PFD

(O.Granier)
Les lois de Newton
(mécanique du point matériel)
Olivier GRANIER
Objet de la dynamique : déterminer les causes des
mouvements.
Galilée (physicien italien, 1564 – 1642)
Kepler (astronome allemand, 1571 – 1630)
Newton (physicien anglais, 1642 – 1727)
Einstein (physicien américain, 1879 – 1955)
Schrödinger (physicien autrichien, 1887 – 1961)
Mécanique newtonienne → 3 grands principes
Le principe fondamental de la dynamique
Le principe d’inertie
Le principe de l’action et de la réaction
Olivier GRANIER
I - NOTION DE REFERENTIELS GALILEENS
1 - Principe d’inertie :
Enoncé par Galilée :
« Le centre d’inertie d’un système isolé ou pseudo-isolé persévère dans l’état de
repos ou de mouvement uniforme dans lequel il se trouve. »
G
.
Mouvement rectiligne
uniforme de G
Dans quels référentiels est valable le principe d’inertie ?
Dans les référentiels galiléens !
Olivier GRANIER
2 - Référentiels galiléens :
« On appelle référentiel galiléen un référentiel dans lequel le principe d’inertie
est vérifié, c’est-à-dire dans lequel un point matériel soumis à une force
constamment nulle est caractérisé par un mouvement rectiligne uniforme ou
par le repos. »
Exemples de référentiels galiléens :
•
Référentiel de Kepler : (Héliocentrique)
*** Origine : le centre d’inertie du Soleil
(RK)
(RG)
*** Trois axes dirigés vers trois étoiles
lointaines « fixes »
« Etoiles fixes »
(Référentiel de Copernic : centré sur le centre d’inertie du système solaire)
Utilisés pour : - Mouvements des planètes
- Mouvements des sondes interplanétaires
Olivier GRANIER
•
Référentiel géocentrique :
*** Origine : le centre d’inertie de la Terre
*** Trois axes dirigés vers trois étoiles lointaines
« fixes »
(RG) a un mouvement de translation quasi-circulaire
par rapport à (RK).
(RK)
Utilisé pour l’étude des mouvements des satellites
autour de la Terre
•
Référentiel terrestre (ou du
laboratoire) :
(RG)
« Etoiles fixes »
En 1ère approximation, ces référentiels sont
galiléens.
Olivier GRANIER
II - PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE
1 - Notion de force
4 interactions fondamentales :
→ Interaction gravitationnelle
→ Interaction électromagnétique
→ Interaction faible
→ Interaction forte
Document :
Définition d’une force :
« On appelle force la grandeur vectorielle décrivant une interaction capable de
produire un mouvement ou encore de créer une déformation. »
Exemples :
→ Forces de contact
→ Forces à distance
Olivier GRANIER
Forces de contact
•
Réaction du support :
La force que subit un objet posé sur un sol en provenance du support s’appelle la
réaction du support. Cette force est répartie sur toute la surface de contact
support-objet. On peut représenter cette action par une force, résultante de
toutes les actions exercées sur la surface.
Cas d’une surface horizontale :
r
R
L’objet étant à l’équilibre :
G
Remarque : d’après le principe de
l’action et de la réaction, l’action
de l’objet sur le support est
égale au poids de l’objet.
r
mg
r
r
R = − mg
