CIRCUIT RLC (OSCILLATIONS LIBRES) • Solution de l'équation LE CIRCUIT LC Oscillations électriques libres Un circuit LC est un circuit constitué d’une bobine parfaite d'inductance L et d'un condensateur de capacité C. Dans le circuit LC schématisé ci-dessous, le condensateur est initialement chargé sous une tension U. oscilloscope U i uC C L uL uC(V) 0 t(s) T0 i SYNTHESE Cette équation différentielle du deuxième ordre en uC admet une solution de la forme : 2 uC(t) = Um cos T t + φ0 0 – Um, exprimée en volt (V), est l'amplitude des oscillations. Si le condensateur est chargé sous la tension U, on a : Um = U. – T0, exprimée en seconde (s), est la période propre du circuit LC : T0 = 2 LC. – φ0, exprimée en radian (rad), est la phase à l'origine. Si le condensateur commence à se décharger à l'instant t = 0, on prend : φ0 = 0 Um et φ0 sont déterminées à partir des conditions initiales uC(0) et i(0). • Expression des autres grandeurs électriques –U A l’instant t = 0, uC = U par continuité de la tension aux bornes d’un consensateur. Un circuit LC, dans lequel le condensateur est initialement chargé, est le siège d’oscillations électriques libres périodiques. Connaissant l'expression de la tension uC(t) aux bornes du condensateur, on en déduit facilement les expressions des autres grandeurs électriques du circuit LC : La période des oscillations électriques, notée T0 et exprimée en seconde (s), est appelée période propre du circuit LC. Elle ne dépend que des paramètres du circuit : T0 = 2 LC, avec L en henry (H) et C en farad (F). – la charge q(t) du condensateur : q(t) = CuC(t) ; – l'intensité i(t) du courant dans le circuit : dq du i(t) = =C C dt dt – la tension uL(t) aux bornes de la bobine : di d2uC uL(t) = L = LC dt dt2 Toutes les grandeurs électriques du circuit (uC, q, i et uL) sont sinusoïdales de période T0. La fréquence propre f0 du circuit LC, exprimée en hertz (Hz), est l'inverse de la période propre. Interprétation énergétique L'adjectif « libre » signifie que les oscillations électriques ont lieu sans générateur dans le circuit. Expression de la tension uC. • Équation différentielle Le condensateur et la bobine idéale sont étudiés en convention récepteur. La loi des mailles appliquée au circuit s’écrit : di uL + uC = 0 soit L + uC = 0 dt Or, d'après les relations charge-intensité et chargetension pour le condensateur : dq du di d2u i= = C C, soit = C 2C dt dt dt dt La tension uC aux bornes du condensateur vérifie donc l'équation différentielle du deuxième ordre : .. d2uC 1 1 uC = 0 ou uC + u = 0. 2 + dt LC LC C . .. En physique, on note souvent x et x les dérivées première et seconde de la grandeur x par rapport au temps t. CLASSEUR Terminale S L'énergie totale E stockée dans un circuit LC est égale, à chaque instant, à la somme des énergies électrique et magnétique stockées respectivement dans le condensateur et dans la bobine : 1 1 E = Econd + Ebob = CuC² + Li2 2 2 énergie(J) E Ebob Econd T0 2 0 t(s) Lors des oscillations électriques libres d'un circuit LC, la conservation de l'énergie totale E stockée dans le circuit est assurée, à chaque instant, par un transfert d'énergie entre le condensateur et la bobine. • Lorsque l'énergie électrique Econd stockée dans le condensateur est maximale, l'énergie magnétique Ebob stockée dans la bobine est nulle, et vice-versa. • Les énergies Econd et Ebob sont périodiques de période T0/2 Agence de CHARLEVILLE MEZIERES CIRCUIT RLC (OSCILLATIONS LIBRES) À l'instant t = 0, uC = U par continuité de la tension aux bornes d'un condensateur. METHODE DETERMINER LA PERIODE PROPRE T0 A PARTIR D'UN OSCILLOGRAMME Un circuit RLC série, dans lequel le condensateur est initialement chargé, est le siège d'oscillations électriques libres amorties. L'oscillogramme ci-dessous représente les variations de la tension uC aux bornes du condensateur au cours du temps. La base de temps de l'oscilloscope est : 2,0 ms.div–1. L'amortissement est dû à la présence du conducteur ohmique de résistance R ; les oscillations sont d'autant plus amorties que la valeur de R est importante. Par définition, la période propre T 0 des oscillations électriques est la durée séparant deux répétitions successives du motif élémentaire de la tension uC. • Régimes d'oscillations – Pour les faibles valeurs de R, l'amplitude des oscillations de la tension uC aux bornes du condensateur décroît lentement : le régime est pseudo-périodique. – Pour les fortes valeurs de R, la tension uC aux bornes du condensateur s'annule avant même d'avoir effectué une oscillation : le régime est apériodique. T0 • On compte sur l'oscillogramtne le nombre de carreaux correspondant à la période T 0 des oscillations. On mesure T0 entre deux points où la lisibilité est la meilleure : par exemple, entre deux maximums successifs de la tension uC. Exemple : La période T0 occupe 5,0 carreaux sur l'oscillogramme. La valeur R = RC correspondant au passage du régime pseudo-périodique au régime apériodique est appelée résistance critique : le régime critique est un régime apériodique particulier. • Pseudo-période T En régime pseudo-périodique, les oscillations