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Gravimetrie et magnetisme

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Gravimétrie
Magnétisme
Références
Annexes
M ODÉLISATION ET INVERSION
EN GÉOPHYSIQUE
2 - Gravimétrie et magnétisme
Bernard Giroux
([email protected])
Institut national de la recherche scientifique
Centre Eau Terre Environnement
Version 1.0.10
Hiver 2016
Gravimétrie
Théorie
Prisme rectangulaire droit
Prisme polygonal droit
Polyèdre
Magnétisme
Références
Annexes
Gravimétrie
Théorie
Gravimétrie
Théorie
Prisme rectangulaire droit
Prisme polygonal droit
Polyèdre
Magnétisme
Références
Annexes
Le potentiel gravitationnel obéit au principe de
superposition : le potentiel gravitationnel d’un nombre fini
de masses est la somme de l’attraction de chacune de ces
masses.
Si les masses sont infinitésimales (dm), le potentiel U
observé en P est ainsi
U (P) = G
ou bien
U (P) = G
Z
V
dm
r
(1)
ρ (Q)
dv,
r
(2)
Z
V
où G est la constante gravitationnelle, V est le volume
occupé par la masse totale, ρ est la densité, Q est le point
d’intégration, et r est la distance entre P et Q.
Théorie
Gravimétrie
Théorie
Prisme rectangulaire droit
Prisme polygonal droit
Polyèdre
Magnétisme
L’attraction g causée par un volume de densité ρ est le
gradient du potentiel :
Références
g = ∇U
Annexes
= −G
Z
V
ρ
r̂
dv.
r2
(3)
Dans la pratique, seule la composante verticale de g est
mesurée, ce qui donne (en coordonnées cartésiennes)
g(x, y, z) =
∂U
∂z
= −G
où r =
p
Z Z Z
z0
y0
x0
ρ (x0 , y0 , z0 )
z − z0 0 0 0
dx dy dz ,
r3
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 .
(4)
Théorie
Gravimétrie
Théorie
Prisme rectangulaire droit
Prisme polygonal droit
Polyèdre
Magnétisme
Références
Annexes
Typiquement, la modélisation en gravimétrie consiste à
calculer g(x, y, z) avec l’équation (4) pour toutes les cellules
du modèle géologique.
Mais dans les faits, on mesure la variation de g par rapport
à un point de référence donné, pour estimer le contraste de
densité (∆ρ) par rapport à un encaissant ;
On peut donc ne calculer que la réponse des corps qui ont une
densité différente de celle de l’encaissant.
La solution de l’intégrale triple dépend de la discrétisation
du corps.
Des solutions particulières ont été proposées pour des
prismes rectangulaires droits ;
prismes polygonaux droits ;
polyèdres.
Théorie - Prisme rectangulaire droit
Gravimétrie
x
Théorie
Prisme rectangulaire droit
Prisme polygonal droit
Polyèdre
O
(x,y,z)
y
Magnétisme
Références
Annexes
z
( x1 , y1 , z1 )
( x2 , y2 , z2 )
Pour un prisme rectangulaire droit défini par les limites
x10 ≤ x ≤ x20 , y10 ≤ y ≤ y20 et z10 ≤ z ≤ z20 , la composante
verticale g au point d’observation O vaut
g = −Gρ
Z x0 Z y0 Z z0
0
2
2 z−z
2
x10
y10
z10
r3
dx0 dy0 dz0 .
(5)
Théorie - Prisme rectangulaire droit
Gravimétrie
Théorie
Prisme rectangulaire droit
Prisme polygonal droit
Polyèdre
Magnétisme
Références
Annexes
Plusieurs solutions ont été proposées pour le cas du prisme
rectangulaire droit.
Il est important de noter que certaines solutions ne sont pas
valides si le point d’observation est sur un des coins, une des
faces, ou à l’intérieur du prisme.
Une solution valide en tout point est (Li et Chouteau, 1998)
2
g = −Gρ ∑
2
2
∑ ∑ µijk
i=1 j=1 k =1
"
× xi ln yj + rijk + yj ln xi + rijk
#
zk rijk
,
+ zk arctan
xi yj
où xi = x − xi0 , yj = y − yj0 , zk = z − zk0 ,
q
rijk = x2i + y2j + z2k et
µijk = (−1)i (−1)j (−1)k .
(6)
Théorie - Prisme rectangulaire droit
Gravimétrie
Théorie
Prisme rectangulaire droit
Prisme polygonal droit
Polyèdre
Magnétisme
Références
Annexes
Note relative à l’implémentation de l’équation (6) sous
MATLAB :
la fonction atan2 doit être utilisée au détriment de atan.
Pourquoi ?
Exercice - Prisme rectangulaire droit
Gravimétrie
Théorie
Prisme rectangulaire droit
Prisme polygonal droit
Polyèdre
Magnétisme
Références
Annexes
Créez une fonction MATLAB prd.m pour calculer la
réponse d’un prisme rectengulaire droit ;
Votre fonction doit prendre les variables suivantes en
entrée :
rho : densité [ g/cm3 ]
x0 : coordonnées [x y z] du point d’observation [ m ]
x : coord inférieure et supérieure du prisme selon x [ m ]
y : coord inférieure et supérieure du prisme selon y [ m ]
z : coord inférieure et supérieure du prisme selon z [ m ]
et doit retourner la réponse en mgal.
Testez votre routine avec les valeurs rho=0.2,
x=[10 15], y=[20 25] et z=[5 15] pour
x0=[0 0 0]
x0=[12.5 22.5 10]
Théorie - Prisme polygonal droit
Gravimétrie
Théorie
Prisme rectangulaire droit
Prisme polygonal droit
Polyèdre
Magnétisme
Références
Annexes
Une autre approche longtemps populaire a été celle du
prisme polygonal droit.
Un empilement de prismes minces permet d’approximer la
géométrie des corps étudiés.
Cette approche a souvent été utilisée pour calculer les
corrections de terrain car elle permet de bien épouser la
topographie.
x
y
dz
z
Théorie - Prisme polygonal droit
Gravimétrie
x
Théorie
Prisme rectangulaire droit
Prisme polygonal droit
O
Polyèdre
y
Magnétisme
Références
Annexes
z
z1
z2
Rk1
x
r1
A
O
Δy
(x1, y1)
β1
d1 Δs
P
r2
d2
β2
Δx
(x2, y2)
y
L’approche consiste à calculer la contribution de chacun
des côtés verticaux du prisme.
Convention retenue pour la géométrie décrite dans cette
page :
Pour le ie côté, l’indice k de Rkj correspond au sommet alors
que j indique la face horizontale la plus proche de O (j = 1)
ou la plus éloignée (j = 2) ;
k = 1 correspond au 1e sommet (en sens horaire) et k = 2
correspond au second.
Théorie - Prisme polygonal droit
Gravimétrie
Théorie
Prisme rectangulaire droit
Prisme polygonal droit
Polyèdre
Magnétisme
Références
Annexes
L’équation pour un prisme à n côtés est (Plouff, 1976)
n g = −Gρsm ∑ sp A(z2 − z1 )
z2 d1
z2 d2
+ z2 arctan
− arctan
PR12
PR22
z1 d1
z1 d2
− arctan
− z1 arctan
PR11
PR21
R22 + d2 R11 + d1
−P ln
,
R12 + d1 R21 + d2
(7)
où
P=
∆s =
x1 y2 − x2 y1
q ∆s
(8)
∆x2 + ∆y2 = |d1 − d2 |
(9)
x1 x2 + y1 y2
.
r1 r2
(10)
A = arccos
Théorie - Prisme polygonal droit
Gravimétrie
Théorie
Prisme rectangulaire droit
Prisme polygonal droit
Polyèdre
Magnétisme
Références
Annexes
Dans l’équation (7), la variable sm = 1 si le centre de masse
du prisme est sous le point O, et -1 dans le cas contraire.
Également, sp = 1 si P > 0 et sp = −1 si P < 0.
Dans le cas P = 0, la contribution du côté est nulle.
Note : la somme des termes sp A(z2 − z1 )
vaut 2π si O est à l’intérieur du polygone ;
est zéro si O est à l’extérieur du polygone ;
vaut π si O est sur un côté ;
est égal à l’angle interne si O est à l’intersection de deux
côtés.
Comment en profiter pour accélérer les calculs ?
Théorie - Polyèdre
Gravimétrie
Théorie
Prisme rectangulaire droit
Prisme polygonal droit
Polyèdre
Magnétisme
Références
Annexes
Le polyèdre constitue la forme géométrique la plus
versatile pour représenter des corps de géométrie
arbitraire.
Théorie - Polyèdre
Gravimétrie
Théorie
Prisme rectangulaire droit
Prisme polygonal droit
Polyèdre
Magnétisme
Références
Annexes
Singh et Guptasarma (2001) : En vertu du théorème de
flux-divergence, l’intégrale sur le volume de l’équation (3)
peut être remplacée par une intégrale de surface.
Il est alors possible d’évaluer la composante de la gravité g
dans la direction du vecteur unitaire â par
ZZ 1
g · â = −Gρ
â · n̂ ds,
(11)
r
S
où r est la distance entre O et l’aire ds à la surface du corps,
et n̂ est le vecteur unitaire normal à ds.
x
O
n: vecteur normal unitaire
y
(orienté vers l’extérieur)
r
z
s1(x1,y1,z1)
ds
(x,y,z)
s2(x2,y2,z2)
s3(x3,y3,z3)
Théorie - Polyèdre
Gravimétrie
Théorie
Prisme rectangulaire droit
Prisme polygonal droit
Polyèdre
Magnétisme
Références
Annexes
L’élément ds produit une attraction orientée selon r mais
de sens contraire, ce qui permet de remplacer â par −(r/r).
Une expression pratique est obtenue en définissant une
densité de masse surfacique (σ0 ) par
σ0 = ρr · n̂.
(12)
L’attraction d’un corps est la même que l’attraction produite
par un distribution fictive de σ0 sur la surface du corps.
Nous avons maintenant
g = Gρ
=G
ZZ
(1/r)(r/r) · n̂ ds
σ0 /r2 ds.
ZZ (13)
Théorie - Polyèdre
Gravimétrie
Théorie
Prisme rectangulaire droit
Prisme polygonal droit
Polyèdre
Magnétisme
Références
Annexes
La composante gz est obtenue en multipliant l’intégrande
par le rapport (z/r).
Dans le cas où le corps est délimité par un polyèdre, i.e. un
ensemble de nf faces planes, nous avons
nf
gz = G ∑ ρdi
ZZ z
i=1
i
r3
ds,
(14)
où di = r · n̂i .
Le vecteur n̂i peut être obtenu à partir du produit vectoriel
des arêtes de la face i :
Soient ns sommets si,k appartenant à la face i, où l’indice k
défini l’ordre antihoraire lorsque l’objet est vu de l’extérieur ;
le vecteur ni vaut
ns −1
ni =
∑
si,l − si,1 × si,l+1 − si,1 ,
(15)
l=2
et, par définition,
n̂i =
ni
.
| ni |
(16)
Théorie - Polyèdre
Gravimétrie
Théorie
Prisme rectangulaire droit
Prisme polygonal droit
Polyèdre
Magnétisme
Références
Annexes
Pour arriver à une expression utilisable numériquement,
l’intégrale de surface est convertie en intégrale de contour.
On peut montrer que
ZZ z
i
r3
ds = − (nΩ + mPi − `Qi ) ,
(17)
où (`, m, n) sont les composantes de n̂i , Ω est l’angle solide
de la face i au point O, et où Pi et Qi sont les sommes
na
Pi =
∑ Pij
j=1
na
et
Qi =
∑ Qij ,
j=1
avec na le nombre d’arêtes sur la face i.
(18)
Théorie - Polyèdre
Gravimétrie
Théorie
Prisme rectangulaire droit
Les composantes Pij et Qij sont égales à
Prisme polygonal droit
Polyèdre
Pij = ILx
Magnétisme
Références
Annexes
et
Qij = ILy
(19)
avec Lx = x2 − x1 et Ly = y2 − y1 où (x1 , y1 , z1 ) et (x2 , y2 , z2 )
sont les coordonnées du début et de la fin du segment, et
où

