CHARGE ET INTERACTIONS ELECTROSTATIQUES I. Introduction L'électrostatique est la branche de la physique qui étudie les phénomènes (champ et potentiel électrostatique) créés par des charges électriques statiques pour l'observateur. Les forces électrostatiques sont décrites par la loi de Coulomb qui présente une certaine analogie avec l’interaction gravitationnelle. II. Différents modes d’électrisation Depuis l’antiquité (Thalès de Milet, 4ème siècle avant J. C), certaines substances frottées comme l’ambre attirent les corps légers. On admet, aujourd’hui, que le frottement fait apparaître des charges électriques, c’est le phénomène de l’électrisation. On trouve plusieurs modes d’électrisation : 2-1. Electrisation par frottement Certains corps frottés acquièrent la propriété d’attirer les corps légers. On dit qu’ils sont électrisés par frottement. Dans certains matériaux, l’électrisation peut se répartir en tous leurs points, ce sont les conducteurs, dans d’autres, elle ne se manifeste que sur la partie frottée, ce sont les isolants. Dans tous les cas, l’électrisation représente un phénomène de transfert de charges. 2-2. Electrisation par contact On prend une baguette électrisée A et on la met en contact avec une autre baguette de verre non électrisée B, nous constatons, après séparation, que cette dernière possède à son tour la propriété d’attirer les corps légers. On dit qu’elle s’est électrisée par contact. 2-3. Electrisation par influence On utilise un pendule électrique, qui se compose par exemple, d’une petite boule de moêlle de sureau suspendue par un fil de soie à un support (Fig. 1). Figure 1 Quand on approche un corps électrisé, la boule est attirée, car elle s’est électrisée par influence. Ce phénomène d’influence est à l’origine de l’attraction des petits morceaux de papier. III. Les deux espèces d’électricité On frotte une baguette de verre avec un morceau de drap et on met l’extrémité B (frottée) de la baguette électrisée en contact avec la boule d’un pendule électrique. Dès que B s’approche de la boule, il y a répulsion de la boule de sureau par B (Fig. 2). Figure 2 Maintenant, si on remplace la baguette de verre par un bâton d’ébonite frotté avec une peau de chat, il y a attraction (Fig. 3). Figure 3 A partir de ces deux possibilités (attraction ou répulsion), on peut déduire l’existence de deux espèces d’électricité. On les désigne sous le nom de charges positive (+) et charge négative (). L’expérience montre qu’il y a attraction entre des charges de signes différentes et répulsion entre des charges de mêmes signes. La charge macroscopique positive d’un corps est due à un manque d’électrons de ce corps et la charge négative est due à un excès d’électrons. IV. La charge électrique 4-1. Définition La charge électrique d’une particule est une grandeur scalaire (algébrique) qui caractérise les actions électromagnétiques subies ou exercée par la particule. La charge électrique joue dans l’interaction électrostatique le même rôle que joue la masse (scalaire positive) dans l’interaction gravitationnelle. 