Math I Analyse
licence STS portail Math´
ematiques-Informatique
Sylvie Benzoni
26 octobre 2010
2
Programme et objectifs
MOTS-CL´
E DU COURS
Chapitre 1 : Nombres r´
eels, bornes sup´
erieures et inf´
erieures, intervalles.
Chapitre 2 : Suites num´
eriques. Th´
eor`
eme de Bolzano-Weierstrass.
Chapitre 3 : Fonctions RR(limite, continuit´
e, d´
erivabilit´
e). Th´
eor`
emes de Rolle et des
accroissements finis.
Chapitre 4 : ´
Equations diff´
erentielles : ´
equations lin´
eaires d’ordre 1, et d’ordre 2 `
a coeffi-
cients constants.
Les objectifs vis´
es sont les suivants.
Comp´
etences de nature m´
ethodologique et/ou conceptuelle :
Comprendre les propri´
et´
es fondamentales de l’ensemble des r´
eels, du point de vue alg´
ebrique
(l’alg`
ebre s’int´
eressant aux structures), et surtout analytique (avec l’axiome fondamental
de l’analyse aussi appel´
eprincipe de la borne sup´
erieure).
Savoir faire des calculs abstraits, notamment avec le signe Σ(sommes simples ou doubles,
changements d’indices, formule du binˆ
ome).
Savoir faire des d´
emonstrations par r´
ecurrence, par l’absurde, etc.
Savoir faire des d´
emonstrations avec des epsilon (ε) : suite convergente ; limite, conti-
nuit´
e, d´
erivabilit´
e d’une fonction, crit`
ere de Cauchy pour les suites et les fonctions.
Maˆ
ıtriser les notions de suite extraite,fonction,injection, surjection, bijection,continuit´
e.
Concevoir les ´
equations diff´
erentielles comme mod`
eles math´
ematiques (incontournables
dans certains domaines de la physique, la chimie, la biologie, etc.) et faire le lien avec les
suites (mod`
eles dits discrets).
Comp´
etences techniques :
Manipulation d’in´
egalit´
es dans R, c’est-`
a-dire majorer et minorer, avec des valeurs ab-
solues, des parties enti`
eres, des puissances enti`
eres, des racines n-i`
emes.
Calculs de limites (´
el´
ementaires) de suites et de fonctions.
Calcul du terme g´
en´
eral d’une suite d´
efinie par une relation de r´
ecurrence lin´
eaire simple
ou double.
Exploitation de tableaux de variations pour les fonctions RR, trac´
e de graphes `
a main
lev´
ee.
Calcul des solutions des ´
equations diff´
erentielles lin´
eaires d’ordre 1, et d’ordre 2 `
a coef-
ficients constants.
D’autres objectifs non sp´
ecifiques `
a cette UE sont :
3
4
entraˆ
ınement `
a la prise de notes (dont l’existence de ce poly ne dispense pas) ;
d´
eveloppement de la capacit´
e d’abstraction ;
entraˆ
ınement `
a la r´
esolution d’exercices, ce qui suppose assiduit´
e et participation active
aux TD.
CONTR ˆ
OLE DES CONNAISSANCES
Les ´
evaluations ont lieu sur le mode du contrˆ
ole continu int´
egral (CCI), et portent aussi
bien sur vos aptitudes techniques que sur votre connaissance des concepts et vos capacit´
es
de raisonnement. L’absence `
a une ´
epreuve donne lieu `
a la note 0, sauf cas exceptionnel sur
justificatif. L’absence `
a toutes les ´
epreuves donne lieu `
a la mention DEF (pour «d´
efaillant ») au
contrˆ
ole continu, ce qui implique l’impossibilit´
e de valider l’UE (et le semestre 1 de la licence
STS dans le portail Math´
ematiques-Informatique).
Table des mati`
eres
I Les r´
eels 7
1 Introduction aux nombres r´
eels.......................... 7
2 Bornes sup´
erieures ................................ 9
3 L’axiome fondamental de l’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Intervalles de R.................................. 12
5 Outils de calcul dans R.............................. 13
5.1 Les puissances enti`
eres.......................... 13
5.2 Les racines n-i`
emes ........................... 15
5.3 Lesvaleursabsolues ........................... 16
5.4 Les parties enti`
eres............................ 17
II Suites num´
eriques 19
1 Exemplesdesuites ................................ 19
2 Limitesdesuites ................................. 21
2.1 Introduction................................ 21
2.2 Op´
erations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Suites r´
eellesmonotones ............................. 24
4 Suitesextraites .................................. 25
5 Le crit`
eredeCauchy ............................... 27
6 Suitescomplexes ................................. 28
7 Approximation des nombres r´
eels ........................ 30
8 Compl´
ements ................................... 35
8.1 Valeurs d’adh´
erence ........................... 35
8.2 Limite sup et limite inf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
8.3 Introduction `
aladynamique ....................... 36
III Fonctions d’une variable r´
eelle 39
1 Notions et notations de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.1 D´
enitions ................................ 39
1.2 Exemples................................. 40
1.3 Fonctionsmonotones........................... 45
2 Limites ...................................... 45
2.1 D´
enitions ................................ 45
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