AnalyseI

Math I Analyse
licence STS portail Math´ ematiques-Informatique
Sylvie Benzoni
26 octobre 2010

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Programme et objectifs
MOTS-CL´ E DU COURS
Chapitre 1 : Nombres r´ eels, bornes sup´ erieures et inf´ erieures, intervalles.
Chapitre 2 : Suites num´ eriques. Th´ eor` eme de Bolzano-Weierstrass.
Chapitre 3 : Fonctions R→R(limite, continuit´ e, d´ erivabilit´ e). Th´ eor` emes de Rolle et des
accroissements finis.
Chapitre 4 : ´ Equations diff´ erentielles : ´ equations lin´ eaires d’ordre 1, et d’ordre 2 ` a coeffi-
cients constants.
Les objectifs vis´ es sont les suivants.
Comp´ etences de nature m´ ethodologique et/ou conceptuelle :
•Comprendre les propri´ et´ es fondamentales de l’ensemble des r´ eels, du point de vue alg´ ebrique
(l’alg` ebre s’int´ eressant aux structures), et surtout analytique (avec l’axiome fondamental
de l’analyse aussi appel´ eprincipe de la borne sup´ erieure).
•Savoir faire des calculs abstraits, notamment avec le signe Σ(sommes simples ou doubles,
changements d’indices, formule du binˆ ome).
•Savoir faire des d´ emonstrations par r´ ecurrence, par l’absurde, etc.
•Savoir faire des d´ emonstrations avec des epsilon (ε) : suite convergente ; limite, conti-
nuit´ e, d´ erivabilit´ e d’une fonction, crit` ere de Cauchy pour les suites et les fonctions.
•Maˆ ıtriser les notions de suite extraite,fonction,injection, surjection, bijection,continuit´ e.
•Concevoir les ´ equations diff´ erentielles comme mod` eles math´ ematiques (incontournables
dans certains domaines de la physique, la chimie, la biologie, etc.) et faire le lien avec les
suites (mod` eles dits discrets).
Comp´ etences techniques :
•Manipulation d’in´ egalit´ es dans R, c’est-` a-dire majorer et minorer, avec des valeurs ab-
solues, des parties enti` eres, des puissances enti` eres, des racines n-i` emes.
•Calculs de limites (´ el´ ementaires) de suites et de fonctions.
•Calcul du terme g´ en´ eral d’une suite d´ efinie par une relation de r´ ecurrence lin´ eaire simple
ou double.
•Exploitation de tableaux de variations pour les fonctions R→R, trac´ e de graphes ` a main
lev´ ee.
•Calcul des solutions des ´ equations diff´ erentielles lin´ eaires d’ordre 1, et d’ordre 2 ` a coef-
ficients constants.
D’autres objectifs non sp´ ecifiques ` a cette UE sont :
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•entraˆ ınement ` a la prise de notes (dont l’existence de ce poly ne dispense pas) ;
•d´ eveloppement de la capacit´ e d’abstraction ;
•entraˆ ınement ` a la r´ esolution d’exercices, ce qui suppose assiduit´ e et participation active
aux TD.
CONTR ˆ OLE DES CONNAISSANCES
Les ´ evaluations ont lieu sur le mode du contrˆ ole continu int´ egral (CCI), et portent aussi
bien sur vos aptitudes techniques que sur votre connaissance des concepts et vos capacit´ es
de raisonnement. L’absence ` a une ´ epreuve donne lieu ` a la note 0, sauf cas exceptionnel sur
justificatif. L’absence ` a toutes les ´ epreuves donne lieu ` a la mention DEF (pour «d´ efaillant ») au
contrˆ ole continu, ce qui implique l’impossibilit´ e de valider l’UE (et le semestre 1 de la licence
STS dans le portail Math´ ematiques-Informatique).

Table des mati` eres
I Les r´ eels 7
1 Introduction aux nombres r´ eels.......................... 7
2 Bornes sup´ erieures ................................ 9
3 L’axiome fondamental de l’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Intervalles de R.................................. 12
5 Outils de calcul dans R.............................. 13
5.1 Les puissances enti` eres.......................... 13
5.2 Les racines n-i` emes ........................... 15
5.3 Lesvaleursabsolues ........................... 16
5.4 Les parties enti` eres............................ 17
II Suites num´ eriques 19
1 Exemplesdesuites ................................ 19
2 Limitesdesuites ................................. 21
2.1 Introduction................................ 21
2.2 Op´ erations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Suites r´ eellesmonotones ............................. 24
4 Suitesextraites .................................. 25
5 Le crit` eredeCauchy ............................... 27
6 Suitescomplexes ................................. 28
7 Approximation des nombres r´ eels ........................ 30
8 Compl´ ements ................................... 35
8.1 Valeurs d’adh´ erence ........................... 35
8.2 Limite sup et limite inf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
8.3 Introduction ` aladynamique ....................... 36
III Fonctions d’une variable r´ eelle 39
1 Notions et notations de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.1 D´ efinitions ................................ 39
1.2 Exemples................................. 40
1.3 Fonctionsmonotones........................... 45
2 Limites ...................................... 45
2.1 D´ efinitions ................................ 45
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