Programme et objectifs
MOTS-CL´
E DU COURS
Chapitre 1 : Nombres r´
eels, bornes sup´
erieures et inf´
erieures, intervalles.
Chapitre 2 : Suites num´
eriques. Th´
eor`
eme de Bolzano-Weierstrass.
Chapitre 3 : Fonctions R→R(limite, continuit´
e, d´
erivabilit´
e). Th´
eor`
emes de Rolle et des
accroissements finis.
Chapitre 4 : ´
Equations diff´
erentielles : ´
equations lin´
eaires d’ordre 1, et d’ordre 2 `
a coeffi-
cients constants.
Les objectifs vis´
es sont les suivants.
Comp´
etences de nature m´
ethodologique et/ou conceptuelle :
•Comprendre les propri´
et´
es fondamentales de l’ensemble des r´
eels, du point de vue alg´
ebrique
(l’alg`
ebre s’int´
eressant aux structures), et surtout analytique (avec l’axiome fondamental
de l’analyse aussi appel´
eprincipe de la borne sup´
erieure).
•Savoir faire des calculs abstraits, notamment avec le signe Σ(sommes simples ou doubles,
changements d’indices, formule du binˆ
ome).
•Savoir faire des d´
emonstrations par r´
ecurrence, par l’absurde, etc.
•Savoir faire des d´
emonstrations avec des epsilon (ε) : suite convergente ; limite, conti-
nuit´
e, d´
erivabilit´
e d’une fonction, crit`
ere de Cauchy pour les suites et les fonctions.
•Maˆ
ıtriser les notions de suite extraite,fonction,injection, surjection, bijection,continuit´
e.
•Concevoir les ´
equations diff´
erentielles comme mod`
eles math´
ematiques (incontournables
dans certains domaines de la physique, la chimie, la biologie, etc.) et faire le lien avec les
suites (mod`
eles dits discrets).
Comp´
etences techniques :
•Manipulation d’in´
egalit´
es dans R, c’est-`
a-dire majorer et minorer, avec des valeurs ab-
solues, des parties enti`
eres, des puissances enti`
eres, des racines n-i`
emes.
•Calculs de limites (´
el´
ementaires) de suites et de fonctions.
•Calcul du terme g´
en´
eral d’une suite d´
efinie par une relation de r´
ecurrence lin´
eaire simple
ou double.
•Exploitation de tableaux de variations pour les fonctions R→R, trac´
e de graphes `
a main
lev´
ee.
•Calcul des solutions des ´
equations diff´
erentielles lin´
eaires d’ordre 1, et d’ordre 2 `
a coef-
ficients constants.
D’autres objectifs non sp´
ecifiques `
a cette UE sont :
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