Chapitre 1 PL

Introduction
Au cours de la seconde guerre mondiale, l’arm´ ee de l’air des ´ Etats-Unis eut de nombreux probl` emes
concernant l’allocation de ses ressources, tant humaines que mat´ erielles. Naturellement, plusieurs sp´ ecialistes
se pench` erent sur la question et parmi eux, George Dantzig. Peu apr` es la guerre, en 1946, ce dernier
formula de mani` ere plus g´ en´ erale ce genre de probl` emes, les probl` emes de programmation lin´ eaire et
proposa une m´ ethode de r´ esolution, la m´ ethode du simplexe.
Initialement d´ evelopp´ ee ` a des fins militaires, la programmation lin´ eaire est une technique d’optimisa-
tion utilis´ ee aujourd’hui dans beaucoup de domaines et diverses applications notamment dans l’industrie
p´ etroli` ere, la chimie, l’´ energie, le transport, les r´ eseaux...
Supposons qu’une compagnie fabrique plusieurs produits diff´ erents et que pour chacun de ces pro-
duits il y a des coˆ uts de fabrication diff´ erents en main-d’oeuvre et en mati` eres premi` eres. La compagnie
connaˆ ıt le b´ en´ efice qu’elle r´ ealise en vendant chacun de ces produits. La compagnie doit alors se poser
la question suivante : quelle quantit´ e de chacun des produits doit-on fabriquer pour obtenir un b´ en´ efice
global maximal? En g´ en´ eral, de tels probl` emes peuvent ˆ etre assez complexes. Cependant, dans le cas
o` u la fonction ` a optimiser est lin´ eaire et o` u les contraintes peuvent s’exprimer par des in´ equations, la
programmation lin´ eaire s’av` ere tr` es efficace.
Notons que la compr´ ehension de la programmation lin´ eaire est essentielle pour la compr´ ehension
de mod` eles plus sophistiqu´ es (programmation non lin´ eaire, programmation stochastique, contrˆ ol opti-
mal...).
4

Chapitre 1
´
El´ ements de Base de la Programmation
Lin´ eaire
1.1 Mod´ elisation d’un Probl` eme de programmation lin´ eaire
Un mod` ele est une repr´ esentation de la r´ ealit´ e qui capture l’essentiel de la r´ ealit´ e. Mod´ eliser un
probl` eme de programmation lin´ eaire revient ` a distinguer trois ´ el´ ements essentiels appel´ es facteurs. On
distingue trois type de facteurs :
1. Facteurs contrˆ olables : Ce sont les facteurs que l’on peut modifier dans le syst` eme. On les appelle
variables de d´ ecision.
2. Facteurs non contrˆ olables : Ce sont les param` etres du syst` eme ´ etudi´ e et sur lesquels on ne peut
apporter aucune modification. On les appelle contraintes.
3. L’objectif : Il concr´ etise le but ` a atteindre ` a travers l’´ etude.
1.2 Exemples
Pour mieux illustrer la nature des probl` emes abord´ es en programmation lin´ eaire ainsi que la tech-
nique de r´ esolution utilis´ ee, consid´ erons les exemples suivants :
Exemple (Probl` eme de Transport). Une entreprise stocke un produit dans trois d´ epˆ ots diff´ erents A1,
A2et A3. Les quantit´ es stock´ ees sont respectivement a1,a2et a3. Les d´ epˆ ots doivent alimenter quatre
points de vente B1,B2,B3et B4.
La quantit´ e n´ ecessaire au point de vente Biest bi.
Le coˆ ut de transport d’une unit´ e du produit du d´ epˆ ot Aivers le point de vente Bjest cij.
Comment l’entreprise doit elle r´ epartir les stocks du produit entre les points de vente afin de minimi-
ser ses frais de transport?
1.2.0.1 Identification des variables de d´ ecision
Notons par :
xij ≥0, i = 1, . . . , 3, j = 1, . . . , 4(1.1)
la quantit´ e du produit ` a acheminer de Aivers Bj.
5

