected] CHAPITRE 4 : CINETIQUE « La cinétique est définie à partir de la cinématique en introduisant la notion de masse » CINETIQUE = CINEMATIQUE + MASSE 1 CHAPITRE 44: :CINETIQUE CHAPITRE CINETIQUE Objectifs Préparer le terrain pour le principe fondamental de la dynamique Modéliser les trois grandeurs suivantes: - La quantité de mouvement d’un solide - La quantité d’accélération d’un solide - L'énergie cinétique d’un solide Savoir calculer les moments cinétique et dynamique d’un système mécanique 2 CHAPITRE 4 : CINETIQUE Notions abordées Principe de conservation de la masse Résultante cinétique Moment cinétique Loi de transport des moments cinétiques Théorème de Koenig Torseur cinétique Moment cinétique d’un solide en l’un des ses points Résultante dynamique 3 CHAPITRE 4 : CINETIQUE Notions abordées - Suite Moment dynamique Loi de transport des moments dynamiques Théorème de Koenig Torseur dynamique Relation entre les torseurs cinétique et dynamique Energie cinétique - Théorème de Koenig Eléments cinétiques d’un système matériel 4 CHAPITRE 4 : CINETIQUE PLAN DU COURS 1- TORSEUR CINETIQUE 2- TORSEUR DYNAMIQUE 3- RELATION ENTRE LES TORSEURS CINETIQUE ET DYNAMIQUE 4- MOMENT CINETIQUE D’UN SOLIDE EN L’UN DE SES POINTS 5- ENERGIE CINETIQUE 6- ELEMENTS CINETIQUES D’UN SYSTEME DE SOLIDES 5 1- TORSEUR CINETIQUE 6 1-1- PRINCIPE DE CONSERVATION DE LA MASSE r r d dF ( P , t ) F ( P , t ) dm = dm ∫ ∫ dt P∈( Σ ) P∈( Σ ) dt 1-2-TORSEUR CINETIQUE D’UN SYSTEME MATERIEL r r RC = ∫ V ( P / R0 )dm P∈( Σ ) [C (Σ / R0 )]= r r σ A (Σ / R0 ) = ∫ AP ∧ V ( P / R0 )dm P∈( Σ ) A 7 1-3-DETERMINATION DE LA RESULTANTE CINETIQUE r RC = r ∫ V ( P / R0 )dm = P∈( Σ ) d OP dm ∫ dt R P∈( Σ ) 0 D’après le principe de conservation de la masse: d ∫ OPdm r P∈( Σ ) RC = dt 8 1 OG = OPdm ∫ m P∈( Σ ) Or Ce qui donne D’où : r d OG RC = m dt R0 r r RC = mV (G / R0 ) 9 1-4- DETERMINATION DU MOMENT CINETIQUE r σ A (Σ / R0 ) = ∫ AP ∧ V ( P / R0 )dm = r P∈( Σ ) r = ∫ BP ∧ V ( P / R0 )dm + P∈( Σ ) 1 444 24443 r r ∫ ( AB + BP) ∧ V ( P / R0 )dm P∈( Σ ) r ∫ AB ∧ V ( P / R0 )dm P∈( Σ ) σ B ( Σ / R0 ) Or le vecteur AB ne dépend pas du point d’intégration courant P r σ A (Σ / R0 ) = σ B (Σ / R0 ) + AB ∧ ∫ V ( P / R0 )dm r r P∈( Σ ) 1 442 443 r RC 10 D’où la loi de transport des moments cinétiques : r σ A ( Σ / R0 ) = σ B ( Σ / R0 ) + m V (G / R0 ) ∧ AB r r Conclusion r r r RC = ∫V (P / R0 )dm = mV (G / R0 ) P∈(Σ) r r [C(Σ / R0 )]= r r σ A(Σ / R0 ) = ∫ AP∧V (P / R0 )dm = σB (Σ / R0 ) + mV (G / R0 ) ∧ BA P∈(Σ) A 11 1-5-THEOREME DE KOENIG POUR LE MOMENT CINETIQUE En appliquant la loi de transport des moments cinétiques entre un point A et le centre d’inertie G du système, il vient: r σ A (Σ / R0 ) = σ G (Σ / R0 ) + mV (G / R0 ) ∧ AG 144 42444 3 r r « Moment cinétique en A de la masse concentrée m centrée en G » Cette relation porte le nom de théorème de Koenig pour le moment cinétique. 