cours maths calvin

Calvin
2020-2021
Licence Creative Commons
Cours
de
mathématiques
re
1
année
Jann W EISS
SOMMAIRE
1 Calcul numérique et notions algébriques de base
1.1 Les ensembles de nombres . . . . . . . . .
1.2 La droite numérique . . . . . . . . . . . . .
1.3 Calcul numérique . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Puissances . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Racines . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Propriétés des opérations . . . . . .
1.3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Rappel et complément sur les proportions
1.4.1 Propriétés d’une proportion . . . .
1.4.2 Application aux pourcentages . . .
1.4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Transformations d’écritures . . . . . . . . .
1.5.1 Développer, réduire . . . . . . . . .
1.5.2 Factoriser . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Identités remarquables . . . . . . . . . . . .
1.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Résolution des équations du 1er et du 2e degré
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
6
10
11
11
12
13
13
19
19
20
20
21
21
22
23
23
25
1er
Équation générale du
degré ax + b = 0 avec a 6= 0 . . .
Les « équations-produits » . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Les équations comportant des quotients . . . . . . . . . .
Équations littérales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problèmes résolus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Équation générale du 2e degré ax 2 + bx + c = 0 avec a 6= 0
2.7.1 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Équations paramétriques à une inconnue . . . . . . . . .
2.9 Problèmes conduisant à une équation de second degré .
2.10 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Systèmes linéaires
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33
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39
40
41
42
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3.1 Rappels sur les systèmes linéaires (2,2)
3.1.1 Système de coordonnées . . . .
3.1.2 Équation de la droite : y = ax + b
3.1.3 Systèmes linéaires . . . . . . . .
3.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Inéquations et programmation linéaire
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1er
4.1 Les inéquations du
degré à une inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Les propriétés des inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 La résolution d’une inéquation de 1er degré à une inconnue . . . . . . . . . .
4.1.3 Les demi-droites et les intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Les systèmes d’inéquations à une inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Programmation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Inéquations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Systèmes d’inéquations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Polygone des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.4 Programmation linéaire ou comment optimiser une fonction à 2 variables ?
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5 Géométrie euclidienne
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60
62
62
63
64
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5.1 Les axiomes de base ou les règles du jeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Notations et conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
68
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5.3 Le triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Triangle rectangle et théorème de Pythagore . . . . . . . . . .
5.3.2 Théorème des milieux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Les droites remarquables dans le triangle . . . . . . . . . . .
5.3.4 Triangle rectangle et cercle ou théorème du cercle de Thalès
5.4 Propriétés sur les proportions (utiles pour la suite) . . . . . . . . . . .
5.4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Propriétés d’une proportion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Le théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Les configurations de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2 Réciproque du théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.3 Les triangles semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.4 Conséquences du théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . .
5.6 Applications pratiques du théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . .
5.6.1 Partage d’un segment en n parties égales . . . . . . . . . . . .
5.6.2 Calculer la hauteur d’un arbre par temps ensoleillé . . . . . .
5.6.3 Calculer la hauteur d’un arbre par temps nuageux . . . . . .
5.6.4 Calculer la largeur d’une rivière . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Théorème de l’angle inscrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8 Théorème d’Euclide et théorème de la hauteur . . . . . . . . . . . .
5.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.10 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.10.1 Axiomatique de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.10.2 Axiomatique originale d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Trigonométrie dans le triangle rectangle
6.1 Connaissances préalables . . . . . . . . .
6.1.1 Configurations de Thalès . . . . .
6.2 Les fonctions trigonométriques . . . . . .
6.3 Les angles . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Angle au centre et arc intercepté .
6.3.2 Exercices résolus . . . . . . . . . .
6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Résolution de triangles . . . . . . . . . . .
6.5.1 Résolution de triangles rectangles
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70
72
74
76
77
78
78
78
79
79
80
81
81
82
82
82
83
83
83
84
86
96
96
97
98
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7.1 Une fonction à partir d’un tableau . . . . . . . . . .
7.2 Une fonction à partir d’un graphique . . . . . . . .
7.2.1 Remplissage d’un récipient . . . . . . . . . .
7.2.2 Déplacement d’une voiture . . . . . . . . . .
7.3 Fonctions à partir d’une formule . . . . . . . . . . .
7.4 Suite de « Une fonction à partir d’un tableau » . . .
7.5 Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Graphiques des fonctions affines . . . . . . . . . . .
7.7 Fonctions quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8 Tableau de signes et zéros d’une fonction . . . . . .
7.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.10 À savoir ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.10.1 La droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.10.2 La parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.10.3 Les trois formes de la fonction quadratique
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7 Les fonctions
99
99
99
101
101
102
102
103
104
110
111
111
111
112
112
113
115
118
121
122
122
128
128
129
132
CHAPITRE
1
Calcul
numérique et
notions
algébriques de
base
6
1.1. LES ENSEMBLES DE NOMBRES
1
Les ensembles de nombres
Les entiers
N = {0,1,2,3,4,5,. . . } est l’ensemble des entiers naturels
Z ={0,+1,-1 ;+2 ;-2 ;+3 ;-3,. . . } est l’ensemble des entiers relatifs
N⊂Z
Z est une extension de N qui se justifie du fait que la soustraction n’est pas toujours définie dans N.
12 ∈ N et , 17 ∈ N
mais 12 − 17 = −5 et −5 6∈ N
L E SYSTÈME DÉCIMAL
Notre écriture des nombres est positionnelle et utilise la base décimale ; on l’appelle simplement
l’écriture décimale des nombres. Elle est très ancienne et découle d’un choix naturel dicté par les dix
doigts de nos mains. Dans cette base, il suffit de 10 symboles différents (0, 1, 2,..., 9) pour représenter
n’importe quel nombre. Ces symboles sont les chiffres. Le nombre (1213)10 , ou simplement 1213 en
omettant d’indiquer la base uniquement dans le cas de la base 10, s’écrit comme la somme suivante
de puissance de 10 :
1213 = 1 · 103 + 2 · 102 + 1 · 101 + 3 · 100 .
Activité
On remarque dans cet exemple que les deux « 1 » n’ont pas le même poids, l’un a le poids des milliers
(103 ) et l’autre le poids des dizaines (101 ). Cette notion de poids lié à la position du chiffre dans
le nombre explique pourquoi notre écriture est positionnelle. Lorsque l’on passe d’une position à
celle qui est directement voisine, le facteur multiplicateur est 10, la base du système. La raison est
directement liée au nombre limité de chiffres utilisés. Ainsi, en comptant depuis la première unité
une certaine quantité d’objets, en arrivant à 9, il est nécessaire de procéder à un regroupement pour
dénoter les 10 premières unités : ce sera 1 dizaine . On peut ensuite compter toutes les dizaines
jusqu’à 9, là aussi, il faudra faire un regroupement des 10 premières dizaines en 1 centaine, et ainsi
de suite... En changeant de base, le principe reste le même, c’est juste le facteur multiplicateur,
c’est-à-dire le nombre d’éléments dans un regroupement, qui change.
Si en passant de la position d’un chiffre dans un nombre à la position qui est juste à sa gauche le «
poids » du chiffre est 10 fois plus grand, alors cela implique que lorsqu’on multiplie un nombre dans
le système décimal par 10, la quantité obtenue s’obtient en décalant tous les chiffres du nombre
d’un cran à gauche, ce qui laisse apparaître à la droite du nombre une position vide.
103
Remarque
102
101
100
1
3
2
10
·
=
103
102
101
100
1
3
2
.
qui signifie qu’il n’y a plus d’unité, on écrira donc : 1 3 2 0 (la propriété utilisée est la distributivité).
On peut aussi écrire
132, 0 · 10 = 1320
Dans un système numérique fondé sur une autre base, par exemple la base 2 qui sera vue ci-après,
on a le même propriété. Si on multiplie un nombre par 2 (de manière plus générale, par le nombre
de la base), alors il faut déplacer tous les chiffres du nombre d’un cran à gauche en introduisant un
zéro à la droite du nombre.
— 17 · 1000 = 17000
— 34 · 105 = 3400000
Existe-t-il d’autres systèmes de numérations ?
BY:
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C
Exemples
— 45 · 100 = 45 · 10 · 10 = 4500
, 2010-2021
CHAPITRE 1. CALCUL NUMÉRIQUE ET NOTIONS ALGÉBRIQUES DE BASE
L E SYSTÈME BINAIRE
En informatique, l’écriture des nombres se fait en base 2 et découle d’un choix dicté par la présence ou l’absence de tension aux bornes d’un transistor. Dans cette base, il n’existe donc que deux
symboles (0 et 1) pour représenter n’importe quel nombre. Le nombre (1111011)2 s’écrit comme la
somme suivante de puissance de 2 :
123 = 1 · 26 + 1 · 25 + 1 · 24 + 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20 .
Nous pouvons ainsi écrire que (123)10 = (1111011)2 .
Pour comprendre cette écriture, partons d’un exemple plus simple : représenter 27 en binaire. Avec
2 chiffres (0 et 1), on ne peut aller au-delà d’une unité sans passer à un regroupement supérieur : les
paquets de 2 (21 ) unités (ellipses en pointillées). Mais ceux-ci, à leur tour, ne peuvent être comptés
au-delà de 1 sans passer à une unité supérieure, le paquet de 4 (22 ) qui représente 2 paquets de
2. On continue de la même manière, 2 paquets de 4 forment 1 paquet de 8 (23 ) et 2 paquets de 8
forment un paquet de 16 (24 ) ! Le nombre de bâtonnets dans la figure ci-dessous est ainsi
1 · 24 + 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20 = (11011)2 = 27
Activité
24
21
22
23
Lorsque nous utilisons un ordinateur (ou tout autre appareil numérique), toutes les informations
sont traduites en série de 0 et de 1. Pour des raisons de soucis de compatibilité, il a fallu uniformiser l’échange des informations entre les différents appareils. Ainsi, a été inventé en 1961 le jeu de
caractères codés ASCII (American Standard Code for Information Interchange) par l’américain Bob
Bemer.
a) Selon le codage ASCII, la lettre ’K’ correspond à la valeur numérique 75. Convertissez ce caractère ’K’ en code binaire.
b) Quel est le nombre en base 10 correspondant à la valeur binaire (1000011)2 ?
1 -1
Écrire le nombre 20 donnée en base décimale
a) en base 2 ;
b) en base 3 ;
c) en base 8.
Transformer 35 en base 2.
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, 2010-2021
7
8
1.1. LES ENSEMBLES DE NOMBRES
Les ordinateurs utilisent cette propriété pour calculer rapidement.
Qu’en est-il de la division par 2 en binaire ?
1 -2
Le stockage de l’information Lorsqu’une information doit être stockée en mémoire sur un ordinateur, il
est primordial de savoir la place nécessaire que prendra cette dernière avant de commencer à son enregistrement. Généralement la place mémoire est comptée en octet qui est une série de 8 chiffres binaires.
Dans un octet, il est donc possible d’inscrire les nombres de 00000000 à 11111111.
a) Combien de nombres différents peuvent tenir dans un octet ?
b) Quel est le plus grand nombre en base 10 qui puisse être mémorisé dans un octet ?
c) Combien d’octets sont-ils nécessaires pour stocker le nombre 22010 ?
d) Estimer le nombre de chiffres contenus dans le nombre 22010 ? L’approximation 210 = 1024 ≈ 103
peut-être utilisée.
e) Par quel chiffre se termine le nombre 22010 ?
Les décimaux
1 -3
Représenter
p
2 par une construction géométrique.
D désigne l’ensemble des nombres décimaux. Ce sont les nombres qui ont une écriture finie en base 10.
3
2,8
-4,116
sont des nombres décimaux
0, 3
−5, 2345
π
ne sont pas des nombres décimaux
Les décimaux sont les seuls nombres que connaît une calculatrice et en plus elle n’en connaît qu’une
partie.
Les rationnels
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire comme quotient de deux entiers (fraction). On sait
que celui-ci n’est généralement pas un entier
3
2
5 6∈ Z ou 3 6∈ Z
Parfois le quotient est un nombre décimal, d’autres fois c’est un nombre dont la partie décimale est illimitée (cf. exercice 1-3).
Q désigne l’ensemble des nombres rationnels.
1 -4
Montrer que dans ce dernier cas (où le quotient comporte une partie décimale illimitée) la partie décimale est périodique
1 -5
Montrer que tout nombre décimal est un nombre rationnel
1 -6
Montrer que tout nombre à partie décimale illimitée et périodique est un nombre rationnel.
1 -7
Montrer qu’entre deux nombres rationnels, il en existe toujours un 3e. Ce n’est pas le cas avec les entiers.
(cf.paradoxe de Zénon)
Les réels
p
Certains nombres comme 2 ou π ne peuvent s’écrire comme quotient de deux entiers : ce sont des
nombres irrationnels.
L’ensemble des nombres rationnels et des nombres irrationnels constitue l’ensemble des nombres réels
noté R.
1 -8
Fabriquer un nombre irrationnel
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$
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C
Remarque
Multiplier un nombre par 2 en binaire revient à ajouter un 0 tout à droite du nombre. De la même
manière que multiplier un nombre par 10 dans le système décimal revient aussi à ajouter un 0 au
bout du nombre.
Vérifier avec 35 !
, 2010-2021
CHAPITRE 1. CALCUL NUMÉRIQUE ET NOTIONS ALGÉBRIQUES DE BASE
9
Les pythagoriciens (Ve siècle avant notre ère) pensaient pouvoir tout ramener aux nombres entiers
ou à des rapports entre nombres entiers. En particulier, ils liaient l’harmonie du monde aux rapports rationnels existant entre les choses. Ainsi avaient-ils découvert que les harmonies musicales
pouvaient être exprimées par des rapports de nombres entiers. Par exemple, l’intervalle musical
entre la note produite par une corde tendue et celle produite par une autre dont la longueur est la
moitié de la première est une octave. La surprise vint d’une figure élémentaire : le carré. Sa diagonale est incommensurable avec son côté, c.-à-d. qu’il n’existe pas d’unité commune a pour laquelle
ces deux segments ont une mesure entière. Autrement dit, le rapport entre la diagonale et le côté ne
donne pas un nombre rationnel.
Remarque
Donc ce qu’on n’a pas, c’est quelque chose du genre :
diagonale = 14a
et côté = 10a
diagonale 14a 14
=
=
côté
10a 10
En effet, pour un carré de côté 1, la diagonale vaut
p
12 + 12 =
p
a
2.
L’antiphérèse : les Grecs de cette époque utilisaient une méthode pour déterminer une unité commune
entre deux segments appelée l’antiphérèse.
En préambule, à titre d’analogie, nous allons appliquer l’antiphérèse
à deux nombres, 119 et 85, plutôt que deux longueurs, pour rendre le
processus plus facile à comprendre.
119 ⇌ 85 ⇒ 119 − 85 = 34
85 ⇌ 34 ⇒ 85 − 34 = 51
51 ⇌ 34 ⇒ 51 − 34 = 17
34 ⇌ 17 ⇒ 34 − 17 = 17.
Le nombre 17 est le plus grand diviseur commun de 85 et 119 !
A
B
C
D
A1
B1
Essayer avec 130 et 56, puis avec 117 et 62 !
Soit deux segments [AB] et [CD] tels que AB > CD. On construit un
segment [A 1 B1 ] en prenant la différence entre les deux segments initiaux, comme ci-contre. Puis, on recommence la procédure avec les
deux segments [CD] et [A 1 B1 ]. Assez rapidement, on aboutit à deux
segments de même longueur. Cette longueur sera celle qui servira
d’unité commune entre les deux segments [AB] et [CD] de départ de
telle sorte que chacun d’eux pourra s’exprimer par un nombre entier
d’unités.
1. Montrer les limites de cette méthode.
2. Faire l’analogie avec la recherche du pgcd par la méthode des
soustractions successives.
Une application de cette même méthode permet aussi de montrer que le côté du carré n’est pas commensurable avec sa diagonale.
a. La flèche indique le passage de deux segments aux deux segments de l’étape suivante de l’antiphérèse
$
\
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C
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, 2010-2021
A
B
||
F
||
On l’applique aux segments [AB] et [AC]. Pour cela, on place le point
E sur [AC] tel que AE = AB, et le point F à l’intersection de la perpendiculaire à (AC) qui passe par E et de (BC).
(AC, AB) = (AC, AE) −→ a (AE, EC) = (AE, EF) = (AE, BF) = (BC, BF) −→
(BF, FC) = (EF, FC). On peut poursuivre la technique avec le carré de
côté [EF]. Si on finit par obtenir deux segments égaux, cela signifie
que l’on a trouvé un carré dont le côté et la diagonale ont la même
longueur, ce qui est contradictoire !
E
D
C
10
1.2. LA DROITE NUMÉRIQUE
1 -9
Montrer pourquoi on ne peut pas résoudre x 2 = 2 dans Q.
Même question pour x 2 = 3.
1 - 10
Dessiner un diagramme qui représente l’inclusion entre les différents ensembles de nombres.
Dans quel ensemble y a-t-il le plus nombres ? Le moins ?
La droite numérique
Il existe une bijection entre les nombres réels et les points d’une droite. Ce qui signifie qu’à chaque nombre
réel correspond un point sur la droite, et, inversement, à chaque point sur la droite correspond un nombre
réel. Cette bijection, assez naturelle et intuitive, mais non triviale à démontrer, est construite de la manière
suivante.
On prend une droite, horizontale, pour simplifier les choses. On
choisit un point sur la droite et on lui attribue l’étiquette O, pour
l’origine. Puis, on choisit un autre point à droite du précédent et
à une distance fixée. On lui donne l’étiquette i , pour l’unité. Cette
distance fixée qui peut valoir 1 cm, 3 cm ou n’importe quelle unité
de distance, détermine l’échelle. On associe le nombre 0 à l’origine
et 1 à l’unité. Le point se situant à droite de l’origine à deux fois
cette distance fixée aura l’étiquette 2, le point à gauche de l’origine
à la même distance que 0 et 1 aura l’étiquette -1, etc.
−1
0
×
3
4
1
2
3
On peut aussi placer les nombres rationnels comme 34 . En ce qui concerne les irrationnels ce procédé ne
marche pas, car, de par leur nature, ils n’ont aucune commune mesure avec un quelconque rationnel. Ceci
nous renvoie à un problème ancien : est-ce que les côtés d’un triangle rectangle sont « commensurables » ?
C’est vrai pour un triangle dont les dimensions sont 3, 4 et 5 cm pour les cathètes et l’hypoténuse, respectivement. Mais, si on prend 1 cm pour chacune des cathètes, qu’en est-il de l’hypoténuse (appelons-la z pour la
discussion). Pythagore nous livre
z 2 = 12 + 12 ,
c’est-à-dire z 2 = 2
La solution à l’exercice 7 nous permet de conclure qu’il n’y a aucune commune mesure entre l’hypoténuse et les
cathètes, ce qui veut dire qu’il n’est pas possible de diviser en un nombre entier de parties égales l’hypoténuse
et en même temps diviser les cathètes en un nombre entier de parts égales à celles qui divisent l’hypoténuse.
On peut trouver des approximations. Par exemple, en divisantpun côté en 5 parties, une de ces parties entre
presque 7 fois dans l’hypoténuse ( 75 est une approximation de 2).
Ceci n’empêche pas, toutefois, dans certains cas, de placer avec
exactitude un nombre
irrationnel sur la droite numérique. Prep
p
nons l’exemple de 2 (cf. exercice 7). Grâce à Pythagore, il est facile
1
0
2
de reproduire (cf. schéma ci-contre) sur une droite cette longueur
1
1
et ainsi de placer ce nombre sur une droite numérique. En fait, on
peut associer à tout nombre réel, rationnel ou irrationnel, un point
sur la droite.
Avec cette représentation géométrique qu’est la droite numérique, si a < b, alors le point correspondant à a se
trouvera à gauche du point correspondant à b.
b
Le nombre |a − b| a une interprétation simple dans le cadre
de cette image géométrique : il s’agit de la distance entre a et b
ou la longueur du segment dont les extrémités sont a et b. Ce qui
signifie, en particulier, en prenant un exemple d’usage fréquent,
que l’ensemble des nombres x satisfaisant |x − a| < ǫ peut être représenté comme l’ensemble des points dont la distance à a est inférieur à ǫ. Il s’agit de l’intervalle de a − ǫ à a + ǫ, ou, encore, des
nombres x tels que a − ǫ < x < a + ǫ.
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\
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C
2
, 2010-2021
a −ǫ
a
a +ǫ
CHAPITRE 1. CALCUL NUMÉRIQUE ET NOTIONS ALGÉBRIQUES DE BASE
a
11
b
]a; b[= {x|a < x < b}
Les ensembles de nombres qui correspondent à
des intervalles sont tellement fréquents qu’une
écriture particulière a été prévue pour eux. L’ensemble {x|a < x < b} est noté ]a; b[ et appelé l’ensemble ouvert de a à b. On a, en particulier, les situations ci-contre.
a
b
[a; b] = {x|a ≤ x ≤ b}
a
] − ∞; a[= {x|x < a}
a
]a; +∞[= {x|x > a}
Remarquons que ] − ∞; ∞[= R
a
[a; +∞[= {x|a ≤ x}
a
] − ∞; a] = {x|x ≤ a}
3
Calcul numérique
3 1 Puissances
Notation : a n
Soit a ∈ R et n ∈ N∗ , on définit :
Définition 1 - 1
1. a n = |a · a {z
· . . . · a}
n facteurs a
2. pour a 6= 0, a 0 = 1
3. pour a 6= 0, a −n =
1
an
Règles de calcul : soit a et b ∈ R et m, n ∈ N∗
Théorème 1 - 1
1. a n · a m = a n+m
an
2. m = a n−m
a
3. (a n )m = a nm
4. (a · b)n = a n · b n
³ a ´n a n
5.
= n
b
b
L ES LIMITES DE LA CALCULATRICE
Sauriez-vous être plus performant que votre calculatrice ?
1. Comparer les nombres suivants :
a) 2400 et 10100
b) 3200 et 25100
c) 272000 et 3431200
d) 123456789123 · 123456789123 et 123456789122 · 123456789124
2. Considérez l’expression :
x+y −x
y
a) La calculer à l’aide de la calculatrice pour x = 104 et y = 10−4
b) La calculer à l’aide de la calculatrice pour x = 106 et y = 10−6
c) La réduire algébriquement le plus possible
d) Que peut-on conclure des calculs précédents ?
BY:
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C
Activité
, 2010-2021
12
1.3. CALCUL NUMÉRIQUE
3 2 Racines
Définition 1 - 2
Soit a ∈ R+ et n ∈ N∗ , on définit
p
— a désigne un nombre x tel que x ≥ 0 et x 2 = a
p
— n a désigne un nombre unique x tel que x n = a
1 - 11
1
montrer que a n =
Théorème 1 - 2
p
n
a et en déduire les règles suivantes
Règles de calcul : soit a et b ∈ R+ et m, n ∈ N∗
p
¡p ¢2
1. a 2 = a = a
p
¡ p ¢n
n
an = n a = a
2.
p
¡ p ¢m
m
n
3.
a m = n a = a n (cf. plus loin)
p
p p
n
n
ab = n a · b
4.
p
r
n
a
a
= p
5. n
si b 6= 0
n
b
b
Initialement, les puissances n’étaient définies que pour les exposants naturels, puis à coup de définitions
successives, on a accepté les exposants relatifs, rationnels et enfin irrationnels. Nous allons montrer comment se justifient ces extensions de la notion de puissance jusqu’aux exposants rationnels. Pour ce faire,
utilisons les puissances de dix.
Dans un premier temps, 10x est défini pour les nombres entiers positifs : 10x = |10 · 10{z
· . . . · 10}. C’est une
x fois
notation très utile, en particulier pour multiplier les grands nombres puisqu’on a la propriété
10n · 10m = 10n+m
L’extension de la définition de 10x à des nombres x rationnels est motivée par le maintien de cette propriété. L’équation
100 · 10n = 100+n = 10n
nous force à poser que 100 = 1. L’équation suivante
10−n · 10n = 100 = 1
nous oblige à poser : 10−n = 1/10n . En appliquant cette propriété dans la situation suivante,
1/n
10
· .{z
. . · 101/n} = 101/n+···+1/n = 101 = 10
|
| {z }
n fois
n fois
on est amené à définir : 101/n =
p
n
10. En continuant à appliquer cette même propriété
1/n
10
· .{z
. . · 101/n} = 101/n+···+1/n = 10m/n
|
| {z }
m fois
m fois
p
n
on peut définir : 10m/n = ( 10)m .
1 - 12
Vrai ou Faux !
¡
¢1/6
1. (−8)2
= (−8)1/3 = −2
¡
¢
1/6
= 641/6 = 2
2. (−8)2
Pour a ∈ R, est-ce que
p
a 2 = a dans tous les cas ?
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$
\
1 - 13
C
Remarque
, 2010-2021
CHAPITRE 1. CALCUL NUMÉRIQUE ET NOTIONS ALGÉBRIQUES DE BASE
13
3 3 Propriétés des opérations
1° Tout nombre non nul a admet un inverse a ′ tel que
a · a′ = 1
1
ou encore a −1 .
a
On a
a · a −1 = a 1+(−1) = a 0 = 1.
0 n’admet pas d’inverse. On le démontre par l’absurde. Car si 0 admettait un inverse, on aurait
L’inverse de a se note
1
0
1
3·0 ·
|{z}
0
1
0·
0
|{z}
0·
1
2° quels que soient les nombres a et b,
=
1
=
3
=
3
=
3
(·3)
!!!
ab = 0 si, et seulement si, a = 0 ou b = 0
3° quels que soient les nombres a et b, mais b 6= 0,
a
= 0 si, et seulement si, a = 0
b
4° quels que soient les nombres a et b
a2 = b2
a2 − b2 = 0
⇐⇒
⇐⇒
(a − b)(a + b) = 0
⇐⇒
a = ±b.
a − b = 0 ou a + b = 0
⇐⇒
5° règle de simplification :
quels que soient les nombres x, y et a, on a :
x+a = y +a
si, et seulement si, x = y
(règle utilisée dans la résolution des équations)
6° règle de simplification :
quels que soient les nombres x, y et a, avec a 6= 0, on a :
xa = y a si, et seulement si, x = y
(règle utilisée dans la résolution des équations)
7° quels que soient les nombres a, b, c et d, avec b 6= 0 et d 6= 0, on a :
a c
=
b d
si, et seulement si, ad = bc
1 - 14
démontrer cette dernière propriété à l’aide des précédentes
3 4 Exercices
1 - 15
Pour chaque équation, chercher toutes les valeurs possibles pour l’inconnue
1) x ·
4
= +1
3
2)
7a · (5a − 1)
=0
12
3)
a · (a − 4) · (2a − 1)
=0
2a − 8
p
0, 04
3) π
1 - 16
...
Z
2)
p
...
Q
5) 100, 1234
4)
15
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...
Q
...
BY:
$
\
1) +1, 2
6)
R
C
Compléter à l’aide de l’un des signes ∈ ou 6∈
, 2010-2021
15
3
...
...
Q
Z
14
1.3. CALCUL NUMÉRIQUE
1 - 17
Pour chaque égalité, indiquer la ou les propriétés utilisées :
1) [3a · (a 2 − 5)] · b = 3a · [(a 2 − 5) · b]
2) 3a + (a + b) · (2x − y) = 3a + (a + b) · 2x − (a + b)y
3) (a 2 + b) · [2c + 3 · (2a + b)] = (a 2 + b) · [3 · (2a + b) + 2c]
1 - 18
Utiliser la notation « puissance » pour écrire aussi simplement que possible chacune des expressions :
1) (−5)3 · (−5) · (−5)4
4) (72 · 73 )4
¡
¢3
5) (−4)2 · (+5) · (−2)4
¡
¢2
6) (52 )3 · 34
2) (+3)4 · (−2) · (+3)2 · (−2)3
3) 72 · (73 )4
1 - 19
Idem
25
1) 3
2
2)
25 · 23
22
3)
µ ¶2 µ ¶5
3
3
:
5
5
4)
µ ¶7 µ ¶3
2
2
:
9
9
74
76 µ ¶
1 5
2
6) µ ¶3 µ ¶2
1
1
·
2
2
5)
1 - 20
Idem
¶ µ
¶ µ
¶
µ
2 3
2
2 2
· −
· −
1) −
3
3
3
¶3 µ
¶4 µ
¶ µ
¶
µ
4 2
4
3
3
· +
· + · +
2) +
4
3
4
3
¡
¢
4 2
3
3) (0, 5) · (0, 5)
µµ ¶2 ¶3 µ ¶4
5
5
·
4)
6
6
¶4
µµ ¶2
4
3 1
·7 ·
5)
5
3
¶2
µµ ¶5
1
· (32 )3
6)
2
1 - 21
Idem
µ ¶8
3
4
1) µ ¶2
3
4
µ ¶3 µ ¶6
2
2
:
2)
3
3
¡
¢3
(−3)2
3)
(−3)3 · (−3)
µ ¶2 µ ¶4
4
4
·
5
5
4) µµ ¶ ¶4
2
4
5
23 · 34
5) 5 2
2 ·3
6)
µµ ¶ µ ¶3 ¶2 µµ ¶2 µ ¶¶3
2
5
5
2
·
·
:
3
7
3
7
1 - 22
Sans effectuer les calculs, réduire les expressions suivantes en exploitant la notation « puissance » :
µµ ¶2 µ ¶3 ¶4
2
2
2
1)
·
· =
3
3
3
µ ¶2 µ ¶5
3
3
·
4
4
4) µµ ¶ ¶5 =
3
3
4
82 · 46
=
7)
163
µµ ¶5
¶2
¡ 2 ¢3
1
2)
· 3
=
3
µ ¶4 µ ¶7
4
4
:
=
3)
5
5
µ ¶3 µ ¶4
2
5
5) 3 ·
·
=
3
2
4
8)
6)
483 · 56
=
407 · 34
9)
1 - 23
Écrire chaque nombre en notation scientifique et calculer :
0, 001 5 · 0, 002 · 4 000 · 1, 05 =
BY:
$
\
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C
200 000 · 0, 03 · 40 · 0, 00002 · 10 =
, 2010-2021
¡
¢3
(−3)2
(−3)5 · 32
=
34 · 123
=
308 · 5−10
CHAPITRE 1. CALCUL NUMÉRIQUE ET NOTIONS ALGÉBRIQUES DE BASE
15
Conventions d’écriture
En principe :
1. Les nombres écrits avec des puissances le sont avec un exposant entier positif : 3−2 =
p
p
p
2. Simplifier les racines en extrayant les carrés parfaits : 125 = 25 · 5 = 5 · 5.
Remarque
3. Pas de racine au dénominateur :
p1
2
=
1
1
, 23
32
=
p
3
2.
p
2
2 .
1 - 24
Simplifier les radicaux ou calculer :
p
1) 4 75
p
p
2) 5 48 − 7 75
5
4) p
11
3
5) p
5 7
p
11 − 5
8) p
11 + 5
7) p
10)
8
3+4
p
p
p
243 − 3 75 + 192
2
p
3) p
p
·p
76
·
15)
80
2
13) 78 − 23
200
p
98
0, 04
3
6) p
2 5−1
p
p
2+ 3
9) p
p
5 3−3 2
p
4, 9 · 107
12) p
p
3 · 105 · 21 · 104
p
p
p
11) (1 − 10)2 + (3 2 − 5)2
2
225
14) 79 345 − 79 344 · 79 346
r
45
19
1 - 25
Calculer dans R
r r
2
1
·
=
1)
3
6
p
5
4) 515 =
7)
p
2)
p
3
−5 ·
r
4 5 1
·
=
2
64
p ³p p ´
6) 2 · 2 · 8 =
p
4 2
3
9) p =
3
p
3
25 =
3)
p
p
53 · 55 =
p
3
5
=
8) p
3
3
5)
132 − 122 =
r
5
1 - 26
Calculer dans R et réponds par une fraction irréductible
µ
¶ µ
¶ µ
¶ µ
¶
75 55
7
1
1
3 4
3
1)
:
=
2) − +
· −
− − +
· −
=
42 154
4 12
10
4 3
14
¶2
µ
µ
¶
1 3 2 3 · 42
2
+1 =
4) − − +
3) − − (−2) =
·
3
3 2
35
¶2
µ
1
−1
−4 ·
¡
¢2
3
=
5) 0, 52 + 0, 6 =
6)
2
−4 +
3
¶ µ
¶
r
µ
4
2
5
4 16
µ
¶ µ
¶
−
−
+
+
2
1
5
3
81 6
7)
=
8) µ
r
µ ¶ ¶· − + − =
3
4
5
27
12 1 3
− ·
·
27
12
5
3
1 - 27
Réduire et répondre par une expression de la forme a n (notation puissance)
¢
3 4
1) 7 · 7
=
2)
¡
(−3)2
¢3
µ
¶ µ
¶ µ
¶ µ
¶
3 3
4 2
4 4
3
3) +
· +
· + · +
=
4
3
4
3
(−3)2 · (−3) =
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2
C
¡
, 2010-2021
16
1.3. CALCUL NUMÉRIQUE
µ
µ ¶ ¶4
453 1 3
·
=
155 3
µ ¶2
1
(32 · 10−2 )5
·
=
7)
(3 · 10−4 )3
30
4)
µµ ¶2 ¶3 µ ¶4
2
5
·
5
6
µ ¶50
4
8)
· 0, 7551 =
3
6)
5)
µµ ¶5
¶2
1
· (32 )3 =
3
9)
34 · 23
=
25 · 32
3)
1−2
=
3 · (−2)
1 - 28
Calculer dans R
µ
¶
1 2
2) −1 −
=
2
µ
µ
¶
¶
1 3 5
3
−
· −
+
2
12
2
5)
=
16 5
4:
−
5
2
¢2
¡
1) 0, 25 + 0, 3 =
4)
7)
¢2
¡
· 1 + 12
2
3
5
3
p
p
2 · ( 18 + 32) =
8)
r
11)
p
10)
=
− 0, 75
3
1
− ·
5
r
3
−
1
=
25
Ãp
!
2
1
+p
6) 8 ·
=
5
32
¶ µ
¶
µ
1
2
¶ µ
¶
µ
− + −
1
2
3
4
¶ µ
¶ · − + − =
9) µ
2
1
3
4
− · −
3
4
Ã
r !
r
5
5
27
4 16
12)
+ :
·
=
81 6 27
12
p
0, 1
¡
¢=
0, 75 · 21 − 3
35 · 46 · 7 · 52
=
74 · 44 · 32
Rappel Un théorème annonce, sous certaines conditions, une vérité mathématique. Il est composé de
deux parties :
— la/les condition(s) ou hypothèse(s)
— la/les conclusions(s)
Notation Si H, alors C
ou plus simplement
H⇒C.
La contraposée du théorème est la même affirmation, mais formulée autrement : non C ⇒ non H.
La réciproque du théorème est le théorème lu dans l’autre sens : la conclusion devient l’hypothèse
et l’hypothèse devient la conclusion : C ⇒ H .
Attention, la réciproque peut être fausse !
1 - 29
Comment, avec des nombres entiers représentés par n , m , etc. , peut-on écrire ?
1. un nombre pair ;
2. un nombre impair ;
3. deux nombres consécutifs ;
4. trois nombres consécutifs ;
5. deux nombres impairs consécutifs ;
6. un nombre qui se termine par 3 ;
7. un nombre qui se termine par 23 ;
8. un multiple de 3 ;
9. un multiple de 5 ;
10. un nombre carré ;
11. un nombre carré pair ;
12. un nombre carré impair ;
13. un nombre triangulaire (1 ; 3 ; 6 ; 10 ; . . .)
14. trois multiples de 17 consécutifs ;
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Définition 1 - 3
Exemple Théorème de Pythagore :
Si un triangle est rectangle, alors a 2 + b 2 = c 2
(avec a et b les côtés de l’angle droit ou cathètes et c l’hypoténuse).
, 2010-2021
CHAPITRE 1. CALCUL NUMÉRIQUE ET NOTIONS ALGÉBRIQUES DE BASE
17
15. les nombres de la suite 25 ; 45 ; 65 ; ...
16. un nombre qui laisse un reste de 4, lorsqu’on le divise par 5 ;
17. un nombre qui laisse un reste de 7, lorsqu’on le divise par 9 ;
18. un nombre qui laisse un reste de 7, lorsqu’on le divise par 6 ;
19. un nombre, différence de deux nombres consécutifs ;
20. un nombre, différence de deux nombres impairs consécutifs ;
21. un nombre, différence des carrés de deux nombres consécutifs ;
22. un nombre, somme de trois nombres pairs consécutifs ;
23. un nombre, somme des cubes de deux nombres consécutifs ;
24. un nombre, produit de deux nombres impairs consécutifs ;
25. le dernier nombre d’une suite de k nombres consécutifs, le premier étant n ;
26. le k e nombre impair.
1 - 30
Démontrer les petits théorèmes de l’école pythagoricienne sur les nombres entiers :
1. Si deux nombres sont pairs, alors leur somme est paire.
2. Si deux nombres sont impairs, alors leur somme est paire.
3. Si deux nombres sont pairs, alors leur produit est pair.
4. Si deux nombres sont impairs, alors leur produit est impair.
5. La somme de deux nombres consécutifs est impaire.
6. Le produit de deux nombres consécutifs est pair.
7. La somme de deux entiers impairs consécutifs est un multiple de quatre.
1 - 31
Parmi les théorèmes 1. - 7., lesquels ont leur contraposée qui est juste ?
1 - 32
Pour les théorèmes 1. - 4., écrire la réciproque et prouver si elle est vraie ou trouver un contre-exemple si elle
est fausse.
1 - 33
Les phrases suivantes sont-elles vraies ou fausses ? A toi de le prouver !
1. La somme de trois nombres entiers consécutifs est un multiple de trois.
2. La différence entre le cube d’un nombre et ce nombre est toujours divisible par 6.
3. La somme d’un nombre pair et d’un nombre premier impair est un nombre premier.
4. Un nombre qui est multiple de 9 et multiple de 12 est multiple de 108.
5. Le carré d’un pair est pair.
6. Le carré d’un impair est impair.
7. Le quotient de deux pairs est pair.
8. La somme de deux nombres impair consécutifs est un multiple de 4.
9. La somme de deux nombres triangulaires consécutifs est un carré parfait.
10. Soit six nombres entiers, obtenu de la façon suivante :
— le 1er et le 2e sont choisis au hasard ; le 3e est la somme du 1er et du 2e ;
— le 4e est la somme du 2e et du 3e ; le 5e est la somme du 3e et du 4e ;
— le 6e est la somme du 4e et du 5e ;
La somme de ces six nombres est le quadruple du 5e.
11. Le carré d’un nombre pair est un multiple de 4.
12. Soit trois nombres entiers consécutifs. Le carré du deuxième, augmenté de 1, est égal au produit des deux
autres.
13. Le carré d’un nombre impair donne un reste de 1 lorsqu’on le divise par 8.
14. Soit trois nombres entiers consécutifs. Le carré du deuxième, diminué de 1, est égal au produit des deux
autres.
15. n 2 –n + 11 est un nombre premier.
$
\
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C
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, 2010-2021
18
1.3. CALCUL NUMÉRIQUE
1 - 34
Inventer d’autres petits théorèmes sur les nombres.
1 - 35
Selon Pythagore et son école, un nombre est parfait si la somme de ses diviseurs propres redonne le nombre.
Existe-il des nombres parfaits ?
1 - 36
Selon l’école pythagoricienne, deux nombres sont amicaux si la somme des diviseurs propres de l’un donne
l’autre.
Existe-il des nombres amicaux ?
1 - 37
Parmi les nombres "imparfaits", Pythagore tenta de trouver des nombres un peu excessifs, c’est-à-dire dont la
somme des diviseurs propres est supérieure d’une unité à ces nombres.
Existe-il des nombres un peu excessifs ?
1 - 38
On peut facilement vérifier les égalités suivantes :
25 · 25 = 20 · 30 + 25
45 · 45 = 40 · 50 + 25
65 · 65 = 60 · 70 + 25
. . . etc.
1° Trouver une règle générale.
2° Présenter une preuve pour cette règle.
1 - 39
Simplifier l’expression (2x − 10) · (2x + 10), puis calculer 20012 · 19992.
M OSAÏQUE DE CERCLES
D est un carré de 1 m de côté et C en est le cercle inscrit.
Si on partage D en carrés plus petits et que l’on y trace leurs cercles inscrits respectifs, on obtient la figure
suivante :
Activité
Augmentez, autant que vous l’imaginez, le nombre de subdivisions. L’aire de la partie hachurée (celle
couverte par les disques) croît-elle, décroît-elle, ou reste-t-elle toujours la même ?
Et qu’en est-il si on se pose le problème dans l’espace ?
p
Est-il vrai que le nombre π vérifie la relation : 9π = 16 + 7 π ?
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Activité
, 2010-2021
CHAPITRE 1. CALCUL NUMÉRIQUE ET NOTIONS ALGÉBRIQUES DE BASE
19
(a) Décomposer en produit de facteurs premiers les entiers ci-dessous en t’inspirant de l’exemple et
de la liste des carrés : 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; . . . ; 121 ; 144 ; 196 ; 225 ; 256 ; 289 ; 324 ; 361 ; 400 ; . . . 10’000
Exemple : 143 = 144 − 1 = 122 − 12 = (12 − 1)(12 + 1) = 11 · 13
Activité
1) 399
7) 135
2) 221
8) 231
3) 391
9) 119
(b) Calculer 782 − 232 ; 7782 − 2232 ;
Établir un résultat général.
☞ a 2 − b 2 = (a − b)(a + b).
4) 117
10) 171
5) 9 991
11) 299
7 7782 − 2 2232 ;
6) 323
12) 9 919
77 7782 − 22 2232 , ...
(c) Les nombres impairs ont une écriture particulière sous la forme d’une différence de deux carrés.
Laquelle ?
Rappel et complément sur les proportions
Définition 1 - 4
Un rapport est un quotient entre deux grandeurs
Définition 1 - 5
Une proportion est une égalité entre deux rapports
Si a,b,c,d sont quatre nombres tels que
a c
= , on dit qu’ils sont en proportion.
b d
a,b,c,d sont les quatre termes de la proportion.
a et d sont appelés les deux extrêmes
b et c sont appelés les deux moyens
Exemple : Si une voiture roule à une vitesse moyenne de 80 km/h, on peut présenter les deux grandeurs proportionnelles que sont la distance et le temps par un tableau
Temps (en min)
x
Distance (en km)
y
15
45
60
75
20
60
80
100
150
140
Question : Quels sont les deux coefficients de proportionnalité ?
Remarque : Ces coefficients permettent d’écrire deux applications linéaires
f : R+ −→ R+
x −→ y =
g : R+ −→ R+
4
x
3
x −→ y =
3
x
4
et chacune d’elle admet une représentation graphique particulière.
4 1 Propriétés d’une proportion
Dans toute proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens
a c
= ssi ad = bc
b d
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4
, 2010-2021
189
20
1.4. RAPPEL ET COMPLÉMENT SUR LES PROPORTIONS
1° Interversion des extrêmes :
2° Interversion des moyens :
3° Inversion des rapports :
a c
=
b d
a c
=
b d
a c
=
b d
d
c
=
b a
ssi
a b
=
c d
ssi
ssi
b d
=
a c
4° Transformation correspondant à la somme et à la soustraction de deux colonnes dans un tableau de
a c
a +c
a −c
a c
ssi
= =
=
proportionnalité : =
b d
b d b +d b −d
4 2 Application aux pourcentages
situation
prendre t % de x
augmenter x de t %
diminuer x de t %
application linéaire associée
x 7→
exemple type
t
x
100
12 % de x, c’est 0, 12x.
µ
¶
t
x 7→ 1 +
x
100
¶
µ
t
x
x 7→ 1 −
100
si x augmente de 12 % de x, x devient 1, 12x.
si x diminue de 12 % de x, x devient 0, 88x.
4 3 Exercices
1 - 40
Trois maçons montent un mur de 600 briques en 1 heure.
En combien de temps, avec une efficacité identique, cinq maçons monteront-ils un mur de 1 200 briques ?
1 - 41
Deux amis, Michel et Bernard, achètent un billet de loterie qui coûte 40 fr. ; Michel donne 28 fr. et Bernard 12 fr.
Le billet est gagnant et rapporte 1500 fr. Détermine le gain de chacun des deux amis, sachant qu’ils se partagent
le gain total proportionnellement à leurs mises.
1 - 42
Une horloge sonne six heures en six secondes.
En combien de temps sonnera-t-elle midi ?
☞ Ce n’est pas douze secondes.
1 - 43
Le prix hors TVA d’un objet est de 30 fr. Quel est son prix TVA compris ? Même question avec 100 fr., x fr. (la TVA
est de 7,5 %)
1 - 44
Le prix d’une voiture avec la TVA est de 25 800 fr. Quelle est sa valeur hors TVA ?
1 - 45
Compléter.
Augmenter un objet de 3,3 %, revient à le ......
Diminuer un objet de 3 %, revient à le ......
Augmenter un objet de 300 %, revient à le ......
Diminuer un objet de 33 %, revient à le ......
Augmenter un objet de 33 %, revient à le ......
Dans chacun des cas, écrire l’application linéaire correspondante.
1 - 46
Une calculatrice « marquée » 42 fr. est soldée 33 fr. 60.
Quel est, en pourcentage, le montant de la remise ?
1 - 47
Commenter cette affirmation d’un journaliste
« Une nouvelle hausse de 15 % sur le tabac interviendra le 1er septembre qui, ajoutée à la hausse de
10 % survenue le 1er mars, aura augmenté d’un quart le prix du paquet sur l’année. »
$
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, 2010-2021
CHAPITRE 1. CALCUL NUMÉRIQUE ET NOTIONS ALGÉBRIQUES DE BASE
21
1 - 48
Les prix sur un certain produit ont augmenté de 20%. De combien de % doivent-ils diminuer pour retrouver
leur ancienne valeur ?
1 - 49
Vrai ou faux ?. Justifier !
a) Augmenter trois fois de 10 % revient à augmenter de 33,1 %.
b) Augmenter de 200%, c’est la même chose que doubler.
c) Une augmentation de 12 % suivie d’une baisse de 12 %, cela ne change rien.
1 - 50
On augmente la longueur d’un rectangle de 20 % et on diminue sa largeur de 20 %. Son aire a-t-elle varié ? Si
oui, préciser cette variation en pourcentage.
1 - 51
Le nombre de bactéries d’un bouillon de culture s’est accru de 1000 à 4000 en trois jours. Quel est le pourcentage moyen d’accroissement par jour ?
1 - 52
Le prix d’un diamant est proportionnel au carré de son poids. Un diamant de 0,45 g vaut 15 000 fr.
1° Combien coûte un diamant de 0,693 g ?
2° Quel est le poids d’un diamant valant 9 000 fr. ?
5
Transformations d’écritures
FACTORISER !
1. Des multiples de 3
1° Vérifier que les nombres suivants sont multiples de 3 :
23 − 2 ;
Activité
53 − 5 ;
73 − 7 ;
113 − 11
2° Factoriser n 3 − n et en déduire un résultat général.
2. Triplets pythagoriciens
On se propose de trouver des triplets d’entiers (x ; y ; z) tels que x 2 +y 2 = z 2 (exemple connu : 32 +42 = 52 ).
1° Soit a et b des entiers.
Montrer que x = 2ab, y = a 2 − b 2 et z = a 2 + b 2 sont des entiers tels que x 2 + y 2 = z 2 .
2° Pourquoi de tels triplets sont-ils appelés « pythagoriciens » ?
3° Qu’est-ce qu’une identité, une équation ?
5 1 Développer, réduire
Définition 1 - 6
Développer une expression algébrique consiste à effectuer les produits d’expressions entre parenthèses.
Autrement dit, il s’agit de transformer un produit en somme :
— en appliquant les règles de distributivité, la règle des signes
— en utilisant les produits remarquables
Développer l’expression 3a 2 · (2a 3 + 4a 2 − 2a − 5)
3a 2 · (2a 3 + 4a 2 − 2a − 5) = 6a 5 + 12a 4 − 6a 3 − 15a 2
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$
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Exemple
, 2010-2021
22
1.5. TRANSFORMATIONS D’ÉCRITURES
Développer, puis réduire l’expression (x − 5)(x 2 − 3x + 1).
L’application des règles de distributivité peut se schématiser ainsi :
Exemple
(x − 5) · (x 2 − 3x + 1)