4-2. Quantification de la charge A l’échelle microscopique, l’expérience de Millikan (1913) montre que la charge électrique varie de façon discontinue et se présente sous forme de quantité bien déterminée. On dit qu’elle est quantifiée. Sa valeur est un multiple entier d’une charge qu’on peut prendre comme charge élémentaire, notée e. Celle-là est bien la valeur absolue de la charge d’un électron e = 1,60219 10-19 C. Les particules élémentaires, constituant la matière, ont pour charges : - l’électron : 𝑞𝑒 = −𝑒 = − 𝑙, 60 10−19 𝐶 ; - le proton : 𝑞𝑝 = 𝑒 = 1,60 10−19 𝐶 ; - le neutron : sa charge est nulle. L’unité de la charge est le coulomb C dans le SI. (MKSA). 4-3. Invariance de la charge électrique Le principe de conservation de la charge est l’un des principes fondamentaux de conservation qui sont à la base de la physique, tels que la conservation de l’énergie, de la quantité de mouvement... Il exprime que la charge électrique d'un système isolé est un invariant. V. Loi de Coulomb 5-1. Enoncé de la loi de Coulomb Considérons dans le vide, deux charges ponctuelles q1 et q 2 , fixées en M1 et M2 respectivement. Les deux charges stationnaires q1 et q 2 exercent l’une sur l’autre une force proportionnelle à chacune des deux charges et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare. Ces deux forces électrostatiques sont dirigées suivant la droite qui lie les deux charges (Fig. 4). Elles sont attractives si les deux charges sont de signes opposées (Fig. 4-a) ou répulsives lorsqu’elles ont le même signe (Fig. 4-b). Figure 4-a (𝐪𝟏 𝐪𝟐 < 𝟎) Figure 4-b (𝐪𝟏 𝐪𝟐 > 𝟎) ⃗ 12 exercée par q1 sur la charge q 2 s’écrit sous la forme : La force F 𝐅𝟏𝟐 = 𝟏 𝐪𝟏 𝐪𝟐 ⃗ 𝟏𝟐 𝐮 𝟒𝛑𝛆𝟎 𝐫 𝟐 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀 𝑀 1 2 Où r est la distance entre q1 et q 2 , et 𝑢 ⃗ 12 est le vecteur unitaire défini par : 𝑢 ⃗ 12 = ‖𝑀 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀 ‖ 1 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀1 𝑀2 𝑟 ε0 est la permittivité du vide : ε0 = 8.8541 10−12 𝐹. 𝑚−1 Conformément au principe de l’action et de la réaction, la force ⃗F21 exercée par q 2 sur la charge q1 est l’opposée de ⃗F12 : 𝐅𝟐𝟏 = −𝐅𝟏𝟐 ⃗ 12 et F ⃗ 21 sont dirigées par la droite qui lie les deux charges q1 et q 2 . Les forces F Analogie avec l’interaction de gravitation 5-2. Deux points matériels de masse m1 et m2 , placés respectivement en M1 et M2 exercent l’un sur l’autre une force de gravitation. La force ⃗F12g exercée par m1 sur m2 est : r m2 ⃗ 𝑭 𝟏𝟐 m1 ⃗ 𝟏𝟐 𝒖 ⃗𝑭 𝟐𝟏 Figure 5 𝐅𝟏𝟐𝐠 = −𝐆 𝐦𝟏 𝐦𝟐 ⃗ 𝟏𝟐 𝐮 𝐫𝟐 Où G est la constante de gravitation universelle. La force de gravitation a la même formulation mathématique que la force électrostatique : elle est dirigée suivant la droite qui lie les deux points matériels M1 et M2 et inversement proportionnelle au carré de la distance qui sépare les deux points. La force de gravitation joue un rôle fondamental dans la mécanique des objets macroscopiques et dans la dynamique céleste. Cependant, à l’échelle atomique, cette force de gravitation est négligeable. A titre d’exemple, comparons la force de gravitation qui s’exerce entre l’électron et le proton d’un atome d’hydrogène à la force électrostatique s’exerçant entre eux. La distance r qui sépare l’électron de masse me = 9,11 10−31 kg du proton de masse mp = 1,7 10−27 kg est environ r = 5 10−11 𝑚. ‖𝐅𝐞 ‖ = 𝟏 𝒆𝟐 (𝟏, 𝟔 𝟏𝟎−𝟏𝟗 )𝟐 𝟗 = 𝟗. 