12 2- TORSEUR DYNAMIQUE 13 2-1- TORSEUR DYNAMIQUE D’UN SYSTEME MATERIEL r r RD = ∫ Γ ( P / R0 )dm P∈( Σ ) [D(Σ / R0 )]= r r δ A (Σ / R0 ) = ∫ AP ∧ Γ ( P / R0 )dm P∈( Σ ) A 2-2- DETERMINATION DE LA RESULTANTE DYNAMIQUE r r r dV ( P / R0 ) RD = ∫ Γ ( P / R0 )dm = ∫ dm dt R P∈( Σ ) P∈( Σ ) 0 14 r d ∫ V ( P / R0 )dm r r r P∈(Σ) dRC dV (G / R0 ) RD = = = m dt dt dt R0 R0 R0 D’où : r r RD = mΓ(G / R0 ) 15 2-3- DETERMINATION DU MOMENT DYNAMIQUE r δA(Σ / R0 ) = r r ∫ΣAP∧Γ (P/ R )dm= ∫Σ(AB+ BP) ∧Γ (P/ R )dm 0 0 P∈( ) = P∈( ) r r ∫ΣBP∧Γ (P/ R )dm+ ∫ΣAB∧Γ (P/ R )dm 0 P∈( ) 1 44424443 0 P∈( ) δB (Σ / R0 ) Or le vecteur AB ne dépend pas du point d’intégration courant P : r r r δ A ( Σ / R0 ) = δ B ( Σ / R0 ) + AB ∧ ∫ Γ ( P / R0 ) dm P∈( Σ ) 1 442 443 r RD 16 D’où la loi de transport des moments dynamiques: r r r δ A ( Σ / R 0 ) = δ B ( Σ / R 0 ) + m Γ ( G / R 0 ) ∧ AB Conclusion r r r RD = ∫ Γ (P / R0 )dm= mΓ (G / R0 ) P∈(Σ ) r r r [D(Σ / R0 )]= r δ A(Σ / R0 ) = ∫ AP∧ Γ (P / R0 )dm= δB (Σ / R0 ) + mΓ (G / R0 ) ∧ BA P∈(Σ ) A 17 2-4-THEOREME DE KOENIG POUR LE MOMENT DYNAMIQUE En appliquant la loi de transport des moments dynamiques entre un point A et le centre d’inertie G du système, il vient: r r r δ A (Σ / R0 ) = δ G (Σ / R0 ) + mΓ(G / R0 ) ∧ AG 1442443 « Moment dynamique en A de la masse concentrée m centrée en G » Cette relation porte le nom de théorème de Koenig pour le moment dynamique. 18 3- RELATION ENTRE LES TORSEURS CINETIQUE ET DYNAMIQUE 19 3-1- RELATION ENTRE LES RESULTANTES CINETIQUE ET DYNAMIQUE r r RC = mV (G / R0 ) r r RD = mΓ(G / R0 ) r dV (G / R0 ) Or r Γ (G / R0 ) = dt R 0 D’après le principe de conservation de la masse : r r d RC RD = dt R 0 20 3-2- RELATION ENTRE LES MOMENTS CINETIQUE ET DYNAMIQUE r σ A (Σ / R0 ) = ∫ AP ∧ V ( P / R0 )dm = r P∈( Σ ) r ∫ ( AO + OP ) ∧ V ( P / R0 )dm P∈( Σ ) Par dérivation, il vient : r r r r r dσ A (Σ / R0 ) = V ( P / R ) − V ( A / R ) ∧ V ( P / R ) + AP ∧ Γ ( P / R0 ) dm 0 0 0 ∫ dt R0 P∈( Σ ) r r r = −V ( A / R0 ) ∧ ∫ V ( P / R0 )dm + ∫ AP ∧ Γ( P / R0 )dm [( P∈( Σ ) ] ) P∈( Σ ) r r r = −V ( A / R0 ) ∧ mV (G / R0 ) + δ A (Σ / R0 ) D’où : r r r dσ A (Σ / R0 ) + V ( A / R0 ) ∧ mV (G / R0 ) δ A (Σ / R0 ) = dt R0 r 21 Cas particuliers très importants car fréquemment rencontrés : - Cas où le point A est fixe dans (R0): r dσ A (Σ / R0 ) δ A (Σ / R0 ) = dt R0 r - Cas où le point A est confondu avec G: r d σ G (Σ / R0 ) δ G (Σ / R0 ) = dt r R0 22 4-MOMENT CINETIQUE D’UN SOLIDE EN L’UN DE SES POINTS 23 1- THEOREME Soit (S) un solide de masse m, de centre d’inertie G et soit A un point appartenant à (S) et (R0) un repère orthonormé direct, alors : r r (S ) σ A ( S / R0 ) = m AG ∧ V ( A / R0 ) + M A Ω( S / R0 ) r 24 Démonstration r σ A ( S / R0 ) = ∫ AP ∧ V ( P / R0 )dm r P∈( S ) r r r V ( P / R0 ) = V ( A / R0 ) + Ω( P / R0 ) ∧ AP ∀P ∈ (S ) 25 r r σ A(S / R0 ) = ∫ AP ∧ (V ( A/ R0 ) + Ω(S / R0 ) ∧ AP)dm r P∈( S ) r = ∫ AP ∧V ( A/ R0 )dm+ P∈( S ) r ∫ AP∧ (Ω(S / R0 ) ∧ AP)dm M∈( S ) r r ( S ) = ∫ APdm ∧V ( A/ R0 ) + M A Ω(S / R0 ) P ∈ ( S ) r r (S) = mAG ∧V ( A/ R0 ) + M A Ω(S / R0 ) 26 2- CAS PARTICULIERS TRES IMPORTANTS - Cas où le point A est fixe