Olivier GRANIER
Forces de frottements :
•
Lorsqu’un solide se déplace dans un fluide (gaz ou liquide), il subit de la part du
fluide des forces de frottements, que l’on peut modéliser par :
* Forces de frottements « visqueux » (à faible vitesse) :
r
r
f = − kmv
Où m est la masse du solide, v sa vitesse et k une constante positive.
* Forces de frottements de type « quadratique » (à plus grande vitesse) :
r
r2
f = −kmv
•
Tension d’un ressort :
r
T
r
ux
l
r
R
r
mg
r
r
T = − k (l − l 0 ) u x
l0
: longueur à vide du ressort
Olivier GRANIER
Forces à distance
Force électrique :
•
Une particule M(m) et de charge électrique q est placée dans un champ
électrique noté
•
r
E.
La force qui s’exerce sur la particule est :
r
r
f = qE
Force magnétique :
Une particule M(m) de vitesse v et de charge électrique q est placée dans
un champ magnétique noté
est :
r
B.
La force qui s’exerce sur la particule
r
r r
f =qv∧B
Olivier GRANIER
Force gravitationnelle :
•
r
f1→2
M2 (m2)
r
f 2→1
M1 (m1)
r
u1→ 2
•
r=M1M2
Force coulombienne :
r
f 2→1
G : constante de gravitation
universelle
r
f1→2
r
f =
M2 (q2)
q1 q 2 < 0
M1 (q1)
r
u1→ 2
r=M1M2
r
m1m2 r
f1→2 = −G 2 u1→2
r
r
r
f1→2 = − f 2→1
q1q2 r
u1→2
2
4πε 0 r
1
r
r
f1→2 = − f 2→1
ε0 : permittivité du vide
(1/4πε
πε0 = 9.109 USI)
Olivier GRANIER
2 - Notion de quantité de mouvement
M (m) : point matériel M de masse m, de vitesse
(R).
La quantité de mouvement de M (m) est :
r
v
dans un référentiel galiléen
r
r
p = mv
Importance de cette grandeur : elle prend en compte la vitesse mais aussi
« l’inertie » du corps (sa masse).
3 - Principe fondamental de la dynamique
M (m) : point matériel M de masse m, de vitesse
(R).
r
v
dans un référentiel galiléen
r
r
Soit p = mv la quantité de mouvement de M dans (R).
r
Soit a l’accélération de M dans (R).
r
F : somme vectorielle des forces qui s’exercent sur M
(m).
Olivier GRANIER
Enoncé du « PFD »
« La dérivée temporelle de la quantité de mouvement d’un point matériel est
égale à la somme vectorielle des forces qui lui sont appliquées. »
M (m)
r
F
→
r
r = OM
r
r dpr
r
dv
F=
=m
= ma
dt
dt
(si m est une constante)
Trajectoire
O
(R) galiléen
r
r
p = mv
Remarque : le PFD englobe le principe d’inertie.
Olivier GRANIER
Remarque : ne trouvez-vous pas miraculeusement simple le PFD
puisqu'il ne fait intervenir que la dérivée seconde de la position ,
pondérée par une constante m ?
Pourquoi ne pas songer à faire intervenir la position et ses dérivées
successives jusqu'à l'infini , chacune pondérée par une constante de
dimension appropriée, comme dans la formule suivante ?
r
2r
3r
r
r
dr
d r
d r
F =α r + β
+ m 2 + γ 3 + ....
dt
dt
dt
Olivier GRANIER
4 - Principe de l’action et de la réaction
« Le principe de l’action et de la réaction dit que les forces qu’exercent l’un
sur l'autre deux points matériels sont coaxiales, de même intensité et de
sens opposés :
r
FA → B
B
A
r
FB→ A
Système isolé de
deux points
matériels A et B
r
r
FA→ B = − FB → A
et coaxiales
Une illustration amusante des trois lois de Newton :