q
b
2
2
1  L + b + r1 + L + 2L 
si (r1 + b/2L) 6= 0 (20)
I = ln
b
L
r1 + 2L
et
1
|L − r1 |
I = ln
si (r1 + b/2L) = 0,
L
r1
(21)
avec
L=
q
L2x + L2y + L2z , b = 2(x1 Lx + y1 Ly + z1 Lz )
(22)
Théorie - Polyèdre
Gravimétrie
Théorie
Prisme rectangulaire droit
Prisme polygonal droit
Polyèdre
Magnétisme
Références
Annexes
Calcul des quantités Lx , Ly et Lz
Qu’est-il susceptible de se produire si l’arête est de très faible
dimension par rapport à sa distance à l’origine ?
Système matriciel
Gravimétrie
Théorie
Prisme rectangulaire droit
Prisme polygonal droit
Polyèdre
Magnétisme
Références
Annexes
Lorsque le problème direct est linéaire, comme en
gravimétrie, ou qu’il a été linéarisé, il est fréquent en
inversion de le représenter par un produit matriciel,
souvent noté
Gm = d,
(23)
où
m est un vecteur M × 1 contienant les paramètres du modèle
(la densité des corps en gravimétrie) ;
d est le vecteur N × 1 des données ;
G est l’opérateur direct (data kernel), de taille N × M ;
G(n, m) ≡ gnm , la contribution du me corps à la ne donnée.
Pour une grille régulière, constituée de prismes
rectangulaires droits, on aurait
"
#
zk rijk
,
µ
x
ln
y
+
r
+
y
ln
x
+
r
+
z
arctan
j
ijk
j
i
ijk
k
∑ ∑ ijk i
xi yj
i=1 j=1 k =1
2
gnm = −G ∑
2
2
où xi = x(n) − xi0 (m), yj = y(n) − yj0 (m), et
zk = z(n) − zk0 (m).
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
Magnétisme
Équations de Maxwell
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Le problème direct en magnétisme est solutionné en
partant des équations de Maxwell :
Références
∇×E = −
Annexes
∂B
∂t
∇·D = ρ
∇×H = J+
(24)
(25)
∂D
∂t
∇·B = 0
où
B est le champ d’induction ;
H est le champ magnétique ;
D est le champ de déplacement ;
E est le champ électrique ;
ρ est la densité de charge ;
J est la densité de courant électrique.
(26)
(27)
Équations constitutives
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
Les grandeurs électrique D et E ainsi que les grandeurs
magnétiques B et H sont liées par les équations
constitutives :
D = e0 E + P
(28)
B = µ0 (H + M)
(29)
J = σE
(30)
où
e0 est la permittivité diélectrique du vide ;
µo est la perméabilité du vide ;
σ est la conductivité électrique ;
P est la polarisation ;
M est l’aimantation.
Équations constitutives
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
Dans les matériaux linéaires isotropes sans pertes, P et M
sont des fonctions linéaires de E et H respectivement, i.e.
D = eE = e0 er E
(31)
B = µH = µ0 µr H
(32)
avec er la permittivité relative et µr la perméabilité relative.
Si le milieu est anisotrope (et linéaire sans pertes), er et µr
deviennent les tenseurs er et µr :