dans (R0): r r σ A ( S / R0 ) = M A( S ) Ω ( S / R0 ) - Cas où le point A est confondu avec le centre d’inertie G : r r σ G ( S / R0 ) = M G( S ) Ω ( S / R0 ) 27 5- ENERGIE CINETIQUE 28 5-1- ENERGIE CINETIQUE D’UN SYSTEME MATERIEL 1 T ( Σ / R0 ) = 2 r2 ∫ V ( P / R 0 ) dm P∈( Σ ) 5-2- EXPRESSION DE L’ENERGIE CINETIQUE EN FONCTION DES TORSEURS CINEMATIQUE ET CINETIQUE 2T ( S / R0 ) = [C( S / R0 )] ⊗ [ϑ ( S / R0 )] 29 Démonstration r2 2T ( S / R0 ) = ∫ V ( P / R0 )dm = ∫ [( P∈( S ) ) ] r r r V ( A / R0 ) + Ω ( S / R0 ) ∧ AP V ( P / R0 ) dm P∈( S ) r r = ∫ V ( A / R0 )V ( P / R0 )dm + P∈( S ) r = V ( A / R0 ) r ∫ V ( P / R0 )dm + P∈( S ) r r ∫ (Ω (S / R0 ) ∧ AP)V ( P / R0 )dm P∈( S ) r r ∫ (V ( P / R0 ),Ω (S / R0 ), AP)dm P∈( S ) r (car V ( A / R0 ) est indépendante du po int courant P) 30 ( ) r r r = V ( A / R0 ) mV (G / R0 ) + Ω( S / R0 ) r ∫ ( AP ∧V ( M / R0 ))dm P∈( S ) ( ) r r = V ( A / R0 ) mV (G / R0 ) + r r ∫ (Ω( S / R0 ), AP,V ( P / R0 ))dm P∈( S ) ( ) r r r r = V ( A / R0 ) mV (G / R0 ) + Ω( S / R0 ).σ A ( S / R0 ) r r mV (G / R0 ) Ω ( S / R0 ) = r ⊗ r σ A ( S / R0 ) A V ( A / R0 ) A 31 Remarque importante La valeur de l’énergie cinétique est indépendante du point de calcul A car le comoment de deux torseurs est invariant. Il est donc recommandé de choisir un point A qui rend le calcul plus facile : point fixe dans (R0) ou point coïncidant avec le centre d’inertie G. 32 5-3- ENERGIE CINETIQUE D’UN SOLIDE INDEFORMABLE r 1 r2 1T r (S ) T ( S / R0 ) = m V ( A / R0 ) + Ω ( S / R0 ) M A Ω ( S / R0 ) 2 2 r r + m Ω ( S / R0 ). AG ∧ V ( A / R0 ) [ ] Pour la démonstration voir cours polycopié 33 5-4- CAS PARTICULIERS TRES IMPORTANTS - Cas où le point A est fixe dans (R0): r 1T r (S) T ( S / R0 ) = Ω( S / R0 ) M A Ω( S / R0 ) 2 - Cas où le point A est confondu avec le centre d’inertie G: « Energie cinétique de la masse concentrée m centrée en G » r 1 r2 1T r (S) T ( S / R0 ) = mV (G / R0 ) + Ω ( S / R0 ) M G Ω (S / R0 ) 2 2 Théorème de Koenig pour l’énergie cinétique 34 6- ELEMENTS CINETIQUES D’UN SYSTEME DE SOLIDES 35 6-1- TORSEUR CINETIQUE n [C (Σ / R0 )] = ∑ [C ( Si / R0 )] i =1 Avec r R C ( Σ / R 0 ) = r σ A ( Σ / R 0 ) = ∑ r RC ( Si / R0 ) ∑ σ A (Si / R0 ) n i =1 n i =1 r 36 6-2- TORSEUR DYNAMIQUE n [D(Σ / R0 )] = ∑ [D( Si / R0 )] i =1 Avec r R D (Σ / R0 ) = r δ A (Σ / R0 ) = n ∑ i =1 n r R D ( S i / R0 ) r ∑δ i =1 A ( S i / R0 ) 37 6-3- ENERGIE CINETIQUE n T (Σ / R0 ) = ∑ T ( Si / R0 ) i =1 38 FIN DU CHAPITRE 4 MERCI DE VOTRE ATTENTION Rachid MESRAR Professeur de l’enseignement supérieur Département de physique Faculté des sciences Agadir email: [email protected] FSAAGADIR MECANIQUE SOLIDE COURS Rachid MESRAR SMP/SMA https://sites.google.com/site/saborpcmath/ COURS DE SOUTIEN SMPC SMAI ENSAM ENSA FST Résumé des cours, corrigé des exercices et des examens, pour les étudiants niveau universitaire تصحيح المتحانات+ تمارين شاملة+ ملخص شامل للدروس PHYSIQUE : CHIMIE : MATH : INFORMATIQUE : Veuillez nous contacter : 06-38-14-88-74 par whatsapp :06-02-49-49-25
