Systèmes de Numération et Arithmétique Binaire - Cours

Cours circuits Logiques El Amjed HAJLAOUI 1
Chapitre 1 SYSTEMES DE NUMERATION
ET OPERATIONS ARITHMETIQUES
A- SYSTEMES DE NUMERATION :
Pour qu’une information numérique soit traitée par un circuit, elle doit être mise sous
forme adaptée à celui-ci. Il y a lieu alors de choisir un système de numération de base B
(B un nombre entier naturel ≥ 2).
De nombreux systèmes de numération sont utilisés en technologie numérique. Les
plus courants sont les systèmes décimal, binaire et hexadécimal.
Ι- Les différents types de numération :
1- Système Décimal :
Le système décimal comprend 10 chiffres qui sont 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Ce système est
appelé aussi système à base 10, il s’est imposé tout naturellement à l’Homme qui possède
dix doigts.
Exemple 1 :
2 5 7 = 2 . 1 0 2 + 5 . 10 1 + 7 . 10 0
Le 2 est le chiffre de poids le plus fort.
Le 7 est le chiffre de poids le plus faible.
Exemple 2 :
2745,214 = 2.103 + 7.102 + 4.101 + 5.100 + 2.10-1 + 1.10-2 + 4.10-3
De manière général, tout nombre est égale à la somme de produits de chaque chiffre par le
poids de son rang dans le nombre.
2- Système Binaire :
Le système décimal est difficile à adapter aux systèmes numériques. Par exemple, il est
difficile de concevoir des équipements électroniques qui puissent fonctionner avec dix
niveaux de tensions différents. Par contre, il est très facile d’imaginer des systèmes
électroniques qui fonctionnent seulement avec deux niveaux de tension. C’est le raison
pour laquelle la plus part des systèmes numériques ont recours au système binaire (base 2)
comme système de numération. Dans le système binaire, il n’y a que deux chiffres
possibles 0 et 1.
Dans le système binaire, le chiffre binaire est souvent abrégé en bit.
Exemple 1 :
1011 = 1.23 + 0.22 + 1.21 + 1.20 = 11(10)

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Exemple 2 :
1011,101 = 1.23 + 0.22 + 1.21 + 1.20 + 1.2-1 + 0.2-2 + 1.2-3 = 11.62510
3- Système Hexadécimal :
Le système hexadécimal ou base 16 contient 16 chiffres qui sont les dix chiffres 0 à 9
plus les lettres A, B, C, D, E, F.
Le tableau ci-dessous montre les équivalences entre les systèmes hexadécimal, décimal
et binaire.
Hexadécimal Décimal Binaire
0 0 0000
1 1 0001
2 2 0010
3 3 0011
4 4 0100
5 5 0101
6 6 0110
7 7 0111
8 8 1000
9 9 1001
A 10 1010
B 11 1011
C 12 1100
D 13 1101
E 14 1110
F 15 1111
Exemples :
356(16) = 3.162 + 5.161 + 6.160 = 854(10)
2AF(16) = 2.162 + 10.161 + 15.160 = 687(10)
Notez dans le deuxième exemple qu’on a substitué à A la valeur 10 et à F la valeur 15.
ΙΙ- Les différent types de conversions
Il s’agit de processus de conversion d’un système de base B1 à un système de base B2.
1- Conversion Binaire- Décimal :
Tout nombre binaire peut être transformé en son équivalent décimal simplement en
additionnant les poids des diverses positions où se trouve la valeur 1.
Voici un exemple :
1 1 0 1 1
1.24 + 1.23 + 0.22 + 1.21 + 1.20 = 16+8+2+1 = 2710

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2- Conversion Décimal- Binaire :
Pour convertir un nombre décimal en nombre binaire, on recourt à la répartition de la
division par 2 du nombre décimal à convertir et au report des restes pour chaque division
jusqu’à ce que le quotient soit 0. Le nombre binaire cherché est obtenu en écrivant le
premier reste à la position du bit de poids le plus faible et le dernier reste à la position du
bit de poids le plus fort.
Exemple : 25 2
1 12 2
0 6 2
0 3 2
1 1 2
1 0
Donc 2510 = 11001
3- Conversion Hexadécimal – Décimal :
Un nombre hexadécimal peut être converti en son équivalence décimal en additionnant le
produit de chaque chiffre du nombre hexadécimal par le poids correspondant.
Exemple :
2AF16 = 2.162 + 10.161 + 15.160 = 512 +160 +15 = 68710
4-Conversion Décimal - Hexadécimal :
Pour convertir un nombre décimal en nombre hexadécimal, on procède à la division
successive par 16.
Exemple : 423 16
7 26 16
10 1 16
1 0
Donc 42310 = 1A716
On remarque que les restes supérieurs à 9 exprimés au moyen des lettres A à F.
5- Conversion Hexadécimal – Binaire
La conversion d’un nombre hexadécimal en nombre binaire ne pose aucun problème,
puisque chaque chiffre hexadécimal est remplacé par son équivalence binaire de 4 bits.
Exemple :
9 F 2
1001 1111 0010 = 100111110010