chaque flèche indique un produit dans lequel chaque nombre

est affecté du signe qui le précède
(x − 5)(x 2 − 3x + 1) = x 3 − 3x 2 + x − 5x 2 + 15x − 5
on réduit et on ordonne les termes selon
le degré des puissances
= x 3 − 8x 2 + 16x − 5
5 2 Factoriser
C’est la transformation inverse.
Définition 1 - 7
Factoriser, c’est transformer une somme en un produit de termes.
Factoriser −5x(x + 1) + (x + 1)2 .
Exemple
Il faut essayer de reconnaître un facteur commun aux deux termes de la somme : x + 1 semble convenir.
h
i
−5x(x + 1) + (x + 1)2 = (x + 1) −5x + (x + 1)
= (x + 1)(−4x + 1)
Factoriser
Exemple
f (x) = 9x 2 − 24x + 16 et
on réduit et on ordonne les termes selon
le degré des puissances
g (x) = (2x − 1)2 − 25x 2 .
Dans ces deux cas, il n’y a pas de facteur commun apparent, mais il existe les identités remarquables.


9x 2
→ carré de 3x



2
• On reconnaît dans f (x) le développement de (3x − 4) : 16
→ carré de 4





−24x → double produit2 · (3x) · (−4)
Ainsi f (x) = (3x − 4)2
• g (x) est la différence de deux carrés : celui de 2x − 1 et celui de 5x.
Ainsi,
h
i h
i
g (x) = (2x − 1) + 5x · (2x − 1) − 5x
= (7x − 1)(−3x − 1)
= −(7x − 1)(3x + 1)
Factoriser A(x) = 4x 2 − 9 + (x + 5)(2x − 3).
Le terme 4x 2 − 9 est une différence entre deux carrés. Il peut donc s’écrire (2x + 3)(2x − 3).
A(x) = 4x 2 − 9 + (x + 5)(2x − 3)
= (2x + 3)(2x − 3) + (x + 5)(2x − 3)
h
i
= (2x − 3) (2x + 3) + (x + 5)
(2x − 3) est un facteur commun
on réduit
= (2x − 3)(3x + 8)
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$
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Exemple
, 2010-2021
CHAPITRE 1. CALCUL NUMÉRIQUE ET NOTIONS ALGÉBRIQUES DE BASE
6
Identités remarquables
Quels que soient les réels a et b, on a :
1. (a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2
2. (a − b)2 = a 2 − 2ab + b 2
3. a 2 − b 2 = (a + b)(a − b)
Théorème 1 - 3
4. (x + a)(x + b) = x 2 + (a + b)x + ab
5. (a + b)3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ,
6. a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ),
a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 )
Exercices
1 - 53
Développer, puis réduire
¡
¢2
1) 2x 2 − y =
2) (2x − 5) · (2x + 5) =
¡
¢ ¡
¢
4) 12a 4 − 11ab · 11ab + 12a 4 =
¡
¢ ¡
¢
6) 7a 2 b − 2a 2 b 3 · 7a 2 b − 2a 2 b 3 =
µ
¶ µ
¶
1 2
1 4
2
8) a − b · a − b =
2
4
2
3) (4abc − 7ab) =
5) (x + 12) · (x − 11) =
¡
¢
7) (3a + 2) · (3a − 2) · 9a 2 − 4 =
9) (4a − 1) · (4a − 1) · (4a + 1) · (4a + 1) =
1 - 54
Développer les expressions suivantes
¡
¢2
1) 3x − 2y − 1
2) (3x + y + z)(3x − y − z)
¡
¢¡
¢
3) 4x 2 − y 2 − z 2 z 2 + y 2 + 4x 2
¡
¢2
5) 2a n − a n+1
¶2
µ
¶2
7)
µ
1 3 2 3
a − b
3
3
8)
µ
¶µ
¶
µ
¶
1 2
1
1
1 2
x +1
x − 1 − x4 · 2 − x4
2
2
2
2
−
2 3
a − 2b 3
3
¡
¢2
4) 2a 3 − 4b 3 + c 3
¡
¢¡
¢
6) 4a 3n + 3a 2n 4a 3n − 3a 2n
¡
¢¡
¢
+ a3 + b3 b3 − a3
h
p
p i h
p
p i
9) x 2 + (2 + 2)x + 1 + 2 · x 2 + (2 − 2)x + 1 − 2
³
´
³
´
p
p
10) (x 2 − 1) x 2 + x 2 + 1 · (x 2 + 1) x 2 − x 2 + 1
³
´¡
´
p
p
¢³
11) x 2 + x 3 + 1 x 2 + 1 x 2 − x 3 + 1
1 - 55
Factoriser
2) a 8 − 256 =
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3) −169 + b 2 =
$
\
1) 4a 2 − 12ab + 9b 2 =
C
7
(a − b)3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
, 2010-2021
23
24
1.7. EXERCICES
4) 16a 8 + 81b 4 − 72a 4 b 2 =
5) x 2 − 11x + 30 =
7) 4a 2 + 8a − 21 =
8) x 8 + 1 =
6) 9x 4 +
1 2 3 2
y − x y=
16
2
1 - 56
Factoriser au mieux !
1) 9ab − 6a 2 + 12ab 2 =
2) a 3 b 2 c − a 2 bc + a 5 b 3 c 2 =
3) 7x 3 − 14x 2 y + 21x 4 =
4) 8a 4 − 32a 2 =
5) 4x 3 y + 4x 2 y − 80x y =
6)
7) −16a 3 − 9ab 2 + 24a 2 b =
1 3 1 2 1 2
x + xy + x y =
4
9
3
1 - 57
Factoriser au mieux !
1) 3 · (a − b) − 5x · (a − b)
2) 7x 2 · (2x + y) − 7x · (2x + y)
3) 16(a − b) − x 4 (a − b)
4) 25 · (x 2 − 2x y + y 2 ) + a 2 · (2x y − x 2 − y 2 )
5) 2x y · (a 2 − b 2 ) + y · (b 2 − a 2 )
6) ax + a y + bx + by
7) 5ax − 5a y − bx + by
8) −4x 8 y + 4x 4 y 5 − x 7 y + x 3 y 5
9) 4a 2 (3 − x) − 4a(3 − x) + a(3 − x)
10) (7a − b)2 − 4a(b − 7a) + 12b(7a − b)
11) x 2 (a − 2) − 4x(2 − a) − 12(a − 2)
12) (x − 1)2 − 16y 2
13) (x + 2y)2 − (2x − y)2
¡
¢
14) 25a 2 + 1 − 10a − 9a 2
15) 3x − 2y − 5b(2y − 3x) + 6x − 4y
16) (x − y)n − 2x(x − y)n−1 + x 2 (x − y)n−2
µ
¶
1 2
17) 2x −
− (6x − 1)(x + 2) =
3
18) (3x + 1)2 − (x + 2) · (3x + 1) =
¶ µ
¶2
1
1
19) 11 · y + 2 − y + 2
2
2
¶
¶
µ
x 1
3
+ (2 + x) − (2 + x) x + 1
20)
4 3
4
µ
µ
21) (5t + 7)(t − 1) + (t − 1)(3t − 2) − (2t + 1)(t − 1)
µ
¶2
22) (2x − 5) + 20 − 8x
1
23) y −
2
24) 36x 2 + 84x + 49
µ
¶ µ
¶
1 2
1 2
25) t −
− 2t +
2
3
26) −48x 3 + 48x 2 − 12x
27) 9x 2 − 6x − 15
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$
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2
− 2y 2 + y
, 2010-2021
CHAPITRE
2
Résolution des
er
équations du 1
et du 2e degré
26
C ARRÉ MAGIQUE
Il s’agit de remplir les cases du carré ci-contre avec les neuf nombres 1, 2, 3, ..., 9, pour obtenir la même
somme sur toutes les lignes, les colonnes et les deux diagonales.
1
Activité
2
1° Déterminer cette somme.
2° Soit x le nombre figurant dans la case centrale. Remplir les cases en fonction de x.
3° Calculer x et conclure.
« 1995 »
Activité
1° Soit n un entier relatif. Chacune des listes suivantes est formée d’entiers consécutifs :
(L1 ) : n, n + 1, n + 2, . . . , n + 1994
(L2 ) : n − 997, n − 996, . . . , n − 1, n, n + 1, . . . , n + 997.
Combien y a-t-il de termes dans chaque liste ?
2° 1995 entiers consécutifs ont pour somme 1995 millions. Quel est le plus petit ?
☞ Faire le bon choix pour la variable ...
L A MÉTHODE D IOPHANTE
Problème : « Trouver deux nombres connaissant leur somme 50, et leur produit, 589. »
1° Résoudre ce problème ...
2° Le choix de Diophante :
(a) Justifier l’argument de Diophante : « si deux nombres ont pour somme 50, l’un s’écrit 25+ x et
l’autre 25 − x ».
(b) Montrer que x est alors solution de l’équation x 2 = 36.
(c) Résoudre cette équation et en déduire les deux nombres.
Un peu d’histoire ...
L’algèbre n’est pas née en Grèce, mais à Bagdad avec un mathématicien du nom de al-Khwārizmı̄ au IXe siècle. Il
utilisa un procédé nouveau dans l’histoire des mathématiques qui consiste à manipuler une quantité inconnue
comme si elle était connue, dans le but d’en découvrir la valeur. Pour y parvenir, il va désigner cette quantité
recherchée par le terme de « chose » et calculer avec cette chose inconnue comme si elle était connue. Il ne faut
toutefois pas s’attendre à trouver dans les livres de l’époque l’écriture mathématique utilisée de nos jours avec
des x et des signes d’égalité. Celle-ci n’est venue que bien plus tard. Toutes les équations sont écrites littéralement, avec des phrases. Rappelons aussi, au passage, que la notion d’équation, en tant qu’être mathématique
bien isolé, a aussi été introduite par al-Khwārizmı̄.
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$
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Activité
, 2010-2021
CHAPITRE 2. RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU 1er ET DU 2e DEGRÉ
Définition 2 - 1
27
Une équation est un énoncé mathématique qui pose une égalité entre deux expressions qui comportent
au moins une inconnue désignée par une lettre.
Terminologie
Définition
Illustration
Équation en x
Énoncé d’une égalité avec la
variable x
Solution ou racine d’une
équation en x
C’est un nombre a qui vérifie
l’équation lorsqu’on le substitue à
x
Équations équivalentes
Équations qui ont exactement la
même solution
2x 2 − 5x = 4x − 9
3 est une solution de l’équation
2x 2 − 5x = 4x − 9 car
2 · 32 − 5 × 3 = 4 × 3 − 9
4x + 1 = 5
4x = 4
8x = 8
x =1
1
Résoudre une équation en
x
Trouver toutes les solutions de
l’équation
Identité
C’est une équation qui est vérifiée
par tous les nombres appartenant
au domaine de définition des
expressions composant
l’équation.
(x − 5)(x + 2) = 0 a pour solutions 5 et
-2 car un produit est nul si l’un de ses
facteurs est nul.
x 2 − 1 = (x + 1)(x − 1)
a pour ensemble de solutions S
S=R
Équation générale du 1er degré ax + b = 0 avec a 6= 0
La solution de cette équation est :
ax + b = 0
ax = −b
b
a
Ainsi une équation du premier degré a exactement une solution.
d’où
Remarque
x =−
Généralement une équation se résout en la transformant en équations équivalentes de plus en plus
simples, pour terminer avec une équation dont on tire facilement les solutions.
Une équation se transforme de manière équivalente en ajoutant, enlevant, divisant ou multipliant les
deux côtés de l’équation par une expression qui représente un nombre non nul.
5x − 3 =2x + 8
additionner 3 et réduire
5x = 2x + 11
Exemple
soustraire 2x et réduire
3x = 11
11
x=
3
solution
1° Réduire et simplifier chaque membre de l’équation. Éventuellement, multiplier
l’équation par un dénominateur commun.
2° Isoler l’inconnue («x») dans un des membres de l’équation.
BY:
$
\
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C
Méthode
diviser par 5
, 2010-2021
28
2.2. LES « ÉQUATIONS-PRODUITS »
2
Les « équations-produits »
Une équation comme (x − 5)(x + 3) = 0 est une équation-produit. Son traitement est lié à une propriété importante des nombres réels : un produit est nul, si, et seulement si, l’un au moins de ses facteurs est nul.
Soit les expressions A(x), B(x) et C(x), alors les solutions de l’équation-produit A(x)B(x)C(x) = 0 sont :
l’union des solutions de chaque équation A(x) = 0, B(x) = 0 et C(x) = 0.
Exemple 1 :
L’équation (2x−5)(x+4) = 0 se résout en cherchant les solutions des équations 2x−5 = 0 (solution 25 ) et x+4 = 0
(solution −4), puis en les regroupant : l’équation a ainsi pour solution 52 ou −4, ou, dans une autre présentation,
S = {−4 ; 25 }.
Exemple 2 :
L’équation x 2 − 7x + 12 = 0 se résout en factorisant d’abord le membre de gauche. On cherche ensuite les solutions de l’équation équivalente : (x − 3)(x − 4) = 0. S = {3 ; 4}.
Exemple 3 :
L’équation x 2 = a, avec a > 0, se résout aussi en commençant par la transformer, puis en appliquant une identité remarquable.
x2 − a = 0
p
(x + a)(x − a) = 0
p
p
p
C’est une équation-produit dont les solutions sont − a et a.
2 -1
Résoudre dans R les équations suivantes :
1. (2x − 1)2 + x(1 − 2x) = 4x 2 − 1 ;
2. (3x + 5)2 = (x + 1)2
La résolution de cet exercice permet d’établir le plan de résolution suivant :
1° Mettre tout dans un membre
Méthode
2° Factoriser pour obtenir une équation-produit
3° On cherche les racines pour chacun des polynômes apparaissant dans l’équationproduit
La factorisation s’effectue soit par mise en évidence d’un polynôme
(4x + 1)(x − 3) = 5(x − 3)
(4x + 1)(x − 3) − 5(x − 3) = 0
(x − 3)(4x + 1 − 5) = 0
4(x − 3)(x − 1) = 0
soit par l’application d’une identité remarquable comme la différence entre deux carrés
(4x − 5)2 − (x + 3)2 = 0
(5x − 2)(3x − 8) = 0
2 -2
Vrai ou faux
1. L’équation x = x + 1 n’a pas de solution.
2. L’équation x 2 = (x + 1)2 n’a pas de solution.
BY:
$
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C
Théorème 2 - 1
, 2010-2021
CHAPITRE 2. RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU 1er ET DU 2e DEGRÉ
29
3. L’équation (x − 3)2 = (3 − x)2 n’a pas de solution.
4. L’équation
(x + 1)(−4 − 4x)2 = 0
admet une solution.
5. L’équation x(3x + 1) = x 2 est équivalente à l’équation 3x + 1 = x .
3
6. L’équation
x = 0 a pour solution x = −0, 3.
10
7. Les solutions de l’équation (2x − 3)(x + 5) = 7 sont obtenues en rassemblant les solutions des équations
2x − 3 = 1 et x + 5 = 7.
2 -3
p
Vérifier que 4 et 0, 5 3 sont solutions de l’équation :
p
p
−2x 2 + x(8 + 3) − 4 3 = 0
2 -4
Résoudre dans R les équations :
1) x 2 + 4x − 5 = 0
2) m 2 + 12m = −20
3) y 2 = −4y
4) 2z 2 − 9z + 4 = 0
5) 5v 2 + 4 = 4v 2
6) 4y 2 − 1 = 0
10) 3x 2 + 5x + 2 = 0
11) 100y 2 − 700y = 0
12) 2x 2 = 2(x + 4)2
7) 11y = y 2 + 24
8) u 2 = −8u − 16
13) 13u + 25 = 3u − u 2
14)
9) z 2 − 2 = 0
x2
x2
−x =
+1
2
4
15) 5x 2 − 3x − 2 = 0
2 -5
Résoudre dans R les équations :
µ
¶
¶
µ
1 2
1 2
1) x +
=4 x−
3
3
2) −x(5 − x) + 3(x − 5)2 = x 2 − 25
3) x(x + 1)(x + 2) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)
x 9
5x 15
+ =−
+
3 4
6
2
p
10) 2x = 1 + x
x
= 5−x
4
x − 3 4 + 5x
8)
=
5
3
p
p
11) 5(3 − x 2) + 7 = 12 − 7x 2
3
6) 2(x − 1) + (x + 1) = x
2
x x
x
9) + = 1 −
2 3
4
13) (3x + 1)(5x − 3) = 0
14) (3 − x)(4 − x)(10 − x) = 0
15) 3x 2 − 1 = 0
16) 0, 04x 2 = 1
17) 7x 2 =
18) (x + 1)2 + (x − 1)2 = 6
19) (x + 1)2 − 2x 2 = 0
20) x 2 − 2(x + 1)2 = 0
4) 2x(x 2 + 2) = x 2 (x 2 + 2)
7)
5) 3 −
12) (x − 1)2 + 1 = 0
1
15
22) (2x + 5)2 − 2(7x + 4) = 4(x + 3)2 − 1
21)
x + 3 4x − 3
5x − 12
−
= 1−
2
3
6
23) (2x + 1)2 − 3(x 2 − 1) = (x + 3)2 − 5x + 4
2 -6
Écrire une équation ayant pour solutions : a) 3 ;
b) 3 et 4 ;
c)
p
p
2 et 7 ;
4
d) 0, 4 et − .
7
2 -7
Parmi les équations suivantes, ne résoudre que les équations présentant un produit de facteurs nul :
d) 3x(x + 2) = 0
e) x(2x − 1) + 1 = 0
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c) (3x + 9)(−x + 4) = 1
f) (−5x + 4)2 = 0.
BY:
$
\
b) 5x(x + 4) = 4
C
a) (5x − 3)(2x + 1) = 0
, 2010-2021
30
2.3. LES ÉQUATIONS COMPORTANT DES QUOTIENTS
2 -8
Factoriser pour résoudre les équations suivantes
a) (2x − 1)(x + 1) + (2x − 1)(3x − 7) = 0
b) (3x + 1)2 − (5x + 8)(6x + 2) = 0
e) 2x 2 − 5x = (2x − 5)(2x + 4)
f) −x 2 + 4 = (x − 3)(x + 1) + (x + 1)
c) −4(3x − 1)2 + (2x + 3)2 = 0
d) 3(x + 2)2 (x − 1) − (x + 2)(x − 1)2 = 0
g) − 5x
3 (x − 3)(x + 1) = 0
x
2
3 (4x − 1)
i)
h) (5x + 3)2 = 4(2x − 3)2
j) 4x 2 = 250000
=0
k) (x + 1)(3 − 2x) = 4x 2 − 9
l) (x 2 − 9)(2x + 1) = (x + 3)(2x + 1)2
m) (x + 1)(2 − x)(x + 3) + (x + 1)(2 − x)(5 − 2x) = (x + 1)(x − 2)
n) x 3 − x = 2x 2 − 2
2 -9
On se propose de résoudre l’équation : x 2 − x − 1 = 0.
µ
¶
1 2 5
1° Montrer que cette équation est équivalente à : x −
− = 0.
2
4
2° Résoudre alors cette dernière équation.
Cet exercice nous indique une méthode pour résoudre n’importe quelle équation du second degré...
2 - 10
Un problème d’Euler
Un père mourut en laissant quatre fils, ceux-ci se partagèrent ses biens de la manière suivante :
— le premier prit la moitié de la fortune moins 3 000 livres ;
— le deuxième prit le tiers de la fortune moins 1 000 livres ;
— le troisième prit exactement le quart de la fortune ;
— le quatrième prit 600 livres plus la cinquième partie de la fortune.
1° Quelle est la fortune laissée par le père ?
2° Quelle somme reçut chaque enfant ?
Les équations comportant des quotients
2 - 11
Lorsqu’on ajoute un même nombre au numérateur et au dénominateur de la fraction
comme résultat.
Quel est ce nombre ?
1789
, on obtient 2
1994
Commentaire : on a obtenu dans cet exercice une équation avec l’inconnue au dénominateur. La méthode à
suivre pour résoudre ce type d’équation est la suivante :
1° Définir les contraintes sur l’inconnue (ensemble de définition de l’équation)
Méthode
2° « Chasser » l’inconnue des dénominateurs (légal car ils sont non-nuls)
3° Ne retenir que les solutions appartenant à l’ensemble de définition
2 - 12
Résoudre dans R
2
1
=
x x +1
2)
5x − 1
= −1
3x + 1
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3)
BY:
$
\
1)
C
3
, 2010-2021
3
x2 − 9
=
1
x −3
CHAPITRE 2. RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU 1er ET DU 2e DEGRÉ
31
Très rapidement, les équations comportant des quotients se compliquent et nécessitent alors une étape intermédiaire avant que l’on « chasse » l’inconnue des dénominateurs.
Une équation comme
5
2
3
−
=
domaine R \ {−4 ; 3}
2x − 6 x + 4 x − 3
demande que l’on recherche d’abord le ppcm des fractions rationnelles présentes : 2(x − 3)(x + 4) dans ce cas.
On multiple alors l’équation par le ppcm :
5
2
3
· 2(x − 3)(x + 4) −
· 2(x − 3)(x + 4) =
· 2(x − 3)(x + 4)
2x − 6
x +4
x −3
3(x + 4) − 5 · 2(x − 3) = 2 · 2(x + 4)
3x + 12 − 10x + 30 = 4x + 16
−7x + 42 = 4x + 16
26
11
on distribue
simplification
ajouter 7x, soustraire 8
26 = 11x
26
x=
11
La solution de l’équation est bien x =
simplification
diviser par 11
car cette valeur appartient au domaine de l’équation.
1° définir les contraintes sur l’inconnue (ensemble de définition de l’équation)en cherchant les nombres qui annulent les dénominateurs ;
Méthode
2° déterminer le ppcm des dénominateurs ;
3° multiplier chaque terme de l’équation par le ppcm et simplifier ;
4° résoudre l’équation ;
5° ne retenir que les solutions appartenant à l’ensemble de définition.
2 - 13
Résoudre les équations suivantes :
1)
2x + 5
3x + 1
=
6x − 2 4x − 13
2)
2
4
7
+
=
5 10x + 5 2x + 1
3)
3 6 1
+ − = 11
y y y
4)
4
1
5x − 6
+
=
x + 2 x − 2 x2 − 4
5)
6
+5 = 5
2x + 11
6)
3
5
3
−
=
2x − 4 3x − 6 5
3)
49x 2 − 25
= 7x + 5
7x − 5
2 - 14
Montrer que l’équation est une identité sur son domaine
1) (4x − 3)2 − 16x 2 = 9 − 24x
3x 2 + 8 8
= + 3x
x
x
Équations littérales
Très souvent en mathématiques, en physique ou dans d’autres sciences, des formules comportant plusieurs
variables sont utilisées pour répondre à certains problèmes. Quelquefois, il est nécessaire d’exprimer une variable particulière en fonction des autres.
Exemple 1 :
Relations entre les échelles de température
La figure ci-dessous montre les échelles de température Celsius et Fahrenheit. L’échelle Celsius a deux points
fixes : le 0°C (point de fusion de la glace) qui correspond à 32°F et les 100°C (point d’évaporation de l’eau) qui
se traduisent en 212°F.
BY:
$
\
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C
4
2)
, 2010-2021
32
2.4. ÉQUATIONS LITTÉRALES
La relation entre les deux échelles est de type affine, c’est-à-dire :
C = a ·F+b
Echelle
Celsius
avec a et b à déterminer
Echelle
Fahrenheit
100°C=212°F
100 = 212a + b
100
on met cette valeur dans la 2e équation
100 = 212a − 32a
C
F
0
32
Comme
0°C=32°F
0 = 32a + b
et
b = −32a
100 = 180a
5
a=
9
212
on peut maintenant calculer la valeur pour b
5
b = −32 ·
9
ceci permet d’écrire la formule
5
5
C = F − 32 ·
9
9
5
C = (F − 32)
9
–100
–148
Pour résoudre cette formule par rapport à F, nous devons obtenir une formule ne contenant que F d’un côté du
signe « égal » et ne contenant pas F de l’autre côté. Nous procédons ainsi :
5
C = (F − 32)
9
multiplier par
9
C = F − 32
5
9
F = C + 32
5
9
5
additionner 32
Exemple 2 :
En électricité, la formule :
1
1
1
+
=
R R1 R2
R1
est utilisée pour trouver la résistance totale R lorsque deux résistances
R1 et R2 sont montées en parallèle, comme l’illustre la figure ci-contre.
Nous allons la résoudre par rapport à R1 .
1
1
1
· RR1 R2 +
· RR1 R2
· RR1 R2 =
R
R1
R2
multiplication par le ppcm
R1 R2 = RR1 + RR2
regrouper du même côté les termes en R1
R1 R2 − RR1 = RR2
mettre en évidence R1
R1 (R2 − R) = RR2
diviser par R2 − R
RR2
R1 =
R2 − R
2 - 15
Résoudre par rapport à la variable donnée
1
1) V = πr 2 h par rapport à h (volume d’un cône).
3
GMm
2) F =
par rapport à m (loi de la gravitation universelle).
d2
1
3) A = (b 1 + b 2 )h par rapport à b 1 (aire d’un trapèze).
2
$
\
BY:
C
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, 2010-2021
R2
CHAPITRE 2. RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU 1er ET DU 2e DEGRÉ
4) V = πr 2
33
h1 + h2
par rapport à h1 (volume d’un tronc de cylindre droit).
2
(i + 2)R
5) c p =
par rapport à i (loi de la chaleur massique d’un gaz parfait).
s 2M
c −V
v = vo
par rapport à c (effet Doppler relativiste).
c +V
2 - 16
Choisir l’équation qui décrit le mieux le tableau des données dans les deux situations qui suivent :
a)
x
y
1
0,8
2
-0,4
3
-1,6
4
-2,8
5
-4,0
(1) y = −1, 2x + 2
(2) y = −1, 2x 2 + 2
p
(3) y = 0, 8 x
(4) y = x 3/4 − 0, 2
b)
y
1
-9
2
-4
3
11
4
42
5
95
(1) y = 13x − 22
(2) y = x 2 − 2x − 8
p
(3) y = 4 x − 13
(4) y = x 3 − x 2 + x − 10
Problèmes résolus
Exemple 1 :
Un appareil toute taxe comprise (TTC) coûte 2400 FF. Quel est son prix hors taxe (HT), si la TVA est de 20,6% ?
Solution La quantité inconnue est le prix HT ; on pose ainsi x = prix HT.
La TVA est de 20,6%, ce qui fait pour l’objet en question : 0, 206x = montant de la TVA sur l’appareil.
Le prix TTC s’obtient de la manière suivante :
(prix HT) + (montant de la TVA ) = prix TTC
Cette équation se traduit par :
x + 0, 206x = 2400
on somme les x
1, 206x = 2400
division par 1,206
x ≈ 1990, 05 FF
Le prix HT est ainsi de 1990,05 FF.
Exemple 2 :
Une société d’investissement a 100 000 $ à investir pour un client et décide d’investir dans deux fonds, A et B.
L’intérêt annuel attendu, ou intérêt simple, pour le fonds A est de 15 %, mais il y a un certain risque et le client
ne veut pas investir plus de 50 000 $ dans ce fonds. Pour le fonds B plus solide, l’intérêt escompté est de 10 %.
Déterminer s’il y a une façon d’investir l’argent pour que l’intérêt annuel attendu soit
(a) 12 000 $ (b) 13 000 $
BY:
$
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5
x
, 2010-2021
34
2.5. PROBLÈMES RÉSOLUS
Solution L’intérêt annuel est donné par i = Ct , tiré de la formule de l’intérêt simple i = Ct n avec n = 1. Soit
x la somme investie dans le fonds A, 100000 − x sera investi dans le fonds B. Cela conduit aux équations
suivantes :
x = somme investie dans le fonds A à 15%
100000 − x = somme investie dans le fonds B à 10%
0, 15x = intérêt annuel produit par le fonds A
0, 10(100000 − x) = intérêt annuel produit par le fonds B
En additionnant les intérêts des deux fonds, nous obtenons
intérêt annuel total = 0, 15x + 0, 10(100000 − x)
En simplifiant à droite, nous avons
intérêt annuel total = 10000 + 0, 05x.
(a) L’intérêt annuel total est 12 000 $ si
10′ 000 + 0, 05x = 12000
soustraire 10 000
0, 05x = 2000
diviser par 0,05
x = 40000
Ainsi, 40 000 $ pourraient être investis dans le fonds A, et les 60 000 $ restants pourraient être investis
dans le fonds B. Puisque la somme investie dans le fonds A ne dépasse pas 50 000 $, cette façon d’investir
répond à la demande du client.
(b) L’intérêt annuel total est 13 000 $ si
10000 + 0, 05x = 13000
soustraire 10 000
0, 05x = 3000
diviser par 0,05
x = 60000
Ainsi, 60 000 $ pourraient être investis dans le fonds A, et les 40 000 $ restants pourraient être investis
dans le fonds B. Ce plan ne répond pas à la demande du client qui ne veut pas que plus de 50 000 $ soient
investis dans le fonds A. Donc, la société ne peut pas investir l’argent du client dans les fonds A et B de
façon que l’intérêt annuel soit 13 000 $.
Exemple 3 :
Adjonction d’antigel
Un radiateur contient 8 litres d’un mélange d’eau et d’antigel. Si 40 % du mélange est de l’antigel, combien
devrait-on enlever du mélange pour le remplacer par de l’antigel pour que le mélange résultant contienne 60
% d’antigel ? Il faut d’abord bien choisir son inconnue ...
Solution On choisit l’inconnue
x = nombre de litres de mélange à enlever et à remplacer
Mélange d’origine à 40%,
moins la quantité enlevée
Antigel pur
+
Quantité totale
Quantité d’antigel pur
(8 – x) l
0,40(8 – x) l
Nouveau mélange à 60%
=
xl
1,00(x) = x l
8l
0,60(8) = 4,8 l
La quantité finale d’antigel pur peut être exprimée soit par 0, 40(8 − x) + x, soit par 4,8. Nous pouvons
donc écrire l’équation :
0, 40(8 − x) + x = 4, 8
$
\
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, 2010-2021
CHAPITRE 2. RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU 1er ET DU 2e DEGRÉ
35
que nous résolvons par rapport à x
3, 2 − 0, 4x + x = 4, 8
regrouper les termes et soustraire 3, 2
0, 6x = 1, 6
1, 6 16 8
=
=
x=
0, 6
6
3
Ainsi
8
3
diviser par 0, 6
litres devraient être enlevés du mélange d’origine.
Exemple 4 :
Mouvement de deux voitures
Deux villes sont reliées par une route. Une voiture quitte la ville B à 13 heures et roule à la vitesse constante de
40 km/h vers la ville C. Trente minutes plus tard, une autre voiture quitte B et roule vers C à la vitesse constante
de 55 km/h. Si l’on ne tient pas compte de la longueur des voitures, à quel moment la seconde voiture rejoindrat-elle la première ?
Solution Au moment de la rencontre, les deux voitures auront parcouru la même distance d (variable auxiliaire), mais la 1re voiture aura roulé pendant t heures, alors que la 2e pendant t − 21 heures, puisqu’elle
est partie une demie-heure plus tard. On peut mettre ces données dans un tableau
Voiture
Vitesse (km/h)
Durée du trajet
Longueur du trajet (km)
Première voiture
40
t
d=40t
Seconde voiture
55
t − 21
d = 55(t − 21 )
L’égalité des distances s’écrit :
1
40t = 55(t − )
2
Nous résolvons cette équation par rapport à t
40t = 55t −
55
2
soustraire 40t et ajouter
55
= 15t
2
55 11
=
t=
30
6
55
2
diviser par 15
5
Ainsi t = 11
6 ou 1 heure 6 , c’est-à-dire 1 heure 50 minutes. Par conséquent, la seconde voiture rejoint la
première à 14 h 50.
Exercices
2 - 17
Pierre a dans son porte-monnaie 86 fr. en pièces de 2 fr. et 5 fr.
Sachant qu’il a en tout 28 pièces, combien a-t-il de pièces de 2 fr. et de 5 fr. ?
2 - 18
Peut-on trouver trois carrés ayant pour côtés des entiers consécutifs et dont la somme des aires est de 15 125 ?
B
2 - 19
La distance AB est de 200 000 km. Le problème est
de trouver la surface de l’anneau. Y a-t-il assez de
données ?
☞ Il faut recourir à des variables auxiliaires pour
les rayons des disques ...
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$
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A
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6
, 2010-2021
36
2.6. EXERCICES
1° Bien choisir l’inconnue et la désigner par une lettre suffisamment évocatrice : t pour
le temps, m pour la masse ...
Il est parfois nécessaire de recourir à des variables auxiliaires qui disparaîtront en
cours de résolution ...
Méthode
2° Préciser les éventuelles contraintes sur l’inconnue.
3° Mise en équation.
4° Résolution de l’équation.
5° Conclusion : on confronte la (ou les) les solutions trouvée(s) aux contraintes portant
sur l’inconnue.
2 - 20
D
A
Sur le côté [BC] de ce carré, où faut-il placer un
point P pour que l’aire du triangle ABP soit la moitié de celle du trapèze APCD ?
B
P
C
10 cm
2 - 21
La caisse de la classe contient exactement 100 francs, en pièces de 2 francs ou de 5 francs. Le caissier compte
les pièces et en trouve 30. Un autre élève les recompte et en trouve 29. Qui s’est trompé ?
2 - 22
Le périmètre d’un triangle rectangle est 30 cm. Un des côtés de l’angle droit mesure 6 cm.
Combien mesurent les autres côtés ?
2 - 23
La largeur d’un rectangle vaut le quart de sa longueur. Si tu triples sa largeur et que tu diminues sa longueur de
8 cm, tu obtiens un deuxième rectangle dont l’aire mesure 320 cm2 de plus que le premier.
Quelles sont les dimensions du premier rectangle ?
2 - 24
Trouve les dimensions d’un rectangle tel que si l’on augmente chacun de ses côtés de 5 m, l’aire augmente de
125 m2 tandis que si l’on diminue chacun de ses côtés de 5 m, l’aire diminue de 75 m2.
2 - 25
Les côtés d’un triangle rectangle mesurent 3, 4 et 5 cm. Une droite parallèle au grand côté de l’angle droit
partage ce triangle en deux polygones de même périmètre : un trapèze et un triangle. Quelles sont les longueurs
des côtés de ces polygones ? Même question avec une droite parallèle à l’hypoténuse.
2 - 26
Cherche les dimensions de deux cubes, sachant que la différence de leurs volumes est 39’500 cm3 et que l’arête