exx exy exz
er = exx exy exz 
(33)
exx exy exz


µxx µxy µxz
(34)
µr = µxx µxy µxz 
µxx µxy µxz
Unités SI
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
En unités SI,
B est exprimé en tesla (T) ou weber/m2 ;
H est exprimé en A/m ;
µo vaut 4π × 10−7 (henry/m).
χ est la susceptibilité (sans dimension).
Dans le vide (ou dans l’air)
B = µo H.
(35)
Si la matière est polarisable, nous avons
B = µo (H + M)
(36)
= µo (H + χH)
= µo (1 + χ )H
= µH,
µ = µo (1 + χ )
(37)
χ est la susceptibilité (sans dimension).
(38)
(39)
(40)
Unités SI
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
Si la matière possède une aimantation rémanente, elle
s’ajoute à l’aimantation induite.
L’aimantation totale M vaut
M = Mi + Mr
(41)
= χH + Mr
(42)
où l’aimantation induite est Mi et l’aimantation rémanente
est Mr .
Le tableau du lien suivant présente les unités en
magnétisme : http:
//www.ieeemagnetics.org/index.php?option=
com_content&view=article&id=118&Itemid=107
Théorie - Modèle linéaire
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
Une approche simple et rapide consiste à considérer qu’un
corps aimanté peut être représenté par une somme de
moments dipolaires mi . i.e.
M=
1
V
∑ mi .
(43)
i
P
Cette approche suppose que les moments
magnétiques sont faibles et n’interagissent
pas entre eux.
Le potentiel magnétique d’un moment
dipolaire est
V=
µ0 m · r̂
.
4π r2
m
(44)
r
r
Q
Théorie - Modèle linéaire
Gravimétrie
P(r)
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
O
Volumes finis
r
x
Références
Annexes
Q(r0)
r0
y
|r-r0|
z
Le champ magnétique d’un corps aimanté de volume V,
observé au point P est
B = −∇V = −
µ0
∇
4π
Z
V
M·∇
1
dv,
|r − r0 |
(45)
où µ0 est la perméabilité magnétique du vide, M est
l’aimantation du corps, et r0 est la position de l’élément de
volume dv.
Théorie - Modèle linéaire
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
L’aimantation du corps peut être considérée selon
différents modèles
Références
+ +
M
Annexes
Qv
-
Volume d’aimantation
Iv
Is
Courants surfaciques et
volumiques
+
+
+
Qs
- - - -
Charges surfaciques et
volumiques
ρ
Relation de Poisson
Théorie - Volume d’aimantation
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
Le modèle du volume d’aimantation s’avère pratique si on
peut décomposer le corps en éléments de volume de
faibles dimensions (comparativement à la distance au pt
d’observation).
Un ie élément de volume Vi peut être vu comme un dipôle
de moment magnétique
mi = Vi χm H,
(46)
où χm est sa susceptibillité magnétique et H est le champ
magnétique terrestre.
Comme on a vu, l’aimantation du corps vaut
M=
1
V
∑ mi .
i
Théorie - Volume d’aimantation
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
Le champ magnétique d’un dipôle mi à une distance ri du
point d’observation est
"
#
µ0 3 (mi · ri ) ri
mi
(47)
Bi =
− 3 .
4π
r5i
ri
Le champ mesuré à ce point d’observation est
N
B=
∑ Bi + µ0 H,
i=1
où N est le nombre de dipôles.
(48)
Exemple - Volume d’aimantation
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
Guo et al. (2015) ont utilisé l’approche du volume
d’aimantation pour modéliser la réponse de conduits
ferreux.
Le conduit est discrétisé de sections cylindriques divisées
en éléments :
Exemple - Volume d’aimantation
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
La démagnétisation est prise en compte en ajustant la
susceptibilité en fonction d’un facteur de démagnétisation
(voir en annexe ) choisi de façon ad hoc.
La réponse d’un conduit réel a pu être reproduite :
Théorie - Charges surfaciques & volumiques
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
En utilisant l’identité ∇ · (φA) = ∇φ · A + φ∇ · A et le
théorème de divergence, on a pour le potentiel magnétique
Annexes
µ0
1
M·∇
dv
4π V
|r − r0 |
Z
Z
M · n̂
µ
µ
= 0
ds − 0
4π S |r − r0 |
4π V
Z
Z
µ
µ0
Qs
ds − 0
=
4π S |r − r0 |
4π V
V=
Z
∇·M
dv
|r − r0 |
Qv
dv.
r
−
r0 |
|
(49)
Si l’aimantation est uniforme, la 2e intégrale est nulle.
Les équations de Singh et Guptasarma (2001) peuvent être
utilisées.
Théorie - Charges surfaciques & volumiques
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
Pour un polyèdre d’aimantation M ayant nf faces, les
composantes du champ magnétique sont
nf
Bx = − ∑ σi
ZZ x
By = − ∑ σi
ZZ y
Bz = − ∑ σi
ZZ z
i=1
nf
i=1
nf
i=1
où σi ≡ Qsi = M · n̂i .
i
i
i
r3
r3
r3
ds,
(50)
ds,
(51)
ds,
(52)
Théorie - Charges surfaciques & volumiques
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
En transformant l’intégrale de surface en intégrale de
contour, nous avons
Bx = σi (`Ω + nQi − mRi ) ,
(53)
By = σi (mΩ + `Ri − nPi ) ,
(54)
Bz = σi (nΩ + mPi − `Qi )
(55)
avec Ri = ∑nj=a 1 Rij , où pour chacune des na arête Rij = ILz .
kron - une commande MATLAB utile
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
À l’invite de commande MATLAB, entrez doc kron
Essayez kron([1 2;3 4],ones(2,1))
Essayez kron([1 2;3 4],ones(1,2))
Exercice :
Soient des points définis aux coordonnées
x = 0:0.2:0.6;
y = (0.1:0.1:0.4)’;
z = -0.3:0.3:0.3;
Construisez une matrice npts×3 contenant les coordonnées
x, y, z de chacun des points, un point par ligne
Faites varier d’abord la coordonnées z, ensuite la
coordonnées y et finalement la coordonnée x, i.e.