Olivier GRANIER
5 - Un premier exemple d’application ; la chute libre
• Le poids d’un corps :
M (m) :
r
r r
P = mg, g est appelé vecteur accélération de la pesanteur.
A Nantes : g = 9,81 m.s
- 2
Si on néglige la rotation propre de la Terre :
G : constante de gravitation universelle (G = 6,67.10
MT = 6.10
24
- 11
SI)
kg (masse de la Terre)
rO
g
RT = 6370 km (rayon de la Terre)
r
GM T r
g = − 2 ur
RT
r
ur
T
RT
Olivier GRANIER
6 - Mouvement d’un projectile dans le vide
Voir l’exercice n°1 et le fichier Maple sur la parabole de sûreté
Prise en compte de la résistance de l’air
→ Force de frottement visqueux (f = - kmv)
→ Force de frottement quadratique (f = - kmv2)
Chute libre
sur la Lune
Notions de « vitesse limite » vlim
Exercices d’application :
→ Mouvements horizontal puis vertical d’une bille dans un milieu
visqueux.
→ Mouvement d’un ballon de baudruche
Olivier GRANIER
z
Mouvement d’un ballon de baudruche
(Chute libre avec frottement visqueux)
(m = 1 kg ; k = 0,8 SI ; alpha = Pi/6 ; g= 9,81 m.s-2)
r
1 r
vlim = g
k
ylim =
1
v0 cos α
k
y
y=
(
1
v0 cos α 1 − e − kt
k
Simulation Java :
)
; z=−
g
1
g
t +  v0 sin α +  1 − e − kt
k
k
k
(
)
Simulation Cabri :
Olivier GRANIER
Résolution avec MAPLE
Equations différentielles du mouvement :
dv y
= −k v y
dt
dv z
= − kv z − g
dt
m = 1 kg ; k = 10 USI ; v0 = 1 m.s-1 ; g = 9,8 m.s-2
Fichier MAPLE :
(chute libre 1)
Olivier GRANIER
Chute libre avec frottement quadratique : résolution numérique avec
MAPLE
Equations différentielles du mouvement :
r
r
r
dv
v
m
= − km v 2 + m g
dt
v
dv y
D’où
= − k v 2y
dt
dv z
= − k v z2 − g
dt
m = 1 kg ; k = 0,8 USI ; g = 9,8 m.s-2
Fichier MAPLE :
(chute libre 2)
Olivier GRANIER
7 - Théorème du Centre d’inertie :
• Centre d’inertie d’un système de points matériels :
« Le centre d’inertie G d’un système de points matériels Mi de masse mi
est le barycentre des points Mi affectés des coefficients mi, soit :
∑
r
mi GM i = 0
(S)
i
Si O est l’origine du référentiel d’étude, alors :
r
ri = OM i
GM i = GO + OM i = −OG + OM i
∑ m OM ∑ m OM
OG =
=
m
∑m
i
D’où
i
i
i
i
M2
i
i
i
T
M1
Mi (mi)
Mn
G
Mj
(R)
O
Olivier GRANIER
• Quantité de mouvement totale du système :
La quantité de mouvement totale du système de points matériels est
(dans le référentiel d’étude (R)) :
r
p=
∑m v
avec
i i
i
r d (OM i )
vi =
dt
Elle est reliée à la vitesse du centre d’inertie G dans (R) :
r
p=
∑
i
mi
d (OM i )
=
dt
Soit :
∑
i
d (mi OM i )
=
dt
∑
i
mi
d (OG )
d (OG )
= mT
dt
dt
r
r
p = mT vG
« La quantité de mouvement d’un système de points matériels est égale
à la quantité de mouvement d’un point fictif situé au centre d’inertie du
système et possédant toute la masse de celui-ci. »
Olivier GRANIER
• Forces intérieures et forces extérieures :
r
qi E
r
E
M1
r
ri = OM i
M2
(R)
O
r
qi E
(S)
Mi (mi,qi)
r
f j →i
r
f j →i
Mn
G
r
f i→ j
: force extérieure qui
s’exerce sur le point Mi
r
r
f i → j = − f j →i
Mj
Globalement :
: force intérieure
exercée par le point (j)
sur le point (i)