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6- Conversion Binaire – Hexadécimal
Cette conversion est tout simplement l’inverse de la précédente. Le nombre binaire est
divisé en groupe de 4 bits, puis on substitue à chaque groupe son chiffre hexadécimal
équivalent.
Au besoin, on ajoute des 0 à gauche pour obtenir un groupe de 4 bits.
Exemple :
0011 1010 0110
3 A 6 = 3A616
B- ARITHMETIQUE BINAIRE
Ι- Ecriture d’un nombre binaire signe
Un nombre binaire signé est composé par :
• Le nombre binaire en question ( grandeur exacte)
Exemple : 4710 = 101111
• Un bit de signe indique si le nombre est positif ou négatif. Ce bit de signe est le
premier bit à gauche de l’ensemble de bits.
Exemple :
Nombre positif : +4710 = 0 1 0 1 1 1 1
Bit de grandeur = 4710
signe exacte
Nombre négatif : -4710 = 1 1 0 1 1 1 1
Bit de grandeur = 4710
Signe exacte
Cette méthode présente plusieurs inconvénients :
- Pour effectuer une opération sur des entiers positifs et négatifs, il faut tester
systématiquement le bit de signe.
- Il est nécessaire de définir une opération de soustraction des valeurs absolues.
- Il existe deux représentations du 0, qui peut être interprété comme 0 positif ou négatif.
C’est pour ces raisons qu’on n’utilise pas cette convention pour écrire les nombres
négatifs, mais plutôt la notation en complément à 2, qui est définit de la façon
suivante :
Complément à 2 :
Le complément à 2 d’un nombre binaire s’obtient en changeant chaque 0 par 1 et chaque 1
par 0( cette étape est appelée complément à 1) et en ajoutant 1 au bit de poids le plus faible.
La notation en complément à 2 est très utile car avec, on peut faire une soustraction en
effectuant en réalité une addition. Cela est très important dans le cas des ordinateurs et les
calculateurs, puisque avec les mêmes circuits, on effectue l’adition et la soustraction.
Exemple : le complément à 2 de 4510 = 101101 est :
Le complément à 1 : 010010
+ 1
Le complément à 2 : 010011
Remarque 1 : Pour revenir d’un nombre complémenté à 2 au nombre binaire initial, il faut de
nouveau complémenter à 2.
Remarque 2 : En notation en complément à 2 et avec N bits, on représente les nombres signés
compris entre -2N-1 à 2N-1 -1

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A titre d’exemple : pour N = 3 bits, on a :
ΙΙ- Addition Binaire
Trois cas peuvent se présenter avec l’addition binaire :
• L’addition de deux nombres positifs.
• L’addition de deux nombres de signes contraires.
• L’addition de deux nombres négatifs.
La méthode consiste à écrire les nombres positifs en notation exacte et remplacer les
nombres négatifs par leur complément à 2 avant l’addition. Si le résultat est positif, il est en
notation exacte, s’il est négatif, il est en notation complément à 2.
1-Addition des nombres non signes
Effectuons l’addition des deux nombres suivants. L’écriture de l’addition est la suivante :
1er nombre : +910 1001
2ème nombre : +410 0100
Résultat : 1101
REMARQUE TRES IMPORTANTE :
Il faut s’assurer que le résultat se tient dans N bits, pour cela le résultat doit se tenir dans
l’intervalle [0,2N -1], sinon, il y aura un dépassement et par conséquence le résultat est
inexact.
Exemple :
1er nombre : +910 1001
2ème nombre : +810 1000
Résultat 1 0001
↑
dépassement
Valeur Décimal Nombre Binaire Signe en
Complément à 2
-8=-23 1000
-7 1001
-6 1010
-5 1011
-4 1100
-3 1101
-2 1110
-1 1111
0 0000
1 0001
2 0010
3 0011
4 0100
5 0101
6 0110
7=23 -1 0111