x1 y1 z1
x1 y1 z2 


x1 y2 z1 


x1 y2 z2 


x2 y1 z1 


..
..
..
.
.
.
Théorie - Volumes finis
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
Le modèle du corps aimanté vu précédemment suppose
que le champ induit est faible par rapport au champ
primaire.
Cette approximation n’est pas valide lorsque la
susceptibilité est élevée, en particulier en présence de
démagnétisation.
Une solution basée sur les équations de Maxwell permet de
tenir compte adéquatement des champs induits.
La méthode des volumes finis (VF) permet de résoudre les
équations de Maxwell pour le problème magnétostatique :
En l’absence de charges libres et de source de courant
électrique et lorsqu’il n’y a pas de variation temporelle des
champs, nous avons
∇×H = 0
∇ · B = 0.
La relation B = µH est toujours valide.
(56)
(57)
Théorie - Volumes finis
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
Avec la méthode des VF, le domaine est discrétisé en voxels
à l’intérieur desquels la perméabilité µ est constante, mais
où µ varie d’un voxel à l’autre.
À l’interface entre deux voxels, la composante tangentielle du
champ H est continue :
µ1−1 B1 × n̂ = µ2−1 B2 × n̂
(58)
La composante normale de l’induction B est également continue :
H1 × n̂ = H2 × n̂
ce qui implique
B1 · n̂ = B2 · n̂ ce qui implique
μ1
H1
µ1 H1 · n̂ = µ2 H2 · n̂ (59)
B1
n
μ2
H2
B2
Théorie - Volumes finis
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
L’équation (56) permet d’exprimer le champ magnétique
en fonction d’un potentiel scalaire φ, par
H = ∇φ.
(60)
L’équation (60), exprimée en terme de B et µ,
B = µ∇φ
(61)
ainsi que les équations (57) et (59) seront discrétisées pour
construire le système numérique à résoudre.
L’approche présentée dans la suite est tirée de Lelièvre
(2003).
Théorie - Volumes finis
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
Le système discret repose sur une grille décalée :
les composantes du champ sont situées aux centres des faces
du voxels ;
le potentiel scalaire est localisé au centre du voxel.
Ce schéma permet de respecter les conditions de
continuités aux interfaces et de calculer la dérivée de φ
avec un opérateur de différence finie centrée.
Théorie - Volumes finis
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
x1
hx1
φ1
x2
x
B1
Δx1
hx2
φ2
hx3
x3
φ3
x
B2
hxnx-1
x4
x
B3
xnx-1
xnx
hxnx
xnx+1
φnx-1
φnx
x
x
Bnx-2 Bnx-1
Δx2
Δxnx-1
Le domaine est divisé en nc = nx × ny × nz voxels.
Les coordonnées de noeuds sont
xi : x1 , x2 , x3 , . . . , xnx+1
(62)
yj : y1 , y2 , y3 , . . . , yny+1
(63)
zk : z1 , z2 , z3 , . . . , xnz+1
(64)
Théorie - Volumes finis
Gravimétrie
Magnétisme
La longueur des côtés des voxels est
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
hxi : hx1 , hx2 , . . . , hxnx
;
hxi = xi+1 − xi
(65)
hyj : hy1 , hy2 , . . . , hyny
;
hyj = yj+1 − yj
(66)
hzk : hz1 , hz2 , . . . , hznz
;
hzk = zk+1 − zk
(67)
Les coordonnées des centres des voxels sont
xi+1/2 : x1+1/2 , x2+1/2 , . . . , xnx+1/2
(68)
yj+1/2 : y1+1/2 , y2+1/2 , . . . , yny+1/2
(69)
zk+1/2 : z1+1/2 , z2+1/2 , . . . , xnz+1/2
(70)
La distance entre les centres des voxels est
∆xi : ∆x1 , ∆x2 , . . . , ∆xnx−1
;
∆xi = xi+3/2 − xi+1/2 = (hxi + hxi+1 )/2
(71)
∆yj : ∆y1 , ∆y2 , . . . , ∆yny−1
;
∆yj = yj+3/2 − yj+1/2 = (hyj + hyj+1 )/2
(72)
∆zk : ∆z1 , ∆z2 , . . . , ∆znz−1
;
∆zk = zk+3/2 − zk+1/2 = (hzk + hzk+1 )/2
(73)
Théorie - Volumes finis
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
Créez une fonction grilleVF pour construire les variables
de discrétisation.
Les arguments de grilleVF sont les vecteurs x, y et z
contenant les coordonnées des noeuds.
Assignez les coordonnées des noeuds à une variable
structurée g, i.e. g.x=x(:); g.y=y(:); g.z=z(:);
Créez des vecteurs g.hx, g.hy et g.hz contenant les
longueurs des côtés des voxels ;
Créez des vecteurs g.xc, g.yc et g.zc contenant les
coordonnées des centres des voxel ;
Créez des vecteurs g.dx, g.dy et g.dz contenant les
distances entre les centres des voxels ;
Ajoutez les valeurs nx, ny, nz, nc, nfx, nfy, nfz, nf à g
La fonction doit retourner la variable structurée g qui
contient toutes les informations relatives à votre grille.
Testez votre fonction avec
x=[-60:10:-20 -15:5:15 20:10:60];
y=x;
z=[-15:5:15 20:10:60];
Théorie - Volumes finis
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
Créez une fonction grilleVF pour construire les variables
de discrétisation.
Les arguments de grilleVF sont les vecteurs x, y et z
contenant les coordonnées des noeuds.
Assignez les coordonnées des noeuds à une variable
structurée g, i.e. g.x=x(:); g.y=y(:); g.z=z(:);
Créez des vecteurs g.hx, g.hy et g.hz contenant les
longueurs des côtés des voxels ;
Créez des vecteurs g.xc, g.yc et g.zc contenant les
coordonnées des centres des voxel ;
Créez des vecteurs g.dx, g.dy et g.dz contenant les
distances entre les centres des voxels ;
Ajoutez les valeurs nx, ny, nz, nc, nfx, nfy, nfz, nf à g
La fonction doit retourner la variable structurée g qui
contient toutes les informations relatives à votre grille.
Testez votre fonction avec
x=[-60:10:-20 -15:5:15 20:10:60];
y=x;
z=[-15:5:15 20:10:60];
Théorie - Volumes finis
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
1
1
13
2
4
3
4
5
7
16 19
6
7
8
9
10
11
10 10
22
22
12
11
12
23
x
24
y
z
Pour construire le système matriciel qui servira à résoudre
le problème, il est nécessaire de numéroter les voxels.
La convention adoptée fait varier
d’abord le numéro de ligne (x),
ensuite le numéro de colonne (y),
finalement le numéro de couche (z).
Théorie - Volumes finis
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
Créez une fonction indVF prenant en argument les
variables i, j, k et g, où
i est l’indice d’un voxel selon l’axe des x ;
j est l’indice d’un voxel selon l’axe des y ;
k est l’indice d’un voxel selon l’axe des z ;
g est la variable structurée décrivant la grille.
La fonction doit retourner l’indice absolu du voxel.
Dans un 2e temps, modifiez votre fonction pour que i, j et
k puisse contenir chacun plusieurs indices.
Les indices retournés doivent être classés en ordre croissant.
Vérifiez que les indices sont à l’intérieur de la grille.
Théorie - Volumes finis
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
La solution du problème est obtenue en déterminant les
valeurs de φ et B sur tout le domaine.
φ doit être évalué aux nc voxels ;
Bx doit être évalué aux (nx + 1) × ny × nz faces avec un
vecteur normal selon x ;
By doit être évalué aux nx × (ny + 1) × nz faces avec un
vecteur normal selon y ;
Bz doit être évalué aux nx × ny × (nz + 1) faces avec un
vecteur normal selon z.
Conditions aux frontières pratiques : poser que B aux
limites du domaine est égal au champ terrestre ambiant ;
Il faut dans ce cas définir une zone tampon autour du
domaine où χ est égal à zéro, de façon à ce que le champ
induit soit négligeable aux frontières.
Les valeurs de B doivent alors être déterminées seulement
sur les faces intérieures
Le nombre total d’inconnues pour B est ainsi
nf = (nx − 1) × ny × nz + nx × (ny − 1) × nz + nx × ny × (nz − 1).
{z
} |
{z
} |
{z
}
|
nfx
nfy
nfz
(74)
Théorie - Volumes finis
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
Une discrétisation par volumes finis est une discrétisation
de la formulation faible de l’équation aux dérivées
partielles.
Qu’est-ce qu’une formulation faible implique ?
Avec cette discrétisation, l’espace est décomposé en petits
“volumes finis”, qui correspondent aux voxels de la grille.
Sur ces volumes, les équations devant être discrétisées sont
Z
ZV
V
∇ · B dv = 0
B dv =
Z
V
µ∇φ dv
(75)
ou
Z
V
µ−1 B dv =
Z
V
∇φ dv.
(76)
Théorie - Volumes finis
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
L’approximation discrète de l’équation (75) est obtenue par
le théorème de divergence
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
Z
V
∇ · B dv =
Z
S
B · n̂ ds = 0
En posant un flux sortant positif, la forme discrète de
l’intégrale de surface devient, pour le voxel (i, j, k)
Z
B · n̂ ds ≈ Bxi,j+1/2,k+1/2 − Bxi−1,j+1/2,k+1/2 hyj hzk
S
y
y
+ Bi+1/2,j,k+1/2 − Bi+1/2,j−1,k+1/2 hxi hzk
+ Bzi+1/2,j+1/2,k − Bzi+1/2,j+1/2,k−1 hxi hyj = 0
(77)
Théorie - Volumes finis
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
On divisant (77) par le volume du voxel, on obtient nc
équations de la forme
Volumes finis
Références
Annexes
Bxi,j+1/2,k+1/2 − Bxi−1,j+1/2,k+1/2 /hxi
y
y
+ Bi+1/2,j,k+1/2 − Bi+1/2,j−1,k+1/2 /hyj
+ Bzi+1/2,j+1/2,k − Bzi+1/2,j+1/2,k−1 /hzk = 0
Les conditions aux limites complètent la discrétisation.
On pose que partout aux limites du domaine le champ
y
vaut B0 = (Bx0 , B0 , Bz0 ).
x1
B0x
hx1
φ1
x2
B1x
hx2
φ2
x3
B2x
hx3
φ3
hxnx-1
xnx
hxnx
x4
xnx-1
xnx+1
B3x
φnx-1
φnx
Bxnx-2 Bxnx-1
B0x
(78)
Théorie - Volumes finis
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
Pour un voxel sur une face où i = 1, nous avons une
équation de la forme
Bx1,j+1/2,k+1/2 /hx1
y
y
+ Bi+1/2,j+1,k+1/2 − Bi+1/2,j,k+1/2 /hyj
+ Bzi+1/2,j+1/2,k+1 − Bzi+1/2,j+1/2,k /hzk = Bx0 /hx1 .
(79)
Pour un voxel sur une face où i = nx, nous avons
− Bxnx,j+1/2,k+1/2 /hxnx
y
y
+ Bi+1/2,j+1,k+1/2 − Bi+1/2,j,k+1/2 /hyj
+ Bzi+1/2,j+1/2,k+1 − Bzi+1/2,j+1/2,k /hzk = −Bx0 /hxnx .
(80)
Théorie - Volumes finis
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Sur une arête (e.g. où i = 1 et j = 1), nous avons une
expression de la forme
Annexes
y
Bxi,j+1/2,k+1/2 /hxi + Bi+1/2,j,k+1/2 /hyj
y
+ Bzi+1/2,j+1/2,k+1 − Bzi+1/2,j+1/2,k /hzk = Bx0 /hxi + B0 /hyj .
(81)
Sur un coin (e.g. i = 1, j = 1 et k = 1), nous avons une
équation de la forme
y
Bxi,j+1/2,k+1/2 /hxi + Bi+1/2,j,k+1/2 /hyj +
y
Bzi+1/2,j+1/2,k /hzk = Bx0 /hxi + B0 /hyj + Bz0 /hzk .
(82)
Théorie - Volumes finis
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
En combinant les équations précédentes, il est possible de
construire le système matriciel
Références
DB = q
Annexes
(83)
où D est de taille nc × nf , B de taille nf × 1 et où q est de
taille nc × 1 et contient les termes provenant des conditions
aux frontières.
D est appelée matrice de divergence.
Le système matriciel peut être séparé de telle sorte que
DB = q

Bx
Dz By  = q
Bz
(84)
Dx Bx + Dy By + Dz Bz = q.
(86)

Dx
Dy
(85)
Théorie - Volumes finis
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
La matrice Dx est construite selon

ex
D

ex
D

Dx = 
..

