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Dégénérescence
(physique quantique)
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Dégénérescence.
En physique quantique, la dégénérescence est
le fait pour plusieurs états quantiques distincts
de se retrouver au même niveau d'énergie. Un
niveau d'énergie est dit dégénéré s'il correspond
à plusieurs états distincts d'un atome, molécule
ou autre système quantique. Le nombre d'états
différents qui correspond à un niveau donné est
dit son degré de dégénérescence.
Mathématiquement, la dégénérescence est
décrite par un opérateur hamiltonien ayant

plusieurs fonctions propres avec la même
valeur propre.
Le phénomène est dû la plupart du temps à une
symétrie entre les états. La brisure extérieure ou
spontanée de la symétrie lève la
dégénérescence. L'effet Zeeman ou la structure
fine du spectre atomique sont des exemples de
levée de dégénérescence.
La dégénérescence joue aussi un rôle dans la
physique statistique. Au cas d'un système de N
particules en trois dimensions, un niveau
d'énergie peut correspondre à plusieurs
fonctions d'onde ou états physiques. Ces états
dégénérés possèdent tous la même probabilité
d'être remplis.
Description mathématique

Mathématiquement, les états possibles d'un
système quantique peuvent être considérés
comme vecteurs dans un espace de Hilbert
séparable et complexe, tandis que les
observables peuvent être représentées comme
opérateurs linéaires et hermitiens qui agissent
sur ces vecteurs. En choisissant une base
appropriée, les composantes des vecteurs et les
éléments matriciels des opérateurs par rapport
à cette base peuvent être déterminés. Si A est
matrice N × N, X est vecteur, et λ est scalaire, de
telle sorte que , alors le scalaire λ
est dit valeur propre de A et le vecteur X est dit
vecteur propre qui correspond à λ. L'ensemble
de tout vecteur propre qui correspond à une
valeur propre donnée λ, ainsi que le vecteur nul,
forme un sous-espace de Cn, dit l'espace propre
de λ.

Une valeur propre λ est dite dégénérée si elle
correspond à deux ou plusieurs vecteurs
propres qui sont linéairement indépendants,
c'est-à-dire et , où
et sont des vecteurs propres
linéairement indépendants. La dimension de
l'espace propre qui correspond à cette valeur
propre est dite son degré de dégénérescence,
et peut être soit fini soit infini. Une valeur propre
est dite non-dégénérée si son espace propre est
unidimensionnel.
Les valeurs propres des matrices représentant
des observables physiques dans la mécanique
quantique correspondent aux valeurs
mesurables de ces observables, tandis que les
états propres qui correspondent aux valeurs
propres sont les états possibles auxquels le
système peut se trouver lors d'une mesure. Les
valeurs mesurables de l'énergie d'un système

quantique sont les valeurs propres de
l'opérateur hamiltonien, et les états propres sont
les états d'énergie fixe qui sont possibles. Une
valeur de l'énergie est dite dégénérée s'il existe
au moins deux états linéairement indépendants
de cette énergie. D'ailleurs, toute combinaison
linéaire de deux ou plusieurs états propres
dégénérés est aussi un état propre de
l'opérateur hamiltonien qui correspond à la
même valeur propre de l'énergie.
Dégénérescence dans une dimension
Dans plusieurs problèmes de mécanique
quantique, des solutions analytiques sont
obtenues plus facilement aux systèmes d'une
seule dimension. Pour une particule quantique
Dégénérescence dans une et dans
deux dimensions
…