maths

Tableaux des dér ivées et pr imitives et quelques for mules en pr ime
Fonction
Domaine de dérivabilité
ln(x)
R+ ;
ex
1
x
p
x
R
R+ ;
x ; 2R
cos(x)
sin(x)
R+ ;
R
R
t an(x)
Dérivée
1
x
ex
1
x2
1
p
2 x
R
]
2
+ k ;
arccos(x)
]
arcsin(x)
]
arct an(x)
2
+ k [; k 2 Z
1
sin(x)
cos(x)
1
cos2(x)
1 + t an2(x) =
p
1; 1[
p
1; 1[
1
1
1
x2
ln(u)
x2
sin(u)
cos(u)
Fonction
Intervalle d’ intégration
a) n ; n 2 N; a 2 R
1
;a 2 R
x a
1
; a 2 R; n 2
(x a) n
R
(x
eu
1
1
1 + x2
R
Opération
f + g
f g
f
g
g
1
u
un
p
u
]
1 ; a[ OU ]a; + 1 [
]
1 ; a[ OU ]a; + 1 [
Dérivée
f 0 + g0
f 0 g + f g0
f 0 g f g0
g2
f 0 g0
u0
u2
0
nu un 1
u0
p
2 u
u0eu
u0
u
0
u cos(u)
u0sin(u)
Primitive
1
(x
n+ 1
ln(jx
(n
1
1)(x
a) n+ 1
aj)
a) n
1
Fonctions usuelles : logar ithme et exponentielle, fonction puissance,
fonctions circulaires et leur s r éciproques
Définition 1 (Logarithme). On définit ln :]0; + 1 [! R comme la primitive de x !7
1
qui s’ annule en 1.
x
1. ln est continue et strictement croissante sur ]0; + 1 [.
2. 8x; y 2 ]0; + 1 [; ln(x y) = ln(x) + ln(y).
Propr iété 1.
3. 8x > 0; ln( x1 ) =
n(x).
4. 8x; y 2 ]0; + 1 [; ln( xy ) = ln(x)
ln(y).
5. 8n 2 N; 8x > 0; ln(x n ) = n ln(x).
6. lim ln(x) =
x ! 0+
1 et lim ln(x) = + 1
x! + 1
Définition 2 (Exponentielle). On définit exp : R ! ]0; + 1 [ comme la solution de l’ équation différentielle y0 = y de
condition initiale y(0) = 1.
On note exp(x) = ex .
1. exp est continue et strictement croissante sur R.
2. 8x; y 2 R; ex + y = ex ey :
= 1=ex :
ex
x y
4. 8x; y 2 R; e
= y:
e
nx
5. 8n 2 N; 8x 2 R; e = (ex ) n :
3. 8x 2 R; e
Propr iété 2.
6.
x
lim ex = 0 et lim ex = + 1 :
x!
1
x! + 1
For mules de tr igonométr ie
cos2(x) + sin2(x) = 1
cos(x + 2 ) = cos(x)
cos(2x) = 2 cos2(x)
t an(x) =
sin(x + 2 ) = sin(x)
2 sin2(x)
1= 1
Définition 4 (Arcsinus). Sinus est une bijection de [
2; 2]
sin(x)
cos(x)
t an(x +
) = t an(x)
sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)
sur [ 1; 1]. On appelle arcsinus sa réciproque.
8x 2 [ 1; 1]; 8 2 [
; ]; x = sin( ) , arcsin(x) =
2 2
Définition 5 (Arccosinus). Cosinus est une bijection de [0; ] sur [ 1; 1]. On appelle arccosinus sa réciproque.
8x 2 [ 1; 1]; 8 2 [0; ];
Définition 6 (Arctangente). Tangente est une bijection de ]
8x 2 R; 8 2 ]
Arcsinus
; [;
2 2
x = cos( ) , arccos(x) =
2; 2[
sur R. On appelle arctangente sa réciproque.
x = t an( ) , arct an(x) =
Arccosinus
Arctangente