ENP Dépt. G. Méca G. Civil MMC 1ere Année, Série 4 x2 Exercice N°1 X On se propose d’étudier un tube élastique Xr θ supposé infiniment long, de rayon intérieur R1 R1 et de rayon extérieur R2. Le tube est soumis à une pression uniforme et radiale sur sa surface r p intérieure et libre sur la surface extérieure. x1 O 1-Trouver la forme générale du champ de déplacement 2-Déduire l’état de contrainte dans le tube 3- Quelle est la réponse d’une jauge collée sur la surface Extérieure et perpendiculairement à l’axe du tube (déformation circonférentielle) ?. (on néglige les forces de volume) R2 Tube élastique Figure 1 : Tube élastique sous pression Exercice N°2 Appliquons la solution de l’exercice précédent pour le tube considéré mince d’épaisseur t=R2-R1 (t<<R1). Nous plaçons deux jauges de déformation tel que représenté sur la figure 2 ci-dessous. Nous obtenons les mesures reportées sur le tableau 1 1-Exprimer la contrainte dans le cas considéré. Compléter la colonne 2- Déduire le module de Young moyen. A quel type de matériau cela correspond ?. 3-A partir des réponses des jauges 1 et 2, tracer la courbe déformation axiale en fonction de la déformation circonférentielle. Quelle caractéristique peut-on déduire ?. Epaisseur du tube t=3mm, rayon intérieur R1=80mm Jauge 2 Jauge 1 Figure 2 : Tube mince Tableau1 : Mesure de pression et de déformations Pression (MPa) 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 2020/2021 (MPa) réponse jauge 1 (10-6) 0 95 190 285 380 480 575 réponse jauge 1 (10-6) 0 -33 -65 -100 -130 -160 -195 Page 1 ENP Dépt. G. Méca G. Civil MMC 1ere Année, Série 4 Exercice N°3 Un axe supposé pesant élastique pesant de masse volumique de rayon R1. tourne autour de son axe R1 à une vitesse uniforme 1 Donner la forme générale du champ de déplacement 2 Trouver l’expression générale de l’état de contrainte 3 Ecrire les conditions aux limites 4 Déduire l’expression finale de l’état de contrainte (NB : On négligera les forces de volume dues à la pesanteur) 𝑥⃗2 r 𝑥⃗1 O Données: Module de Young E, Coefficient de Poisson, R2=2R1 Axe élastique Exercice N°4 On se propose de réaliser un emmanchement forcé d’un axe supposé infiniment rigide dans un tube un tube élastique de rayon intérieur R1, de rayon extérieur R2 et de hauteur H. Le serrage est estimé à r. 1-Trouver la forme générale du champ de déplacement. 2-Exprimer la condition aux limités en déplacement. 3-Déduire l’état de contrainte dans le tube. 4-Estimer la charge nécessaire pour réaliser l’emmanchement. Hypothèses: Négliger les forces de volume Le contact axe/tube est de type Coulomb (contrainte mobilisée par le frottement = f=kp, p=pression de contact axe/tube), hypothèse en déformation plane. Données : Module de Young E=200 GPa, Coefficient de Poisson =0,3. R1=40mm, R2=50mm, Hauteur du tube H=50mm. Serrage r =0,002, coefficient de frottement k=0,3 2020/2021 Page 2 ENP Dépt. G. Méca G. Civil MMC 1ere Année, Série 4 Exercice N°5 On considère un tube suppose de longuer infinie de rayon intérieur R1 et de rayon extérieur R2. Le tube supporte une pression uniforme et radiale p sur sa surface extérieure et libre sur sa surface extérieur. 1.Par analogie, Utiliser la forme générale de l’exercice 1 pour le champ de déplacement 2. Déduire l’état de contrainte pour une disque plein R2 X 𝑥⃗2 r Xr 𝑥⃗1 O R1 Tube élastique Notes : Relation déplacements-déformations en coordonnées cylindriques : 𝜕𝑢𝑟 , 𝜕𝑟 𝜀𝜃𝜃 = 1 𝜕𝑢𝜃 𝑢𝑟 + , 𝑟 𝜕𝜃 𝑟 1 𝜕𝑢𝜃 1 𝜕𝑢𝑟 𝑢𝜃 ( + − ), 2 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝑟 𝜀𝜃3 = 1 𝜕𝑢𝜃 1 𝜕𝑢3 ( + ) , 2 𝜕𝑥3 𝑟 𝜕𝜃 𝜀𝑟𝑟 = 𝜀𝑟𝜃 = 2020/2021 𝜀33 = 𝜕𝑢3 𝜕𝑥3 𝜀𝑟3 = 1 𝜕𝑢𝑟 𝜕𝑢3 ( + ) 2 𝜕𝑥3 𝜕𝑟 Page 3