de l’un mesure 20 cm de moins que celle de l’autre.
2 - 27
Où faut-il scier ce cube de 10 cm d’arête de manière à obtenir un prisme dont la base est un triangle isocèle et dont le volume est le tiers de celui
du reste du cube ?
$
\
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C
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, 2010-2021
CHAPITRE 2. RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU 1er ET DU 2e DEGRÉ
37
2 - 28
L’aire d’un rectangle est 72 cm2. Son périmètre est 44 cm. Quelles sont ses dimensions ?
2 - 29
Le rayon d’un disque mesure 8 cm. De combien doit-on l’augmenter pour que :
a) l’aire du disque double ?
b) l’aire du disque triple ?
c) l’aire du disque quadruple ?
2 - 30
Moyenne annuelle Pendant l’année, un étudiant a obtenu les notes 72, 80, 65, 78 et 60 (Canada). Si l’examen
final compte pour un tiers dans la note annuelle, quelle note l’étudiant doit-il obtenir pour avoir une moyenne
annuelle de 76 ?
2 - 31
Salaire brut Le salaire d’un travailleur à domicile est 492 $, après des déductions s’élevant à 40 % du salaire
brut. Quel est le salaire brut ?
2 - 32
Comptes d’épargne Un étudiant a gagné 100 000 $ à la loterie et il aimerait placer cet argent en comptes
d’épargne dans deux banques. Un compte donne 8 % d’intérêt simple, mais le dépôt n’est garanti que jusqu’à
50 000 $. Le second compte donne 6,4 % d’intérêt simple, et le dépôt est garanti jusqu’à 100 000 $. Déterminer
comment l’argent peut être déposé sans risque et rapporter un intérêt annuel de 7 500 $.
2 - 33
Fréquentation d’un cinéma Six cents personnes assistent à la première d’un film. Les billets pour adultes
coûtent 5 $, et les enfants sont admis pour 2 $. Si la caisse contient 2400 $, combien d’enfants assistaient à la
première ?
2 - 34
Salaire horaire Un ingénieur consultant est payé 60 $ par heure, et son assistante 20 $ par heure. Un client
reçoit une facture de 580 $ pour un certain travail. Si l’assistante a travaillé 5 heures de moins que l’ingénieur,
combien de temps chacun a-t-il facturé pour ce travail ?
2 - 35
Préparation d’une solution de glucose
Dans un certain test médical destiné à mesurer la tolérance aux hydrates de carbone, un adulte boit 7 centilitres d’une solution à 30 % de glucose. Lorsque le test est administré à
un enfant, la concentration de glucose doit être ramenée à 20%. Combien de solution à 30 % et combien d’eau
devra-t- on utiliser pour préparer 7 centilitres de solution à 20 % ?
2 - 36
Promenade Deux enfants qui sont éloignés de 224 mètres partent au même instant et marchent l’un vers
l’autre aux vitesses respectives de 1,5 m/s et 2 m/s. (a) Quand vont-ils se rencontrer ? (b) Quelle distance chacun aura-t-il parcourue ?
2 - 37
Un cycliste effectue un aller-retour entre deux villes. À l’aller, sa vitesse constante est de 30 km/h. Au retour, sa
vitesse est encore constante et vaut 20 km/h.
Quelle est la vitesse moyenne sur l’aller-retour ?
☞ Introduire d la distance entre les villes.
2 - 38
Le paradoxe de la Croisette Un cycliste effectue la montée de la croisette à la moyenne de 10 km/h. À quelle
vitesse doit-il redescendre pour que sa moyenne globale (aller-retour) soit le double, c’est-à-dire 20 km/h ?
$
\
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38
2.6. EXERCICES
2 - 39
Le paradoxe de la ficelle
Si on enroulait une ficelle autour de l’équateur (environ 40 000 km)et qu’on rallongeait cette ficelle d’un mètre
de façon à former une nouvelle circonférence, à quelle hauteur au-dessus du sol se trouverait-elle ?
Imaginer le même problème, mais avec un ballon de football !
2 - 40
Si une boîte et son couvercle pèsent 110 g et si la boîte pèse 100 g de plus que le couvercle, alors le couvercle
pèse 10 g. Vrai ou faux ?
2 - 41
Un père a 27 ans de plus que son fils. Dans 6 ans, son âge sera le double de celui de son fils.
Quel est l’âge du fils ? du père ?
➤ ➤ Méthode
le mieux est de faire d’abord un tableau duquel on déduira une équation.
père
fils
aujourd’hui
6 ans plus tard
x + 27
x + 33
x
x +6
2 - 42
Calculer le côté d’un carré sachant que si on l’augmente de 3 cm, son périmètre augmente de 21 cm.
2 - 43
Duel
Sur une route sinueuse, vous parvenez enfin à dépasser le poids lourd qui se traînait devant vous à 60 km/h.
Combien de kilomètres devrez-vous parcourir à 90 km/h pour avoir le temps de faire un arrêt-pipi (5 min)
avant qu’il ne repasse devant vous ?
2 - 44
Une flottille navigue à la vitesse de 15 miles à l’heure. Une corvette part en avant reconnaître le secteur ; sa
vitesse est de 25 miles à l’heure.
Elle rejoint la flottille 3 heures après le départ de sa mission.
Combien de temps après le départ, la corvette a-t-elle rebroussé chemin ?
2 - 45
Une voiture de police est cachée derrière des sapins à 10 mètres du bord de la route.
Une seconde après le passage d’un camion, l’angle θ entre le
point d’observation des policiers et la route avec pour sommet
l’emplacement du camion, est mesuré.
1. Si cet angle mesure 15°, quelle est la vitesse du camion ?
1 seconde
θ
10 m
2. Si la limitation de la vitesse est à 80 km/h, à partir de quel
angle y a-t-il excès de vitesse ?
2 - 46
J’ai un jour ramassé tellement de champignons que j’ai eu de la peine à les porter. Mais je ne portais pratiquement que de l’eau, car les champignons frais contiennent 90 % d’eau. Quand les champignons furent secs, ils
pesaient 15 kg de moins et contenaient alors 60 % d’eau.
Quel poids de champignons ai-je ramassé ?
$
\
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C
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, 2010-2021
CHAPITRE 2. RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU 1er ET DU 2e DEGRÉ
2 - 47
39
A
D
B
C
« Touthankaré » (Rallye sans frontière 1993)
Le rectangle ABCD a été découpé en carrés. Calculer ses dimensions (longueur et largeur) sachant
que le petit carré, en blanc sur la figure, représente
un carré de 2 cm de côté.
2 - 48
Un bateau à moteur remonte une rivière dont le courant est de 5 km/h. Puis après 40 km, il fait demi-tour et
revient à son point de départ. Le voyage aller-retour a pris 6 heures. En supposant que la vitesse du bateau par
rapport à l’eau était constante, quelle était cette vitesse ? En l’absence de courant, est-ce que le voyage aurait
pris plus de temps ?
2 - 49
« J’ai autant de frères que de sœurs »
La sœur de la personne qui vient de parler déclare : « J’ai deux fois plus de frères que de sœurs. »
Combien y a-t-il de frères et de sœurs ?
Attention : L’énoncé ne fournit aucune indication sur le sexe de la personne qui parle en premier ...
7
Équation générale du 2e degré ax 2 + bx + c = 0 avec a 6= 0
La correction de l’exercice 2 - 9 nous a permis de découvrir la solution d’une équation du second degré dont la
forme générale est
ax 2 + bx + c = 0 avec a 6= 0
Rappelons la démarche.
¶
µ
c
b
ax 2 + bx + c = a x 2 + x +
a
a
On a en complétant le carré :
x2 +
µ
¶ µ ¶2
b
b 2
b
x = x+
−
a
2aµµ
2a¶ µ ¶
¶
b 2 c
b 2
−
+
=a x+
2a
2a
a
et en arrangeant le deuxième terme
=a
´2
³
b
−
En distribuant a, on obtient a x + 2a
trinôme du second degré.
b 2 −4ac
4a
x+
b
2a
¶2
−
b 2 − 4ac
4a 2
¶
= a(x − h)2 + v qui est appelé la forme canonique du
Ainsi
ax 2 + bx + c = 0 ⇔ a
µµ
x+
µ
b
⇔ x+
2a
¶2
−
¶
b 2 − 4ac
=0
4a 2
=
b 2 − 4ac
4a 2
, 2010-2021
(discriminant du trinôme)
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BY:
$
\
en posant ∆ = b 2 − 4ac
b
2a
¶2
C
Remarque
µµ
(♣)
2.7. ÉQUATION GÉNÉRALE DU 2e DEGRÉ AX2 + BX + C = 0 AVEC A 6= 0
40
µ
b
⇔ x+
2a
¶2
=
∆
(2a)2
Soit l’équation ax 2 + bx + c = 0 et ∆ = b 2 − 4ac, si
• ∆ < 0, pas de solution
2 - 50
Résoudre les équations suivantes avec et sans la formule :
1) x 2 + 2x − 5 = 0
4) 3x 2 + 2x + 5 = 0
7) x 2 − 1 − 2x = 0
2) x 2 + 2x − 8 = 0
5) 3x 2 + 7x = 0 = 0
8) x − x · x 2 = 0
3) 2x 2 + 3x − 6 = 0
6) 5x 2 − 7 = 0
2) x 2 − 6x − 1 = 0
5) (x + 1)2 − 5 = 0
3) x 2 + x + 10 = 0
6) −4x 2 − 6x + 2 = 0
2 - 51
Résoudre les équations suivantes :
1) −5x 2 − 6x − 1 = 0
4) x 2 − 7x + 12 = 0
2
4
7) x 2 + x − 1 = 1
3
3
10) −3x 2 − 3x − 5 = 0
3x + 2
x
13)
=
x −1
x +2
8) −3x 2 + 12x + 1 = 0
11) 4x 2 − 4x = 0
1
1
1
14)
+
+
=0
x −1 x −2 x −3
9) −x 2 + 10x − 4 = 0
1
1
12)
+
=1
x −1 x +1
15) x 4 + x 2 − 20 = 0
2 - 52
Résoudre et factoriser
p
1) x 2 − 2 3x + 3 = 0 = 0
2) 9x 2 − 24x + 16 = 0
3) 6x 2 − x − 2 = 0
7 1 Changement de variables
1. Équations bicarrées
Exemple :
2x 4 + 13x 2 − 7 = 0
On effectue le changement de variable X = x 2 .
L’équation 2x 4 + 13x 2 − 7 = 0 est alors équivalente au système
(
x2 = X
2X 2 + 13X − 7 = 0
La résolution de la 2e équation donne ∆ = 225 et fournit ainsi deux solutions X 1 = −7 et X 2 = 12 .
Il nouspreste deux
équations à résoudre : x 2 = X 1 et x 2 = X 2 . La 1re n’a pas de solution et la 2e en admet
p
deux :
2
2
et −
2
2 .
4
Conclusion : 2x + 13x 2 − 7 = 0 admet deux solutions
p
2
2
2. Autres substitutions
1
x
et −
p
2
2 .
est équivalent à
(
1
x
=X
X − X − 43 = 0
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2
BY:
$
\
Exemple : ( x1 )2 − x1 − 34 = 0, avec X =
C
Théorème 2 - 2
(car un carré ne peut être négatif)
µ
¶
b 2
b
b
car
x+
=0
• ∆ = 0, une solution unique : −
=0⇔x+
2a
2a
2a
p
p
p
µ
¶2
∆
b
−b − ∆
b
∆
−b + ∆
⇔x+
et
car x +
=±
=
• ∆ > 0, deux solutions
2a
2a
2a
(2a)2
2a
2a
p
−b ± ∆
⇔x=
2a
, 2010-2021
CHAPITRE 2. RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU 1er ET DU 2e DEGRÉ
Équations paramétriques à une inconnue
Une équation paramétrique à une inconnue se différencie des équations déjà vues par la présence d’autres
lettres que celle représentant l’inconnue dans l’équation. Par exemple,
2x 2 + bx + 2 = 0
est une équation paramétrique du 2e degré à une inconnue x de paramètre b. Elle est une expression générale
qui résume une famille d’équations dont voici quelques exemplaires :
2x 2 + 2x + 2 = 0
(b = 2)
2
2x − x + 2 = 0
(b = −1)
2
2x + 2 = 0
(b = 0)
Résoudre une équation paramétrique, c’est donner une solution générale pour toutes les équations de la famille d’équations représentée par l’équation paramétrique.
Résolution L’équation 2x 2 + bx + 2 = 0 est du second degré. On calcule ∆.



si b 2 < 16 c’est-à-dire b ∈] − 4 ; +4[ , il n’y a pas de solution



−b
∆ = b 2 − 16
si b 2 = 16 c’est-à-dire b ∈ {−4 ; +4} , la solution est x =

4




2
si b > 16 c’est-à-dire b ∈ R \ [−4 ; +4] , il y a deux solutions
Dans le dernier cas, pour toute équation 2x 2 + bx + 2 = 0 avec b ∈ R \ [−4 ; +4], les solutions sont
p
−b ± b 2 − 16
x1,2 =
4
Autre exemple Discutons les solutions de l’équation
(a − 2) · x = b + 1
selon les valeurs de a et b.
1° a 6= 2 : pour isoler x, il faut diviser l’équation par a − 2 ; d’où ce cas avec a 6= 2 qui nous livre la
b +1
solution x =
a −2
2° a = 2 : on considère maintenant le cas exclu précédemment.
L’équation devient 0 · x = b + 1 ou 0 = b + 1.
a) a = 2 et b = −1 : en mettant ces valeurs dans l’équation, elle devient 0 = 0 dont la solution est
S = R.
b) a = 2 et b 6= −1 : en mettant ces valeurs dans l’équation, elle devient 0 6= b − 1 dont la solution
est S = ;.
2 - 53
Résoudre les équations ci-après
Équations bicarrées
1) 4x 4 − 73x 2 + 144 = 0
2) 2x 6 + 15x 3 − 8 = 0
Équations paramétriques
3) x − 1 = b + b 2 x
4) x 2 − (a + 3)x + 3a = 0
5) a 2 x − a = a 2 − ax
6) m(mx + 1) = 2(2x − 1)
7) bx · (a − b) + a 2 x = a · (1 − bx) + b · (1 − 2bx)
8) Soit la famille d’équations (m + 2) · x 2 + 2m · x + m − 3 = 0. Trouver les équations de cette famille qui ont
exactement une solution . Calculer cette solution.
9) Soit l’équation 3x 2 − 10x + c = 0. Détermine c pour que l’équation admette :
1° deux solutions distinctes ;
2° deux solutions positives ;
3° deux solutions de signe contraire, la positive étant en valeur absolue plus grande que la négative.
BY:
$
\
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C
8
41
, 2010-2021
42
2.9. PROBLÈMES CONDUISANT À UNE ÉQUATION DE SECOND DEGRÉ
9
Problèmes conduisant à une équation de second degré
2 - 54
Pour se rendre de Genève à Bâle (distance approximative 288 km), deux cyclistes partent en même temps. L’un
d’eux, dont la vitesse est supérieure de 4 km/h à celle de l’autre, arrive 1 heure plus tôt.
Quelles sont les vitesses des deux cyclistes ?
2 - 55
L’aire d’un triangle rectangle est 429 m2, et l’hypoténuse a pour longueur h = 72, 5 m. Trouver le périmètre.
2 - 56
Le grand carré a son côté de longueur 1.
Trouver la largeur (constante) de la bande, sachant qu’elle a même aire
que le carré intérieur.
2 - 57
M
Le demi-cercle de diamètre [AB] a 7,5 cm de rayon.
Le triangle △AMB a pour périmètre 36 cm.
Déterminer les longueurs des côtés du triangle
△AMB.
A
O
B
2 - 58
En partant de la ligne (♠) page 39, si le discriminant ∆ est positif, on peut écrire :
a
õ
b
x+
2a
¶2
−
Ãp
b 2 − 4ac
2a
!2 !
=0
Utiliser cette écriture pour démontrer le théorème suivant :
Théorème 2 - 3
Si ∆ > 0, l’équation ax 2 + bx + c = 0 admet deux racines x1 et x2 , et
ax 2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 )
2 - 59
Montrer le théorème suivant
Théorème de Viète
En particulier, si l’équation est x 2 + bx + c = 0, alors
S = −b
P=c
2 - 60
En utilisant ce résultat, trouver deux nombres dont la somme est égale à 6 et dont le produit est égal à 1.
2 - 61
Trouver deux nombres de somme 5 et de produit 6.
BY:
$
\
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C
Théorème 2 - 4
Lorsque l’équation ax 2 + bx + c = 0 admet deux racines distinctes, ou confondues, leur somme S et leur
produit P sont donnés par
c
b
P=
S=−
a
a
, 2010-2021
x
CHAPITRE 2. RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU 1er ET DU 2e DEGRÉ
x⫺6
3
43
3
3
2 - 62
x⫺6
On veut faire une boîte ouverte de base carrée à
partir d’un morceau de métal carré, en coupant à
chaque coin un carré de 3 cm de côté et en pliant
les côtés. De quelle taille doit être le morceau de
métal pour que la boîte ait un volume de 48 cm3 ?
x
3
3
x⫺6
x⫺6
2 - 63
La hauteur h (en m) au-dessus du sol d’une fusée jouet t secondes après son lancement est donnée par h =
−4, 9t 2 + 36t . Quand la fusée sera-t-elle à 60 m du sol ?
2 - 64
Dimensions d’une boîte de conserve Une fabrique de boîtes de conserve veut faire une boîte de forme cylindrique de 20 cm de haut, contenant 3000 cm3. Calculer le rayon intérieur r de la boîte.
2 - 65
Distance de freinage La distance qu’une voiture parcourt entre le moment où le conducteur décide de freiner
et celui où la voiture s’arrête est appelé la distance de freinage. Pour une certaine voiture circulant à v km/h, la
distance de freinage d (en m) est donnée par d = 0, 2v + 0, 006v 2 .
(a) Calculer la distance de freinage quand v vaut 50 km/h.
(b) Si un conducteur décide de freiner 100 m avant un signal stop, à quelle vitesse doit-il rouler pour s’arrêter
au bon endroit ?
2 - 66
Dans le cercle ci-contre de centre O,
AB est un diamètre,
C est un point du cercle,
CD est une hauteur du triangle ABC,
le point C est un point du cercle
et le triangle BAE est isocèle en E.
Sachant que CD = 3 et AB = 10,
B
C
b
b
b
O
1. Trouver la longueur BD.
b
D
2. Trouver le périmètre du quadrilatère ACBE.
b
A
b
E
2 - 67
Loi de Coulomb Une particule de charge −1 est située sur une droite de coordonnées en x = −2, et une particule
de charge −2 est en x = 2, comme le montre la figure. Si une particule de charge +1 a une position x entre −2 et
+2, la loi de Coulomb en électricité affirme que la force résultante F exercée sur la particule est donnée par la
formule
2k
−k
+
F=
(x + 2)2 (2 − x)2
pour une constante k > 0.
Déterminer la position où la force résultante est nulle.
–1
+1
–2
–2
x
2
2 - 68
Clôture d’un terrain Un fermier projette de clôturer un terrain rectangulaire, utilisant l’écurie pour un côté
et une barrière pour les trois autres côtés. Si le côté parallèle à l’écurie vaut deux fois la longueur d’un côté
adjacent, et si l’aire du terrain est de 128 m2, combien de mètres de barrière doit-il acheter ?
$
\
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C
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, 2010-2021
44
2.10. EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES
2 - 69
Rabais de quantité Une fabrique vend des chaussures de marche à un revendeur pour 40 $ la paire si la commande est de moins de 50 paires. Si la commande est de plus de 50 paires (jusqu’à 600), le prix par paire est
réduit de 0,04 $ fois le nombre commandé. Combien de paires le revendeur peut-il acheter pour 8400 $ ?
2 - 70
Dimensions d’un comprimé de vitamine La rapidité avec laquelle un comprimé de vitamine C se dissout dépend
de sa surface. Une première sorte de comprimé a 2 centimètres de long et a la forme d’un cylindre terminé à
chaque extrémité par un hémisphère de 0,5 centimètre de diamètre, comme le montre la figure. Une seconde
sorte de comprimé a la forme d’un cylindre circulaire droit de 0,5 centimètre de hauteur.
(a) Calculer le diamètre du second comprimé pour que son aire soit égale à celle du premier comprimé.
(b) Calculer le volume de chaque comprimé.
2 cm
0,5 cm
Exercices supplémentaires
2 - 71
Un sol est recouvert de 500 carreaux carrés. Si l’on avait utilisé des carreaux de 5 cm plus longs et plus larges, il
en aurait fallu 320 pour recouvrir le sol. Quelles sont les dimensions des premiers carreaux ?
2 - 72
Un héritage, qui s’élève à 405 000 F, doit être partagé de manière égale entre un certain nombre de personnes.
Trois héritiers viennent à être exclus, et de ce fait la part de chacun des autres s’en trouve augmentée de 22 500F.
Combien y avait-il d’héritiers initialement ?
2 - 73
Quelle longueur ont les deux aiguilles d’une horloge, si la distance de leurs extrémités est 17cm à midi et 85cm
à 9 heures ?
2 - 74
Deux dindes pèsent 20 kilos à elles deux. La plus petite coûte 96 F et la plus grande 120Frs, mais la plus petite
coûte 2 F de plus au kilo que la grande. Combien pèsent chacune des deux dindes ?
2 - 75
On envisage un rectangle de 4m sur 3m, entouré d’une bordure de largeur constante. Déterminer cette largeur
de sorte que l’aire de la bordure soit égale à celle du rectangle qu’elle entoure.
2 - 76
En augmentant de t % la largeur d’un rectangle et de 2t % sa longueur, l’aire de ce rectangle augment de 31 %.
Calculer t .
2 - 77
 soit
a) Dans la figure ci-dessous, trouver le point P appartenant au segment AB de sorte que l’angle CPD
droit.
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$
\
1.
C
10
, 2010-2021
CHAPITRE 2. RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU 1er ET DU 2e DEGRÉ
C
45
b
D
BD = 5
AC = 7
b
A
b
b
b
B
P
AB = 10
b) Quelle devrait être la longueur de BD pour qu’il n’existe qu’une et une seule position de P de sorte à
obtenir l’angle droit ?
2. Quelles sont les dimensions exactes d’un rectangle de 40 [cm] de périmètre et de 50 [cm2 ] de surface ?
2 - 78
Si l’on jette une pierre du haut d’une falaise dans l’océan, elle parcourt approximativement 4, 9t 2 m en t secondes. On entend l’impact 4 secondes plus tard. Sachant que la vitesse du son est de 330 m/s, évaluer la
hauteur de la falaise.
2 - 79
Deux trains partent en même temps de deux villes A et B distantes de 360 km. Ils se rencontrent au bout de
4 heures. Pour que la rencontre se fasse à mi-distance, il aurait fallu que le train à destination de B parte 54
minutes avant l’autre. Calculer la vitesse moyenne des deux trains.
2 - 80
Deux voyageurs A et B distants de 66 km vont l’un vers l’autre. À part trois heures après B. Après la rencontre, B
met 1h 36min pour achever le trajet et A, 6h 15min. Déterminer le point de rencontre.
2 - 81
La vitesse du courant d’un fleuve est de 5km/h. Il faut à un rameur 30 minutes de plus pour parcourir 1,2km
en remontant le courant que pour la même distance en descendant. Quelle est la vitesse du canoë en eau
tranquille ?
2 - 82
Deux ouvriers reçoivent l’un 16 000 F et l’autre, 9 000 F. Le premier a travaillé 5 jours de plus que le second. Si
chacun avait travaillé le nombre de jours qu’a travaillé l’autre, ils auraient reçu la même somme. Quel est le
nombre de journées de travail de chaque ouvrier et leur salaire journalier ?
2 - 83
Lorsque le prix d’un lecteur CD en vogue est de 450 F, un magasin en vend 15 par semaine. Cependant, chaque
fois que le prix est réduit de 15Frs, il en vend deux de plus par semaine. Quel est le prix de vente du lecteur CD
si les revenus de la semaine se sont élevés à 10 500 F ?
2 - 84
1. On dit qu’un rectangle est un rectangle d’or si, lorsqu’il est coupé en un carré et un rectangle, le rectangle
obtenu est semblable au premier (préservation du rapport des côtés). Déterminer la longueur du grand
côté d’un rectangle d’or dont le petit côté mesure l m.
2. Calculer le rapport entre la diagonale interne d’un pentagone régulier et son côté. Poser que le côté vaut
1.
$
\
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C
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46
2.10. EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES
2 - 85
On dit qu’un rectangle est de format A si, lorsqu’il est coupé en deux rectangles égaux, ces derniers sont semblables au premier.
1. Déterminer le rapport des côtés (> 1) d’un rectangle de format A.
2. Une feuille de papier AO est une feuille de format A dont l’aire mesure 1 m2.
En coupant cette feuille en deux, on obtient deux feuilles A1 ; en coupant en deux une feuille A1, on obtient
deux feuilles A2 et ainsi de suite. Déterminer en mm la longueur et la largeur d’une feuille de format A4.
2 - 86
La base et la hauteur d’un rectangle mesurent 50m et 24m. Mener une parallèle au petit côté, de manière que
les deux rectangles qu’elle détermine soient semblables. Remarque : il y a 3 réponses, une, évidente, et les deux
autres, symétriques.
2 - 87
L’aire latérale du cylindre ci-contre est
égale à l’aire de la couronne circulaire
hachurée. Quel est le diamètre du cylindre ?
10 cm
20 cm
2 - 88
D
On veut planter 324 arbustes sur un terrain rectangulaire ABCD de longueur 140m et de largeur 32m,
de façon à former un quadrillage régulier (voir figure). Quelle doit être la distance entre deux rangées consécutives ?
b
b
b
b
b
b
b
b
C
b
b
b
b
b
b
b
b
A
b
b
b
B
2 - 89
Deux ouvriers doivent faire un certain travail. Si chacun en exécutait la moitié, ils mettraient en tout 12h 30
minutes ; mais, travaillant ensemble, ils feraient le travail en 6 heures. Combien chacun mettrait-il de temps
pour faire l’ouvrage tout seul ? ☞ Introduire la capacité de travail horaire de chaque ouvrier.
Réponses
2 - 71
500x 2 = 320(x + 5)2
2 - 72
2 - 73
⇔
5x = ±4(x + 5). Les dimensions des premiers carreaux sont de 20cm x 20cm.
405000 405000
=
+ 22500
x −3
x
⇔
x 2 − 3x − 54 = 0. Il y avait initialement neuf héritiers.
x 2 + (x + 17)2 = 852 . Les aiguilles ont respectivement pour longueurs 51 cm et 68cm.
2 - 74
x 2 − 128x + 960 = 0. La plus petite pèse 8kg et la plus grande, 12kg.
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$
\
⇔
C
120
96
=
+2
x
20 − x
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CHAPITRE 2. RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU 1er ET DU 2e DEGRÉ
47
2 - 75
p
97 − 7
2 · 4 · 3 = (3 + 2x)(4 + 2x) ⇔ 2x + 7x − 6 = 0. La largeur de la bordure est d’environ 71 cm (
exactement).
4
2
2 - 76
2 - 77
µ
¶ µ
¶
t
2t
131
1+
· 1+
=
100
100
100
1.
t 2 + 150t − 1550 = 0
⇔
⇔
t ≈ 9, 7
a) Construire le point E aligné à BD tel que DE = 2. Poser x la distance AP.
Le théorème de Pythagore appliqué sur les ∆APC, ∆BPD et ∆CED nous indique que :
72 + x 2
=
52 + (10 − x)2
=
22 + 102
=
PC2
PD2
DC2
Par la réciproque du théorème de Pythagore, le ∆CPD est rectangle si :
CP2 + PD2 = CD2 ⇔ 2x 2 − 20x + 70 = 0
La valeur du discrimant ∆ étant négatif il n’est pas possible de placer P sur AB de sorte à obtenir
l’angle droit voulu !
b) Poser a la longueur de BD. Par un raisonnement analogue au cas précédent, la condition pour obtenir un angle droit est donnée par l’équation :
2x 2 − 20x + 14a = 0
Pour obtenir une et une seule position, il faut que :
∆ = 202 − 4 · 2 · 14a = 0 ⇔ a =
25
7
2. Poser x la largeur du rectangle et (20 − x) la longueur. Équation à résoudre :
x · (20 − x) = 50 ⇔ x 2 − 20x + 50 = 0
Seule la solution positive est retenue,
x
20 − x
2 - 78
r
p
10 + 5 2
p
10 − 5 2
=
=
x
x
+
= 4 ou 4, 9t 2 = 330(4 − t ). La hauteur de la falaise est d’environ 70,27m.
4, 9 330
2 - 79
v A + v B = 90 km/h et
180
180
=
+ 0, 9
vA
90 − v A
⇔
v A2 − 490v A + 18000 = 0
Le train partant de A fait 40km/h et celui partant de B, 50km/h.
2 - 80 Soit x, la distance séparant A du point de rencontre. Alors on a
d’où
x
66 − x
66 − x
x
=
− 3, v A =
et VB =
vA
vB
6, 25
1, 6
6, 25x 1, 6 · (66 − x)
2
=
− 3 ⇔ 1, 65x + 409, 2x − 6969, 6 = 0
66 − x
x
Le point de rencontre se trouve à 16 km de A.
2 - 81
1, 2
1, 2
1
=
+
v −5 v +5 2
La vitesse du canoë en eau tranquille est de 7 km/h.
2 - 82
9000 · (x + 5) 16000x
=
, x étant le nombre de jours qu’a travaillé le second.
x
x +5
Le premier ouvrier a travaillé 20 jours à 800 F par jour, tandis que le second a travaillé 15 jours à 600 F par jour.
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48
2.10. EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES
2 - 83
(450 − 15x)(15 + 2x) = 10500,
où x est le nombre (entier) de réductions.
Le prix de vente du lecteur CD est de 300 F.
2 - 84
1.
x −1 1
=
1
x
La longueur du petit côté est d’environ 1.62
,
avec 0 < x < 1.
p
cm ( 1+2 5
cm exactement, qui est le nombre d’or φ).
2. On trouve également φ.
p
p
1
⇒ x= 2
2) 24 · (x 2 2) = 106 mm2.
2 - 85 1) x = x/2
La largeur et la longueur d’une telle feuille sont respectivement d’environ 210 mm et 297 mm (exactement
125 · 23/4 et 250 · 21/4 ).
2 - 86 Soit x la distance à laquelle on trace la parallèle au petit côté gauche.
24 50 − x
=
x
24
ou
24
24
=
x
50 − x
solution évidente : x = 25.
Les deux solutions non triviales sont solutions de l’équation x 2 − 50x + 576 = 0 . On trouve x = 18 ou x = 32.
2 - 87
2 - 88
µ
³ x ´2 ¶
10πx = π 102 −
2
µ
Le diamètre du cylindre est de 20 ·
¶ µ
¶
32
140
+1 ·
+ 1 = 324
x
x
³p
´
2−1 .
323x 2 − 172x − 4480 = 0
⇔
La distance entre deux rangées doit être de 4 m.
2 - 89 x est le temps mis par l’un des ouvriers pour effectuer 1/2 unité de travail.
1
1
1
+
=
2x 2 · (12, 5 − x) 6
Un des deux ouvriers mettrait 5h pour effectuer la totalité du travail et l’autre 7h 30mn.
$
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CHAPITRE
3
Systèmes
linéaires
3.1. RAPPELS SUR LES SYSTÈMES LINÉAIRES (2,2)
Rappels sur les systèmes linéaires (2,2)
Beaucoup de problèmes à plusieurs inconnues se traduisent par des systèmes linéaires d’équations ou d’inéquations. Pour la résolution des systèmes d’équations, on trouve deux approches :
a° les méthodes de résolution algébrique qui, en ce qui concerne les petits systèmes (2-4 équations), sont
la substitution, la comparaison et l’addition (appelée aussi combinaison).
Exemples
• la substitution


