Fonctionsusuelles: logarithmeet exponentielle,fonction puissance,
fonctionscirculaireset leursréciproques
Définition 1(Logarithme). Ondéfinit ln :]0;+1 [! R commelaprimitivedex 7! 1
xqui s’annuleen1.
Propriété1.
1. ln est continueet strictement croissantesur ]0;+1 [.
2. 8x;y 2]0;+1 [;ln(x y) = ln(x) + ln(y).
3. 8x > 0;ln(1
x) = n(x).
4. 8x;y 2]0;+1 [;ln(x
y) = ln(x) ln(y).
5. 8n 2 N;8x > 0;ln(xn) = n ln(x).
6. lim
x! 0+ln(x) = 1 et lim
x! + 1 ln(x) = +1
Définition 2 (Exponentielle). On définit exp : R ! ]0;+1 [ comme la solution de l’équation différentielle y0= y de
conditioninitialey(0) = 1.
Onnoteexp(x) = ex.
Propriété2.
1. exp est continueet strictement croissantesur R.
2. 8x;y 2 R;ex+ y = exey:
3. 8x 2 R;e x= 1=ex:
4. 8x;y 2 R;ex y =ex
ey:
5. 8n 2 N;8x 2 R;enx = (ex)n:
6. lim
x! 1 ex= 0et lim
x! + 1 ex= +1 :