1.2 Exemples 6
1.2.0.2 Contraintes du probl` eme
Le total des quantit´ es ` a acheminer du d´ epˆ ot A1vers les diff´ erents points de vente ne peut pas exc´ eder
la quantit´ e de stock disponible au d´ epˆ ot A1. De mˆ eme pour les d´ epˆ ot A2et A3.
x11 +x12 +x13 +x14 ≤a1,
x21 +x22 +x23 +x24 ≤a2,
x31 +x32 +x33 +x34 ≤a3,
que l’on peut ´ ecrire sous forme : 4
X
j=1
xij ≤ai,∀i= 1, . . . , 3(1.2)
Le total des quantit´ es achemin´ ees des diff´ erents d´ epˆ ot vers B1doit ˆ etre sup´ erieur ou ´ egal ` a la quantit´ e
n´ ecessaire pour le fonctionnement de ce dernier. De mˆ eme pour tous les autres points de vente B2,B3et
B4.
x11 +x21 +x31 ≥b1,
x12 +x22 +x32 ≥b2,
x13 +x23 +x33 ≥b3,
x14 +x24 +x34 ≥b4,
que l’on peut ´ ecrire sous forme : 3
X
i=1
xij ≥bj,∀j= 1, . . . , 4(1.3)
1.2.0.3 Fonction Objectif
Minimiser le coˆ ut total de transport.
min f(x11, x12, . . . , x34) =
3
X
i=1
4
X
j=1
cijxij (1.4)
En r´ e´ ecrivant les formules (1.1), (1.2), (1.3) et (1.4) nous aurons le mod` ele de programmation lin´ eaire
suivant : 
min 3
X
i=1
4
X
j=1
cijxij
s/c
4
X
j=1
xij ≤ai,∀i= 1, . . . , 3
3
X
i=1
xij ≥bj,∀j= 1,...,4
xij ≥0, i = 1, . . . , 3, j = 1, . . . , 4.
Exemple (Probl` eme de Planification de Production). Soient m machines M1, M2, . . . , Mmqui fa-
briquent en s´ erie n types de produits P1, P2, . . . , Pn. On suppose que la machine Miest d’une capacit´ e
maximale de diunit´ es de temps (i=1,2, ..., m) et que la fabrication d’une unit´ e du produit Pjn´ ecessite
l’utilisation de la machine Midurant tij unit´ es de temps.
Soit cjle gain relatif ` a la production d’une unit´ e du produit Pj(j=1,2, ..., n). Quel plan proposez vous
pour l’entreprise afin de lui procurer un b´ en´ efice maximal?

1.3 R´ esolution Graphique 7
1.2.0.4 Identification des variables de d´ ecision
Notons par :
xj≥0, j = 1,2, . . . , n (1.5)
la quantit´ e du produit Pj` a fabriquer.
1.2.0.5 Contraintes du probl` eme
Le total des unit´ es de temps pass´ ees sur la machine M1pour la fabrication de x1, x2, . . . xnunit´ es
des produits P1, P2, . . . Pnrespectivement ne peut pas exc´ eder la capacit´ e maximale d1de la machine.
De mˆ eme pour toutes les autres machines M2, M3, . . . , Mm.
t11x1+t12x2+. . . t1nxn≤d1,
t21x1+t22x2+. . . t2nxn≤d2,
.
.
.
tm1x1+tm2x2+. . . tmnxn≤dm
que l’on peut ´ ecrire sous forme :
n
X
j=1
tijxj≤di, i = 1, . . . , m. (1.6)
1.2.0.6 Fonction Objectif
Maximiser le gain total de l’entreprise.
max f(x1, x2, . . . , xn) =
n
X
j=1
cjxj.(1.7)
En r´ e´ ecrivant les formules (1.5), (1.6) et (1.7) nous aurons le mod` ele de programmation lin´ eaire suivant :
max n
X
j=1
cjxj.
s/c
n
X
j=1
tijxj≤di, i = 1, . . . , m
xj≥0, j = 1,2, . . . , n.
1.3 R´ esolution Graphique
Lorsqu’il n’y a que deux variables de d´ ecision, un probl` eme lin´ eaire peut ˆ etre r´ esolu de mani` ere
purement graphique en suivant le processus suivant :
1. On dessine les demi-plans des contraintes. On trace la droite fronti` ere en remplac¸ant les in´ egalit´ es
par des ´ egalit´ es).
2. On d´ etermine le domaine Xd´ efinissant l’ensemble des points satisfaisant toutes les contraintes.
Le domaine Xest l’intersection de tous les demi-plans.