➀ x − 2y

➁ 2x − 6y
=5
=⇒ x = 2y + 5
=5
en remplaçant x dans l’équation ➁ par l’expression tirée de l’équation ➀, on obtient
2(2y + 5) − 6y = 5
4y + 10 − 6y = 5
−2y + 10 = 5
2y = 5
5
y=
2
en mettant cette valeur dans l’équation ➀, on obtient
x = 2·
5
+5
2
5
d’où S = {(10; )}
2
x = 10
• la combinaison


➀ 3x − 2y = 5
·2

➁ 2x − 5y = 3


➀’ 6x − 4y

➁’  − 6x + 15y
· (−3)
= 10
= −9
11y = 1
c’est-à-dire
y=
1
11
en mettant cette valeur dans l’équation ➀, on obtient
Ainsi S =
½µ
19 1
;
11 11
¶¾
3x − 2 ·
1
=5
11
d’où x =
19
11
b° l’interprétation et la résolution graphique.
Une notion fondamentale pour ce chapitre est celle de l’équation y = ax + b de la droite. Elle est nécessaire à
l’interprétation graphique.
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$
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1
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CHAPITRE 3. SYSTÈMES LINÉAIRES
Par exemple, le système linéaire


➀  − 2x + y = 3

➁ 0, 5x − y
15
f1
= −1
10
se représente graphiquement
par deux droites d’équation


➀’  y = 2x + 3
pour f
f2
5
1

➁’  y
= 21 x + 1
51
pour f 2
La solution de ce système se lit
graphiquement à l’endroit (s’il
existe) de l’intersection de ces
deux droites : ici
1
-15
-10
-5
1
S = {(−1, 3; 0, 3)}
15
10
5
-5
il est clair que cette solution
n’est qu’approximative
puisqu’elle est le résultat d’une
lecture graphique.
-10
-15
1 1 Système de coordonnées
On munit le plan d’un système de coordonnées ou repère (Oxy). C’est un système de deux axes, souvent perpendiculaires, qui permet de repérer la position d’un point grâce à deux nombres, appelés les coordonnées du
point.
• l’axe (Ox), appelé axe des abscisses, est muni du repère (O, I) ;
• l’axe (Oy), appelé axe des ordonnées, est muni du repère (O, J).
y
y
m2
M
J
O
M
m2
J
I
m1
I
x
m1
x
Repère orthonormal
• m 1 est le projeté de M sur (Ox) selon (Oy)
• m 2 est le projeté de M sur (Oy) selon (Ox)
Un point M a ainsi pour coordonnées (x, y) dans le repère (Ox y) lorsque les points m 1 et m 2 ont pour abscisses
respectives x sur (Ox) et y sur (Oy) : x est l’abscisse du point M, y est son ordonnée.
Dans la figure ci-dessus, le repère de gauche est quelconque, celui de droite est orthonormal. Ceci signifie que
(OI) ⊥ (OJ) et OI = OJ = 1.
C’est une fois que le plan est doté d’un repère orthonormal que l’on peut calculer aisément des distances. Ainsi
la distance entre deux points A(x A , y A ) et B(xB , y B ) est donnée par une formule déduite de Pythagore.
$
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52
3.1. RAPPELS SUR LES SYSTÈMES LINÉAIRES (2,2)
B(2; 3)
3
b
2
3 − (−1) = 4
1
−2
1
−1
−1
2
3
b
A(1; −1)
AB =
−2
2−1 = 1
q
p
(xB − x A )2 + (y B − y A )2 = 42 + 12
1 2 Équation de la droite : y = ax + b
Dans un système de coordonnées orthonormal (Oxy), une droite est entièrement décrite par deux données :
a° l’ordonnée à l’origine. C’est le point où la droite coupe l’axe des ordonnées (axe vertical). Dans la figure
de la page précédente, cela correspond à l’ordonnée +3 pour la droite f 1 ;
b° la pente. C’est le rapport du déplacement vertical au déplacement horizontal entre deux points de la
+2
= 2. Ceci signifie qu’un changement d’une
droite. Toujours avec le même exemple, la pente de f 1 est +1
unité pour x se répercute sur y en doublant de valeur. L’équation de f 1 est ainsi y = 2x + 3
La forme générale de l’équation de la droite est ainsi y = ax + b
(x = c pour une droite verticale).
Justification Une équation du type y = ax +b (par exemple y = 3x +5) a une infinité de solutions : pour chaque
choix d’une valeur de x, on obtient une valeur pour y. Dans l’exemple, si x = 2, alors y = 11. Le couple
(2; 11) est ainsi une solution de l’équation. Toutes les solutions sont données par l’écriture suivante :
S = {(x, y) | x ∈ R et
y = 3x + 5}
En fait, l’ensemble de ces couples forme la définition d’une fonction
f : x 7→ 3x + 5
et représentent des points dans le plan muni d’un système de coordonnées. La justification qui suit va
montrer que ces points dessinent une droite. On commence par un cas particulier de l’équation de la
droite.
a° Cas particulier de l’équation de la droite y = ax
Soient les points O(0; 0) et A(x ; ax) du graphe de f : x 7→ ax.
Un point B appartient à la droite (OA) si les △OB′ B et
△OA′ A sont semblables, c’est-à-dire si
BB′ OB′
=
AA′ OA′
mais on a que
⇔
BB′
AA′
=
′
OB
OA′
A
ax
(∗)
B
B′
AA′ ax
=
=a
OA′
x
O
x′
A′
x
Cette condition (∗) signifie que
BB′
=a
OB′
c.-à-d. BB′ = ax ′
puisque OB′ = x ′
Ainsi les coordonnées d’un point B appartenant à la droite sont (x ′ ; ax ′ ), en d’autres termes, si B est
un point de la droite (OA), alors il appartient au graphe de f : x 7→ ax.
b° Cas général y = ax + b
$
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CHAPITRE 3. SYSTÈMES LINÉAIRES
53
y = ax + b
La différence entre y = ax + b
et y = ax est que les points
solutions de y = ax + b ont
une ordonnée à laquelle il a
été ajouté b par rapport à
celle des points solutions de
y = ax.
+b
+b
y = ax
y = ax
1 3 Systèmes linéaires
Un système linéaire de deux équations, deux inconnues x et y est la donnée de deux équations


 ax + by
=c
(S)

a ′ x + b ′ y = c ′
Définition 3 - 1
où a, b, c, a ′ , b ′ et c ′ sont des réels donnés.
Une solution de (S) est un couple (x, y) vérifiant chacune des équations. Résoudre le système (S) revient à
déterminer tous les couples solutions.
Soit (S) le système


ax + by

a ′ x + b ′ y
=c
.
= c′
• Si ab ′ − a ′ b 6= 0, le système (S) admet une solution unique.
Théorème 3 - 1
• Si ab ′ − a ′ b = 0, le système (S) n’a pas de solution ou admet une « droite de solutions ».
¯
¯
¯a b¯
¯
¯
′
′
L’expression ab − a b, notée schématiquement ¯
¯ (différence des produits en croix) est appelé dé¯a ′ b ′ ¯
terminant du système.
Preuve. Chacune des équations est représentée par une droite, D et D ′ , respectivement. Si b et b ′ sont différents
′
de 0, les pentes de ces droites sont − ab et − ab ′ . Les droites sont parallèles lorsque ces pentes sont égales, soit
ab ′ = ba ′ ou encore ab ′ − ba ′ = 0.
Cependant, si b = 0, par exemple, alors a 6= 0.
ab ′ −a ′ b = 0 s’écrit alors ab’=0. Mais puisque a 6= 0, c’est donc b ′ = 0. Dans ce cas, les deux droites sont parallèles
à l’axe (Oy). Réciproquement, si D//D ′ //(Oy), alors b = b ′ = 0. D’où ab ′ − a ′ b = 0.
On a montré que si le déterminant est nul, alors les droites D et D ′ sont parallèles (confondues éventuellement,
dans ce cas on a une droite solution), et réciproquement. Donc, si le déterminant est non nul, alors les droites
sont sécantes et la solution est donnée par le point d’intersection (une seule solution).
Exercices
3 -1
4)


➀ 5x − 6y

➁ 3x + 7y
=4
=8
2)
5)


➀ 4x + 5y

➁ 3x + y


➀ 2x + 8y

➁ 3x − 5y
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= 13
3)
= −4
=7
6)
=4
$
\
Résoudre les systèmes


➀ 2x + 3y = 2
1)

➁  x − 2y = 8


➀ 3r + 4s

➁ r − 2s


➀ 1c + 1d
3
2

➁ c − 2 d
3
C
2
, 2010-2021
=3
= −4
=5
= −1
54
3.2. EXERCICES
7)
10)
13)

p
p
➀  3x − 2y
p
 p
➁ 2 2x + 3y


➀ 3x

➁ x
= 5y − 6
19)
8)
11)
= y − 10


➀ 3x + y

➁ 6x
4
16)
p
=2 3
p
= 2
=5


➀
2x − 5y − 2z



➁ −x + y +z




➂ 4x + 3y + 2z


➀ mx + y

➁ 3x − 2y
14)
y
= 52 − 2
=3
=0
17)
= 11
=2
20)
=1


➀ 0, 11x − 0, 15y
= 0, 25

➁ 0, 12x + 0, 05y


y
➀  x3 + 5

y
➁ 5x − 2



= 0, 7
4
= − 15
=
13
2
➀

2x + 4y
=6
➂
=6
➁  12 x + 3y
=



3
5
2x− 2z


➀
2x + z



➁ 2y + z




➂ 4x − y − z


➀ mx − y

➁ 4x + 2y
9)
12)
15)
11
2
=3
=0
18)
=1
=
1
2
21)
= −1


➀ 2y − 5x

➁ 3y + 4x
=0
=0


➀ 3x + y

➁ 6x + 2y
=5
=5



➁ 2x + 3y − 5z




➂ 7x − 9y − 3z
➀

3x − 5y + 2z = 26


➀
x − 3z + z



➁  − 2x + 3y + z




➂ 4x + 3y − z


➀ y

➁ y
= 11
= 63
=5
=2
=1
= mx
= x + m2 − 1
3 -2
En terrasse
« Deux cocas, trois oranginas : 66 F. »
« Trois cocas, cinq oranginas : 105 F. »
Combien le coca ? l’orangina ?
3 -3
Soit deux nombres. En retranchant au premier nombre le double du second, on obtient 21. En ajoutant au
second nombre le tiers du premier, on trouve 27. Quels sont ces nombres ?
3 -4
J’ai dans mon porte-monnaie des pièces de 2 fr. et des pièces de 1 fr., soit 21 pièces en tout. Si les pièces de 2 fr.
étaient remplacées par des pièces de 1 fr. et inversement, j’aurais 3 fr. de moins. Combien ai-je ?
3 -5
Si on augmente la longueur d’un rectangle de 2 cm et sa largeur de 3 cm, son aire augmente de 96 cm2.
Si, maintenant, on diminue sa longueur de 5 cm et sa largeur de 4 cm, son aire diminue de 135 cm2.
Déterminer les dimensions du rectangle.
3 -6
Si on diminuait de 3 cm la grande diagonale d’un losange et si on augmentait la petite de 1 cm, l’aire diminuerait
de 7 cm2. Si on augmentait la grande diagonale de 4 cm et si on diminuait la petite de 3 cm, l’aire diminuerait
de 12cm2. Calculer les dimensions de ce losange.
3 -7
Calcul de la vitesse du courant d’une rivière Un bateau à moteur, fonctionnant à plein régime, parcourt 4 km
en remontant la rivière (contre un courant constant) en 15 minutes. Le retour (avec le même courant et à plein
régime) prend 12 minutes. Trouver la vitesse du courant et la vitesse propre du bateau en eau calme.
3 -8
Les notes suivantes ont été écrites dans l’ordre croissant :
x ; 4 ; 6 ; 7 ; 10 ; 11 ; 13 ; 14 ; 15 ; y
On sait que la moyenne est 10 et que l’écart entre les deux notes extrêmes est 16.
Calculer x et y .
$
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CHAPITRE 3. SYSTÈMES LINÉAIRES
55
3 -9
La plus mauvaise note est 2. Si l’on n’en tient pas compte, la moyenne des notes au contrôle augmente d’un
demi-point.
La meilleure note est 19. Éliminée, la moyenne baisse alors d’un demi-point.
Combien d’élèves ont participé au contrôle ?
☞ Utiliser les variables S pour la somme des notes, n le nombre d’élèves et m la moyenne ...
3 - 10
Calculer la pente et l’ordonnée à l’origine de la droite qui passe par l’origine et par le point (−12 ; −6).
3 - 11
Calculer la pente et l’ordonnée à l’origine de la droite qui passe par les points A(−1 ; −1) et B(7 ; 3).
3 - 12
La droite d1 passe par les points (3 ; 0) et (−3 ; −2). La droite d2 est parallèle à d1 et passe par le point (−1 ; 4).
Calculer la pente et l’ordonnée à l’origine de d2 .
3 - 13
La largeur d’une piscine rectangulaire est égale aux 34 de sa longueur. Cette piscine est entourée d’une allée
large de 3 m, d’une aire de 246 m2. Calculer les dimensions de la piscine.
3 - 14
Un paysan vend pour 80 fr. le mètre carré deux terrains carrés non contigus. Un des terrains mesure 75 m2 de
plus que l’autre. La somme des périmètres est de 100 m. Quel est le prix de chaque terrain ?
3 - 15
Un enfant achète 26 rails pour son train électrique. Il achète des rails courbes et des rails droits. Un rail courbe
coûte 4,40 fr. et un rail droit 3,30 fr. Combien a-t-il acheté de rails de chaque sorte, sachant qu’il a dépensé
97,90fr. ?
3 - 16
Un père donne 6630 fr. à ses trois enfants. Le premier reçoit le double du deuxième et 1870 fr. de plus que le
troisième. Calculer la part de chacun.
3 - 17
Un monsieur, ne voulant ni avouer son âge ni mentir, dit : « Si je vivais jusqu’à 100 ans, les
qui me resteraient à vivre surpasseraient de 3 ans le 13 des 58 de mon âge ». Quel âge a-t-il ?
3
4
du
1
3
des années
3 - 18
Quelles sont les dimensions d’un rectangle dont
(1) le périmètre vaut 78 m et l’aire 360 m2 ?
(2) le périmètre vaut 68 m et l’aire 290 m2 ?
3 - 19
Les faces d’un parallélépipède rectangle ont pour aires, en centimètres carrés, 6, 8 et 27. Déterminez les longueurs des arêtes.
3 - 20
Avant d’entreprendre sa tournée, le Père Noël fait ses emplettes. Il se rend chez un grossiste avec le budget qu’il
a affecté à l’achat d’ordinateurs de jeux. Le vendeur lui fait remarquer qu’il devrait offrir également quelques
logiciels ; et chaque logiciel coûte 200 F. Le budget du Père Noël n’est pas extensible : « si j’offre deux logiciels
avec chaque ordinateur, je prive d’ordinateur 80 enfants », s’exclame-t-il. « Mais si vous en offrez un, vous n’en
privez que 50 », rétorque le vendeur.
Quel est le prix d’un ordinateur ? Et le budget du Père Noël ?
3 - 21
En vendant ensemble deux objets pour 210 F, on réalise un bénéfice de 5 %. Trouvez le prix d’achat de chaque
objet sachant que l’on a gagné 10 % sur l’un et perdu 10 % sur l’autre.
3 - 22
Deux villes A et B sont distantes de 130 km. Un véhicule part de A à 8 h et se dirige vers B à vitesse constante.
Deux véhicules partent de B, l’un à 9 h, l’autre à 9 h 30 et se dirigent vers A à la même vitesse (constante) ?
Le véhicule parti de A rencontre le premier véhicule parti de B après avoir parcouru 88 km et le second après
avoir parcouru 106 km.
Quelle est la vitesse de chaque véhicule ? ☞ Écrire des équations autour des deux heures de rencontre ...
$
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56
3.2. EXERCICES
3 - 23
2
A
S
km
m
0k
30
Aller-retour
Un cycliste parcourt en 5 heures le trajet ASB aller-retour schématisé cicontre. Il met 40 minutes de plus au retour (trajet BSA)qu’à l’aller (trajet ASB).
Déterminer sa vitesse en montée et sa vitesse en descente (chacune étant supposée constante).
B
3 - 24
Représenter graphiquement les droites D et D ′ et calculer les coordonnées de leur point d’intersection (s’il
existe ...).
1)
2)
D : 7x − 5y − 3 = 0
D : 2x = 3y
D ′ : 5x − 3y = 5
D ′ : 7x − 4y = 13
3 - 25
Rendement d’un investissement Une femme a 15’000 fr. à investir dans deux fonds qui paient un intérêt simple à
des taux de 6% et 8%. Les intérêts sur le fond à 6% sont exemptés d’impôt ; par contre, il faut payer un impôt sur
les intérêts du fond à 8%. Comme la femme est dans une tranche d’imposition élevée, elle ne veut pas investir
tout son argent dans le compte à 8%. Y a-t-il un moyen d’investir l’argent afin qu’elle reçoive 1 000 fr. d’intérêts
à la fin d’une année ?
3 - 26
Alliage d’argent Un fondeur d’argent a deux alliages, l’un contenant 35% d’argent et l’autre 60% d’argent. Quelle
quantité de chaque alliage faudrait-il fondre et mélanger pour obtenir 100 grammes d’un alliage qui contienne
50% d’argent ?
3 - 27
Accélération Lorsqu’une balle roule le long d’un pan incliné, sa vitesse v(t ) (en cm/s) au temps t (en s) est
donnée par v(t ) = v 0 + at pour une vitesse initiale v 0 et une accélération a (en cm/s2 ). Si v(2) = 16 et v(5) = 25,
trouver v 0 et a .
3 - 28
Projection verticale Si un objet est projeté verticalement vers le haut d’une hauteur de s 0 mètres avec une vitesse
initiale de v 0 m/s, sa position s(t ) par rapport au sol après t secondes est s(t ) = −16t 2 + v 0 t + s0 . Si s(1) = 84 et
s(2) = 116, que valent v 0 et s0 ?
3 - 29
Nourriture pour le bétail Un fermier prépare un mélange d’avoine et de blé pour le bétail. 30 grammes d’avoine
apportent 4 grammes de protéines et 18 grammes d’hydrates de carbone, et 30 grammes de blé fournissent 3
grammes de protéines et 24 grammes d’hydrates de carbone. Quelle quantité (en grammes) de chaque céréale
faudrait-il employer pour satisfaire à des besoins nutritionnels de 200 grammes de protéines et 1 320 grammes
d’hydrates de carbone pour chaque ration ?
3 - 30
Établir les équations des hauteurs du triangle dont les sommets sont A(−3 ; 2), B(5 ; 4) et C(3 ; −8), et trouver le
point d’intersection des hauteurs.
3 - 31
Le cercle inscrit au triangle ABC est tangent aux côtés en U, V et W .
Calculer AV , AW , BW , BU, CU et CV sachant que
BC = 8, CA = 7 et AB = 5, 5.
A
V
W
I
B
$
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U
C
CHAPITRE 3. SYSTÈMES LINÉAIRES
57
3 - 32
Une fillette à qui sa mère avait confié 100 francs achète des fruits pour toute la famille : des pamplemousses à 3
fr., des melons à 7 fr. et des ananas à 8 fr. Après ces achats, et après avoir dépensé tout l’argent, la fillette peinait
pour porter son cabas lourd de 20 fruits.
Combien en avait-elle de chaque espèce ?
☞ Exprime en fonction du nombre x de pamplemousses achetés, le nombre de melons et d’ananas achetés ...
(ces trois nombres sont des entiers supérieurs ou égaux à 1).
Réponses à l’exercice 3 - 1
96
13 )}
11) {(1 ; −3)}
3) {(−1 ; 3/2)}
4) {( 76
53 ;
7)
8) {(5 ; 2)}
9) {(0 ; 0)}
p
{( 78 ; − 3 7 6 )}
12) ;
{ 12
13) {(x ; y)| y = −3x + 5}
{− 56
9
10
16) {2 ; −1 ; 3} 17)
; −1 ; 2} 18)
;


;
si m = − 23
19) S = ¡

 5 ; 6−m ¢ si m 6= − 3
3+2m 3+2m
2


{(x, y)|4x + 2y = −1, x ∈ R} si m = −2
20) S =

(0; − 1 )
si m 6= −2
2



{(x, y)|y = x, x ∈ R} si m = 1



21) S = (0; 0)
si m = −1





(m + 1; m(m + 1))
si m 6= ±1
14) {(−1 ; 2 ; −3)}
31
; − 10
}
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$
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51
6) {( 13
;
28
53 )}
2) {(−3 ; 5)}
C
1) {(4 ; −2)}
, 2010-2021
5) {( 67
34 ;
13
34 )}
10) {(−22 ; −12)}
15) {(6 ; −2 ; −1)}
CHAPITRE
4
Inéquations et
programmation
linéaire
CHAPITRE 4. INÉQUATIONS ET PROGRAMMATION LINÉAIRE
Les inéquations du 1er degré à une inconnue
1
x +3 .
2
Cette inéquation contient une inconnue au 1er degré (c’est x) ; elle comporte un membre de gauche et un
membre de droite, séparés par un signe d’inégalité :
Problème Résoudre l’inéquation
2 · (x − 4) 6
inconnue
1
2x − 8 ≤ x + 3
| {z } |2 {z }
membre de gauche
membre de droite
signe d’inégalité
Résoudre une inéquation, c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue qui vérifient l’inégalité.
Ces valeurs sont appelées les solutions de l’inéquation.
On désignera par S l’ensemble des solutions de l’inéquation. En général, S sera un intervalle.
1 1 Les propriétés des inégalités
Pour trouver les solutions d’une inéquation, on peut appliquer les trois propriétés suivantes :
Première propriété On peut ajouter (ou retrancher) un même nombre à chaque
membre d’une inégalité, sans en changer le sens :
si a ≤ b,
Exemple Prenons l’inégalité 7 < 8.
On peut ajouter 2 à chaque membre :
alors a + c ≤ b + c.
7+2 < 8+2
(en effet, 9 < 10).
Deuxième propriété On peut multiplier (ou diviser) chaque membre d’une inégalité par un même nombre positif, sans changer le sens de l’inégalité :
si a ≤ b
et c > 0,
alors ac ≤ bc.
Exemple Prenons l’inégalité 7 < 8.
On peut multiplier chaque membre par 3, sans changer le sens de l’inégalité :
3 · 7 < 3 · 8,
en effet, 21 < 24).
Troisième propriété On peut multiplier (ou diviser) chaque membre d’une inégalité par un même nombre négatif, à condition de changer le sens de l’inégalité :
si a ≤ b
et c < 0,
alors ac ≥ bc.
Exemple Prenons l’inégalité 7 < 8.
On peut multiplier chaque membre par −1, à condition de changer le sens de l’inégalité :
(−1) · 7 > (−1) · 8
(en effet, −7 > −8).
1 2 La résolution d’une inéquation de 1er degré à une inconnue
Pour résoudre une inéquation du 1er degré, on utilisera ces 3 propriétés.
Problème Résoudre l’inéquation −x + 4 ≤ 2x − 2 .
BY:
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1
59
, 2010-2021
60
4.2. LES SYSTÈMES D’INÉQUATIONS À UNE INCONNUE
Solution Si x vérifie cette inéquation, alors
(1re propriété)
−x − 2x ≤ −2 − 4
(réduction)
−3x ≤ −6
−3x −6
≥
−3
−3
x ≥2
(3e propriété)
(simplification des fractions)
L’inéquation est vérifiée par toutes les valeurs de x supérieures ou égales à 2. Si on désigne l’ensemble
des solutions de cette inéquation par S, on peut écrire :
©
ª
S = x |x ≥ 2 = [2; ∞[.
Représentation graphique Les solutions sont indiquées par la partie non hachurée de la droite graduée. Le
sens du crochet indique que 2 est une solution :
|
|
0
1
2
1 3 Les demi-droites et les intervalles
On distingue 4 types d’intervalles ; dans la représentation graphique, l’intervalle est représenté par la partie
non hachurée de la droite. Le sens d’un crochet indique si a ou b appartient à l’intervalle, ou non.
Intervalle :
nom et notation
Représentation
graphique
intervalle fermé
[a ; b]
a
b
a≤x ≤b
Intervalle ouvert
]a ; b[
a
b
a<x <b
Intervalle semi-ouvert
à droite [a ; b[
a
Intervalle semi-ouvert
à gauche ]a ; b]
i
b
i
a
Description : ensemble
des nombres x tel que :
a≤x <b
a<x ≤b
b
On distingue aussi 4 types de demi-droites :
Représentation
graphique
Description : ensemble
des nombres x tel que :
]a ; +∞[
a
x>a
[a ; +∞[
a
x≥a
] − ∞ ; a[
h
a
x<a
] − ∞ ; a]
a
x≤a
Les systèmes d’inéquations à une inconnue
Voici un système de deux inéquations à une inconnue :
BY:
$
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2
Demi-droite :
notation
, 2010-2021
CHAPITRE 4. INÉQUATIONS ET PROGRAMMATION LINÉAIRE