.





(87)
ex
D
où
hx1−1
−hx−1
2

ex = 
D





hx2−1
..
.
..
.
−1
−hxnx
−1
−1
hxnx
−1
−1
−hxnx






e x sont
La diagonale principale et la -1e diagonale de D
e
remplies. Dx est de taille nx × (nx − 1), et est répétée
ny × nz fois pour créer Dx .
(88)
Théorie - Volumes finis
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
Créez une fonction fabrique_D pour y construire la
matrice Dx à partir de la variable structurée g qui contient
les paramètres de la grille.
Votre fonction aura g pour argument.
Dx devra être une matrice creuse.
Théorie - Volumes finis
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
Dy est construite de façon similaire avec
hy1−1
 0

 .
 .
 .

 0

−hy−1

2


ey = 
D














hy1−1
..
.
hy1−1
..
hy2−1
.
−1
−hyny
−1
..
.
..
.
−1
−hyny
..
.












 (89)

−1 
hyny−1 









−
1
−hyny
La diagonale principale et la −nxe diagonale sont remplies.
e y est de taille nx ∗ ny × nx ∗ (ny − 1), et est répétée nz fois
D
pour créer Dy .
Théorie - Volumes finis
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
Ajoutez la construction de la matrice Dy à votre fonction
fabrique_D.
Dy devra également être une matrice creuse.
Théorie - Volumes finis
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
Dz contient des éléments sur la diagonale principale et la
−nx ∗ nye diagonale :

hz1−1
0
..
.






−hz2−1

Dz = 









hz1−1
..
..
.
hz2−1
.
−1
−hznz
−1
..
.
..
.
−1
−hznz










−1 

hznz
−1 




−
1
−hznz
(90)
Théorie - Volumes finis
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
Ajoutez finalement la construction de Dz (creuse) à votre
fonction fabrique_D et assemblez la matrice D, votre
fonction devra retourner D.
Créez une fonction fabrique_q pour construire le
vecteur q.
Les arguments de cette fonction seront g et B0 (un vecteur
contenant les trois composantes du champ ambiant.
Théorie - Volumes finis
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
Pour discrétiser l’équation (76), il est nécessaire de
connaître µ (ou µ−1 ) sur les faces des voxels.
En interpolant µ, on obtient sa moyenne arithmétique alors
qu’en interpolant µ−1 on obtient la moyenne harmonique
de µ.
La moyenne harmonique est plus représentative de la
perméabilité effective.
On discrétise donc µ−1 B = ∇φ, qui est séparé en trois
parties :
µ−1 Bx = ∇x φ
(91)
µ−1 By = ∇y φ
(92)
µ
−1
Bz = ∇z φ.
(93)
Théorie - Volumes finis
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Le volume d’intégration couvre une face du voxel de sorte
que l’induction B est au centre du volume, i.e. en x
Références
Annexes
Z xi+1/2 Z yj+1 Z zk+1
Bx
xi−1/2
yj
zk
µ
dxdydz =
Z xi+1/2 Z yj+1 Z zk+1
xi−1/2
yj
zk
∇x φ dxdydz
(94)
Si on assume que Bx ne varie pas à l’intérieur du volume
d’intégration, on peut le sortir de l’intégrale triple.
La forme discrète, après avoir divisé par le volume
d’intégration, est
Bxi,j+1/2,k+1/2
hxi+1
2∆xi
µi+1/2,j+1/2,k+1/2
hxi
+
!
=
µi−1/2,j+1/2,k+1/2
φi+1/2,j+1/2,k+1/2 − φi−1/2,j+1/2,k+1/2
∆xi
(95)
Théorie - Volumes finis
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
La notation est allégée en posant
Volumes finis
Références
Annexes
x
ηi,j
+1/2,k+1/2
= 2∆xi
hxi+1
+
µi+1/2,j+1/2,k+1/2
hxi
! −1
µi−1/2,j+1/2,k+1/2
(96)
ce qui donne
Bxi,j+1/2,k+1/2
x
ηi,j
+1/2,k+1/2
=
φi+1/2,j+1/2,k+1/2 − φi−1/2,j+1/2,k+1/2
∆xi
(97)
On peut maintenant construire une système matriciel de la
forme
Mx −1 Bx = Gx φ ou Bx = Mx Gx φ
(98)
où Mx est une matrice diagonale contenant les coefficients
x
ηi,j
+1/2,k+1/2 .
Théorie - Volumes finis
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
En procédant de façon similaire selon y et z, on arrive à un
système
 

  
Bx
Mx
0
0
Gx
By  =  0 My
0   Gy  φ
Bz
0
0 Mz
Gz
(99)
B
=
M
G
φ
G est appelée matrice de gradient (de taille nf × nc) ;
M est appelée matrice des perméabilité (de taille nf × nf ) ;
φ est le vecteur du potentiel magnétique (de taille nc × 1).
Théorie - Volumes finis
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
M est construite suivant











M=










η1x

η2x
..
.
η(xnx−1)ny nz
y
η1
..
.
y
ηnx(ny−1)nz
η1z
..
.
z
ηnx
ny(nz−1)
(100)





















Théorie - Volumes finis
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
Créez une fonction fabrique_M pour construire la
matrice M contenant les valeurs de la moyenne
harmonique de µ.
Votre fonction aura pour argument g et mu, où mu est un
vecteur de nc éléments contenant les valeurs de
perméabilité des voxels.
Notez que M est également une matrice creuse.
Théorie - Volumes finis
Gravimétrie
Magnétisme
Par ailleurs,
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
e
Gx


Gx = 


ex
G
..




.
(101)
ex
G


ex = 
G


−∆x1−1
∆x1−1
−∆x2−1

∆x2−1
..
.
..
.
−1
−∆xnx
−1
−1
∆xnx
−1




(102)
La diagonale principale et la première diagonale sont
remplies.
e x est de taille (nx − 1) × nx et répétée ny ∗ nz fois, ce qui
G
fait que Gx est de taille nfx × nc.
Théorie - Volumes finis
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Également,
Modèle linéaire
Volumes finis

Références
Annexes


Gy = 



ey
G
ey
G
..





.
(103)
ey
G






ey = 
G





−∆y1−1
0
..
.
···
0
∆y1−1

..
−∆y1−1
.
∆y1−1
−∆y2−1
..
∆y2−1
..
.
−1
−∆yny
−1
.
−1
∆yny
−1
(104)
La diagonale principale et la nxe diagonale sont remplies.
e y est de taille nx ∗ (ny − 1) × nx ∗ ny et répétée nz fois, ce
G
qui fait que Gx est de taille nfy × nc.