1.3 R´ esolution Graphique 8
3. On trace la droite repr´ esentant la fonction objectif et passant par l’origine
4. On translate la droite de la fonction objectif selon son vecteur normal.
5. Le point optimal est le dernier point du domaine Xque la droite de la fonction objectif touchera
lors de son d´ eplacement.
6. Le vecteur normal de la droite d´ efinissant la fonction objectif indique le sens dans lequel on doit
la translater pour trouver le point optimal : la droite ax1+bx2+ca pour vecteur normal µa
b¶.
7. Si le vecteur normal indique un d´ eplacement vers le haut, la fonction objectif doit couper l’axe
Ox2le plus haut possible dans le cas d’une maximisation, et le plus bas possible dans le cas d’une
minimisation, tout en touchant le domaine X.
8. Si le vecteur normal indique un d´ eplacement vers le bas, la fonction objectif doit couper l’axe
Ox2le bas possible dans le cas d’une maximisation, et le plus haut possible dans le cas d’une
minimisation, tout en touchant le domaine X.
9. Si le vecteur normal est un vecteur horizontal (cas rare mais possible), la fonction objectif ne
coupera pas l’axe Ox2. Le point optimal sera, selon les cas, le plus ´ eloign´ e ou le plus proche de
l’axe Ox2.
Exemple. ` A l’approche de l’Aid, un artisan chocolatier d´ ecide de confectionner des oeufs en chocolat.
En allant inspecter ses r´ eserves, il constate qu’il lui reste 18 kg de cacao, 8 kg de noisettes et 14 kg de
lait. Il a deux sp´ ecialit´ es : l’oeuf Extra et l’oeuf Sublime. Un oeuf Extra n´ ecessite 1 kg de cacao, 1 kg de
noisettes et 2 kg de lait. Un oeuf Sublime n´ ecessite 3 kg de cacao, 1 kg de noisettes et 1 kg de lait. Il fera
un profit de 20 DA. en vendant un oeuf Extra, et de 30 DA. en vendant un oeuf Sublime. Combien d’oeufs
Extra et Sublime doit-il fabriquer pour faire le plus grand b´ en´ efice possible?
Formulation du probl` eme
Notons x1≥0le nombre d’oeufs Extra et x2≥0le nombre d’oeufs Sublime ` a produire.
´
Etant donn´ ees les r´ eserves du chocolatier, les contraintes suivantes devront ˆ etre satisfaites :
1. La quantit´ e totale de cacao utilis´ ee ne devrait pas exc´ eder 18kg
x1+ 3x2≤18
2. La quantit´ e totale de noisettes utilis´ ee ne devrait pas exc´ eder 8kg
x1+x2≤8
3. La quantit´ e totale de lait utilis´ ee ne devrait pas exc´ eder 14kg
2x1+x2≤14
Le chocolatier cherche ` a maximiser la fonction objectif suivante :
max z= 20x1+ 30x2
Le probl` eme lin´ eaire ` a r´ esoudre est alors :
max Z= 20x1+ 30x2.
x1+ 3x2≤18
x1+x2≤8(1.8)
2x1+x2≤14
x1, x2≥0