𝟏𝟎 = 𝟗 𝟏𝟎−𝟖 𝑵 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒓𝟐 (𝟓 𝟏𝟎−𝟏𝟏 )𝟐 𝒎𝒆 𝒎𝒑 (𝟗, 𝟏𝟏 𝟏𝟎−𝟑𝟏 )(𝟏, 𝟕 𝟏𝟎−𝟐𝟕 ) −𝟏𝟏 ‖𝐅𝐠 ‖ = 𝑮 = 𝟔. 𝟕. 𝟏𝟎 = 𝟒 𝟏𝟎−𝟒𝟕 𝑵 𝒓𝟐 (𝟓 𝟏𝟎−𝟏𝟏 )𝟐 Comparons les deux forces : ‖𝐅𝐞 ‖ 𝟗 𝟏𝟎−𝟖 = 𝟒 𝟏𝟎−𝟒𝟕 ~𝟏𝟎𝟑𝟗 ‖𝐅 ‖ 𝐠 La force électrostatique est 1039 fois supérieure à la force de gravitation. On peut alors s’étonner du fait que dans notre vie quotidienne, nous ne ressentions pas ces forces énormes d’origine électrique. En effet, l’existence de deux types de charges de signe contraire, mais de même valeur absolue conduit à des forces de répulsion et d’attraction et la neutralité électrique de la matière assure une compensation entre ces deux types de forces. Par contre, les forces gravitationnelles bien qu’elles ont une intensité très faible, produisent des effets significatifs car elles sont toujours attractives. 5-3. Principe de superposition Considérons trois charges ponctuelles q1 , q 2 et q fixées respectivement en P1, P2 et M : Figure 6 La loi de Coulomb permet de calculer la force ⃗⃗⃗ 𝐹1 subie par la charge q lorsqu’elle est uniquement en présence de q1 . On peut, de la même manière, calculer ⃗⃗⃗ 𝐹2 , force subie par q lorsque seule q 2 est en présence. ⃗ subie par q, lorsqu’elle est en présence des deux charges q1 L’expérience montre que la force F et q 2 , est la somme vectorielle des deux forces ⃗⃗⃗ 𝐹1 et ⃗⃗⃗ 𝐹2 : 𝐅 = ⃗⃗⃗⃗ 𝑭𝟏 + ⃗⃗⃗⃗ 𝑭𝟐 = 𝒒𝒒𝟏 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑷𝟏 𝑴 𝒒𝒒𝟐 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑷𝟐 𝑴 + 𝟑 𝟑 𝟒𝝅𝜺𝟎 ‖𝑷 𝟒𝝅𝜺𝟎 ‖𝑷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝟏 𝑴‖ 𝟐 𝑴‖ = 𝒒( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒒𝟏 𝑷𝟏 𝑴 𝒒𝟐 𝑷𝟐 𝑴 + 𝟑 𝟑) 𝟒𝝅𝜺𝟎 ‖𝑷 𝟒𝝅𝜺 𝟎 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖𝑷𝟐 𝑴‖ 𝟏 𝑴‖ Ce résultat est vérifié quelque soit le nombre de charges en présence. La force ⃗F subie par une charge q placée en M, en présence de n charges q1 , q 2 , . . . , q n fixées en P1 , P2 , . . . , Pn est la somme vectorielle des forces dues à l’interaction de chacune des charges avec q : 𝐢=𝐧 𝐢=𝐧 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐪𝐢 𝐏𝐢 𝐌 𝟑 𝟒𝛑𝛆𝟎 ‖𝐏 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐢=𝟏 𝐢 𝐌‖ 𝐅 = ∑ ⃗⃗𝐅𝐢 = 𝐪 ∑ 𝐢=𝟏 Cette expression exprime le principe de superposition : La force totale ⃗F due à un ensemble de charges est la somme vectorielle de l’effet de chaque charge prise individuellement. Ce qui suppose que la force s’exerçant entre deux charges n’est pas modifiée par la présence d’une troisième charge. Il y a donc indépendance des effets : la solution est simplement la somme des solutions calculées pour chaque couple de charges. Il en résulte que les équations de l’électrostatique sont des équations linéaires. Cependant, il ne faut pas en déduire que c’est un principe général en physique. En effet, le principe de superposition ne s’applique pas toujours ; par exemple, dans le domaine atomique ou subatomique, des effets quantiques de nature électromagnétique, non linéaires peuvent apparaître. 5-4. Application Quatre charges ponctuelles sont placées dans le vide aux quatre coins d’un carré ABCD : (A(q), B(q), C(−2q), D(2q). ⃗ D s’appliquant sur la charge située Déterminer les caractéristiques de la force électrostatique F au point D (en prenant q = 4 . 10−6 C et AB = r = 0,2 m).
