CIRCUIT SYMETRIQUES

ASTUCE ELECTROCINETIQUE
Comment exploiter les symétries d’un réseau de résistances identiques ?
Une association de résistances est trop ramifiée pour une simplification directe, mais avec un fort
degré de symétrie. On souhaite calculer la résistance entre deux points A et B du réseau.
 Recenser les plans de symétrie du réseau (les plans de symétrie laissent le réseau et les points A
et B invariants).
 Attribuer à deux points symétriques le même potentiel
 Identifier le plan d’antisymétrie du réseau (ce plan laisse le réseau invariant mais échange les
points A et B).
 Attribuer le même potentiel à tous les points du réseau qui appartiennent au plan
d’antisymétrie.
 Redessiner le réseau en réunissant tous les points de même potentiel. Vérifier que toutes
les résistances ont été replacées sur cette figure.
Exemple 1 : Déterminer la
résistance équivalente entre A et B
R
C
R
D
EXEMPLE 2
Déterminer la résistance éq au
montage ci-dessous
lorsque le courant entre en A et
ressort en B ;
lorsque le courant entre en A et
ressort en B ;
lorsque le courant entre en A et
ressort en C ;
lorsque le courant entre en A et
ressort en C.
A
R
R
R
R
A
R
R
C
SOLUTION EXEMPLE 1
4
DEMONSTRATION i3=0
En A i = i1 +i2 et U1=Ri1=2Ri2
i1= 2i/3
i2= i/3
De même en B
I4+i5= i Et U2= =Ri4=2Ri5
i4= 2i/3
i5= i/3
EN C I4+i3= I
i3=0
R
i1
&
C
I3
i
R
I4
i
I2
U1
KA_MPSI.book Page 74 Vendredi, 8. août 2003 11:20 23
b)
Dans ce circuit, la résistance R′ n’est ni en série, ni en parallèle avec les autres résistances. Il faut donc d’abord
simplifier le circuit en introduisant des considérations de symétrie.
On applique la méthode n° 3 au circuit étudié.
Le montage est antisymétrique par rapport à (CD). Les points C et D sont donc au même potentiel,
aucun courant ne circulant dans la résistance R′. On peut alors simplifier le montage en « supprimant »
celle-ci.
R
R
A
B
2R
2R
La résistance équivalente RAB vaut donc :
4
( R + R ) ( 2R + 2R )
R AB = ----------------------------------------------------- = --- R.
3
( R + R ) + ( 2R + 2R )
c) • Le montage est symétrique par rapport à (AB). Comme le courant sort du circuit en B, il ne circule aucun courant dans la branche contenant C : on peut donc l’éliminer.
A
i
R
R
R
R
R
A
i
R
3
R × 3R
R′ = ------------------ = --- R
4
R + 3R
⇔ R
R
B
R
R
R
i
B
R′
i
R
La résistance équivalente RAB vaut donc :
R AB
3
R + --- R
7
R + R′
4
= ---------------- = ------------------ = --- R.
8
2
2
Les symétries du réseau sont aussi des symétries pour les répartitions de courant. En effet, en un nœud, le courant
se partage également entre deux résistances égales.
Un courant non nul dans la branche contenant C ne respecterait pas la symétrie de cette répartition.
• Le montage est symétrique par rapport à (A′B). On peut alors modifier le schéma sans modifier la
résistance du montage en remplaçant la résistance R entre B et C′ par deux résistances en parallèle
de valeur 2R.
R
R
R
R
R
R
4
R × 4R
R′ = ------------------ = --- R
5
R + 4R
R
2R
R
i
B
⇔
A′
i
R
R
2R
R
R
i
B
A′
i
R
R
R
74
R
Chapitre 2 : Modélisations linéaires d’un dipôle
R′
KA_MPSI.book Page 75 Vendredi, 8. août 2003 11:20 23
La résistance équivalente R A′B vaut donc (3 résistances en parallèle) :
12
1
2
1
5
1
1
1
1
------------ = ---- + -------------------- + -------------------- = ---- + ---------------------- = ---- + ------- = -------,
7R
R A′B
R
4
R 7R
R 2R + R′ 2R + R′
2R + --- R
5
7
soit : R A¢B = ------ R.
12
On vérifie qu’il y a bien équivalence entre :
2R
C 1′
R
B′
C′ et B′
C 2′
2R
Le courant se répartit équitablement entre les deux branches et les points C 1′ et C 2′ sont au même potentiel que
le point C′.
• Le montage est symétrique par rapport à (AC). On peut alors séparer les résistances en B sans modifier la résistance du montage et les répartitions de courant.
i
R
i
R
A
2R × 2R
R′ = ---------------------- = R
2R + 2R
R
A
R
R
R
R
R
⇔
R
R
R
R
R′
R
R
R
R
C
i
C
i
La résistance équivalente R AC vaut donc (2 résistances en parallèle) :
3
2
1
1
1
---------- = -------------------- + -------------------- = -------, soit : R AC = --- R.
2
3R
R AC
2R + R′ 2R + R′
• Le montage est antisymétrique par rapport à la droite passant par B et perpendiculaire à ( A′C′ ).
Tous les nœuds appartenant à cette droite sont au même potentiel, donc aucun courant ne circule
dans les branches correspondantes : on élimine ces résistances.
R
R
R
R
i
C′
A′
R
i
R
R
R
R
R
La résistance équivalente R A′C′ vaut donc (3 résistances en parallèle) :
1
1
1
1
1
------------- = ------- + ------- + ------- = ---- , soit : R A¢C¢ = R.
R
R A′C′
2R 4R 4R
Le montage est aussi symétrique par rapport à ( A′C′ ), mais cette symétrie ne permet aucune simplification
intéressante.
Exercices
75