Théorie - Volumes finis
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
Finalement,






Gz = 





−∆z1−1
0
..
.
···
0
∆z1−1

..
−∆z1−1
.
∆z1−1
−∆z2−1
..
∆z2−1
..
.
.
−1
−∆znz
−1
La diagonale principale et la (nx ∗ ny)e diagonale sont
remplies, et Gz est de taille nfz × nc.
−1
∆znz
−1
(105)











Théorie - Volumes finis
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
Créez finalement une fonction fabrique_G pour
construire la matrice G contenant les opérateurs du
gradient de φ.
fabrique_G a pour argument g et retourne la matrice
creuse G.
Théorie - Volumes finis
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
Les équations vues jusqu’à présent permettent de calculer
le champ total B.
Nous avons les équations (83)
DB = q
et (99)
B = MGφ
On résoud le système pour φ en insérant les conditions aux
limites, i.e.
DMG
φ = q
| {z } |{z}
|{z}
A
x
b
On utilise (99) pour finalement calculer B
Théorie - Volumes finis
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
Il est souvent souhaitable de ne modéliser que le champ
induit (ou secondaire) par la présence de corps
magnétisables, i.e. de calculer l’anomalie magnétique
(notée Bs ).
Il est possible d’extraire l’anomalie du champ total en
soustrayant à ce dernier la valeur du champ ambiant B0 ,
i.e.
Bs = B − B0 .
(106)
Cette approche peut être sujette aux erreurs d’arrondi car le
champ secondaire est souvent plusieurs ordres de grandeur
plus faible que B0 .
Théorie - Volumes finis
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
Il est possible de calculer directement le champ secondaire
et de limiter les erreurs d’arrondi.
Il suffit de décomposer les équations (83) et (99) selon
D (B0 + Bs ) = f + g
M
−1
(B0 + Bs ) = G (φ0 + φs ) .
(107)
(108)
Le vecteur f est équivalent au vecteur q de l’équation (83),
i.e. il est calculé à partir de B0 sur le pourtour du domaine.
Le vecteur g est similaire à f, mais est dû au champ induit
Bs plutôt que B0 .
Si les corps magnétiques sont loin des bords du domaine, on
peut assumer Bs sera très faible au pourtour du domaine et
donc que g ≈ 0.
Théorie - Volumes finis
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Pour le champ primaire, nous avons ainsi
Références
DB0 = f et
Annexes
M0 −1 B0 = Gφ0 .
(109)
M0 a des éléments non-nuls seulement sur la diagonale
principale et η0 = µ0 , ce qui fait que M0 = µ0 I.
Pour le champ secondaire, nous avons alors
DBs = g
M
−1
Bs = −M
(110)
−1
B0 + Gφ0 + Gφs
−1
= −M B0 + M0 −1 B0 + Gφs
= µ0−1 I − M−1 B0 + Gφs .
(111)
Théorie - Volumes finis
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
On a finalement que
Bs = µ0−1 M − I B0 + MGφs ,
où φs est obtenu en solutionnant
−1
φ
DMG
=
g
−
D
µ
M
−
I
B0
s
0
| {z } |{z}
{z
}
|
A
x
(112)
(113)
b
avec B0 un vecteur de la taille de B contenant les valeurs
du champ ambiant.
La méthode du gradient biconjugué stabilisé (routine
MATLAB bicgstab) peut être utilisée pour résoudre ce
système.
Théorie - Volumes finis
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
La discrétisation du milieu en volumes finis entraîne une
erreur.
Pour évaluer l’ordre de grandeur cette erreur, partons de la
série de Taylor à la surface d’un voxel en posant que les
voxels sont cubiques de côté h :
φi+1/2,j+1/2,k+1/2 = φi,j+1/2,k+1/2
h2 00
h 0
+
φ
+ O(h3 ) (114)
+ φi,j
2 +1/2,k+1/2
8 i,j+1/2,k+1/2
φi−1/2,j+1/2,k+1/2 = φi,j+1/2,k+1/2
h 0
h2 00
φ
− O(h3 ) (115)
− φi,j
+
1/2,k+1/2 +
2
8 i,j+1/2,k+1/2
Théorie - Volumes finis
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
En soustrayant les équations (114) et (115), on arrive à
l’expression de l’opérateur de dérivé centrée suivant :
φi+1/2,j+1/2,k+1/2 − φi−1/2,j+1/2,k+1/2
h
2
0
= φi,j
+1/2,k+1/2 + O(h )
(116)
Or, B est évalué à partir du potentiel φ, i.e.
Bxi,j+1/2,k+1/2 = ηi,j+1/2,k+1/2
φi+1/2,j+1/2,k+1/2 − φi−1/2,j+1/2,k+1/2
h
,
(117)
où ηi,j+1/2,k+1/2 est la moyenne harmonique des valeurs de
perméabilité des voxels voisins à l’interface.
La précision sur le calcul de B est donc de l’ordre de
O(ηharm h2 ).
Volumes finis – Exemple
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Références
Annexes
Calculez l’anomalie causée par un cube de 1 m3 , de
susceptibilité χ = 0.01, et situé au centre d’une grille de
33 × 33 × 33 voxels (tous de 1 m3 de volume), pour un
champ ambiant B0 = [0 0 10000] T.
Le centre du cube aimanté est à la coordonnée (0,0,0).
Utilisez le solveur bicgstab avec les paramètres par
défaut.
Quel est le message produit par bicgstab ?
Tracez un profil de Bx et un
profil de Bz pour les points
ayant pour coordonnées
xp=-15:15; yp=0; zp=10;
Note : les valeurs de Bx et Bz
doivent être interpolées car
les points (xp,yp,zp) ne
correspondent pas
exactement aux points où
sont évalués Bx et Bz .
Volumes finis – Exemple
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Influence du choix des paramètres de convergence de
bicgstab
Références
Annexes
Bx
0.01
Bz
0.02
convergence OK
20 itérations
0.008
convergence OK
20 itérations
0.015
0.006
0.004
0.01
B z (T)
B x (T)
0.002
0
0.005
-0.002
0
-0.004
-0.006
-0.005
-0.008
-0.01
-15
-10
-5
0
Distance (m)
5
10
15
-0.01
-15
-10
-5
0
Distance (m)
5
10
15
Volumes finis – Exemple
Gravimétrie
Magnétisme
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
Volumes finis
Comparaison avec la solution analytique pour une sphère
de volume égal à celui du cube.
Références
Annexes
Bx
0.01
Bz
0.02
analytique
VF, g = 0
VF, g 0
0.008
analytique
VF, g = 0
VF, g 0
0.015
0.006
0.004
0.01
B z (T)
B x (T)
0.002
0
0.005
-0.002
0
-0.004
-0.006
-0.005
-0.008
-0.01
-15
-10
-5
0
Distance (m)
5
10
15
-0.01
-15
-10
-5
0
Distance (m)
5
10
15
Volumes finis – Exemple
Gravimétrie
Influence de la taille des voxels
Magnétisme
Bx
Équations de Maxwell
Modèle linéaire
0.01
Volumes finis
Bz
0.02
analytique
h =1m
x
h = 0.5 m
0.008
0.015
Références
x
0.006
0.004
Annexes
0.01
B z (T)
B x (T)
0.002
0
0.005
-0.002
0
-0.004
-0.006
analytique
hx = 1 m
hx = 0.5 m
-0.008
-0.01
-15
-10
-5
0
5
10
-0.005
-0.01
-15
15
-10
-5
Distance (m)
2.5
×10
-4
0
5
10
15
Distance (m)
Bx
2
Bz
×10 -4
Erreur, h x = 1 m
Erreur, h x = 0.5 m
2
0
1.5
1
B az - B z (T)
B ax - B x (T)
-2
0.5
0
-0.5
-4
-6
-1
-1.5
-8
Erreur, h x = 1 m
Erreur, h x = 0.5 m
-2
-2.5
-15
-10
-5
0
Distance (m)
5
10
15
-10
-15
-10
-5
0
Distance (m)
5
10
15
Gravimétrie
Magnétisme
Références
Annexes
Références
Références
Gravimétrie
Magnétisme
Références
Annexes
Blakely, R. J. (1995). Potential Theory in Gravity and Magnetic
Applications. Cambridge University Press
Guo, Z.-Y., Liu, D.-J., Pan, Q., and Zhang, Y.-Y. (2015).
Forward modeling of total magnetic anomaly over a
pseudo-2D underground ferromagnetic pipeline. Journal of
Applied Geophysics, 113 :14 – 30
Lelièvre, P. G. (2003). Forward modeling and inversion of
geophysical magnetic data. Master’s thesis, University of
British Columbia
Références
Gravimétrie
Magnétisme
Références
Annexes
Li, X. and Chouteau, M. (1998). Three-dimentional gravity
modeling in all space. Surveys in Geophysics, 19 :339–368
Plouff, D. (1976). Gravity and magnetic fields of polygonal