se reproduisent avec une amplitude décroissante à intervalles de temps égaux : la durée d'une oscillation est alors appelée la pseudo-période T. • On multiplie le nombre de carreaux par la valeur de la base de temps de l'oscilloscope : T0 = nombre de carreaux × base de temps. Exemple : T0 = 5,0 × 2,0 = l0 ms. La pseudo-période T des oscillations faiblement amorties du circuit RLC, supérieure à la période propre T0= 2 LC du circuit LC idéal, augmente avec les valeurs de C et de L. Pour un amortissement très faible, on peut néanmoins assimiler T à T0. LE CIRCUIT RLC SERIE Le cas idéal d'un circuit LC a été étudié précédement. Cependant, un circuit réel possède toujours une résistance électrique. Un amortissement très faible équivaut à une très faite valeur de R. Oscillations électriques libres amorties Résolution analytique • Amortissement des oscillations Le conducteur ohmique, le condensateur et la bobine idéale sont étudiés en convention récepteur. La loi des mailles appliquée au circuit s'écrit : di uL + uR + uC = 0, soit : L + Ri + uC = 0. dt Un circuit RLC série est un circuit constitué d'un conducteur ohmique de résistance R, d'une bobine parfaite d'inductance L et d'un condensateur de capacité C. Or, d'après les relations charge-intensité et chargetension pour le condensateur : dq du di d2u i= = C C, soit = C 2C. dt dt dt dt On inclut dans la résistance R du conducteur ohmique la résistance interne r de la bobine réelle. Dans le circuit RLC schématisé ci-dessous, le condensateur est initialement chargé sous une tension U et la valeur de R est peu élevée. oscilloscope U i L uC La tension uC aux bornes du condensateur vérifie donc l'équation différentielle du deuxième ordre : .. R . d2uC R duC 1 1 + + u = 0 ou uC + uC+ u =0 dt2 L dt LC C L LC C uC(V) uL C 0 T uR –U SYNTHESE t(s) Par rapport à l'équation différentielle établie pour le . circuit LC.il apparaît un terme en uC, proportionnel à R, responsable de l’ amortissement. i CLASSEUR Terminale S Agence de CHARLEVILLE MEZIERES CIRCUIT RLC (OSCILLATIONS LIBRES) Interprétation énergétique régime U amortis période -sement uC(V) 0 t(s) très très faible faible T = T0 faible faible T > T0 pseudo- -U T périou (V) U dique C 0 t(s -U U apériodique 0 R(Ω) uC(t) • Pertes par effet Joule L'énergie totale E stockée dans un circuit RLC est égale, à chaque instant, à la somme des énergies électrique et magnétique stockées respectivement dans le condensateur et dans la bobine : 1 1 E = Econd + Ebob = CuC² + Li² 2 2 énergie (J) E Ebob Econd SYNTHESE 0 T uC(V) t(s) grande très fort aucune t(s) L'énergie totale E stockée dans le circuit ne se conserve pas. A chaque oscillation électrique, une fraction de cette énergie est dissipée par effet Joule dans le conducteur ohmique de résistance R. Plus la valeur de la résistance R est grande, plus l'énergie stockée dans le circuit RLC est dissipée rapidement par effet Joule et plus les oscillations libres s'amortissent rapidement. • Entretien des oscillations Pour éviter l'amortissement, il faut apporter au circuit de l'énergie. Dans ce but, on monte dans le circuit un dipôle D qui lui fournit pendant une durée Δt une énergie égale à l'énergie dissipée par effet Joule pendant la même durée. Le circuit RLC est alors le siège d'oscillations entretenues non amorties de période égale à la période propre T0 du circuit LC idéal. On obtient ainsi une tension sinusoïdale de période bien définie : T0 = 2 LC METHODE RECONNAITRE LES OSCILLOGRAMMES CORRESPONDANT AUX DIFFERENTS REGIMES DES OSCILLATIONS ELECTRIQUES LIBRES régime U périodique uC(V) t(s) 0 U amortispériode sement R(Ω) uC(t) R=0 aucun • Pour donner une solution particulière de l'équation différentielle, il faut : – en écrire l’expression générale : 2 q(t) = qm cos T t + φ0 0 – exprimer T0 en fonction des paramètres L et C du circuit : T0 = 2 LC – déterminer les valeurs des constantes φ0 et qm à partir des conditions initiales, puis remplacer toutes les constantes par leurs valeurs numériques. Il est fréquent que les exercices proposés correspondent à φ0 = 0. Si cela n’est pas précisé, il faut le démontrer. • Il est indispensable de bien repérer la signification des notations utilisées en physique : . dq q = i = (dérivée première de q par rapport au dt temps) .. di d2q q = = 2 (dérivée seconde de q par rapport au dt dt temps) • Dans le cas d'une décharge oscillante dans un circuit RLC, u et i changent de signe au cours des oscillations. Dans le cas d'un circuit L,C idéal, i est maximale quand u est nulle et inversement. T0 CLASSEUR Terminale T0 = 2 LC A RETENIR • Pour établir l'équation différentielle relative à la quantité d'électricité, il faut : – Faire un schéma en respectant les conventions d'orientation (la convention récepteur pour le condensateur et la bobine implique que pour chaque dipôle, la flèche de tension soit en sens contraire de la flèche indiquant le sens de i) ; – exprimer uC et uL en fonction, respectivement, de q .. et de sa dérivée seconde par rapport au temps q ; – appliquer la loi d'additivité des tensions. 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