∑∑
i
j ≠i
r  r
f j →i  = 0


Olivier GRANIER
• Théorème du centre d’inertie :
Le PFD appliqué à un point matériel donne :
r
Fi ,ext
r
d ( vi ) r
mi
= Fi ,ext +
dt
r
f j →i
∑
j ≠i
Où
désigne la résultante des forces extérieures qui s’exercent sur
le point (i).
En sommant sur tous les points du système :
∑
i
r
r
d ( mi vi )
dvG
= mT
=
dt
dt
r
r
dvG
mT
= Fext
dt
∑
i
r
Fi ,ext +




∑∑
i
j ≠i
r 
f j →i  =


∑
r
Fi ,ext
i
« Le mouvement du centre d’inertie d’un système de points
matériels est celui d’un point qui aurait la masse totale du
système et auquel serait appliquée la somme des forces
extérieures au système. »
Olivier GRANIER
8 - Applications du PFD : point mobile sur une sphère
• Enoncé du problème : un point matériel M de masse m est placé au
sommet A d’une sphère de rayon R. On déplace légèrement le point
matériel pour qu’il quitte la position A avec une vitesse quasiment nulle et
glisse sans frottement le long de la sphère.
Déterminer la position où le mobile quitte la sphère. Quelle est alors sa
vitesse ?
A
y
θ
r
mg
R
M
r
r N
ur
r
uθ
x
Dans les applications qui suivent,
le référentiel d’étude est le
référentiel (R) du laboratoire
(référentiel « terrestre »),
supposé galiléen.
Olivier GRANIER
r
r
&
v = Rθ uθ
r
r
2 r
&
&
&
; a = − Rθ u r + Rθ uθ
r
r
r
r
r
mg = mg (− cos θ u r + sin θ uθ ) ; N = N u r
A
y
θ
M
r
mg
R
r
r r
ma = mg + N
r
r N
− mRθ& 2 = − mg cos θ + N
ur
r
uθ
mRθ&& = mg sin θ
x
r
( sur u r )
r
( sur uθ )
N = mg (3 cos θ − 2)
N = 0 pour cos θ =
2
, soit θ = 48° et alors v =
3
2 gR
3
Une simulation de loopings
(l’exercice au format pdf)
Olivier GRANIER
9 - Applications du PFD : oscillations d’un pendule simple
O
r
r r
: ma = mg + T
PFD
r
uz
mlθ&& = −mg sin θ
l
θ
r vr = lθ& u
θ
Tr
uθ
M (m)
r
mg
z
− mlθ& 2 = mg cos θ − T
r
ur
g
&
&
θ = − sin θ
l
Pour de faibles oscillations
(sinθ
θ = θ) :
g
&
&
θ = − θ ; ω0 =
l
θ = θ m cos(ω0t )
g
2π
l
; T0 =
= 2π
ω0
l
g
(ω0 : pulsation du mouvement)
Olivier GRANIER
Résolution par le logiciel Maple :
O
r
uz
Equations
différentielles
l
θ
− mlθ& 2 = mg cos θ − T
mlθ&& = −mg sin θ
r vr = lθ& u
θ
Tr
uθ
M (m)
r
mg
r
ur
Fichier Maple :
(pendule simple)
z
Olivier GRANIER
10 - Applications du PFD : oscillations d’un pendule dans
un champ électrique
r
r r
r
O
PFD : ma = mg + T
E
r
r
En projection selon uθ :
l
uz
θ
r
T
r
mg
mlθ&& = − mg sin θ + qE cos θ
g
qE
&
&
Soit : θ = − sin θ +
cos θ
l
ml
r
uθ
M (m)
r
ur
r
qE
L’angle θ0 d’équilibre vérifie :
θ&& = 0
soit
qE
tan θ 0 =
mg
z
Olivier GRANIER
Cas des petites oscillations : on pose
r
E
O
r
uz
l
θ
r
T
r
mg
z
θ = θ 0 + ε (ε << θ 0 ).
sin θ = sin(θ 0 + ε ) ≈ sin(θ 0 ) + ε cos(θ 0 )
cos θ = cos(θ 0 + ε ) ≈ cos(θ 0 ) − ε sin(θ 0 )
(On a utilisé
r
uθ
rM
ur
Alors :
sin ε ≈ ε et cos ε ≈ 1)
Soit, après simplifications :
(m)
r
qE
g
qE

&ε& +  cos θ 0 +
sin θ 0  ε = 0
ml
l

= ω 02 (T0 = 2π
ω0 )
Olivier GRANIER
11 - Applications du PFD : tensions de fils
r
r
r
TB/C −TB/C r
−TB/ A
r
−TC
B
r
TB/ A
r
−TA
T
C
r
TA
A
α
r
r
r
r
T A = TB / A = T1 ; TC = TB / C = T2
C
1
T1 = (2 + sin α ) mg
3
1
T2 = (1 + 2 sin α )mg
3
Olivier GRANIER
12 - Applications du PFD : oscillateurs soumis à une force
constante
(résolution avec le logiciel Maple)
Equations
différentielles
m1 &x&1 = k ( x2 − x1 )
m2 &x&2 = −k ( x2 − x1 ) + F
Longueur l = l0 + x2 – x1 > l0
M1,0
x1
M1
r
T1
r
T2 M2,0
Fichier Maple :
M2
x2 > x1
r
F
(oscillateurs
couplés - F)
x
Olivier GRANIER