➀
61
x − 4 ≤ 2x + 1

➁  −2x + 5 ≥ 5x − 2
Résoudre un tel système, c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue x qui vérifient à la fois ➀ et ➁. Ces
valeurs sont les solutions du système.
Marche à suivre :
a) Résoudre l’inéquation ➀.
b) Résoudre l’inéquation ➁.
c) Chercher les nombres qui sont solution à la fois de ➀ et de ➁.
Ces nombres forment l’ensemble des solutions du système.
a) Résolution de ➀ :
b) Résolution de ➁ :
x − 4 ≤ 2x + 1
−2x + 5 ≥ 5x − 2
x − 2x ≤ 1 + 4
−2x − 5x ≥ −2 − 5
−x ≤ 5
−7x ≥ −7
x ≥ −5
x ≤1
Si S 1 désigne l’ensemble des solutions de ➀, on
peut écrire :
©
ª
S 1 = x |x ≥ −5
Si S 2 désigne l’ensemble des solutions de ➁, on
peut écrire :
©
ª
S 1 = x |x ≤ 1
Pour trouver les nombres x qui sont à la fois dans S 1 et dans S 2 , représentons graphiquement ces deux ensembles :
|
|
−5
0
|
|
+1
−5
h
0
S1
S2
S1 ∩ S2
+1
i
|
0
−5
+1
Si S désigne l’ensemble des solutions du système d’inéquations, on peut écrire :
S = S1 ∩ S2 .
On voit, en comparant les représentations graphiques de S 1 et de S 2 , que
©
ª
S = x | − 5 ≤ x ≤ 1 = [−5; 1].
4 -1
Résoudre les inéquations
3x − 5 > 3 − x
9 ≥ 2x

1

2x − > 3 − 2x
5
7)
2


5 ≥ − x +1
3
2)
5)
3−x x −2
3 − 2x
−
>−
4
3
6
(
3x − 5 < 3 − x
1
3) (x − 1) ≥ −x − 2
2
(
2x − 7 ≤ 6x + 5
6)
4x − 11 ≤ 4 + x
9 ≤ 2x
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4)
(
2
x −1
3
C
1) −3x + 5 >
, 2010-2021
62
4.3. PROGRAMMATION LINÉAIRE
3
Programmation linéaire *
Au cours de la Seconde Guerre mondiale, l’armée de l’air des États-Unis d’Amérique eut de nombreux problèmes concernant l’allocation de ses ressources, tant humaines que matérielles. Naturellement, plusieurs spécialistes se penchèrent sur la question et parmi eux, George Dantzig. Peu après la guerre, en 1946, ce dernier
formula de manière plus générale ce genre de problèmes et proposa une méthode de résolution, la méthode
du simplexe.
Ce problème général peut se formuler ainsi : trouver la valeur maximale (ou minimale) d’une fonction à plusieurs variables si ces variables sont soumises à des contraintes. Par exemple, supposons qu’une compagnie
fabrique plusieurs produits différents et que pour chacun de ces produits il y a des coûts de fabrication différents en main-d’oeuvre et en matières premières. La compagnie connaît le bénéfice qu’elle réalise en vendant
chacun de ces produits. La compagnie doit alors se poser la question suivante : quelle quantité de chacun des
produits doit-on fabriquer pour obtenir un bénéfice global maximal ? En général, de tels problèmes peuvent
être assez complexes. Cependant, dans le cas où la fonction à optimiser, c’est-à-dire à rendre minimum ou
maximum, est linéaire et où les contraintes peuvent s’exprimer par des inéquations, on peut développer une
théorie assez simple pour résoudre ce genre de problèmes, la programmation linéaire. Nous nous limiterons
à des problèmes comportant seulement deux variables. Ceci nous permettra d’illustrer la solution par une représentation graphique simple. Précisons que la méthode de résolution proposée dans ce paragraphe n’est pas
la méthode du simplexe.
3 1 Inéquations linéaires
Définition 4 - 1
Une inéquation linéaire est une inéquation qui peut être écrite sous l’une des formes suivantes, où a, b et
c sont des nombres réels :
ax + by < c, ax + by > c, ax + by ≤ c, ax + by ≥ c
Graphiquement, la droite ax + by = c sépare le plan en deux demi-plans, comme le montre la figure ci-contre.
Les solutions d’une inéquation linéaire sont tous les points de l’un de ces demi-plans, la droite frontière étant
incluse pour ≤ ou ≥, pas incluse pour < ou >.
6
5
4
3
2
2x − 3y = −6
−4
−3
−2
1
1
−1
2
3
4
5
6
7
−1
−2
−3
Truc : Pour repérer rapidement le bon demi-plan défini par une inéquation, il suffit de regarder si le point (0; 0)
est du bon côté de la droite frontière.
*. Cette partie est reprise d’un polycopié de Jean-Philippe Javet sur la programmation linéaire, http://www.gymomath.ch/javmath/1ere_diplome/index1C.htm
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, 2010-2021
CHAPITRE 4. INÉQUATIONS ET PROGRAMMATION LINÉAIRE
63
4 -2
Représenter graphiquement les inéquations suivantes :
(a) 3x–4y > 12
(b) x + y ≤ 3
(c) −3x + 2y > −6
(d) 4x + 3y < 12
(e) 2x + 3y ≥ 2y + 1
(f) 2x–y ≥ 3
3 2 Systèmes d’inéquations linéaires
Comme nous l’avons fait avec les équations, nous travaillons parfois simultanément avec plusieurs inéquations
à deux inconnues, c’est-à-dire, avec un système d’inéquations.
Les solutions d’un système d’inéquations sont les solutions communes à toutes les inéquations du système. Le graphique d’un système d’inéquations correspond à une région R du plan contenant les points
correspondants aux solutions.
4 -3
Représenter graphiquement les systèmes d’inéquations :
(
x+y 64
1.
2x − y 6 4
(
3x + y < 3
2.
−2 + y < 2x
(
y + 2 < 2x
3.
y −x <4
(
y −x <0
4.
2x + 5y < 410
(
2y − x 6 4
5.
3y + 2x > 6
4 -4
Représenter graphiquement le système d’inéquations :

x+y 64




5x − 3y 6 9
1.

x >0




y >0
2. Les points P(3; 1) et Q(1; 2) vérifient-ils le système d’inéquations ?
4 -5
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Représenter graphiquement les systèmes d’inéquations :

3x + y 6 6




 x + 2y 6 4
1.

x >0




y >0

x + 2y > 4




4x + y > 4
2.

x >0




y >0
C
Définition 4 - 2
, 2010-2021
64
4.3. PROGRAMMATION LINÉAIRE
3 3 Polygone des contraintes
Nous avons observé que si un système d’inéquations contient uniquement des inéquations linéaires de la
forme : ax + by ≤ c ou ax + by ≥ c où a, b et c sont des nombres réels, alors la représentation graphique de
ce système est une région R limitée ou non du plan par un polygone convexe. Dans le cadre des exercices de
programmation linéaire, cette région sera appelée le polygone des contraintes.
4 -6
Dans une usine d’informatique :
• Pour construire une carte mère de type A, il faut 4 mémoires de type M1 et 3 mémoires de type M2 .
• Pour construire une carte mère de type B, il faut 2 mémoires de type M1 et 3 mémoires de type M2 .
• L’usine ne peut disposer par jour que de 16 mémoires de type M1 et de 15 mémoires de type M2 .
On note x le nombre de cartes mères de type A et y le nombre de cartes mères de type B produites chaque jour.
(1) Écrire un système d’inéquations traduisant les contraintes imposées à l’usine.
(2) Représenter graphiquement cette zone de contraintes.
(3) Le point P(3; 1) vérifie-t-il le système de contraintes ?
4 -7
Un artisan fabrique deux types de jouets en bois A et B. Un jouet A nécessite 1/2 heure de travail et 3 kg de bois.
Un jouet B nécessite 1 heure de travail et 2 kg de bois.
L’artisan ne doit pas travailler plus de 8 heures par jour et ne doit pas utiliser plus de 24 kg de bois par jour.
On note x le nombre de jouets A et y le nombre de jouets B fabriqués par jour par l’artisan.
(1) Ecrire un système d’inéquations traduisant les contraintes imposées à l’artisan.
(2) Représenter graphiquement le polygone R des contraintes.
4 -8
Le comité des fêtes d’une commune organise un repas pour 150 personnes. Chaque personne doit disposer de
3 assiettes en carton, de 2 verres et de 4 serviettes en papier. Un magasin propose un lot de type A comprenant
50 assiettes, 50 verres et 50 serviettes pour 50 francs. Un autre magasin propose un lot de type B comprenant
30 assiettes, 25 verres et 60 serviettes pour 40 francs. On note x le nombre de lots de A et y le nombre de lots B
prévus pour la fête.
(a) Ecrire un système d’inéquations traduisant les contraintes.
(b) Représenter graphiquement le polygone R des contraintes.
4 -9
Un atelier de confection fabrique en série deux modèles de chemises A et B. L’approvisionnement en tissu est
suffisant pour 400 chemises par jours (modèle A et modèle B). Le temps de fabrication pour le modèle A est égal
à trois fois le temps de fabrication pour le modèle B et si toutes les chemises étaient du modèle B, l’entreprise
pourrait en fabriquer au maximum 600 par jour. Grâce à une étude de marché, on sait que l’on ne peut pas
écouler plus de 150 chemises du modèle A et 350 du modèle B. On note x le nombre de chemises du modèle A
et y le nombre de chemises du modèle B.
(1) Écrire un système d’inéquations traduisant les contraintes.
(2) Représenter graphiquement le polygone R des contraintes.
3 4 Programmation linéaire ou comment optimiser une fonction à 2 variables ?
Dans les problèmes de programmation linéaire, nous traitons de tels systèmes d’inéquations conjointement
avec une fonction à 2 variables de la forme :
f (x; y) = ax + by + c
où a, b et c sont des nombres réels et (x; y) est un point dans le polygone de contrainte (c’est-à-dire une solution
du système). f est appelée une fonction économique. Les solutions du système, c’est-à-dire les couples (x; y)
correspondant aux points dans le polygone des contraintes, sont appelées les solutions possibles du problème.
Dans les applications commerciales, la valeur f peut représenter le coût, le gain, la perte ou une ressource
physique, et l’objectif sera de trouver un point précis P(x; y) dans R où f (x; y) prend une valeur maximum ou
minimum.
4 - 10

2x + 3y > 12




 x + 3y > 9
On considère la fonction économique f (x; y) = 2x + 6y soumis aux contraintes :

x >0




y >0
(a) Avant de représenter le polygone R des contraintes, montrer que le point A(8; 4) vérifie bien le système des
contraintes.
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CHAPITRE 4. INÉQUATIONS ET PROGRAMMATION LINÉAIRE
65
(b) Représenter le polygone R des contraintes.
(c) Montrer que le point B(4; 3) vérifie bien le système d’inéquations.
(d) Parmi ces 2 points A et B, lequel minimise le mieux la fonction économique ?
(e) Quel pourrait être le point P(x; y) de R minimisant la fonction économique ?
4 - 11
À l’approche des fêtes de Pâques, un artisan chocolatier décide de confectionner des oeufs en chocolat. En
allant inspecter ses réserves, il constate qu’il lui reste 18 kg de cacao, 8 kg de noisettes et 14 kg de lait.
Il a deux spécialités : l’oeuf Extra et l’oeuf Sublime.
• Un oeuf Extra nécessite 1 kg de cacao, 1 kg de noisettes et 2 kg de lait.
• Un oeuf Sublime nécessite 3 kg de cacao, 1 kg de noisettes et 1 kg de lait.
Il fera un profit de 20 fr. en vendant un oeuf Extra, et de 30 fr. en vendant un oeuf Sublime. Combien d’oeufs
Extra et Sublime doit-il fabriquer pour faire le plus grand bénéfice possible ?
Remarques :
• Dans cet exemple introductif, le résultat est en nombres entiers, ce n’est de loin pas toujours le cas.
• On constate que le chocolatier va utiliser complètement deux de ces trois ingrédients.
• Seuls les couples (x; y) ∈ R satisfont toutes les contraintes. Mais en fait, la solution optimale sera toujours
l’un des sommets du polygone délimitant le domaine R.
• La fonction économique est une droite qui doit couper l’axe Oy le plus haut possible dans le cas d’une
maximisation et le plus bas possible dans le cas d’une minimisation.
1. On pose x et y les 2 inconnues apparaissant dans le problème.
2. On traduit toutes les contraintes en un système d’inéquations.
3. On exprime la fonction économique f (x; y) à optimiser.
4. On représente le polygone R des contraintes.
Méthode
5. On trace la droite représentant la fonction f et passant par l’origine.
6. On translate cette droite.
7. Le point optimal P est le dernier point du domaine R que la droite de la fonction f
touchera lors de son déplacement.
8. Déterminer algébriquement les coordonnées du point P.
9. On répond finalement à la question posée par une phrase.
4 - 12
Une entreprise fabrique deux types de boîtes en métal. La fabrication d’une boîte de type A demande 1 heure
de travail et 3 kg de métal alors que le type B demande 2 heures de travail et 2 kg de métal. L’entreprise dispose
de 80 heures de temps de travail et de 120 kg de métal.
(1) Sachant que, pour une boîte, le profit est de 20 francs pour le type A et de 30 francs pour le type B, comment organiser la production afin de maximiser le profit ?
(2) Après une restructuration dans l’entreprise, les profits sont modifiés en 50 francs pour le type A et 20
francs pour le type B. Faut-il alors modifier le plan de production afin de maximiser le profit ?
4 - 13
Une petite communauté désire acquérir des camionnettes et des petits bus usagés pour son système de transports publics. La communauté ne peut pas dépenser plus de 200’000 fr. pour les véhicules et pas plus de 1’000
fr. par mois pour l’entretien. Les camionnettes coûtent 20’000 fr. pièce et en moyenne 200 fr. par mois pour
l’entretien. Les coûts approximatifs correspondants pour chaque bus sont de 40’000 fr. et 150 fr. par mois. Sachant que chaque camionnette peut transporter 15 passagers et chaque bus 25 voyageurs, trouver le nombre
de camionnettes et de bus à acheter pour que la capacité en passagers du système soit maximale.
4 - 14
Un ébéniste fabrique des tables et des armoires avec trois sortes de bois : chêne, pin et noyer. Dans le tableau
suivant, on donne le nombre de mètres carrés de bois nécessaire à la fabrication de chaque type de meubles et
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66
4.3. PROGRAMMATION LINÉAIRE
le nombre de mètres carrés de bois disponible.
Armoire
Table
Disponible
Chêne
4
5
210
Pin
5
2.5
180
Noyer
6
5
240
Combien d’armoires et de tables cet artisan doit-il fabriquer pour rendre son gain maximum si
(1) il gagne CHF 1000.- par armoire et CHF 900.- par table ;
(2) il gagne CHF 1200.- par armoire et CHF 1000.- par table.
4 - 15
Une fabrique d’automobiles construit, deux modèles A et B. Chaque jour, elle peut produire au maximum
600 voitures A et 300 voitures B, mais en raison d’un manque de personnel, elle ne peut produire plus de 750
voitures en tout. Le bénéfice est de CHF 1200.- pour une voiture du modèle A et de CHF 1800.- pour une voiture
du modèle B.
(1) Combien de voitures de chaque modèle doit-elle produire pour que le bénéfice soit maximum ?
(2) Comment se modifie cette situation si la production du modèle B ne peut dépasser la moitié de celle du
modèle A ?
4 - 16
Une entreprise chimique livre deux types de mélanges P et T obtenus à partir des trois éléments A, B et C selon
les pourcentages et prix de production donnés par le tableau ci- dessous. Calculer les quantités de mélanges
P et T à produire pour satisfaire les besoins en produits A, B et C donnés dans le tableau suivant à un prix
minimum.
P
T
Besoin (kg)
A
20%
40%
B
30%
50%
≥7
C
20%
10%
10
8
Prix par kilo
≥2
≥4
4 - 17
On désire préparer des rations alimentaires contenant au moins 90 g de protéines, 120 g d’hydrates de carbone et 2400 calories à partir de deux produits A et B. Une dose du produit A coûte 1 franc et contient 15 g de
protéines, 20 g d’hydrates de carbone et 300 calories. Une dose de produit B coûte 1 franc et contient 10 g de
protéines, 30 g d’hydrates de carbone et 400 calories.
Quelle est la composition de la ration alimentaire la plus économique ?
4 - 18
Un grossiste distribue chaque jour à diverses boucheries 17’800 kg de viande fraîche et 11’000 kg de viande
congelée. Pour cette distribution, il dispose de deux types de camions A et B. Un camion de type A peut transporter 600 kg de viande fraîche et 300 kg de viande congelée ; un camion de type B peut transporter 500 kg de
viande fraîche et 400 kg de viande congelée. Avec un camion de type B, le transport coûte 120% de ce qu’il est
avec un camion de type A.
Combien de camions de chaque type doit-il utiliser pour minimiser les frais de transport ?
4 - 19
Afin de financer un voyage d’études, une classe du gymnase projette d’installer un stand dans une kermesse
pour vendre des paquets de cacahuètes et des paquets de bonbons. Elle possède 800 fr. pour acquérir son stock,
dont le coût serait de 80 ct. par paquet de cacahuètes et de 1,60 fr. par paquet de bonbons. Elle a l’intention de
vendre les cacahuètes 2 fr. le paquet et les bonbons 3,20 fr. le paquet. Son stand peut contenir 500 paquets de
cacahuètes et 400 paquets de bonbons. Par expérience, elle sait qu’elle ne vendra pas plus de 700 paquets au
total.Trouver le nombre de paquets de chaque sorte qu’elle devrait avoir à disposition pour réaliser un bénéfice
maximal. Quel est le bénéfice maximal ?
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CHAPITRE
5
Géométrie
euclidienne
68
5.1. LES AXIOMES DE BASE OU LES RÈGLES DU JEU
Faire des mathématiques, c’est résoudre des problèmes à l’aide d’outils spécifiques qui nécessitent d’être attentifs à quelques points particuliers
• Si possible, tous les calculs doivent être effectués avec des valeurs exactes. Ainsi une réponse
comme 2π doit être préférée à 6,28.
Important
Dans les cas où des mesures physiques sont données ou qu’il n’est pas possible de travailler avec des
valeurs exactes sans créer de grands inconforts dans les calculs, les valeurs arrondies s’imposent.
On arrondit alors au mieux et, si aucune précision n’est donnée, au centième près.
• Les étapes de raisonnement et de calcul doivent être clairement explicitées. Quand un théorème
est utilisé, il faut le citer.
• Les résultats fournit par la calculatrice requiert non seulement une attention particulière aux arrondis, mais il faut aussi veiller à la mettre dans le bon mode. Dans ce chapitre, nous allons travailler
avec des degrés. Votre calculatrice doit ainsi être réglée dans le mode degré (DEG affiché).
1
Les axiomes de base ou les règles du jeu
La géométrie plane s’intéresse au plan défini comme un ensemble de points contenant certaines parties telles
que les droites et les segments. Ces trois types d’objets sont reliés entre eux par des règles de base, appelées
axiomes. Elles correspondent à des propriétés « évidentes » que l’on admet telles quelles, sans apporter de
preuve.
Axiomes d’incidence
a
(i) Par deux points distincts du plan passe toujours une droite et une seule.
(ii) Chaque droite contient au moins deux points.
(iii) Il existe trois points non-alignés
Axiome d’isométrie des triangles
Deux triangles qui ont respectivement un angle et les côtés adjacents isométriques sont isométriques (isométrie CAC).
Axiomes de report
Le transport des segments et des angles ne change pas leur mesure.
a. Cette axiomatique est celle de Hilbert (1862 – 1943) en remplacement de celle d’Euclide. Une présentation plus complète en
est donnée à la page 96. On y trouvera également dans les pages qui suivent celle d’Euclide.
Il existe encore deux autres axiomes, l’un sur les segments et l’autre sur la correspondance entre les nombres et
les mesures de longueur de segments et d’angle (cf. axiome de Cantor-Dedekind : tous les points d’une droite
peuvent être mis en correspondance biunivoque avec les nombres réels.
Ces axiomes sont les briques de base sur lesquelles on va construire toute la géométrie plane. Ce qui signifie
que toutes les propriétés découvertes en géométrie sont tirées par déduction des axiomes. La démarche pour
le faire s’appelle une démonstration et ce qu’on démontre s’appelle un théorème. On verra qu’un théorème
comporte toujours une première partie qui est l’hypothèse, et une autre, qui est la conclusion.
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Axiomes
Axiome des parallèles
Par un point quelconque du plan passe une et une seule droite parallèle à une droite donnée.
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CHAPITRE 5. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE
69
On peut tirer à partir de l’axiome d’isométrie des triangles, deux théorèmes qui représentent deux autres cas
d’isométrie.
Théorème 5 - 1
Deux triangles qui ont respectivement un côté et les angles adjacents isométriques sont aussi isométriques (isométrie ACA).
Théorème 5 - 2
Deux triangles qui ont respectivement les trois côtés isométriques sont isométriques (isométrie CCC).
Un autre théorème très utile est aussi donné sans démonstration.
Théorème de la transversale
Si deux droites d et d ′ déterminent avec une transversale t une paire d’angles alternes-externes, alternesinternes ou correspondants isométriques, elles sont parallèles.
Réciproquement, si une droite t coupe deux droites d et d ′ parallèles, alors les angles ainsi formés sont
isométriques dans la mesure où ils sont alternes-externes, alternes-internes ou correspondants.
∡1 et ∡7
d′
∡2 et ∡8
t
Théorème 5 - 3
d
∡3 et ∡5
∡8
∡5
∡4
∡1
∡7
∡4 et ∡6
∡6
∡3
alternes-externes
alternes-internes
∡1 et ∡5
∡2
∡2 et ∡6
∡3 et ∡7
correspondants
∡4 et ∡8
Notations et conventions
Les points sont généralement désignés par des lettres majuscules.
Ainsi les lettres A, B et C sont souvent utilisées pour désigner les trois sommets d’un triangle.
Plus généralement, pour désigner les sommets d’un polygone, on utilise les lettres majuscules de l’alphabet en commençant en principe par la première. Elles sont en général attribuées dans l’ordre en tournant
dans le sens trigonométrique (sens inverse des aiguilles d’une montre).
Certaines lettres ont un usage particulier : I, J, K sont utilisés pour désigner des points intermédiaires.
La lettre O est généralement utilisé pour désigner un point central dans une figure comme le centre d’un
cercle ou le centre d’un repère.
Les lettres M, N, P, Q sont utilisées pour désignées des points quelconques.
Les droites On utilise généralement les lettres minuscules d, d ′ pour désigner une droite. D’autres lettres minuscules peuvent également être utilisées.
Si une droite passe par les points A et B, on la désignera par la notation (AB) ou encore d AB .
b
B
b
A
Les segments Le segment d’extrémités A et B se note [AB].
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C
2
, 2010-2021
70
5.3. LE TRIANGLE
B
b
A
b
Demi-droites La demi-droite d’extrémité A et passant par B se note [AB).
b
B
b
A
Les angles Les angles sont désignés par les lettres grecques minuscules α, β, γ, δ, etc. (l’alphabet grec est donné
dans la table et formulaire CRM).
Un angle peut également être noté au moyen de trois points. Si son sommet est O et ses côtés respectifs
 ou BOA
 (les angles ne sont pas orientés en géométrie
passent par les points A et B, on le notera AOB
euclidienne).
A
b
O
b
α
b
B
Longueurs de segment On utilise généralement des lettres minuscules pour désigner la longueur d’un segment. Ou, si ses extrémités sont A et B, la longueur est désignée par AB ou encore AB.
Le triangle
Le triangle est le polygone fermé le plus simple. Mais, c’est aussi certainement l’un des plus riches, avec des
propriétés aux répercussions pratiques innombrables.
Un triangle est doté de trois angles et de trois côtés. Lesquels de ces éléments est-il suffisant de connaître pour
déterminer entièrement les autres ?
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C
3
, 2010-2021
CHAPITRE 5. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE
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Pour trouver la distance entre un point O, où l’on se trouve, et un point éloigné M inaccessible, comment peuton procéder ? Comment calculer la distance entre deux points inaccessibles M et M′ ? La réponse est dans la
formation de triangles entre les différents points et un nouveau point O′ vers lequel on peut se déplacer et pour
lequel on connaît la distance qui le sépare de O. Les angles en O et O′ peuvent être obtenus par des visées. Ces
données permettent de calculer celles qui sont inconnues dans les deux triangles △MOO′ et △M′ OO′ , et ceci
grâce au théorème 5.1 d’isométrie des triangles.
La distance OM peut se calculer si on connaît les angles en O et O′ du triangle △OMO′ et la distance OO′ . De la
même manière, on trouve la longueur du côté OM′ dans le triangle △OM′ O′ .
On considère ensuite le triangle △OMM′ , pour lequel on connaît maintenant les longueurs des côtés OM et
OM′ . En vertu de l’axiome d’isométrie et connaissant par visée l’angle en O, on peut calculer la distance entre
MM′ .
5 -1
1. Construire les triangles suivants et identifier chacune des situations avec un des cas d’isométrie du triangle, ce qui permet de s’assurer que la construction est unique :
1° l’angle α = 37°, AB = 4 cm et AC = 6 cm ;
2° l’angle α = 20° et l’angle β = 43°, AB = 5 cm ;
3° AB = 7 cm, AC = 5 cm et BC = 9cm.
2. Trouver des cas où 3 informations ne déterminent pas un triangle unique.
3. Trouver des cas où les 3 informations ne permettent pas de construire un triangle.
La somme des angles d’un triangle égale 180°
Hypothèse
C
△ABC un triangle
γ
α + β + γ = 180°
β
α
A
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Conclusion
C
Théorème 5 - 4
, 2010-2021
B
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5.3. LE TRIANGLE
Démonstration.
C
Idée : mener par C une parallèle d à (AB)
γ
Raisonnement
β
B
α
A
sur les triangles isocèles
Théorème 5 - 5
Hypothèse
△ABC un triangle et AB = AC
Conclusion
β=γ
Démonstration.
• Partager le △ABC par la médiane (cf. page 77) [AD] issue de A.
• Comparer les triangles △ADB et △ADC.
— [AD] commun aux deux triangles ;
— AB = AC par hypothèse ;
— BD = CD par construction.
• Par le théorème 1.2 d’isométrie des triangles, les deux triangles sont isométriques et donc β = γ.
3 1 Triangle rectangle et théorème de Pythagore
Théorème de Pythagore
A
△ABC un triangle rectangle en A
Conclusion
BC2 = AB2 + AC2
C
Réciproquement, si les côtés d’un triangle △ABC vérifient la relation BC2 = AB2 + AC2 (hypothèse), alors ce
triangle est rectangle en A(conclusion).
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B
C
Théorème 5 - 6
Hypothèse
, 2010-2021
CHAPITRE 5. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE
73
Démonstration. Les 2 premières figures sont une illustration du théorème et les 2 dernières permettent de
constituer sa preuve.
c2
c2
a2
a
a2 a
b
b
2
2
b
b
a
b
a
a
c
b
a
b
a
a2
b
c
c2
c
c
b
b
2
b
b
c
b
a
a
b
• Montrer d’abord que la figure carré ci-dessus à gauche est possible, c’est-à-dire qu’il est possible d’aligner
les 4 triangles de cette manière et d’obtenir à l’intérieur un quadrilatère qui est un carré.
• En comparant l’aire des deux figures carrées, trouver la conclusion du théorème.
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C
a
b
, 2010-2021
74
5.3. LE TRIANGLE
3 2 Théorème des milieux
La démonstration du théorème des milieux utilise des connaissances relatives aux parallélogrammes. Nous
allons commencer par une définition, puis présenter deux théorèmes, avec leurs démonstrations, qui énoncent
des conditions suffisantes pour avoir un parallélogramme.
Définition 5 - 1
Un parallélogramme est un quadrilatère délimité par deux paires de parallèles.
Théorème 5 - 7
Si deux segments [AC] et [BD] se coupent en leur milieu, leurs extrémités déterminent un parallélogramme.
Preuve.
A
Par hypothèse, on a les trois isométries qui permettent d’appliquer l’axiome d’isométrie des triangles
D
α
δ
β

AO = OC

OB = OD ⇒ △ABO ≡ △OCD


 = DOC

AOB
(
AB = CD
⇒
α=γ
O
B
⇒ (AB)//(CD)
γ
C
théorème de la transversale
⇒ (AD)//(BC)
en faisant un raisonnement identique
sur les triangles △AOD et △BCO.
Théorème 5 - 8
Si AB = CD et (AB)//(CD), alors ABCD est un parallélogramme.
Preuve.
A
D
δ
α
ǫ
β
B
γ
C
(AB)//(CD) ⇒ β = γ et α = ǫ