prisms and application to magnetic terrain corrections.
Geophysics, 41 :727–741
Singh, B. and Guptasarma, D. (2001). New method for fast
computation of gravity and magnetic anomalies from
arbitrary polyhedra. Geophysics, 66(2) :521–526
Gravimétrie
Magnétisme
Références
Annexes
Densité des roches
Propriétés magnétiques
des roches
Aimantation rémanente
Susceptibilités
Démagnétisation
Annexes
Densité ρ
Gravimétrie
Magnétisme
Références
Annexes
Densité des roches
Propriétés magnétiques
des roches
Aimantation rémanente
Susceptibilités
Démagnétisation
C’est la masse par unité de volume ;
Unité habituelle : g/cm3 ;
Strictement parlant : masse volumique.
Pour un milieu poreux saturé, la densité du mélange est
ρm = (1 − φ) ρh + φρf
φ est la porosité ;
ρh la densité de la matrice hôte ;
ρf est la densité du fluide.
Densité ρ
Gravimétrie
Magnétisme
Références
Annexes
Densité des roches
Propriétés magnétiques
des roches
Aimantation rémanente
Susceptibilités
Démagnétisation
Propriétés magnétiques des roches
Gravimétrie
Magnétisme
Références
Annexes
Densité des roches
Propriétés magnétiques
des roches
Aimantation rémanente
Susceptibilités
Démagnétisation
Les roches sont un agencement de minéraux qui présentent
des propriétés magnétiques différentes ;
Les différents phénomènes en compétition :
diamagnétisme ;
paramagnétisme ;
ferromagnétisme ;
antiferromagnétisme ;
ferrimagnétisme.
L’atome
Gravimétrie
Magnétisme
Références
Annexes
Densité des roches
Propriétés magnétiques
des roches
Aimantation rémanente
Susceptibilités
Démagnétisation
Toutes les substances sont magnétiques à l’échelle de
l’atome.
Un atome se comporte comme un dipôle :
spin des électrons ;
orbite des électrons autour du noyau.
Physique quantique : max. deux électrons par niveau si les
spins sont opposés.
Si on a deux électrons par niveau (paire), les moments
s’annulent.
Diamagnétisme
Gravimétrie
Magnétisme
Références
Annexes
Densité des roches
Propriétés magnétiques
des roches
Aimantation rémanente
Susceptibilités
Démagnétisation
Matière pour laquelle tout les niveaux atomiques sont
remplis de paires d’électrons.
Si on applique un champ H :
la rotation des électrons s’oppose à H ;
la susceptibilité χ est ainsi négative ;
cet effet est de faible magnitude.
Cette matière offre une «résistance» au champ magnétique.
Diamagnétisme
Gravimétrie
Magnétisme
Références
Annexes
Densité des roches
Propriétés magnétiques
des roches
Aimantation rémanente
Susceptibilités
Démagnétisation
Diamagnétisme parfait : le champ est nul à l’intérieur de
l’objet.
Diamagnétisme
Gravimétrie
Magnétisme
Références
Annexes
Densité des roches
Propriétés magnétiques
des roches
Aimantation rémanente
Susceptibilités
Démagnétisation
Quelques roches & matériaux diamagnétiques :
graphite ;
gypse ;
quartz ;
sel ;
cuivre ;
diamant.
Paramagnétisme
Gravimétrie
Magnétisme
Références
Annexes
Densité des roches
Propriétés magnétiques
des roches
Aimantation rémanente
Susceptibilités
Démagnétisation
Les niveaux ne sont pas tous remplis :
un champ magnétique résulte du spin des électrons
solitaires.
Si on applique un champ H :
les dipôles des électrons solitaires s’alignent avec H ;
la susceptibilité χ est positive ;
cette effet est de faible magnitude.
Paramagnétisme
Gravimétrie
Magnétisme
Références
Annexes
Densité des roches
Propriétés magnétiques
des roches
Aimantation rémanente
La température T influence le comportement de la matière.
Une température élevée excite les atomes :
limite l’effet du champ H.
Susceptibilités
Démagnétisation
H
ou
H=0
T basse
H fort
T trés élevée
ou
H faible
T faible
H fort
T élevée
H
H fort
T faible
Paramagnétisme
Gravimétrie
Magnétisme
Références
Annexes
Densité des roches
Propriétés magnétiques
des roches
Aimantation rémanente
Susceptibilités
Démagnétisation
Exemples de substances paramagnétiques :
la plupart des métaux ;
gneiss ;
dolomie ;
pegmatite ;
syénite.
Ferromagnétisme
Gravimétrie
Magnétisme
Références
Annexes
Densité des roches
Propriétés magnétiques
des roches
Aimantation rémanente
Susceptibilités
Démagnétisation
Existe si, dans certains cristaux paramagnétiques, les
moments atomiques sont alignés dans la même direction.
Occurrence spontanée.
Les régions où les moments sont alignés sont nommés
domaines.
Les limites entre les domaines sont nommées parois.
Distribution aléatoire.
Ferromagnétisme
Gravimétrie
Magnétisme
Références
Annexes
Densité des roches
Propriétés magnétiques
des roches
Aimantation rémanente
Susceptibilités
Démagnétisation
Si H nul, la somme des moments est nulle.
Ferromagnétisme
Gravimétrie
Magnétisme
Références
Annexes
Densité des roches
Propriétés magnétiques
des roches
Aimantation rémanente
Susceptibilités
Démagnétisation
Sous l’effet d’un H externe, les parois se déplacent ;
les domaines orientés selon H croissent ;
il y a augmentation de la magnétisation.
Si l’intensité augmente, il y a rotation des domaines ;
augmentation accrue de la magnétisation.
Donne lieu a des χ élevés.
Ferromagnétisme
Gravimétrie
Magnétisme
Références
Annexes
Densité des roches
Propriétés magnétiques
des roches
Aimantation rémanente
Susceptibilités
L’alignement des domaines donne lieu à une
magnétisation importante (susceptibilité élevée).
Démagnétisation
H=0
Démagnétisé
H
H
Croissance préférentielle du domaine
H
Rotation subite
des domaines
H
Saturation
Ferromagnétisme
Gravimétrie
Magnétisme
Références
H
Annexes
Densité des roches
Propriétés magnétiques
des roches
M
Aimantation rémanente
Susceptibilités
Ms
H=0
Démagnétisation
Mr
H
-Hc
H
H
Ferromagnétisme
Gravimétrie
Magnétisme
Références
Annexes
Densité des roches
Propriétés magnétiques
des roches
Aimantation rémanente
Susceptibilités
Démagnétisation
Parmi les substances ferromagnétiques :
fer ;
cobalt ;
nickel.
Si la température de la matière dépasse le point de Curie,
celle-ci passe à l’état paramagnétique.
Antiferromagnétisme
Gravimétrie
Magnétisme
Références
Annexes
Densité des roches
Propriétés magnétiques
des roches
Survient lorsque les dipôles au sein d’un cristal sont
antiparallèles.
Aimantation rémanente
Susceptibilités
Démagnétisation
Ferromagnétisme
Antiferromagnétisme
La susceptibilité χ est très faible.
L’hématite (Fe2 O3 ) : exemple d’antiferromagnétisme.
Ferrimagnétisme
Gravimétrie
Magnétisme
Références
Annexes
Densité des roches
Propriétés magnétiques
des roches
Aimantation rémanente
Susceptibilités
Démagnétisation
Les dipôles sont antiparallèles,
mais de magnitude différente ;
le moment net est non nul.
magnétite (Fe3 O4 ), ilménite
(FeTiO3 ), titanomagnétite,
oxydes de fer ou de fer et titane.
Donne lieu a des χ élevés.
Ferrimagnétisme
Ferrimagnétisme
Gravimétrie
Magnétisme
Références
Annexes
Densité des roches
Propriétés magnétiques
des roches
Aimantation rémanente
Susceptibilités
Démagnétisation
Existe également si le nombre de dipôles d’une direction
est supérieur au nombre dans l’autre direction ;
cas de la pyrrhotite.
Aimantation rémanente
Gravimétrie
Magnétisme
Références
Annexes
Densité des roches
Propriétés magnétiques
des roches
Aimantation rémanente
Susceptibilités
Démagnétisation
Une aimantation qui subsiste en l’absence de H est dite