AB = CD


AC côté commun ⇒ △ABC ≡ △ACD


α=ǫ
réciproque du théorème de la transversale
axiome d’isométrie des △
⇒β=δ
mais on a déjà β = γ
⇒ (BC)//(AD)
theoreme de la transversale
angles correspondants
⇒δ=γ
⇒ ABCD est un parallélogramme
On peut montrer que la réciproque de chacun de ces deux théorèmes est aussi vraie. C’est-à-dire que chacune
des conditions énoncées dans ces théorèmes n’est pas seulement suffisante pour avoir affaire à un parallélogramme, mais aussi nécessaire. On a ainsi
Un parallélogramme est un quadrilatère qui a deux côtés parallèles de même longueur.
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Théorème 5 - 9
, 2010-2021
CHAPITRE 5. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE
Théorème 5 - 10
75
Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu.
5 -2
Formuler ces théorèmes sous la forme « Si ..., alors ... », puis les démontrer.
A
Théorème des milieux
Soit un triangle ABC et deux points I et J
situés sur les côtés [AB] et [AC] du triangle.
1° Lorsque I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [AC], alors (IJ) est
parallèle à (BC)
et IJ = 21 BC ;
Théorème 5 - 11
I
2° Lorsque I est le milieu de [AB] et (IJ)
est parallèle à (BC), alors J est le milieu de [AC].
B
b
b
J
C
Démonstration.
1°
Hypothèse
△ABC un triangle
I point milieu de [AB]
J point milieu de [AC]
Conclusion
(IJ)//(BC) et IJ = 21 BC
Placer un point K sur le prolongement de [IJ] en sorte que IJ = JK et analyser les parallélogrammes ainsi
formés ... (à compléter)
A
/
b
b
J
b
K
/
I
B
C
2°
Hypothèse
△ABC un triangle
I point milieu de [AB]
(IJ)//(BC)
Conclusion
J est le milieu de [AC]
Placer un point K sur le prolongement de [IJ] en sorte que IBCK soit un parallélogramme ... (à compléter)
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5.3. LE TRIANGLE
3 3 Les droites remarquables dans le triangle
Définition 5 - 2
La médiatrice d’un segment [AB] est la droite qui passe par le milieu de ce segment et qui est perpendiculaire à ce segment.
Propriété caractéristique de la médiatrice : un point quelconque de la médiatrice est équidistant des extrémités A et B du segment (et réciproquement)
(Preuve en exercice)
Théorème 5 - 12
Dans un △ABC, les trois médiatrices sont concourantes et le point d’intersection est le centre du cercle
circonscrit.
Idée de la démonstration : on trace deux des médiatrices. Elles se coupent en O. On montre que OA = OB =
OC. On en déduit que la 3e médiatrice passe par O.
Définition 5 - 3
 est la demi-droite issue du sommet B de l’angle et qui partage cet angle en
La bissectrice d’un angle ABC
deux angles égaux.
 est équiPropriété caractéristique de la bissectrice : un point quelconque de la bissectrice d’un angle ABC
distant des côtés [BA) et [BC) de l’angle (et réciproquement).
(Preuve en exercice)
Théorème 5 - 13
Dans un △ABC, les trois bissectrices sont concourantes et le point d’intersection est le centre du cercle
inscrit.
Idée de la démonstration : on trace deux des bissectrices. Elles se coupent en O. On considère les distances de
O à chacun des côtés du triangle.
Définition 5 - 4
La hauteur issue du sommet A dans un triangle △ABC est la droite passant par A et perpendiculaire au
côté [BC].
Théorème 5 - 14
Dans un △ABC, les trois hauteurs sont concourantes
Idée de la démonstration : on considère les médiatrices du triangle augmenté.
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CHAPITRE 5. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE
Définition 5 - 5
77
La médiane dans un triangle est une droite passant par le sommet et le milieu du côté opposé.
Propriété caractéristique de la médiane : la médiane partage le triangle en deux triangles d’aires égales.
Théorème 5 - 15
Dans un △ABC, les trois médianes sont concourantes en G, centre de gravité du triangle et situé aux
deux-tiers de chaque médiane à partir du sommet correspondant
b
Idée de la démonstration : désigner par A′ , B′ et C′ les
points au milieu des côtés du triangle. Puis dessiner les médianes (AA′) et (CC′ ) qui se coupent
en un point G intérieur au triangle. Construire le
point L, symétrique de B par rapport à G. Montrer que le quadrilatère AGCL est un parallélogramme. Montrer que la droite (BG) coupe [AC]
en B′ , (CG) coïncide alors avec la médiane issue
de B.
L
B′
A
b
C′
C
G
b
b
A′
B
3 4 Triangle rectangle et cercle ou théorème du cercle de Thalès
Lorsqu’un triangle possède l’une de ces propriétés, il possède aussi les autres, c’est-à-dire que pour un
triangle, ces quatre propriétés sont équivalentes :
1re ⇔ 2e ⇔ 3e ⇔ 4e
ou en décomposant
1re ⇒ 2e ⇒ 3e ⇒ 4e
4e ⇒ 3e ⇒ 2e ⇒ 1re
Théorème 5 - 16
A
1° Le triangle △ABC est rectangle en A.
BC
2° La médiane AI vérifie AI =
.
2
3° Le côté [BC] est un diamètre du cercle circonscrit.
B
4° Le milieu I de [BC] est centre du cercle circonscrit.
C
I
On a en particulier le théorème
Théorème de l’angle droit
Soit un cercle de diamètre [BC] ; pour tout point A de ce cercle (A 6= B et A 6= C), le triangle △ABC est
rectangle en A.
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Théorème 5 - 17
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78
5.4. PROPRIÉTÉS SUR LES PROPORTIONS (UTILES POUR LA SUITE)
4
Propriétés sur les proportions (utiles pour la suite)
4 1 Définitions
Définition 5 - 6
Un rapport est un quotient entre deux grandeurs
Définition 5 - 7
Une proportion est une égalité entre deux rapports
Si a,b,c,d sont quatre nombres tels que
a c
= , on dit qu’ils sont en proportion.
b d
a,b,c,d sont les quatre termes de la proportion.
a et d sont appelés les deux extrêmes
b et c sont appelés les deux moyens
Exemple : Si une voiture roule à une vitesse constante de 80 km/h, on peut présenter les deux grandeurs proportionnelles que sont la distance et le temps par un tableau
Temps (en min)
x
15
45
60
75
Distance (en km)
y
20
60
80
100
150
189
140
Question : Quels sont les deux coefficients de proportionnalité ?
Remarque : Ces coefficients permettent d’écrire deux applications linéaires
f : R+ −→ R+
x −→ y =
g : R+ −→ R+
4
x
3
x −→ y =
3
x
4
et chacune d’elle admet une représentation graphique particulière.
4 2 Propriétés d’une proportion
Dans toute proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens
Théorème 5 - 18
a c
=
b d
ssi
ad = bc
On a aussi les propriétés suivantes :
1° Interversion des extrêmes :
2° Interversion des moyens :
3° Inversion des rapports :
a c
=
b d
a c
=
b d
a c
=
b d
d
c
=
b a
ssi
ssi
ssi
a b
=
c d
b d
=
a c
4° Transformation correspondant à la somme et à la soustraction de deux colonnes dans un tableau de
a c
a +c
a −c
a c
ssi
= =
=
proportionnalité : =
b d
b d b +d b −d
$
\
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C
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, 2010-2021
CHAPITRE 5. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE
5
79
Le théorème de Thalès
Thalès
Si deux paires de parallèles découpent sur une sécante des segments dans un rapport donné, elles découpent des segments dans le même rapport sur n’importe quelle autre sécante
(démonstration http ://www.mathkang.org/swf/thales.html)
b2
b1
B2
a1
a2
A2
A1
d
B1
d’
A′1
Hypothèse
A′2
B′1
B′2
a1 , a2 , b 1 , b 2 des droites parallèles
d et d ′ sécantes en A 1 , A′1 ; A 2 , A′2 ; B1 , B′1 ; B2 , B′2 , respectivement
A 1 A 2 A′1 A′2
=
B1 B2 B′1 B′2
Conclusion
La proportion
A 1 A 2 A′1 A′2
=
B1 B2 B′1 B′2
peut s’écrire, par l’interversion des moyens,
A 1 A 2 B1 B2
=
A′1 A′2 B′1 B′2
En généralisant à plus de points, on obtient la situation suivante avec le tableau de proportionnalité
D
C
A
segments
longueurs
projetés
B
′
A′ B
C
Si r est la valeur du rapport
AB
′ ′
AB
BC
′ ′
BC
CD
AD
′
A′ D′
CD
′
·r
BC
CD
AD
AB
= ′ ′= ′ ′= ′ ′
′
′
AB
BC
CD
AD
D′
′
A′ B′
, alors
AB
A′ B′ = r · AB
projeté = r · segment
5 1 Les configurations de Thalès
En prolongeant les sécantes au-delà de leur point d’intersection A, on obtient la figure (a) ci-dessous. Elle présente deux configurations particulières : (b) le « papillon » et (c) les « triangles emboîtés ». Ce qui est capital
dans ces configurations est que (CB)//(DE) !
BY:
$
\
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C
Théorème 5 - 19
, 2010-2021
80
5.5. LE THÉORÈME DE THALÈS
B
E
b
b
(a)
D′
A
(b)
b
b
b
b
B
E
C
b
b
D
A
D
b
b
D
b
C
b
b
E′
B
b
(c)
A
b
b
C
On peut montrer que dans ces configurations, on a les rapports suivants :
AB AC BC
=
=
AD AE DE
longueurs
b
E
côtés petit triangle
AB
AC
BC
côtés grand triangle
AD
AE
DE
Le dernier rapport s’obtient en appliquant Thalès à la figure modifiée obtenue en tirant une parallèle à (AE)
passant par B.
D
b
B
Les parallèles sont (AE) et (BL) et elles coupent les sécantes (AD) et
(ED). Le théorème de Thalès permet d’écrire les rapports
b
A
AB
EL
segments AB AD
=
=
⇔
=
projetés
EL DE
AD DE
puisque BC = EL, on a
b
L
b
b
C
AB BC
=
DA DE
b
E
5 2 Réciproque du théorème de Thalès
Réciproque du théorème de Thalès
Si les points A, B, B′ sont alignés dans le même ordre que les points A, C, C′ et
AB
AC
=
AB′ AC′
Théorème 5 - 20
alors (BC)//(B′ C′ )
B′
À quoi sert ce théorème ?
B
C′
Ce théorème sert à montrer que
deux droites sont parallèles.
A
A
C
C
C′
B′
$
\
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C
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B
, 2010-2021
CHAPITRE 5. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE
81
5 3 Les triangles semblables
Définition 5 - 8
Deux triangles △ et △′ sont dits semblables si les
angles correspondants sont isométriques et les
côtés correspondants sont proportionnels (l’un
des triangles est simplement un « agrandissement » de l’autre).
C′
γ′
C
Notation : △ ∼ △′
γ
α = α′
Remarque
Cela signifie donc que β = β′ et
′
BC
.
B′ C′
Théorème 5 - 21
γ=γ
AB
AC
= ′ ′ =
A′ B′
AC
β′
β
α
B
A
B′
α′
′
A
Deux triangles dont les côtés sont respectivement parallèles ont des angles respectivement isométriques.
5 4 Conséquences du théorème de Thalès
Les deux théorèmes suivants donnent chacun un critère pour déterminer si deux triangles sont semblables.
C’est la raison pour laquelle on les appelle théorèmes de similitude.
Théorème 5 - 22
1er cas de similitude des triangles
Deux triangles qui ont leurs angles respectivement isométriques sont semblables.
L’idée de la démonstration consiste à placer l’un des triangles sur l’autre, puis à appliquer Thalès.
Deux triangles qui ont un angle isométrique et les côtés adjacents proportionnels sont semblables.
3e cas de similitude des triangles
Deux triangles qui ont les longueurs de leurs trois côtés proportionnelles sont semblables.
Il suffit ainsi, au moyen de ces trois théorèmes, de repérer si deux triangles sont semblables pour ensuite utiliser
les différents rapports donnés dans les configurations de Thalès.
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$
\
Théorème 5 - 24
2e cas de similitude des triangles
C
Théorème 5 - 23
, 2010-2021
5.6. APPLICATIONS PRATIQUES DU THÉORÈME DE THALÈS
Applications pratiques du théorème de Thalès
6 1 Partage d’un segment en n parties égales
On aimerait partager un segment [AB] en n = 7 parties égales à l’aide du compas et d’une règle.
Méthode
1° On trace une demi-droite issue de A
sur laquelle on reporte 7 fois au compas une unité de longueur choisie arbitrairement (ni trop courte, ni trop
longue, non plus ...)
B
C
2° On relie A et E.
3° Et on trace des parallèles à (BE) passant par les subdivisions de [AE].
4° Comme celles-ci sont toutes égales A
entre elles (de longueur u), les subdivisions projetées sur (AB) le sont
aussi.
D
u
E
Par exemple, si [AD] représente les 4/7 de [AE], alors [AC] représente les 4/7 de [AB].
6 2 Calculer la hauteur d’un arbre par temps ensoleillé
h
3m
1,8 m
3m
20 m
20 m
côtés petit triangle
3
1,8
côtés grand triangle
20
h
h=
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20·1,8
3
$
\
6
C
82
= 12m.
, 2010-2021
CHAPITRE 5. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE
83
6 3 Calculer la hauteur d’un arbre par temps nuageux
Par temps nuageux, il faut changer de stratégie et utiliser un instrument permettant de construire des triangles
semblables.
Il est fait de deux parties perpendiculaires, l’une à placer horizontalement,
l’autre verticalement, et chacune étant
graduées. Une troisième tige est articulée sur la partie horizontale et permet
de viser le sommet de l’arbre en plaçant
son oeil à son extrémité.
On obtient ainsi deux triangles semblables. Si on mesure y = 0, 3 m et que
la distance AB est de 30 mètres, alors
côtés petit triangle
0,3
0,5
côtés grand triangle
x
30
0,5 m
x
C
y
x = 0,3·30
0,5 = 18m. Il reste à ajouter la
hauteur des yeux par rapport au sol.
A
B
6 4 Calculer la largeur d’une rivière
La méthode est semblable, mais cette fois en utilisant l’instrument en position couchée.
Il faut s’arranger pour trouver sur l’autre
rive un objet ( un tronc d’arbre, par
exemple) qui servira de repère, bien visible, en face duquel on mettra un autre
repère B sur la rive où on se trouve. Puis,
on fera une visée à partir d’un autre
point A de la rive en ayant pris soin de
mesurer la distance AB.
Dans un cercle, un
angle inscrit est égal
à la moitié de l’angle
au centre qui
intercepte le même
arc.
M
O
B
A
Conséquences :
B
A
O
arc
intercepté
• dans un cercle, deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux.
 est plat (c.-à-d. [AB] est un diamètre), le théorème énonce
• lorsque l’angle au centre AOB

que l’angle inscrit AMB est droit, autrement dit le triangle △AMB est rectangle. C’est, on
le reconnaît immédiatement, le théorème de l’angle droit.
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$
\
Théorème 5 - 25
Théorème de l’angle inscrit
C
7
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
C
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
A
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
B
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
0,5 m
, 2010-2021
84
5.8. THÉORÈME D’EUCLIDE ET THÉORÈME DE LA HAUTEUR
8
Théorème d’Euclide et théorème de la hauteur
Nous allons d’abord voir une nouvelle démonstration du théorème de Pythagore qui utilise la similitude des
triangles.
Nouvelle preuve de Pythagore.
1° Dans tout triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse égale la somme des carrés des cathètes.
On dessine la hauteur issue de A. On obtient ainsi deux nouveaux triangles. Les triangles △ABC, △ABH
et △AHC sont semblables parce qu’ils sont dans le premier cas de similitude des triangles.
A
• △ABC ∼ △ABH implique que
BC AB
=
AB BH
AB2 = BC · BH
donc
B
H
• △ABC ∼ △AHC implique que
BC AC
=
AC HC
AC2 = BC · HC
donc
C
En ajoutant ces égalités membre à membre, on obtient
AB2 + AC2 = BC · BH + BC · HC = BC · (BH + HC) = BC · BC = BC2 .
 = α = 90°.
2° Si △ABC est un triangle tel que BC2 = AB2 + AC2 , alors l’angle BAC
On construit un triangle △A′ B′ C′ rectangle en A′ , et tel que A′ B′ = AB et A′ C′ = AC. Avec la première partie
du théorème appliquée au triangle △A′ B′ C′ , il vient
2
2
B′ C′ = A′ B′ + A′ C′
2
d’où
2
B′ C′ = AB2 + AC2
Par hypothèse, on a
BC2 = AB2 + AC2
Donc
2
B′ C′ = BC2
et B′ C′ = BC
△ABC ≡ △A′ B′ C′
par le 2e theoreme d’isométrie
Ainsi
α = 90°
Théorème d’Euclide
Dans tout triangle △ABC rectangle en A, on a que les angles β et γ sont aigus et la relation
AB2 = BH · BC et AC2 = CH · BC.
Réciproquement, si les angles β et γ sont aigus et si l’on a
AB2 = BH · BC et AC2 = CH · BC.
alors ce triangle est rectangle en A.
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$
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C
Théorème 5 - 26
, 2010-2021
CHAPITRE 5. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE
A
85
A
AB2
H
B
H
C
C B
BC · BH
Preuve. Dans la démonstration du théorème de Pythagore que nous venons de voir, nous avons établi que dans
un triangle △ABC rectangle en A, on avait les relations AB2 = BH · BC et AC2 = CH · BC.
Réciproquement, si les angles β et γ sont aigus, alors H ∈]BC[ et les △ABC et △ABH ont même angle en B. De
plus, par hypothèse, on a AB2 = BH · BC, c’est-à-dire
BC AB
=
AB BH
On est dans les conditions pour appliquer le 2e cas de similitude des triangles : △ABC ∼ △ABH. Or ce dernier
triangle est rectangle en H par construction, donc △ABC est rectangle en A.
Théorème de la hauteur
Un triangle △ABC est rectangle en A si et seulement si β et γ sont aigus et
AH2 = BH · CH
A
A
AH2
γ
B
β
H
C
B
C
H
CH · BH
Preuve. Si △ABC est rectangle en A, on a △ACH ∼ △AHB ; ainsi
CH AH
=
AH HB
c’est-à-dire
AH2 = CH · HB
Réciproquement, si les angles β et γ sont aigus, alors H ∈]BC[. Les triangles △AHC et △ABH sont rectangles en
H et leurs côtés adjacents sont respectivement proportionnels, car, par hypothèse
AH2 = BH · CH ou encore
on a ainsi
BH AH
=
AH CH
△ACH ∼ △AHB. D’où
α = β+γ
mais
α+β + γ = 180°
donc
α = 90°.
BY:
$
\
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C
Théorème 5 - 27
, 2010-2021
86
5.9. EXERCICES
Exercices
5 -3
α
d1 //d2 .
En traçant la bissectrice de l’angle α, on fait apparaître un triangle isocèle △ABC. Pourquoi ?
d1
d2
5 -4
Le schéma ci-contre représente l’entrée d’un tunnel. Le demi-cercle intérieur a un diamètre de 8 m.
Un camion de 2,40 m de large emprunte ce tunnel. Quelle est, en « théorie », la hauteur maximale
du camion ? (Attention ! On roule à droite ou à ...
gauche.)
8m
5 -5
Voici deux quadrilatères dont les points milieux des côtés sont joints. Les figures ainsi obtenues semblent être
des parallélogrammes. Est-ce un hasard ?
D
A
A
C
B
D
C
B
5 -6
Montrer que les diagonales d’un rectangle sont de même longueur.
5 -7
La médiane d’un triangle partage ce triangle en deux triangles d’aires égales.
5 -8
Soit un triangle △ABC et M un point intérieur au triangle ; si aire△AMB = aire△AMC, alors M est un point de
la médiane issue de A.
Indication : Démontrer d’abord le cas particulier où M est un point de [BC].
5 -9
On considère un cercle de diamètre [AB], une
droite d , perpendiculaire à (AB) et ne passant ni
par A ni par B, et enfin un point M de d n’appartenant pas à (AB).
Les droites (MA) et (MB) recoupent le cercle en P et
Q.
Que dire des droites (AQ), (BP) et d ?
Indication : droites remarquables d’un triangle et
théorème 5 - 16.
Q
P
A
B
d
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$
\
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M
C
9
, 2010-2021
CHAPITRE 5. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE
87
5 - 10
A
Dans le triangle ci-contre, I est le milieu de [AB], L
est le milieu de [CI] et J et K sont les points de [BC]
tels que BJ = JK = KC.
Montrer que A, K et L sont alignés.
Indication : Si deux droites parallèles ont un point
commun, alors ...
I
L
B
J
C
K
5 - 11
1° Vérifier que les triangles suivants définis par leurs côtés sont tous rectangles :
p
p
p
5, 6, 11; 11, 12, 23; 13, 14, 27.
2° Deviner une loi générale et l’établir.
5 - 12
L’aire d’un triangle est 48 cm2. La hauteur et la médiane issues d’un même sommet mesurent respectivement
6 cm et 8 cm.
Prouver que ce triangle est rectangle.
5 - 13
A
D
Les bissectrices issues de A et de D dans le parallélogramme ABCD se coupent en I.
Montrer que le triangle AID est rectangle en I.
I
B
C
5 - 14
A
ABCD est un parallélogramme, I est le milieu de
[AB] et J le milieu de [CD].
Montrer que DF = FE = EB
I
B
E
F
D
J
C
5 - 15
Trois droites d1 , d2 et d3 sont concourantes en un point I. Tracer un triangle ABC dont ces trois droites soient
les hauteurs et I l’orthocentre.
Existe-t-il plusieurs triangles ? Si oui, ont-ils un lien entre eux ?
Thalès
5 - 16
D
ABCD est un parallélogramme. Montrer que les triangles △ABI et △KDA sont semblables.
I
A
$
\
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C
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C
B
, 2010-2021
K
88
5.9. EXERCICES
5 - 17
On donne un triangle △ABC, un point I de [BC] (I 6= B et I 6= C) et un point M de (AI) (M 6= A et M 6= I). La parallèle
à (AB) menée de M coupe (BC) en P. La parallèle à (AC) passant par M coupe (BC) en Q.
Montrer que si I est le milieu de l’un des segments [BC] ou PQ, il est aussi le milieu de l’autre.
5 - 18
B
AB = 15, BC = 9, DE=15.
Calculer AC, AE et AD.
A
E
C
D
5 - 19
C
△ABC est un triangle rectangle en B. Les côtés de
l’angle droit mesurent 36 cm et 48 cm.
Calculer la longueur du côté du carré inscrit.
A
B
5 - 20
A
(AA′)//(BB′ )//(CC′ ) et (A′ C′′ )//(AC).
AB = 24, BC = 32
A′ B′ = 36,
AA′ = 39, BB′ = 60.
Calculer B′ C′ et CC′ .
A′
B
B′′
C
B′
C′′
C′
5 - 21
A′
A
(AA′)//(BB′ )//(CC′ ).
AB = 15, BC = 30
AA′ = 10, A′ B′ = 12.
Calculer le périmètre du trapèze BB′ C′ C.
B
B′
C′
C
5 - 22
D
△ABC est un triangle rectangle en C. △DBF est un
triangle rectangle en F.
Montrer que les triangles △AEF et △DBF sont semblables.
E
A
$
\
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C
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, 2010-2021
F
C
B
CHAPITRE 5. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE
89
5 - 23
(BD)//(CE).
AB = 64, BC = 24
BD = 42.
Calculer CE.
B
A
C
D
E
5 - 24
C
B
A
(BD)//(CE).
BC = 5, CE = 25
AD = 18, DE = 2.
Calculer AB et BD.
D
E
5 - 25
B
E
1) (BD) est perpendiculaire à (BC)
(AB) est parallèle à (DE)
DC = 12, 6 cm, AC = 18 cm, CE = 7 cm
C
2) Justifier clairement que les triangles △ABC et
△DEC sont semblables.
A
3) Calculer BE et BD
D
5 - 26
1,5 m
1,2 m
En plaçant son oeil à 1,50 m de hauteur et à 1 m
du bord d’un puits de 1,20 m de diamètre, le bord
du puits cache juste la ligne du fond. Quelle est la
profondeur du puits ?
1m
5 - 27
Tracer un segment [AB] de longueur 11 cm, placer sur ce segment le point C tel que AC =
constructions apparentes.
5
AB, en laissant les
7
5 - 28
Soit ABCD un rectangle (AB < AD). Où placer le point H sur le segment [AB] et K sur le segment [AD] afin que la
droite (HC) soit perpendiculaire à [BK] en son milieu ? (Vérifier que le quadrilatère BHKC est un « cerf-volant »,
c’est-à-dire qu’une diagonale est médiatrice de l’autre.)
5 - 29
On considère un carré ABCD, I et J les milieux des côtés [AB] et [BC] et K le point d’intersection de (AD) et (IJ).
1° Montrer que KA = BJ = JC. En déduire la nature des quadrilatères AKBJ et AKJC.
2° Montrer que (DB) est orthogonale à (KJ).
3° Quel point remarquable du triangle △BDK est le point I ? En déduire que les droites (DI) et (AJ) sont
orthogonales.
$
\
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C
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, 2010-2021
90
5.9. EXERCICES
5 - 30
A
Les bases du trapèze ci-contre ont pour longueurs
AB = 2 cm et CD = 5 cm. Compléter la phrase : «
L’aire du triangle △ABI est égale à ... % de l’aire du
triangle △CDI. »
☞ Oui, Thalès.
B
I
D
C
5 - 31
Dans la figure ci-dessous, les trois droites d1 , d2
et d3 semblent concourantes. Qu’en est-il exactement ?
d1
25o
d3
d2
60o
55o
25o
5 - 32
Sachant que d1 et d2 sont parallèles, trouver x et y .
x
21
d1
d2
y
18
9,5
12,6
5 - 33
À l’aide du quadrillage, trouver k dans chaque cas :
B
1° AI = k · AB
I
2° AJ = k · AK
J
3° BJ = k · BC
LA
4°
=k
LC
K
A
L
C
5 - 34
C
D
I
J
H
$
\
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C
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B
A
La figure ci-contre représente trois carrés accolés.
Les droites (DH) et (BG) se coupent en J et I est le
milieu de [BH].
Montrer que les points I, J et F sont alignés.
☞ Préciser la position de J sur [BG] avant de s’intéresser au triangle △BHF.
, 2010-2021
G
F
E
CHAPITRE 5. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE
91
5 - 35
Les droites (DE) et (AB) sont-elles parallèles ?
D
20
A
12
C
15
24
E
B
5 - 36
Calculer les angles du triangle △ABC de la figure
ci-contre.
C
I
A
100o
50o
B
5 - 37
A
Vrai ou faux : « Dans la figure ci-contre, où le cercle
a pour centre O, les triangles △ABC et △ADE ont la
même bissectrice issue de A » .
B
C
O
D
E
5 - 38
C
Sachant qu’un triangle semblable au triangle ABC a un périmètre de 12 cm,
9 cm
1. calculer la longueur de chacun de ses côtés (au
dixième près) ;
m
6c
2. si le triangle semblable au triangle ABC a une aire de
B
5,04 cm2, quelle est l’aire du triangle ABC ?
5 cm
A
☞ Quel est le rapport entre les périmètres de deux triangles
semblables, et entre leurs aires ?
5 - 39
C
Vrai ou faux : « La médiatrice de [BC] passe par le
milieu de [AD] » .
B
A
$
\
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C
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, 2010-2021
D
92
5.9. EXERCICES
5 - 40
A
Dans la figure ci-contre, on ne connaît que AH = 3
et BK = 2 (unité : le cm).
B
Peut-on quand même calculer CL ?
☞ Soit h la longueur CL et d la longueur HK (d
est une inconnue auxiliaire). Exprimer LK et LH en
fonction de h et de d, et comme HL + LK...
Remarque : Est-il intuitivement évident que la longueur CL ne dépende pas de l’« écartement » entre
H et K ?
C
K
L
H
5 - 41
Calculer le périmètre d’un triangle rectangle d’aire 80 cm2, sachant que ce triangle est semblable à un triangle
rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent respectivement 2 cm et 5 cm.
5 - 42
Un carré est inscrit dans un cercle de 10 cm de diamètre. Sur
deux de ses côtés sont construits deux autres côtés (grisés).
Quelle est la somme des aires de ces deux carrés grisés ?
5 - 43
D
C
Le point C est sur le demi-cercle de diamètre [AB]. La bissectrice issue de A dans le triangle △ABC rencontre en I celle issue de B, et en D le demi-cercle.
Montrer que le triangle △BDI est rectangle isocèle.
α
A
$
\
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C
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I
β
B
CHAPITRE 5. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE
93
5 - 44
Calculer α, ω
Calculer α, β
Calculer α, β, γ, δ
β
α
α
α
o
40
ω
×
o
15
30o
O
O
×
80o
β
δ
Calculer α, β, γ, δ
Calculer α, β, γ, δ
Calculer α, β, γ
β
γ
30o
α
α
δ
60o
α
o
80
δ
γ
β
O
β
o
50
γ
Calculer α, β, γ, δ
Calculer α, β
γ
Calculer α, β
α
α
80o
α
β
δ
β
30o
30o
O
70o
γ
β
o
80
5 - 45
1° Montrer que les triangles △ABE et
△ADC sont semblables.
1° Montrer que les triangles △ABD et
△ACE sont semblables.
2° Montrer que : AB · AC = AD · AE.
2° Montrer que : AB · AE = AC · AD.
C
B
C
B
A
D
A
D
E
$
\
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C
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, 2010-2021
E
94
5.9. EXERCICES
5 - 46
A
 = 90°
BAC
(AH) ⊥ (BC)
AB = 4 cm et BC = 5 cm
Calculer BH, AC et AH. Les triangles △ABC
et △ABH sont-ils semblables ?
B
C
H
5 - 47
A
 = 90°
BAC
(AH) ⊥ (BC)
BH = 6 cm et HC = 1, 5 cm
Calculer AH, AB et AC. Les triangles △ABH
et △ACH sont-ils semblables ?
B
H
5 - 48
C
A
(AB) ⊥ (AC) et (AH) ⊥ (BC)
AB = 21 m et AC = 28 m
Calculer BC, BH, HC et AH.
B
C
H
5 - 49
En utilisant le théorème de la hauteur, construire un segment de longueur :
p
7,
p
p
p
12, 3 et a avec a ∈ N.
5 - 50
Dans un cercle de 5 cm de rayon, on place une corde [AB] de 8 cm, et le diamètre [AC]. Soit P le pied de la
perpendiculaire abaissée de B sur (AC).
Calculer les longueurs de [AP], [PC] et [BP].
5 - 51
Par un point P d’un segment [AB], on mène la perpendiculaire à [AB]. Soit d cette perpendiculaire et
C le cercle de diamètre [AB]. Choisir un point C du
cercle, distinct de A et de B. La droite d va couper
en D et en E, respectivement, le côté [AC] et le prolongement du côté [BC] du triangle △ABC.
E
C
Montrer que PD · PE ne dépend pas du choix du
point C.
D
A
B
P
C
d
5 - 52
On donne un rectangle ABCD et un segment [EF].
1. Construire un carré de même aire que le rectangle ABCD (quadrature du rectangle).
2. Construire un rectangle EFGH de même aire que ABCD.
$
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C
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CHAPITRE 5. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE
95
5 - 53
Construire un triangle △ABC connaissant le côté [AB] et les pieds respectifs H et D de la hauteur et de la bissectrice intérieure issue de C.
AD 1 AH 1
= ,
= .
Données numériques : AB = 80 mm,
BD 2 BD 3
5 - 54
Construire un triangle rectangle sachant que son hypoténuse mesure 10 cm et que l’une des cathètes est le
double de l’autre.
5 - 55
Dans la figure ci-contre, sachant que
AB = AC,
B
b
1. trouver tous les triangles semblables ;
2. si OB = 25 cm et OA = 60 cm, calculer si possible les longueurs de
tous les segments de la figure.
Réponse : AE = 595
13 , AB = 65, BC = 50,
250
595
2975
EC = 600
,
EB
=
13
13 , AF = 12 , EF = 156 ,
325
OF = 125
12 et FC = 12 .
E
A
b
b
O
b
b
F
b
C
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C
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96
5.10. ANNEXE
Annexe
10 1 Axiomatique de Hilbert
Cette section donne une présentation presque complète de l’axiomatique de Hilbert à la différence du début
de ce chapitre qui l’avait simplifiée pour la rendre plus digeste.
On suppose donné un ensemble E dont les éléments sont appelés points et qui sont habituellement désignés
P, Q, etc. On considère des sous-ensembles particuliers de E, appelés droites et notés par d, e, etc. On ne dit pas
ce qu’ils sont, mais ces objets sont compris à travers les propriétés (axiomes) qu’ils vérifient.
Encore un peu de vocabulaire :
• si un point P appartient à une droite d, P ∈ d, alors on dit que la droite d passe par le point P ;
• deux droites n’ayant aucun point commun sont dites parallèles ;
• si trois points appartiennent à la même droite, on dit qu’ils sont alignés.
Axiomes d’incidence
(I1) Par deux points distincts du plan passe toujours une droite et une seule.
(I2) Chaque droite contient au moins deux points.
(I3) Il existe trois points non-alignés
On en tire immédiatement certains théorèmes dont
Deux droites distinctes ont au plus un point en commun.
Axiomes d’ordre (relatif aux segments)
(O1) Soit P, Q et R trois points distincts de la même droite :
si R est entre P et Q, alors on a aussi que R est entre Q et P.
(Cet axiome assure qu’il y a les mêmes points entre P et Q qu’entre Q et P.)
(O2) Pour toute paire de points distincts P et Q, il existe un point R tel que Q soit entre P et R.
(Cet axiome assure que la droite « ne s’arrête jamais ». )
(O3) Soit P, Q et R trois points distincts de la même droite :
il existe un seul de ces points qui se trouve entre les deux autres.
(Cet axiome assure que les droites ne sont pas circulaires.)
(O4) Axiome de Pasch utilisé implicitement par Euclide.
Soient P, Q et R trois points non alignés et d une droite ne contenant aucun des points P, Q, R. Si d
contient un point S situé entre P et Q, alors d contient soit un point entre P et R, soit un point entre
Q et R, mais pas les deux.
Pour deux points distincts P et Q, on notera [PQ] le segment constitué de tous les points situés entre P et
Q.
Axiomes de report ou de congruence des segments et des angles
Le transport des segments et des angles ne change pas leur mesure. Ceci est garanti par
(C1) Soit [PQ] un segment et d une demi-droite issue du point R. Il existe alors un unique point S de d
tel que [PQ] ∼
= [RS] (même longueur).
(C2) La relation de congruence des segments est une relation d’équivalence.
(C3) Axiome d’addition. On considère des points alignés A, B, C et P, Q, R. Si [AB] ∼
= [QR],
= [PQ] et [BC] ∼
∼
alors [AC] = [PR].
 et [QP) une demi-droite. Il existe une unique demi-droite [QR) d’un côté donné
(C4) Soit un angle ABC
∼

de la droite QP telle que ABC
= PQR.
(C5) La relation de congruence des angles est une relation d’équivalence.
Axiome d’isométrie des triangles CAC
On se donne deux triangles △ABC et △PQR.
 Alors les deux triangles sont congruents : [AC] ∼
∼
On suppose que [AB] ∼
=
= PQR.
= [QR] et ABC
= [PQ], [BC] ∼
∼
∼