rémanente.
Peut être causée par plusieurs mécanismes :
thermorémanence ;
aimantation dépositionnelle ou détritique ;
aimantation isotherme ;
aimantation visqueuse ;
aimantation chimique.
Aimantation rémanente
Gravimétrie
Magnétisme
Références
Annexes
Densité des roches
Propriétés magnétiques
des roches
Aimantation rémanente
Susceptibilités
Démagnétisation
Thermorémanence :
Une roche chauffée au dessus de son point de Curie ;
Ses dipôles vont s’aligner dans le sens du H ambiant en
refroidissant ;
mémoire magnétique.
Une magnétisation subsiste à T ambiante ;
proportionnelle à H au refroidissement.
Aimantation rémanente
Gravimétrie
Magnétisme
Références
Annexes
Densité des roches
Propriétés magnétiques
des roches
Aimantation rémanente
Susceptibilités
Démagnétisation
Aimantation détritique :
lors de la dépositions des sédiments ;
les minéraux magnétiques s’alignent avec le H ambiant.
Aimantation isotherme :
due aux H exceptionnellement élevés (foudre).
Aimantation visqueuse ;
lent déplacement des domaines sous l’effet du H ambiant, à
T ambiante.
Aimantation chimique :
peut survenir lors d’une transformation cristalline, ou
causée par diagénèse ou métamorphisme.
Aimantation rémanente
Gravimétrie
Magnétisme
Références
Annexes
Densité des roches
Propriétés magnétiques
des roches
Aimantation rémanente
Susceptibilités
Démagnétisation
L’intensité de l’aimantation rémanente Mr peut dépasser
l’aimantation induite Mi ;
Le rapport de Königsberger est défini comme
Q = Mr /Mi = Mr /χ(H/µ0 ) ;
La direction de Mr n’est pas nécessairement la même que
celle de Mi
La résultante n’est plus alignée dans le champ H ambiant.
Aimantation rémanente
Gravimétrie
Magnétisme
Références
Annexes
Densité des roches
Propriétés magnétiques
des roches
Aimantation rémanente
Susceptibilités
Démagnétisation
Le rapport Q peut valoir
≈ 1 pour les roches ignées (cristallisation lente) ;
≈ 10 pour les roches volcaniques ;
≈ 30-50 pour les roches basaltiques (cristallisation rapide) ;
< 1 pour les roches sédimentaires et métamorphique, sauf si
Fe présent.
Magnétisme des roches
Gravimétrie
Magnétisme
Références
Annexes
Densité des roches
Propriétés magnétiques
des roches
Aimantation rémanente
Susceptibilités
Démagnétisation
La plupart des minéraux ont une χ faible ;
La nature magnétique d’une roche est due à une petite
quantité de minéraux magnétiques ;
Deux groupes géochimiques :
oxydes de fer (les plus courants) ;
magnétite, hématite...
sulfures de fer ;
pyrrhotite.
Susceptibilité
Gravimétrie
Magnétisme
Références
Basalte
Annexes
Gabbro
Volcanique interm.
Densité des roches
Propriétés magnétiques
des roches
Diorite
Aimantation rémanente
Susceptibilités
Volcanique acide
Démagnétisation
Granite
Ultramafique
Granulite basique
Granulite acide
Kimberlite
Carbonatite
Sédiments
Métasédiments
10-5
10-4
10-3
k
10-2
10-1
Susceptibilité
Gravimétrie
Magnétisme
Références
Annexes
Densité des roches
Propriétés magnétiques
des roches
Aimantation rémanente
Susceptibilités
Démagnétisation
Roche/minéral
Dolomite
Calcaire
Grès
Schiste argileux
Amphibolite
Schiste
Phyllite
Gneiss
Quartzite
Sperpentine
Ardoise
Valeurs en SI
Plage
0 – 0.0009
0 – 0.003
0 – 0.02
0.00001 – 0.015
0.0003 – 0.003
Moyenne
0.0001
0.0003
0.0004
0.0006
0.0007
0.0014
0.0015
0.0001 – 0.025
0.004
0.003 – 0.017
0 – 0.035
0.006
Susceptibilité
Gravimétrie
Magnétisme
Références
Annexes
Densité des roches
Propriétés magnétiques
des roches
Aimantation rémanente
Susceptibilités
Démagnétisation
Roche/minéral
Granite
Rhyolite
Dolorite
Augite-syenite
Olivine
Diabase
Porphyre
Gabbro
Basaltes
Diorite
Pyroxénite
Péridotite
Andésite
Valeurs en SI
Plage
0 – 0.05
0.0002 – 0.035
0.001 – 0.035
0.03 – 0.04
0.001 – 0.16
0.0003 – 0.2
0.001 – 0.09
0.0002 – 0.175
0.0006 – 0.12
0.09 – 0.2
Moyenne
0.0025
0.017
0.025
0.055
0.060
0.07
0.07
0.085
0.125
0.15
0.16
Susceptibilité
Gravimétrie
Magnétisme
Références
Annexes
Densité des roches
Propriétés magnétiques
des roches
Aimantation rémanente
Susceptibilités
Démagnétisation
Roche/minéral
Graphite
Quartz
Anhydrite, gypse
Calcite
Charbon
Argiles
Chalcopyrite
Sphalérite
Cassitérite
Sidérite
Pyrite
Limonite
Arsénopyrite
Valeurs en SI
Plage
Moyenne
1×10−4
-1×10−5
-1×10−5
-1×10−6 – -1×10−5
2×10−5
2×10−4
4×10−4
7×10−4
9×10−4
1×10−3 – 4×10−3
5×10−5 – 5×10−3
1.5×10−3
2.5×10−3
3×10−3
Susceptibilité
Gravimétrie
Magnétisme
Références
Annexes
Densité des roches
Propriétés magnétiques
des roches
Aimantation rémanente
Susceptibilités
Démagnétisation
Roche/minéral
Hématite
Chromite
Franklinite
Pyrrhotite
Ilménite
Magnétite
Valeurs en SI
Plage
5×10−5 – 0.035
0.003 – 0.11
0.001 – 6.0
0.3 – 3.5
1.2 – 19.2
Moyenne
6.5×10−3
7×10−3
0.43
1.5
1.8
6.0
Cause de la démagnétisation
Gravimétrie
Magnétisme
Annexes
Densité des roches
Un objet magnétique placé dans un champ H ambiant aura
des «pôles» aux extrémités ;
Propriétés magnétiques
des roches
Aimantation rémanente
Magnétisation
Démagnétisation
Champ externe
+++
+
+
+
-
-
Démagnétisation
+
-
Susceptibilités
-
Références
- -
-
Ces pôles génèrent un champ de démagnétisation interne
Hd .
Observations
Gravimétrie
Magnétisme
Références
Annexes
Densité des roches
Propriétés magnétiques
des roches
Aimantation rémanente
Susceptibilités
Démagnétisation
Plus les pôles sont rapprochés, plus Hd est élevé ;
Le champ Hd a pour effet de réduire l’effet de H sur la
magnétisation du corps ;
Le champ Hd est proportionnel à M ;
Le facteur de démagnétisation N est la constante de
proportionnalité
Hd = NM.
(118)
Susceptibilité apparente
Gravimétrie
Magnétisme
Références
Annexes
Densité des roches
Propriétés magnétiques
des roches
Le champ interne, dans l’objet, est
Hi = H − Hd = H − NM;
Aimantation rémanente
Susceptibilités
Démagnétisation
La susceptibilité apparente ka se distingue de la
susceptibilité intrinsèque k en raison du facteur de
démagnétisation :
M
k=
;
Hi
M
;
H
M = kHi = ka (Hi + NkHi ) ;
ka =
ka =
k
.
1 + Nk
(119)
Le facteur de démagnétisation
Gravimétrie
Magnétisme
Références
Annexes
Densité des roches
Propriétés magnétiques
des roches
Aimantation rémanente
Susceptibilités
Démagnétisation
Le facteur N dépend de la forme du corps ;
Règle générale : Nx + Ny + Nz = 1 ;
Pour une sphère : Nx = Ny = Nz =
Pour une tige infinie :
Perpendiculaire à l’axe : N⊥ =
Parallèle à l’axe : Nk = 0 ;
1
2
1
3
;
;
Pour une feuille mince infinie :
Perpendiculaire au plan : N⊥ = 1 ;
Parallèle au plan : Nk = 0 ;
On observe donc une anisotropie pour les corps ayant une
dimension plus petite que les autres, causée par la
démagnétisation ;
cette anisotropie provoque une déviation de la
magnétisation M par rapport au champ H.
Influence effective
Gravimétrie
Magnétisme
Références
Annexes
Densité des roches
Propriétés magnétiques
des roches
Aimantation rémanente
Susceptibilités
Démagnétisation
La démagnétisation produit un effet notable si k > 0.01 ;
En général, significatif pour
pyrrhotite massive ;
roche avec plus de 5-10% de magnétite.
Pour un corps donné, le facteur N est constant si la
magnétisation est uniforme.
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