RPQ.
[PR], BCA
QRP
et
CAB
=
=
Plus simplement, deux triangles qui ont respectivement un angle et les côtés adjacents isométriques sont
isométriques.
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CHAPITRE 5. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE
97
Axiome des parallèles
Par un point quelconque du plan passe une et une seule droite parallèle à une droite donnée.
Axiomes de continuité d’Archimède et de Cantor Ils permettent d’établir une correspondance entre les nombres
réels et les mesures des longueurs des segments et des angles.
Les axiomes dont le nom est en bleu sont utilisés implicitement dans le chapitre.
10 1 a Premiers théorèmes non démontrés
(i) Les théorèmes ACA et CCC d’isométries des triangles (on peut éventuellement démontrer ACA).
(ii) le théorème de la transversale et sa réciproque.
Remarque L’axiome d’isométrie des triangles CAC n’en est pas un chez Euclide. Il est mentionné en tant que
théorème et est justifié à ce titre par une démonstration. Malheureusement, celle-ci pose un sérieux problème
qui a été relevé seulement au XIXe siècle et qui amènera Hilbert a une refonte des axiomes dont l’une des
particularités est d’avoir placé ce cas d’isométrie des triangles au rang des axiomes. Son sens est d’établir un
lien entre la congruence des angles et la congruence des segments qui l’une et l’autre font également l’objet
d’un axiome.
10 2 Axiomatique originale d’Euclide
L’axiomatique d’Euclide comprend en plus de définitions utiles en géométrie et d’axiomes généraux à toutes les
mathématiques, cinq postulats. Les quatre premiers justifient essentiellement les constructions sur lesquelles
Euclide base ses démonstrations.
(P1) On peut tracer un segment de droite reliant deux points quelconques.
(P2) On peut prolonger continûment en ligne droite tout segment.
(P3) Étant donné un segment de droite quelconque, on peut tracer un cercle en prenant ce segment comme
rayon et l’une de ses extrémités comme centre.
(P4) Tous les angles droits sont isométriques.
(P5) Si une droite tombant sur deux droites fait des angles intérieurs et du même côté plus petits que deux
angles droits, les deux droites indéfiniment prolongées, se rencontrent du côté où sont les angles plus
petits que deux angles droits.
Voici quelques exemples de définitions (celles du point et de la droite n’existent pas chez Hilbert, car elles sont
données implicitement à travers les axiomes).
(D1) Le point est ce qui n’a aucune partie.
(D2) Un segment est une longueur sans largeur.
(D3) Les extrémités d’un segment sont des points.
(D4) La ligne droite est une ligne dont l’extension entre deux quelconques de ses points est égale à la distance
entre ces points.
(D5) etc.
Les axiomes généraux sont les suivants.
(A1) Les grandeurs égales à une même grandeur sont égales entre elles.
(A2) Si à des grandeurs égales on ajoute des grandeurs égales, les touts seront égaux.
(A3) Si de grandeurs égales on retranche des grandeurs égales, les restes seront égaux.
(A4) Si à des grandeurs inégales on ajoute des grandeurs égales, les touts seront inégaux.
(A5) Si de grandeurs inégales on retranche des grandeurs égales, les restes seront inégaux.
(A6) Les grandeurs qui sont doubles d’une même grandeur sont égales entre elles.
(A7) Les grandeurs qui sont les moitiés d’une même grandeur sont égales entre elles.
(A8) Les grandeurs superposables sont égales entre elles.
(A9) Le tout est plus grand que la partie.
(A10) Deux droites ne délimitent point d’aire (on suppose que cet axiome a été rajouté après-coup).
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CHAPITRE
6
Trigonométrie
dans le triangle
rectangle
CHAPITRE 6. TRIGONOMÉTRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE
1
99
Connaissances préalables
1 1 Configurations de Thalès
Elles sont constituées de deux triangles formés par deux droites sécantes ((AE) et (AD)) coupées par une paire
de droites parallèles ((BC) et (ED)).
C
b
b
D
E
b
C
b
b
A
b
E
b
b
b
A
D
B
b
B
Théorème 6 - 1
Théorème de Thalès
Dans ces configurations les côtés d’un triangle sont proportionnels aux côtés associés de l’autre.
On a ainsi les égalités de rapports (ou proportions)suivants :
AB AC BC
=
=
AD AE DE
1 1 a Théorème de Pythagore
Théorème 6 - 2
• Dans un triangle ABC rectangle en B, on a la relation de
Pythagore
AC2 = AB2 + BC2
• Réciproquement lorsque les côtés d’un triangle ABC vérifient la relation AC2 = AB2 + BC2 , alors ce triangle est
rectangle en B.
C
b
b
b
A
B
Il est ainsi possible dans un triangle rectangle, connaissant la longueur de deux côtés, de calculer la longueur
du troisième. Est-il possible de trouver la valeur des angles ? C’est ce que nous allons pouvoir faire avec les
rapports trigonométriques.
Les fonctions trigonométriques
On applique Thalès à la figure ci-dessous qui est une configuration de Thalès particulière avec des triangles
rectangles. Pour chaque point B, B′ , ..., choisi sur la droite horizontale, on a à la verticale sur la droite sécante
un point C, C′ , ... On a ainsi toute une série de proportions, et, par interversion des moyens, on obtient une
seconde série de proportions.
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$
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C
2
, 2010-2021
100
6.2. LES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
C′′
b
AB
AC
=
AB′ AC′
=⇒
AB AB′
=
AC AC′
AC
BC
=
B′ C′ AC′
=⇒
BC B′ C′
=
AC
AC′
AB
BC
=
′
′
BC
AB′
=⇒
BC B′ C′
=
AB
AB′
C′
b
D
bc
C
b
α
b
b
b
b
A
B
B′
B′′
Ces rapports ne dépendent pas du choix de B sur la droite horizontale, mais seulement de l’angle α.
AB AB′
,
=
AC AC′
La valeur du rapport
AB
AC
AB AB
6=
AC AD
mais
se présente ainsi sous forme d’une dépendance fonctionnelle
α 7→
AB
AC
En l’occurrence, cette fonction est appelée le cosinus.
On pose
cos(α) =
cos : α 7→
AB
AC
sin(α) =
BC
AC
AB
AC
tan(α) =
BC
AB
On écrira souvent, pour simplifier l’écriture
cos α, sin α, tan α
au lieu de cos(α), sin(α), tan(α)
C
En résumé, on a
b
a
b
c
cos α =
b
a
tan α =
c
sin α =
γ
b
a
α
A
b
b
c
B
D’où
a = b · sin α
et
c = b · cos α
Par le théorème de Pythagore
Donc,
¡
¢
b 2 = a 2 + c 2 = b 2 · (sin α)2 + b 2 · (cos α)2 = b 2 · (sin α)2 + (cos α)2
(sin α)2 + (cos α)2 = 1
ou, dans une écriture plus courante
sin2 α + cos2 α = 1
On a aussi
sin α =
a
= cos γ = cos(90o − α)
b
c’est-à-dire
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tan α =
sin α = cos(90o − α)
donc
BY:
$
\
et encore
sin α
a b · sin α
=
=
c b · cos α cos α
C
tan α =
, 2010-2021
et
sin α
cos α
cos α = sin(90o − α)
CHAPITRE 6. TRIGONOMÉTRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE
101
Ces définitions des fonctions trigonométriques à partir des rapports sur les côtés d’un triangle rectangle limitent ces fonctions aux angles aigus, car dans un triangle de ce type, il n’y a pas d’angle obtus. En d’autres
termes, le cosinus et le sinus sont des fonctions dont le domaine est ]0, 90[ et les valeurs de ces fonctions sont
toujours
c
a
< 1 et < 1 puisque la longueur de l’hypoténuse b est supérieure à a ou à c
b
b
– supérieures à 0 : car quotient de 2 valeurs positives.
– inférieures à 1 :
On peut étendre la définition à l’angle α = 0°. Dans ce cas a = 0 et b = c, donc le sin 0° =
De manière semblable, nous pouvons trouver que sin 90° = 1 et cos 90° = 0.
0
b
= 0 et le cos 0 =
c
c
= 1.
En résumé,
0 ≤ cos α ≤ 1
3
et
0 ≤ sin α ≤ 1
avec 0° ≤ α ≤ 90°
Les angles
A
d1
En géométrie, un angle est défini comme l’ensemble des points déterminés par deux rayons,
ou demi-droites, d1 et d2 , qui ont la même extrémité O. Si A et B sont des points sur d1 et
 Un angle
d2 , comme ci-contre, nous faisons référence à l’angle AOB (noté ∠AOB ou AOB).
peut également être considéré comme deux segments de droites avec une extrémité commune.
Un angle droit est la moitié d’un angle plat et vaut 90o . Le tableau ci-dessous contient les définitions d’autres
types d’angles particuliers.
Terminologie
Définition
Exemples
angle aigu α
0o < α < 90o
15o ; 49o
angle obtus α
90o < α < 180o
95o ; 149o
angles complémentaires α, β
α + β = 90o
30o et 600 ; 75o et 15o
angles supplémentaires α, β
α + β = 180o
120o et 600 ; 75o et 105o
3 1 Angle au centre et arc intercepté
Dans un cercle de rayon r l’angle au centre θ et la longueur de l’arc L intercepté par cet angle sont proportionnels.
angle au centre (degrés)
θ
360o
longueur de l’arc intercepté
L
2πr
On tire de ce tableau de proportionnalité,
θ 360
=
L 2πr
πr
L=
θ
180
Dans un disque, l’angle au centre θ est proportionnel à l’aire A du secteur intercepté par cet angle. Cela permet
de poser la proportion
angle au centre (degrés)
θ
360o
aire secteur
A
πr 2
θ 360
=
A πr 2
πr 2
·θ
A=
360
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θ
2
A = 2 · πr
360 θ
BY:
$
\
θ
d2
C
B
, 2010-2021
2θ
A=
πr 2
360 θ
102
6.4. EXERCICES
3 2 Exercices résolus
Conversion de degrés décimaux en degrés, minutes et secondes
Exprimer 35, 48° en degrés, minutes et secondes.
Solution On utilise que 1° = 60′ et 1′ = 60′′
µ
¶
48
35, 48° = 35° +
de 1° = 35° + 0, 48 · 60′
100
8
= 35° + 28, 8′ = 35° 28′ +
de 1′ = 35° 28′ + 0, 8 · 60′′
10
= 35° + 28, 8′ = 35° 28′ + 0, 8 · 60′′ = 35° 28′ 48′′
Exemple
Exemple
Conversion de degrés, minutes et secondes en degrés décimaux
Exprimer 23o 17′ 43′′ sous forme décimale, au dix millième de degré près.
µ ¶o
¶
µ ¶′ µ
1
1
1 o
′
′′
Solution On utilise que 1 =
et 1 =
=
60
60
3600
¶
µ ¶o µ
43 o
17
+
23o 17′ 43′′ = 23o +
60
3600
≈ 23o + 0, 2833o + 0, 0119o = 23, 2952o
Utilisation des formules de longueur d’un arc de cercle et d’aire du secteur
Un angle au centre θ intercepte un arc de longueur 10 centimètres sur un cercle de rayon 4 centimètres.
(a) Donner une valeur approchée de θ en degrés.
(b) Trouver l’aire du secteur circulaire déterminé par θ.
Solution
L
θ
(a)
=
2πr 360
360L
θ=
2πr
360 · 10 450o
=
=
≈ 143, 2o
2π · 4
π
Exemple
(b)
θ 360
=
A πr 2
πr 2
·θ
A=
360
π · 42
≈
· 143, 2 ≈ 20, 0 cm2
360
proportionnalité angle et secteur
Exercices
6 -1
Trouver l’angle qui est le complémentaire de α .
(b) α = 32, 5o
(a) α = 5o 17′ 34′′
6 -2
Exprimer l’angle sous forme décimale, en arrondissant au dix millième de degré près.
(a) 37o 41′
(b) 83o 19′
(c) 258o 39′ 52′′
6 -3
Exprimer l’angle en degrés, minutes et secondes, en arrondissant à la seconde.
(b) 12, 864o
(c) 310, 6216o
(a) 63, 169o
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$
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C
4
proportionnalité angle et longueur d’arc intercepté par l’angle
, 2010-2021
CHAPITRE 6. TRIGONOMÉTRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE
103
6 -4
Si un arc de cercle de longueur L donnée sous-tend un angle au centre θ sur un cercle, trouver le rayon de ce
cercle. Résultat à arrondir au centième !
(a) si L = 10 cm, θ = 350
(b) L = 3 km, θ = 20o
6 -5
(a) Trouver la longueur de l’arc du secteur ombré dans chacune des figures ci-dessous.
(b) Trouver l’aire du secteur.
Résultats à arrondir au centième !
120o
o
45
r = 8 cm
r = 9 cm
6 -6
(a) Trouver la valeur de l’angle au centre θ qui intercepte l’arc donné de longueur L sur un cercle de rayon r .
(b) Trouver l’aire du secteur déterminé par θ.
(1) si L = 7 cm, r = 4 cm
(2) si L = 90 cm, r = 50 cm.
Résultats à arrondir au centième !
6 -7
Mesure de distances sur terre
La distance entre deux points A et B sur terre se
mesure le long d’un cercle dont le centre C est au
centre de la Terre et dont le rayon est égal à la distance de C à la surface (voir la figure). Si le diamètre
de la terre est approximativement de 12’800 km,
calculer la distance entre A et B si l’angle ACB a la
valeur indiquée :
(b) 10o
(a) 60o
C
(c) Mesure d’angles en utilisant la distance
Si deux points A et B sont éloignés de 800 km, exprimer l’angle ACB en degrés.
A
B
6 -8
Une roue type pour une petite voiture a un diamètre de 56 cm. Si le véhicule se déplace à une vitesse de 96
km/h, calculer le nombre de tours que la roue fait par minute.
Résolution de triangles
« Résoudre un triangle », c’est calculer les grandeurs inconnues (côtés, angles, périmètre, aire) à partir de certaines données.
Pour désigner les différents grandeurs et éléments d’un triangle, on respectera la notation suivante :
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$
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C
5
, 2010-2021
104
6.5. RÉSOLUTION DE TRIANGLES
C
a
γ
b
β
B
α
c
A
5 1 Résolution de triangles rectangles
Si le triangle est rectangle, la résolution est plutôt simple. Les relations utilisées sont :
1° le théorème de Pythagore
2° les rapports trigonométriques du triangle rectangle
cosinus =
côté adjacent
hypoténuse
sinus =
côté opposé
hypoténuse
tangente =
côté opposé
côté adjacent
6 -9
Si θ est un angle aigu et cos θ =
3
4
, calculer les valeurs des fonctions trigonométriques de θ.
6 - 10
Calcul des valeurs des fonctions trigonométriques de 60°, 30°et 45°.
☞ Pour les 2 premiers angles, travailler sur un triangle équilatéral dont les côtés ont une longueur de 2 cm.
Pour le dernier, il faut aussi penser à un triangle particulier.
Ces valeurs particulières pour les fonctions trigonométriques peuvent être résumées par le tableau :
θ (degrés)
30o
45o
60o
sin θ
cos θ
p
3
2
p
2
2
1
2
1
2
p
2
2
p
3
2
tan θ
p
3
3
1
p
3
6 - 11
Un géomètre observe qu’en un point A, placé au niveau du sol à une distance de 7,5 m de la base B
d’un mât, l’angle entre le sol et le sommet du mât
est 30°. Calculer la hauteur h du mât arrondie au
dixième de centimètre.
h
A
30°
7,5 m
$
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B
CHAPITRE 6. TRIGONOMÉTRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE
105
6 - 12
Trouver les valeurs des trois fonctions trigonométriques de l’angle θ.
17
θ
8
5
4
5
θ
θ
c
2
a
θ
15
3
6 - 13
= 15°)
d)
8 cm
e)
6 cm
o
3 cm
30
7c
π
5
3 cm
5c
m
50o
f)
m
c)
b)
9 cm
a)
π
12
5 cm
Résoudre les triangles suivants ( π5 = 36°et
π
12
6 - 14
Résoudre les triangles rectangles ABC ci-dessous, rectangles en C.
B
1. a = 10 cm
2. c = 10 cm
3. α = 38, 45°
4. α = 30°
c = 26 cm
α = 32, 4°
aire = 8, 28
β
cm2
périmètre = 10 cm
2
α
2
5. Vérifier que sin (α) + cos (α) = 1
C
A
6 - 15
Suspendu en un point O, un pendule oscille. A et B
sont deux positions du pendule.
Lorsque l’angle avec la position d’équilibre est de
30o, le pendule se trouve à 3 cm au-dessus de sa
position verticale.
Calcule la longueur de ce pendule.
30o
Historiquement, la définition du mètre a été
donnée à une certaine époque en fonction du
pendule : le pendule oscillant en 1 seconde (2
secondes pour l’aller et le retour) a une longueur
de 1 mètre (1668, John Wilkins).
A
BY:
$
\
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H
C
Remarque
O
, 2010-2021
B
106
6.5. RÉSOLUTION DE TRIANGLES
6 - 16
Calcule la hauteur de la tour (cf. dessin)
S
h
H
50o
3m
15o
B
6 - 17
Trouver les valeurs exactes de x et y .
x
4
x
3
8
30o
y
45o
4
x
x
60o
60o
y
y
y
6 - 18
Quelle est la valeur maximale (minimale) du sinus, du cosinus et de la tangente d’un angle aigu ?
6 - 19
Un bûcheron se trouvant à 60 m de la base d’un séquoia observe que l’angle entre la base et le sommet de
l’arbre est de 60°. Calculer la hauteur de l’arbre.
6 - 20
Le sommet du Mt Fuji, au Japon, culmine à environ 3’800 m. Un étudiant en trigonométrie, à des kilomètres de
là, remarque que l’angle entre le sol et le sommet est de 30°. Calculer la distance de l’étudiant au point sur le
sol à la verticale du sommet.
6 - 21
Le plus haut symbole publicitaire au monde est une immense lettre I située au sommet du building de 73
étages, le First Interstate World Center à Los Angeles. À une distance de 60 m à partir du point à la verticale
au pied du symbole, l’angle entre la base de l’immeuble et le sommet de ce symbole est de 78,87°. Calculer la
hauteur du sommet de ce symbole.
6 - 22
Quelle est la valeur exacte du périmètre du triangle △ABC ? ( π6 = 30°)
C
HB = 1 cm.
AH = 3 cm.
A
$
\
BY:
C
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, 2010-2021
π
6
H
B
CHAPITRE 6. TRIGONOMÉTRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE
107
6 - 23
Calculer le périmètre et l’aire de la surface ombrée dans chacune figure (on a affaire dans chaque cas à des arcs
de cercles)
A
B
1
B
O
144°
70°
O
a) O
1
A
b)
4
A
B
c)
6 - 24
Une vache se trouve au centre d’un enclos circulaire. Un promeneur arrêté à 70 m ( de la vache, voit l’enclos
sous un angle horizontal de 20°.
a) Quel est le diamètre de l’enclos ?
b) Le promeneur se trouve maintenant à 5 mètres de l’enclos. Calculer le nouvel angle de vue.
6 - 25
Un observateur voit une tour circulaire de diamètre 25 m, sous un angle horizontal de 20°. A quelle distance du
point le plus proche de la tour se trouve l’observateur ?
6 - 26
On considère un cercle de centre O et de rayon 7 cm, et un point P situé à 10 cm du centre. Calculer l’angle
entre les droites passant par P et tangentes au cercle.
6 - 27
On considère un cercle de centre O et de rayon 5 cm, et un point P situé à l’extérieur du cercle. Sachant que les
tangentes au cercle issues du point P font un angle de 25°, calculer la distance OP.
6 - 28
On considère un triangle isocèle dont la base vaut 10 cm et l’angle opposé 36°. Calculer le rayon du cercle inscrit
à ce triangle.
6 - 29
En sortant de son phare, le gardien a
laissé la porte ouverte, mais il a laissé son
chien (féroce) attaché à un piquet par une
chaîne de 10 m.
Je connais bien le gardien, mais malheureusement le chien ne me connaît pas.
Vais-je pouvoir rendre visite au gardien ?
porte
2m
3m
(rayon du cercle
extérieur)
10 m
6 - 30
Le rayon de la terre
Deux points A et B de la surface terrestre sont situés sur le même méridien et distants de 800 km.
Lorsque le soleil est à la verticale de A, l’ombre d’un
bâton de 1 m planté verticalement en B mesure
12,6 cm.
Quel est le rayon de la terre ?
S
A
B
☞ Utiliser le schéma ci-contre en faisant interve-
S’
nir une fonction trigonométrique de α et en supposant que le triangle SBS ′ est rectangle en B avec
BS ′ = 12, 6 cm : c’est légitime compte tenu des dimensions.
α
O
$
\
BY:
C
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, 2010-2021
1m
108
6.5. RÉSOLUTION DE TRIANGLES
La méthode décrite ici fut imaginée par Eratosthène (vers 284–195 av. J.–C.) qui fut le premier à évaluer correctement le rayon terrestre. Il choisit les villes antiques de Syènes (point A) et d’Alexandrie (point B).
6 - 31
Calcule, si possible, les dimensions manquantes :
1)
2)
c
3)
c
a
a
b
a
a = 32o
c = 4,8 cm
a = 5 cm
b = 7,5 cm
c = 11 cm
4)
a = 8 cm
a = 40o
c = 11 cm
5)
a
6)
a
g
b
a = 6 cm
b = 8,5 cm
g = 110o
b
b
c
a = 35o
b = 70o
c = 9 cm
(triangle isocèle)
8)
9)
b
a
a
a = 52o
b = 6,8 cm
7)
a
h
b
a
b
a = 35
b = 70o
b = 9 cm
o
10) c
(triangle équilatérale)
h = 6 cm
11)
a = 7 cm
b = 8,5 cm
a = 55o
12)
c
a
a = 9,5 cm
c = 7 cm
a
c
a
g
c = 5,6 cm
a = 4,8 cm
c = 8 cm
a = 70o
g = 45o
14)
15)
BY:
$
\
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C
13)
c
a
, 2010-2021
CHAPITRE 6. TRIGONOMÉTRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE
α =10 m
b = 10 m
aire = 10 m2
aire = 15
= 12 m
aire = 20 m2
m2
109
c
α
b
Correction de l’exercice 6 - 31
1) Triangle quelconque (2e)
2) Triangle avec α = 32o , c = 4, 8 cm
Valeur pour β :
Valeur pour a :
Valeur pour b :
β = 90o − 32o = 58o .
a
d’où a = c · sin α ≈ 2, 54 cm
sin α =
c
On utilise Pythagore a 2 + b 2 = c 2 et on trouve b ≈ 4, 07 cm
3) Triangle quelconque (2e)
4) Triangle quelconque (2e)
5) Triangle quelconque (2e)
6) Triangle avec α = 52o , b = c = 6, 8 cm (triangle isocèle)
Valeur pour β et γ : γ = β = (180o − 52o ) : 2 = 64o .
sin α sin γ
Valeur pour a :
On utilise
=
pour trouver a ≈ 5, 96 cm
a
c
7) Triangle quelconque (2e)
8) Triangle avec α = 60o , β = 600 , γ = 600 et h = 6 cm
³ a ´2
p
12
+ 62 et on trouve a = p = 4 · 3 ≈ 6, 93 cm
Valeur pour a :
On utilise Pythagore a 2 =
2
3
9) Triangle quelconque (2e)
10) Triangle avec a = 9, 5 cm, c = 7 cm
Valeur pour b :
Valeur pour γ :
Valeur pour α :
On utilise Pythagore a 2 + c 2 = b 2 et on trouve b ≈ 11, 8 cm
c
On utilise sin α = et on trouve γ ≈ 36, 38o
b
a
sin α = et on trouve α ≈ 53, 62o
b
11) Triangle quelconque (2e)
12) Triangle avec a = 4, 8 cm, c = 5, 6 cm
Valeur pour β :
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$
\
Valeur pour α :
On utilise Pythagore a 2 + b 2 = c 2 et on trouve b ≈ 2, 88 cm
a
b
On utilise sin α =
et on trouve γ ≈ 59o . On peut aussi utiliser cos α =
et on trouve
c
c
γ ≈ 59, 05o .
b
sin β = et on trouve α ≈ 30, 95o
c
C
Valeur pour b :
, 2010-2021
CHAPITRE
7
Les fonctions
CHAPITRE 7. LES FONCTIONS
111
Si une notion est fondamentale en mathématiques, c’est celle de fonction. Son étude est même l’objet d’une
discipline particulière des mathématiques : l’analyse. Ce chapitre commencera par l’observation de tableaux,
de graphiques, puis continuera par l’étude de formules qu’on appellera les expressions analytiques des fonctions. Cela permettra de reconnaître quelques fonctions de base.
La notion de fonction a une signification concrète que l’on peut percevoir lorsqu’on étudie la relation entre
deux grandeurs dans
– un tableau
– un graphique
– une formule (expression algébrique) ou une loi physique
et bien entendu quand on utilise la locution d’usage courant : « en fonction de ».
1
Une fonction à partir d’un tableau
Pour couvrir les besoins collectifs, l’État récolte des fonds sous diverses formes (impôts directs, impôts indirects
ou taxes). En Suisse, le prélèvement de l’impôt direct se fait à trois niveaux différents : communal, cantonal et
fédéral. Nous examinerons ici une version simplifiée de l’imposition fédérale suisse qui se fait par tranches de
salaire. En principe, il y a onze tranches que nous avons réduites à 4 pour des raisons de confort de calcul !
Les revenus sont décomposés en tranches et pour chaque tranche un taux d’imposition spécifique est appliqué.
Ainsi, un revenu de 50 000 fr., par exemple, a 30 000 fr. dans la première tranche et 20 000 fr. dans la suivante.
0,8
L’impôt pour la première tranche s’élève à 30 000 · 100
= 240 fr. On le cumule avec l’imposition appliquée à la
3
part du revenu dans la 2e tranche 20 000 · 100 = 600 fr.
L’impôt fédéral se monte ainsi à : 240 + 600 = 840 fr.
De
Jusqu’à
Taux
d’imposition par
tranche
Impôt par
tranche
1
0
30 000
0,8 %
240
240
2
>30 000
60 000
3%
900
1 140
3
>60 000
100 000
6%
4
>100 000
∞
11 %
Tranche
Impôt cumulé
a) Pour se familiariser avec ce tableau, calculer l’impôt dû pour un revenu imposable annuel de 80 000 fr.,
125 000 fr. et de 850 000 fr.
b) Si x désigne le revenu imposable annuel, donner pour chaque tranche la formule (on dit aussi l’expression analytique) qui permet de trouver l’impôt i (x) en fonction du revenu x.
c) Que penser de l’affirmation : « Cela ne sert à rien que je travaille plus, je vais tomber dans une tranche
d’impôt supérieur et je gagnerai finalement moins que maintenant. »
d) Que penser de l’affirmation : « L’impôt fédéral représente à peu près 5% du revenu imposable annuel. »
e) Quel doit être le revenu imposable annuel pour que le taux d’imposition soit de 10% ?
f) Examiner ce qu’apporte une représentation graphique des questions ci-dessus. À l’intérieur d’une tranche,
que montre la représentation graphique ? Comment justifier cette observation ? Que vaut, à l’intérieur
d’une tranche, le rapport entre la différence des ordonnées et la différence des abscisses ?
g) Pour prouver ce dernier résultat, considérer deux revenus x et x + ∆x dans une tranche, et calculer le
rapport demandé. Ce dernier est appelé le taux d’accroissement à l’intérieur d’une tranche.
h) Comment trouver graphiquement le revenu pour lequel l’impôt s’élève à 10% du revenu imposable annuel.
Une fonction à partir d’un graphique
2 1 Remplissage d’un récipient
On verse de l’eau dans un récipient qui a la forme d’un cône tronqué et renversé. Le débit est constant et on lit
la hauteur atteinte par l’eau à différents instants.
BY:
$
\
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C
2
, 2010-2021
112
7.3. FONCTIONS À PARTIR D’UNE FORMULE
Cette situation peut être représentée
par un graphique. Pour un récipient
de forme donné, on a mis en ordonnée la hauteur atteinte par l’eau au
fur et à mesure du remplissage, et, en
abscisse, le temps.
On peut varier à souhait la forme du
récipient et obtenir des graphiques
présentant des courbes d’allures fort
différentes.
hauteur de l'eau (cm)
30
25
20
15
10
5
a) Quelle va être la courbe du graphique si le verre a la forme
d’un ballon.
temps (sec)
hauteur de l'eau (cm)
30
b) Quels sont tous les verres dont
le remplissage à débit constant
donne lieu à la représentation graphique d’une droite ?
Que représente la pente de la
droite ?
25
20
15
10
5
c) Trouver la forme d’un récipient
dont la courbe de remplissage
présente un saut.
5
1
2 2 Déplacement d’une voiture
temps (sec)
distance
(en km)
La figure ci-contre représente le déplacement
d’une voiture dont le mouvement est uniforme (vitesse constante).
3
1. Expliquer pourquoi les occupants de ce véhicule ont peu de chance de survivre à un tel
déplacement si ce graphique représentait le
vrai mouvement du véhicule.
2
1
2. Quel serait un graphique beaucoup plus
plausible pour un véhicule ? Présenter différentes possibilités.
temps
(en minutes)
0
0
1
2
3
Fonctions à partir d’une formule
Généralement, les fonctions sont données par le biais de formules.
(a) Exprimer, en fonction de x = OM, l’aire A(x) et le périmètre de p(x) du triangle OMI. Représenter graphiquement ces deux fonctions.
I
(b) Un objet en chute libre, lâché sans vitesse initiale, a parcouru au
bout de t secondes une distance d exprimée (en mètres) par d =
5t 2 . À cet instant t , la vitesse de l’objet (en m/s) est 10t .
4
a° Compléter le tableau de valeurs ci-après
t (s)
2
M
10
d (m)
O
180
x
50
v (m/s)
50
b° L’objet est lâché de l’altitude x (en m). Exprimer en fonction de x la vitesse de l’objet lorsqu’il entre
en contact avec le sol : i) en m/s ; ii) en km/h.
(c) Un objet en chute libre d’une altitude de 300 m, a son mouvement qui est décrit par l’expression :
g t2
2
où g ≈ 9, 81m/s2
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BY:
$
\
h = 300 −
C
3
5
1
, 2010-2021
113
Comme g est une constante, la hauteur h à laquelle se trouve l’objet dépend uniquement du temps t qui
s’est écoulé depuis le début de la chute ; h est donc fonction de ce temps t , et on écrit
h(t ) = 300 −
g t2
2
h : t ,→ 300 −
g t2
2
ou encore
Il est plus correct d’utiliser cette dernière écriture pour désigner une fonction que la précédente. En effet,
h(t ) indique au sens strict la valeur de la hauteur h à un instant donné t , alors que la dernière formulation
indique un objet mathématique h qui est une fonction.
La fonction (ou application, ces termes sont considérés comme de proches synonymes) de notre exemple
g t2
associe, à tout nombre t , un nombre qui s’obtient par la formule 300 − 2 . Ce dernier nombre s’appelle
l’image de t par l’application h et il est noté h(t ). Il est assez évident que le choix des valeurs pour t peut
être assorti de certaines contraintes. Ici, t ∈ R+ : le temps est positif ! La définition complète de notre
fonction est donc
h : R+ −→
t
R
−→ 300 −
g t2
2
h
R+ est le domaine (ou l’ensemble de départ) de la fonction h.
(d) Une boîte sans couvercle de contenance 12 litre, a la forme du pavé droit
ci-contre (x et h sont exprimés en centimètre).
Exprimer en fonction de x la hauteur h et l’aire extérieure A(x) (fond plus
parois latérales).
x
x
Une fonction est une relation telle que tout élément de l’ensemble de départ a une et une seule image
dans l’ensemble d’arrivée.
4
Suite de « Une fonction à partir d’un tableau »
De
Jusqu’à
Taux
d’imposition par
tranche
1
0
30 000
0,8 %
240
240
2
>30 000
60 000
3%
900
1140
3
>60 000
100 000
6%
2400
3540
4
>100 000
∞
11 %
...
...
Tranche




x · 0.008





240 + (x − 30000) · 0, 03
i (x) =



1140 + (x − 60000) · 0, 06





3540 + (x − 100000) · 0, 11
Impôt par
tranche
Impôt cumulé
si
x ≤ 30000
si
30000 < x ≤ 60000
si
60000 < x ≤ 100000
si
100000 < x
Dans les deux graphiques qui suivent, les revenus x sont placés sur l’axe des abscisses et les impôts sur l’axe des ordonnées.
À chaque revenu x correspond un impôt i (x), et un seul (c’est ce qui caractérise une fonction ou application par opposition
à une relation quelconque). Chaque couple (x ; i (x)) représente un point dans ce repère et l’ensemble de tous les points
(x ; i (x)) est appelé le graphique de la fonction i .
BY:
$
\
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C
n7 -1
CHAPITRE 7. LES FONCTIONS
, 2010-2021
114
7.4. SUITE DE « UNE FONCTION À PARTIR D’UN TABLEAU »
À l’intérieur d’une tranche d’imposition, le graphique est composé
d’un morceau de droite. En effet, si on considère par exemple la
tranche de revenus allant de 60 000 à 100 000, on voit qu’en augmentant le revenu de 1 000 fr., l’impôt, lui, augmente de 60 fr. S’il
augmente de 5 000 fr., l’impôt augmente de 300 fr.
Le rapport de la différence des ordonnées à la différence des abscisses de deux points est constante : il est égal au taux de la tranche,
ici 6 %. On peut le prouver de la manière suivante.
+300
+120
+1 000
+60
+2 000
+5 000
On considère deux revenus x et x + ∆x (où ∆x représente une quantité différente de 0) dans une tranche. Pour ces deux
revenus, on a l’impôt :
i (x) = 1140 + (x − 60000) · 0, 06
i (x + ∆x) = 1140 + (x + ∆x − 60000) · 0, 06
le rapport de la différence des ordonnées à la différence des abscisses donne
i (x + ∆x) − i (x) 0, 06∆x
=
= 0, 06
x + ∆x − x
∆x
Ce rapport est désigné par le terme de taux d’accroissement à l’intérieur de la tranche.
L’avantage d’un graphique est de donner une image immédiate d’une fonction : elle permet d’estimer pour chaque revenu
l’impôt (on parle de l’image d’une valeur de x), ou réciproquement d’estimer le revenu lorsqu’on connaît l’impôt (image réciproque d’une valeur de i ). On voit aussi immédiatement le caractère croissant ou l’absence de saut dans une fonction. Enfin,
si l’on veut savoir quel est le revenu dont l’impôt s’élève à 10% de ce revenu, alors la réponse est donnée par l’intersection du
graphique de i et de la droite d’équation y = 0, 1x. On voit aussi que l’impôt est toujours inférieur à 12% du revenu.
20000
15000
10000
5000
100000
BY:
$
\
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150000
C
50000
, 2010-2021
200000
CHAPITRE 7. LES FONCTIONS
5
Notions de base
En premier lieu, une fonction est une relation entre deux quantités variables, une des quantités étant fonction de l’autre.
Ainsi, la quantité d’impôt à payer dépend du salaire (variable indépendante, cf. plus loin), ou, la distance parcourue dépend
du temps (variable indépendante) pour reprendre deux exemples vus précédemment.
y
On appelle la quantité dépendant ou fonction de l’autre la variable dépendante et l’autre la variable
indépendante.
3
Cette relation peut être représentée graphiquement en mettant la variable indépendante x sur un
axe horizontal et la variable dépendante y sur un
axe vertical. La relation entre les deux étant telle
qu’à chaque valeur de la variable indépendante
ne correspond qu’une valeur de la variable dépendante, conformément à la définition donnée plus
haut d’une fonction que nous rappelons
(−1 ; 2)
b
2
b
f (−1)
1
b
−3
−2
b
−1
−1
1
2
3
x
−2
Cf
−3
Une fonction est une relation telle que tout élément de l’ensemble de départ a une et une seule image
dans l’ensemble d’arrivée.
n7 -2
f : A −→B
x −→y
Ensemble de départ ou source/domaine est l’ensemble sur lequel la variable indépendante prend ses valeurs.
Ensemble d’arrivée ou but est l’ensemble sur lequel la variable dépendante prend ses valeurs.
L’image d’un élément x est l’unique élément y qui lui est associé. L’image de x par f est notée : f (x), ce qui se
lit « f de x » ou « l’image de x par f ».
La (ou les) pré-image(s) d’un élément y est le ou les éléments x tels que f (x) = y.
La courbe représentative de f ou encore le graphe de f est la représentation graphique d’une fonction dans
laquelle chaque couple (x ; f (x)) est représenté par un point (x ; y) avec y = f (x). Cette courbe est notée
C f , mais souvent on la note simplement f .
Les zéros de f sont les valeurs de x tels que f (x) = 0 (graphiquement ce sont les abscisses des points d’intersection du graphe de f et de l’axe (Ox)).
L’ordonnée à l’origine est l’image de 0 (graphiquement, c’est l’ordonnée du point d’intersection du graphe de
f avec l’axe (Oy)).
L’expression algébrique de f est donnée par une expression de la forme
f (x) = 3x 3 − 5
f : x 7−→ 3x 3 − 5
ou
La lecture du graphique ci-dessus donne
• l’image de −1 est 2, autrement dit f (−1) = 2. Ainsi le point (−1 ; 2) appartient au graphe de f ;
• f (2) = 2 ;
• les pré-images de 2 sont −1 et 2 ;
• 4 n’a pas de pré-image, par contre 4 a une image, mais le graphique ne permet pas de la lire (s’il
était prolongé, on aurait eu −3) ;
• les zéros de f sont -2 et 3 ;
• l’ordonnée à l’origine est 3 ;
• l’expression algébrique de f est (elle n’est toutefois pas évidente à extraire de la lecture du graphe)
ou
1
1
f : x 7−→ − x 2 + x + 3
2
2
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BY:
$
\
1
1
f (x) = − x 2 + x + 3
2
2
C
ple
115
, 2010-2021
116
7.5. NOTIONS DE BASE
6
7 -1
Cf
5
Estimer, en lisant le graphique ci-contre,
4
1. la valeur de f (0) ;
3
2. la valeur de f (−2) ;
2
3. l’ordonnée à l’origine ; <item les zéros ;
1
4. les valeurs de x sachant que f (x) = 0 ;
5. les valeurs de x sachant que f (x) = 2 ;
−6
−5
−4
−3
−2
1
−1
2
3
−1
6. la ou les pré-images de 2 ;
−2
7. l’ensemble des valeurs de x telles que f (x)
est positive ;
−3
8. combien de pré-images possèdent la valeur
−1.
−4
7 -2
Considérons la fonction donnée par la formule f (x) = x 2 + 5.
1. Quelle est l’image de 3 ? et de −3 ?
2. Quelle est l’image de −2 ? et de 2 ?
3. Combien de zéros possède la fonction f ?
4. Donner la ou les pré-images de 10.
7 -3
On considère la fonction f (x) =
1
x+1 .
Déterminer son domaine de définition.
7 -4
Parmi les courbes suivantes, lesquelles sont représentatives d’une fonction
IR
-1
2
2
1
1
0
1
2
3
IR
-3
-2
-1
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
1
2
3
IR
2
3
IR
IR
3
2
3
2
1
0
-3 -2 -1
-2
-3
1
1 2 3
IR
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
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BY:
$
\
-2
3
C
-3
IR
3
, 2010-2021
1
4
5
6
CHAPITRE 7. LES FONCTIONS
117
IR
IR
3
3
2
2
1
1
0
-1
-1
-3 -2
1
2
3
IR
-3
-2
-1
0
1
2
3
IR
-1
-2
-2
-3
-3
7 -5
Quel doit être dans chaque cas l’ensemble de départ pour que les graphiques ci-dessous représentent des fonctions ?
IR
1)
-3
-2
-1
3
2
2
1
1
0
1
2
3
IR
-3
-1
-2
-3
-3
5)
3
2
2
1
1
0
1
2
3
IR
-
2
2
-1
-3
-3
3
IR
3
IR
3
IR
6)
3
3
2
2
1
1
0
2
π
0
-2
1
2
3
IR
-3
-2
-1
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
BY:
$
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Jann Weiss, Licence Creative Commons
C
-1
π
-2
IR
1
IR
3
3)
-2
0
-2
-1
-3
-1
-1
IR
-2
-2
-1
2)
-3
IR
4)
3
, 2010-2021
1
2
118
7.6. GRAPHIQUES DES FONCTIONS AFFINES
7 -6
Voici les représentations graphiques de trois fonctions f , g et h de R dans R.
1. Déterminer à partir de ces graphes :
f (1)
f (−2)
f (0)
g (1)
g (−2)
g (0)
h(1)
h(−2)
h(0)
2. « Le point (−49 ; −48) appartient à la courbe représentative de h . » VRAI ou FAUX ?
y
3. Compléter
Si f (x) = −3, alors x =
Si g (x) = 3, alors x =
Si h(x) = 0, alors x =
Si f (x) = g (2), alors x =
Si f (x) = h(x), alors x =
Si g (x) > f (x), alors x
Si f (x) = g (x), alors x =
2
Cf
−5
1
−4
−3
−2
−1
−1
4. Quels sont les zéros de f ?
1
2
3
x
−2
5. Sur quel ensemble f est-elle positive ?
Sur quel ensemble g est-elle négative ?
Sur quel ensemble h est-elle strictement positive ?
6
Ch
3
Cg
−3
Graphiques des fonctions affines
Du fait que le graphique d’une fonction contient généralement une infinité de points de la forme (x ; f (x)), il n’est pas toujours simple de la dessiner. Il existe toutefois certaines classes de fonctions qu’il est facile de représenter à partir de quelques
points seulement.
f (x) = 2x
La plus simple est la fonction
constante f (x) = c dont le graphique
est une ligne droite horizontale située
à une hauteur c.
f (x) = 1
La fonction linéaire f (x) = c x a aussi
une représentation graphique simple,
celle d’une droite ∆ passant par (0, 0).
f (x) = −
f (x) = x
1
2
f (x) = −x
On le prouve en considérant une droite passant par les points (0, 0) et A = (x, cx) où x est un nombre quelconque différent de
0. Soit un point A′ dont l’abscisse est z. Il appartient à la droite ∆ si les triangles OAB et OA′ B′ sont semblables. Ce qui signifie
(par Thalès) que
AB A′ B′
=c
=
OB OB′
∆
Dans notre cas, cette relation est bien vérifiée, car A′ est le point
de coordonnées (z, cz), donc OB′ = z et A′ B′ = cz et on a le rapport
A′ B′
= c. Ainsi la droite ∆ à laquelle appartient le point A′ est le graOB′
phique de la fonction f (x) = cx. Le nombre c représente la pente
de la droite.
A′
A=(x,c x)
O=(0,0)
B
B′
Le graphique d’une fonction affine f (x) = c x + d se déduit facilement de celui de la fonction linéaire f (x) = cx. Il s’agit d’une
droite parallèle (même pente c) à celle représentant f (x) = cx, mais passant par le point (0, d).
7 -7
Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont des fonctions affines ?
f 2 : x 7−→ −x
f 4 : x 7−→
x2 − 9
x −3
f 5 : x 7−→ 1 − x 2
f 6 : x 7−→ 1 − x 2
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$
\
f 3 : x 7−→ αx + α2
C
f 1 : x 7−→ 1
, 2010-2021
CHAPITRE 7. LES FONCTIONS
119
7 -8
Déterminer la pente et l’ordonnée à l’origine des fonctions suivantes, puis tracer leur graphe :
f 1 : x 7−→ −2x + 3
f 4 : x 7−→ −2
f 7 : x 7−→ 3x
f 2 : x 7−→ 5 − x
f 5 : x 7−→ x
f 8 : x 7−→ 0
f 3 : x 7−→
5x
4
f 6 : x 7−→
2x − 3
4
f 9 : x 7−→
2−x
3
7 -9
Trouver dans chaque cas la fonction affine f dont la représentation graphique
a) passe par le point (3 ; 2) et dont la pente vaut 4 ,
b) est parallèle à la droite d’équation y = −x + 7 et passe par (−6 ; 8) ;
c) passe par les points (5 ; 6) et (−9 ; 5) ;
d) est perpendiculaire à la droite d’équation y = 3x − 4 et passe par l’origine ;
e) est perpendiculaire à la droite d’équation y = 3x − 4 et passe par (2 ; 0) ;
f) est de pente − 12 et telle que f ( 12 ) = −2.
7 - 10
Les températures peuvent être mesurées dans différentes unités, entre autres les degrés Celsius et les degrés
Fahrenheit. On a par exemple les relations suivantes : 60°C=140°F et 100°C=212°F.
a) Donner la fonction affine qui permet de passer d’une température exprimée en degrés Celsius à la même
température exprimée en degrés Fahrenheit.
b) Pour quelle température exprimée en degré Fahrenheit l’eau gèle-t-elle ?
c) Existe-t-il une température qui soit exprimée par le même nombre dans les deux unités ?
y
7 - 11
Trouver la fonction affine dont le graphe passe par
les points (a, b) et (c, d) avec a 6= c (pourquoi cette
condition ?)
3
2
1
-3
-2
-1
1
-1
7 - 12
-2
Définis la fonction affine par morceaux ci-contre.
-3
7 - 13
Les points A(1 ; 5), B(3 ; 7) et C(10 ; 50) sont-ils alignés ?
$
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C
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, 2010-2021
2
3
x
120
7.6. GRAPHIQUES DES FONCTIONS AFFINES
y
7 - 14
Soit les fonctions
4
y
Ch
3
2
2
Cg
1
−2
Cf
3
1
−1
Cg
2
3
x
−2
Ch
1
1
−1
−1
2
3
x
−1
Cf
−2
−2
−3
−3
1. Déterminer les fonctions affines f , g et h représentées par les graphes
2. Quels sont les zéros de ces fonctions ?
3. Résoudre l’équation f (x) = g (x). Que représente la solution de cette équation ?
4. Déterminer tous les points d’intersection de ces droites.
7 - 15
Le côté de chaque carré de cette suite vaut les deux tiers du côté du carré précédent
b
4,5 cm
b
n°1
b
n°2
b
n°3
b
n°4
O
A1
A2
A3
A4
a) Montrer que les points sont alignés, puis choisir un repère convenable et déterminer la fonction dont la
représentation graphique est la droite sur laquelle ils sont situés.
b) VRAI ou FAUX ? « En continuant le procédé et en construisant autant de carrés que l’on souhaite, on peut
obtenir un point A n tel que la distance de O à A n dépasse 14 cm. »
7 - 16
Un théâtre propose deux prix de places : plein tarif (15 fr.) et tarif adhérent (réduction de 60 % sur le plein tarif).
Un adhérent doit payer en début de saison une carte d’abonnement qui lui donne droit à la réduction de 60 %
sur chaque entrée.
a) Quel est le prix d’une entrée au tarif adhérent ?
b) Sachant qu’un adhérent a dépensé au total (y compris le prix de la carte) 62 fr. pour 7 entrées, calculer le
prix de la carte d’abonnement.
c) Pour un nombre d’entrées x , on note f (x) la dépense totale d’un spectateur qui n’est pas adhérent, et g (x)
la dépense totale d’un adhérent. Exprimer f (x) et g (x) en fonction de x .
d) À partir de combien d’entrées l’abonnement devient-il avantageux ?
e) Combien d’entrées totalise un adhérent lorsqu’il constate que, sans abonnement, il aurait dépensé 50 %
de plus ?
Nous verrons plus tard d’autres fonctions dont les courbes représentatives (parabole, hyperbole, ...) ont chacune une expression algébrique particulière. Cependant, pour toutes les courbes du même type, par exemple les paraboles, on verra
qu’il existe une forme algébrique générale. Mais avant, voyons comment on peut transformer une courbe et quelle est la
répercussion de cette transformation sur l’expression analytique.
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CHAPITRE 7. LES FONCTIONS
7
121
Fonctions quadratiques
Ce sont des fonctions définies sur R et dont l’expression algébrique est de la forme :
f : R −→
R
2
x −→ ax +bx + c
Voici quelques exemples avec les graphiques correspondants
f : x −→ x 2
i : x −→ −x 2 + 2
g : x −→ x 2 − 3
j : x −→ x 2 − 2x − 3
9
5
7
3
5
1
-4
3
-2
1
-4
-2
-1
2
4
2
-4
-2
2
4
-4
h : x −→ −x 2
-1
k : x −→ −x 2 + 2x + 3
1
-4
-2
-1
4
2
4
-3
4
2
-5
-3
-7
-5
-9
2
5
-2
2
3
4
2
1
-2
-2
-4
-4
-1
-6
-6
-3
-4
-2
Les courbes représentatives des fonctions quadratiques f : x 7→ ax 2 +bx +cs’appellent des paraboles. Elles sont caractérisées
par
– leur orientation : si le coefficient a du terme en x 2 est positif, la courbe est convexe (⌣), sinon elle est
concave (⌢) ;
– une symétrie axiale passant par le sommet de la parabole ; dans les cas où la parabole coupe l’axe des x
aux points x1 et x2 , il est possible de trouver l’abscisse du sommet S en prenant la moyenne des zéros x1
et x2 de f :
S=
³ x + x ´´
³x +x
1
2
1
2
;f
2
2
b
Si la courbe ne coupe pas l’axe des x, l’abscisse du sommet est donnée par la formule − 2a
(cf. plus loin).
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122
7.8. TABLEAU DE SIGNES ET ZÉROS D’UNE FONCTION
Pour esquisser, la parabole représentative d’une fonction quadratique, on utilise ces caractéristiques. Par exemple, soit f (x) = −x 2 + 2x + 3 :
a° la parabole sera concave, car a = −1 est négative ;
b° Comme f (x) = −x 2 +2x +3 = −(x 2 −2x −3) = −(x +1)(x −3), les zéros de f sont x = −1
et x = 3 ;
Méthode
c° l’abscisse du sommet de la parabole est ainsi
1 + 3 = 4, d’où S = (1 ; 4) ;
−1+3
2
= 1 et son ordonnée f (1) = −1+ 2·
d° pour esquisser la courbe, il est bien d’avoir aussi l’ordonnée à l’origine : f (0) = 3.
En mettant toutes ces informations sur un graphique, on obtient le graphique qui est le
dernier de la série ci-dessus.
8
Tableau de signes et zéros d’une fonction
Une manière de caractériser une fonction est de décrire sur quels intervalles elle est positive et sur quels intervalles elle est
négative. Dans dans le cas d’un polynôme, cette information s’obtient en factorisant le polynôme, puis en dressant le tableau
de signes.
Exemple 1 :
f (x) = x 2 − 5x + 6
x
Comme f (x) = x 2 −5x +6 = (x −2)(x −3), le signe
de f s’obtient en regardant le produit des signes
des parties linéaires x − 2 et x − 3.
Exemple 2 :
2
−∞
x −2
–
x −3
–
f (x)
+
0
0
3
+
+∞
+
–
0
+
–
0
+
f (x) = −x 2 + 7x − 12
x
2
Comme f (x) = −x + 7x − 12 = (x − 3)(−x + 4), le
signe de f s’obtient en regardant le produit des
signes des parties linéaires x − 2 et x − 3.
3
−∞
x −3
–
−x + 4
+
f (x)
–
0
0
4
+
+∞
+
+
0
–
+
0
–
On peut aussi factoriser f (x) autrement : f (x) = −(x − 3)(x − 4). Dans ce cas, il faudrait ajouter dans le tableau de signes un 3e
facteur qui est −1.
Exercices
7 - 17
Esquisser les courbes représentatives des fonctions suivantes
c) f : x 7→ −4x 2 − 2x + 6
b) f : x 7→ x 2 − 2x − 5
d) f : x 7→ 2x 2 − 11x + 15
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\
a) f : x 7→ x 2 + 3x − 4
C
9
, 2010-2021
CHAPITRE 7. LES FONCTIONS
123
7 - 18
Déterminer l’expression algébrique des fonctions quadratiques représentées ci-dessous.
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
b
S
1
b
b
−3
−2
1
−1 −1
−2
2
b
3
4
1
−1 −1
2
3
4
−2
−3
−3
b
−4
−4
5
S
3
4
3
2
b
1
2
b
1
b
−4
−3
b
−1
−1
1
1
−4 −3 −2 −1
−1
b
−2
b
2
−2
2
b
b
−2
−3
7 - 19
Faire le tableau de signes des fonctions suivantes :
1) f (x) = x 2 + 3x − 4
4) i (x) = 2x 2 − 11x + 15
2) g (x) = x 2 − 2x − 5
5) j (x) = x 3 − 8x 2 + 15x
3) h(x) = −4x 2 − 2x + 6
6) k(x) = (x 2 − 1)(x − 5)(x + 1)(x − 1)
7 - 20
Donner le domaine des fonctions suivantes :
1
1
2x − 1
a) f : x 7→ + x
b) f : x 7→ 2
c) f : x 7→
x
x −1
3x + 7
r
p
x −2
e) f : x 7→ x 2 − 10x + 21
f) f : x 7→
x +5
1−x
d) f : x 7→ p
x −1
7 - 21
On considère les fonctions suivantes, toutes définies sur ] 0; +∞ [ :
f (x) = 12
g (x) =
3
h(x) = − x + 15
2
36
x
3
i (x) = − x 2 + 6x − 3
4
a° Trouver parmi ces fonctions celles dont la courbe représentative passe par le point A (4 ; 9).
b° Même question avec le point B (6 ; 6).
c° Trouver le(s) point(s) d’intersection entre les courbes représentatives de f et h . Représenter graphiquement la situation.
d° Trouver le(s) point(s) d’intersection entre les courbes représentatives de f et g . Représenter graphiquement la situation.
$
\
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C
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, 2010-2021
124
7.9. EXERCICES
7 - 22
On considère les fonctions :
f : x 7→ x 2 − 3x + 1 et g : x 7→ 17 − 3x
a) Déterminer les zéros de ƒ et de g.
b) Esquisser le graphe de ƒ et déterminer les coordonnées exactes de son sommet.
c) Déterminer les coordonnées des points d’intersection des graphes de f et de g .
d) Déterminer une fonction affine h dont le graphe coupe celui de g au point (4 ; 5).
e) Déterminer une fonction affine dont le graphe est perpendiculaire à C g et tangent à C f .
7 - 23
Considérer les représentations graphiques des fonctions f et g ci-dessous.
On sait que g (x) = −x 2 + 2x + 3
10
9
Cf
8
7
6
5
4
N
L
b
b
b
S
3
M
b
2
1
K
b
−2
−1
−1
1
2
3
4
−2
Cg
−3
a) En se basant uniquement sur les graphiques déterminer : i) les zéros de f et g
ii) les coordonnées de L.
b) Calculer l’image de −2 par g et les coordonnées du sommet S de la parabole.
c) Déterminer l’expression algébrique de f .
d) Déterminer la longueur exacte du segment MN.
7 - 24
Caroline fait du toboggan à la piscine. Arrivée au bas du toboggan, sa trajectoire dans l’air est une parabole
d’équation y = ax 2 + h .
a) La fin du toboggan se situe à 1, 50 m audessus du niveau de l’eau et le point d’entrée
dans l’eau est à 2 m du bord. Déterminer les
valeurs de a et de h .
b) La valeur du paramètre a dépend de la vitesse (en m/s). On sait que a = − v62 . Quelle
est la vitesse de Caroline au moment de quitter le toboggan ? Si vous n’avez pas trouvé de
valeur pour la grandeur a ci-dessus faire le
calcul avec a = − 52 .
7 - 25
Le périmètre d’un rectangle est de 50 mètres. Exprimer son aire en fonction de la longueur d’un de ses côtés.
Trouver la valeur de x telle que cette aire soit maximale. Quelle est cette aire maximale ?
7 - 26
On considère deux boîtes cylindriques, à base circulaire sans couvercle :
$
\
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C
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, 2010-2021
7 - 27
On considère un cube d’arête 2 cm et l’on désigne par I
le milieu de [FG] et par M un point quelconque du segment [BF].
On pose x = BM.
H
G
I
E
a) Exprimer, en fonction de x , la longueur du trajet
« AMI » (segment AM, suivi du segment [MI]).
☞ Pythagore, bien sûr.
F
M
C
b) Trouver la valeur de x telle que la longueur de ce
trajet soit minimale.
A
B
7 - 28
Un rectangle a une aire égale à 4. On augmente l’une de ses dimensions de x % et l’on diminue l’autre de y %
de façon à obtenir un rectangle dont l’aire est encore égale à 4.
Exprimer y en fonction de x .
☞ Augmenter de x % revient à multiplier par ...
7 - 29
Trouve l’équation de la droite qui est un axe de symétrie vertical pour la parabole d’équation :
a) y = −2 · (x + 5)2 + 3
b) y = x 2 − 6x + 16
7 - 30
Chercher l’équation d’une parabole qui a pour sommet S (2 ; 3), un axe de symétrie vertical et qui passe par le
point (5 ; 1).
7 - 31
Soit une parabole d’équation y = ax 2 + bx + c .
b
Montrer que son sommet a pour abscisse − .
2a
Le sommet de la parabole y = ax 2 + bx + c a pour abscisse −
b
2a
THÉORÈME DU MAXIMUM ET DU MINIMUM D’UNE FONCTION DU DEUXIÈME DEGRÉ
b
) est
2a
a) le maximum de f si a < 0 ;
Si f (x) = ax 2 + bx + c, alors f (−
b) le minimum de f si a > 0.
7 - 32
Recherche du maximum d’une fonction du deuxième degré
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$
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me 7 - 2
125
Boîte 1 : rayon de base 10 cm ; hauteur x cm.
Boîte 2 : rayon de base x cm ; hauteur 10 cm.
Exprimer en fonction de x , le volume et l’aire totale de chaque boîte.
C
me 7 - 1
CHAPITRE 7. LES FONCTIONS
, 2010-2021
126
7.9. EXERCICES
On veut faire une gouttière avec une longue feuille de métal de 12
cm de large en pliant les deux longs côtés et en les relevant perpendiculairement à la feuille. Quelle hauteur doivent avoir les côtés
relevés pour que la gouttière ait une contenance maximale ?
x
x
12 ⫺ 2x
7 - 33
Analyse du vol d’un projectile
Un projectile est tiré verticalement vers le haut d’une
hauteur de 200 m au-dessus du sol. Sa hauteur h(t)
(en m) au-dessus du sol après t secondes est donnée
par
h(t ) = −4, 9t 2 + 245t + 200
3000
2000
1000
a) Déterminer une fenêtre appropriée qui
contient toutes les caractéristiques du graphique de h. (Pour la hauteur maximale,
utiliser le théorème 7 - 2)
-1000
10
b) Examiner le graphique ci-contre pour trouver à
-2000
quel moment la hauteur est de 1500 m.
c) Déterminer quand le projectile sera à plus de
1500 m au-dessus du sol.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;
20
30
40
;;
50
60
d) Combien de temps le projectile sera-t-il en vol ?
7 - 34
Animaux sauteurs
y
Les bonds des animaux sauteurs ont typiquement
des trajectoires paraboliques. La figure illustre le
bond d’une grenouille superposé à un système de
coordonnées. La longueur du saut est de 2,7 m, et
la hauteur maximale au-dessus du sol est de 0,9 m.
Donner une équation de la trajectoire du saut de la
grenouille sous forme standard.
Trajectoire
de la grenouille
0,9
2,7
$
\
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C
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, 2010-2021
x
;
CHAPITRE 7. LES FONCTIONS
127
7 - 35
Vol d’un projectile Un objet est lancé verticalement vers le haut avec une vitesse initiale de v 0 m/s, et sa distance
s(t ) en m au-dessus du sol après t s est donnée par s(t ) = −4, 9t 2 + v 0 t .
a) Si l’objet touche le sol après 12 s, donner sa vitesse initiale v 0 .
b) Déterminer sa distance maximale au-dessus du sol.
7 - 36
Baignade surveillée
Un maître-nageur dispose d’une corde de 160 m de longueur pour
délimiter un rectangle de baignade surveillée.
À quelle distance du rivage doit-il placer les bouées A et B pour que
le rectangle ait une aire maximale.
B
A
7 - 37
On considère un trapèze rectangle OABC avec 0A = 10 cm, AB = 5 cm, et
BC = 4 cm (cf. figure ci-contre à l’échelle). À tout point M du segment
[OA], avec OM = x , on fait correspondre l’aire du domaine ombrée, notée f (x) (exprimée en cm 2 ).
C
f (x)
a° Donne une formule explicite de f (x) sur chacun des intervalles
[0, 6] et [6, 10]
b° Représente graphiquement la fonction f
B
O
x
M
7 - 38
Une bille métallique de x cm de rayon (0 < x < 5) repose sur le fond d’une boîte cubique de 10 cm d’arête.
Exprimer, en fonction de x , le volume d’eau V(x) que l’on doit verser dans la boîte, de façon à recouvrir exactement la bille.
7 - 39
p
Soit f une fonction impaire définie sur R et telle que pour x > 0 : f (x) = x .
Calculer l’image de −3 par f , f (−4), f (−a 2 ) où a > 0 et expliciter f (x) pour x < 0.
7 - 40
Les fonctions f et g sont définies sur [0; +∞[, la fonction f est croissante, la fonction g est décroissante et l’on
a f (1) = g (1).
Trouver les x telles que f (x) 6 g (x).
☞ Faire un dessin ...
7 - 41
Lors d’un rallye de vieilles voitures, trois automobilistes partent d’un même lieu sur la même route :
– le premier à 9 h, à la vitesse de 40 km/h ;
– le deuxième à 10 h, à la vitesse de 30 km/h ;
– le troisième à 11 h, à la vitesse de 60 km/h ;
Utiliser une représentation graphique pour déterminer à quelle heure le troisième automobiliste se trouvera à
égale distance des deux premiers. (On demande une valeur approchée au quart d’heure près.)
$
\
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C
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, 2010-2021
A
7.10. À SAVOIR ...
10
À savoir ...
Trois catégories de fonctions sont à connaître :
1. les fonctions linéaires.
2. les fonctions affines.
3. les fonctions quadratiques.
expression analytique
représentation graphique
équation de la courbe
f : x → ax
droite passant par l’origine
y=ax
f : x → ax + b
droite
y=ax+b
f : x → ax 2 + bx + c
parabole
y = ax 2 + bx + c
fonctions linéaires
fonctions affines
fonctions quadratiques
¡
¢
L’équation d’une courbe donne pour tous les points x ; y appartenant à la courbe la relation algébrique existant entre les
coordonnées x et y de ces points, par exemple : y = 2x − 5 ou x 2 + y 2 = 1.
10 1 La droite
Une droite est entièrement déterminée en donnant deux points A et B qui sont sur la droite.
On donne les points A (−6 ; 7) et B (6 ; −1). Trouver l’équation de la droite passant par ces deux points.
Méthode 1 : détermination de la pente et de l’ordonnée à l’origine.
a° On cherche d’abord la pente de la droite :
∆x
A(−6 ; 7)
B (6 ; −1)
∆y
)
⇒ pente =
8
2
∆y 7 − (−1)
=
=
=−
∆x
−6 − 6
−12
3
l’équation de la droite a pour le moment la forme :
2
y = − x +b
3
5
b° On détermine ensuite l’ordonnée à l’origine en utilisant un point appartenant à la droite. L’équation doit
être vérifiée en mettant à la place du x et du y les coordonnées de ce point.
2
(−6 ; 7) ∈ droite ⇒ 7 = − · (−6) + b
3
7 = 4+b
0
−5
b =3
⇒ l’équation de la droite est donc :
2
y = − x +3
3
Méthode 2 : résolution d’un système d’équations.
On utilise deux fois l’idée présentée au point 2° ci-dessus :
(−6 ; 7) ∈ droite
(6 ; −1) ∈ droite
⇒
⇒
7 = a · (−6) + b
−1 = a · (6) + b
➀
⇒
➁
(
7 = −6a + b
− 1 = 6a + b
On résout le système par combinaison ➀ + ➁, ce qui donne 6 = 2b, donc b = 3. En substituant dans
➀, on trouve : 7 = −6a + 3, d’où a = − 32 . L’équation de la droite est bien y = − 23 x + 3
Remarques
2
– cette droite représente la fonction f : x 7→ − x + 3
3
BY:
$
\
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C
ple
128
, 2010-2021
5
CHAPITRE 7. LES FONCTIONS
129
– une expression du type : « l’image de 3 par f est 1 » est équivalente à f (3) = 1. Le calcul donne
f (3) = − 23 · 3 + 3 = 1.
2
– la pré-image de 5 est −3, car f (x) = 5 se vérifie si − x + 3 = 5
3
2
− x =2
3
|−3
¶
µ
3
|· −
2
¶
µ
3
x = 2· −
2
x = −3
2
– la fonction f a un seul zéro en 4.5, car f (x) = 0 se vérifie si − x + 3 = 0
3
2
− x = −3
3
x = 4, 5
|−3
µ
¶
3
|· −
2
– Si on cherche une droite parallèle à celle représentée sur le graphique ci-dessus et passant par le
point C (1 ; −3), elle aura la même pente, ainsi son équation est de la forme y = − 32 x + b. Il suffit
encore de mettre le point C dans l’équation et on pourra déterminer b.
2
−3 = − · 1 + b
3
⇒
b = −3 +
2
7
=−
3
3
10 2 La parabole
Les paraboles que nous avons vues (avec un axe de symétrie vertical, orientées vers le haut – convexe – ou le bas – concave)
sont des courbes d’équation de la forme y = ax 2 + bx + x.
Le graphique ci-contre présente le
graphe de trois fonctions quadratiques
f : x 7→ x
10
g
f
2
g : x 7→ x 2 − 10x + 21
h : x 7→ −x 2 + 20x − 96
5
S h (10 ; 4)
Si on factorise à l’aide de la 4e identité remarquable les expressions algébriques données pour g et h, on a
h
g (x) = (x − 3)(x − 7)
h(x) = −(x 2 − 20x + 96)
0
−5
= −(x − 8)(x − 12)
5
10
Les zéros de g sont ainsi 3 et 7.
Les zéros de h sont ainsi 8 et 12.
S g (5 ; −4)
−5
Ce sont les endroits où les paraboles coupent l’axe des abscisses (l’axe des x). Comme les paraboles présentent une symétrie
axiale, on peut, en utilisant les zéros des fonctions, trouver le sommet de chaque parabole.
Pour g , le sommet de la courbe a une abscisse au
milieu des zéros 3 et 7, c.-à-d. 5. Les coordonnées
du sommet sont ainsi
Pour h, le sommet de la courbe a une abscisse au
milieu des zéros 8 et 12, c.-à-d. 10. Les coordonnées
du sommet sont ainsi
¡
¢
5 ; g (5) = (5 ; −4)
(10 ; h(10)) = (10 ; 4)
L’abscisse du sommet se trouve aussi avec la for−20
mule −b
2a = 2·(−1) = 10.
L’abscisse du sommet se trouve aussi avec la for−(−10)
= 5.
mule −b
2a =
2
Remarques
– Une fois que l’expression de la fonction a été factorisée, on peut faire le tableau de signes.
– En le faisant, on comprend pourquoi la courbe représentant h est tournée vers le bas, c.-à-d.. concave.
$
\
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C
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, 2010-2021
130
7.10. À SAVOIR ...
x
8
−∞
−1
–
x −8
–
x − 12
–
f (x)
–
12
0
0
+∞
–
–
+
+
–
0
+
+
0
–
De manière plus générale, on dira que si a < 0, la courbe est concave, sinon, elle est convexe.
– l’intersection entre f et g se trouve en écrivant f (x) = g (x), car pour le même x, on doit avoir la
même image :
x 2 = x 2 − 10x + 21
0 = −10x + 21
x = 2, 1
¡
¢
et le point d’intersection est 2, 1 ; f (x) ou
¡
¢
2, 1 ; 2, 12 ou
¡
¡
(2, 1 ; 4, 41) ou
2, 1 ; g (x)
¢
¢
2, 1 ; 2, 12 − 10 · 2, 1 + 21
(2, 1 ; 4, 41)
10 2 a Détermination de l’équation d’une parabole : cas général
10
Une parabole est entièrement déterminée lorsque
l’on donne trois points appartenant à la parabole.
Si un de ces points est le sommet de la parabole,
alors deux points suffisent. Le troisième point s’obtient par symétrie. Nous allons le montrer en considérant la parabole qui représente la fonction g .
5
Son sommet est S( 5; −4) et ( 2; 5) est un autre appartenant à la parabole. Comme la parabole a un
axe de symétrie vertical passant par ce sommet, le
point ( 8; 5) appartient aussi à la parabole.
2
3
2
4a + 2b + c = 5
25a + 5b + c = −4
64a + 8b + c = 5
|· (−1)
25a + 5b + c = −4
7a + b
3
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·1
−4a − 2b − c = −5
64a + 8b + c = 5
60a + 6b
= −9
= −3
5
BY:
$
S g (5 ; −4)
(8 ; 5) ∈ C g : 64a + 8b + c = 5
|
1’
(8 ; 5)
5
| ·(−1)
1
|·
−4a − 2b − c = −5
21a + 3b
4
(5 ; −4) ∈ C g : 25a + 5b + c = −4
\
1’
−5
C
1
(2 ; 5)
0
−5
Trouver l’équation d’une parabole dans l’un et
l’autre cas, revient à résoudre un système de 3
équations avec 3 inconnues : chacun des trois
points est injecté dans l’équation y = ax 2 + bx + c.
(2 ; 5) ∈ C g : 4a + 2b + c = 5
g
10a + b
, 2010-2021
= 0
= 0
10
ple
5
5 − 4 = 6
10a + b = 0
3a
6 → 4 = 7 :
6 , 7 → 1 :
131
| · (−1)
|·1
= 3
⇒a=1
7 + b = −3
b = −10
⇒
4 − 20 + c = 5
⇒ c = 21
L’équation de la parabole est y = x 2 − 10x + 21
10 2 b Détermination de l’équation d’une parabole : cas particulier 1**
Dans le cas où l’on connaît les points d’intersection avec l’axe des x (autrement dit, les zéros de la fonction correspondante),
il est possible d’utiliser la forme factorisée de l’expression quadratique :
f (x) = ax 2 + bx + c = a(x − z1 )(x − z2 ) où z1 et z2 sont les zéros
Reprenons l’exemple de la fonction g dont les zéros sont {3, 7}. Ainsi, l’expression algébrique de g est
g (x) = a(x − 3)(x − 7)
Si de plus, on connaît un point qui appartient à la courbe représentative C g de g , alors on peut injecter
ce point dans la fonction. Si ce point supplémentaire est (2 ; 5), cela donne
f (2) = 5 ⇔ a(2 − 3)(2 − 7) = 5
5a = 5
a = 1 ⇒ f (x) = (x − 3)(x − 7) = x 2 − 10x + 21
10 2 c Détermination de l’équation d’une parabole : cas particulier 2
Si, en plus des zéros, le point supplémentaire est donné par l’ordonnée à l’origine, alors on peut écrire un système de 2
équations avec 2 inconnues seulement.
Toujours avec le même exemple, on sait que g (0) = 21 et les zéros sont 3 et 7, alors
g (x) = ax 2 + bx + c,
avec g (0) = 21 ⇔ a · 02 + b · 0 + c = 2 ⇒ c = 21
On injecte chacun des zéros dans la fonction et cela nous donne les deux équations :
(
(
➀’ − 63a − 21b = 147
➀
9a + 3b = −21 | · (−7)
3a + 3b + 21 = 0
(3 ; 0) ∈ C g ⇒
⇒
⇒
➁’ 147a + 21b = −63
➁ 49a + 7b = −21 | · 3
(7 ; 0) ∈ C g ⇒ 49a + 7b + 21 = 0
84a = 84
d’où a = 1. En substituant dans ➀, on trouve : 9 + 3b = −21, d’où b = −10. Ainsi g (x) = x 2 − 10x + 21.
10 2 d Détermination de l’équation d’une parabole : cas particulier 3
Une fonction du 2e degré accepte une 3e forme : la forme canonique (cf. page 39 ou page 125, exercice 7 - 31),
f (x) = a(x − h)2 + v
avec, h et v, les coordonnées du sommetS(h, v)
Toujours avec le même exemple : S = (5 ; −4) et un autre point (2 ; 5) ∈ C g , alors
f (x) = a(x − 5)2 − 4 et
f (2) = 5 ⇒ a · (2 − 5)2 − 4 = 5 ⇒ 9a = 9 ⇒ a = 1
f (x) = (x − 5)2 − 4 = x 2 − 10x + 21
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BY:
$
\
ple
7a + b = −3
4
C
ple
CHAPITRE 7. LES FONCTIONS
, 2010-2021
132
7.10. À SAVOIR ...
10 3 Les trois formes de la fonction quadratique
10 3 a La forme générale
C’est celle qui a été donnée au début du chapitre à la première présentation de la fonction quadratique
f (x) = ax 2 + bx + c
a, b, c ∈ R et a 6= 0
les coefficients a, b et c sont des paramètres. Chaque choix particulier de réels pour ces paramètres donne une fonction
quadratique particulière, par exemple f (x) = 2x 2 − x + 5.
Selon le choix effectué pour les paramètres, la fonction peut, selon la valeur de ∆ = b 2 − 4ac,
• ne présenter aucun zéro, si ∆ < 0 ;
• un seul zéro (ou un zéro double), si ∆ = 0, à savoir x =
• deux zéros, si ∆ > 0, à savoir x1,2 =
p
−b
2a
;
−b± ∆
2a .
10 3 b La forme factorisée
On sait que, selon le cas, on peut factoriser l’expression algébrique de la fonction (cf. théorème 2 - 3, p. 42) :
∆ = b 2 − 4ac
Zéros
forme factorisée
axe de symétrie
∆<0
aucun
b
x = − 2a
∆=0
x=
pas de factorisation
´2
³
b
)
f (x) = a x − (− 2a
∆>0
∆<0
x1,2 =
−b
2a
p
−b± ∆
2a
b
x = − 2a
b
x = − 2a
f (x) = a(x − x1 )(x − x2 )
∆=0
∆>0
S(−0.5; 1)
0
x1
S(1; 0)
x2
0
S(−1; −2)
f : x 7→ x 2 + x + 1
f : x 7→ 0.5x 2 − x + 0.5
f : x 7→
= 0.5(x − 1)2
1 2
1
2x + 2x −3
= 12 (x − 2)(x + 3)
Justification
¶
µ
c
b
f (x) = ax 2 + bx + c = a x 2 + x +
a
a
µµ
¶2 µ ¶2
¶
b
b
c
=a x+
−
+
2a
2a
a
¶
¶2
µµ
2
b − 4ac
b
−
=a x+
2a
4a 2
complétion du carré
en arrangeant le deuxième terme
=a
õ
b
x+
2a
¶2
−
Ãp
b 2 − 4ac
2a
!2 !
Cette dernière égalité n’a de sens que si ∆ = b 2 − 4ac > 0. Dans ce cas, on peut encore écrire, en utilisant la 3e identité remarquable
Ã
!Ã
!
p
p
b 2 − 4ac
b 2 − 4ac
b
b
2
f (x) = ax + bx + c = a x +
+
−
x+
2a
2a
2a
2a
p
p
¶µ
¶
µ
−b + b 2 − 4ac
−b − b 2 − 4ac
x−
=a x−
2a
2a
|
{z
}
|
{z
}
x1
x1 )( x
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x2 )
−
BY:
$
\
−
C
= a ·( x
x2
x1 , x2 zéros de f
, 2010-2021
CHAPITRE 7. LES FONCTIONS
133
10 3 c La forme canonique
Même si ∆ est négatif, il est possible d’écrire encore autrement l’expression algébrique de la fonction
f (x) = ax 2 + bx + c = a
µµ
x+
b
2a
¶2
−
b 2 − 4ac
4a 2
¶
¶
µ
−b 2 −(b 2 − 4ac)
+
=a x−
2a
4a
|{z}
|
{z
}
v
h
= a ·( x − h )
On reconnaît l’abscisse du sommet dans
−b
2a
et son ordonnée est f
³
−b
2a
´
2
=a·
⇒ Coordonnées du sommet :
v
+
³
−b
2a
− −b
2a
´2
+ v = v.
S = (h, v)
Exemple
La fonction représentée ci-contre est
7
f : x 7→ 2x 2 − x − 1
3
∆>0
• ∆=
forme générale
121
49
− 4 · 2 · (−1) =
9
9
7
7
b
= 3 =
≈ 0, 6
• −
2a 4 12
¡7
¢
7
• S 12 ; f (7/12) = ( 12
; − 121
72 ) ≈ (0, 6; −1, 7)
• les zéros sont x1,2 =
S
¡
x2
121
7
12 ; − 72
D’où
¢
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BY:
± 11
3
4
=−
1
ou
3
¶µ
¶
µ
3
1
x−
f : x 7→ 2 · x +
3
2
¶
µ
7 2 121
−
f : x 7→ 2 · x −
12
72
$
\
1
C
x1 0
7
3
, 2010-2021
3
2
= 1, 5
forme factorisée
forme canonique